MISCELANEA DE EJERCICIOS algebra lineal

Transcripción

1 OpenStax-CNX module: m MISCELANEA DE EJERCICIOS algebra lineal daniela vega This work is produced by OpenStax-CNX and licensed under the Creative Commons Attribution License 3.0 Abstract es una recopilacion de ejercicios de todos los temas vistos en el semestre, donde lo que se quiere es compartir lo hecho en el semestre con otros estudiantes que tengan dudas de temas vistos, o dudas con algunos ejercicios EJERCICIO 13: Demuestre que si u y v son soluciones del sistema homogeneo AX=0 entonces w=u+v también es solución del sistema homogéneo AX=0 HIPOTESIS: u y v son soluciones del sistema, eso signica que se cumple Au=0 y que también Av=0. TESIS: w=u+v tambien es solución del sistema, es decir que Aw=0 demostracion: como Aw=A(u+v) porque w=u+v Aw=Au+Av Aw=0+0 por hipotesis por lo tanto W tambien es solucion del sistema AX=0 EJERCICIO 14: Dado el siguiente sistema la ecuacion que relaciona a,b y c de modod que el sistema lineal: x+2y-3z=a 2x+3y+3z=b 5x+9y-6z=c sea consistente para cualesquiera valores de a,b y c que satisfagan esa ecuacion es: a a b (-2)R1+R a (-1)R2+R c c-5a (-2)R1+R a b-2a donde se tiene: a-b+2a x+2y-z=a 0x-1y+9z=b-2a 0x+0y+0z=-3a-b+2a por lo tanto para que el sistema sea consistente se necesita que: -3a-b+2a=0 EJERCICIO 15: Version 1.1: May 20, :33 pm

2 OpenStax-CNX module: m Para que valores de λ el siguente sistema de ecuaciones tiene soluciones no triviales? (λ-3)x+y=0 x+(λ-3)y=0 λ λ-3 1 λ-3 1 λ-3 0 R1->R2 λ-3 1 R1(3-λ)+R2 0 -λ^2+6λ-8 (-λ^2+6λ-8)x=0; como queremos soluciones no triviales(distintas a 0) entonces: λ^2-6λ+8=0 -λ^2+6λ-8=0 -> (λ-4)(λ-2)=0 λ=4 λ=2 EJERCICIO 16: Decir que A es no singular es equivalente a: 1.X es la unica solucion para el sistema AX=0 2.A no es equivalente por renglones a ln 3. el sistema lineal Ax=b no tiene una única solución para cada matriz b de nx1 1. verdadero dado el sistema homogéneo Ax = 0 A^-1(Ax)= A^-1 0 (multiplicando por A^-1 a ambos lados de la igualdad; ya que la matriz es no singular) A^-1(Ax)=0 ASOCIATIVA ln X=0 DEFINICION DE INVERSA X=0 PROPIEDAD DE LA IDENTICA 2. este enunciado es Falso, porque si una matriz es invertible es equivalente por renglones a la matriz ln. 3. Este enunciado es Falso, porque si Apresenta inversa entonces Ax=b A^-1(Ax)= A^-1b multiplicado por A^-1 (A^-1 A)X= A^-1b ASOCIATIVA lnx= A^-1b denicion de inversa x=a^-1b propiedad de la inversa El sistema Ax= b presentara una unica solucion (x=a^-1b) EJERCICIO 17: Determine si el sistema siguiente es consistente : y-4z=8 2x-3y+2z=1 5x-8y+7z=1 la matriz aumentada es: la cual es equivalente por las con la matriz triangular /2 para interpretarla correctamente regresamos a la notacion de ecuacion 2x-3y+2z=1 y-4z=8 0x+0y+0z=5/2 para la ultima ecuacion no existen valores de x, y, z que la satisfagan, lo cual es una contradicción; por lo tanto el sistema original es inconsistente

