Tema 1: Sucesiones y series numéricas

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1 PROBLEMAS DE MATEMÁTICAS Parte II Cálculo Primero de Igeiería Química FACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS Departameto de Matemáticas Uiversidad de Castilla-La Macha Cálculo Tema : Sucesioes y series uméricas Números complejos Calcula: 2 Calcula: ( log ) 3i, (b) log( 3), (c) e + π 3 i, (d) i 3825, (e) ( + i) i log (3 + 3i), (b) i log i 3 Halla los valores de z CI tales que: e z = 5, (b) e z = 3 + i, (c) log z = π 4 i 4 Resuelve: si z = 4, z CI 5 Halla los complejos z = + iy tales que: e z =, (b) + i i = eiy 6 Resuelve e el cuerpo de los úmeros complejos la ecuació: 5 ta z = 2se 2 z + 3 cos 2 z 7 Determia la regió del plao determiada por A B siedo A el cojuto represetado por z < 4 y B el cojuto represetado por z 2i < 3 8 Determia el lugar geométrico de los úmeros complejos que verifica las siguietes relacioes: z 3i = 5, (b) Re(z 2 ) = K, K IR, (c) Im(z 2 ) = k, k IR, (d) z i + z + i = 4, (e) z z + < 2, (f) z + z = 4 9 Halla las raíces de ( + z) 5 = ( z) 5 Halla los úmeros complejos z tales que z 6 9z =

2 Sucesioes y series uméricas Estudia la mootoía de las siguietes sucesioes: a = 3, (b) b = 3 3 +, (c) c = ( 3) ( 3) + 2 Utilizado el criterio de la sucesió itermedia o regla del Sadwich, calcula: ( ( ) (b) 2 + ( + ) () 2 ) ( (c) se se se 2 + ( (d) ) Calcula: 4 Halla el límite de la siguiete sucesio: 5 Calcula: ( e ), (b) ) , 3 3, 3 3 3, , (c) , (d) ( ) 6 Calcula: 7 Calcula: ( log()), (b) ( ) (a + 2a2 + 3a a ), < a < 8 Calcula: log, (b) log log( ), (c) α+ α + 2 α + + α, α IN 9 Calcula: ) Idicació: Fórmula de Stirlig (

3 Calcula: Calcula: ( a + b c d + c + d + ) 2 Calcula:, (b), (c) , (d) ( ) ( + ) 3 De la serie a se cooce que la sucesió de sumas parciales (S ) viee dada por S = IN Halla: El térmio geeral a de la serie (b) El carácter de la serie 4 Estudia la covergecia de la serie 2 e 3 5 Estudia la covergecia y halla la suma, si es posible, de las siguietes series: (3 + 2)(3 + 5), (b) Halla el carácter de las siguietes series: (d) ( + ), (b) ( )! (l( ))(l(2 3 )), (e) ( + 3), (c) =2 ( )! ( + )( + 2)( + ) ( l )3/2, 7 Estudia, segú los valores de α >, el carácter de la serie: 8 Estudia el carácter de la serie: se π 2 α ( ) 4 7(3 2)

4 9 Estudia la covergecia absoluta de las series: =2 ( ) l, (b) ( ) 2, (c) ( ) se 3/2 2 Calcula la suma de las siguietes series: =2 2 Demuestra que la serie meor de 2 l ( ) 2, (b) 22 Determia el carácter de las siguietes series: l (b) ( + )( + 2), (c) ( ) + es covergete Calcula su suma co u error (3 + )(2 + 3) l (c) se 2 ( (d) 5 2 (e) 7 3 (f) ( ) + 3 (g) ( ) (h) 5 3(l () (i) 7 (j) (k) (l) (m) 5 () 7 (o) 3 (p) (u) (q) ( ) (r) (v) 2 s) (w) (l () 2 ( ) /2 ) l (t) ( + ( 2 3) ) (y) () 2 (2 ()! (z) + (ab) l (ac) 4 l (ad) 5 l (ae) k= 5k k (af) l (ag) (ah) se 2 ( () 5 (ai) (aj) (ak) e 23 Estudia la covergecia absoluta de las siguietes series: (b) 2 l 2 3 l l 4 + (c) + ( ), (d) ( ) 3, (e) 4 ( ) ( + )( + 2), (f) ( ) + 5, 4

