Funciones vectoriales de una variable

Transcripción

1 Cpítulo 4 Funciones vectoriles de un vrible Derivción de funciones vectoriles de un vrible. Teorem del incremento finito y desrrollo de Tylor. Longitud de un rco de curv. Integrl respecto l rco. Aplicciones Este cpítulo está dedicdo l cálculo diferencil e integrl pr funciones vectoriles de vrible rel. En este contexto l noción de derivd está motivd por el problem de trzr tngentes curvs dds en form prmétric. Tmbién sirve pr formulr l noción físic de velocidd instntáne de un prtícul que se mueve en el espcio. Pr un función de vrible rel con vlores vectoriles l derivd se define como en el cso de funciones con vlores reles. Pr que l definición teng sentido bst que l función tome vlores en un espcio vectoril dotdo de un norm, lo que permite formr el cociente incrementl y considerr l existenci de su límite. El cálculo diferencil de funciones vectoriles de vrible rel se desrroll de modo prlelo l de ls funciones con vlores reles, con pequeñs diferencis que surgen en relción con el teorem del incremento finito. Nturlmente que en el cso de funciones vectoriles hy un serie de cuestiones que no se plnten, como son ls reltivs l signo de l derivd, crecimiento y decrecimiento, convexidd, etc. L primer novedd respecto l cso de ls funciones con vlores reles surge en que hor hy interpretciones geométrics y físics muy interesntes: L derivd primer y l derivd segund proporcionn, respectivmente, l velocidd y l celerción de un prtícul que se mueve en el espcio. Uno de los resultdos centrles del cpítulo es l versión del teorem del incremento finito pr funciones vectoriles de vrible rel (4.7, 4.8). En este contexto no es válid l formulción hbitul en términos del vlor de l derivd en un punto intermedio, y l dificultd se resuelve con un formulción en términos de desiguldd en l que interviene un cot de l derivd en el intervlo donde se plic. L versión con desiguldd del teorem del incremento finito es suficiente pr proseguir con el cálculo diferencil y obtener el desrrollo de Tylor de un función vectoril de un vrible en un punto donde l función es derivble m veces, con el resto (o 62

2 término complementrio) en form infinitesiml. Igul que ocurre con el teorem del incremento finito, pr ls funciones vectoriles de vrible rel de clse C m+1, no es válid l form hbitul del resto en l form de Lgrnge, donde interviene un punto intermedio del intervlo. Sin embrgo sigue vliendo l fórmul integrl del resto y con el fin de obtenerl se hce un breve incursión en l integrción vectoril en el ámbito de ls funciones continus con vlores en el espcio euclídeo R n. En est situción es fácil comprobr, rzonndo componente componente, que siguen vliendo los resultdos básicos del cálculo integrl: Integrbilidd de ls funciones continus, desiguldd tringulr pr ls integrles, teorem fundmentl del cálculo, regl de Brrow, cmbio de vrible e integrción por prtes. Como mteril complementrio relciondo con este tem se puede consultr en el péndice D l definición de integrl pr el cso generl de funciones de vrible rel con vlores en un espcio normdo completo. Con el teorem del incremento finito se demuestr que si el movimiento de un prtícul lo describe un cmino de clse C 1 entonces l norm del vector velocidd coincide, en cd instnte, con l celeridd de l prtícul (l mgnitud esclr que mide el cuent kilómetros de un utomóvil). Un consecuenci inmedit de este hecho es l fórmul integrl pr el cálculo de l longitud de l tryectori recorrid por un punto que se mueve siguiendo un tryectori regulr trozos (vése 4.24). L noción de cmino rectificble se expone como cso prticulr de l noción más generl de función de vrición cotd. Ests funciones cundo tomn vlores en R o R n se crcterizn fácilmente en términos de funciones crecientes (vése 4.30 y ). Uno de los objetivos de este cpítulo es el de ir progresndo en l noción de cmino o rco de curv rzonble. L clse de los cminos rectificbles es rzonble desde vrios puntos de vist, y que incluye los cminos regulres trozos y no contiene los ejemplos ptológicos considerdos en el péndice A, como l curv de Peno A.18 y l gráfic de l función de Weierstrss A.17. Un resultdo profundo de l teorí de funciones firm que los cminos rectificbles con vlores en R n son derivbles en csi todo punto, hecho que contrst con el cmino continuo que describe l gráfic de l función de Weierstrss, que no es derivble en ningún punto. Pr cminos rectificbles, usndo l función bscis curvilíne s = v(t) que d l longitud s del cmino recorrido en el instnte t se formul l definición de integrl de un función respecto l rco del cmino. Pr curvs plns, est integrl se puede interpretr como el áre de un trozo de superficie cilíndric cuys genertrices son ortogonles l curv dd. Como otr plicción de est noción de integrl se puede citr el cálculo de l ms totl y del centro de ms de un lmbre que sigue un curv regulr, cundo se conoce l función de densidd que describe l distribución de l ms. 63

3 4.1. Derivd de un función vectoril En lo que sigue ls funciones se suponen definids en un bierto Ω R, o en un intervlo I R, con vlores en un espcio normdo (F, ), unque el lector que lo desee puede suponer l situción hbitul donde F es R n dotdo de culquier norm (recuérdese que en R n tods ls norms son equivlentes). Definición 4.1 Se f : Ω F un función de vrible rel, definid en un bierto Ω R, con vlores en un espcio normdo (F, ). L derivd de f en Ω es el vector f f( + h) f() () = lím h 0 h f(t) f() = lím t t en el supuesto de que el límite exist. Si f es derivble en cd Ω, se dice que f es derivble en Ω. Si un función es derivble en y se cmbi l norm de F por otr equivlente, l función sigue siendo derivble en, con l mism derivd, y que el límite es un noción topológic que no cmbi l reemplzr un norm por otr equivlente. Como en el cso de funciones con vlores reles, se definen ls derivds lterles, por l derech y por l izquierd: f d() = lím t + f(t) f() ; f f(t) f() t i() = lím t t y es inmedito comprobr que f es derivble en si y sólo si existen y son igules ls derivds lterles f i () = f d (). Un función f : I F que está definid en un intervlo I R de extremos α = inf I, β = sup I +, se dice que es derivble cundo es derivble en cd x (α, β), derivble por l derech en α cundo α I, y derivble por l izquierd en β cundo β I. Si f es derivble en cd punto de un bierto Ω R qued definid l función derivd f : Ω F. Si est función es continu se dice que f es de clse C 1 en Ω, y se escribe f C 1 (Ω, F). Si f es derivble en Ω su derivd se llm derivd segund f () = (f ) (). Si existe f (t) en cd t Ω qued definid l función derivd segund f : Ω F, y si est función es continu se dice que f es de clse C 2 y se escribe f C 2 (Ω, F). De mner recurrente se define l derivd m-ésim, denotd f (m) (). Obsérvese que l existenci de f (m) () llev implícit l existenci de f (m 1) (t) en todos los puntos de lgún entorno de. El espcio de ls funciones f : Ω F con derivd m-ésim continu se denot C m (Ω, F). Análogmente, cundo el dominio de f es un intervlo I R, hciendo intervenir ls derivds lterles en los extremos del intervlo que le pertenecen se definen ls derivds sucesivs y el espcio C m (I, F). Proposición 4.2 Se A R un intervlo, o un conjunto bierto. Tod función f : A F derivble en A es continu en. Tod función f : A F derivble por l derech (resp. izquierd) en A es continu por l derech (resp. izquierd) en. 64

