INFERENCIA ESTADÍSTICA: ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS. INTERVALOS DE CONFIANZA

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1 . Metodología e Salud Pública INFERENCIA ESTADÍSTICA: ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS. INTERVALOS DE CONFIANZA Autor: Clara Lagua 5.1 INTRODUCCIÓN La estadística iferecial aporta las técicas ecesarias para extraer coclusioes sobre el valor poblacioal de u determiado parámetro a partir de la evaluació de ua muestra. Las coclusioes derivadas de este proceso iferecial siempre estará sujetas a error como cosecuecia de la variabilidad aleatoria uida al propio procedimieto de selecció muestral. Por ello, resulta ecesario dispoer o sólo de ua estimació putual, sio tambié de u itervalo de cofiaza, que facilite u rago de valores verosímiles para el parámetro poblacioal, así como de ua prueba de sigificació estadística, que permita determiar el grado de compatibilidad de los datos muestrales co ua hipótesis predetermiada. Como vimos e el tema 1, el error que se comete al utilizar ua muestra que se extrae a partir de ua població se llama error de muestreo y es u error aleatorio, siempre que la muestra se haya extraído al azar. El error aleatorio es impredecible y o puede ser elimiado, pero sí reducido mediate diseños más eficietes (que proporcioe mayor iformació si ecesitar observar a más sujetos) o aumetado el tamaño de la muestra estudiada. E estadística se estima y se tiee e cueta el error aleatorio al calcular itervalos de cofiaza y al aplicar pruebas de cotrastes de hipótesis. E los temas 5 y 6 vamos a revisar los fudametos y la iterpretació de las técicas estadísticas de iferecia: la estimació putual, el itervalo de cofiaza y el cotraste de hipótesis. 5. CONCEPTOS GENERALES SOBRE ESTIMACIÓN DE PARAMÉTROS Ua estimació cosiste e apostar por u valor para u parámetro poblacioal, habitualmete calculado tambié u rago de valores etre los que puede situarse dicho parámetro poblacioal. Por tato, u itervalo de cofiaza es simplemete u rago de valores e el que cofiamos que se cotega el parámetro poblacioal (Altma, 1991). Simplificado, puede decirse que el aálisis estadístico iferecial coduce a dos clases de resultados: valores p e itervalos de cofiaza. 05. Iferecia estadística: Estimació de parámetros. Itervalos de cofiaza 1-1

2 . Metodología e Salud Pública Todo el proceso de estimació parte de los correspodietes estimadores muestrales. U estimador es ua fució de los valores de ua muestra que se elabora para idagar el valor de u parámetro de la població de la que procede la muestra. El valor de esta característica e la població es lo que deomiamos parámetro. Las estimacioes puede ser de dos tipos: Estimació putual: obtedremos u puto, u valor, como estimació del parámetro descoocido, quedado si especificar cómo de buea es la aproximació. Si a partir de ua muestra se afirma que el 0% de ua població es fumadora se está haciedo ua estimació putual de la proporció de fumadores. Estimació por itervalo: proporcioa u rago de posibles valores, detro del cual estimamos (bajo cierta probabilidad) que estará el parámetro descoocido. Si a partir de ua muestra se afirma que el porcetaje de la població que es fumadora se sitúa etre u 18 y % se está haciedo ua estimació por itervalo de la proporció poblacioal de fumadores. 5.3 ESTIMACIÓN PUNTUAL U estimador putual es simplemete u estadístico muestral (media aritmética, variaza, etc.) que se emplea para estimar parámetros (media poblacioal, variaza poblacioal, etc.). Ua forma atural de estimar muchos parámetros poblacioales cosiste e utilizar el estadístico muestral correspodiete. Así, la media muestral es u estimador putual de la media poblacioal y la proporció de casos de ua efermedad e la muestra es u estimador putual de la probabilidad de teer la efermedad e la població. No obstate, para u determiado parámetro poblacioal, puede cotemplarse distitos estimadores alterativos. Alguos estimadores de la media poblacioal distitos de la media muestral podría ser, por ejemplo, la mediaa, la media del 50% cetral de la muestra o la media de los valores máximo y míimo. Los méritos de u estimador o se juzga por la estimació resultate e ua muestra cocreta, sio por la distribució de todos los posibles valores o estimacioes a que pueda dar lugar; esto es, por las propiedades de su distribució muestral. E geeral, se puede afirmar que u estimador puede ser: Isesgado: cuado el estimador muestral coicide co el poblacioal, si igua desviació sistemática. Es decir, u estimador es isesgado si su valor medio sobre todas las posibles muestras de tamaño coicide co el parámetro poblacioal. La media y la proporció muestral so estimadores isesgados de la media y la proporció poblacioal: E ( x ) = µ y E (p) = π 05. Iferecia estadística: Estimació de parámetros. Itervalos de cofiaza - 1

