ESTIMACIÓN DEL RADIO TERRESTRE EN MÉXICO

Transcripción

1 1 ESTIMACIÓN DEL RADIO TERRESTRE EN MÉXICO Eduardo Mendoza, Yarai Tlatelpa,Alejandro García, José Farah, Berenice Rodríguez.. INAOE Marzo 2012

2 2 Estimación del Radio Terrestre en México Objetivo En este proyecto vamos a hacer una estimación del radio terrestre siguiendo el método que usó Eratostenes. La idea es hacer mediciones en distintos lugares de México Introducción En el año 230 a.c. Eratostenes calculó la circunferencia de la Tierra usando datos que se pueden obtener de una manera sencilla. Eratostenes se dió cuenta que en el solsticio de verano en la ciudad de Siena (hoy Assuan) en Egipto, al mediodía la luz del Sol llegaba directamente al fondo de un pozo de agua mientras que en otro sitio un obelisco producía una sombra. El obelisco y su sombra son los catetos de un triángulo que, como veremos más adelante, está relacionado con la distancia entre los dos sitios y el radio de la Tierra. Dicha relación la revisamos con detalle en el siguiente texto tratando de describir como es que se puede hacer una estimación del radio de la Tierra. En los apéndices revisamos algunos conceptos de utilidad para realizar los cálculos y también hacemos una descripción del método para medir el radio terrestre usado por Eratostenes. Agradecemos la colaboración de Dr. Alejandro García, José Farah, Enoc Fuentes, Sandra Luz Andrade, Leonila Larrnaga, Alvárez Méndez Ana Laura, Concepción Díaz Santos y Eder Pedro Méndez Hernández quienes participaron haciendo mediciones en los diversos lugares para la elaboraci on del presente proyecto. Figura 1: Representación de los rayos de luz incidiendo sobre una superficie esférica en la que hay un objeto colocado verticalmente que está sobre una superficie esférica. Debido a que los rayos inciden inclinados respecto a la superfície en el lugar en el que está dicho objeto, éste produce una sombra. En esta figura se indica el tríángulo que forman un rayo de luz que pasa sobre el extremo superior del objeto, el objeto y su sombra. También se representa el tríángulo formado entre el centro de la esfera y dos sitios, en uno de ellos está el objeto que produce sombra el otro sitio es uno en el que los rayos inciden perpendicularmente. Este esquema se puede aplicar para hacer una estimación del radio de la esfera, denotado por R en la figura ya que el ángulo de la parte superior del tri ángulo sobre la esfera es igual al ángulo cuyo vértice está en el centro de la esfera. En el caso de los rayos solares incidiendo sobre la Tierra tendríamos un lugar en el que el Sol está en el cenit durante su culminación. y otro lugar en el que ese mismo día sí se produce sombra también durante la culminación del Sol.

3 0.2. MEDICIÓ N DEL RADIO TERRESTRE POR ERATÓSTENES Medición del radio terrestre por Eratóstenes. En el problema de Eratóstenes al mediodía la luz del Sol llegaba directamente al fondo de un pozo de agua en la antigua Siena. Esto significa que en dicho lugar el Sol estaba en el cenit y por eso no producía sombra. Recordó que un poco más al norte, en Alejandría también durante el solsticio de verano, la situación era diferente ya que un obelisco sí producía sombra al mediodía. Es decir, en Alejandría a la misma hora, el Sol no estaba en el cenit. Eratóstenes, explicó lo anterior en un escenario en el que la Tierra es redonda y el Sol está muy lejos por lo que los rayos solares llegan paralelos entre sí. El obelisco y su sombra son los catetos de un triángulo (Figura 1). Al medir el ángulo del vértice superior de dicho tri ángulo en la Figura 1 encontró que era de 7,5. Eratóstenes sabía que Alejandría se encontraba casi en el mismo meridiano que Siena y conocía la distancia (d) entre estas ciudades (aproximadamente d = 800 km). Con los datos anteriores vamos a calcular el radio terrestre. De la Figura 1 podemos ver claramente que uno de los lados es la distancia entre los dos sitios y que el ángulo α es opuesto a este lado. Para ese caso tenemos que hay una relación entre la fracción de la circunferencia y el ángulo donde C es la circunferencia. Entonces, α = d 360 C (1) Sustituyendo valores resulta que C = d 360 α. (2) C = 800 km 360 7,5 (3) es decir C = 38400,0 km (4) y como la circunferencia se relaciona al radio por C = 2 π R (5) entonces el radio es el cual resulta ser de R = C 2 π (6) R = 6112 km. (7) Este valor del radio terrestre se aproxima mucho al valor que se considera correcto en la ac- tualidad. Una vez que conoces el radio de la Tierra puedes calcular la circunferencia y el área superficial de ésta.

4 Medición del radio cuando el Sol no está en el cenit de ninguno de los lugares de observación Supongamos que conocemos la distancia (d) entre dos lugares. Si en ambos sitios durante la culminación del Sol los objetos producen sombra tenemos un caso como el que se representa en la Figura 2. En ese caso, el ángulo entre las líneas radiales a los dos sitios se calcula de la siguiente manera: Primero tenemos que aclarar que el ángulo en el vértice del objeto vertical en cada uno de los sitios es el ángulo entre el sitio en el que el Sol está en el cenit (en su culminación) y dicho sitio en el que no está en el cenit ( ángulo α 1 ). Esto también es válido para el otro sitio en el que el Sol no está en el cenit (el ángulo es α 2 ). Figura 2: Representación de dos triángulos que se forman a partir de objetos verticales y sus sombras. Cada uno de estos triángulos tiene un tri ángulo semejante del centro de la Tierra hacia dichos lugares y hacia el lugar en el que no se produce sombra, es decir, a un lugar en el que el Sol está en el cenit durante su culminación. Se puede medir el radio terrestre ya que no necesitamos saber la distancia entre los dos sitios con sombra y el sitio en el que el Sol sí está en el cenit durante su culminación. Lo que en realidad necesitamos es la distancia entre los dos sitios con sombra y el ángulo entre las líneas radiales a estos dos sitios. Ese ángulo es igual a la diferencia de los dos ángulos anteriores, es decir usando α calculamos el radio a partir de las Ecuaciones 34 y 35. α = α 2 α 1 (8) Este método se puede aplicar a cualquier par de mediciones de la sombra. Es decir, no se requiere que en alguno de ellos el Sol esté en el cenit durante su culminación Medición del radio con datos de la sombra a distintas longitudes geográficas Para poder medir el radio terrestre se pueden usar mediciones de la sombra en dos sitios que no estén en la misma longitud geográfica.

