DERIVADAS. Problemas con Solución.

Transcripción

1 DERIVADAS. Problemas con Solución. Aplica la definición de derivada como un límite, para calcular f siendo fx = x + x Sea la función fx = x/x, halla la derivada de f en el punto de abcisa usando la definición de derivada. /5. La función fx = x x representa una parábola. Halla la función derivada usando la definición de derivada. Halla la recta tangente a la parábola en el punto de corte con el semieje positivo de abcisas. Representa conjuntamente la parábola y la tangente. Qué pendiente tiene la tangente? En qué punto corta al eje de ordenadas? f x = 4x y = 5x 5/ 5 0, 5/. 4 El vértice de una parábola y = ax + bx + c es el punto más bajo si a > 0, parábola cóncava hacia arriba, o el punto más alto si a < 0, parábola cóncava hacia abajo. Demuestra que el vértice de la parábola tiene de abcisa x 0 = b/a, punto en que se anula la derivada. Qué coordenadas tiene el vértice? Cuál es el eje de simetría de la parábola? 4V b a, b 4a + c x = b a. 5 Halla el vértice de la parábola y = x / + x. Cuál es su eje de simetría? Halla los puntos de corte de la parábola con los ejes coordenados. Observa que los puntos de corte con el eje x son simétricos respecto a la abcisa del vértice. 5V, x = 6, 0 + 6, 0 0,. 6 Sea la función fx = x + x. a Halla la función derivada. b Halla los puntos en que la recta tangente es horizontal. c Halla los puntos en que la tangente es paralela a la recta y = x+. d Calcula la recta tangente en el punto de abcisa /. e Representa la cúbica, la tangente y la recta y = x +. 6a x + 6b no hay 6c, 7, + 7 6d y = x /. 7 Halla la tangente y la normal a la curva y = x e x en el punto en que corta al eje x. Qué ángulo forma la tangente con el eje x? Y la normal, qué ángulo forma con el eje x? Qué ángulo forman la normal y la tangente entre sí? 7 tx = e x nx = x + /e π/ = 90 8 Sea la cúbica y = x /4 ax +. a Halla el valor de a para que la tangente en x = sea paralela a la bisectriz del segundo cuadrante. b Calcula las rectas tangentes a la curva en los puntos en que la recta tangente es paralela a la bisectriz del segundo cuadrante. c Representa la curva y las tangentes.

2 8a a = 7 b t x = x + 8 t x = x Sea la función fx = x + x. a Calcula la derivada en el punto x 0 =. b Halla las tasas de variación media de f en los intervalos [,.], [,.0] y [,.00]. c Halla las tasas de variación media de f en los intervalos [.9, ], [.99, ] y [.999, ]. d Hacia qué tienden estas tasas de variación media conforme el intervalo se hace de menor longitud? 9a 9 9b 9., 9.0, c 8.8, 8.98, d tienden a 9 el valor de la derivada. 0 Se considera la función fx = x ln x. a Obtén la función derivada, y la derivada de f en x =. b Halla los cocientes incrementales de f en los intervalos [,.0], [,.0] y [,.0]. En cuál de estos intervalos el cociente incremental aproxima mejor a la derivada? por qué? a f x = x + x ln x f = b.050,.00,.045 en [,.0], pues es el de menor longitud. Halla las siguientes derivadas simplificando el resultado, en algunos casos puede ser conveniente operar antes de derivar: ay = x 7 /7 + x x / by = x x πx + cy = xx x + x + dy = x + x x ey = x x 5/x πx fy = x + /x +. gy = / + /x hx x + x/x + iy = x + /x +, ax + x + x 5 bx 4πx + 0x c 4x + 6x 4x + 8x 5 6x + x d e x + 6πx πx f x 4 x 6 + x + 4x x + 4x x g h i + x + x + x Halla las derivadas de las siguientes funciones Simplifica el resultado: ay = x + by = x x + cy = x x dy = x + / ey = x / x fy = x / x + gy = x + x 5 hy = x x + iy = x + x, a8x + x b9 + x x + x x c x x d + x e / + + x f / x + 8x + x / x + x g 5 + x + x + x / h 6 x + 6x + x + 8x i + x /

