Secundaria. Guía de. Matemáticas. 3er. grado

Transcripción

1 Secundaria. Guía de Matemáticas er. grado

2 SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA Miguel Limón Rojas INSTITUTO NACIONAL PARA LA EDUCACIÓN DE LOS ADULTOS José Antonio Carranza Palacios DIRECCIÓN ACADÉMICA Luz María Castro Mussot UNIDAD DE PRODUCCIÓN DE MEDIOS Claudia Giménez Mercado AUTORAS Silvia Alatorre Frenk, Natalia de Bengoechea Olguín, Elsa Mendiola Sanz, Mariana Sáiz Roldán Profesoras de la Universidad Pedagógica Nacional COORDINACIÓN GRÁFICA Y CUIDADO DE LA EDICIÓN Greta Sánchez DISEÑO Abel Alonso Villagrán Dolores Marcela Cervantes Inés Olivares ILUSTRACIONES Jorge Mora Suárez Francisco Carrillo Ricardo Aguilar Guía de Matemáticas. Tercer grado secundaria. D.R. 999, Instituto Nacional para la Educación de los Adultos, INEA. Francisco Márquez Núm. 60, Col. Condesa, México, D.F., C.P ISBN en trámite Esta obra es propiedad intelectual de su autor y los derechos de publicación han sido legalmente transferidos al INEA. Prohibida su reproducción parcial o total por cualquier medio, sin autorización escrita de su legítimo titular de derechos.

3 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Índice Presentación Unidad I: Aritmética Lección : Números reales 0 Los números irracionales 0 Aproximaciones Lección : Notación exponencial 0 Números grandes 0 Números pequeños Operaciones con números en notación exponencial 7 Lección : Orden e intervalos La recta real Intervalos de números reales 5 Lección : Proporcionalidad Proporcionalidad directa Regla de tres 8 Proporcionalidad inversa 5 Variaciones proporcionales y no proporcionales 55 Lección 5: Porcentajes 60

4 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Lección 6: Repartición proporcional 7 Lección 7: Propiedades de las operaciones con números reales 75 Propiedades de la suma 76 La resta 79 Propiedades de la multiplicación 8 La división 8 Potencias y raíces 85 Combinaciones de varias operaciones 88 Aplicaciones de las propiedades en la solución de ecuaciones 9 Unidad II: Álgebra Lección 8: Potencias con exponentes enteros 0 Operaciones con potencias 0 Propiedades de la potenciación 08 Lección 9: Polinomios Definiciones Operaciones con polinomios Lección 0: Representación gráfica de algunas expresiones algebraicas 5 Lección : Ecuaciones lineales con dos incógnitas Ecuaciones con dos incógnitas Gráfica de una ecuación lineal 6 Lección : Sistemas de ecuaciones lineales Resolución gráfica Sistemas sin solución y sistemas con infinitas soluciones 8

5 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Lección : Resolución algebraica de sistemas de ecuaciones 5 Lección : Problemas que se resuelven por sistemas de ecuaciones lineales 6 Unidad III: Geometría Lección 5: Escalas 76 Lección 6: Lectura de dibujos a escala 8 Lección 7: Semejanza 88 Unidad IV: Estadística y probabilidad Lección 8: Utilidad de la estadística 9 Lección 9: Histogramas 0 Lección 0: Medidas descriptivas de un conjunto de datos Lección : Probabilidad 5 Respuestas a los ejercicios 5

6 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Presentación Este libro se diseñó para adultos que estudian la secundaria en un sistema abierto; es la continuación de los libros "Matemáticas I" y "Matemáticas II" de esta misma serie. Para facilitar el uso de este material hemos incluido los contenidos principales que se requieren para abordar este curso. El libro está formado por cuatro unidades: "Aritmética", "Álgebra", "Geometría" y "Estadística y Probabilidad". Las unidades están formadas por lecciones y cada una de ellas trata un tema distinto del contenido de esa unidad. Las lecciones tienen, en general, una explicación del tema con ejemplos y al final de cada sección una serie de ejercicios y problemas para el adulto. Al final del libro se encuentran las soluciones a los ejercicios y problemas para que usted pueda comparar sus resultados. En todos los temas se explica desde lo más simple y se llega a los contenidos propios del curso. Como este material está hecho para adultos, se hace referencia a situaciones cotidianas y también se reflexiona sobre la lógica de los contenidos. 6 Las siete lecciones iniciales corresponden a aritmética; son principalmente un repaso del curso anterior, aunque se incorporan algunos contenidos nuevos y ejercicios diversos. La parte más fuerte de este curso es álgebra, que fue introducida

7 GUÍA DE MATEMÁTICAS III informalmente en el primer curso y abordada con algo más de formalidad en el segundo; en este curso se ahonda en su estudio, principalmente, con polinomios y sistemas de ecuaciones lineales. Las tres lecciones de geometría abordan principalmente el uso y construcción de figuras a escala. La unidad dedicada a la estadística y la probabilidad es un avance sobre los contenidos tratados en los cursos anteriores. Le hacemos algunas sugerencias que creemos facilitarán su estudio: Vea todo. Lea con particular atención las partes en las que se sienta inseguro o sean nuevas para usted. Puede ser también recomendable leer las partes que ya domine: las leerá rápido, le servirán como recordatorio y le permitirán acostumbrarse al estilo de este texto y a la notación que usamos. Siempre, al leer, busque si se ilustra con ejemplos o dibujos lo que se está explicando y si se hace, identifique lo que lea en la ilustración. No avance si no está seguro de poder hacer usted solo las operaciones o trazos que se hacen en el texto; si para lograrlo necesita hacer varias veces un ejercicio, hágalo. Procure resolver al menos algunos incisos de todos los ejercicios, aun de los temas que ya domina. Después verifique sus respuestas con las que se dan al final del libro y, cuando ya se sienta seguro, pase al siguiente ejercicio. Se han incluido muchos ejercicios para aquellos estudiantes que requieren más práctica para comprender; quienes no la necesiten pueden hacer sólo unos cuantos de ellos. 7

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9 Unidad I Aritmética 9

10 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Lección : Números reales Los números irracionales En los grados anteriores estudiamos distintas clases de números: Vimos en primer lugar: los naturales, que son aquellos que sirven para contar. Ejemplos de los números naturales son: 0,,,,,..., 7,..., 86,..., 999,... Después, estudiamos los números enteros, que están formados por los naturales y por los números negativos. Con ellos podíamos indicar pérdidas, temperaturas bajo cero o distancias bajo el mar o la tierra. Ejemplos de los números enteros son:..., -5,..., -,..., -, -, 0,,,..., 8,..., 897,... 0 Posteriormente, conocimos a los números racionales, que están formados por los enteros, las fracciones (que siempre se pueden presentar en forma decimal), y los decimales. Ejemplos de los números racionales son:

11 LECCIÓN , -,..., -.,..., -,..., -0.5,...0,..., 0.5,...,...,,..., 6,... Cuando estudiamos fracciones y decimales, vimos que para convertir fracciones a decimales se divide el numerador entre el denominador. Por ejemplo: 6 = = 0.5 = 6 = A veces el cociente tiene una infinidad de cifras, pero hemos visto que estas cifras en algún momento empiezan a aparecer repetidas en un mismo orden, así que, aunque sean infinitas, es posible escribir el número indicando el conjunto de cifras que se repite, y que se llama período, poniendo una curvita arriba de las cifras que lo forman. Por ejemplo: 6 7 = 0. pero escribimos 0., y la curvita arriba del indica que éste se repite; = pero escribimos 0.6, y la curvita arriba del 6 indica que es el período; = pero escribimos 0.857, y la curvita arriba de 857 indica que es el período, o sea las cifras que se repiten.

12 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Con los números racionales ya podemos representar casi todas las cantidades que encontramos en la vida cotidiana. Sin embargo, hay otra clase de números, que se escriben con una infinidad de decimales pero que no tienen un período, es decir, no tienen cifras que se repitan en el mismo orden. Los números de esta clase reciben el nombre de irracionales y, a diferencia de los racionales, no pueden ponerse en forma de fracción, sino sólo en forma decimal. Los racionales y los irracionales juntos forman el conjunto de los números reales y son los números con los que trabajaremos en este curso. Hay una infinidad de números irracionales, pero en este curso trabajaremos sólo con algunos de ellos, que son los más usados. Tal vez usted se pregunte cómo vamos a escribir la infinidad de cifras que tienen los números irracionales. La respuesta es que cuando trabajamos con números irracionales, nos conformamos con una aproximación, o bien utilizamos algunos símbolos especiales. El primer número irracional que presentaremos es un número que de hecho ya conoce. Usted ha usado el número π (pi) para expresar las fórmulas de la longitud de la circunferencia, del área del círculo y del volumen de la esfera. El número π representa las veces que cabe el diámetro de un círculo en la longitud de la circunferencia. Es decir, si tuviéramos las medidas exactas de la longitud (C) de una circunferencia y de su diámetro, (d), podríamos decir que π = C d, pero si quisiéramos hacer la división no terminaríamos nunca: podríamos tener tantas cifras decimales como quisiéramos, pero nunca llegaríamos a un residuo igual a cero, ni encontraríamos cifras que formen un período. Esto es, si intentáramos escribir π exactamente, nunca terminaríamos de escribir cifras decimales, por lo que decimos que π es un

13 LECCIÓN número irracional. A continuación se expresa el número π con sus primeras 5 cifras decimales: π = En la práctica, sin embargo, cuando queremos calcular longitudes de circunferencias, áreas de círculos, volúmenes de esferas o para hacer cualquier otro cálculo, en el que aparezca π, podemos usar la aproximación π =.6 o bien, como lo hemos hecho en los dos libros anteriores de este curso, la aproximación π =.. Otro número irracional es. El número es la medida de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden una unidad de longitud. u u Si necesitamos hacer cálculos con, utilizamos., que es una aproximación. (Usted puede verificar que. =.988, que se acerca bastante a.) u Otros números irracionales son y el número e. Una manera de encontrar aproximaciones a estos números es utilizando la calculadora. Para encontrar el primero sacamos la raíz cuadrada de, y para encontrar el segundo pulsamos la tecla e x que tienen algunas calculadoras y encontramos así la aproximación e =.7888.