4 Dem: Cundo t el cociente f(t) = [f(t) f()]/(t ) tiene límite luego, en virtud de 3.8, (t ) f(t) tiende hci cero, es decir lím t f(t) = f(). El mismo rzonmiento se plic pr ls derivds lterles con ls que se obtiene l correspondiente continuidd lterl. not: El recíproco de l proposición 4.2 es flso: L función rel de vrible rel f(x) = x es continu pero no es derivble en = 0. Cundo F = R n, dotdo de culquier norm, (recuérdese que en R n tods ls norms son equivlentes) se tiene: Proposición 4.3 Se A R un intervlo, o un conjunto bierto y f : A R n, de componentes f(t) = (f 1 (t), f 2 (t), f n (t)). Entonces f es derivble en A si y sólo si tods sus componentes lo son, y en este cso f () = (f 1 (), f 2 (), f n ()). Dem: Ls componentes del cociente incrementl f(t) = [f(t) f()]/(t ) son los cocientes incrementles de ls componentes de f: f(t) = ( f 1 (t), f 2 (t), f n (t)) Según 3.7, un condición necesri y suficiente pr que f(t) teng límite, cundo t, es que tods sus componentes f i (t), 1 i n, tengn límite, y en este cso, el límite es el vector cuys componentes son los límites de ls componentes, es decir (f 1 (), f 2 (), f n ()). Interpretciones físic y geométric de l derivd. Cundo F es el espcio euclídeo R 3 (resp. R 2 ) pr un función de vrible rel f : (α, β) F se puede interpretr que t es el tiempo y que f(t) es l posición, en el instnte t, de un prtícul que se mueve en el espcio (resp. en el plno). El cmbio de posición de l prtícul, desde el instnte t = hst el instnte t = + h, viene ddo por el vector cuerd f( + h) f() que se represent medinte un flech con origen en f() y extremo en f( + h). L velocidd medi de l prtícul, durnte el intervlo de tiempo (, + h) viene dd por el cociente incrementl f(h) = [f( + h) f()]/h. Si este cociente tiene límite cundo h tiende hci 0 el límite f () es un vector que represent l velocidd instntáne de l prtícul en el instnte t =. En est interpretción físic l derivd segund f () proporcion l celerción de l prtícul en ese instnte. Como el cociente incrementl [f( + h) f()]/h tiene l dirección del vector cuerd, f( + h) f(), cundo no es nulo el límite f (), l dirección de este vector será el límite de ls direcciones de ls cuerds determinds por f() y los puntos cd vez más próximos f( + h). Por est rzón se dice que f () es un vector tngente l tryectori f(t) en el instnte t =, que se suele representr medinte un flech con origen en el punto f(). Más delnte se demostrrá que l longitud del vector velocidd f (t) es l celeridd o rpidez de l prtícul (derivd respecto l tiempo, del espcio recorrido sobre l tryectori). 65

5 f() ǫ(h) hf () f( + h) f () f(h) f( + h) f() 0 f(t) 3 Definición 4.4 Si f : Ω F es derivble en Ω, l rect tngente l tryectori f(t) en el instnte t = es l que ps por f() en l dirección del vector f (), de ecución prmétric r(t) = f() + (t )f () Si se utiliz l rect tngente r(t) como proximción locl de l tryectori f(t) en un entorno de t =, el error cometido l psr del vlor t = l vlor t = +h viene ddo por ǫ(h) = f( + h) r( + h) = f( + h) f() hf () Cundo h es muy pequeño, el tmño de error ǫ(h) es desprecible frente h y que, en virtud de l definición de derivd, se cumple ǫ(h) lím h 0 h condición que se suele denotr escribiendo ǫ(h) = o(h). Cundo dos funciones de vrible rel f(t), g(t), definids en un entorno de t = con f() = g() verificn l condición f( + h) g( + h) = o(h) se suele decir que f y g presentn en un tngenci de primer orden, y tmbién que g es un proximción locl de primer orden de f en el punto. Es fácil comprobr que un condición suficiente pr que esto ocurr es que f y g sen derivbles en, con l mism derivd, f () = g (). Cundo f es derivble en el punto, l rect r tngente f en es un proximción locl de primer orden de f en ese punto. Operciones con funciones derivbles Proposición 4.5 Se (F, ) un espcio vectoril normdo, y Ω R bierto. Si f,g : Ω F y α : Ω R son derivbles en Ω, entonces l sum f +g, el producto αf y el cociente f/α := α 1 f (cundo α() 0) tmbién son derivbles en, y se verific: 66 = 0

6 i) (f + g) () = f () + g (); ii) (αf) () = α ()f() + α()f (); iii) (f/α) () = [α()f () α ()f()]/α() 2 Si l norm de F procede de un producto esclr, tmbién se cumple iv) L función producto esclr h(t) = f(t) g(t) es derivble en, y h () = f() g () + f () g() Dem: Ls demostrciones i), ii) y iii) son nálogs ls del cso de funciones con vlores reles y se dejn l cuiddo del lector. En relción con iii) se debe señlr que l ser α continu en, con α() 0, debe existir un entorno de donde α(t) no se nul y en él está definido el cociente f(t)/α(t) = α(t) 1 f(t). Pr demostrr iv), en virtud de l bilinelidd del producto esclr podemos escribir h(t) h() = f(t) g(t) g() + f(t) f() g() y obtenemos l siguiente expresión pr h(t) = [h(t) h()]/(t ): h(t) = f(t) g(t) + f(t) g() Psndo l límite cundo t se obtiene el resultdo, y que el producto esclr de dos funciones vectoriles con límite tiene límite y su vlor es el producto esclr de los límites (vése 3.8) Proposición 4.6 [Regl de l cden] Sen Ω, V R biertos y (F, ) un espcio normdo. Si ϕ : Ω V es derivble en Ω, y f : V F es derivble en b = ϕ(), entonces l función compuest, g : Ω F, g(t) = f(ϕ(t)), es derivble en y g () = ϕ ()f (ϕ()). Dem: En virtud de l definición de derivd ls funciones δ : Ω R, : V F, definids por δ(t) = (x) = ϕ(t) ϕ() t f(x) f(b) x b si si t Ω \ {}, δ() = ϕ () x V \ {b}, (b) = f (b) son continus en y en b respectivmente. Pr todo t Ω y todo x V se cumple: f(x) f(b) = (x b) (x); ϕ(t) ϕ() = (t )δ(t); y sustituyendo en l primer iguldd x = ϕ(t), b = ϕ(), result g(t) g() = f(ϕ(t)) f(ϕ()) = [ϕ(t) ϕ()] (ϕ(t)) = (t )δ(t) (ϕ(t)) 67

7 Como ϕ(t) es continu en (por ser derivble), y (x) es continu en b = ϕ(), su composición (ϕ(t)) es continu en, luego lím t (ϕ(t)) = (b) = f (b), y por lo tnto existe el límite g g(t) g() () = lím = lím t t t δ(t) (ϕ(t)) = ϕ ()f (b) El teorem del vlor medio pr funciones reles de vrible rel segur que si f : [, b] R es continu y derivble en (, b) entonces existe η (, b) tl que f(b) f() = f (η)(b ) ( ) Cundo f está cotd, f (x) M pr todo x (, b), se obtiene que f(b) f() M(b ) ( ) Pr funciones vectoriles de vrible rel no se cumple el teorem del vlor medio: Pr f : [0, 2π] R 2 definid por f(t) = (cost, sen t) se cumple f(2π) f(0) = (0, 0), pero f (t) = ( sen t, cost) (0, 0) pr todo t [0, 2π], es decir, no hy un punto intermedio η [0, 2π] donde se stisfg l iguldd (*). Un ejemplo similr lo suministr l plicción g : R R 3, g(t) = (cost, sen t, t), cuy imgen es l curv llmd hélice. El vector tngente l hélice g (t) = ( sen t, cost, 1) nunc es verticl, mientrs que el vector g(2π) g(0) = (0, 0, 2π) sí lo es. Aunque el teorem del vlor medio no subsiste pr funciones con vlores en un espcio normdo F de dimensión 2, sin embrgo l cotción (**), cundo l derivd es cotd, sigue vliendo pr el cso de funciones con vlores en culquier espcio normdo. Esto se obtendrá como corolrio del siguiente teorem: Teorem 4.7 [Incremento finito] Se (F, ) un espcio normdo. Se supone que f : [, b] F, y g : [, b] R son funciones continus en [, b], derivbles por l derech en (, b) que verificn f d (t) g d (t) pr todo t (, b). Entonces f(b) f() g(b) g() Dem: Pr cd ǫ > 0 se S ǫ [, b] el subconjunto formdo por los x [, b] que cumplen f(x) f() g(x) g()+ǫ(x )+ǫ. Si se demuestr que b S ǫ, psndo l límite, cundo ǫ 0, en l desiguldd f(b) f() g(b) g() + ǫ(b ) + ǫ se obtiene el resultdo desedo. L función h(x) = f(x) f() [g(x) g()+ǫ(x )] es continu en [, b], y h() = 0 luego existe δ > 0 tl que h(t) < ǫ pr todo t [, + δ), es decir S ǫ contiene l intervlo [, +δ) y por lo tnto S ǫ. Entonces podemos considerr el supremo µ = sup S ǫ que es dherente S ǫ. L continuidd de h 68