5 24 Suma las siguietes series: (e) ( ) 2, (b) 5 = ( ( ), (f) 3) = ( ) 2 +, (c) 3 = + ( + ), Tema 2: Sucesioes y series de fucioes Estudia la covergecia de la serie: 2 Demuestra que la serie que π f() = 2 (g) ( ) (2 + )(2 + 3)(2 + 5), (d) ( ) (2 + )(2 + 3), (h) ( ) + se 3 coverge para todo IR Si f() = (2 ) , ( 2 ( + ) 2 ) se 3, prueba 3 Halla el itervalo de covergecia de la serie y estudia la covergecia e los etremos de dicho itervalo: ( ) ( 5) 3 4 Determia el radio de covergecia de las series de potecias siguietes y, si es posible, estudia la covergecia e los etremos de sus itervalos de covergecia: (2 + )7, (b) ( ) (3 2 2 ) 3 5 Determia el radio de covergecia de las series de potecias siguietes y, si es posible, estudia la covergecia e los etremos de sus itervalos de covergecia: = ( + )2, (b) ( ) (2 2 ) 2 6 Desarrolla e serie de potecias f() =, determiado el itervalo de coverge- 2 cia de la serie obteida 7 Demuestra que cada ua de las siguietes fucioes tiee como represetació la serie de potecias que se idica e los cojutos dados: a (l = para IR (a > ) = (b) se = ( ) (2 ()! 2 para IR 5

6 (c) = = ( + ( ) 3 ) para (, ) 8 Itegra por desarrollo e serie de Taylor las siguietes fucioes se, (b) e 2, (c) p l( q ) (p >, q > ) 9 Escribe el poliomio de Taylor P 4, () de la fució f () = l( ) Aprovecha el poliomio aterior para calcular, aproimadamete, l(, 9) Calcula el poliomio de Mac Lauri de orde 4 de las siguietes fucioes se + cos, (b) log( 2 + ), (c) e 2, (d) 2 set dt t Calcula los siguietes límites por sustitució de ifiitésimos equivaletes: se, (b) 3( cos 5) arcsi arcta 2, (c) l( + ) cos a (3 )tgb, (d) se arctg 3, (e) 7 5 sese3 (2 2 ) 7, (f) l( + 7) e 4 2 Calcula usado desarrollos de Tayor los siguietes límites tg 2 arcse cos 5 = 6 log ( ) + (b) 4 cos 4 = 3 (tg seh) Idicació: e el primero se ecesita desarrollos de orde 2 E el segudo de orde 5 3 Sabiedo que e = = calcula 2, (b) ( ) 2, (c) = = = 4 Calcula ( )!, (b) 3 ( )!, (c) =2 + ( + )!, (d), (e) 2 5 Calcula: ! 53 3! ! (b)

7 6 Usado derivació térmio a térmio, calcula la suma de las series siguietes para cualquier valor de e el itervalo de covergecia: ( ) ( + ), (b) ( ) 2 (2 ) =2 7 Usado itegració térmio a térmio halla: ( + ) f() =, (b) g() = 8 Calcula = = +, (b) = ( + )( + 2) Calcula la serie de Fourier asociada a la fució f() = π + e el itervalo π < < π Aplica el desarrollo aterior para calcular la suma de la serie: ( ) Desarrolla e serie de Fourier la fució f() = 2, π < < π Utilizado este resultado calcula 2, ( ) 2, ( ) + 2 (b) Aplica los resultados ateriores para calcular, itegrado por desarrollo e serie, (i) l( + ), i (i) l 2 Desarrolla e serie de Fourier la fució f() =, < < Utiliza dicho desarrollo para calcular la serie (2 ) 2 22 Obté u desarrollo de la fució f() = e serie de Fourier de tipo seo e el itervalo π 23 Obté u desarrollo de la fució f() = e serie de Fourier de tipo coseo e el itervalo π 24 Desarrolla e serie de Fourier la fució f() = se, π < < π 25 Calcula las siguietes itegrales 4 (b) (c) 2 3 (d) 3 5 (e) (i) (f) (j) 4 cos (g) ( 2) 2 (k) (h) (l) e 2 3 l (l) 3 3 (m) 3 (2 ) /3 () 3 ( ) 2 7