14 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Ejercicio a) En una calculadora calcule las raíces de 5, 7, y ; escriba cada uno de los resultados observados en la pantalla que son aproximaciones para los números irracionales 5, 7, y. b) Si su calculadora tiene la tecla π, oprímala para ver con qué aproximación representa este número irracional. c) Exprese en forma decimal, indicando en cada caso el período, los siguientes números racionales: ,,,,,,. Aproximaciones En la sección anterior hemos dicho que cuando se trabaja con números irracionales se usan con aproximaciones, ya que es imposible escribir todas sus cifras decimales pues son una infinidad. A veces también es conveniente usar aproximaciones

15 LECCIÓN con los números racionales. Hay dos maneras de hacer las aproximaciones: por truncamiento y por redondeo. El método del truncamiento consiste en considerar sólo las cifras decimales que nos interesan y "eliminar" las demás. Primero debemos saber con cuántas cifras decimales queremos trabajar o cuántas nos están pidiendo. Supongamos que necesitamos efectuar una multiplicación de decimales y nos piden que expresemos el resultado con tres cifras decimales, usando truncamiento. Por ejemplo, la multiplicación que se muestra a la derecha. 0. x El resultado tiene cinco cifras decimales y sólo queremos tres, así que "eliminamos" los ochos y escribimos 0. x Observe que en lugar del signo "=" hemos escrito el signo " " porque el producto 0. x.7 no es exactamente igual a 0.9, es casi igual, una aproximación. Esto se indica usando el signo " ", que se lee "aproximadamente igual a". De manera que "truncar" números es deshacerse de las cifras que no interesan. Para comprender mejor esto, veamos dos ejemplos más, en los que realizaremos operaciones y expresaremos los resultados con las cifras decimales que se indican. Resolvamos la suma y expresemos el resultado con dos cifras decimales mediante truncamiento. El resultado exacto de la suma 5

16 GUÍA DE MATEMÁTICAS III es 6.97, y al truncar para quedarnos con dos cifras decimales eliminamos las dos últimas, esto es, al 9 y 7. Escribimos entonces: Resolvamos ahora la división.97 8 y expresemos el resultado con tres cifras decimales mediante truncamiento. Al hacer la división obtenemos.97 8 = 0.675, pero como sólo queremos tres cifras decimales eliminamos el 75 que aparece al final y nos quedamos con Otra manera de aproximar números es el redondeo. Para comprender este método regresemos a nuestro ejemplo de la multiplicación 0. x.7 = Si utilizamos la recta numérica para representar este resultado, obtenemos un esquema como el siguiente, en el que la ubicación del número que nos interesa está señalada con una flecha vertical: Si queremos utilizar solamente tres cifras decimales para expresar el número 0.988, vemos que este número está entre 0.9 y 0.9, pero está mucho más cerca de 0.9 que de 0.9. Es decir, si decimos que 0. x mentimos, y si 6

17 LECCIÓN decimos que 0. x también mentimos, pero mentimos menos en el segundo caso que en el primero. Entonces la aproximación por redondeo de es 0.9, y escribimos : hemos utilizado tres cifras decimales pero a la tercera le hemos aumentado. Veamos otro ejemplo. Consideremos ahora la multiplicación 0. x.8 = 0.95, y representemos este resultado en un esquema como el anterior: Si queremos utilizar tres cifras decimales para expresar el número 0.95, vemos que este número está entre 0.95 y 0.96, pero que está mucho más cerca de 0.95 que de Ahora la aproximación por redondeo de 0.95 es 0.95 y escribimos : hemos utilizado tres cifras decimales y a la tercera no le hemos aumentado nada. Vemos entonces que con el método de aproximación por redondeo se "eliminan" cifras, pero a veces hay modificaciones en las cifras originales y a veces no. El método se puede resumir de acuerdo con las siguientes reglas: Se cuentan las cifras que interesa dejar y se observa la primera cifra que se va a eliminar. Si la primera cifra que se va a eliminar es menor que 5 no hay modificaciones en las cifras que se dejan. Si la primera cifra que se va a eliminar es igual o mayor que 5, la última cifra no eliminada aumenta en. 7

18 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Veamos unos ejemplos más de redondeo: Al hacer la suma encontramos como resultado Si queremos redondear este resultado a dos cifras decimales, nos fijamos en la tercera, que es 9; como 9 es mayor que 5, entonces la última cifra no eliminada, que es, aumenta en. Escribimos entonces: Observe que este resultado difiere del que habíamos obtenido cuando hicimos la aproximación por truncamiento. Al hacer la división.97 8 tenemos como resultado Si queremos redondear este número a tres cifras decimales, nos fijamos en la cuarta, que es ; como es menor que 5, entonces la última cifra no eliminada, que es 6, permanece como está. Escribimos entonces Observe que en este caso el resultado es el mismo del que habíamos obtenido cuando hicimos la aproximación por truncamiento. Redondeemos ahora el número a seis cifras decimales. Nos fijamos en la séptima cifra, que es 5; como 5 es igual o mayor que 5, entonces le aumentamos a la última cifra no eliminada, que es. Tenemos entonces que Por último, redondeemos el número a tres cifras decimales. Nos fijamos en la cuarta, que es 6; como es mayor que 5 le aumentamos a la última

19 LECCIÓN cifra no eliminada, que es 9. Pero como 9 + = 0, ahora tenemos que aumentar a la penúltima cifra no eliminada, que es. Tenemos entonces que Ejercicio Trunque los siguientes números a tres cifras decimales: a) c) e) g) b). d).5578 f) 5.65 h) Ejercicio En una calculadora calcule las raíces de 5, 7, y ; escriba cada uno de los resultados observados en la pantalla (que son aproximaciones para los números irracionales 5, 7, y ), truncando a 5 cifras decimales. Ejercicio Redondee a tres cifras decimales los números de los incisos del ejercicio. Compare los resultados con los que obtuvo en el ejercicio. Ejercicio 5 Redondee a cinco cifras decimales las raíces del ejercicio y compare los resultados con los obtenidos ahí. 9

20 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Lección : Notación exponencial En la lección anterior hemos visto cómo trabajar con números reales y cómo para facilitar el trabajo con ellos es conveniente utilizar aproximaciones, usando el redondeo o el truncamiento. En esta lección estudiaremos otra manera de trabajar con números reales. Para ello utilizaremos lo que se conoce como notación exponencial. Esta notación permite escribir abreviadamente números muy grandes o muy pequeños, o sus aproximaciones. Para ello se escribe el número como un número con una cifra entera, multiplicado por una potencia de 0. Abordaremos este tema, dividiendo la discusión en dos casos: Números grandes Consideremos la velocidad de la luz: Km/seg. (es decir, la luz viaja kilómetros cada segundo). Este número es grande, tiene muchos ceros a la derecha. Exactamente tiene 5 ceros, de hecho es igual a x y como = 0 5, tenemos que = x

21 LECCIÓN La regla general es que un número que termina en ceros puede expresarse como el producto del número sin ceros multiplicado por 0 elevado a una potencia que es igual a la cantidad de ceros del número original. Veamos otros ejemplos: = x 0 6 (seis ceros en el número original) = 87 x 0 0 (diez ceros en el número original) Algunas calculadoras dan sus resultados en forma exponencial, sólo que por lo general usan una sola cifra entera. En los ejemplos anteriores nosotros hemos usado enteros con más de una cifra; sin embargo, con potencias de 0 también podemos expresarlos usando una sola cifra entera y las demás en decimal. Así: = x 0 6 =. x 0 x 0 6 =. x = 87 x 0 0 =.87 x 0 x 0 0 =.87 x 0

22 GUÍA DE MATEMÁTICAS III De estos ejemplos podemos obtener la regla general para expresar un número grande en notación exponencial: Se cuenta cuántas cifras tiene el número. Al resultado se le resta uno y se usa como el exponente de 0. Entonces el número que va a multiplicar a la potencia de 0 es un número que se forma quitando los ceros del número original y poniendo el punto decimal de modo que quede una cifra a la izquierda del punto. Por ejemplo, tiene ocho cifras. Como 8 = 7, éste es el exponente que debe llevar el 0 y quitando los ceros queda, a le dejamos una cifra entera y da.. De modo que =. x 0 7. Observe que con esta notación estamos expresando que hemos recorrido el punto decimal 7 lugares a la izquierda: =. x lugares Análogamente, tiene trece cifras. Como =, ése es el exponente que llevará el 0. El número original sin ceros es 87, con una cifra entera queda.87. Así, se tiene que =.87 x =.87 x 0 lugares

23 LECCIÓN Cuando los números no aparecen en notación exponencial, decimos que están en forma desarrollada. En el último ejemplo es la forma desarrollada de.87 x 0. También podemos pasar de la notación exponencial a la forma desarrollada:.87 x 0 = lugares Ejercicio Utilice notación exponencial con una sola cifra entera para escribir los siguientes números: a) b) c).508 d) 000 e).6 f) 689 g) h) 999 Ejercicio Escriba en forma desarrollada los siguientes números reales: a).00 x 0 c) 5.0 x 0 b) 7.9 x 0 7 d) x 0 e) 6. x 0 g) 5.8 x 0 f).000 x 0 8 h). x 0

