Autor: christian cortes FACTORIZACIÓN

Transcripción

1 FACTORIZACIÓN Definición: Cuando una expresión algebraica es el producto de dos o más expresiones, llamadas factores de ella y, la determinación de estas cantidades es llamada factorización. Cuando cada uno de los términos de una expresión es divisible por un factor común, la expresión puede ser simplificada dividiendo cada término separadamente por este factor y encerrando la cantidad que resulta entre paréntesis y el factor común afuera como coeficiente. Ejemplo 1: Los términos de la expresión 3a² - 6ab tienen un factor común 3a., luego: 3a² - 6ab = 3a(a - 2b). Ejemplo 2: 5a²bx³ - 15abx² - 20b³x² = 5bx²(a²x - 3a - b²). Ejercicios: Factorizar 1) a² + ab = 2) b + b² = 3) x² + x = ) 3a³ - a² = 5) x³ - x = 6) 5m² + 15m³= ) ab bc = 8) x²y + x²z = 9) 2b²x + 6bx² = 10) 8m² - 12mn = 11) 9a³x² - 18ax³= 12) 15c³d² + 60c²d³ = 13) 35m²n³ - 0m³ = 1) abc + abc² = 15) 2a²xy² - 36x²y = 16) a³ + a² + a = 1) x² - 8x + 2 = 18) 15y³ + 20y² - 5y = 19) a³ - a²x + ax² = 20) 2a²x + 2ax² - 3ax = 21) x³ + x 5 x = 22) 1x²y² - 28 x³ + 56x = 23) 3ax² + 51ay² - 68ay² = 2) 96 8mn² + 1n³ = 25) x x² + x³ - x = Una expresión puede ser factorizada si los términos pueden ser arreglados en grupos que tengan un factor común. Ejemplo 1: factorizar x² - ax + bx - ab Notemos que los dos primeros términos tienen factor común x y que los dos últimos tienen factor común b, entonces agrupamos los dos primeros términos entre paréntesis y los dos últimos también. x² - ax + bx - ab = x(x - a) + b(x - a) = (x - a)(x + b) Eejmplo 2: factorizar 6x² - 9ax + bx - 6ab 6x² - 9ax + bx - 6ab = (6x² - 9ax) + (bx - 6ab) = 3x(2x - 3a) + 2b(2x - 3a) = (2x - 3a)(3x + 2b)

2 Ejemplo 3: factorizar 12a² - ab - 3ax² + bx² 12a² - ab - 3ax² + bx² = (12a² - ab) - (3ax² + bx²) = a(3a - b) - x²(3a - b) = (3a - b)(a - x²) Ejercicios : Factorizar 1) a² +ab + ax + bx = 2)am bm + an bn = 3) ax 2bx 2ay + by = ) a²x² - 3bx² + a²y² - 3by² = 5) 3m 2n 2nx + 3mx = 6) x² - a² + x a²x = ) x³ - 1 x² + x= 8) x + x² - xy² - y² = 9) 3abx² - 2y² - 2x² + 3aby² = 10) 3c b² + 2b²x 6cx = 11) m³x m²b + 3ab 3amx = 12) 6bx + 3b x = 13) 3x³ - 9bx² - x + 3b= 1) 2b²x 5b²y + 15ay 6ax = 15) 2x²y + 2xz² + y²z² + xy³= 1) 6m 9n + 21nx 1mx = 2) 1 + a + 3ab + 3b = 3) am³ - 12amn m² + 3n = ) 20ax 5bx 2by + 8ay = 5) a³ + a² + a + 1 = 6) 2bm 2bn + 2b m + n 1 = ) 3mx 2by 2bx 6m + 3my + b = 2) a³+ a² + a x² + a²x² = 25) y + z² - 2ax 2az² = Expresiones trinomiales Observemos los siguientes productos (x + 5)(x + 3) = x² + 8x + 15 (x - 5)(x - 3) = x² - 8x + 15 (x + 5)(x - 3) = x² + 2x - 15 (x - 5)(x + 3) = x² - 2x - 15 Nos proponemos considerar el problema inverso. Examinando estos resultados tenemos: i) El primer término de ambos factores es x ii) El producto de los segundos términos de los dos factores es igual al tercer término del trinomio. iii) La suma algebraica de los segundos términos de los dos factores es igual al coeficiente de x en el trinomio. Ejemplo 1: factorizar x² + 11x + 2 x² + 11x + 2 = El segundo término de los factores debe ser tal que su producto sea +2 y su suma +11. Es claro que ellos deben ser +8 y + 3, luego x² + 11x + 2 = (x + 8)(x + 3)

