LA DERIVADA UNIDAD III III.1 INCREMENTOS. y, esto es:

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1 Página el Colegio e Matemáticas e la ENP-UNAM La erivaa Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa LA DERIVADA UNIDAD III III. INCREMENTOS Se eine como incremento e la variable al aumento o isminución que eperimenta, ese un valor a otro, en su campo e variación. Se enota por. Por tanto: - De orma análoga, el incremento e la variable es el aumento o isminución que eperimenta, ese un valor a otro, en su campo e variación. Se enota por, esto es: ( - (

2 Página el Colegio e Matemáticas e la ENP-UNAM La erivaa Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa Por einición, los incrementos pueen ser: > 0 si el valor inal es maor que el inicial < 0 si el valor inal es menor que el inicial 0 si el valor inal es igual que el inicial Ejemplos. Sea, obtener,.. 0. si pasa e a. ( ( ( ( (. (. 9 Sea 0, obtener, si pasa e a. 0 ( ( ( ( 0 0 ( (.0 (.0 ( Como puee observarse, es el valor inal e la variable epeniente cuano a se le asigna el valor. De la misma orma, es el valor inicial e la variable epeniente cuano a se le asigna el valor inicial. Esto es: Ahora, e, se espeja : por lo que es: ( ( por lo tanto, sustitueno en : ( ( ( ( Esto signiica que al arle un incremento a en el punto le correspone a un incremento: Ahora, si a la epresión anterior se ivie por ( (. :

3 Página el Colegio e Matemáticas e la ENP-UNAM La erivaa Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa se obtiene el cociente e incrementos. ( ( III. DEFINICIÓN DE DERIVADA Se eine como erivaa e una unción ( el cociente e incrementos con respecto a en un punto, al límite, si eiste, cuano tiene a cero. Esto signiica que la erivaa es el límite el cociente el incremento e la variable epeniente, entre el incremento e la variable inepeniente, cuano éste tiene a cero, se enota por: ' ( lim 0 ( ( Las notaciones más comunes e la erivaa e la unción ( ' ó '( Notación e Lagrange ( ó Notación e Leibniz D Notación e Cauch D ó ( ó ( Notación e Newton con respecto a son: La más usaa es la notación e Leibniz. Las istintas partes e estas epresión carecen e too signiicao cuano se consieran separaamente. Las no son números, no pueen simpliicarse, la epresión completa no es el cociente e otros os números "" "" '. Leibniz llegó a este símbolo a través e su noción intuitiva e la erivaa, que él consieraba no como el ( ( límite e los cocientes, sino como el valor e este cociente cuano es un número ininitamente pequeño. Esta cantia ininitamente pequeña ue esignaa por la corresponiente ierencia ininitamente pequeña ( ( por (. III. MÉTODO DE LOS CUATRO PASOS Para hallar la erivaa e una unción se sigue un proceimiento conocio como métoo e los cuatro pasos que consiste en:. A la unción en se le incrementa en : (. A lo obtenio, se le resta la unción original, es ecir ( ( Leibniz es generalmente consierao como el coescubrior inepeniente el cálculo ininitesimal (junto con Newton.

4 Página el Colegio e Matemáticas e la ENP-UNAM La erivaa Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa. Se ivie too por : ( (. Se toma el límite cuano tiene a cero: ( ( 0 lim, si eiste este límite, es su erivaa. Ejemplos. Aplicano el métoo e los cuatro pasos, obtener la erivaa e las siguientes unciones. ( er paso: ( ( º paso: ( ( ( ( er paso: ( ( º paso: ( ( lim lim 0 0 ( ' ( er paso: ( ( ( ( ( ( º paso: ( ( ( ( ( ( er paso: ( ( ( º paso: ( ( ( lim lim 0 0 ( ' ( er paso: ( ( ( ( ( ( ( (