24 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Números pequeños Cuando decimos aquí números pequeños nos referimos a números menores a. Consideremos para empezar 0.: este número se lee un décimo, pero ya sabemos que un décimo se escribe como fracción, así: ; también sabemos que 0.0 se lee un centésimo 0 y la fracción que lo representa es y así sucesivamente. Si ahora tenemos 0.00, este número se lee ciento veinte 0 diezmilésimos, lo que se escribe, 0000 mientras que a le corresponde la fracción. En todos estos ejemplos tenemos fracciones cuyos denominadores son potencias de 0, así que pueden escribirse así: = 0.0 = = = = = = Estas fracciones se pueden escribir también como divisiones: 0. = = = = = = = = = = =

25 LECCIÓN Para seguir con el modelo de notación exponencial de los números grandes, escribiremos las divisiones como productos. Esto se hace usando exponentes negativos. Los exponentes negativos sirven para expresar como producto potencias que están dividiendo. Por ejemplo 0 puede escribirse como x 0. Esto es, un divisor con exponente positivo se puede escribir como factor con exponente negativo. Así, los ejemplos con los que hemos venido trabajando quedan: 0. = = x = = = x = = = 0 x = = = x Los dos últimos ejemplos tienen la parte entera con dos cifras, pero también podemos escribirlos con una cifra entera Notemos que 0 es igual a. x 0. 0 Entonces 0.00 = = 0 x 0 - =. x 0 x 0. 0 Pero por otra parte, tenemos que 0 x 0 - = = =0. Entonces, podemos escribir 0.00 como. x 0. En el otro ejemplo, tenemos que = = x 0 5 =. 0 5 x 0 x Pero como 0 x 0 5 = = =0, entonces =. x

26 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Para escribir en forma exponencial números pequeños seguimos esta regla: Recorremos el punto decimal a la derecha para que quede después de la primera cifra que sea distinta de 0. Contamos cuántos lugares recorrimos el punto y esa cantidad será el exponente negativo de 0. Por ejemplo, para escribir con notación exponencial los números y , hacemos lo siguiente: =. x lugares =.76 x 0 lugares Como en el caso de los números grandes, también se puede pasar de notación exponencial a forma desarrollada. Por ejemplo:.58 x 0 6 = lugares.0587 x 0 = lugares Ejercicio Utilice notación exponencial con una sola cifra entera para escribir los siguientes números: a) 0. c) e) g) b) d) f) h)

27 LECCIÓN Ejercicio Escriba en forma desarrollada los siguientes números reales: a) 6. x 0 c).8 x 0 0 b). x 0 6 d) x 0 5 e) 5.0 x 0 7 g).00 x 0 f) 0.0 x 0 h) 6687 x 0 Operaciones con números en notación exponencial Una de las ventajas de usar la notación exponencial es que facilita la realización de algunos cálculos con números reales, especialmente el producto y la división. Esto es lo que veremos enseguida. Para multiplicar dos números con notación exponencial, por ejemplo.07 x 0 7 y.0 x 0, escribimos el producto: (.07 x 0 7 ) x (.0 x 0 ) Por la propiedad conmutativa del producto de números reales, que se puede expresar como "el orden de los factores no altera el producto", escribimos: (.07 x.0) x (0 7 x 0 ) 7

28 GUÍA DE MATEMÁTICAS III El producto de la izquierda se efectúa como ya hemos aprendido y nos da.07 x.0 =.. El producto de la derecha indica que multipliquemos 0 elevado a la 7, o sea 0 multiplicado 7 veces por sí mismo, por 0 multiplicado veces por sí mismo, en total tenemos 0 multiplicado veces por sí mismo. Es decir, 0 7 x 0 = 0. El resultado de la operación es entonces: (.07 x.0) x (0 7 x 0 ) =. x 0 En general lo que se hace es que se multiplican los números dados sin contar la potencia de 0 y el resultado se multiplica por 0 elevado a la suma de los exponentes de los números iniciales. En el ejemplo.07 x.0 =. y al sumar los exponentes tenemos 7 + = que es el exponente de 0 en el resultado final. Es decir: (.07 x 0 7 ) x (.0 x 0 ) = (.07 x.0) x 0 7+ =. x 0 Esta forma de realizar las multiplicaciones se aplica también cuando los exponentes son negativos, o cuando hay una mezcla de exponentes positivos y negativos. Por ejemplo: (.5 x 0 6 ) x (. x 0 ) = (.5 x.) x 0 6+( ) =.6 x 0 8 (.7 x 0 ) x (. x 0 7 ) = (.7 x.) x 0 +7 = 8.7 x 0 (6.6 x 0 ) x (. x 0 ) = (6.6 x.) x 0 +( ) =.5 x 0 (. x 0 ) x (. x 0 ) = (. x.) x 0 + ( ) = 6. x 0 0 Vale la pena hacer un par de comentarios acerca de los últimos dos ejemplos. En el primero de los dos aparece 0. Como hemos visto: 8 0 = 0

29 L Y en el último ejemplo aparece 0 0. Este número es igual a : 0 0 = Por lo tanto, los resultados de los últimos dos ejemplos se pueden expresar como: (6.6 x 0 ) x (. x 0 ) = (6.6 x.) x 0 +( ) =.5 x 0 =.5 x 0 (. x 0 ) x (. x 0 ) = (. x.) x 0 +( ) = 6. x 0 0 = 6. En el caso de la división se procede de manera parecida, sólo que ahora en lugar de sumar los exponentes, se restan. Es decir, se dividen los números sin considerar la potencia de 0, y el resultado se multiplica por 0 elevado a la diferencia del exponente del dividendo menos el exponente del divisor. Veamos algunos ejemplos: (.5 x 0 ) ( x 0 ) = (.5 ) x (0 0 ) = 6.5 x 0 = 6.5 x 0 (8.6 x 0 ) ( x 0 5 ) = (8.6 ) x 0 5 =. x 0 (5. x 0 ) ( x 0 5 ) = (5. ) x 0 ( 5) = 5. x 0 (0.9 x 0 ) (. x 0 7 ) = (0.9.) x 0 7 = 5. x 0 0 (. x 0 7 ) ( x 0 7 ) = (. ) x =. x 0 0 =. En el caso de la suma y la resta de números reales expresados en notación exponencial no se pueden aplicar estas reglas. La única manera de realizar estas operaciones es expresar ambos números con el mismo exponente, sumarlos o restarlos sin considerar la potencia de 0 y al resultado multiplicarlo por 0 elevado al exponente común. 9

30 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Por ejemplo, para sumar.07 x 0 y.9 x 0, podemos empezar expresando el primer sumando de la siguiente manera:.07 x 0 = 0.7 x 0. Después sumamos =.89, y a ese resultado lo multiplicamos por 0. Entonces tenemos que: (.07 x 0 ) + (.9 x 0 ) =.89 x 0 Otra manera de realizar esta misma operación es expresando el segundo sumando multiplicado por 0, así:.9 x 0 = 0.9 x 0. Entonces se puede sumar =.89, y a ese resultado se le multiplica por 0. Entonces el resultado es: (.07 x 0 ) + (.9 x 0 ) =.89 x 0 Una tercera forma de hacer la operación es transformando los dos números a su forma desarrollada. Así, hacemos.07 x 0 = 070, y.9 x 0 = 9, y luego sumamos = 89. Tenemos entonces que: (.07 x 0 ) + (.9 x 0 ) = 89 Los tres resultados son equivalentes, puesto que:.89 x 0 =.89 x 0 = 89 0

31 LECCIÓN Ejercicio 5 Realice las siguientes operaciones: a) (.85 x 0 6 ) x (. x 0 5 ) b) (8.5 x 0 ) x (5.7 x 0 ) c) (8.06 x 0 ) x (. x 0 ) d) (. x 0 7 ) x (6. x 0 6 ) e) (. x 0 5 ) ( x 0 7 ) f) (.6 x 0 6 ) (. x 0 ) g) (.5 x 0 ) (. x 0 7 ) h) (.0 x 0 ) (. x 0 ) Ejercicio 6 Realice las siguientes operaciones y exprese los resultados en forma desarrollada: a) (.567 x 0 ) + (.7 x 0 ) b) (5.7 x 0 ) + (. x 0 ) c) (5.7 x 0 ) + (. x 0 ) d) (6.50 x 0 ) (65.0 x 0 ) e) ( 5.06 x 0 ) (.7x 0 ) f) (. x 0 ) (. x 0 )

32 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Lección : Orden e intervalos La recta real En la lección anterior presentamos los números reales y vimos que éstos están constituidos por los números racionales y los irracionales. En grados anteriores vimos que a veces es conveniente representar números usando una recta. Así, una manera de representar números naturales era la siguiente: 0 5 Al estudiar los enteros también se utilizó esta representación y la recta se veía ahora así: Posteriormente estudiamos los racionales y también los agregamos a la recta:

33 L Ahora, si en la recta pudiéramos representar todos los números racionales y los números irracionales, tendríamos un modelo de los números reales, que se llama recta real. Cada punto de la recta representa un número real y a cada número real le corresponde un punto de la recta. Una utilidad de esta recta es ayudarnos cuando requerimos comparar números reales. Como sucedía con los naturales, enteros y racionales, tenemos que de dos números, el mayor es el que aparece más a la derecha en la recta real. Así, de nuevo se tiene que cualquier número positivo y el cero, son mayores que cualquier negativo. Observando la recta vemos por ejemplo que < - porque - aparece, en la recta real, más a la derecha que. Esto nos recuerda la regla que habíamos utilizado para comparar enteros y racionales. De dos números negativos el mayor es el que tiene menor valor absoluto, esto es, el menor cuando comparamos sus correspondientes positivos. Usando este mismo ejemplo se tiene que es menor que, entonces - es mayor que. Para comparar dos reales positivos hacemos lo mismo que con los racionales. Primero comparamos la parte entera: el que tiene mayor parte entera es el mayor, por ejemplo.65 es mayor que porque es mayor que 99; π es mayor que porque la parte entera de π es y es mayor que la de que es. Cuando los números tienen partes enteras iguales, se compara la primera cifra decimal a la derecha del punto: es mayor el número que tiene la mayor cifra decimal en el primer lugar a la derecha del punto. Por ejemplo 5.6 es mayor que