3 OpenStax-CNX module: m EJERCICIO 18: resuelva el sistema homogéneo x+2x-z=0 3x-3y+2z=0 -x-11y+6z=0 la matriz aumentada es equivalente por las, aplicando el metodo de gauss jordan, con la matriz escalonada reducida 1 0 1/ / y evidentemente hay un numero innito de soluciones dadas por x=-r/9 y=5r/9 z=r donde r es un número real cualquiera, por ejemplo si r=0 tenemos la solucion trivial, si r=1, tenemos la solución (-1/9, 5/9, 1) EJERCICIO 19 El sistema tiene única solución, innitas soluciones o es inconsistente, dependiendo de que los valores que tome a. x+y+z=2 x+2y+z=3 x+y+(axa-5)z=a si a=2 existen innitas soluciones si a=2 el sistema queda x+y+z=2 x+2y+z=3 x+y-z+2 las ecuaciones 1 y 3 quedan iguales, entonces la matriz aumentada la podemos escribir la cual es equivalente por las con regresando a la notacion con ecuacion tenemos: x-3z=1 y+2z=1 si z=r; x=1+3r, y, y=1-2r. Luego tenemos innitas soluciones para cada valor r real, la solución X=1+3r y=1-2r nos expresa las innitas soluciones z=r EJERCICIO 20 Determine B diferente O2 Y B diferente de L2 tales que AB=BA, denote: muestre que si U y V son soluciones del sistema lineal AX=b entonces U-V es una solución del sistema homogéneo asociado AX=0. como U y V son soluciones del sistema lineal AX=b entonces Au=b y Av=b. Así A(u - v)=0. Así u-v es una solución del sistema homogéneo asociado AX=0. EJERCICIO 21:

4 OpenStax-CNX module: m si A= Y λ= determinar todas las soluciones del sistema homogéneo (λl3-a)x= x 0 (λl3-a)x= y = z 0 se convierte la matriz en forma escalonada reducida así: x+3y=0 z=0 Suponiendo que y=r donde r es cualquier número real se tiene que la solución es: x=-3r y=r z=0 EJERCICIO 22: A= entonces deta = = como deta diferente de 0, la matriz A es invertible (no singular) ahora B= 4-4 0, adj(a)= por tanto A^-1= 1/det(A) /8-1/2-1/8 Adj(A)= -1/8= = -15/8 1/2 3/ /4 0-1/4 EJERCICIO 23: Resolver el sistema de ecuaciones -3x+3y-z=1 x+2y-z=4-2x-y+z= A= det(a)= = X= detb1/deta= (1 3-1) (4 2-1) (-3-1 1)/ -2 = ( )/-2 = -4/-2 = 2 y= detb2/deta= /-2 = -6/-2 = 3 z= detb3/deta= /-2 = /-2 = -8/-2 = 4 EJERCICIO 24:

5 OpenStax-CNX module: m los vectores u=(3,-4) y v=(-6,8)son paralelos porque u=-1/2v= -1/2(-6,8)=(3,-4) EJERCICIO 25: Si u=(-3,2) y v= (-5,4), u.v=23 Si u=(-1,0,-8) y v= (4,7,-2), u.v=12 EJERCICIO 26: encontrar el ángulo entre los vectores u= (-3,2,1) y v=(4,1,-2) θ= cos^-1 (u.v)/ ( u v ) θ=cos^-1 (-12)/ θ=cos^-1 (-0.7) EJERCICIO 27: Si u=(-3,4,5) y v=(4,-1,2) entonces a) u x v = det = 13i+26j-13k =(13,26,-13) b) v x u = (-13,-26,13) EJERCICIO 28: Hallar las ecuaciones paramétricas y aritmétricas de la recta que pasa por los (3,2,-1) y (7,5,2) sean P(3,2,-1) y Q(7,5,2) Luego u= PQ = (4,3,3) ecuaciones parametricas son x=4t+3 y=3t+2 z=3t-1 y las ecuaciones simetricas (x-3)/4 = (y-2)/3 = (z+1)/3 EJERCICIO 29: Determinar la ecuacione del plano que pasa por el punto P(3,-2,4) y y tiene como vector normal a n(-2,1,3) La ecuacion del plano es: -2(x-3)+1(y+2)+(z-4)=0-2x+6+y+2+3z-12=0-2x+y+3z-4=0 EJERCICIO 30: Hallar la ecuacion del plano que pase por los puntos (-3,2,1),(4,2,-5),(2,-3,1) Si P(-3,2,1) Q(4,2,-5) Y R(5,-5,0) u= 7,0,-6 v= 5,-5,0 ahora n= u x v= = -30i-30j-35k Luego la ecuacion del plano 30(x+3)+30(x-2)-35(x-1) EJERCICIO 31: calcular la distancia del punto Q(3,-2,1) el plano π:2x-3y+4z-2=0 La normal del plano es n=(2,-3,4) y punto P del plano es P=(1,0,0) luego PQ = (2,-2,1) ahora d (0,π)= PQ. n / n = 14/ 29 = 14 29/ 29 EJERCICIO 31: Calcular la distancia del punto Q(1,2,3)a la recta l: x= 2t+1

