Tema 4. Problemas de inferencia estadística en el modelo de regresión lineal múltiple

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1 Método de egreó Grado e Etadítca y Emprea Tema 4 /3 Tema 4. Problema de fereca etadítca e el modelo de regreó leal múltple. Itervalo de cofaza y cotrate para lo coefcete de regreó... Itervalo de cofaza para lo coefcete de regreó... Cotrate de hpóte para lo coefcete de regreó.. Itervalo de cofaza para la varaza. 3. Cotrate couto obre lo coefcete. 3.. Decompocó báca y cotrate de regreó. 3.. Iterpretacó de lo cotrate. 4. Correlacó e regreó múltple. 4.. El coefcete de determacó. 4.. El coefcete de determacó corregdo. Método de egreó Grado e Etadítca y Emprea Tema 4 /3. Itervalo de cofaza y cotrate para lo coefcete de regreó. Modelo: Y X U, U ~ NM (, I) perplao de Yˆ Xˆ, ˆ (X'X) X'Y regreó: Yˆ X(X'X) X' Y Y.. Itervalo de cofaza para lo coefcete de regreó. ˆ ˆ ~ (, N q ) ~ N (,) q dode q e el elemeto (+,+) de la matrz (X X) -. Pueto que, e geeral, erá decoocda, utlzaremo como etmador de la varaza, y etoce: ˆ ~ t q El tervalo de cofaza para el parámetro al vel (-)% e: IC ˆ ( ) t dode t - / e el percetl (- /)% de la ley t de Studet co -- grado de lbertad y q e el elemeto (+,+) de la matrz (X X) -. q Método de egreó Grado e Etadítca y Emprea Tema 4 3/3 Eemplo (Eercco 7): allar u I.C. para lo coefcete de regreó y del Eercco 4 (coumo de 8 provca epañola), co u vel de cofaza del 95%. Debemo calcular (para =,): IC ˆ ( ) t q Modelo etmado: y= x +.397x, dode x =º de automóvle por habtate, x =º de teléfoo por habtate, y= coumo. La varaza redual e =33.83 (, =5.8); --=5, (-)=.95, t - / = t.975 = X'X ( X'X) Suttuyedo e obtee lo guete tervalo para y :.53.57(5.8) , (5.8) , 574 I. C.( ). I. C.( ). 3 q.5 4 q 5.38 Método de egreó Grado e Etadítca y Emprea Tema 4 4/3.. Cotrate de hpóte para lo coefcete de regreó (cotrate de hpóte para u olo coefcete) póte de lo cotrate (o de lo tet): : : : (a) (b) (c) : : : Etadítco de cotrate: ˆ t ~ t q dode q e el elemeto (+,+) de la matrz (X X) -. Para u vel de gfcacó fado, la regoe de rechazo o: (a) (c) t t t, (b) t t, t, t t t, t t, / / / dode t -, t, t -/ o, repectvamete, lo percetle (- )%, % y (- /)% de la ley t de Studet co -- grado de lbertad.

2 Método de egreó Grado e Etadítca y Emprea Tema 4 5/3 póte del cotrate: Etadítco de cotrate: Cotrate de gfcacó dvduale : : ˆ t ~ t q dode q e el elemeto (+,+) de la matrz (X X) -. Para u vel de gfcacó fado, la regó de rechazo e: t t t t /, / /, dode t -/ e el percetl (- /)% de la ley t de Studet co -- grado de lbertad. Método de egreó Grado e Etadítca y Emprea Tema 4 6/3 Jutfcacó: egla práctca para aber lo coefcete o gfcatvo ) Calcular el correpodete etadítco t. ) S t >.5, el coefcete e gfcatvo () S -- 6 y =.5, el percetl (- /)% de la ley t de Studet co -- grado de lbertad toma valore e el tervalo [.96,.45], e decr: t 96., 45 /. eproducmo parte de la tabla de la dtrbucó t de Studet. Obervad como decrece el percetl 97.5% a medda que aumeta lo grado de lbertad: g.l. t Método de egreó Grado e Etadítca y Emprea Tema 4 7/3 Eemplo (Eercco 8): ealzar cotrate de gfcacó para lo coefcete de regreó y del Eercco 4 (coumo de 8 provca epañola), co u vel de gfcacó del 5%. t : : ˆ q : t : ˆ q o e gfcatvo dvdualmete t t o e gfcatvo dvdualmete t o rechazar (.5) rechazar (.) o e puede rechazar para.5,. Método de egreó Grado e Etadítca y Emprea Tema 4 8/3 Eercco 8 (cotuacó): Ambo coefcete coderado dvdualmete o o gfcatvo, e decr, que tato x (º de automóvle cada habtate) como x (º de teléfoo cada habtate) o parece lcar la varable depedete y (ídce de coumo global) medate u modelo leal. Atecó! Tal vez í podría lcar coutamete la varable y. Dpoemo de muy poca obervacoe (=8 dato). La tuacó podría cambar aumetáramo el tamaño de la muetra. El verdadero modelo podría er o leal.