34 GUÍA DE MATEMÁTICAS III porque la primera cifra decimal del primero es 6, que es mayor que la primera cifra decimal del segundo, que es 0. Si las partes enteras y las primeras cifras decimales de ambos números son iguales, entonces se procede a comparar entre sí las segundas cifras decimales en ambos números. Y así, sucesivamente. Como ya se ha dicho, los números irracionales se trabajan en general mediante una aproximación ya que no es posible escribir todas sus cifras decimales. Una vez establecida la aproximación con la que queremos trabajar podemos compararla con otros números como ya se ha explicado aquí. Ejercicio Escriba los símbolos <, =, > según corresponda: a) b) π.9 c).67.5 d) e) π.9 f) g) h). -

35 L Intervalos de números reales Una manera de utilizar los números reales, que se usará en otras lecciones de este libro, es mediante intervalos. Un intervalo de números reales es un conjunto de números reales, también puede verse como un "pedacito" de la recta real, es decir como un segmento de la recta. Por ejemplo, el que dibujamos aquí:.5 Para referirnos a este segmento de recta usamos lo que se llama intervalo. En este caso se trata del intervalo "de dos a tres punto cinco" y podemos representarlo encerrando los extremos con un paréntesis y separados por una coma, así (,.5). Como podemos observar, identificamos el intervalo mencionando sus extremos, primero el izquierdo, que corresponde al menor de los extremos y luego el derecho. El intervalo "de dos a tres punto cinco" que hemos indicado es el conjunto de todos los números que están entre y.5, es decir, todos los números más grandes que y más chicos que.5. Decimos que (,.5) es un intervalo abierto. Por ejemplo.6 no está en este intervalo porque es mayor que.5. Tampoco el 0 está en este intervalo porque es más chico que dos. Podemos preguntarnos si.90 estará en el intervalo y la respuesta es sí, porque es mayor que y menor que.5. Los extremos de un intervalo abierto no están en él: no está en el intervalo porque no es mayor que, y.5 tampoco porque no es menor que.5. 5

36 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Para saber si un número está en un intervalo dado necesitamos comprobar dos condiciones: Que sea mayor que el extremo izquierdo Que sea menor que el extremo derecho Si no se cumple cualquiera de las dos condiciones, el número dado no estará en el intervalo. Por ejemplo. Pensemos en el intervalo "de cero a nueve décimos": Cuáles de los siguientes números están en este intervalo?, 0.9, 000, 0.899, 5, 0.,, 5. Debemos decidir cuáles de estos números cumplen las dos condiciones: Ser mayor que 0 Ser menor que 0.9 Rápidamente podemos descartar a 000, por ser mayor que 0.9. Por la misma razón descartamos a y al. Como cualquier negativo es menor que 0 y queremos números mayores que 0, salen todos los negativos. Quedan por decidir: 0.9 y Ambos cumplen la primera propiedad, son mayores que 0. Pero es necesario que también cumplan la segunda. Ahora 0.9 6

37 LECCIÓN y 0.9 tienen iguales sus primeras cifras decimales, debemos comparar las segundas. Aunque 0.9 no tiene segunda cifra decimal, podemos agregarle un 0 ya que 0.9 = Comparando 0.9 con 0.90 vemos que 0.9 > Así que 0.9 no cumple la segunda condición, se "sale" del intervalo. Analicemos ahora el segundo número: vemos que < 0.9, porque la primera cifra decimal del primero es 8 que es menor que la primera cifra decimal del segundo, que es 9. Entonces está en el intervalo. Cuando un número está en un intervalo decimos que "pertenece" al intervalo, de otra manera decimos que "no pertenece" al intervalo. Para trabajar con intervalos son útiles los símbolos > y <. Así, si queremos saber si un número x está en el intervalo (.,.) necesitamos comprobar dos cosas: Si x >. y Si x <.. Por ejemplo, nos preguntamos cuáles de los siguientes números pertenecen al intervalo (-.,.):.8, 0.98, 0.5, 0.5,,.,.09,.0..8 >. pero no es menor que., así que.8 no pertenece a (.,.) >., y también 0.98 <., así que 0.98 sí pertenece al intervalo (.,.). 7

38 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Al revisar los otros números encontramos que: 0.5 pertenece a (.,.) porque 0.5 >. y 0.5 <. 0.5 pertenece a (.,.) porque 0.5 >. y 0.5 <. no pertenece a (.,.) porque <.. no pertenece a (.,.) porque. >..09 pertenece a (.,.) porque.09 >. y.09 <..0 no pertenece a (.,.) porque.0 =. Los intervalos que hemos considerado hasta ahora en nuestros ejemplos son intervalos abiertos: en ellos no están incluidos los extremos. Algunas veces queremos que el intervalo sí incluya a sus extremos. Por ejemplo, si queremos referirnos al conjunto de números formado por el, el 5 y todos los números que están entre los dos, escribimos [, 5] y decimos que [, 5] es un intervalo cerrado. Observe que la diferencia en la notación está dada por la forma de los paréntesis: aquí usamos paréntesis cuadrados, también llamados corchetes. Podemos representar un intervalo cerrado así: 5 Para comprobar si un número x está en un intervalo cerrado, digamos el intervalo [-., -.], necesitamos comprobar dos cosas: Que x sea mayor o igual que el extremo inferior. Esto lo escribimos así: a. Que x sea menor o igual que el extremo inferior. Esto lo escribimos así: a. 8

39 LECCIÓN Por ejemplo, veamos si los siguientes números pertenecen al intervalo [.,.]:.8, 0,.,.,.,.6,.,.5 Al analizar cada uno observamos que:.8 pertenece a [.,.] porque.8. y.8. 0 no pertenece a [.,.] porque 0 >.. no pertenece a [.,.] porque. >.. no pertenece a [.,.] porque. >.. pertenece a [.,.] porque.. y...6 no pertenece a [.,.] porque.6 <.. pertenece a [.,.] porque.. y...5 pertenece a [.,.] porque.5. y.5. Combinando las notaciones anteriores podemos escribir intervalos semi-abiertos, es decir intervalos que contienen sólo un extremo. Por ejemplo, el intervalo [, 7) contiene al número, y a todos los números mayores que y menores que 7. Es decir, x pertenece al intervalo [, 7) si x y si x < 7. Decimos que [, 7) es un intervalo abierto por la derecha. (, 7] contiene a todos los números mayores que y menores que 7 y también al número 7. Es decir, x pertenece al intervalo (, 7] si x > y si x 7. Decimos que (, 7] es un intervalo abierto por la izquierda. 9

40 GUÍA DE MATEMÁTICAS III En general, si llamamos a y b a dos números cualesquiera y a < b, tenemos: Representación en símbolos Representación gráfica Contiene Intervalo abierto A todos los números mayores que a y menores que b. Los extremos a y b no pertenecen al intervalo. Intervalo cerrado A los números a, b y a todos los que son mayores que a y menores que b. Los extremos a y b pertenecen al intervalo. Intervalo abierto por la derecha Al número a, y a todos los que son mayores que a y menores que b. El extremo a pertenece al intervalo, b no pertenece a él. Intervalo abierto por la izquierda (a, b) [a, b] [a, b) (a, b] a b a b a b a b A todos los números mayores que a y menores que b y al número b. El extremo a no pertenece al intervalo, b sí pertenece a él. x pertenece al intervalo si: x > a x < b x a x b x a x < b x > a x b Ejercicio En cada inciso, indique si el número de la izquierda pertenece al intervalo de la derecha: a) 0.9 (.7,.) b).56 (.5,.5) c). (., ) d).08 (.079,.08) 0

41 LECCIÓN e).5 ( 5, 5) f) (0, 0.5) g) ( 5, 9.0) h) π (.,.) i) π (, ) j) π ( π, π) k) (0, π) l).8 (.,.8) m) 5 (5, 0] n) 8 [8, ] o) 6 [ 6, 0) p) 0 [ 6, 0) q).8 (, ) r) / [0, ] s) -5/ (, 0) t).5 [,.5) u).7 (, ) v).799 (,.8) w).000 (, ) x) 8.6 ( 5., 8.7]

42 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Lección : Proporcionalidad La proporcionalidad es un tema que hemos venido estudiando desde el primer grado de secundaria, sobre todo en la lección 7 del segundo curso. La idea de proporcionalidad se sitúa dentro de una relación entre dos clases de cantidades o medidas. Una vez que se establece la relación es posible decir si en ella existe proporcionalidad o no. Veamos algunos ejemplos. Mayra y Lety fueron a comprar dulces, Mayra compró 6 caramelos y pagó $0.5. Lety se llevó caramelos y pagó $0.0. Como vemos, en este ejemplo hay una relación entre la cantidad de dulces y la cantidad de dinero que se paga por ellos. Además esta relación cumple una propiedad que la caracteriza de manera especial. Observemos que Lety compró el doble de caramelos que Mayra, ya que es el doble de 6, pero también Lety pagó 0 centavos, que es el doble de lo que pagó

43 LECCIÓN Mayra. En esta relación vemos que a más caramelos, más es lo que hay que pagar y no sólo esto, sino que el aumento es proporcional. Otros ejemplos de este tipo de relaciones son las tablas de precios que tienen algunas taquerías o tortillerías, o los negocios de fotocopiadoras. A las relaciones de este tipo se les llama relaciones directamente proporcionales. Nacho y Manuel tienen cada uno un tanque para almacenar agua, y ambos tanques son idénticos. Para llenarlos tienen que caminar al pozo, llenar sus cubetas y regresar a su casa para vaciarlas en su tanque. Nacho tiene una cubeta de 0 litros, Manuel tiene una cubeta de 0 litros. Por esta razón, cuando el tanque está vacío, para llenarlo Nacho da 0 vueltas mientras que Manuel sólo da 5 vueltas. Al analizar este ejemplo observamos que hay una relación entre la capacidad de las cubetas y el número de vueltas que hay que dar para llenar tanques iguales. Cuando las cubetas son más grandes se requiere dar menos vueltas. En esta relación, a diferencia de la del primer ejemplo, a más capacidad de las cubetas menos vueltas hay que dar. Por esto decimos que es una relación inversa, pero además el aumento en la capacidad se relaciona con la disminución en el número de vueltas proporcionalmente, ya que cuando la capacidad de las cubetas es el doble, el número de vueltas se reduce a la mitad. En cada viaje Nacho acarrea 0 litros, mientras que Manuel lleva 0 litros, el doble. Así mismo Nacho da 0 vueltas mientras que Manuel da 5 vueltas, la mitad.