5 Página el Colegio e Matemáticas e la ENP-UNAM La erivaa Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa º paso: ( ( ( ( ( ( ( ( ( er paso: ( ( ( ( ( º paso: ( ( ( ( lim lim 0 0 ( ' ( er paso: ( ( º paso: ( ( (, simpliicano las racciones: ( ( ( ( ( ( ( ( ( er paso: ( ( ( ( ( ( ( º paso: ( ( ( 0 0 lim lim ( ' ( er paso: ( ( º paso: ( ( ( multiplicano arriba abajo por el conjugao el binomio, se tiene: (

6 Página el Colegio e Matemáticas e la ENP-UNAM La erivaa Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa ( ( er paso: ( ( º paso: lim lim 0 0 '( ( III. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA Sea una unción (. Si se toma un punto cualquiera ( cualquiera se obtiene su respectivo incremento representa la peniente el segmento PQ. Ahora, si P permanece ijo P, se eectúa un incremento Q,. La razón en el punto ( es caa vez más pequeño, lo que sucee es que el punto Q se mueve sobre la curva acercánose a P. Caa vez que isminue, la recta PQ gira en torno a P hasta que llega a su posición límite que es la tangente a la curva en el punto P. Por lo tanto el ( ( lim es la peniente e la tangente a la curva ( en el punto P. 0 ( Q (, Q Q Q Recta tangente P(, Q 0 La interpretación geométrica e la erivaa es la peniente e la recta tangente en el punto ( P,.

7 Página el Colegio e Matemáticas e la ENP-UNAM La erivaa Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa III. DERIVABILIDAD DE FUNCIONES Una unción ( es erivable en el punto si ( a un intervalo abierto ( a, b si es erivable en cualquier punto el intervalo. Es importante resaltar que: si ( ' eiste. Por su parte, una unción es erivable en es erivable en un punto es continua en, sin embargo, el caso inverso, no necesariamente es cierto porque ha unciones que son continuas pero no son erivables., entonces ( En general, si la gráica e una unción presenta cualquiera e los siguientes tres casos, entonces una unción no es erivable.. Si posee picos a que la unción no posee tangente en esos puntos no es erivable allí ebio a se encuentra que los límites laterales son ierentes. ' que al calcular (. Si una unción ( Un pico no es continua en entonces no es erivable en ese punto, por lo tanto, en cualquier iscontinuia, la unción eja e ser erivable. Discontinuia. Si la curva tiene una recta tangente vertical cuano lim ' (. Esto es: ( es continua en, lo que signiica que las tangentes se vuelven caa vez más pronunciaas.

8 Página el Colegio e Matemáticas e la ENP-UNAM La erivaa Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa Tangente vertical A pesar e que la gráica tome la apariencia e una recta, mientras no presente un cambio brusco en orma e esquina, entonces la unción es erivable. Las siguientes gráicas muestran esto en un punto : ( es erivable en ( no es erivable en Ejemplo. Determinar los puntos en que la unción ( es erivable. Como el valor absoluto e presenta tres posibles valores, se analiza por separao: Si > 0, se tiene: '( lim lim lim lim 0 Por tanto, la unción es erivable para > 0. Si < 0, se tiene: '( lim lim 0 0 ( ( 0 lim lim ( 0

9 Página el Colegio e Matemáticas e la ENP-UNAM La erivaa Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa Por tanto, la unción es erivable para < 0. Si 0, se tiene: 0 0 '( lim (si eiste 0 Se comparan los límites laterales por separao: 0 0 lim lim lim lim lim lim lim lim ( Puesto que lim ( 0 lim ( 0, no eiste '( 0. Por lo tanto ( 0 ecepto en 0. 0 En la gráica siguiente se aprecia como la unción no posee tangente en 0. es erivable para toa ( III. FÓRMULAS BÁSICAS DE DERIVACIÓN Sean las unciones ( u u g( con: ( g(. La erivaa e la unción compuesta se obtiene por meio e:, tal que se orme una composición e unciones que cumpla u Epresión conocia también como la regla e la caena. u La regla e la caena es mu útil en cambios e variable a in e simpliicar la erivación e unciones: a una parte e la unción se le enota como u, se eriva la unción respecto a esta variable, se le multiplica por u inalmente se sustitue u por la parte corresponiente e la unción original en. 9