3 Método de egreó Grado e Etadítca y Emprea Tema 4 9/3. Itervalo de cofaza para la varaza Utlzado que: ~ e cotruye el tervalo de cofaza para al vel (-)%: IC ) x /, x ( / dode x -/ y x / o, repectvamete, lo percetle (- /)% y (/)% de la ley ch-cuadrado co -- grado de lbertad. E muy frecuete cotrur I.C. de ua ola cola, del tpo: IC ( ), x dode x e el percetl % de la ley ch-cuadrado co -- grado de lbertad. Método de egreó Grado e Etadítca y Emprea Tema 4 /3 Eemplo (Eercco 9): allar u I.C. para la varaza del Eercco 4 (coumo de 8 provca epañola), co u vel de cofaza del 95%. La varaza redual e =33.83 ( =5.8), --=5, -=.95, x - / = x.975 =.8, x / = x.5 =.83. El I.C. para la varaza e: 5 5 IC ( ) 33.83, , El I.C. para la devacó típca e: IC ( ) 3.63, 4.7 El I.C. a ua ola cola para la varaza, teedo e cueta que x = x.5 =.5, e: 5 IC ( ), 33.83, Método de egreó Grado e Etadítca y Emprea Tema 4 /3 Método de egreó Grado e Etadítca y Emprea Tema 4 /3 3. Cotrate couto obre lo coefcete (o cotrate de regreó, ANOVA) 3. Decompocó báca y cotrate de regreó Coderemo el modelo: y x... x u,. Queremo cotratar la hpóte :... : tal que Iterpretacó: S fuera certa, el modelo quedaría y u, lo que mplcaría que fuera cuale fuee lo valore de la x, el valor de la varable repueta y ería u valor cotate. Eto gfca que, tomada de forma couta, la varable depedete o tee gua flueca (leal) obre la varable repueta y el tetar lcar el comportameto de la varable repueta a travé de u modelo leal ería u fracao. Ete cotrate e baa e la mma dea ya vta e el Tema obre el Aál de la Varaza (ADEVA o ANOVA) ) Decompocó de la varabldad: ( y y) ( yˆ y) ( y yˆ ) VT dode para =,,, yˆ ˆ ˆ x ˆ... x o lo valore autado o predcho, y o lo valore obervado, e =y -, o lo reduo. Matrcalmete: VT Y'Y y 'X'Y ˆ VE y VNE Y'Y 'X'Y ˆ dode ˆ ( ˆ, ˆ,..., ˆ )', Y ( y, y,..., y)', X e la matrz x(+) de lo regreore. VE VNE

4 Método de egreó Grado e Etadítca y Emprea Tema 4 3/3 Método de egreó Grado e Etadítca y Emprea Tema 4 4/3 ) Etadítco F Se puede probar que la hpóte ula :... e certa, etoce VT ~ y VE ~ Ademá, abemo que VNE ~ Y que VE y VNE o depedete. Por tato, VE VE F VNE ~ F, echazamo la hpóte ula de o gfcacó couta, :..., cuado F F,, dode F,-- e el percetl (-)% de la ley F de Fher co y -- grado de lbertad. ) Tabla ANOVA (o ADEVA) Fuete de varacó Modelo Error Total Suma de Cuadrado (SC) Grado de lbertad (gl) Cocete o varaza (cuadrado medo) VE ˆ 'X' Y y ' ˆ X'Y y e VNE Y' Y 'X'Y ˆ Y'Y ' X' Y -- Y' Y y VT Y' Y y - y cotrate F e Método de egreó Grado e Etadítca y Emprea Tema 4 5/3 Fórmula útle e el cálculo de la tabla ANOVA (o ADEVA) Sea X la matrz de regreore x(+), Y el vector de repueta x. Se calcula la matrz X X y el vector X Y. Se etma el vector de coefcete: ˆ (X' X) X'Y Se obtee el vector Y ˆ Xˆ de valore predcho. Se calcula la uma de cuadrado: VE VNE VT ( y ( y y) ( yˆ y) yˆ ) 'X'Y ˆ y Y'Y 'X'Y ˆ Y'Y y Método de egreó Grado e Etadítca y Emprea Tema 4 6/3 3. Iterpretacó de lo cotrate Dremo que u cotrate de hpóte e gfcatvo cuado e rechaza la hpóte ula co u vel de gfcacó meor que. cao cotrate couto F de Fher cotrate dvduale t de Studet gfcatvo todo gfcatvo gfcatvo alguo gfcatvo 3 gfcatvo guo gfcatvo 4 o gfcatvo todo gfcatvo 5 o gfcatvo alguo gfcatvo 6 o gfcatvo guo gfcatvo. Toda la varable lcatva fluye e la repueta.. Solamete algua varable lcatva fluye e la repueta, por lo que deberíamo elmar la o gfcatva. 3. Multcolealdad: La varable lcatva o muy depedete etre í y, por tato, auque coutamete fluye, lo etmadore de lo efecto dvduale tee varaza muy alta y lo valore del etadítco t ˆ q o pequeño y o gfcatvo. 4. y 5. Multcolealdad epecal: Ocurre cuado do varable fluye mucho obre la repueta, pero e etdo cotraro, de maera que u efecto couto puede er o gfcatvo, auque u efecto dvduale í lo ea. (Cao poco frecuete). 6. Ngua de la varable fluye. Sólo podemo coclur que lo efecto de la varable lcatva o e detecta e la muetra. Por eemplo, ua varable e matee aproxmadamete cotate, u efecto obre la repueta o erá detectable.