3 Calcula y simplifica las derivadas de las funciones siguientes: ay = e x by = x + cy = e x + dy = x + x + e x ey = x + x fy = 7 x x/ gy = a x x a IR hy = p4x x + p IR iy = ex + ex +, ae +x b +x x ln 9 c xe +x + x de +x 5 + 4x + x e +x + x ln + ln 4 f7 x/ +x ln 7 x / g +x a +xx + x ln a h p4x x + + x ln p + x i + ex e x ex e + e x ln + ex 4 Deriva las siguientes funciones de tipo logarítmico y simplifica el resultado. Recuerda las propiedades fundamentales de los logaritmos que pueden facilitar las operaciones: x ay = lnx x by = log 0 x cy = ln x + 5 x dy = log x + 5 gy = ln x x x + ey = log b x b IR fy = ln hy = log 0 x lnx iy = x x + 5 lnx lnx + + x 4, a + xx b + x ln0 c 5 5x + x d 5 xx ln4 + ln 7 e lnb + 5x x f 8 8x + 4x g 7 + x lnx /x 0x + x 6x lnx h + lnx lnx + /x lnx /x + i ln0 x x ln + x 5 Deriva las funciones trigonométricas siguientes y simplifica el resultado: ay = sen x by = cos x + sen x cy = cos x + sen x dy = cos x + x ey = cos sen x fy = tanx + gy = sen x hy = tanx/ sen x iy = tantan/x tanx + 5, a cosx b0 c cosx sen x d cos x + x sen x + x + / x e 4 sen sen x cosx fx sec + x

4 gx cosx cotx + + cosec x + sen x h x cotx cosec x sec x cosec x i sec /x sec tan/x x 6 Halla las derivadas de las siguientes funciones trigonométricas inversas, simplificando el resultado: ay = arc senx by = arc cosx/x + cy = arctan + x dy = arctan + x ey = arctan x gy = sen arc cos x hy = arc sen a tan x fy = arc cos sen x b x x iy = arctan x 6, a b x x + x + x c x + x + x g d + x e ab sec x f cos x sec x b + a tan x x x h x arctanx i4 x + 4x 7 Calcula las derivadas de las siguientes funciones, simplificando el resultado: ay = ln + cos x by = lntanx/ cy = lntanx/ + π/4 cos x dy = lnx + x + a ey = arctanx/ + ln x 4 fy = x x a a lnx + x a x + x gy = ln hy = arctan iy = arctan x x + x 7, a cosec x b cosec x c sec x d a + x e 8 + 4x + x + x f x 6 + x a 4 arctanx g h i4 xx + x + 4x 8 Calcula las derivadas de las siguientes funciones, simplificando el resultado. En algunas hay que derivar logarítmicamente, en otras, se recomienda tomar logaritmos que pueden simplificar los cálculos: ay = ax bx by = dy = + sen x sen x cy = sen xcos x a + x b + x ey = a + x x a + x + x fy = tan xex gy = x x hy = + tanx/ iy = xxx tanx/ 4

5 + sen x 8, abax bx + lnax b sen x c sen xcos x cos x cot x ln sen x sen x d x a + b + x a + x b + x e x a + x 4/ a + xx + a + x felntan x + x cosec x sec xtan xex g xx / + x + x ln x h cosx/ sen x/ +x ixxx + x ln x + x ln x 9 Halla las derivadas primera, segunda y tercera de las siguientes funciones, simplifica el resultado: ay = x 6 x by = sen x cy = e ax dy = e x ey = 5 cos x fy = ln x + x 9, a6x + x x 4 0x b cosx 4 sen x 8 cosx cae ax a e ax a e ax d e x x e x + x 4x / e x x + x 8x 5/ e 5 cos x cos x ln 5 5 cos x ln 5 cos x + ln 5 sen x 5 cos x sen x ln 5 ln 5 cos x + ln 5 sen x f x 4x x 4 + x x 0 Se considera la siguiente función { sen πx/, x [, ], fx = x / + bx + c, x, ]. Calcula los valores de b y c para que f sea derivable. Representa aproximadamente la función f con estos valores calculados de b y c. 0b = c = /. Considera la función fx = e ax sen bx. a Calcula p y q para que la derivada de e ax p sen bx+ q cosbx sea igual a fx. b Toma ahora gx = e ax cosbx y halla p y q en la expresión anterior para que la derivada sea igual a gx., ap = a/a + b q = b/a + b bp = b/a + b q = a/a + b. Un tramo de carretera recto está representado por la función lineal fx = x/ + / para x 0. Dicha carretera se quiere prolongar en x > 0 por un tramo parabólico px de modo que la carretera pase por el punto, 0 que representa las coordenadas de una población y además, que la función total sea derivable la carretera se prolonga con continuidad y sin punto anguloso en x = 0. Halla la función que describe el tramo parabólico. Representa la carretera total y a la vista del gráfico comprueba que es derivable y que pasa por el punto, 0. px = x /6 + x/ + /. 5