6 OpenStax-CNX module: m y= -t+2 z= 3t La direccion de la recta es d=(2,-1,3)y un punto P de esta recta es P=(1,2,0) con t=0 luego PQ=(0,0,3) PQ x d ahora: d(q,1)= PQ x d / d = 45/ 14 = 3 5/ 44 EJERCICIO 32: Hallar el area del paralelogramo y del triangulo formados por los vectores u=(-3,4,-1) y v=(-2,0,5) u x v = = 20i+17j+8k el area del paralelogramo es u x v = 753. u^2 el area del triangulo es u x v = 753/2 u^2 EJERCICIO 33: Hallar el volumen del paralelepipedo formado por los 3 vectores u=(-1,5,4) v=(2,-1,3) y w=(4,3,2) u x v = (u x v).w= 91 el volumen del paralelepipedo es (u x v).w =91 u^2 EJERCICIO 34: Sea v el conjunto de todos los polinomios de grado 2 con las operaciones usuales de suma y multiplicación por escalar es v un espacio vectorial? V no es cerrado para la suma, ya que por ejemplo (-3x^2+5x-8)+(3x^2-8x+3)=-3x-5 no es polinomio de grado 2. luego V no es espacio vectorial EJERCICIO 35: Sea V el conjunto de todas las ternas (x,y,z) con las siguientes operaciones (x1,y1,z1) + (x2,y2,z2)= (x1+x2,y1+y2,z1+z2) c. (x,y,z)= (cx,y,z) es v un espacio vectorial? como la suma en v es la usual de [U+3016]IR[U+3017]^3 se cumplen en V todas las propiedades de la suma para la multicaplicacion por escalar V es cerrado para. C. (u+v)= c.u + c.v sea u=(x1,y1,z1) y V= (x2,y2,z2) entonces c.(u+v)= C.(x1+x2,y1+y2,z1+z2) = (cx1+cx2,y1+y2,z1+z2) por tanto C. (u+v)= c. u + c. v (c+d).u= c.u + (x,y,z) = ((c+d)x,y,z) = (cx+dx,x,y,z) c.u + d.u = c.(x,y,z)+ d.(x,y,z) =(cx,y,z)+(dx,y,z)