10 Página el Colegio e Matemáticas e la ENP-UNAM La erivaa Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa, tres unciones e, es ecir, u ( v (, w ( Sean u v, w primeras ormulas básicas e erivación, consierano la regla e la caena, son: ( c er paso: ( c º paso: ( ( c c 0 ( ( 0 er paso: 0 ( ( º paso: lim lim '( ( c 0 La erivaa e una constante siempre es cero. ( c 0 ( ( er paso: ( ( ( er paso: ( ( º paso: lim lim( 0 0 '( ( La erivaa e, respecto a si misma, es uno. º paso: ( ( ( ( c c ( c er paso: ( c( c c c c c c ( ( c er paso: c ( ( º paso: lim lim( c c 0 0 '( ( c c º paso: ( ( ( 0, c una constante. Las once

11 Página el Colegio e Matemáticas e la ENP-UNAM La erivaa Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa La erivaa e una unción por una constante es igual a la constante. u v w ( u v w ( u v w er paso: ( u( v( w( º paso: ( ( u( v( w( u( v( w( ( ( u( u( v( v( w( w( er paso: u( u( v( v( w( w( º paso: ( ( u( u( v( v( w( w( lim lim lim lim u v w '( u v w ( u v w La erivaa e una suma algebraica e unciones es igual a la suma algebraica e las erivaas e esas unciones. v u ( u v u v ( u v er paso: ( u( v( º paso: ( ( u( v( u( v( ( ( u( v( u( v( er paso: restano sumano: v( u( ( ( u( v( v( u( v( u( u( v( u( [ v( v( ] v( [ u( u( ] u( [ v( v( ] v( [ u( u( ] º paso: ( ( u( [ v( v( ] v( [ u( u( ] lim lim lim 0 0 o v ( ( v( u ( ( u( lim u lim lim v lim o v u '( u v ( u v u v La erivaa e un proucto e os unciones es igual a la primera unción multiplicaa por la erivaa e la seguna, más la seguna unción multiplicaa por la erivaa e la primera.

12 Página el Colegio e Matemáticas e la ENP-UNAM La erivaa Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa w v u ( u v w u v u w v w ( u( v( w( er paso: ( u( v( w( º paso: ( ( u( v( w( u( v( w( ( ( u( v( w( u( v( w( er paso: restano sumano: u( v( w( u( v( w( ( ( u( v( w( u( v( w( u( v( w( u( v( w( u( v( w( u( v( w( ( ( w ( ( ( w( v ( ( ( v( u v u w u ( ( ( u( v w º paso: ( ( w ( ( ( w( lim lim u v lim v ( ( ( v( lim u w lim 0 0 u ( ( ( u( lim v w lim 0 o w v u '( u v ( u v w u v u w v w La erivaa e un proucto e tres unciones es igual al proucto e la primera la seguna unciones por la erivaa e la tercera, más el proucto e la primera la tercera unciones por la erivaa e la seguna, más el proucto e la seguna la tercera unciones por la erivaa e la primera. c 0 c c ( c er paso: ( ( c º paso: ( ( c ( c c c c c

13 Página el Colegio e Matemáticas e la ENP-UNAM La erivaa Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa ( ( er paso: c c ( ( º paso: lim lim 0 0 c c '( c 0 c c La erivaa el cociente e la unción ientia sobre una constante es igual al inverso multiplicativo e la constante. c c c c ( c er paso: ( c c º paso: ( ( c er paso: º paso: ( ( ( lim 0 ( ( lim 0 c c c( c c c c ( ( ( c ( ( c ( c c '( La erivaa el cociente e una constante sobre la unción ientia es igual a la constante iviia por el cuarao e la unción aectao too por un signo negativo. u v u v u v v 9, v 0 u ( ( v ( u er paso: ( ( v( u º paso: ( ( ( v( restano sumano: u( v( u v ( ( u ( v( u( v( v( v( c