8 implic que S ǫ = {x [, b] : h(x) ǫ} es un subconjunto cerrdo de [, b] y por lo tnto µ S ǫ. Pr terminr bst que ver µ = b, y esto lo demostrremos por reducción l bsurdo suponiendo µ < b. Como µ + δ >, ls funciones f, g son derivbles por l derech en µ, y por lo tnto existe µ < r < b tl que si µ < t < r se cumple f(t) f(µ) t µ f d (µ) < ǫ/2, g(t) g(µ) t µ g d (µ) < ǫ/2 y en virtud de l desiguldd tringulr f(t) f(µ) t µ f d (µ) + ǫ/2 g(t) g(µ) g d (µ) + ǫ/2 + ǫ/2 + ǫ/2 t µ luego Por otr prte, como µ S ǫ f(t) f(µ) g(t) g(µ) + ǫ(t µ) se cumple f(µ) f() g(µ) g() + ǫ(µ ) + ǫ Usndo l desiguldd tringulr y sumndo miembro miembro ls últims desigulddes se obtiene f(t) f() f(t) f(µ) + f(µ) f() g(t) g() + ǫ(t ) + ǫ es decir, t S ǫ, lo que es bsurdo porque t > µ = sup S ǫ. not: Con ls modificciones obvis, que se dejn l cuiddo del lector, se puede obtener otr versión del teorem nterior reemplzndo ls derivds por l derech por ls derivds por l izquierd. Corolrio 4.8 Se (F, ) un espcio normdo y f : [, b] F, un función continu en [, b] y derivble por l derech en (, b), tl que f d (t) M pr todo t (, b). Entonces f(b) f() M(b ). Dem: Bst plicr el teorem 4.7 con g(t) = Mt. Corolrio 4.9 Se (F, ) un espcio normdo y f : [, b] F, un función continu en [, b] y derivble en (, b). Si f (t) = 0 pr todo t (, b) entonces f es constnte. Dem: En cd [, x] [, b] se plic el corolrio 4.8 con M = 0 y se obtiene f() = f(x). Corolrio 4.10 Si g : [, b] R es continu y derivble por l derech en cd t (, b), con g d (t) 0, entonces g es creciente. Dem: Bst plicr el teorem 4.7, con f = 0, en cd [x, y] [, b]. 69

9 4.2. Desrrollo de Tylor Se (F, ) un espcio normdo y f : Ω F un función definid en un bierto Ω R, derivble m veces n Ω. Llmremos polinomio de Tylor de f en, de grdo m, l función vectoril de vrible rel P m (x ) = f()+f ()(x )+ 1 2! f ()(x ) ! f ()(x ) m! f(m) ()(x ) m (donde se h utilizdo el convenio de escribir 1 k! f(k) ()(x ) k en lugr de (x )k k! f (k) ()). Obsérvese que se trt de un polinomio en un sentido generlizdo, pues los coeficientes 1 k! f(k) () son hor vectores del espcio normdo F. Teorem 4.11 Se (F, ) un espcio normdo y f : Ω F un función definid en un bierto Ω R. Si f es derivble m veces en Ω y P m (x ) es su polinomio de Tylor en de grdo m, entonces f(x) = P m (x ) + R m (x ) donde R m (x ) = o( x m ), es decir R m (x ) lím x x = 0 m Dem: En lo que sigue escribimos h = x. L demostrción se hce por inducción sobre m. El resultdo es inmedito cundo m = 1 pues P 1 (h) = f() + hf () y en virtud de l definición de derivd, R 1 (h) = f( + h) f() hf () cumple l condición requerid. Se comprueb fácilmente que el polinomio de Tylor de grdo m 1 de l función f en el punto es P m(x ). Suponiendo el teorem cierto pr funciones derivbles m 1 veces en, (con m 2) y plicándolo f, definid en un cierto entorno de, result f ( + h) = P m(h) + r m 1 (h), donde r m 1 (h) = o( h m 1 ). Derivndo respecto l vrible h en l iguldd f( + h) = P m (h) + R m (h) se obtiene que R m (h) = r m 1(h), luego R m lím (h) h 0 h = 0 m 1 y pr terminr bst ver que est condición implic que R m (h) = o( h m ). Efectivmente, como R m (h) = f( + h) P m (h) es derivble dos veces en 0 (porque m 2) podemos segurr que existe η > 0 tl que R m (h) es derivble en ( η, η). Ahor, por l definición de límite, ddo ǫ > 0 podemos encontrr 0 < δ < η tl que pr todo t (0, δ) se cumple R m (t) t m 1 < ǫ Si 0 < s < δ, pr todo t (, s) es ciert l desiguldd R m (t) ǫtm 1 = g (t), con g(t) = (ǫ/m)t m. Aplicndo el teorem 4.7 ls funciones R m, g en el intervlo [0, s] result R m (s) R m (0) ǫ m sm ǫs m 70

10 Como R m (0) = 0, se puede segurr que 0 < s < δ R m (s) s m < ǫ. Análogmente, podemos obtener δ < η tl que δ < s < 0 R m (s) s m < ǫ Qued demostrdo que lím s 0 R m (s) s m = 0, luego R m(h) = o( h m ). Proposición 4.12 Se (F, ) un espcio normdo, f : Ω F un función de clse C m y P m (x ) su polinomio de Tylor en de grdo m Se [, x] Ω un intervlo tl que en cd t (, x) existe l derivd f (m+1) (t) y verific f (m+1) (t) M. Entonces pr el término complementrio o resto R m (x ) = f(x) P m (x ) vle l cotción M R m (x ) (x )m+1 (m + 1)! Dem: Ofrecemos un demostrción por inducción sobre m. El resultdo es cierto pr m = 0 en virtud de 4.8. Suponemos que el teorem es cierto hst el orden m y demostrremos que tmbién lo es hst el orden m + 1. Pr ello se consider l función uxilir [ v(t) = f( + th) f() + thf () + + t m h m 1 ] m! f(m) () donde h = x > 0, cuy derivd es [ ] v (t) = hf ( + th) h f () + thf () + + t m 1 h m 1 1 (m 1)! f(m) () Si plicmos l hipótesis de inducción l función f en el intervlo [, + th] se obtiene [ ] m 1 f ( + th) f 1 () + k! f(k) ()t k h k = r m 1 (th) donde r m 1 (th) M m! tm h m. Como v (t) = hr m 1 (th) result y plicndo 4.7 con g(t) = es decir k=1 v (t) h r m 1 (th) M m! tm h m+1 M (m+1)! tm+1 h m+1 se obtiene v(1) v(0) g(1) g(0) = R m (x ) M (m + 1)! hm+1 M (x )m+1 (m + 1)! 71