8 26 Estudia la covergecia de las siguietes itegrales impropias: (b) (c) (d) si 2 (e) 3 4 (f) (g) ( ) 27 Calcula mediate itegrales de Euler: 3 e 2 (b) 3 2 (c) 8 /2 (2 /3 ) /2 (d) 5 4 (e) 5 4 (f) m e 2 (g) a p (a ) q (h) 2m 2 (i) a p p e a (j) e 2 (k), > 2 (l) e 2 2 (ll) a 2 (m) p ( ) q Tema 3: Cálculo diferecial de varias variables Represeta los siguietes cojutos de IR descritos e coordeadas cartesiaas: A = {(, y) R 2 /, y > } (b) B = {(, y) R 2 / 2 y 2 } (c) C = {(, y) R 2 / (4 2 y 2 )( 2 + y 2 2) } (d) D = {((, y, z) R 3 / 2 + y 2 + z 2 = } (e) E = {(, y, z) R 3 / 2 + z 2 } (f) F = {(, y, z) R 3 / 2 + y 2 z 2 } 2 Describe e el plao cartesiao los cojutos de IR 2 cuya epresió e coordeadas polares es: A = {(r, θ) IR 2 / r } (b) B = {(r, θ) IR 2 / r = seθ} (c) C = {(r, θ) IR 2 / < r < 2} (d) D = {(r, θ) IR 2 / π 4 θ π 4 } 3 Describe e coordeadas cartesiaas los cojutos de IR 3 cuya epresió e coordeadas cilídricas es: A = {(r, θ, z) R 3 / z = } (b) B = {(r, θ, z) R 3 / θ = π 4 } (c) C = {(r, θ, z) R 3 / r 2 + z 2 3} 4 Represeta e el espacio cartesiao los cojutos de IR 3 epresados e coordeadas esféricas por: 8

9 A = {(r, θ, φ) / r } (b) B = {(r, θ, φ) / θ = π 4 } (c) C = {(r, θ, φ) / r, φ π 2 } 5 Estudia la eistecia de los siguietes límites: (,y) (,) y 2 + y 2 (b) (,y) (,) y y 6 (c) (,y) (,) 2 y 2 ( 2 + y 2 ) 3/2 6 Calcula, si eiste, los límites iterados y el límite para las fucioes siguietes: f(, y, z) = yz 2 + y 2 + z 2 e (,, ) (b) g(, y) = y2 se e (, ) (c) h(, y) = 2 y y 4 e (, ) (d) i(, y) = 2 y 4 2 e (, ) + y4 (e) j(, y) = y + y + y 7 Halla, si eiste, los siguietes límites: e (, ) (f) k(, y) = se y + y cos e (, ) 3 se(y 2 4) (,y) (,) (y + 2)se (b) ( cosy)se e y (,y) (,) 2 + y 2 (c) (,y) (,) se log( + y) 8 Halla, si eiste, los siguietes límites: (,y,z) (,,) yz 2 + y 2 + z 2 (b) (,y) (,) (sey, 2 e y2 ) 9 Estudia la eistecia de derivadas parciales, cotiuidad y difereciabilidad de las siguiete fucioes e el puto (, ) E caso de que sea difereciable calcula la matriz jacobiaa e dicho puto: f(, y) = (b) f(, y) = (c) f(, y) = si ( 2 + y 2) 2 + y 2 si (, y) (, ) si (, y) = (, ) 6 ( 2 y) + 6 si (, y) (, ) si (, y) = (, ) 3 y y 2 si (, y) (, ) si (, y) = (, ) ( 2 + y 2 ) si si (, y) (, ) Sea f(, y) = 2 + y 2 si (, y) = (, ) a) Demostrar que f es difereciable e (, ) auque sus derivadas parciales o sea cotiuas e dicho puto b) Calcular df e el puto (, ) 9