44 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Otro ejemplo de este tipo de relaciones sucede cuando dos vehículos recorren una misma distancia a diferentes velocidades. El que viaja a mayor velocidad se llevará menos tiempo en hacer el recorrido, el que viaja a menor velocidad tardará más en llegar. A este tipo de relaciones se les llama inversamente proporcionales. En las siguientes secciones estudiaremos algunas propiedades de relaciones tanto directa como inversamente proporcionales. Presentaremos ejemplos y situaciones cuyo conocimiento nos puede facilitar la resolución de problemas. Conviene aclarar que no cualquier relación es directa o inversamente proporcional: hay relaciones que no son proporcionales. El siguiente es un ejemplo de relación que no es proporcional: El área de un círculo está dada por la fórmula A = πr. Entonces si tenemos un círculo de radio cm y usando para π la aproximación.6, el área es igual a 8.7 cm. Si tomamos una circunferencia del doble de radio, esto es de radio 6 cm, al sustituir en la fórmula y hacer los cálculos resulta que el área es.0976 cm, que no es el doble de 8.7. Si bien es cierto que a mayor radio, mayor área, el aumento no es proporcional al aumento del radio. Proporcionalidad directa El primer ejemplo de la sección anterior es un ejemplo de proporcionalidad directa. Para estudiar las propiedades de este tipo de relación vamos a ver el caso de la venta de caramelos y completaremos los datos que faltan en esta tabla.

45 LECCIÓN Caramelos A pagar en centavos ($.50) 70 ($.70) Observemos que hay tres columnas completas: las que relacionan 6 caramelos con 5 centavos, caramelos con 0 centavos y 60 caramelos con 50 centavos (o, lo que es lo mismo, con $.50). Si consideramos el cociente de cantidad a pagar entre el número de caramelos comprados, tenemos = = Como podemos observar, todos estos números son el mismo: están expresados como fracciones distintas pero equivalentes. De hecho todas corresponden al decimal.5. En cualquier relación directamente proporcional se cumple este hecho: que el cociente de dos cantidades relacionadas es siempre el mismo, en este caso.5. A este cociente se le llama valor unitario o constante de proporcionalidad. En este ejemplo la constante de proporcionalidad representa el precio en centavos de cada caramelo. Como ya se sabe que cada caramelo cuesta.5 centavos, para encontrar cuánto se debe pagar por 8 caramelos sólo se requiere multiplicar el valor.5 por 8. Al hacer la multiplicación encontramos que 8 x.5 = 5. Hay que pagar 5 centavos. Otra manera de razonar es la siguiente: 8 es el triple de 6, entonces hay que pagar el triple de lo que se pagó por 6 caramelos, esto es, x 5 = 5. Con cualquiera de estos procedimientos podemos completar la tabla para 90 y 0 caramelos. Como 90 x.5 = 5.0, por 90 5

46 GUÍA DE MATEMÁTICAS III caramelos se pagan 5 centavos (es decir, $.5), mientras que por 0 caramelos se pagan 0 x.5 = 00 centavos (es decir, $.00). Existe otra relación importante que cumplen las relaciones directamente proporcionales. Al dividir dos cantidades en una misma clase, el cociente obtenido es el mismo que al dividir sus correspondientes en la otra clase. Por ejemplo, si nos fijamos en la clase de los caramelos y dividimos 6 =, también sus correspondientes precios, que son 0 y 5, dan al dividirse. Lo que estamos comprobando aritméticamente es algo que ya sabíamos: como es el doble de 6, 0 es el doble de 5. Veamos otro caso, tomemos dos cantidades en el renglón de los caramelos y dividamos una entre otra: 0 90 =., ahora consideremos los correspondientes precios: 00 y 5, al tomar su cociente resulta 00 5 =. Lo que se tiene aquí es que como 0 es. veces 90, lo que se paga por 0 es. veces lo que se paga por 5. Para completar los datos que faltan en la tabla, que son la cantidad de caramelos que se pueden comprar con 60, 90 y 70 centavos, podemos utilizar el valor unitario. Si cada caramelo cuesta.5 centavos, con 60 centavos se pueden comprar 60.5 = caramelos. Para resumir lo que se ha discutido aquí observemos que: El número de caramelos multiplicado por.5 nos da la cantidad que se pagará. La cantidad pagada entre.5 nos da la cantidad de caramelos comprados. 6

47 LECCIÓN Cualquier cantidad pagada entre el número de caramelos comprados con ella da.5. Ejercicio Termine de completar la tabla de los caramelos del primer ejemplo. Ejercicio La siguiente tabla se refiere a la cantidad de sacos de abono que se requieren para abonar diferentes áreas de cultivo de acuerdo con su medida en metros cuadrados. Complete la tabla y obtenga la constante de proporcionalidad. Cantidad de tierra en m Cantidad de abono en sacos

48 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Regla de tres En esta sección veremos una manera corta de resolver algunos problemas de proporcionalidad directa, llamada la regla de tres. Cuando se sabe que una relación entre dos clases de objetos es de proporcionalidad directa y se conocen tres datos, es fácil encontrar el cuarto. Veamos algunos ejemplos. Cuatro camisas cuestan $00. Cuánto cuestan cinco camisas? Podemos acomodar la información de la siguiente manera: Camisas: 5 Costo: 00? Llamemos x al costo de las 5 camisas. Entonces tenemos: Camisas: 5 Costo: 00 x A este acomodo lo podemos leer de la siguiente manera: "cuatro es a trescientos como cinco es a x". Podemos encontrar x buscando primero la constante de proporcionalidad, que es el precio de una camisa, así: 00 = 75, y luego multiplicando ese resultado por 5, así: 75 x 5 = 75. Entonces, cinco camisas 8

49 LECCIÓN cuestan $75. Observe que el resultado de 75 se obtuvo de hacer 00 las operaciones x 5 y que otra manera de expresar las operaciones es así: 00 x 5. Dicho de otra manera, si consideramos nuestro acomodo inicial, Camisas: 5 Costo: 00 x podemos encontrar el valor de x multiplicando los dos datos existentes en la diagonal en la que no está la x y dividiendo entre el tercero: 00 x 5 x = = = 500 = Veamos otro ejemplo. Cuánto recorre un automóvil en 90 minutos si viaja a 80 kilómetros por hora? Si ahora llamamos x a lo que el automóvil recorre en 90 minutos, podemos acomodar la información así: 9

50 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Distancia: x 80 Tiempo: Entonces encontramos el valor de x multiplicando los dos datos existentes en la diagonal en la que no está la x y dividiendo entre el tercero: 90 x 80 x = = = = El automóvil recorre 0 kilómetros en 90 minutos. Observe que con esta regla no importa cuál es el cuarto dato faltante. Por ejemplo, podemos preguntarnos cuánto tiempo tarda el mismo automóvil del ejemplo anterior en recorrer 50 kilómetros. Entonces tenemos: Distancia: Tiempo: x 60 Y ahora la regla de tres se resuelve así: 50 x 60 x= = = El automóvil tarda 7 minutos y medio en recorrer los 50 kilómetros. También podemos preguntarnos a qué velocidad viaja un automóvil que recorre 5 Km en una hora y cuarto. Podemos resolver este problema de dos maneras. O bien traducimos todo a minutos, entonces tenemos que una hora y cuarto son = 75 minutos, y la regla de tres queda así: 50

51 LECCIÓN Distancia: 5 x Tiempo: y la solución es: 5 x 60 x= = =00, o bien expresamos todo en horas y la regla de tres queda así: Distancia: 5 x Tiempo: y la solución es: 5 x x = = 5 = = x = = = x x 500 De cualquier modo, encontramos que la velocidad del automóvil era de 00 kilómetros por hora. Observe que para realizar la regla de tres, necesitamos que las unidades de los elementos de la misma clase fueran siempre las mismas: todas las distancias en kilómetros y todos los tiempos o bien en minutos o bien en horas. Ejercicio Encuentre, por regla de tres, el valor de x en los siguientes arreglos: a) 5.6 x b) 9.9 c) x 700 d) x x 5