3 Ejemplo 2: factorizar x² - 10x + 2 El segundo término de los factores debe ser de tal modo que su producto sea +2 y su suma -10. De ahí que ambos números deben ser negativos, y es fácil ver que los números son -6 y -, luego x² - 10x + 2 = (x - 6)(x - ) Ejemplo 3: factorizar x² - 18x + 81 = (x -- 9)(x - 9) = (x - 9)² Ejemplo : factorizar x + 10x² + 25 = (x² + 5)(x² + 5) = (x² + 5)² Ejercicios 1) a² - 2ab + b² = 2) a² + 2ab + b² = 3) x² - 2x + 1 = ) y y² = 5) x² - 10x + 25= 6) x² + x + 10 = ) x² - 5x + 6 = 8) x² + 3x 10 = 9) x² + x 2 = 10) x² + x + 3 = 11) m² + 5m 1 = 12) y² - 9y + 20 = 13) x² - 6 x = 1) x² - 9x + 8 = 15) c² + 5c 1 = 16) x² - 3x + 2 = 1) b² + b + 6 = 18) y² - y + 3 = 19) 12 8n + n² = 20) x² + 10x + 21 = 21) x² + x 18 = 22) m² - 12m + 11= 23) x² - x 30 = 2) n² + 6n 16 = 25) 20 + x² - 21x = 26) y² + y 30 = 2) 28 + x² - 11x= 28) n² - 6n 0 = 29) x² - 5x 36 = 30) x² + 8x 180= 31) m² - 20m 300 =

4 32) x² + x 132= 33) m² - 2m 168 = 3) c² + 2c + 135= 35) m² - 1m + 135= 36) x 3) x 38) x x² + = 6x 2x 39) x² y² + xy 12 = 0) x 1) x 3) a 5) a 10 2) x ) x x + ax² 60a² = + x 5 3 = 80 = 20 = 20 = b 2a² b² 99 = 3 + x 930 = a² b² 156b = CASO IV TRINOMIO ax² + bx + c De acuerdo a lo visto tenemos los siguientes resultados (3x + 2)(x + ) = 3x² + 1x + 8 (3x - 2)(x - ) = 3x² - 1x + 8 (3x + 2)(x - ) = 3x² - 10x - 8 (3x - 2)(x+ )= 3x² + 10x - 8 El problema inverso presenta mayor dificultad que los casos que hemos considerado. Antes de establecer un método general examinaremos en detalle dos de las identidades vistas arriba. Consideremos el resultado de (3x + 2)(x + ) = 3x² + 1x + 8. El primer término es el resultado del producto de 3x y x El tercer término + 8 es el resultado de +2 por + El término central es el resultado de sumar los productos de3x y - y de x y 2. Procedimiento para encontrar la factorización del trinomio ax² + bx + c Lo realizaremos a través del siguiente ejemplo x² - 19x - 6 multiplicamos el trinomio por / La multiplicación debe expresar el resultado del término con x² y del término sin x solamente el término con x sólo se expresará el producto sin realizarlo 9x² - (19x) - 2 Ahora se intercambian los valores del término que sólo se expresó 9x² - 19(x) - 2 dado que esta expresión es equivalente con (x)² - 19(x) - 2 Corresponde a una expresión del caso III, luego (x - 21 )(x + 2)

5 El primer paréntesis tiene factor común, entonces (x - 3)(x +2) simplificando por (x - 3)(x + 2) que es el resultado Ejemplo 2 factorizar1x² + 29x - 15 Multiplicamos por 1/1 (1x)² + 1(29x) cambiamos el orden del término central (1x)² + 29(1x) factorizamos usando el caso III (1x +35)(1x - 6) 1 sacando factor común en ambos paréntesis (2x + 5)2(x - 3) 1 simplificando (2x + 5)(x - 3) Ejercicios 1) 2x² + 3x 2 = 2) 3x² - 5x 2 = 3) 6x² + x + 2 = ) 5x² + 13x 6 = 5) 6x² - 6 5x= 6) 12x² - x 6 = ) x² + 15x + 9 = 8) x + 10x² = 9) 12m² - 13m 35 = 10) 20y² + y 1 = 11) 8x² - 1x 15= 12) x² - x 35 = 13) 16m + 15m²- 15 = 1) 2x² + 5x + 2 = 15) 12x² - x 12 = 16) 9x² + 10x + 1 = 1) 20n² - 9n 20= 18) 21x² + 11x 2 = 19) m m² = 20) 15x² - 8x 12 = 21) 9x² + 3x + = 22) n + 20n² - 15 =