5 0.2. MEDICIÓ N DEL RADIO TERRESTRE POR ERATÓSTENES. 5 Los sitios que se muestran en la Figura 1 están en la misma longitud geográfica. En realidad las únicas condiciones que se deben cumplir para que las mediciones de las sombras se puedan usar, es que las mediciones se hagan el mismo día y que en cada sitio se hagan durante la culminación Gráficas de ángulos contra distancias Figura 3: Imagen durante la medición de las sombras del mástil en el INAOE, en Tonantzintla, Puebla. Los datos de Eratóstenes los podemos graficar en un sistema de coordenadas, en el eje horizontal vamos a representar la distancia y en el eje vertical el ángulo. En la Figura 4 se representan los valores medidos, por Eratóstenes, se puede ver que a una distancia de 800 km le corresponde un ángulo de 7.5. Otro par de valores graficados es el de una distancia cero, a la cual le corresponde un ángulo cero. Los dos pares de valores, los graficamos como dos puntos en la gráfica. Es muy importante reflexionar sobre el significado del punto que está en el origen de coordenadas (distancia cero y ángulo cero). Es distancia cero por que es el sitio que se tomó como referencia y la distancia a sí mismo es cero. El ángulo es cero porque el Sol estaba en el cenit durante la culminación. Por otro lado, es importante mencionar que los dos puntos los unimos con una línea y esa línea en la gráfica representa algo que ya hemos mencionado, la relación entre el ángulo que se produce por la sombra y la distancia entre el sitio donde no hay sombra y el sitio donde medimos la sombra (Figura 1). Vamos a ver que pasa para valores más grandes de distancia sobre la línea recta. Si tenemos una distancia de 1000 km entonces vemos que a dicha distancia le corresponde un ángulo de 8,5. Aunque no tenemos la medición a dicha distancia pero, con base en la línea recta graficada, podemos tener un valor esperado del ángulo. Por ejemplo, si hubiéramos estado a 300 km hubiéramos medido un ángulo que esperaríamos fuera de 3. La relación entre el ángulo y la distancia está dada por m = (9) 800km-0km

6 6 Figrura 4. Ángulo contra Distancias a partir de los datos de Eratóstenes. que es precisamente lo que en matemáticas se conoce como la pendiente de la línea recta. En el caso de los valores de Eratóstenes resulta ser m = 7.5 = (10) 800km Lo cual representa una fracción del ángulo total dividido sobre una fracción del a circunferencia total, es decir m E = 7.5 = 300 (11) 800km C Donde m E representa la pendiente para los valores encontrados por Eratóstenes Caso en el que se tiene mediciones del a sombra en más de dos lugares Como podemos ver del análisis anterior lo más importante es encontrar el valor de la pendiente. Tomando en cuenta esto, vamos a analizar qué pasaría si tuviéramos datos obtenidos para dos lugares en los que durante la culminación se produceía sombra. Es decir, en ninguno de los dos lugares el Sol estaba en el cenit durante la culminación. Para ese caso tendríamos valores diferentes de cero para las dos distancias y para los dos ángulos como en la Figura 2. En dicha figura se representan valores denotados por α1, y d1 para el primer par de datos que serían el ángulo (α1) medido a la distancia d1 sobre el meridiano del sitio en el que el Sol estuvo en culminación. El segundo par es α2 y d2 que corresponden al ángulo (α2 ) medido a la distancia d2 (medida sobre el meridiano) al lugar en el que el Sol estuvo en el cenit durante la culminación. Ahora la línea recta horizontal (Ecuador) de la Figura 2 no tiene un punto observado en el origen de coordenadas, pero es evidente que es cero en distancia y cero en ángulo. En este caso esperamos que la pendiente tenga un valor similar al encontrado anteriormente. Ahora, vamos a medir la distancia al trópico de Cáncer. En la Figura 21 tenemos dos puntos con dichos valores. Ahora podemos ver que la recta no pasa por el origen. Esto se

7 0.2. MEDICIÓ N DEL RADIO TERRESTRE POR ERATÓSTENES. 7 debe a que tomamos como referencia el trópico de Cáncer y el día de las mediciones el Sol no estaba en el cénit en dicho trópico. Sin embargo, la pendiente de la recta sigue teniendo un valor similar al anterior. Esto significa que podemos usar cualquier referencia siempre y cuando todas las distancias las midamos con respecto a la misma referencia. Esto se puede ver también de la Figura 21 en la que tenemos esquematizadas las sombras en dos lugares y las distancias al Trópico de Cáncer. Se puede ver que el ángulo α1 que se forma entre el sitio donde el Sol está en el cenit y el sitio 1. La distancia entre el sitio en el cenit y el sitio 1, está recorrida una distancia d con respecto a la distancia al trópico de Cáncer. La distancia entre el punto 2 y el sitio donde está en el cenit también está recorrida una distancia d. Entonces, la recta con distancias medidas respecto al trópico de Cáncer está recorrida hacia arriba pero la pendiente es la misma. Lo importante son las diferencias de distancias y las diferencias de ángulos La pendiente de la gráfica de ángulos contra distancias En el proyecto se han involucrado equipos de diferentes lugares de la República Mexicana. En el año 2010 participaron 32 equipos, en el 2011 fueron 15 y en marzo del 2012 colaboraron 4.En cada sitio se hicieron mediciones de la sombra de un mástil alrededor de la hora de culminación en cada uno de ellos. En algunos lugares se pudieron hacer pocas mediciones antes o después de la culminación. El método para determinar el tiempo de la culminación se explica en el Apéndice E. De las mediciones hechas, seleccionamos siete que se tomaron cada 10 ó 15 minutos (Figura 3). En esta Figura se tiene representado el tiempo en el eje x y la longitud de la sombra en el eje y. Se puede ver que la sombra va disminuyendo hasta llegar a un valor mínimo y después nuevamente aumenta. Se puede ver que la longitud de la sombra varía trazando una curva. La longitud de la sombra es mínima durante la culminación. entonces, con base en los valores graficados y haciendo el ajuste de una curva los puntos de la gráfica, obtuvimos la longitud para los siete lugares en los que se tomaron datos con buena regularidad Equivalencia entre el método de Eratóstenes y el método de medición en varios lugares con diferentes longitudes En el caso del método de Eratostenes se conocía la distancia entre dos lugares (Siena y Alejandría) y dicha distancia se pudo usar directamente con el ángulo de la sombra en dichos sitios por que ambos sitios están en el mismo meridiano (ver Apéndice A). En el caso de las mediciones en México tenemos sitios que están en diferentes meridianos geográficos. Entonces, para tener la distancia entre dos sitios, como si estuvieran en el mismo meridiano, es suficiente con medir la distancia entre los paralelos de dichos sitios. Una forma alternativa es medir la distancia desde cada lugar hasta un paralelo terrestre de referencia (ver Apéndice A). En nuestro caso usando un mapa medimos la distancia desde cada sitio hasta el Ecuador a lo largo del meridiano de dicho lugar (ver Figura 8). Para sitios al Norte la distancia la consideramos positiva y negativa para sitios al Sur. La distancia entre los paralelos de los dos sitios es la diferencia de las distancias de dichos sitios al Ecuador.