14 Página el Colegio e Matemáticas e la ENP-UNAM La erivaa Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa ( ( ( ( ( v( u( v( u( v( u( v( v( v( u u u ( ( v v v( [ u( u( ] u( [ v( v( ] v( v( ( ( v( u( u( u v º paso: lim lim 0 0 v( v( u ( ( u( v ( ( v( v lim u lim 0 0 lim v v º paso: lim 0 ( ( 0 ( ( v( u' ( u( v' ( v( u v v u u ' v v ( ; v 0 [ ] ( [ ( v( ] La erivaa el cociente e os unciones es igual al enominaor multiplicao por la erivaa el numeraor, menos el numeraor multiplicao por la erivaa el enominaor, too iviio entre el cuarao el enominaor. n 0 n ( n n er paso: ( ( n n º paso: ( ( ( ( ( er paso: n! º paso: n n n n! n n n n n ( n ( n( n ( n (! n n! n ( n n( n ( (!! n ( n n n ( ( n n( n n( n ( n ( ( n n lim lim 0 0!!! n n ( n n n '( ( n La erivaa e una potencia e es igual al eponente multiplicao por elevao al eponente menos uno. En resumen aplicano la regla e la caena, en one u ( siguiente orma:, las epresiones anteriores toman la

15 Página el Colegio e Matemáticas e la ENP-UNAM La erivaa Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa ( c 0 u ( c u c v u ( u v u v u u c c c 0 u v v u u 9, v v v 0 u v w u v w w v u v w u v u w v w c c u c u u u ( ( ( 0 u n n u Ejemplos. Aplicano las órmulas e erivación, obtener la erivaa e las siguientes unciones: 0 9 Aplicano la regla e la caena: u u u u u ( ( ( n u u

16 Página el Colegio e Matemáticas e la ENP-UNAM La erivaa Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa para ines prácticos, se eriva a la unción el paréntesis en su conjunto ( u se multiplica por la erivaa el contenio el paréntesis: 0 ( ( ( ( ( ( 9 ( ( ( ( ( ( 0 ( ( ( 0 ( 0 ( 9( 0 ( ( 9( ( ( 9( ( ( ( ( 9( ( ( ( ( ( ( ( 9 ( ( ( ( ( ( ( 9 ( ( 9 ( ( ( ( 9 ( ( 9 ( ( 0 9

17 Página el Colegio e Matemáticas e la ENP-UNAM La erivaa Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa ( 9 9 ( 0 9 ( 9 ( 9 ( ( 9 ( ( ( ( ( 9 9 ( 9 ( ( ( 9 ( ( ( 9 ( ( ( ( ( 0 ( ( 9 (

18 Página el Colegio e Matemáticas e la ENP-UNAM La erivaa Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa ( ( 9 ( ( 0 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 0 ( 9 ( ( 9 ( ( ( 9 ( ( ( 9 ( (

19 Página el Colegio e Matemáticas e la ENP-UNAM La erivaa Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa III. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR e una unción ( La erivaa se conoce como primera erivaa. Si ésta es a su vez una unción erivable, su erivaa se enomina seguna erivaa e la unción original, que se enota como: '' ( La erivaa e la seguna erivaa, en caso e eistir, se conoce como tercera erivaa e la unción: ''' ( n. n n El proceso es sucesivo, mientras eista, la erivaa enésima es: ( Ejemplo. Obtener la tercera erivaa e la unción Ejemplo. Obtener la quinta erivaa e la unción ,0 9

20 Página el Colegio e Matemáticas e la ENP-UNAM La erivaa Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa Ejemplo. Obtener la séptima erivaa e la unción ,00,00,00 III. DERIVADAS DE FUNCIONES EXPRESADAS EN FORMA IMPLÍCITA Como se einió en el primer capítulo, una unción epresaa en orma implícita es e la orma (, 0. Para encontrar la erivaa poría encontrarse su equivalente orma eplícita erivar. Sin embargo, como se sabe, no siempre es ácil espejar la variable epeniente, por lo que resulta necesario erivar en orma implícita. En este sentio, la erivaa proceimiento que consta e los siguientes pasos: e una unción (, 0 se puee obtener eectuano el. Se epresa el operaor a caa término e la unción. Se eriva caa término, consierano la regla el proucto (que en su caso aplique, aemás, tomano en cuenta que la erivaa e una unción en con respecto a es igual a la erivaa e esta unción ( ( con respecto a multiplicaa por la erivaa e con respecto a, esto es:. Se acomoan en el primer miembro toos los términos que posean al operaor en el seguno miembro a los que no lo tengan, siempre respetano las reglas e los signos. 0