11 4.3. Integrl de un función vectoril L integrl de Riemnn de un función cotd f : [, b] R n se puede definir en términos de sus componentes. Se dice que f = (f 1, f 2, f n ) es integrble Riemnn cundo tods sus componentes lo son y en ese cso se define ( ) f(t)dt = f 1 (t)dt, f 2 (t)dt,, f n (t)dt es decir, l integrl de f es el vector cuys componentes son ls integrles de sus componentes. L teorí de l integrl de Riemnn pr funciones de un vrible rel con vlores en R n se desrroll directmente, prtir de l definición, tomndo como bse los resultdos conocidos pr el cso n = 1. Es inmedit l integrbilidd de ls funciones continus y tmbién lo es l linelidd de l integrl y l ditividd de l integrl respecto l intervlo: i) Si ls funciones f,g : [, b] R n son integrbles y α, β R, entonces αf + βg es integrble y (αf(t) + βg(t))dt = α f(t)dt + β g(t)dt. ii) Si c b, l función f : [, b] R n, es integrble si y sólo si f [,c] y f [c,b] lo son, y en ese cso f(t)dt = c f(t)dt + f(t)dt. c Se P([, b]) el conjunto de ls subdivisiones de [, b]. Pr un subdivisión p P([, b]), p = ( = t 0 < t 1 < < t m = b), diremos que η = (η 1 η 2, η m ) es un sistem de puntos socido p si η j [t j 1, t j ] pr cd j {1,, m}. Un sum de Riemnn socid p es un sum de l form Σ(f, p, η) = m (t i t i 1 )f(η j ) k=1 donde η = (η 1 η 2, η m ) es un sistem de puntos socido p. Obsérvese que ls componentes del vector Σ(f, p, η) son ls sums de Riemnn de ls funciones componentes, Σ(f, p, η) = (Σ(f 1, p, η), Σ(f 2, p, η), Σ(f n, p, η)). En lo que sigue l sum de Riemnn formd con los puntos η j = t j 1, 1 j m, l denotremos más brevemente Σ(f, p). Lem 4.13 Si f : [, b] R n es integrble Riemnn, pr cd ǫ > 0 existe p ǫ P([, b]) tl que si p P([, b]) es más fin que p ǫ se cumple Σ(f, p) f(t)dt < ǫ Dem: El resultdo, que es bien conocido pr funciones con vlores reles, se extiende fácilmente l cso de un función f = (f 1, f 2,, f n ) con vlores en R n : Pr cd j {1, 2,, n} existe p j ǫ P([, b]) tl que si p P([, b]) es más fin que p j ǫ se cumple [ ] Σ(f j, p) f j (t)dt < ǫ 72

12 Se p ǫ P([, b]) más fin que tods ls p j ǫ, 1 j n. Entonces, si p P([, b]) es más fin que p ǫ podemos segurr que pr todo j {1, 2, n} se cumple [ ], y teniendo en cuent que Σ(f j, p) son ls componentes del vector Σ(f, p), result f(t)dt Σ(f, p) < ǫ Puesto que en R n tods ls norms son equivlentes, el resultdo del lem nterior se sigue verificndo pr culquier norm en R n. not: Dd un subdivisión p P([, b]), p = ( = t 0 < t 1 < < t m = b) se define (p) = máx{t j t j 1 : 1 j m}. Es bien conocido que si l función f : [, b] R es integrble Riemnn entonces lím (p) 0 Σ(f, p) = f(t)dt (vése [12]) III, 1.4.2). Lo mismo se sigue cumpliendo en el cso de funciones con vlores en R n, pero este resultdo, cuy demostrción es sencill pr el cso de funciones continus, no será utilizdo quí. En el cso de funciones vectoriles, l propiedd de monotoní de l integrl no tiene sentido, pero se sigue verificndo: Proposición 4.14 Si f : [, b] R n es continu y es un norm sobre R n entonces l función f tmbién es continu y se verific ) b f(t)dt f(t) dt; b) f(t)dt = c f(t)dt + c f(t)dt si c b. c) L función g : [, b] R n definid por g(x) = x f(t)dt es derivble en [, b] y g (x) = f(x) pr todo x [, b] (en y b se considern ls derivds lterles correspondientes). Dem: ) Vemos en primer lugr un demostrción elementl pr el cso prticulr de l norm euclíde 2. L desiguldd del enuncido bst estblecerl cundo el vector v = f(t) no es nulo. En este cso, considerndo el vector unitrio u = v/ v 2 podemos escribir n ( b n ) v 2 = u v = u i f i (t)dt = u i f i (t) dt i=1 n u i f i (t) dt i=1 i=1 u 2 f(t) 2 dt = f(t) 2 dt donde l últim desiguldd es consecuenci de l desiguldd de Cuchy-Schwrz. 73

13 En el cso de un norm rbitrri en R n, con el lem 4.13 podemos conseguir un sucesión p k P([, b]), donde cd p k es más fin que p k 1, tl que f(t)dt = lím k Σ(f, p k ) y f(t) dt = lím k Σ( f, p k ) En virtud de l desiguldd tringulr Σ(f, p k ) Σ( f, p k ) y usndo l continuidd de l norm se obtiene f(t)dt = lím Σ(f, p k) lím Σ( f, p k ) = f(t) dt. k k L demostrción de b) y c) es inmedit rzonndo componente componente. not: En el cpítulo 10 se verá el teorem de Lebesgue que crcteriz ls funciones integrbles Riemnn. Usndo este teorem es fácil demostrr que si f : [, b] R n es integrble Riemnn entonces l función esclr t f(t) tmbién es integrble y se cumple ) (vése D.14). Pr l norm euclíde se puede dr un demostrción elementl de este hecho bsd en l siguiente propiedd: Si ϕ : [, b] [0, + ) es integrble Riemnn, tmbién lo es su ríz cudrd ϕ (que se dej como ejercicio). Corolrio [Regl de Brrow] Si g : [, b] R n es derivble con derivd continu se verific g(b) g() = g (t)dt. -[Integrción por prtes] Si ls funciones f : [, b] R n, ϕ : [, b] R son derivbles con derivd continu, se verific ϕ(b)f(b) ϕ()f() = ϕ (t)f(t)dt + ϕ(t)f (t)dt Teorem 4.16 Se f : Ω R n de clse C m+1, donde Ω R es bierto y P m (x ) su polinomio de Tylor de grdo m en Ω. Si [, x] Ω entonces vle l siguiente fórmul integrl pr el resto R m (x ) = f(x) P m (x ) R m (x ) = (x )m+1 m! 1 0 (1 t) m f (m+1) ( + t(x ))dt Dem: Si h = (x ), l función v(t) = f( + th), está definid en el bierto U = {t : + th Ω} [0, 1], donde dmite derivds sucesivs continus, hst l de orden m + 1, que vienen dds por: v (t) = hf ( + th), v (t) = h 2 f ( + th), v (m+1) (t) = h (m+1) f (m+1) ( + th) L función g(t) = v(t) + (1 t)v (t) + 1 (1 2! t)2 v (t) (1 m! t)m v (m) (t) es derivble con derivd continu en [0, 1]: [ ] (1 t) g (t) = v (t) + [(1 t)v (t) v m (t)] + + v (m+1) (1 t)m 1 (t) m! (m 1)! v(m) (t) y cncelndo términos en est sum telescópic result g (t) = (1 t)m v (m+1) (t) = m! (1 t)m h m+1 f (m+1) ( + th) m! 74