52 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Ejercicio Resuelva, por regla de tres, los siguientes problemas de proporcionalidad directa: a) Si dos tacos cuestan $.00, cuántos tacos podrán comprarse con $6.00? b) Si una llave de agua llena tres cuartas partes de un tanque en minutos, cuánto tardará el tanque en llenarse? c) Si un mantel mide.0 m de ancho por.80 m de largo, qué ancho tendrá un mantel de la misma proporción si de largo mide.50 m? d) Si 6 personas caben en dos autobuses, cuántos autobuses se necesitan para transportar a 5 personas? Proporcionalidad inversa En esta sección profundizaremos en algunos aspectos de las relaciones de proporcionalidad inversa. Para ello volveremos al segundo ejemplo de la primera parte de esta lección, el de las cubetas. Mostraremos la información conocida en una tabla y dejaremos algunos datos sin revelar para irlos obteniendo de acuerdo con las propiedades que encontremos. Capacidad de cada cubeta No. de vueltas

53 LECCIÓN En esta relación ya no se cumple lo que pasaba con los caramelos de la sección anterior. Por ejemplo tomamos en el renglón de capacidad de las cubetas y dividimos 0 0 =, las correspondientes vueltas son 5 y 0, respectivamente, pero 5 0 =, que no es igual a. Esto sucede porque la relación es proporcional pero no directa, sino inversa, y podemos decir que los cocientes o razones obtenidos son inversos: y. Otra relación que se puede encontrar es que al multiplicar la capacidad de las cubetas por el número de vueltas es el mismo, por ejemplo aquí tenemos 0 x 0 = 0 x 5 = 00. Este dato nos da información acerca de lo que acarrea cada cubeta en total, esto es 00 litros por cubeta. Con este dato ya es fácil completar la tabla, por ejemplo con la cubeta de litro, se necesitan 00 = 00 vueltas. Para la de litros se requieren 00 = 50 vueltas. También podemos saber la capacidad de las cubetas de acuerdo al número de vueltas, si se usaron vueltas para llevar 5

54 GUÍA DE MATEMÁTICAS III 00 litros, en cada vuelta se llevaron 00 = 5 litros. La capacidad de la cubeta es 5 litros. En resumen tenemos: El cociente de 00 entre el número de vueltas nos da la capacidad de cada cubeta. El cociente de 00 entre la capacidad de una cubeta nos da el número de vueltas. Al multiplicar la capacidad de una cubeta por su correspondiente número de vueltas, se obtiene siempre 00. Cabe señalar que en las relaciones de proporcionalidad inversa no se puede aplicar la regla de tres como fue expuesta en la sección precedente. Ejercicio 5 Complete la tabla de las cubetas y las vueltas. Ejercicio 6 La siguiente tabla muestra las velocidades de distintos vehículos y el tiempo que tardan en viajar de Cuitzeotlán a Mirabampo. Complete la tabla y encuentre la distancia entre Cuitzeotlán y Mirabampo. Velocidad del vehículo Tiempo que tarda 8.. 5

55 LECCIÓN Variaciones proporcionales y no proporcionales Consideraremos ahora otros ejemplos. En la tienda de abarrotes de don Hilario aparece un letrero que dice "Ventas al mayoreo y menudeo, pregunte por nuestros precios". Un cliente que quiere comprar arroz pide a don Hilario que le dé 9 kilos de arroz. Don Hilario le dice que son $5, pero que por esta misma cantidad de dinero se 55

56 GUÍA DE MATEMÁTICAS III puede llevar 0 kilos. El cliente no entiende nada y pide a don Hilario que le explique. Para ello don Hilario le muestra una tabla como ésta: Don Hilario explica a su cliente que a partir de 0 kilos él considera que es compra al mayoreo y baja el precio por kilo. Si observamos bien, al dividir el precio entre la cantidad en las primeras 9 columnas, siempre obtenemos el mismo resultado, 5, por ejemplo 0 6 = 0 8 = 5, etc. Éste es el precio por kilo si se compran de a 9 kilos. Para estas cantidades existe proporcionalidad. En cambio, a partir de 0 tenemos otras relaciones: 5 0 =.5, 0 =.0, =, 88 0 =.0, 60 0 =, =. Esto es, el precio del kilo de arroz varía según se compre más o menos. Esta relación no es directamente proporcional por lo que acabamos de ver. También podemos notar que no es directamente proporcional si observamos que por 0 kilos se pagan $5, mientras que por 0 kilos, que es el doble de 0, no se paga el doble, que sería 90, sino $ Otro ejemplo de una proporción que no es directamente proporcional es el siguiente.

57 LECCIÓN El volumen de un tanque cilíndrico se calcula sacando el área de la base por la altura. De hecho, si r es el radio del círculo que es la base del tanque y h es la altura, el volumen está dado por la fórmula V = π x h x r Con esta fórmula vamos a obtener algunos volúmenes de cilindros de 50 cm de altura y de diferentes radios, y vamos a mostrar esta información en una tabla. Para π usaremos la aproximación. y redondearemos los resultados a una cifra decimal. r en cm V en cm Para ver que no se trata de una relación directamente proporcional, observaremos un solo caso. Por ejemplo para 5 cm de radio el volumen del cilindro es 985 cm ; mientras que para un radio del doble de tamaño, esto es, de 50 cm, el volumen es 9500, que no es el doble de 985. Con esto basta para saber que la relación no es directamente proporcional. Ejercicio 7 Las siguientes tablas muestran distintas relaciones entre cantidades de dos clases, algunas son proporcionales y otras no. Entre las proporcionales, algunas son directas y otras son inversas. 57

58 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Identifique de qué tipo es cada relación y justifique su respuesta. Cuando la relación sea directamente proporcional, indique cuál es la constante de proporcionalidad. a) Se sabe que la reproducción de cierta célula es por bipartición y que el proceso se repite cada horas. La siguiente tabla muestra la cantidad de células después de diferentes cantidades de días. Días Cantidad de células b) La cantidad de harina que se requiere para hacer 0 galletas es una taza. La siguiente tabla muestra la cantidad de harina necesaria para que, con la misma receta, se hagan diferentes cantidades de galletas. Harina en tazas 5 Cantidad de galletas c) El perímetro de un cuadrado varía de acuerdo al lado y la fórmula para calcular el perímetro es P = l. La tabla siguiente muestra el perímetro de algunos cuadrados de acuerdo al lado en metros. l P

59 LECCIÓN d) La cantidad de gasolina que gasta un automóvil varía de acuerdo con la velocidad a la que viaja el automóvil. La siguiente tabla muestra cuántos kilómetros por litro de gasolina rinde cierto automóvil, según la velocidad a la que viaja (en kilómetros por hora). Velocidad Rendimiento e) Para almacenar las cajas en las que se vende cierto producto, se pueden acomodar los lotes sobre rectángulos que tienen diverso ancho y largo. La siguiente tabla muestra las dimensiones (en metros) que ocupan distintos lotes. Largo Ancho..5. f) El uso del polvo de hornear varía según la altitud sobre el nivel del mar a la que se utiliza. La siguiente tabla muestra la cantidad de polvo de hornear (en cucharaditas) que se debe utilizar para hornear cierto pastel, de acuerdo con la altitud sobre el nivel del mar (en metros). Altitud Polvo de hornear

60 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Lección 5: Porcentajes En las lecciones anteriores estudiamos relaciones de proporcionalidad directa e inversa. En esta lección estudiaremos una relación de proporcionalidad directa especial: los porcentajes. Encontramos los porcentajes en muchas facetas de nuestra vida, como los descuentos, los impuestos, los intereses del banco, las estadísticas en general y otras muchas situaciones. En esta lección estudiaremos cómo usar y resolver problemas en los que intervienen porcentajes. Para ello, veremos algunos ejemplos. Muchas veces, en los productos que se venden en las tiendas podemos leer sus contenidos en porcentajes. Por ejemplo algunas mermeladas tienen leyendas como 0% de fruta natural, o 5% de fruta. Qué significa esto? El porcentaje es una proporción. El número 5%, que se lee "veinticinco por ciento", significa 5 de cada 00. Pero, de cuáles 00? En general, en los productos alimenticios, el 00 se refiere a 00 gramos: si una mermelada tiene 5% de fruta eso significa que de cada 00 gramos de mermelada, 5 gramos son de fruta y lo demás son agua, azúcar y otros ingredientes. En lugar de 5% 60

61 LECCIÓN 5 de fruta, el envase podría decir 5 gramos de fruta por cada 00 gramos de mermelada. Si otra mermelada tiene el 0% de nuevo significa que de cada 00 gramos, 0 corresponden a fruta. Pero, por qué no poner simplemente 0 gramos de fruta, en lugar de decir 0% de fruta? En parte esto se debe a que en casos como éste, los porcentajes son usados como una medida de la calidad: la mermelada que más fruta contiene proporcionalmente, será de mayor calidad y al hablar en porcentajes, no importa el tamaño del envase y es más fácil comparar calidades. Supongamos que queremos decidir entre una mermelada que tiene 0% de fruta, como la del ejemplo anterior, y una mermelada en envase de 00 gramos que dice tener 0 gramos de fruta. En un primer momento podríamos pensar que ésta es de mejor calidad que la primera que vimos porque tiene más fruta, sin embargo también tiene más agua y azúcar, porque son 00 gramos. Para hacer la comparación necesitamos considerar cantidades iguales, por ejemplo 00 gramos de mermelada. Tomaremos entonces sólo la mitad del envase de la segunda mermelada, es decir 00 gramos, por lo tanto tenemos la mitad de fruta, es decir 0 gramos de fruta. En realidad esta mermelada tiene 0% de fruta, o sea que es de menor calidad que la que contiene 0% de fruta. 6