21 Página el Colegio e Matemáticas e la ENP-UNAM La erivaa Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa. Se actoriza el operaor. Finalmente, se obtiene la erivaa al espejarla e la epresión resultante. Ejemplos. Hallar la erivaa e las siguientes unciones epresaas en orma implícita: ( (

22 Página el Colegio e Matemáticas e la ENP-UNAM La erivaa Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa ( ( (

23 Página el Colegio e Matemáticas e la ENP-UNAM La erivaa Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa Si se tiene una unción (, 0, se conoce como erivaa parcial e con respecto a a la erivaa e la unción, sólo consierano a como variable lo emás como constante. Se enota como: Similarmente, la erivaa parcial e con respecto a es la erivaa e la unción, sólo consierano a como variable lo emás como constante. Se enota como: Ejemplos. Obtener e las siguientes unciones: Daa una unción implícita e la orma (,, la erivaa puee obtenerse mu ácilmente a través e la aplicación e erivaas parciales, por meio e la siguiente epresión: Ejemplos. Aplicano erivaas parciales, obtener e las siguientes unciones epresaas en orma implícita: La einición e erivaa parcial es mucho más ormal amplia que lo epuesto. El concepto ao aquí es sólo para poseer otro recurso para resolver erivaas epresaas en orma implícita. En cursos posteriores e Cálculo se comprenerá el importante signiicao utilia e una erivaa parcial.

24 Página el Colegio e Matemáticas e la ENP-UNAM La erivaa Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa Ejemplos. Comprobar los resultaos e los primeros cinco ejercicios resueltos e este subtema

25 Página el Colegio e Matemáticas e la ENP-UNAM La erivaa Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa III.9 DERIVADAS DE FUNCIONES EXPRESADAS EN FORMA PARAMÉTRICA Daa una unción epresaa en orma paramétrica, tal como se einió en el tema I., e la orma: Su erivaa viene aa por: ( t ( t Ejemplos. Obtener la erivaa e las siguientes unciones epresaas en orma paramétrica: t t t t t 9 t 0t t t t t t 0 ( t t ( t t ( t t Para hallar se aplica la regla e la caena para encontrar se aplica la regla el proucto: t t t t ( t t ( t t ( t t ( t t ( t t ( t t

26 Página el Colegio e Matemáticas e la ENP-UNAM La erivaa Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa t t t t ( t t ( t t t t t t t t t t 9t t t t Para hallar cociente: se aplica la regla t t u u u t para encontrar t se aplica la regla el t t ( t t ( ( t ( t t ( t t t 9t

27 Página el Colegio e Matemáticas e la ENP-UNAM La erivaa Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa La seguna erivaa e una unción epresaa en orma paramétrica está aa por: t t Ejemplos. Obtener la seguna erivaa e las siguientes unciones epresaas en orma paramétrica: t t t t t t t t t ( t t 0t t t t t ( t ( t ( t ( 9t 0t ( t t ( t t t t t t t t t t t t t ( t 90t ( t 90t III.0 DERIVADA DE FUNCIONES INVERSAS Sea una unción ( en el intervalo abierto ( b inversa es g(, la erivaa viene aa por: a, cua erivaa no cambia e signo. Si su unción

28 Página el Colegio e Matemáticas e la ENP-UNAM La erivaa Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa Ejemplos. Obtener la erivaa e la unción inversa e: ( Forma. Obtenieno la unción inversa: g ( ( ( g Forma. Aplicano la órmula: ( Forma. Obtenieno la unción inversa: g g( Forma. Aplicano la órmula: ( ( ( Forma. Obtenieno la unción inversa: ( g( g( Forma. Aplicano la órmula: Ejemplos. Aplicano la epresión obtener la erivaa e las siguientes unciones: ( (