3 . Metodología e Salud Pública Sesgado: cuado el estimador muestral o se correspode co el poblacioal, debido a u error sistemático. Eficiete: aquel estimador muestral de igual valor a otros, pero que preseta la míima variaza. Iteresa que las distitas estimacioes difiera lo meos posible del parámetro poblacioal; es decir, que la variaza muestral del estimador sea míima. De esta forma, se tedrá ua mayor cofiaza e que la estimació resultate de la muestra fialmete seleccioada esté próxima al parámetro poblacioal. Suficiete: aquel estimador que utiliza toda la iformació coteida e la muestra. U bue estimador es aquel que es isesgado, eficiete y suficiete (Rothma y Greelad, 1998) 5.4 ESTIMACIÓN POR INTERVALO Como hemos cometado ateriormete, las estimacioes putuales obteidas a partir de ua muestra diferirá del parámetro poblacioal y, e cosecuecia, quedará u marge de icertidumbre que se expresa e térmios del error estádar (EE) del estimador. Así, resulta atural querer dispoer de ua medida del parámetro poblacioal que icorpore tato la estimació putual como su error estádar. Esta medida es el itervalo de cofiaza (I.C.), que facilita u rago de valores detro del cual se ecotrará el verdadero valor del parámetro poblacioal co u cierto grado de cofiaza. El error estádar es u cocepto cetral e los itervalos de cofiaza, o tiee aplicació para expresar la variabilidad de los idividuos de ua població, es sólo u idicador de la variabilidad de las medias calculadas e muchas posibles muestras que se tome de ua població, todas ellas de tamaño. El error estádar es a la muestra, lo que la desviació estádar es al idividuo. Por tato, el error estádar de la media mide uestro grado de icertidumbre respecto a la capacidad de la media muestral para estimar la media poblacioal. Por ejemplo, si la desviació estádar de la edad de ua muestra de 100 pacietes es 0 años, el EE de la media valdría 0 100, y esperaríamos que las medias de muestras repetidas de tamaño 100 tuviese ua distribució ormal cuya desviació estádar fuese. Siguiedo co el ejemplo aterior, si lo úico que sabemos es que la media muestral es x = 39 años, uestra úica posibilidad es cofiar es que esta media muestral esté etre ese 95% de medias muestrales situadas e el etoro de + errores estádar de 05. Iferecia estadística: Estimació de parámetros. Itervalos de cofiaza 3-1