14 y plicndo D.12 se obtiene g(1) g(0) = 1 0 g (t)dt = hm+1 m! 1 0 (1 t) m f (m+1) ( + th)dt El resultdo se obtiene observndo que [ g(1) g(0) = v(1) v(0) + v (0) ] m! v(m) (0) = = f( + h) ] [f() + hf () + + hm m! f(m) () = R m (h) - En el péndice D se exponen dos lterntivs pr definir l integrl en el cso de funciones con vlores en un espcio normdo completo. El lector interesdo podrá precir que el teorem nterior sigue vliendo en este contexto más generl. - Pr funciones con vlores en R n (o más generlmente en un espcio normdo completo) el resultdo 4.12, con l hipótesis lgo más restrictiv de que l función se de clse C m+1, se puede obtener como consecuenci inmedit de 4.16 usndo l propiedd 4.14 ) Cminos rectificbles Comenzmos con l terminologí socid un plicción γ : [, b] E, con vlores en un espcio normdo (E, ). Si γ : [, b] E es continu y γ([, b]) Ω se dice que γ es un cmino o tryectori en Ω E. El origen (resp. extremo) del cmino es el punto γ() (resp. γ(b)) y si γ() = γ(b) se dice que el cmino es cerrdo. L multiplicidd de un punto x γ([, b]) es el número Crd{t [, b] : γ(t) = x}. Los puntos de multiplicidd 1 se llmn simples. Un cmino es simple cundo todos los puntos de su imgen son simples, es decir, cundo es inyectivo. Un cmino cerrdo γ : [, b] E se dice que es simple cundo cd x γ((, b)) es simple y γ() = γ(b) tiene multiplicidd 2. Cundo E = R 3 podemos interpretr que el prámetro t es el tiempo y que γ(t) R 3 es l posición, en el instnte t, de un punto que se mueve en el espcio recorriendo un tryectori que puede psr por un mismo punto vris veces. Dos cminos γ i : [ i, b i ] E se dice que son topológicmente equivlentes cundo existe un biyección continu h : [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ] tl que γ 1 = γ 2 h. Est biyección necesrimente es estrictmente monóton. Cundo es creciente se dice que los cminos son topológicmente equivlentes con l mism orientción y cundo es decreciente se dice que los cminos son topológicmente equivlentes con orientciones opuests. En el primer cso los dos cminos tienen el mismo origen y el mismo extremo. En el segundo cso el origen de un cmino coincide con el extremo del otro y los dos cminos recorren el mismo tryecto, pero en sentidos opuestos. En el conjunto de los cminos en el espcio normdo E qued definid sí un relción de equivlenci. Cd clse de equivlenci se dice que es un curv o un 75

15 rco de curv. Cd representnte de l clse se dice que es un representción prmétric de l curv. L clse de equivlenci [γ] del cmino γ está formd por los cminos que se deducen de γ efectundo un cmbio de prámetro continuo estrictmente monótono. Si γ : [, b] E es derivble y l derivd t γ (t) es continu en [, b] se dice que γ es un cmino de clse C 1. Entre cminos de clse C 1, procediendo en form similr, pero considerndo cmbios de prámetro de clse C 1 con derivd no nul h : [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ], se pueden definir cminos C 1 -equivlentes, relción de equivlenci que d lugr l noción de rco de curv de clse C 1. Proposición 4.17 Si dos cminos simples γ i : [ i, b i ] E, i = 1, 2, tienen l mism imgen son topológicmente equivlentes y definen el mismo rco de curv. Dem: K = γ 1 ([ 1, b 1 ]) = γ 2 ([ 2, b 2 ]) es compcto y en virtud de 3.15 ls biyecciones continus γ i : [ i, b i ] K (i=1,2) tienen invers continu. L biyección continu h = γ 1 2 γ 1 : [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ] cumple γ 1 = γ 2 h. Un prtición o subdivisión del intervlo [, b] es un fmili finit de puntos del intervlo que contiene los extremos, p = ( = t 0 < t 1 < t 2 t m = b). En lo que sigue denotremos por P(I) l conjunto de ls subdivisiones del intervlo I = [, b]. Si p, p P(I), se dice que p es más fin que p cundo p p. Dd un plicción f : [, b] (E, ), pr cd p P(I), l vrición de f reltiv p es l sum V (f, p) = m f(t j ) f(t j 1 ) j=1 Usndo l desiguldd tringulr se comprueb fácilmente que si p P(I) es más fin que p P(I) entonces V (f, p) V (f, p ) (bst comprobrlo cundo p se obtiene ñdiendo un punto p). L vrición totl de f sobre [, b] es l cntidd V (f, [, b]) = sup{v (f, p) : p P(I)} + Cundo V (f, [, b]) < + se dice que f : [, b] E es de vrición cotd o de vrición totl finit. El conjunto de ls funciones f : [, b] E que son de vrición cotd se suele denotr BV ([, b], E). Si f BV ([, b], E), pr cd pr de puntos x < y b se cumple f(x) f(y) V (f, [, b]). De est desiguldd se deduce que f es cotd y que f(x) f() + V (f, [, b]) pr todo x [, b] Tmbién se deduce que f es constnte si y sólo si V (f, [, b]) = 0. Si f : [, b] (E, ) es de vrición cotd es fácil ver que tmbién lo es respecto culquier norm equivlente l norm dd en E. L noción de plicción de vrición cotd tmbién se puede definir de modo nálogo pr funciones con vlores en un espcio métrico (E, d), utilizndo ls sums V (f, p) = m j=1 d(f(t j),f(t j 1 )), pero puede ocurrir que f : [, b] (E, d) se de vrición 76

16 cotd pr l distnci d pero no lo se pr otr distnci equivlente (vése el ejercicio 4.31). not:(pr el lector fmilirizdo con l teorí de redes): P(I) es un conjunto dirigido por refinmiento y (V (f, p)) p P(I) es un red creciente de números reles que converge, en l rect rel mplid, hci lím V (f, p) = V (f, [, b]) p P(I) Definición 4.18 Un cmino γ : [, b] E, en un espcio normdo (E, ) se dice que es rectificble cundo es de vrición cotd. En ese cso l vrición totl se le llm longitud del cmino: Long(γ) = V (γ, [, b]). Sbemos que si un cmino γ en un espcio normdo (E, ), es rectificble tmbién lo es pr culquier norm equivlente que se considere en E. Sin embrgo el vlor numérico de su longitud depende esencilmente de l norm que se esté usndo. Obsérvese que un segmento σ(t) = ty + (1 t)x, 0 t 1, de origen x y extremo y, es un cmino rectificble de longitud Long(σ) = y x. No obstnte, cundo se hble de l longitud de un cmino en el espcio E = R n se entenderá, slvo mención expres de otr cos, que se trt de su longitud euclíde, es decir, l longitud clculd usndo l norm euclíde de R n. Proposición 4.19 Si γ i : [ i, b i ] E, i = 1, 2, son cminos topológicmente equivlentes, entonces γ 1 es rectificble si y sólo si lo es γ 2 y en este cso V (γ 1, [ 1, b 1 ]) = V (γ 2, [ 2, b 2 ]) es decir Long(γ 1 ) = Long(γ 2 ) Dem: Por hipótesis existe un biyección continu h : [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ] tl que γ 1 = γ 2 h. Como h es estrictmente monóton, qued estblecid un biyección nturl p p, entre ls subdivisiones de [ 1, b 1 ] y ls de [ 2, b 2 ] (si h es decreciente viene dd por p = (t 0 < t 1 < < t m ) p = (h(t m ) < h(t m 1 ) < < h(t 0 )). L conclusión se obtiene observndo que V (γ 1, p) = V (γ 2, p). not: El resultdo de l proposición nterior tmbién se cumple cundo γ 1 = γ 2 h donde h : [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ] es monóton continu y sobreyectiv, pero no se supone inyectiv. Bst tener en cuent que en este cso l plicción p p unque no es biyectiv, es sobreyectiv y se sigue verificndo V (γ 1, p) = V (γ 2, p). En virtud de l proposición 4.19 se puede decir que un rco de curv es rectificble cundo un (y por consiguiente tods) sus representciones prmétrics lo son. En ese cso, tods ls representciones prmétrics tienen l mism longitud que, por definición, es l longitud del rco de curv. Proposición 4.20 ) Tod función monóton f : [, b] R es de vrición cotd y V (f, [, b]) = f(b) f() 77