8 8 Graficamos la longitud de la sombra que se midió en cada sitio contra la distancia al Ecuador de dicho sitio. Los puntos de la gráfica resultante se pueden ajustar a una línea recta. La pendiente de dicha recta expresa que tan grande es la distancia entre dos sitios con respecto a la diferencia entres los ángulos medidos en ellos. Entre mayor es la distancia mayor es la diferencia entre los ángulos. Si tomáramos la distancia recorrida dando la vuelta a la Tierra a lo largo de un meridiano y llegando a un mismo lugar tendríamos un ángulo de 360 dividido entre la circunferencia de la Tierra. Ese cociente es precisamente la pendiente de la recta que determina el radio terrestre ya que se ajusta a nuestros datos. y como m = 360 C (12) C = 2πR (13) con R el radio de la Tierra, entonces tomando el valor de la pendiente tenemos que el radio es 360 R = (14) 2πm A manera de ejemplo de la equivalencia de este método con el de Eratóstenes tomamos la distancia entre los dos puntos en los que midió Eratóstenes (715 km), en lugar de C. ahora vemos, de acuerdo a la pendiente que ángulo corresponde y vemos que corresponde al valor medido por Eratostenes. En la semana del 19 al 22 de Marzo del 2012, se realizaron mediciones de la sombra durante la culminación del Sol en cada sitio. De esta manera, se obtienen las rectas de tendencia de la Figura 5.b A partir de estas, se determina la longitud de la sombra para el día 21 de Marzo. Una vez que se conoce el dato anterior y la altura del asta, se calcula el ángulo α al aplicar la propiedad trigonométrica tan α =Cateto opuesto/cateto adyacente (tal como se observa en la Figura 7). Por último, a dicho ángulo se le suma la declinación del Sol a su paso por el meridiano (Véase Apéndice G), obteniendo un resultado experimental muy aproximado al ángulo esperado. En la Figura 5.c representamos los ángulos medidos en los diferentes sitios de México contra las distancias al Ecuador. Es decir, hay concordancia (ó correspondencia) entre el método usado por Eratóstenes en el que uso dos sitios en el mismo meridiano y midió la distancia entre ellos y la sombra en cada sitio y el método en el que se usan sitios que están en diferentes longitudes geográficas. Lugar de Medición Distancia Sombra Altura del asta Declinación del Sol a su paso por el meridiano Ángulo Esperado km cm cm Ángulo Experimental Tepeaca,Puebla Tepeaca. Puebla La Paz, Baja California Tonantzintla, Puebla Tabla 1:Datos del día 21 de Marzo del La columna llamada Sombra se obtuvo de las rectas de de tendencia de la Figura 5.b.

9 0.3. EQUIVALENCIA ENTRE EL MÉTODO DE ERATÓSTENES Y EL MÉTODO DE MEDICIÓN EN VARIOS LUGARES CON DIFERENTES LONGITUDES Valor de la pendiente y radio terrestre El valor de la pendiente es m= entonces despejando RT ierra, tenemos que Figura 5.a: Las gráficas muestran en el eje y la longitud, en centímetros, de la sombra de un objeto. En el eje x se muestra el tiempo, en horas. Este último, antes y después del mediodía. En cada gráfica se ve que la sombra tiene un valor mínimo, dicho mínimo ocurre en el momento de la culminación del Sol en el sitio de observación. Figura 5.b: Las gráficas muestran en el eje y la longitud de la sombra mínima en centímetros. En el eje x se muestra el día de medición. A partir de estos datos, se traza una recta de tendencia. Figura 5.c : La gráfica muestra en el eje y el grado en ángulos. En el eje x se muestra la distancia del lugar de medición al Ecuador.

10 R T ierra = 2πm (15) Por lo tanto R T ierra = km. (16) 0.4. EJERCICIOS Diferencia de latitudes Distancias Norte-Sur Las ciudades de Mc Allen, Texas (Estados Unidos) y Puebla (México) están aproximadamente en longitudes geográficas de 98. Se sabe que la circunferencia de la Tierra es de aproximadamente km. Para este ejercicio, se hará una estimación utilizando dicho valor. Si Mc Allen está a una latitud de 26 y Puebla a una latitud de 19 Cual es la distancia entre estas ciudades? Respuesta La diferencia de latitudes es una fracción del ángulo total que cubre la circunferencia. Este último ángulo es de 360, entonces dicha fracción es l 360 (17) Por otro lado, la distancia entre las ciudades (a la que denotaremos por d) es una fracción de la circunferencia de la Tierra. Esta fracción es d km (18) km Como estas fracciones se encontraron a partir de los mismos puntos sobre una circunferencia de la Tierra y corresponden a la misma parte de un todo (en un caso es una fracción de toda una vuelta ó 360 y en otro de toda la circunferencia), entonces las fracciones son iguales. Es decir dkm km de esta ecuación despejamos d que resulta ser l = 360 (19) l d = (40000 km) 360 (20) Ahora, calculamos la diferencia de latitudes que es l = 7 (21)

11 0.4. EJERCICIOS 11 Figura 7: Se ilustran los datos enviados por el Equipo Kepler hechos en Tecamachalco, Estado de Puebla. Entonces la distancia entre Puebla y Mc Allen es que es d = (40000 km) 7 (22) 360 d = 778 km. (23) Lugares en diferentes latitudes La ciudad de Quito, Ecuador está a una latitud aproximada de 0, si la culminación del Sol en San Andros, Bahamas, ocurre a la misma hora que en Quito, a) Cuál es la diferencia en las longitudes geográficas de estas ciudades? b) Cuál es la latitud geográfica de San Andros si en esta ciudad el Sol se ve a una altura de 65 en el momento en que en Quito el Sol está en el cenit? Nota: En realidad la latitud de Quito es diferente de cero pero tomando en cuenta que las distancias entre las Quito y San Andros es grande usamos cero para simplificar el problema y hacer más fácil el entendimiento de la relación entre distancia y diferencia de latitudes. Respuesta a) Como en ambas ciudades el Sol culmina a la misma hora entonces la diferencia de tiempos es t = 0 y la diferencia de longitudes geográficas es