10 Comprobar la cotiuidad y difereciabilidad de las siguiete fucioes e el puto (, ) y calcula la matriz jacobiaa e dicho puto: f(, y) = 2 cos(y) (b) f(, y) = ( 2 + cos y, ye ) (c) f(, y) = (e +y + y, y 2 ) (d) f(, y) = (e 2+3y, y) (e) f(, y) = ( si ( 2 + y 2) e, e y) (f) f(, y) = (, y, si(y)) 2 Sea las fucioes f(, y) = (e 3 y, 2+3y, 2 ) y g(u, v, w) = (u w, se(v+w)) Prueba que f es difereciable e (, ), que g es difereciable e (,, ) y que h = g f es difereciable e (, ) Calcula df(, ), dg(,, ) y dh(, ) 3 Halla la diferecial e (, ) de las fucioes: f(, y) = e cos y + setgy (b) f(, y) = ( 2 + y, se + cos y, e y ) 4 Halla el plao tagete a la superficie z = 2 + y 2, paralelo al plao + 2y z = 5 Halla la ecuació del plao tagete a la superficie yz = a 3 e cualquier puto de la misma 6 Halla la recta tagete a la curva itersecció de las superficies y + z + yz = 3 y 2 y 2 + z 2 = e el puto (,, ) 7 Halla el plao tagete al elipsoide 2 + y 2 + 2z 2 = 4 e el puto (,, ) 8 Halla el vector gradiete y la derivada direccioal máima de la fució f(, y) = 3 + y 3 e los putos (, ) y (, ) Iterpreta el resultado 9 Sea f(, y) = e sey + e y se Se pide Halla el vector gradiete de la fució e u puto arbitrario de IR 2 (b) Halla la derivada direccioal de f e el puto (, ), e la direcció θ = π/4 (c) Halla la direcció θ para la que D θ f(, ) = 2 Halla dw/dt e los siguietes cambios de variable: w = l y, = cos t, y = set w = 2 + y 2, = e t, y = e t w = 2 + y 2, = cos t, y = e t w = 2 + y 2 + z 2, = e t cos t, y = e t set, z = e t 2 Halla las derivadas parciales de f co respecto a, y, z después de hacer el cambio de variable que se idica: f(u, v, w) = u 2 + v 2 w, u = 2 y, v = y 2, w = e z 22 Repetir el ejercicio aterior aplicado el procedimieto del ejercicio 2

11 23 Halla las derivadas parciales de f co respecto a r y θ, después de hacer el cambio de variable que se idica: f(, y) = arctg y, = r cos θ, y = rseθ 24 Halla las derivadas parciales de f co respecto a s y t, después de hacer el cambio de variable que se idica: f(, y, z) = y + yz + z, = s cos t, y = sset, z = t 25 Repetir el ejercicio aterior siguiedo el procedimieto del ejercicio 2 26 Se cosidera las fucioes u = 2 + y 2 z 2, v = 2y + 3z + yz, w = 2 y 2 + 5yz Si (u, v, w) = r cos θseφ, y = rseθseφ, z = r cos φ Halla (r, θ, φ) 27 Repetir el ejercicio aterior siguiedo el procedimieto del ejercicio 2 28 Calcula el desarrollo de Taylor de segudo orde de la fució f(, y) = e cos y e toro al puto (, ) Si aproimamos f(5, 2) por el valor del desarrollo de McLauri de f de orde 2 evaluado e (5, 2), qué error cometemos? 29 Haz lo mismo que e el ejercicio aterior para las siguietes fucioes: f(, y) = e 2 3y (b) f(, y) = se( + 3y) (c) f(, y) = ( + y) 2 3 Calcula los máimos y míimos relativos y los putos de esilladura de las siguietes fucioes: f(, y) = y + y (b) f(, y) = log( 2 + y 2 + ) (c) f(, y) = y y (d) f(, y) = y 3 Clasifica los putos críticos o estacioarios de las siguietes fucioes: (e) f(, y) = ( 2 + 4y 2 )e 2 y 2 (f) z = 2 y 2 2 4y 4 (g) z = y 2 4 2y + 3 (h) z = 3 3y + y 3 32 Halla los etremos absolutos de las fucioes siguietes e los cojutos que se idica: { } f(, y) = y 2, sobre B = (, y) :, y, 2 + y 2 { } (b) f(, y, z) = + y + z, sobre B = (, y, z) : 2 + y 2 z (c) f(, y) = 3y 6 3y + 7, e el triágulo de vértices (, ), (3, ), (, 5) 33 Halla los etremos de f(, y) = 3 + 2y sujetos a la restricció y 2 = 3 34 Sea T (, y, z) = y 2 la temperatura e cada puto de la esfera 2 + y 2 + z 2 = 5 Halla la temperatura máima e la curva formada por la itersecció de la esfera y el plao z = 35 Calcula los putos críticos de la siguiete fució y clasifícalos: f(, y) = (3 )(3 y)( + y 3)