62 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Veamos otro ejemplo: Una tienda departamental anuncia que todos sus productos lácteos están con un 0% de descuento. Esto significa que de cada 00 pesos de compra de estos productos, se van a descontar $0. Como sabemos que el porcentaje es una relación directamente proporcional, si gastamos el doble, la cantidad de dinero descontada es el doble, si gastamos $00, el monto del descuento se duplica: $80. Si se compra sólo $50, la mitad de 00, el monto del descuento será de la mitad, es decir, $0. Vamos a presentar estos resultados en una tabla: Precio % de descuento Podemos observar que 50 x 0.0 = 0; 00 x 0.0 = 0; 00 x 0.0 = 80. Lo que vemos es que para obtener el 0% de descuentos de una cantidad, debemos multiplicar ésta por o, lo que es lo mismo, por 00. El valor 0.0 también puede obtenerse al dividir cada descuento entre la cantidad original correspondiente: 0 50 = 0 00 = = 0.0. Ya habíamos visto en la lección de proporcionalidad directa, que este resultado, que siempre es el mismo, es el valor unitario o constante de proporcionalidad. Así, para obtener el 0% de 0, podemos realizar la multiplicación 0.0 x 0 =. Esto es, el 0% de 0 es. 6 Otra manera de resolver este tipo de problemas es mediante una regla de tres, puesto que tenemos una proporcionalidad directa. Así, por ejemplo, para obtener el 0% de 0, podemos decir "0 es a 00 como x es a 0":

63 LECCIÓN 5 Descuento: 0 x Precio: 00 0 y entonces tenemos que: 0 x 0 x = = = Lo que acabamos de ver es que hay dos maneras de calcular el "tanto por ciento" de un número: o bien se multiplica ese número por el tanto por ciento dividido entre cien, o bien se razona mediante una regla de tres. Veamos con las dos maneras cómo calcular el 0% de 8, cantidad a la que llamaremos t: t = 0.0 x 8 Descuento: 0 t t =.0 Precio x 0 t = =.0 00 También se puede utilizar cualquiera de las dos maneras para encontrar que el 0% de 0 es 56. Otra clase de problemas que se presentan cuando se trabaja con porcentajes, es cuando se conoce el resultado de aplicar el porcentaje pero no la cantidad inicial. Tenemos esa situación cuando conocemos la cantidad descontada correspondiente al 0% de una cantidad original pero esa cantidad original es desconocida. Por ejemplo en la tabla vemos que 6 es el 0% de descuento pero no sabemos de qué cantidad. Veamos dos maneras distintas de resolver este problema. 6

64 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Podemos plantear una ecuación, como se hizo en grados anteriores. Si llamamos x a la cantidad desconocida, lo que tenemos es que el 0% de x es 6, es decir: 0.0 x x = 6 Para resolver la ecuación necesitamos despejar la incógnita, x. Para ello hay que dejarla "sola" de un lado de la ecuación, lo que se logra "deshaciendo" el efecto de las operaciones que la están afectando. Aquí aparece multiplicada por 0.0, así que para "deshacer" este efecto dividimos entre 0.0, y aplicamos esta operación en ambos lados de la igualdad para que no se altere: 0.0 x x 0.0 = y de ahí obtenemos x = 5. La otra manera de resolver el problema es nuevamente usando una regla de tres: ahora el razonamiento es "0 es a 00 como 6 es a x": Descuento: 0 6 Precio: 00 x Y entonces podemos resolver la regla de tres: 00 x 6 x = = = Hemos entonces resuelto de dos maneras distintas que 6 es el 0% de 5. Veamos en paralelo cómo se resuelve con las dos maneras el siguiente problema: de cuánto es 0% la cantidad de 6? Llamemos y a esa cantidad. 6

65 LECCIÓN x y = 6 Descuento: 0 6 Precio 00 y 0.0 x y 6 = x 00 y = 90 y = =90 0 También se puede utilizar cualquiera de las dos maneras para encontrar que 8 es el 0% de 0. Aquí tenemos la tabla del 0% de descuento completa: Precio % de descuento Como hemos visto en el ejemplo, para obtener el 0% 0 podemos multiplicar por 0.0, o lo que es lo mismo,, 00 esto es 0 centésimos. Para obtener el 50% debemos 50 multiplicar por 0.50 ó, para obtener el % por 00 centésimos, 0., para obtener el % se debe multiplicar por centésimos, esto es por 0.0. Así, por ejemplo, El 65% de 5 es igual a 0.65 x 5 =.75 El % de 8 es igual a 0.0 x 8 = 8.8 Veamos por último otra clase de problemas que se presentan con frecuencia con respecto a los porcentajes. En este caso nos interesa saber qué porcentaje es una cantidad de otra. Consideremos un ejemplo: 65

66 GUÍA DE MATEMÁTICAS III En una comunidad tienen 00 hectáreas, de las que 60 son de bosque y 50 de pastizal. Qué porcentaje del terreno ocupa el bosque? Qué porcentaje del terreno ocupa el pastizal? Como en los casos anteriores, resolveremos el problema del bosque de dos maneras. De acuerdo con la primera, plantearemos una ecuación: supongamos que w es el porcentaje del terreno que ocupa el bosque. Entonces, tenemos que 60 es el w % de 00, lo que se puede expresar de la manera siguiente: w 00 x 00 = 60 Para despejar esta ecuación debemos "deshacer" las operaciones que afectan a w, que son una multiplicación por 66

67 LECCIÓN 5 00 y una división entre 00, y debemos aplicar las operaciones inversas de ambos lados de la igualdad para que ésta se conserve: W 00 x = W 00 = W 00 = 0.5 W x = 0.5 x 00 w = 5 Encontramos entonces que las 60 hectáreas de bosque son el 5% del total de las 00 hectáreas que tiene la comunidad. La segunda manera en que podemos resolver este problema es utilizando una regla de tres. Como ahora queremos saber 60 de 00 qué porcentaje es, nuestro razonamiento es "60 es a 00 como w es a 00": Bosque: 60 w Terreno: Y entonces resolvemos la regla de tres: 60 x 00 w = = = Con lo que obtenemos el mismo resultado que con el otro método. Veamos con los dos procedimientos cómo resolver el problema del pastizal: ahora diremos que las 50 hectáreas de pastizal son el z% de las 00 hectáreas del terreno. 67

68 GUÍA DE MATEMÁTICAS III z 00 z 00 z 00 x 00 = 50 Pastizal 50 z x = Terreno X 00 = 0.75 z = = = z X = 0.75 x 00 z = 7.5 Es decir, el pastizal constituye el 7.5% del terreno de la comunidad. Ejercicio Haga una tabla para encontrar el 6% de 0, 0, 0, hasta 00. Ejercicio Haga una tabla para encontrar el % de 5, 0, 5, 60, 75, 90, 05, 0, 5, 50. Ejercicio Utilice el procedimiento que prefiera para encontrar: a) el % de c) el 5% de 60 e) el 95% de 5 b) el 5% de 8 d) el 8% de 897 f) el % de 87 68

69 LECCIÓN 5 Ejercicio Utilice el procedimiento que prefiera para encontrar: a) De qué cantidad es 56 el 7%. b) De qué cantidad es 8 el %. c) De qué cantidad es 0.5 el 0%. d) De qué cantidad es. el 87%. e) De qué cantidad es.7 el %. f) De qué cantidad es el %. Ejercicio 5 Utilice el procedimiento que prefiera para encontrar: a) Qué porcentaje es 60 de 00. b) Qué porcentaje es 89.5 de 5. c) Qué porcentaje es 75 de d) Qué porcentaje es de. e) Qué porcentaje es 5 de f) Qué porcentaje es 60 de 0. Ejercicio 6 En una tienda ofrecen el 5% de descuento en todas las lámparas. Complete las celdas vacías de la siguiente tabla. 69

70 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Precio del artículo en pesos % de descuento.50 Cantidad a pagar Ejercicio 7 En una tienda de abarrotes venden jalea de frutas. La marca "Frutita" ofrece la misma calidad en todas sus presentaciones. En el frasco de 500 g la etiqueta dice: "contiene 5% de fruta". a) Qué porcentaje de fruta tendrá el frasco de 50 g? b) Qué cantidad de fruta tendrá el frasco de 50 g? Ejercicio 8 Como usted sabe, el Impuesto al Valor Agregado (IVA) es de 5%. a) Cuánto se debe pagar de IVA por un artículo que cuesta $56? b) Si por un artículo se pagó $.50 de IVA, cuánto cuesta el artículo sin IVA y cuánto cuesta con IVA? c) Por un artículo se pagó $76.5 con todo e IVA. Cuánto costó el artículo sin IVA y cuánto se pagó de IVA? (Sugerencia: el precio del artículo con todo e IVA es el 5% del precio sin IVA.) Ejercicio 9 En qué porcentaje aumentaron el precio de un producto si antes valía $6.50 y ahora vale $9.90?