12 12 Figura 8: El mapa muestra los Estados de la República en donde se hicieron las siete mediciones seleccionadas del día 21 de Marzo y sus distancias mínimas a la línea de referencia que es el Ecuador. Mientras que la imagen que se encuentra en la esquina superior derecha indica los ángulos medidos en los diferentes sitios de México contra las distancias al Ecuador. lo cual significa que la diferencia es l = t 15 (24) l = 0 (25) b) La declinación aproximada del Sol es cero grados (δ = 0) cuando está en el cenit de Quito. Entonces, la altura (a) a la que se ve el Sol durante su culminación en San Andros, y la latitud de San Andros (φ) suman 90. a + φ = 90 (26) entonces, la latitud de San Andros es φ = 90 a (27) sustituyendo el valor de a resulta que φ = = 25 (28) que es un valor aproximado de la latitud de San Andros.

13 0.4. EJERCICIOS Diferencia de longitudes geográficas La ciudad de Ensenada, Baja California, está a una longitud geográfica aproximada de 116 Oeste mientras la ciudad de Puebla, Puebla, está en una longitud aproximada de 98 Oeste. a) En cuál de estas dos ciudades culmina primero la estrella Sirio? b) Qué diferencia de tiempo hay entre las dos culminaciones? Respuesta a) Como la Tierra gira de Oeste a Este las estrellas aparentemente se mueven de Este a Oeste. Debido a esto, una estrella culmina primero en el sitio que está más al Este. En el caso de las dos ciudades arriba mencionadas, Puebla está más al Este, entonces la estrella Sirio culmina antes en esta ciudad que en Ensenada. b) Para saber la diferencia en los tiempos de culminación, vamos a calcular primero la diferencia en longitudes geográficas, a la cual denotaremos por l y es sustituyendo valores resulta que l = l E l P = = 18 (29) t = hora (30) lo cual conduce a t = 1,2 horas. (31) 0.5. Proyectos a futuro En un futuro vamos a hacer mediciones en otras fechas. En particular planeamos llevar a cabo mediciones los días 28 y 29 de Mayo porque en dichas fechas el Sol está en el cenit de Teotihuacán. Para las culturas mesoamericanas esas fechas eran muy importantes. Algunas pirámides están alineadas que las de Teotihuacán y en algunas ciudades antiguas se usaba como referencia el lugar en el que el Sol se ocultaba el mismo día en el que estaba en el cenit de Teotihuacán.

14 APÉNDICE A: Conceptos básicos de utilidad Figura 10. En esta figura se muestran esquemáticamente algunas líıneas imaginarias sobre la superficie de la Tierra. La líınea gruesa denota al Ecuador, el cual divide a la superficie de la Tierra en dos partes iguales. Con líneas punteadas se representan tres paralelos geográficos diferentes. Se puede trazar cualquier otro paralelo con sólo cumplir que sea una línea sobre la superficie en un plano paralelo al ecuador. Los meridianos se representan por las líneas a trazos que van de un polo al otro. El cielo no se ve igual desde cualquier lugar sobre la superficie de la Tierra. Estando en un sitio vemos unas estrellas mientras que en otro lugar podemos ver estrellas que no se ven desde el primer sitio. Para entender las diferencias observables en distintas ubicaciones sobre la Tierra es importante conocer los conceptos de coordenadas terrestres, que veremos a continuación. Eje polar: es un eje imaginario alrededor del cual gira la Tierra en su movimiento de rotación. El eje polar pasa por los polos de la Tierra. Ecuador terrestre: es la circunferencia imaginaria sobre la superficie de la Tierra que divide a dicha superficie en dos partes iguales y que es perpendicular al eje de rotación de la Tierra (Figura 10). Plano Ecuatorial: es un plano imaginario sobre el cual está el ecuador terrestre. Paralelo: es una circunferencia imaginaria sobre la superficie de la Tierra que va en dirección Este-Oeste y es paralela al Ecuador terrestre (líneas punteadas en la Figura 10). Meridiano de un lugar dado: es la semicircunferencia que va de un polo de la Tierra al otro polo pasando sobre dicho lugar (líneas a trazos en la Figura 10). Los meridianos los podemos imaginar como las divisiones entre los gajos de una naranja. Meridiano de Greenwich: es el meridiano que pasa por el observatorio de Greenwich en Inglaterra. A partir de el se mide la longitud terrestre, es decir, la longitud del meridiano de Greenwich es de cero grados (0 ). En la Figura 11 se ilustra el meridano que pasa por la ciudad de Puebla, México.

15 0.5. APÉNDICE A: Conceptos básicos de utilidad 15 Figura 11. En esta figura se muestra esquemáticamente cómo se miden la longitud terrestre y la latitud geográfica usando el ejemplo de la ciudad de Puebla, México. Ambos parámetros son ángulos que se representan como arcos sobre la superficie terrestre. Se miden como si tuvieramos líneas rectas desde el centro de la Tierra hasta dos puntos de intersección del Ecuador con dos meridiano; el meridiano de Greenwich (que se toma como referencia) y el meridiano de Puebla. El arco sobre el Ecuador terrestre denota la longitud de la ciudad de Puebla. El arco que sale del Ecuador y se dibuja sobre el meridiano denota la latitud de Puebla. Longitud geográfica de un lugar dado: es el ángulo medido en el plano del Ecuador, entre el meridiano de dicho lugar y el meridiano de Greenwich. La longitud se mide hacia el Oeste del meridiano de Greenwich para sitios que estén a longitudes de menos de 180 (Figura 10) y al Este para sitios que estén a valores menores de 180 hacia el Este. Sin embargo, para hacer comparaciones entre sitios es conveniente usar los valores de la longitud geográfica referida a una de las direcciones ya sea Oeste ó Este. En la Figura 11 se ilustra con un arco de circunferencia la longitud geográfica para la ciudad de Puebla. Se acostumbra denotar la longitud geográfica con la letra l. Latitud geográfica de un lugar dado: es el ángulo medido a lo largo del meridiano de dicho lugar entre el plano del Ecuador y el lugar dado (Figura 1). Se acostumbra denotar la latitud geográfica con la letra φ. Culminación de una estrella en un lugar dado: es el momento en que dicha estrella pasa por el meridiano de dicho lugar. Una estrella alcanza su mayor altura durante su culminación. Es importante hacer notar que la culminación de una estrella depende de la longitud geográfica del lugar. Una estrella puede culminar al mismo tiempo en dos lugares distintos si estos tienen la misma longitud geográfica. La culminación del Sol determina el mediodía de un lugar dado. Cenit: es el punto de la esfera celeste que está sobre el observador. Una persona en París, Francia tiene un cenit que es distinto al cenit de una persona en Río de Janeiro, Brasil.