12 36 Halla los etremos de f(, y) = l + y l y sujetos a la codició + y = 37 Halla la míima distacia del puto (2,, 2) al plao + y + z + 3 = 38 Halla la míima distacia del orige a la superficie 2 + y 2 + z = 3 39 Halla la míima distacia al orige de la recta dada por las ecuacioes 2 + y + z = 2 y y 3z = 4 Tema 4: Cálculo itegral de varias variables Calcula las itegrales dobles siguietes e los dos órdees de itegració: (b) (c) D D D 2 dy, dode D = {(, y) :, y } ydy, dode D = {(, y) : π 2 π, y cos } 2 2 dy, dode D = {(, y) :, 2 y } 2 Calcula las itegrales dobles siguietes e los dos órdees de itegració : 3 Calcula D 2 + y 2 = y 2 + y 2 = y 3 dy (b) 2 2 e y2 dy ( 2 + y 2 )dy siedo D la regió compredida etre las circuferecias: 4 Sea D el paralelogramo itado por las rectas y =, y = +, y = 2, y = 2 3 Hallar D (2 + y 2 )dy 5 Sea D la regió del primer cuadrate deitada por las curvas 2 + y 2 = 4, 2 + y 2 = 9, 2 y 2 = 4 y 2 y 2 = Hallar D ydy 6 Calcula el área de los recitos e los que está defiidas las itegrales de los ejercicios y 3 7 Calcula las itegrales: (d) y (y + z)dz dy (b) ze y2 dz dy (e) 2 +y 2 +y dz dy 2 +y 2 dz dy (c) y 2 dz dy 8 Halla el volume del sólido itado por z = y, y =, y = 9 Halla el volume del sólido itado por z = 4 y 2, y =, y = 2 Halla el volume itado por el cilidro 2 + y 2 = y los plaos z + 2y = 4 y z = Halla el volume itado por la superficie z = 2 + y 2 y el plao z = 4 2

13 2 Halla el volume itado por la superficie z = 2 + y 2, el cilidro 2 + y 2 = 4 y el plao z = 3 Calcula el volume itado por las superficies z = 2 + y 2 y z = 2 2 y 2 4 Halla el volume detro de las superficies z = 2 + y 2 y 2 + y 2 + z 2 = 2 5 Halla W ( z2 ) dy dz, dode W es la pirámide co vértice superior e (,, ) y vértices de la base e (, ), (, ), (, ) y (, ) 6 Halla el volume del coo de helado defiido por las desigualdades 2 + y 2 5 z2, z y 2 7 Evalúa W dy dz ( 2 + y 2 + z 2 ) 3/2, dode W es el sólido acotado por las esferas 2 + y 2 + z 2 = 4 y 2 + y 2 + z 2 = 8 Halla dydz siedo el recito D = {(, y, z)/ z y2 9 } 9 Se cosidera D D f(, y, z) dy dz siedo D = {(, y, z)/ 2, 2 y 4, z 2 } Escribe las seis itegrales iteradas asociadas al recito D 2 Halla f(, y, z) dl, dode γ es la curva que recorre el cuadrado uidad e el plao y γ e setido atihorario y f(, y, z) = (y, z cos(yz) +, y cos(yz)) 2 Calcula + ydy + zdz a lo largo del arco de hélice γ de ecuacioes paramétricas: γ (t) = 4 cos t, y(t) = 4set, z(t) = 3t, para t 2π 22 Calcula la itegral de líea de la forma diferecial rdr + r 2 dθ a lo largo de la curva γ de ecuació r = seθ, θ π 23 Calcula las itegrales de trayectoria de la fució escalar f(, y, z) = + y + z a lo largo de las curvas de los dos ejercicios ateriores 24 Calcula la logitud de arco de las curvas: f() = 3 ( 3), [, 3] (b) f() = 5(e / + e / ), [, 4] (c) r = Ke aθ, θ [, 2π] (d) r 2 = a 2 cos 2θ, θ [, 2π] (e) r = ase2θ, θ [, 2π] (f) ((t), y(t)) = (r cos t, rset), t 2π (g) ((t), y(t)) = (cos t, se 2 t), t 2π 3