6 23) 1m²- 31m 10 = 2) 2x² + 29x + 90 = 25) 20x² - x 0 = 26) n² + n 33= 2) 30x²+ 13x 10 = Caso V La Diferencia de dos cuadrados Al multiplicar (a+ b)(a - b) obtenemos la identidad (a + b)(a - b) = a² - b² un resultado que puede ser verbalmente expresado como El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual a la diferencia de sus cuadrado. Recíprocamente, la diferencia de dos cuadrados es igual al producto de la suma por la diferencia de las dos cantidades. Ejemplo 1 25x² -16y² = (5x + y)(5x - y) Ejemplo 2 1-9c² = (1+ c)(1 - c) Ejemplo 3 329² - 11² = ( )(329-11) = 500x158 = 9000 Ejercicios 1) x² - y² = 2) a² - 1 = 3) a² - = ) 9 b² = 5) 1 m² = 6) 16 n² = ) 1 y² = 8) x² - 9 = 9) 25 36x² = 10) a²b 8 c² = 11) (x+y)² - a²= 12) (a + 1) ² = 13) 9 (m + n)² = 1) (m n)² - 16 = 15) (x y)² - z² = 16) 1 (x 2y)² = 1) (x + 2y)² - x² = 18) (a + b)² - (c + d) ² = 19) (x + 1)² - 16x² = 20) 6m² - (m-2n)²= 21) a² + 2ab + b² - x² = 22) x² - 2xy + y² - m² = 23) m² + 2mn + n² - 1= 2) x² -2x + 1 b² = 25) n² + 6n + 9 c² = 26) a²+ x²+ 2ax = 2) x² + y² - xy 1 = 28) a² - 6ay + 9y² - x² = 29) x² + 25y² xy = 30) 1 a² + 2ax x² =

7 caso especial 1) (x+y)²- a²= 2) - (a + 1)²= 3) 9 - (m + n)² = ) (m - n)² - 16 = 5) (x - y)² - z² = 6) (a + 2b)² - 1 = ) 1 - (x - 2y)² = 8) (x + 2a)² - x² = 9) (a + b)² - (c + d)² = 10) (a - b)² - (c - d)² = 11) (x + 1)² - 16x² = 12) 6m² - m - 2n)²= 13) (a - 2b)² - (x + y)² = 1) (x + 1)² - x² = 15) 36x² - (a + 3x)²= CASO VI. LA SUMA O LA DIFERENCIA DE DOS CUBOS Si dividimos a³+b³ por a +b el cuociente es a² - ab + b² ; y si dividimos a³ - b³ por a - b el cuociente es a² + ab + b², por lo tanto y por lo tanto tenemos las siguientes identidades: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) Estos resultados nos permiten factorizar expresiones en las cuales aparece una suma o una diferencia de cubos. Ejemplo 1: factorizar 8x³ - 2y³ = (2x)³ - (3y)³ = (2x - 3y)(x² + 6xy + 9y²) Ejemplo 2: factorizar6a³ + 1 = (a)³ + 1 = (2a + 1)(a² - 2a + 1) Ejercicios: 1) 1 + a³= 2) 1 - a³ = 3) x³ + y³= ) m³ - n³ = 5) a³ - 1 = 6) y³ + 1 = ) y³ - 1 = 8) 8x³ - 1 = 9) 1-8x³ = 10) x³ - 2 = 11) a³ + 2 = 12) 8x³ + 2 = 13) 2a³ - b³ = 1) 6 + a 6 = 15) a³ = 16) 1-216m³ =

8 1) 8a³ - 2b 6 = 18) x 6 - b 9 = 19) 8x³ - 2y³ = 20) n³ = 21) 6a³ - 29 = 22) a³b³ - x 6 = 23) a 9 = 2) x 6-8y 12 = 25) x 6 = 26) 2m³ + 6n 9 = 2) 33x³ + 512y 6 = 28) x³y 6-216y 9 = 29) a³b³x³ + 1 = 30) x 12 + y 12 =