16 16 Nadir: es el punto de la esfera celeste que está por debajo del observador (este concepto es importante aunque sea un punto que no vemos) APÉNDICE B: Hora Universal (HU) Para comparar diferencias de tiempo entre diferentes lugares es conveniente usar la Hora Universal (HU), que es la hora del meridiano de Greenwich. La hora de un lugar dado se puede dar en HU y entonces se puede comparar con la hora de otro lugar que también esté dada en HU. La hora para el tiempo del Centro de México la denotamos por t(cmx). En verano la HU de la zona centro de México está dada por t(h U ) = t(c M x) + 5 (32) Esto significa que cuando en la zona Centro de México son las 4 P.M. en Greenwich son las 9 P.M. La hora para el tiempo del Pacífico de México la denotamos por t(pmx). En verano está hora tiene una diferencia de 7 horas con respecto a la hora de Greenwich, t(h U ) = t(p M x) + 7 (33) Así que, para saber la HU de la culminación que mediste sólo tienes que saber si en tu localidad se usa la hora del Pacífico o la hora del Centro APÉNDICE C : Diferencia entre radio polar y radio ecuatorial Medición del Radio Polar Se puede calcular el Radio Polar aún cuando se hagan mediciones de la sombra en lugares en los que el Sol no está en el cenit. En la Figura 2 se representan con líneas horizontales rayos de luz paralelos incidiendo sobre diferentes lugares de una superficie esférica. En ese caso podemos relacionar la circunferencia en direccion Norte-Sur (C N S ) con los 360 en dicha dirección. C N S d N S = 360 α (34) donde d N S es la distancia Norte-Sur y α es el ángulo que se forma en el centro de la Tierra entre los radios hacia los dos lugares. Una vez que conocemos la circunferencia podemos calcular R N S que es el radio en direccion Norte-Sur a partir de C N S = 2 π R N S (35) que lo sustituimos en la Ecuacion 34 y despejando R N S resulta que d N S 360 R N S = (36) 2 π α

17 0.7. APÉNDICE C: Diferencia entre radio polar y radio ecuatorial 17 Si en ambos sitios durante la culminación del Sol los objetos producen sombra tenemos una situacion como la que se representa en la Figura 2. En ese caso, el ángulo entre las líneas radiales a los dos sitios se calcula de la siguiente manera: Primero tenemos que aclarar que el ángulo en el vértice del objeto vertical en cada uno de los sitios es el ángulo entre el sitio en el que el Sol está en el cenit (en su culminación) y dicho sitio en el que no está en el cenit (ángulo α 1 ). Esto también es válido para el otro sitio en el que el Sol no está en el cenit (el ángulo es α 2 ). Ese ángulo es igual a la diferencia de los dos ángulos anteriores, es decir α = α 2 α 1 (37) usando α calculamos el Radio Polar a partir de las Ecuación 36. Este método se puede aplicar a cualquier par de mediciones de la sombra. Es decir, no se requiere que en alguno de los lugares el Sol esté en el cenit durante su culminación. Como se ve de la Ecuacion 36 si ya conocemos el ángulo α solo falta conocer la distancia en direccion Norte-Sur entre los dos lugares y podremos estimar el radio terrestre precisamente en direccion Norte-Sur o bien Radio Polar Medición del Radio Ecuatorial Para poder medir el radio terrestre en dirección Este-Oeste se pueden usar mediciones de los tiempos de culminación en dos longitudes geográficas. Lo primero que se tiene que hacer es calcular el ángulo en dirección Este-Oeste entre los dos lugares. Para eso es importante saber como calcular un ángulo entre dos sitios a diferentes longitudes como se describe en el párrafo También es importante conocer el concepto de hora universal (ver Apéndice B) Cálculo del ángulo en dirección Este-Oeste entre dos sitios a partir de las culminaciones Si tenemos dos lugares para los que los tiempos de culminación son distintos y tienen los valores t 1 y t 2 entonces la diferencia es t = t 2 t 1. (38) Por otro lado, sabemos que la Tierra da un giro sobre su eje en 24 horas, es decir, gira un ángulo de 360 en ese tiempo. Entonces en una hora gira un ángulo de 15, con lo cual podemos escribir la equivalencia entre una hora y el ángulo que gira en ese tiempo como entonces el ángulo que gira la Tierra en el intervalo de tiempo t es 1h = 15 (39)

18 18 β = 15 t. (40) Así, que si queremos calcular la diferencia de ángulos en dirección Este-Oeste entre dos lugares dados es suficiente saber los tiempos de culminación del Sol en cada uno de ellos Uso del ángulo β para calcular el Radio Ecuatorial Al igual que se hizo en la Sección podemos relacionar la circunferencia sobre el Ecuador (C EW ), es decir, en dirección Este-Oeste con la distancia Este-Oeste (d EW ) y el ángulo β C EW d EW = 360 β (41) R EW = d EW 360. (42) 2 π β Como se ve de la Ecuación 42, si ya conocemos el ángulo β solo falta conocer la distancia en dirección Este-Oeste entre los dos lugares para calcular el radio terrestre en dirección Este-Oeste o Radio Ecuatorial (R EW ) APÉNDICE D: Sombra y culminación del Sol Debido a que la luz del Sol es muy intensa, las sombras son claras cuando el cielo está despejado. Durante el día la sombra de un objeto estático cambia de tamaño. También la orientación cambia, por ejemplo al amanecer el Sol está en el Este y por lo tanto la sombra de un objeto está en su lado Oeste. Si el Sol está en el Sur del sitio entonces su sombra apuntará hacia el Norte. De la experiencia diaria sabemos que la sombra es más larga al amanecer o al atardecer y es más corta al medio día incluso, hay días particulares en los que al medio día en algún sitio los objetos casi no proyectan sombra. En la Figura 1, se observa que en un determinado lugar el Sol está en el cenit durante la culminación. En sitios cercanos a este sitio la sombra es pequeña. A medida que nos alejemos de este sitio la longitud de la sombra será mas grande. El haz de luz que pasa junto al extremo del objeto, el objeto y su sombra forman un tri ángulo (Figura 7) que está relacionado con el radio de la Tierra y la distancia entre el sitio donde se mide la sombra y el sitio donde el Sol está en culminación. El Sol aparece en el cenit durante su culminacion en sitios con latitudes entre 23,5 y 23,5. A latitudes menores a ó mayores a 23.5 el Sol no llega a estar en el cenit en ninguna época del año. Debido a eso, en dichos lugares, un objeto vertical producirá sombra durante todo el año (aunque la longitud varía a lo largo del año). Por lo anterior, resulta que la sombra de un objeto nos puede servir para trazar una línea en la dirección del meridiano de un lugar y también para identificar la hora de la culminación del Sol en un sitio dado.