7 OpenStax-CNX module: m =(cx+dx,2y,2z) luego (c+d).u diferente c.u + d.u por tanto V no es espacio vectorial EJERCICIO 36: sea W el conjunto de todas las matrices de la forma a b 0 0 c d es W un subespacio del espacio vectorial de V = M23 Sean u= a1 b1 0 v= a2 b2 0 0 c1 d1 y 0 c2 d2 a) u+v= a1+a2 b1+b2 0 0 c1+c2 d1+d2 esta en W y se cumple la propiedad a) b)si C es cualquier escalar cu= Ca1 Cb1 0 0 Cc1 Cd1 W es un subespacio de V=M23 EJERCICIO 37: Sea W el conjunto de todos los vectores (x,y) de [U+3016]IR[U+3017]^2, tales que x >=0 y y>=0 es W subespacio de [U+3016]IR[U+3017]^2? u=(x1,y1) y v=(x2,y2) elementos de W a) u+v = (x1+x2,y1+y2)como x1+x2 >=0 y y1+y2 >=0; u+v esta en W b)sea C cualquier escalar, Cu=(cx1,cy1) no esta en W cuando c<0 Luego W no es subespacio de [U+3016]IR[U+3017]^2 EJERCICIO 38: Sea W el conjunto de todos los vectores de la forma (a,b,1), es W subespacio del espacio [U+3016]IR[U+3017]^3? sean u=(a1,b1,1) y v= (a2,b2,1) elementos de W a)u+v = (a1+a2,b1+b2,2)no esta en W luego W no es subespacio de [U+3016]IR[U+3017]^3 EJERCICIO 39: En V=[U+3016]IR[U+3017]^3, sean v1=(1,2,1), v2=(1,0,2), y v3=(1,1,0), es el vector v=(2,1,5) combinacion lineal de v1,v2,v3? si v= c1v1+c2v2+c3v3 para algunos escalares c1, c2, c3 (2,1,5) = c1(1,2,1)+c2(1,0,2)+c3(1,1,0) =(c1+c2+c3, 2c1+c3, c1+2c2) 1)c1+c2+c3=2 c1+(5-c1)/2+1-2c1=2 2)2c1+c3=1 c3= 1-2c1 3)c1+2c2=5 c2= (5-c1)/2 RESUELVO EN 1) C1+ (5-c1)/2+1-2c1 =2 (2c1+5-c1+2-4c1)/2=2-3c1+7=4-3c1=-3 c1=1 de 2) c3=-1 de 3) c2=2 EJERCICIO 40: Sea S = 3 0, 1 0, 0 3

8 OpenStax-CNX module: m A= e gen S? luego 9 = 3c1+c2 5 =c1+3c3 c1=5-3c3 2 = c2+3c3 8 = 2c1+4c3 8 = 2(5-3c3)+4c3 8 =10-6c3+4c3-2 =-2c3 c3 = 1 de 2)c1=2 de 3)2=c2-1 c2=3 de 1)9=3(2)+3 Luego A es combinatoria lineal de los elementos de S, por tanto A e gen S EJERCICIO 41: Determinar si los vectores generan [U+3016]IR[U+3017]^3 v1=(1,2,1), v2=(1,0,2), y v3=(1,1,0) sea v=(a,b,c) cualquier vector de [U+3016]IR[U+3017]^3 si v= c1v1+c2v2+c3v3 (a,b,c)= c1(1,2,1)+ c2(1,0,2)+ c3(1,1,0) c1 a c2 = b c3 c c ^-1 a c = b c c c a c2 = 1/ b c c c1 (-2a+b+c)/3 c2 = (a-b+c)/3 c3 (4a-b-2c)/c EJERCICIO 42: determinar si los siguientes vectores son o no linealmente independientes a) v1= (1,0,1,2), v2= (0,1,1,2), y v3= (1,1,1,3) de [U+3016]IR[U+3017]^4 Si c1v1+c2v2+c3v3=0 c1(1,0,1,2)+ c2(0,1,1,2)+ c3(1,1,1,3)=(0,0,0,0) luego 1)c1+c3=0 c1=-c3 c1=0 2)c2+c3=0 c2=-c3 c2=0 3)c1+c2+c3=0 -c3-c3+c3=0 c3=0 4)2c1+2c2+3c3=0 0=0 como la unica solución es c1=c2=c3=0, luego los vectores v1,v2 y v son lineal independiente EJERCICIO 43: b) v1=(1,2,-1), v2=(1,-2,1), v3=(-3,2,-1) y v4(2,0,0) de [U+3016]IR[U+3017]^3 c1(1,2,-1)+ c2(1,-2,1)+ c3(-2,2,-1)+ c4(2,0,0)=(0,0,0) luego

9 OpenStax-CNX module: m )c1+c2-3c3+2c4=0 2)2c1-2c2+2c3=0 3)-c1+c2-c3=0 el sistema tiene innitas soluciones hay mas incognitas que ecuaciones la unica solucion no es la trivial por lo tanto los vectores v1, v2, v3 y v4 no son linealmente independientes EJERCICIO 44: determinar si los vectores v1=(4,3), v2=(1,6) forman una base para [U+3016]IR[U+3017]^2