17 b) Si f : [, b] E cumple l condición de Lipschitz, f(x) f(y) M x y pr cd x, y [, b] entonces f es un cmino rectificble y V (f, [, b]) M b. c) Todo cmino derivble f : [, b] E con derivd cotd (en prticulr, todo cmino de clse C 1 ) es rectificble. Dem: L demostrciones de ) y b) son rutinris y se dejn l cuiddo del lector. c) es consecuenci de b): Si f es derivble con derivd cotd, en virtud de 4.8 se cumple l condición de Lipschitz con M = sup{ f (x) : x [, b]}. En l siguiente proposición, si f no es de vrición cotd, l iguldd se cumple con el convenio: + + (+ ) = +, + + u = u + (+ ) = + si u R. Proposición 4.21 Si x b, entonces V (f, [, b]) = V (f, [, x]) + V (f, [x, b]). Por lo tnto, si f es de vrición cotd (en prticulr, un cmino rectificble) tmbién lo es su restricción culquier intervlo [x, y] [, b]. Dem: Si x = ó x = b el resultdo es evidente. Supongmos < x < b. Pr cd p P([, b]) se p x l subdivisión obtenid ñdiendo p el punto x, y p, p ls subdivisiones que p x induce en [, x] y en [x, b] respectivmente. V (f, p) V (f, p x ) = V (f, p ) + V (f, p ) V (f, [, x]) + V (f, [x, b]) y considerndo el supremo de ls cntiddes V (f, p) result V (f, [, b]) V (f, [, x]) + V (f, [x, b]) Recíprocmente, pr cd p P([, x]) y cd p P([x, b]) se p P([, b]) l subdivisión formd con los puntos de p y p. V (f, p ) + V (f, p ) = V (f, p) V (f, [, b]) Considerndo primero el supremo de ls cntiddes V (f, p ) y luego el supremo de ls cntiddes V (f, p ) result V (f, [, x]) + V (f, [x, b]) V (f, [, b]) Definición 4.22 Si f : [, b] E es de vrición cotd se llm vrición indefinid de f l función v : [, b] [0, + ) definid por v(x) = V (f, [, x]) si < x b, v() = 0. En virtud de l proposición 4.21, l vrición indefinid v es un función creciente que cumple f(x) f(y) V (f, [x, y]) = v(y) v(x) pr todo [x, y] [, b]. 78

18 Teorem 4.23 En ls condiciones de l definición 4.21, f es continu por l izquierd (resp. derech) en x (, b] (resp. x [, b) ), si y sólo si v es continu por l izquierd (resp. derech) en x. En prticulr, si f es un cmino rectificble de longitud L, su vrición indefinid v : [, b] L es un función creciente continu y sobreyectiv. Dem: Supongmos que f es continu por l izquierd en x (, b]. Según l definición de V (f, [, x]), ddo ǫ > 0 existe p P([, x]) tl que V (f, p) V (f, [, x]) ǫ/2 Al refinr p se conserv l desiguldd nterior y ñdiendo un punto si es necesrio podemos suponer que p = (t 0 < t 1 < < t n 1 < t n = x), donde t n 1 h sido elegido suficientemente próximo x pr que, en virtud de l continuidd por l izquierd de f en x, se pued segurr que t n 1 t x f(t) f(x) < ǫ/2 En ests condiciones, si t n 1 < t < x se cumple n 1 v(t) = V (f, [, t]) V (f, [, t n 1 ]) f(t i ) f(t i 1 ) = V (f, p) f(x) f(t n 1 ) V (f, [, x]) ǫ/2 ǫ/2 = v(x) ǫ y qued demostrdo que v es continu por l izquierd en x. Análogmente demuestr l continuidd por l derech, cundo x [, b). Recíprocmente, teniendo en cuent que pr cd pr de puntos x < y b se verific f(x) f(y) V (f, [x, y]) = v(y) v(x), es inmedito que f es continu por l izquierd (resp. derech) en cd punto donde v se continu por l izquierd (resp. derech). i=1 Teorem 4.24 Si f : [, b] E es un cmino de clse C 1 su vrición indefinid v(t) = V (f, [, t]) tmbién lo es y v (x) = f (x) pr cd x [, b]. Por lo tnto V (f, [, b]) = f (x) dx Dem: Si f es derivble con derivd continu y hemos indicdo en 4.20 que f es de vrición cotd y por lo tnto podemos considerr su vrición indefinid. Probremos en primer lugr que si x < b entonces v es derivble por l derech en x con v d (x) = f (x). Si x < s b se M(x, s) = máx{ f (t) : x t s}. En virtud del teorem del incremento finito, pr todo t, t [x, s] se verific f(t) f(t ) M(x, s) t t luego, en virtud de 4.20 b) V (f, [x, s]) M(x, s) s x 79

19 Como f es continu en x, ddo ǫ existe δ > 0 tl que t [, b], t x < δ f (t) f (x) < ǫ Se s (, b] tl que s x < δ. Entonces pr todo t [x, s] se cumple f (t) f (x) + ǫ luego M(x, s) f (x) + ǫ y se obtiene v(s) v(x) = V (f, [x, s]) ( f (x) + ǫ) s x (4.1) Por otr prte, utilizndo l definición de derivd y l continuidd de l norm f (x) = lím f(s) f(x) s x s x y podemos suponer que el número δ > 0 h sido elegido de modo que pr todo s (x, b] con s x < δ se cumple l desiguldd f (x) ǫ f(s) f(x) s x (4.2) Combinndo 4.1 y 4.2 con l desiguldd f(s) f(x) v(s) v(x) se concluye que pr todo s (x, b] con s x < δ se verific f (x) ǫ v(s) v(x) s x f (x) + ǫ Esto prueb que v es derivble por l derech en x y que v d (x) = f (x). Análogmente se prueb, cundo < x, que v es derivble por l izquierd en x con v i (x) = f (x). Finlmente, en virtud del teorem fundmentl del cálculo V (f, [, b]) = v(b) v() = v (x)dx = f (x) dx Ddos dos cminos γ 1 : [ 1, b 1 ] E, y γ 2 : [ 2, b 2 ] E tles que b 1 = 2, si el extremo del primero coincide con el origen del segundo, l yuxtposición γ = γ 1 γ 2, es el cmino γ : [ 1, b 2 ] E definido por γ(t) = γ 1 (t) si t [ 1, b 1 ]; γ(t) = γ 2 (t) si t [ 2, b 2 ] Análogmente se define l yuxtposición γ = γ 1 γ 2 γ n de un número finito de cminos. que, en virtud de 4.21, será rectificble, si y sólo si cd γ k lo es, y en ese cso Long(γ) = m k=1 Long(γ k). Se dice que un cmino γ : [, b] E es de clse C 1 trozos ó regulr trozos cundo se puede expresr como yuxtposición de un número finito de cminos de clse C 1, es decir, cundo existe un subdivisión = x 0 < x 1 < x 2 < x n = b tl que cd γ k = γ [xk 1,x k ] es de clse C 1. En los puntos x k, 1 < k < n, existen ls derivds lterles γ i (x k), γ d (x k) pero no está segurd l derivbilidd. Es decir, los cminos regulres trozos son derivbles excepto en un conjunto finito de puntos, donde existen ls derivds lterles y son distints. Por ello, los correspondientes puntos de l imgen γ([, b]) se les llm vértices del cmino. El teorem 4.24 se extiende fácilmente l cso de los cminos regulres trozos. 80