19 0.10. APÉNDICE E: MEDICIONES EN EL LUGAR DE OBSERVACIÓN APÉNDICE E: Mediciones en el lugar de observación Instalación del mástil, tripié ó asta Para trazar una línea que indique la dirección del meridiano se plantea realizar un experimento para el cual se requiere de un mástil, un tripié ó un asta. 1. Tubo, palo ó tripié 2. Una plomada ó en su lugar un hilo con una tuerca 3. Gises ó crayolas (si es posible que sean lavables) 4. Flexómetro ó cinta métrica 5. Nivel de burbuja El mástil se tiene que instalar sobre una superficie plana y debe tener una base para mantenerse fijo mientras se hacen las mediciones. Sugerimos que en la parte alta del mástil ó tripié coloques un objeto delgado ó un objeto con punta. Para identificar la superficie adecuada puedes usar el nivel de burbuja y elegir la zona mejor nivelada. Para poner el mástil ó el tripié usa la plomada de tal manera que quede verticalmente y que la línea que va de la base hasta la punta del mástil esté a plomada. En nuestro caso, el objeto es un tubo sobre un tripié y usamos un papel bond para trazar las líneas de la sombra ya que teníamos una superficie adecuada para pintar con plumón. También usa el nivel para que la superficie sobre la que vas a medir la longitud de la sombra este horizontal Determinación de la hora de la culminación del Sol (paso del Sol por el meridiano del lugar) La hora en la que el Sol pasa por el meridiano de un lugar dado se determina con base en la longitud de la sombra que produce el mástil. Sugerimos hacer una tabla de datos en la que escribas en una columna la hora en la que se hace la medición y en otra columna la medición de la longitud de la sombra para cada tiempo. En la Figura 5.a tenemos la gráfica de la longitud de la sombra contra el tiempo para datos tomados en Tonantzintla, Puebla. Podemos ver que a las 12 : 00 AM la sombra era grande y fue disminuyendo hasta tener un valor mínimo alrededor de las 12:42 horas (12 : 42 P M ). Después de esa hora, la sombra fue creciendo. Dibujamos una curva suave (línea a trazos) sobre los datos observados y encontramos que el mínimo valor ocurrió a las 12 : 40 horas. Ese fue el momento en el que el Sol pasó ese día sobre el meridiano del lugar en el que hicimos estas mediciones (Tonantzintla, Puebla). Si se cuenta con los programas para hacer ajustes, entonces es conveniente hacer el ajuste de un polinomio, y en la gráfica identificar los datos observados. Con base en dicho ajuste se puede encontrar el valor mínimo así como el tiempo en el que ocurrió éste.

20 Trazo de una línea en la dirección del meridiano de un lugar Vamos a trazar una línea en la dirección del meridiano de un lugar, es decir, una línea en direccion Norte-Sur. Para esto, es necesario dibujar una línea a lo largo de la sombra y una cruz en cada uno de los extremos de la sombra, en cada una de las líneas anotamos la hora en que se midió como se muestra en la Figura 3. Una vez que tenemos las líneas y las cruces, trazamos una línea que pase sobre los extemos de las sombras, esta línea está orientada en dirección Este-Oeste (EW). Sugerimos anotar Este y Oeste en cada extremo de la línea. Ahora, quitamos el mástil y en esa posicion colocamos un extremo de una cuerda. En el otro extremo de la cuerda colocamos un gis. Vamos a elegir una longitud de la cuerda de tal manera que al trazar un arco de círculo cruce la línea EW en dos puntos, uno en el lado Este y otro en el lado Oeste. Con el gis trazamos el arco de círculo estando seguros que lo cruza en dos puntos. Si lo cruzara sólo en un punto entonces hacemos un poco más corta la distancia a la que ponemos el gis. Ahora, ya tenemos un arco de círculo que cruza la línea EW en dos puntos. Medimos la distancia entre esos dos puntos y trazamos una cruz en la mitad. De este punto trazamos una recta hasta el punto en el que estaba el mástil. Esa línea está orientada en la dirección del meridiano del lugar (Figura 12). Es conveniente escribir Norte y Sur en los extremos de esta línea. Si el lugar de las mediciones está en el hemisferio Norte entonces la base del mástil está en el Sur respecto de las sombras. Si las mediciones se hicieron en el hemisferio Sur entonces la base del mástil está en el Norte. Figura 11: Trazo de un arco de circunferencia con centro en la base del poste. La longitud del hilo para trazar el arco la elige el observador de tal manera que cruce a la línea Este-Oeste en dos puntos. Se mide la distancia entre esos dos puntos y a la mitad de dicha distancia se traza una cruz. De dicha cruz a la base del mástil se traza otra línea. La línea que va de la mitad de la línea Este-Oeste y la base del mástil está alineada en dirección Norte-Sur como se indica en esta figura.