14 ( ) θ (h) r = ase 3, θ 3π 3 25 Calcula el área itada por la curva dada e polares: r 2 = a 2 cos 2θ 26 Calcula el área egedrada por la siguiete curva dada e paramétricas: { (t) = r(t set) t [, 2π] y(t) = r( cos t) 27 Dibuja las curvas siguietes y halla el área que ecierra: r 2 = 4se2θ, θ [, 2π] (b) r = 2 + seθ, θ [, 2π] 28 Si hacemos rodar ua circuferecia sobre ua recta y seguimos a uo de los putos de la circuferecia, origiaremos ua curva plaa llamada cicloide Ua posible parametrizació es la siguiete: (θ) = R (θ si θ), y (θ) = R( cos θ) siedo R el radio de la circuferecia Co estos datos, y siempre para θ (, 2π), se pide Dibuja la cicloide (b) Halla la logitud de la cicloide (c) Demuestra que la tagete a la cicloide pasa por el puto más alto de la circuferecia y que forma co el eje u águlo de 2 (π θ) radiaes 29 Supogamos que la curva X(t) = [ (t), y (t)] co t [a, b] represeta la gráfica de ua fució o egativa e u itervalo [ = c, (b) = d] Cuál es el área que ecierra por debajo? Y la logitud de arco? Aplícalo a X (t) = [t, t 2 ] co t [, ] 3 Calcula la superficie de revolució egedrada por la fució f() = 3 e [, ] al girar alrededor del eje OX Calcula tambié el volume de revolució 3 Calcula la superficie de revolució egedrada por la curva: y 2 2 l y = 4 desde y = hasta y = 2 al girar e toro al eje OY Calcula tambié el volume de revolució 32 Calcula el área de la superficie S del paraboloide z = 2 + y 2, para valores de z etre y 4 33 Calcula el área de la semiesfera de radio 2 34 Calcula S (2 + y 2 )ds, siedo S la superficie del coo z 2 = 3( 2 + y 2 ), co z 3 35 Halla f ds, dode S es la superficie de ecuacioes paramétricas (u, v) = cos u cos v, y(u, v) = S seu cos v, z(u, v) = 2 sev, para u π 2, v π 2 36 Sea S la semiesfera 2 + y 2 + z 2 4 =, z Halla ( 2 + y 2 )ds S 4

15 37 Verifica el teorema de Gree para la circuferecia co cetro e (, ) y radio 2 y las fucioes: a) P (, y) = y 2, Q(, y) = y 2 b) P (, y) = Q(, y) = y 38 Verifica el teorema de Stokes para el hemisferio superior z = 2 y 2, z y el campo vectorial f(, y, z) = (, y, z) 39 Halla S ( f) ds dode S es el elipsoide 2 +y 2 +2z 2 = y f = (sey)ī+e j yz k 4 Halla S ( f) ds dode S es la semiesfera 2 + y 2 + z 2 =, y f(, y, z) = ( 3, y 3, ) 4 Sea f = yī + z j + z k Evalua Ω f ds para cada ua de las siguietes regioes: a) 2 + y 2 z b) 2 + y 2 z, c) 2 + y 2 z, 42 Evalua la itegral de superficie S f ds, dode f(, y, z) = ī + j + z( 2 + y 2 ) k y S es la superficie del cilidro 2 + y 2, z 5