20 Teorem 4.25 Todo cmino γ : [, b] E regulr trozos es rectificble y su longitud viene dd por l integrl Long(γ) = γ (t) dt (L función γ (t) se supone definid de modo rbitrrio en los puntos donde l derivd no existe). Dem: Por hipótesis, hy un subdivisión = x 0 < x 1 < x 2 < < x m = b tl que cd γ k = γ [xk 1,x k ] es de clse C 1. Según 4.24 cd γ k es rectificbles con Long(γ k ) = xk γ k (t) dt x k 1 (en los extremos de [x k 1, x k ] el vlor de γ k es el de l correspondiente derivd lterl). Entonces γ = γ 1 γ 2 γ n tmbién es rectificble y Long(γ) = n Long(γ k ) = k=1 n k=1 xk γ k (t) dt x k 1 L función γ (t) no está definid en los puntos x k, 1 < k < n. Si en estos puntos se supone definid de modo rbitrrio se obtiene un función integrble en cd intervlo [x k 1, x k ] con xk x k 1 γ (t) dt = xk γ k (t) dt x k 1 (obsérvese que γ k es continu en [x k 1, x k ] y coincide con γ en (x k 1, x k )). En virtud del teorem de dición de l integrl respecto l intervlo se concluye que γ es integrble en [, b] y que Long(γ) = n k=1 xk x k 1 γ k (t) dt = n xk k=1 x k 1 γ (t) dt = γ (t) dt Cminos referidos l rco. Cundo γ : [, b] E es un cmino rectificble de longitud L, su vrición indefinid v(t) = V (γ, [, t]) se suele llmr bscis curvilíne del cmino. En virtud de 4.21 y 4.23 l bscis curvilíne es un función creciente continu y sobreyectiv v : [, b] [0, L] cuy interpretción físic es obvi: Si se piens que t es el tiempo, entonces s 0 = v(t 0 ) es l longitud del cmino que h recorrido el punto γ(t) desde el instnte inicil t = hst el instnte t = t 0. Cundo el cmino es de clse C 1, según est interpretción físic, s v (t) t es un vlor proximdo de l longitud que recorre l prtícul en un intervlo de tiempo pequeño (t, t + t), luego v (t) es l rzón de cmbio instntáne de l longitud 81

21 recorrid, dentro de l curv, frente l tiempo. A est rzón de cmbio se le suele llmr celeridd o rpidez. Según el teorem 4.24 l rpidez v (t) es precismente l longitud γ (t) del vector velocidd. Si γ no es inyectiv puede ocurrir que γ(t) pse por un mismo punto x = γ(t 1 ) = γ(t 2 ) en dos instntes distintos t 1 < t 2, de modo x puede tener dos bsciss curvilínes distints y en ese cso convendrá precisr diciendo que s i = v(t i ) es l bscis curvilíne de x que corresponde l vlor t i del prámetro. Si v es estrictmente creciente con el cmbio de vrible t = v 1 (s) se obtiene l representción prmétric γ(s) = γ(v 1 (s)), definid en [0, L]. El cmino γ se dice que está referido l rco como prámetro y que el punto γ(s) es el punto de l curv l que se lleg después de recorrer sobre l mism un tryecto de longitud s. Tmbién se dice que el prámetro de γ es el rco. Se puede formlizr est definición diciendo que un cmino rectificble γ, de longitud L, está referido l rco como prámetro cundo su dominio es [0, L] y pr cd s [0, L] l longitud de γ [0,s] es s. En prticulr, cundo γ es de clse C 1 y γ (t) 0 pr todo t [, b] se cumple que l bscis curvilíne v(t) es estrictmente creciente, y que v (t) = γ (t) > 0 pr todo t [, b]. Si s = v(t), en virtud de l regl de l cden, v (t) = γ (t) = γ (s)v (t) = γ (s) v (t), luego γ (s) = 1 pr todo s [0, L]. Se puede obtener lo mismo usndo el teorem 4.24 y que l vrición indefinid de γ es v(s) = s Integrl respecto l rco Cundo l bscis curvilíne del cmino rectificble γ no es estrictmente creciente, unque no se puede definir el cmino equivlente γ, sin embrgo es posible definir un cmino, que seguimos denotndo γ, que está referido l rco como prámetro, tiene su mism longitud y verific γ v = γ. Este cmino se obtiene de modo informl olvidndo los intervlos de tiempo durnte los que γ(t) está prdo. Así se consigue un cmino sin prds cuy bscis curvilíne es estrictmente creciente y por lo tnto dmite un prmetrizción equivlente γ cuyo prámetro es el rco. Formlmente γ qued definido medinte l siguiente proposición: Proposición 4.26 Se γ : [, b] E un cmino rectificble de longitud L y v(t) = V (γ, [, t]) su bscis curvilíne. Entonces existe un único cmino γ : [0, L] E tl que γ(v(t)) = γ(t) pr todo t [, b]. El cmino γ es rectificble, de longitud L y está referido l rco como prámetro. Dem: Como v : [, b] [0, L] es continu y sobreyectiv, pr cd s [0, L] existe t [, b] tl que s = v(t). Si s = v(t) = v(t ) con t < t entonces V (γ, [t, t ]) = v(t ) v(t) = 0 luego γ es constnte en [t, t ]. Esto prueb que γ es constnte en el intervlo {t [, b] : v(t) = s}, con lo cul se puede definir γ(s) como ese vlor constnte. Evidentemente γ(s) = γ(t) siempre que s = v(t). En virtud de l not que sigue l proposición 4.19 el cmino γ es rectificble de longitud L y está referido l rco como prámetro y que si s [0, L] y v(t) = s se cumple V ( γ, [0, s]) = V ( γ v, [, t]) = V (γ, [, t]) = v(t) = s 82

22 Definición 4.27 Si γ([, b]) E es rectificble y g : γ([, b]) R es cotd, l integrl de g respecto l rco del cmino γ se define medinte l integrl de Riemnn L g( γ(s))ds siempre que est integrl exist. Pr ell se us l notción 0 L g dγ = g( γ(s))ds Tod función continu sobre un rco de curv rectificble es integrble respecto l rco. Cundo g es l función 1 el vlor de l integrl es l longitud del cmino γ. Si γ es de clse C 1, en virtud del teorem 4.24 l bscis curvilíne v(t) tmbién lo es, y efectundo el cmbio de vrible s = v(t) result L g dγ = g( γ(s))ds = g(γ(t))v (t)dt = g(γ(t)) γ (t) dt 0 y est últim fórmul es l que h motivdo l notción utilizd pr l integrl respecto l rco. Más generlmente, si γ es regulr trozos se obtiene un expresión nálog pero teniendo en cuent que hor γ (t), no está definid en un conjunto finito de puntos y se pueden hcer s misms observciones que se hicieron en l demostrción de Pr relcionr el concepto que se cb de definir con lgo concreto consideremos vrios ejemplos: ) A lo lrgo de un rco de curv pln simple C, situd en el suelo y de ecuciones prmétrics x = x(t), y = y(t), t [0, 1] se levnt un vll V de ltur vrible. Si h(x, y) 0 es l ltur de l vll en el punto (x, y) C, podemos tomr como áre de l vll el vlor de l integrl de h sobre C. Este es un cso prticulr de l fórmul generl, que veremos más delnte, pr hllr el áre de un trozo de superficie: Áre(V ) = h(x(t), y(t)) x (t) 2 + y (t) 2 dt b) Un lmbre en el espcio tridimensionl tiene l form del rco de curv C cuy representción prmétric es γ(t) = (x(t), y(t), z(t)), t [0, 1]. Si p(x) es l densidd de ms en el punto x C entonces l integrl de p sobre C proporcion l ms totl del lmbre: 1 M = p dγ = p(γ(t)) x (t) 2 + y (t) 2 + z (t) 2 dt 0 c) Análogmente, si T = g(x) es l tempertur del punto x del lmbre y L = Long(γ) es su longitud, podemos usr l integrl de g sobre C pr obtener l tempertur medi del lmbre T m = 1 g dγ L Antes de demostrr l siguiente proposición conviene hcer un observción preliminr recogid en el siguiente lem 83