21 0.10. APÉNDICE E: MEDICIONES EN EL LUGAR DE OBSERVACIÓN Sombras de objetos a diferentes latitudes Vamos a analizar la situacion en la que el Sol está iluminando dos lugares distintos en la Tierra. Si esos lugares están a diferentes latitudes geográficas y en un mismo meridiano, entonces tenemos una situación como la representada en la Figura 2. Vamos a analizar el caso particular en el que en uno de los lugares no se produce sombra durante su culminación porque el Sol está en su cenit. Sin embargo, en el otro lugar sí se produce sombra. La longitud de la sombra depende de la ubicación de dicho lugar sobre la Tierra y también depende del radio de la Tierra. Si el sitio está cerca del lugar en el que el Sol está en el cenit entonces la sombra es pequeña. A medida que nos alejamos de dicho lugar la longitud de la sombra aumenta. Esto, lo notó Eratostenes y midiendo la distancia entre los dos lugares pudo medir el radio terrestre. Sin embargo, como veremos más adelante no es necesario que el Sol esté en el cenit de alguno de los lugares, es decir, se puede medir el radio terrestre con base en las mediciones en dos lugares donde sí se produce sombra durante la culminación, como ya se ha mencionado en lineas anteriores Medición de la sombra durante la culminación Para estimar la sombra mínima y el tiempo de culminación podemos ajustar un polinomio a los datos observados. Usando los coeficientes del polinomio puedes calcular el valor mínimo, ese es el valor de la sombra durante la culminación. La culminación es el tiempo en el que se tiene el mínimo el cual también lo puedes calcular con los coeficientes y con los valores del vector de tiempos. En la Figura 5.a se muestran los datos observados y también la curva de un polinomio que se ajustó a los valores observados. La hora de la culminación se puede estimar como se explicó en la sección Sin embargo, tenemos que hacer notar dos puntos importantes: 1.- Ese método no es la única forma de hacerlo 2.- No es necesario hacer una medición precisamente durante la culminación. Para ejemplificar los dos puntos anteriores vamos a ver una forma en la que se puede medir la longitud de la sombra durante la culminación sin haber hecho medidas a esa hora. Lo que requieres es haber trazado la línea Este-Oeste. Con base en dicha línea puedes medir la longitud que tendría la sombra aún cuando no hagas mediciones en el preciso momento de la culminacion, una manera es como se explica a continuación. Primero tienes que identificar el punto medio de la línea Este-Oeste. Recuerda que dibujaste un arco y trazaste cruces en los puntos de intersección del arco y la línea Este-Oeste. A la mitad de esas cruces está el punto medio de la línea Este-Oeste. Lo único que tienes que hacer es medir la distancia entre el punto medio de la línea Este-Oeste y el punto en el que está la base del tubo. Esa es la longitud mínima que tendría la sombra. Distancia en kilometros que equivale a 1 Calcula a cuántos kilómetros equivale 1 en coordenadas geográficas.

22 22 Respuesta El sistema de coordenadas de una esféra es el de coordenadas angulares, latitud y longitud,éstas son las coordenadas geográficas. Recordemos que la latitud es la distancia angular (ω) entre el paralelo de un lugar y el Ecuador, y se mide de 0 a 90 grados hacia el Norte o hacia el Sur. Así mismo que la longitud es la distancia angular entre el meridiano de un lugar y el de Greenwich, éste se mide de 0 a 180 grados hacia el Este o hacia el Oeste del meridiano de Greenwich. Para hallar los kilómetros a los que equivale 1 de paralelo, supusimos que la Tierra es una esfera, entonces el radio promedio terrestre es igual kilómetros, así la circunferencia terrestre promedio será igual a kilómetros. Si, dividimos a dicha circunferencia entre los 360 tenemos que 1 = 111,13 K m. (43) Considerando que el dato debe estar dado en términos de coordenadas geográficas y que es un grado de paralelo con distancia que se mide de 0 a 90 grados Norte o Sur, llegamos a 1 = 111,13 cos(ω). (44) Note que se puede verificar un grado en kilómetros, cuando 0 ω 90. Concluimos que en el caso de 1 de meridiano la equivalencia es siempre kilómetros, ya que la distancia angular se mide de 0 a 180 grados APÉNDICE F: Distancia geográfica entre dos puntos de la Tierra Figura 12. En esta Figura se observa que Tierra es, aproximadamente una esfera podemos aplicar los conceptos de la trigonometría esférica para calcular la distancia entre dos puntos. Cada punto M de la Tierra está localizado por sus coordenadas geográficas: longitud y latitud Se denomina longitud del punto M la graduación del arco AB (medido sobre el Ecuador, siendo G el meridiano de Greenwich o meridiano origen). Se determina la posición indicando si está al Este (+) o al Oeste (-).

23 0.12. APÉNDICE H: RESULTADOS Y ANÁLISIS DE DATOS DE AÑOS ANTERIORES 23 El arco BM determina la latitud del punto M. Se determina la posición si está al Norte (+) o al Sur (-) del Ecuador. Ejemplo 1 Calcular la distancia geográfica entre dos puntos A y B (véase Figura 13) cuyas coordenadas geográficas son A(logn; latd) = A(55º E; 55º N) B(long; latd) = B(48º 50 2 E; 20º N). Figura 13. Distancia geográfica entre dos puntos A y B Si consideramos el triángulo esférico PBA, tendremos: a = PB = 90º - 48º 50 2 = 41º 9 58 b = PA = 90º - 55º = 34º P = 55º º = 35º Aplicando el teorema del coseno de la trigonometría esférica (fórmulas de Bessell) resulta cos(p) = cos(a) cos(b) + sen(a)sen(b)cos(p) (45) y para el caso que nos ocupa cos(p) = 0,925 de donde p = 22,386º = 22º Mediante una proporción (a 360º corresponden los km de longitud de un cículo máximo) resulta que ambos puntos están separados por 2487,333 km. Ejemplo 2 Las coordenadas geográficas de Sevilla y Buenos Aires son S(long;latd) = (5º (-); 37º (+)) (Sevilla) B(long;latd) = (58º 22 (-); 34º 36 (-)) (Buenos Aires)

24 24 En el triágulos esférico PBS resulta: s = 90º - 37º = 52º b = 90º + 34º 36 = 124º 36 P = 58º 22-5º = 52º Figura 14. En esta figura se muestra el triángulo esférico PBS. Volviendo a aplicar el teorema del coseno de donde cos(p) = cos(s)cos(b) + sen(s)sen(b)cos(p) = (46) que corresponde a una distancia de km. p = arccos(0.055) = º = 86º (47) La distancia entre dos puntos, P y P' de la superficie de la Tierra es la longitud del arco de círculo máximo comprendido entre el punto P y el punto P'. Para hacer estos cálculos aproximaremos el elipsoide terrestre por la forma esférica, y calcularemos el arco de círculo máximo entre ambos puntos mediante la fórmula de los cosenos de la trigonometría esférica. Sean los puntos P y P' dados por sus coordenadas: P --> (latitud:θ, longitud: λ ), colatitud:ø = 90 θ (48) P' --> (latitud:θ, longitud: λ ), colatitud:ø = 90 θ (49)