5 Método de egreó Grado e Etadítca y Emprea Tema 4 7/3 Método de egreó Grado e Etadítca y Emprea Tema 4 8/3 Eemplo (Eercco ): Co lo dato del Eercco 4 (coumo de 8 provca epañola), realzar el cotrate de regreó para u vel de gfcacó del 5%. : :algú para, Para u vel de gfcacó =.5, la regla de decó erá: rechazar F >F,-- Cotrumo la tabla ANOVA, teedo e cueta que: 74 y 88, 8 ˆ ' X'Y , Y'Y 634, 8, F,-- =F.5,5=5.79 ˆ VE ' X'Y y 8.84, VNE Y'Y ' ˆ X'Y 69.6, VT Y'Y y 88. Eercco (cotuacó): La tabla ANOVA e Fuete S.C. g.l. varaza cotrate VE F=5.6 VNE VT Pueto que F =5.6> F.5,5=5.79, rechazamo la hpóte ula. E decr, el cotrate couto í e gfcatvo. ecordemo que al realzar lo cotrate dvduale (véae la trapareca 7 del Tema 4) obteíamo que, para u vel de gfcacó del 5%, gua de la do varable era gfcatva, dvdualmete. Por tato, etaríamo ate ua tuacó de Multcolealdad (cao 3). Veremo como tratar eto problema e el Tema 5). Método de egreó Grado e Etadítca y Emprea Tema 4 9/3 Método de egreó Grado e Etadítca y Emprea Tema 4 /3 4. Correlacó e regreó múltple. 4.. Coefcete de Determacó Se defe como la proporcó de la varabldad total que queda lcada por el modelo de regreó múltple. ( yˆ y) ˆ VE ' X'Y y VT Y'Y y ( y y) Icoveete: aumeta empre cuado e aumeta el úmero de regreore, auque éto o ea gfcatvo. E decr, empre puede cremetare artfcalmete el valor de añadedo ueva varable. e muy eble a la formulacó del modelo y a la eleccó de la varable repueta. E decr, e poble etmar do modelo formalmete détco y co la mma capacdad predctva pero que coduce a valore dtto de. Pueto que VT=VE+VNE, - e la proporcó de la varabldad total o lcada por el modelo de regreó. Propocó: (Demotracó) y ( De la relacó ateror podemo ver cómo aumeta empre al aumetar : y ) y

6 Método de egreó Grado e Etadítca y Emprea Tema 4 /3 Método de egreó Grado e Etadítca y Emprea Tema 4 /3 Se defe como: Coefcete de Correlacó Múltple y mde el grado de relacó leal etre lo regreore x,,x y la varable repueta y. Propedade: ). Cuado = exte ua relacó fucoal exacta etre la repueta y lo regreore. ) e el coefcete de correlacó leal (de Pearo) etre Y e. 4.. El coefcete de determacó corregdo (aduted ) Para evtar que el efecto que ufre cuado e añade ueva varable, e defe el coefcete de determacó corregdo como: Y'Y 'X'Y ˆ VNE ~ VT y y Y'Y Éte e utlza para comparar la efcaca de dtto modelo de regreó, coderádoe meor modelo aquél co mayor coef. de determacó autado. La guete propocó poe de mafeto la relacó etre el coef. de determacó y el coef. de determacó autado. Propocó: (Demotracó) ~ ( ) Método de egreó Grado e Etadítca y Emprea Tema 4 3/3 Eemplo (Eercco ): Co lo dato del eemplo del coumo de 8 provca epañola, calcular el coefcete de determacó y el coefcete de determacó corregdo. El coefcete de determacó e: VE VT 88 El coefcete de determacó ugere que el 86% de la varabldad de la repueta y queda lcada por el modelo de regreó múltple; queda lcar el - 86=4% de la varabldad de y. Ademá, el grado de relacó leal etre (= x +.397x ) e y e elevado, pueto que =(.8576) / =.96. El coefcete de determacó corregdo e: ~ ( 7 ) (.8576).86 5