23 Lem 4.28 Sen γ i : [ i, b i ] E, i = 1, 2, cminos rectificbles topológicmente equivlentes y se h : [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ] un biyección continu tl que γ 1 = γ 2 h. Si h es creciente se verific γ 1 = γ 2, y si h es decreciente entonces γ 1 (s) = γ 2 (L s), donde L = Long(γ 1 ) = Long(γ 2 ). Dem: Si v i es l bscis curvilíne de γ i, (i = 1, 2), pr cd 0 s L existe t [ 1, b 1 ] tl que s = v 1 (t). Si h es creciente y t = h(t), en virtud de l not que sigue 4.19, v 1 (t) = V (γ 1, [ 1, t]) = V (γ 2, [ 2, t ]) = v 2 (t ) luego γ 1 (s) = γ 1 (t) = γ 2 (t ) = γ 2 (s). Cundo h es decreciente, l imgen de [ 1, t] es [t, b 2 ], luego v 1 (t) = V (γ 1, [ 1, t]) = V (γ 2, [t, b 2 ]) = v 2 (b 2 ) v 2 (t ) = L v 2 (t ) es decir, v 2 (t ) = L s. Por consiguiente γ 1 (s) = γ 1 (t) = γ 2 (t ) = γ 2 (L s). Proposición 4.29 Se γ : [, b] E un cmino rectificble y g : γ([, b]) R un función integrble respecto l rco. ) Si h : [c, d] [, b] es un homeomorfismo y γ 1 = γ h entonces ls integrles g dγ, g dγ1, existen simultánemente y tienen el mismo vlor. b) Si γ = γ 1 γ 2 entonces g es integrble sobre γ 1 y sobre γ 2 y g dγ = g dγ 1 + f dγ 2 c) Si M = sup{ g(x) : x γ([, b])} entonces g dγ MLong(γ) Dem: ) Según el lem 4.28 γ 1 (s) = γ(s) si h es creciente y γ 1 (s) = γ(l s) si h es decreciente. En el primer cso ) es consecuenci direct de l definición. En el segundo cso tmbién lo es después de hcer el cmbio de vrible x = L s en l integrl L g( γ 0 1(x))ds. b) Si L i = Long(γ i ) y L = Long(γ) se tiene L = L 1 + L 2 luego L 0 g( γ(s))ds = L1 0 g( γ(s))ds + L L 1 g( γ(s))ds Es fácil ver que γ 1 (s) = γ(s) si s [0, L 1 ] y γ 2 (x) = γ(x + L 1 ) si x [0, L 2 ]. Hciendo el cmbio de vrible s = x + L 1 en l segund integrl se obtiene el resultdo. c) Es inmedito. L propiedd ) en l proposición nterior permite definir l integrl de un función sobre un rco de curv rectificble trvés de culquier representción prmétric y que tods sus representciones prmétrics proporcionn l mism integrl. Es decir, l integrl de un función sobre un cmino rectificble relmente es un noción socid l rco de curv definido por el cmino. 84

24 4.6. Ejercicios resueltos Ejercicio 4.30 Demuestre que un función rel f : [, b] R es de vrición cotd si y sólo si existe un prej de funciones crecientes g, h : [, b] R tl que f = g h. Ls funciones g, h se pueden elegir continus si f es continu. solución Bst tomr g = v y h = v g con v(x) = V (f, [, x]). Obsérvese que h = v f es creciente pues si x < y b se verific v(y) v(x) = V (f, [x, y]) f(y) f(x) f(y) f(x) es decir h(x) h(y). Después del teorem 4.23 es clro que g y h son continus en los puntos donde f es continu. Ejercicio 4.31 Es bien sbido que d (x, y) = x 3 y 3 es un distnci equivlente l distnci usul de R, d(x, y) = x y. Compruebe que l función f : [0, 1] R, f(t) = t cos(π/t), si t (0, 1], f(0) = 0, no es de vrición cotd pr l distnci d pero es de vrición cotd pr l distnci d. solución Si p n = (0 < 1/n < 1/(n 1) < < 1/2 < 1), como cos πk = cosπ(k 1) = ±1, result f(1/k) f(1/(k 1) = 1/k + 1/(k 1) 2/k luego l sucesión V (f, p n ) n k=1 (2/k) no está cotd, y por lo tnto f no es de vrición cotd pr l distnci d. Es clro que f es de vrición cotd pr l distnci d si y sólo si f 3 es de vrición cotd pr l distnci d. Es fácil ver que f 3 es derivble con derivd cotd, y utilizndo 4.20 b) se obtiene que f 3 es de vrición cotd pr l distnci d, lo que signific que f es de vrición cotd pr l distnci d. Ejercicio 4.32 Se (E, un espcio normdo y f : [, b] E es de vrición cotd demuestre que el conjunto de sus puntos de discontinuidd es numerble. Si E es completo demuestre tmbién que tods ls discontinuiddes de f son de primer especie (e.d. en los puntos de discontinuidd existen los límites lterles) solución L primer firmción es consecuenci direct del teorem 4.23 pues el conjunto de los puntos de discontinuidd de l función creciente v es numerble. L función creciente v tiene límites lterles en todos los puntos, y por lo tnto cumple en todos ellos l condición de Cuchy pr l existenci de los límites lterles. Entonces, utilizndo l desiguldd f(x) f(y) v(y) v(x) se obtiene que f tmbién cumple, en todos los puntos, l condición de Cuchy pr l existenci de los límites lterles. Por lo tnto, cundo E se completo, se puede segurr que f tiene límites 85

25 lterles en todo punto. not: Ls funciones con límites lterles en todo punto son reglds (límites uniformes de funciones esclonds) y ls discontinuiddes de ests funciones tmbién formn un conjunto numerble (vése el ejercicio propuesto ). Por otr prte, cundo E = R n, si f : [, b] R n es de vrición cotd, en virtud de 4.30 y del ejercicio propuesto , cd componente de f es diferenci de dos funciones crecientes de modo que, en este cso, se puede obtener directmente l existenci de los límites lterles sin cudir l condición de Cuchy. 86

26 4.7. Ejercicios propuestos Se (E, ) un espcio normdo rel cuy norm procede de un producto esclr y f : (, b) E un función derivble: Demuestre ls siguientes firmciones ) L función t f(t) es constnte si y sólo si los vectores f(t) y f (t) son ortogonles pr todo t (, b). b) Si pr cd t (, b) es f(t) 0 y los vectores f(t), f (t) son linelmente dependientes entonces f es de l form f(t) = α(t)v donde α : (, b) R es derivble y v E Se f : (, b) R n derivble tl que f (t) 0 pr todo t (, b) y p R n \f((, b)). Se supone que existe t 0 (, b) tl que q = f(t 0 ) es el punto de f((, b)) más cercno p, es decir, p q 2 p f(t) 2 pr todo t (, b) Demuestre que el vector p q es ortogonl l curv f(t) en el punto q = f(t 0 ) Demuestre ls siguientes propieddes de reflexión de ls cónics: i) En un reflector prbólico, los ryos prlelos l eje se reflejn psndo por el foco. ii) Los ryos luminosos que prten de uno de los focos de un reflector elíptico se reflejn psndo por el otro foco. iii) Los ryos luminosos que dirigidos uno de los focos de un reflector hiperbólico se reflejn psndo por el otro foco Demuestre que en el movimiento de un prtícul el producto esclr del vector velocidd por el vector celerción es igul l mitd de l derivd del cudrdo de l celeridd Un prtícul se mueve recorriendo con velocidd esclr uniforme v l circunferenci de centro (0, 0) y rdio r. Si r(t) es l posición de l prtícul en el instnte t demuestre que los vectores r(t) y r (t) son ortogonles r(t), luego r (t) = k(t)r(t) donde k(t) R. Deduzc que k(t) es constnte y que el vector celerción r (t) punt hci el origen y que su longitud es v 2 /r. (Indicción: Derivr r(t) r (t) = 0) En un movimiento plno, un prtícul r(t) se mueve de modo que el vector celerción siempre es rdil (e.d. r (t) = α(t)f(t) con α(t) > 0). Demuestre que esto ocurre si y sólo si el áre brrid por el vector de posición r(t) es proporcionl l tiempo empledo Se (E, ) un espcio normdo completo. Se supone que f : (, b) E es derivble por l derech en cd t (, b) con f d (t) M pr todo t (, b). Demuestre ls siguientes firmciones: 87