4 . Metodología e Salud Pública la verdadera media poblacioal. Es decir, sumádole y restádole errores estádar, tedremos u rago de valores e el que cofiamos (co u 95% de cofiaza) que se ecuetra la verdadera media poblacioal. Si repetimos todo el proceso 100 veces, el 95% de itervalos así calculados cotedrá a la verdadera media poblacioal. Este mismo razoamieto se aplica a otros estimadores muestrales distitos de la media: proporcioes, variaza, diferecias de medias, diferecias de proporcioes... La expresió más geeral para hacer estimacioes calculado itervalos de cofiaza es sumar y restar al estimador muestral z veces el EE del estimador: Parámetro (estimador + z x EE del estimador) dode z es el valor correspodiete de la distribució ormal. A veces, e vez de z, se usa la distribució t de Studet, debido a que o dispoemos de s (la desviació estádar poblacioal) sio sólo de (la desviació estádar muestral). Si el I.C. es al ivel de cofiaza del 95% (e geeral, 1- ), implica que hay u 5% de error (e geeral,) repartido e dos colas, ua a cada lado. Cada cola valdría el.5% ( / = 0.05); e este caso, z valdría Figura 5.1. El itervalo de cofiaza calculado depederá de: Lo estimado e la muestra (porcetaje, media,..) El I.C. está formado por valores ligeramete meores y mayores que la aproximació ofrecida por la muestra. El tamaño muestral. Cuatos más datos haya participado e el cálculo, más pequeño esperamos que sea la diferecia etre el valor estimado y el valor real descoocido. 1 Recordad lo estudiado e el tema 3 sobre la distribució Normal. 05. Iferecia estadística: Estimació de parámetros. Itervalos de cofiaza 4-1

5 . Metodología e Salud Pública La probabilidad, ivel de cofiaza (1-), co la que el método dará ua respuesta correcta. Niveles de cofiaza habituales para los I.C. so el 95% y el 99%. El llamado valor crítico, es aquel puto z tal que P (Z z ) =, dóde Z es ua variable N (0, 1). Gráficamete: Figura 5.. Para los iveles de cofiaza habituales, los valores críticos correspodietes so los siguietes: Itervalo de cofiaza para ua proporció Cuado teemos ua variable dicotómica (o de Beroulli) a meudo iteresa saber e qué proporció de casos, p ocurre el éxito e la realizació de u experimeto. Tambié os puede iteresar comparar la diferecia existete etre las proporcioes e distitas poblacioes. Si queremos estimar el parámetro p, la maera más atural de hacerlo cosiste e defiir la suma de estas, lo que os proporcioa que la distribució del úmero de éxitos es ua distribució Biomial. Recordad que la distribució Biomial podía ser aproximada a la Normal cuado el tamaño de la muestra es grade, y p o es ua catidad muy cercaa a cero o uo : Recordad que q = (1-p) 05. Iferecia estadística: Estimació de parámetros. Itervalos de cofiaza 5-1

6 . Metodología e Salud Pública Tomamos como estimació de p la proporció de éxitos obteidos e las pruebas pˆ. El error estádar para de la proporció (EEP) es: EEP p(1 p) pq Para ecotrar el itervalo de cofiaza a ivel de cofiaza (1-α) para p se cosidera el itervalo que hace que la distribució de Z~N(0, 1) deje la probabilidad α fuera del mismo. Como ya hemos visto, se cosidera el itervalo cuyos extremos so los cuatiles α/ y 1 α/. Así se puede afirmar co ua cofiaza de 1 α que: p pˆ z1 pq ˆ ˆ Co el siguiete ejemplo, etederéis mejor la costrucció del itervalo de cofiaza. Ejemplo 5.1 E ua muestra de 40 sujetos extraída al azar de ua determiada població hay 4 fumadores. Estimar la proporció de fumadores de la població co ua cofiaza del 95%. 4 Solució: Estimació putual: p ˆ 0. 6 (60%) 40 1-α = 0.95 etoces α = 0.05, α/ = 0.05, z α/ = 1.96 pˆ(1 pˆ) Error estádar: I.C. 95% de p: pˆ(1 pˆ) pˆ z / I.C. al 95%: (0.448, 0.75) 05. Iferecia estadística: Estimació de parámetros. Itervalos de cofiaza 6-1