25 0.12. APÉNDICE H: RESULTADOS Y ANÁLISIS DE DATOS DE AÑOS ANTERIORES 25 Figura 15. Triángulo esférico que forman P, P' y N Sea ahora el triángulo esférico P-N-P' formado por ambos puntos y el polo Norte. Se conocen los lados PN=Ø y P'N=Ø, así como el ángulo diedro PNP'= λ λ. Por tanto, aplicando el teorema de los cosenos de la geometría esférica podemos calcular el tercer lado de dicho triángulo a partir del arco de círculo máximo entre ambos puntos: cosa pp = cos Ø cos Ø + sen Ø sen Ø cos(λ λ ) (50) a pp = arc cos [cos Ø cos Ø + sen Ø sen Ø cos(λ λ )] (51) Para calcular la distancia entre ambos puntos emplearemos la proporción de 360º a kilómetros con la del arco app' a su longitud dpp'. d pp = a pp (52) 360 Se obtiene así la siguiente fórmula aproximada: d pp = arc cos [cos Ø cos Ø + sen Ø sen Ø cos(λ λ )] (53) 360 Ejemplos de cálculo de distancias: Distancia entre la capital de España, Madrid (40º25' N, 3º45' O), y la localidad andaluza de Marchena (37º20' N, 5º25' O): Colatitudes: Ø = , Ø = = (54) Ángulo diedro en el polo norte: λ λ = =1 40 (55)

26 26 Calculamos las razones trigonométricas: cos Ø cos Ø + sen Ø sen Ø cos(λ λ )= =0, , 0, , , , = 0,99827 (56) Finalmente: d pp = arc cos(0,99827) = ,3639 = 373,770 kms (57) Distancia entre el polo Norte (90º0' N, 0º0' O) y el punto A (0º0' N, 0º0' O) situado en el círculo ecuatorial del planeta: Colatitudes: Ø = =0 0, Ø = =90 (58) Ángulo diedro en el polo norte: λ λ = =0 0 (59) Calculamos las razones trigonométricas: cos Ø cos Ø + sen Ø sen Ø cos(λ λ )= = 0 Finalmente: d pp = arc cos(0) = = kms (60) APÉNDICE G: Latitud y Declinación del Sol a su paso por el meridiano Declinación del Sol La declinación del Sol es la distancia angular del Ecuador celeste a la posición de dicho astro. Cuando el Sol se encuentra por arriba del plano ecuatorial su declinación se considera positiva, y será negativa al ubicarse por debajo del Ecuador (ver Figura 16). Durante los equinoccios de primavera (21 de Marzo) y de otoño (21 de Septiembre), la declinación del Sol vale cero grados, en este momento la duración del día es igual al de la noche. Para el Solsticio de verano, el Sol llega al Trópico de Cáncer, teniendo una declinación de En el Hemisferio Norte ese día es el más largo del año y la noche más corta. Mientras que en el Solsticio de invierno, el Sol se posiciona en el Trópico de Capricornio, en este instante su declinación ha alcanzado -23.5, presentándose las noches más largas y los días más cortos.

27 0.12. APÉNDICE H: RESULTADOS Y ANÁLISIS DE DATOS DE AÑOS ANTERIORES 27 Figura 16. Representación de la declinación del Sol a su paso por el meridiano Cálculo del ángulo α empleando la Declinación del Sol y la latitud Figura 17. Representación de la declinación del Sol a su paso por el meridiano con un ángulo positivo.

28 28 Figura 18. Representación de la declinación del Sol a su paso por el meridiano con un ángulo negativo. Basándose en las Figuras 17 y 18, se observa un objeto colocado verticalmente que está sobre la superficie esférica de la Tierra. Debido a que los rayos inciden inclinados respecto a la superficie donde se encuentra el mástil, entonces se produce una sombra, cuya longitud dependerá de dos factores: la altura del mástil y la declinación del sol. En la Figura 17 se observa dos ángulos colaterales internos: él ángulo de latitud y la suma del ángulo α más el ángulo de la declinación del Sol. Mientras que para la Figura 18, el ángulo de latitud es igual a la resta del ángulo α menos el ángulo de la declinación del Sol. Por consiguiente, se puede emplear la siguiente ecuación general: Ángulo de Latitud = α + Ángulo de la Declinación del Sol (61) Donde el ángulo de la Declinación del Sol indicará si el Sol se encuentra por debajo o por encima del Ecuador a través del signo negativo o positivo respectivamente APÉNDICE H: Resultados y análisis de datos de años anteriores Es importante mencionar que en los años 2010 y 2011 se tomó una o dos mediciones por equipo Resultados y análisis de datos del año 2010 No. Lugar de Medición Nombre del Ángulo Distancia al equipo equipo (α) trópico de cancer 22 Mexicalli, Baja Smash California Tuxtla Gutierrez, Argonautas Chiapas Hermosillo, Sonora Blacksun Tecamachalco, Puebla Kranklinch Sterne Acambaro, Guanajuato Los Malayas Tecamachalco, Puebla Kepler Tepeaca, Puebla 4F Tabla 2:Datos seleccionados, después de ver que eran los más próximos a la recta.

29 0.12. APÉNDICE H: RESULTADOS Y ANÁLISIS DE DATOS DE AÑOS ANTERIORES 29 Figura 19: Estudiantes de la Secundaria Morelos de la Paz, Baja California Sur. MEDICIÓN ERATOSTENES, DÍA 28 DE MAYO DEL 2010 EQU IPO LUGAR DE MEDICIÓN NOMBRE DEL EQUIPO ÁNGULO (α) DISTANCIA AL TRÓPICO DE CANCER 8 Acambaro,Guanajuato Los Malayas Tepeaca,Puebla 4F San Juan Chachapa, Puebla Alioth Tuxtla Gutierrez, Chiapas Argonautas Hermosillo,Sonora Blacksun Hermosillo,Sonora Ciudad del Sol 50 a la sombra Zapopa, Jalisco Femenil, Colinas Villas del Valle, México Interjet Tecamachalco, Puebla Kepler Tecamachalco, Puebla Kranklich Sterne Mexicalli, Baja California Los Despystados Tecamachalco, Puebla Los hijos de Eratostenes Tecamachalco, Puebla Los Rifaburras Tecamachalco, Puebla San Pateste Mexicalli, Baja California Smash Tabla 3: Datos correspondientes a las mediciones hechas por los Equipos participantes en la fecha 28 de mayo del 2010, como la misma tabla lo indica.