29 Página el Colegio e Matemáticas e la ENP-UNAM La erivaa Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa Obtenieno la unción inversa: g ( ( ( ( ( ( Obtenieno la unción inversa: ( g( ( Obtenieno la unción inversa: ( ( g( ( ( 0. Obtenieno la unción inversa: 0 ( g( ( 0 ( 0 ( 0 0 III. DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS Las unciones trigonométricas o circulares irectas ueron epuestas con amplitu en el capítulo II el libro e Matemáticas V e esta misma serie. Las erivaas e estas unciones se eucen a continuación: 9

30 Página el Colegio e Matemáticas e la ENP-UNAM La erivaa Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa ( sen cos er paso: ( sen( º paso: ( ( sen( sen consierano la ientia trigonométrica: sen ( a b sen a a b sen b se tiene: ( ( sen er paso: º paso: lim 0 ( ( ( ( cos cos cos sen sen cos lim cos 0 sen pero se sabe que: lim 0 ( ( lim lim cos 0 0 '( ( sen cos sen lim cos 0 cos ( cos sen Aplicano la ientia trigonométrica cos sen π, se tiene: ( sen π erivano la unción: sen π ( cos π pero se sabe que: sen cos π '( ( cos sen sen lim 0 0

31 Página el Colegio e Matemáticas e la ENP-UNAM La erivaa Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa ( tan sec sen ( cos erivano el cociente: cos ( ( cos sen ( sen cos sen ' sec ( cos cos cos '( ( tan sec ( cot csc cos ( sen erivano el cociente: sen sen cos cos '( ( sen csc sen '( ( cot csc ( ( sen cos sen ( cos ( sec sec tan erivano el cociente: ( ( sen ( cos sen sen sec tan cos cos cos ' ' ( ( sec sec tan ( sen ( csc csc cot erivano el cociente: ( ( cos ( sen cos cos csc cot sen sen sen ' ( sen cos sen

32 Página el Colegio e Matemáticas e la ENP-UNAM La erivaa Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa ' ( ( csc csc cot Aplicano la regla e la caena, en one u ( orma:, las epresiones anteriores toman la siguiente u senu cos u u tan u sec u u sec u secu tan u u cos u senu u cot u csc u u csc u cscu cot u Ejemplos. Derivar las siguientes unciones trigonométricas. sen cos cos 9 9 sen 9 sen 9 ( ( tan sec 0 sec ( cot ( ( 0 csc ( ( 0 csc ( sec sec tan sec tan ( csc ( ( csc( cot ( ( 0 csc( cot( sen ( 9 ( 9 cos ( 9 ( 9 0 cos( 9

33 Página el Colegio e Matemáticas e la ENP-UNAM La erivaa Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa cos sen 0 ( 9 tan ( ( ( ( tan ( tan ( sec sec tan 0 ( cot ( sec ( cot ( 0 sec tan ( sec ( ( csc 0 cot sec tan sec csc csc sen ( sen ( ( csc cot ( csc ( ( sen 0 sencsc cot 0csc sen sen cos sen ( sen cos ( cos sen cos Nótese como las unciones e los ejercicios, aunque aparentemente son similares, son mu ierentes: en el primer caso el cuarao está aectano al argumento e la unción. En el seguno caso, el cuarao está aectano a la unción seno. En conclusión, sus erivaas son totalmente istintas. Algo mu similar sucee con los siguientes os ejercicios: cos sen cos ( cos

34 Página el Colegio e Matemáticas e la ENP-UNAM La erivaa Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa cos cot 9 ( cot 9 ( sen cos sen cot 9 csc 9 cot 9 csc 9 ( 0 sec ( tan 9 ( ( 0sec ( ( 9 sec 9 ( tan 9 ( 0( sec tan 0sec sec 9 00 tan 9 sec tan sen0 cos0 ( cos0 ( 0 cos0 ( sen0 ( 0 sen0 ( cos0 0 cos 0 0 sen 0 0 ( cos 0 sen 0 cos 0 cos 0 0 cos 0 0 sec 0 9 tan0 0 sec 0 Se observa como la erivaa e las unciones e los ejercicios 9 son iguales. Eso signiica que aplicar convenientemente ientiaes trigonométricas puee simpliicar notablemente el proceso e erivación. Un caso similar sucee con las erivaas e los ejercicios 0 : 0 sen pero como sen ( ( ( sen ( cos( cos u cot u sen u ( cos( sen ( csc u, se tiene: sen u ( cot( csc ( ( cot( sen (