7 . Metodología e Salud Pública Iterpretació: Co ua cofiaza del 95% la proporció de fumadores e la població se sitúa etre y La cofiaza del 95% cosiste e poder afirmar que si repitiésemos la estimació 100 veces, el itervalo que hemos obteido sería uo de los 95 que de hecho cotedría la proporció de idividuos que fuma e la població. Cofiamos e qué esté sea uo de los 95 itervalos de cada 100 que icluye a la proporció poblacioal y o sea uo de los 5 itervalos de cada 100 que o la icluye. Elecció del tamaño muestral para ua proporció: Muchas veces, ua vez fijado el ivel de cofiaza, os marcaremos como objetivo dar el valor del parámetro p co ua cierta precisió. La úica forma de obteer la precisió deseada será modificado de forma adecuada el tamaño de la muestra. Por ejemplo co ua muestra de 100 idividuos se realizó ua estimació cofidecial, co u 95% de cofiaza, del porcetaje de votates a ua cuestió e u referédum, obteiédose u marge de error de 9,3 putos. Si pretedemos reducir el error al 1% y queremos aumetar el ivel de cofiaza hasta el 97% (α = 0,03) hemos de tomar ua muestra de mayor tamaño, N. U valor de N que satisface uestros requerimietos co respecto al error es: N z1 pq ˆ ˆ. error Si e u pricipio o teemos ua idea sobre que valores puede tomar p, debemos cosiderar el peor caso posible, que es e el que se ha de estimar el tamaño muestral cuado p = q = 1/. Ejemplo 5. Se quiere estimar el resultado de u referédum mediate u sodeo, y si teer ua idea sobre el posible resultado del mismo, se desea coocer el tamaño de muestra que se ha de tomar para obteer u itervalo al 97% de cofiaza, co u error del 1%. Como o se tiee ua idea previa del posible resultado del referédum, hay que tomar u tamaño de muestra, N, que se calcula mediate: N 1. 4 z 0,985 0,01 0,5,17 0, Iferecia estadística: Estimació de parámetros. Itervalos de cofiaza 7-1

8 . Metodología e Salud Pública Así para teer u resultado ta fiable, el úmero de persoas a etrevistar deber ser muy elevado, lo que puede volver excesivamete costoso el sodeo Itervalo de cofiaza para la media cuado la població es ormal y coocemos la desviació típica Supogamos que la variable que queremos estudiar sigue ua ley ormal de media µ (descoocida) y desviació típica σ coocida y que dispoemos de ua muestra aleatoria simple de tamaño y del valor de la media de la muestra x. Para estimar μ, el estadístico que mejor os va a ayudar es x, del que coocemos su ley de distribució: Esa ley de distribució depede de μ (descoocida). Lo más coveiete es hacer que la ley de distribució o depeda de igú parámetro descoocido, para ello tipificamos: Este es el modo e que haremos siempre la estimació putual: buscaremos ua relació e la que itervega el parámetro descoocido juto co su estimador y de modo que estos se distribuya segú ua ley de probabilidad que es bie coocida y a ser posible tabulada. Vamos a desarrollar cómo calcular el itervalo de cofiaza: 1. Fijamos el ivel de cofiaza (e forma de porcetaje), que habitualmete escribiremos como (1 ).. Calculamos el error estádar de la media: EEM 3. Calculamos valor crítico, z. 05. Iferecia estadística: Estimació de parámetros. Itervalos de cofiaza 8-1

9 . Metodología e Salud Pública 4. Calculamos el llamado marge de error 3 (tambié llamado precisió de la estimació): z El itervalo de cofiaza para la media al ivel 1-α obteido co la muestra de partida es el siguiete: Figura 5.3. La figura 5.3 os muestra la distribució N(0,1) y el itervalo más pequeño posible cuya probabilidad es 1 Por simetría, los cuartiles z y z 1- sólo difiere e el sigo Ejemplo 5.3 Supoemos que la distribució de las tallas al acer de los iños de ua determiada població sigue ua ley Normal de media 50 cm. y desviació estádar 1.5 cm. Cuál es el itervalo co probabilidad 0.95 de coteer la media de las tallas de 100 iños extraídos al azar de dicha població? Solució: 1-α = 0.95 etoces α = 0.05, α/ = 0.05, z α/ = 1.96 Error estádar: I.C. 95% de x : x z / Por tato, el marge de error es la mitad de la logitud del itervalo de cofiaza. 05. Iferecia estadística: Estimació de parámetros. Itervalos de cofiaza 9-1