35 Página el Colegio e Matemáticas e la ENP-UNAM La erivaa Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa csc ( ( csc ( ( csc( cot( ( cot( csc ( III. DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS Las unciones trigonométricas inversas einias poseen reglas e erivación. A continuación se eucen las seis órmulas consierano sus respectivos campos e variación. sen ( sen sen erivano: sen cos cos sen cos cos '( ( sen cos cos ( cos cos erivano: cos sen sen sen cos sen ' ( ( cos sen

36 Página el Colegio e Matemáticas e la ENP-UNAM La erivaa Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa ( tan tan tan erivano: tan sec sec sec tan sec ( '( ( tan ( cot cot cot erivano: cot csc csc csc cot csc ( '( ( cot ( sec sec sec erivano: sec sec tan sec tan sec tan tan sec tan

37 Página el Colegio e Matemáticas e la ENP-UNAM La erivaa Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa ' ( ( sec ( csc csc csc erivano: csc csc cot csc cot csc cot cot csc cot '( ( csc Aplicano la regla e la caena, en one u ( orma:, las epresiones anteriores toman la siguiente u sen u u u tan u u u sec u u u cos cot csc u u u u u u u u u u Ejemplos. Derivar las siguientes unciones trigonométricas inversas: sen ( ( cos 9

38 Página el Colegio e Matemáticas e la ENP-UNAM La erivaa Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa tan ( ( cot 0 0 ( ( 0 00 sec ( 0 ( ( ( ( 9 csc ( ( ( ( 9 ( ( ( sen cos sen cos sen csc tan tan ( ( ( ( ( ( tan cos ( 0tan 0 csc 9 csc ( tan ( (

39 Página el Colegio e Matemáticas e la ENP-UNAM La erivaa Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 9 sec sec ( Por ser unciones inversas, se eliminan: 0 0 cot ( cot ( cot ( ( ( cot ( III. DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS Las reglas e erivación para las unciones eponenciales logarítmicas se eucen a continuación: a log a log a ( log e er paso: ( ( log log log log º paso: ( ( ( er paso: º paso: lim 0 a a a a a ( ( ( ( log lim log 0 log log a a loga lim 0 ' a ( ( log log e a a log a e ( ln ( log a log a e para este caso: a e '( loge e ln e '( ( ln 9

40 Página el Colegio e Matemáticas e la ENP-UNAM La erivaa Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa a a ln a a ln ln a ln a erivano con respecto a : ln a ln a a '( ( a a ln a e e ( a a ln a para este caso: a e ' e ln e e '( ( e e ( ( e ln a Aplicano la regla e la caena, en one u ( orma: Ejemplos. Derivar las siguientes unciones: log ( log log ( sen cos sen log e e log u log e ( a > 0, a ( u a u a u ln u u u u u a a ln u a > 0 u u u e e, las epresiones anteriores toman la siguiente 0

41 Página el Colegio e Matemáticas e la ENP-UNAM La erivaa Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa ln ( ln cos 0 sen cos 0 tan ( ln( ( 9 0 ( ( ( 9 ln 9 ( 9 e e e e log Aplicano la propiea: n log nlog se tiene: 9 ( a a 0 ln ( ( Aplicano la propiea: log log log se tiene: a ln ( log ( log e ( a ( ln ( a

42 Página el Colegio e Matemáticas e la ENP-UNAM La erivaa Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa ln e Aplicano la propiea: ln ln e loga log a log a se tiene: ( ln e ( ln ( log ( e cos ( sen ln Aplicano convenientemente las propieaes e logaritmos se tiene: ln ( sen log cos ln ln log ln cos ln sen ( log ln cos ln sen ln ( log ln cos ln sen ln log e ( cos log cos sen log 0log e ( cos 9 cot