10 . Metodología e Salud Pública I.C. al 95%: (49.71, 50.9) cm. Iterpretació: Podemos afirmar co ua cofiaza del 95% que la media de las tallas de 100 iños extraídos al azar se ecuetra detro del itervalo compredido etre y 50.9 cm. Cofiamos e qué esté sea uo de los 95 itervalos de cada 100 que icluye a la media poblacioal y o sea uo de los 5 itervalos de cada 100 que o la icluye Itervalo de cofiaza para la media cuado la població es ormal y descoocemos la desviació típica (caso geeral) E este caso estimaremos la desviació típica utilizado los valores muestrales y trabajaremos co la distribució de la media muestral x, ya que, por u procedimieto parecido a la estadarizació, podemos relacioarla co otra variable que sigue ua distribució t de Studet. La distribució t de Studet es ua aproximació que tiee e cueta el tamaño de la muestra. Cuado el tamaño de la muestra es muy grade t z. Si la muestra es pequeña y sólo se dispoe del valor de la desviació estádar muestral, como sucede e este caso, es imprescidible sustituir el valor de z por otro mayor que sigue la distribució t de Studet. El itervalo de cofiaza al ivel 1 α para la media de ua distribució Normal cuado sus parámetros so descoocidos es: X t 1,1 Sˆ Ejemplo 5.4 Sabemos que el peso de los recié acidos sigue ua distribució Normal. Si e ua muestra aleatoria simple de 100 de ellos se obtiee ua media muestral de 3 kg, y ua desviació típica de 0,5 kg., vamos a calcular u I.C. para la media poblacioal que presete ua cofiaza del 95%. Para calcular μ usamos el estadístico: T X t S 1 ˆ que a diferecia del ejemplo 5.3, o depede de (descoocido) sio de su estimació putual isesgada: 100 Sˆ ( 1) S U I.C. al 95% se calcula teiedo e cueta que T sigue ua distribució t Iferecia estadística: Estimació de parámetros. Itervalos de cofiaza 10-1

11 . Metodología e Salud Pública Dicha distribució preseta u 95 % de probabilidad de ocurrir etre sus cuatiles 4 T -1; 0.05= y T -1; 0.975= 1.98 (so de sigo opuesto por simetría de la distribució t de Studet). Luego co ua cofiaza del 95% teemos que: Sˆ x Es decir, co ua cofiaza del 95% teemos que μ = kg. Iterpretació: Podemos afirmar co ua cofiaza del 95% que la media del peso de 100 recié acidos extraídos al azar se ecuetra detro del itervalo compredido etre,9 y 3,1 Kg. Cofiamos e qué esté sea uo de los 95 itervalos de cada 100 que icluye a la media poblacioal y o sea uo de los 5 itervalos de cada 100 que o la icluye. Figura 5.4 Itervalos de cofiaza para los parámetros de ua població ormal, a partir de ua muestra aleatoria simple de la misma Estimació del tamaño muestral: Ates de realizar u estudio de iferecia estadística sobre ua variable, lo primero es decidir el úmero de elemetos,, a elegir e la muestra aleatoria. Para ello cosideremos que el estudio se basa e ua variable de distribució ormal, y os iteresa obteer para u ivel de sigificació α dado, ua precisió (error) d. 4 Al igual que e la distribució Normal existe valores tabulados para la distribució t de Studet 05. Iferecia estadística: Estimació de parámetros. Itervalos de cofiaza 11-1

12 . Metodología e Salud Pública Si es suficietemete grade, la distribució t de Studet se aproxima a la distribució ormal. Luego ua maera de obteer la precisió buscada cosiste e elegir co el siguiete criterio 5 : z1 / Ŝ d Dode Ŝ es ua estimació putual a priori de la variaza de la muestra. Para obteerla os podemos basar e ua cota superior coocida por uestra experiecia previa, o simplemete, tomado ua muestra piloto que sirve para dar ua idea previa de los parámetros que describe ua població. 5 Ecotraréis u ejemplo e la presetació dispoible e material de apoyo 05. Iferecia estadística: Estimació de parámetros. Itervalos de cofiaza 1-1

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