71 LECCIÓN 6 Lección 6: Repartición proporcional La repartición proporcional es un tipo de problemas que se presentan cuando hay que repartir una cantidad proporcionalmente a otra. Para ver cómo es esto, consideremos el siguiente ejemplo: Juan, Pedro y Camilo aceptaron un trabajo y decidieron que cada uno cobraría de acuerdo con las horas trabajadas. Cuando terminaron, habían anotado: "Juan 0 horas, Pedro horas y Camilo 8 horas". Cuando recibieron $800 como pago total debían hacer una repartición proporcional, de manera que cada uno recibiera una cantidad conforme al tiempo trabajado. 7

72 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Considerando que les habían pagado $800 por un total de 0 horas, elaboraron la siguiente tabla: Camilo Pedro Juan Total Horas trabajadas Pago en $ c p j 800 En la tabla, lo que debe cobrar cada cual está representado con las letras c, p y j. Para poder completar la tabla, o sea sustituir esas letras por sus respectivos valores, podemos considerar el caso de cada trabajador por separado. Tenemos una variación directamente proporcional, puesto que el pago en pesos está proporcionalmente relacionado con las horas trabajadas. Es decir, se están relacionando cuatro cantidades que son proporcionales. Conocemos tres de ellas y debemos encontrar el valor de la cuarta. Podemos entonces usar la regla de tres. Entonces, para Camilo tenemos: 8 x 800 Horas trabajadas 8 0 c = = 60 0 Pago en $ c 800 Por lo que Camilo recibe de pago $60. De igual manera se pueden obtener las cantidades correspondientes a Juan y a Pedro. 7

73 LECCIÓN 6 Ejercicio Obtenga el pago que les corresponde a Juan y Pedro y con esos datos complete la tabla del ejemplo. Ejercicio En una secundaria han destinado la franja posterior del terreno para hacer una huerta que tendrá 90 m de largo. Deciden repartir la huerta, a lo largo, en tres franjas proporcionales al número de grupos por grado escolar, para que cada grupo sea responsable de sus parcelas. a) Complete la siguiente tabla. Grado º º º Total Grupos 6 5 Longitud de la parcela 90 m b) Obtenga la constante de proporcionalidad. Qué significa en este contexto? Cómo se utiliza para calcular las longitudes de las parcelas? Ejercicio Don Fulgencio desea repartir entre sus tres nietos, en forma proporcional a sus edades, las 6 ovejas que tiene. Cuántas 7

74 GUÍA DE MATEMÁTICAS III ovejas recibirán Erandi, Emilio y Julio si tienen respectivamente 8, 6 y años? Ejercicio Además, don Fulgencio repartió, del mismo modo, entre sus cuatro hijos el importe de venta de un terreno. Si Federico de 8 años, recibió $776, cuántos años tiene Lupe que recibió $80? 7

75 LECCIÓN 7 Lección 7: Propiedades de las operaciones con números reales En las lecciones de aritmética de este curso y los dos anteriores hemos visto las propiedades que tienen las operaciones entre números naturales, enteros y racionales. Los números reales tienen en sus operaciones las mismas propiedades, y en esta lección haremos un resumen de ellas como una manera de concluir el estudio de la aritmética. Es conveniente señalar que lo importante de estas propiedades no es que usted las aprenda de memoria, sino que las pueda utilizar cuando sea necesario, por ejemplo para abreviar algunos cálculos o para despejar ecuaciones y que sepa también qué tipo de operaciones no se pueden hacer. En esta lección, lea las propiedades que se enuncian y siga los ejemplos. Los contenidos que aquí se abordan serán utilizados en las lecciones de la siguiente unidad, y siempre podrá usted regresar a esta lección para consultarlos. 75

76 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Propiedades de la suma La suma de números reales, también llamada adición, es una operación que se efectúa entre dos números, pero se pueden considerar también más de dos sumandos. Siempre que se tengan dos números reales, se pueden sumar entre sí. La suma tiene las siguientes propiedades: Conmutatividad. La expresión usual de esta propiedad es: "el orden de los sumandos no altera la suma". Si a y b son dos números reales, la conmutatividad se puede expresar así: a + b = b + a Ejemplos: =.9, y también = (.5) =.5, y también =.5 + = =, y también + = = Asociatividad. Si se tienen más de dos sumandos, da igual cuál de las sumas se efectúe primero. Si a, b y c son tres números reales, la asociatividad dice que: a + (b + c) = (a + b) + c 76

77 LECCIÓN 7 Ejemplos: ( ) = = 0.068, y también ( ) = = ( ) = (.5) = 07.8, y también [ (.6)] + 0. = = ( + )= +( )= + = =, y también ( + )+ =( )+ = + = = Como da igual en qué orden se efectúen las sumas, lo usual es prescindir de los paréntesis, y marcar sólo a + b + c. En nuestros ejemplos, tenemos entonces , o bien (.6) + 0., o bien + +. Las propiedades de la conmutatividad y la asociatividad son utilizadas cuando en una suma "acomodamos" los sumandos para facilitar el proceso. Por ejemplo, cuando compramos pan de dulce en una panadería, la dependienta va sumando los precios de las distintas piezas de tal modo que los resultados intermedios sean "cómodos". Digamos que las piezas que tenemos en la charola cuestan $.50, $0.70, $0.80, $.0, $0.50 y $.0. 77

78 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Una manera en que se puede efectuar la suma mentalmente es esta: = 6 Veamos otras propiedades de la suma: Elemento neutro. El número real 0 sumado a cualquier número lo deja sin cambiar: si a es un número real, entonces a + 0 = a Ejemplos: = ( 56.) = = 8 Elemento inverso. Todo número real tiene un inverso aditivo, lo que quiere decir que si se suman el número y su inverso, el resultado es 0: si a es un número real, entonces a + ( a) = 0 Ejemplos: 78 El inverso aditivo de 87.6 es 87.6, porque ( 87.6) = 0

79 LECCIÓN 7 El inverso aditivo de. es., porque. +. = 0 7 El inverso aditivo de es - porque + ( - ) = La resta La resta es la operación inversa de la suma, es una operación entre dos números: el minuendo y el sustraendo. Siempre que se tengan dos números reales, se pueden restar; por ejemplo:. 8.7 = 6. minuendo sustraendo resta Al efectuar restas hay que tener cuidado con los signos de los números. Las siguientes reglas pueden recordarle cómo es esto: Si el minuendo y el sustraendo son positivos, y el minuendo es mayor que el sustraendo, se efectúa la resta y el resultado es positivo. Por ejemplo: 8.7. = 7.5 Si el minuendo y el sustraendo son positivos, y el minuendo es menor que el sustraendo, se efectúa la resta y el resultado es negativo. Por ejemplo:. 8.7 = 7.5 Si el minuendo es negativo y el sustraendo es positivo, se efectúa la suma de ambos números y al resultado se le pone el signo menos. Por ejemplo: 8.. = 9. 79

80 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Restar un número positivo es lo mismo que sumar un número negativo. Por ejemplo: 8.7. = (.) = 7.5 Restar un número negativo es lo mismo que sumar un número positivo. Por ejemplo: 8.7 (.) = = (.) = =. 8.7 = 7.5 Observe que en el último ejemplo hicimos varias transformaciones. Al efectuar la conversión -8.7 (.) = utilizamos el hecho de que restar un número negativo (-.) es lo mismo que sumar su positivo. Después consideramos la suma entre dos números, 8.7 y., y por la conmutatividad de la suma la expresamos como. + (-8.7). Posteriormente utilizamos el hecho de que sumar un número negativo (-8.7) es lo mismo que restar su positivo, por lo que. + ( 8.7) = Finalmente, tenemos una resta en que el minuendo y el sustraendo son positivos, así que efectuamos la resta y como 8.7 es mayor que. le ponemos al resultado signo negativo. Aunque la resta está muy emparentada con la suma, no tiene todas las propiedades de la suma. Por ejemplo, la resta no es una operación conmutativa: 5.. =., y ese resultado es distinto de. 5. =. 80

81 LECCIÓN 7 Propiedades de la multiplicación La multiplicación de números reales es una operación que se efectúa entre dos números, pero se pueden considerar también más de dos factores. Siempre que se tengan dos números reales, se pueden multiplicar entre sí. Al efectuar multiplicaciones hay que tener cuidado con los signos: El producto de dos números de igual signo siempre es positivo; El producto de dos números de distinto signo siempre es negativo. La multiplicación tiene las siguientes propiedades: Conmutatividad. La expresión usual de esta propiedad es: "el orden de los factores no altera el producto". Si a y b son dos números reales, la conmutatividad se puede expresar así: a x b = b x a Ejemplos:.5 x.0 =.8, y también.0 x.5 = x (.5) = 7.95, y también.5 x 5.87 = 7.95 x = =, y también x = = 5 x 5 x 0 5 x x 5 0 8

82 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Asociatividad. Si se tienen más de dos factores, da igual cuál de las multiplicaciones se efectúe primero. Si a, b y c son tres números reales, la asociatividad dice que: a x (b x c) = (a x b) x c Ejemplos: 0.0 x (0.0 x 0.0) = 0.0 x = , y también (0.0 x 0.0) x 0.0 = x 0.0 = x (.6 x 0.) = 86. x ( ) = , y también [ 86. x (.6)] x 0. = x 0. = x( x )= x ( x )= x = = = 6 x x 6 6 y también ( x )x =( )x = x = = x x 8 x 8 x 6 = 8 Como en el caso de las sumas, da igual en qué orden se efectúen las multiplicaciones, y por eso lo usual es prescindir de los paréntesis. En nuestros ejemplos, tenemos entonces: 0.0 x 0.0 x 0.0, o bien 86. x (.6) x 0., o bien x x Cuando se usan letras, se marca sólo a x b x c, o bien, para evitar que el signo x se confunda con la letra x, se marca a b c, o bien se usa un punto en vez de la cruz: a b c. Es también común prescindir del signo x cuando se señalan productos con los números entre paréntesis: por ejemplo, en vez de escribir ( 5) x.

83 LECCIÓN 7 ( ), podemos escribir ( 5)( ), y en vez de escribir x podemos escribir (). Es decir, cuando no se señala ninguna operación entre dos números, se efectúa una multiplicación. Otras propiedades de la multiplicación son: Elemento neutro. El número real multiplicado a cualquier número lo deja sin cambiar: si a es un número real, entonces: a x = a Ejemplos: x = x ( 56.) = x = 8 Elemento inverso. Todo número real distinto de cero tiene un inverso multiplicativo, lo que quiere decir que si se multiplican el número y su inverso, el resultado es : si a es un número real distinto de cero, entonces a x = a Recuerde que escribir es lo mismo que escribir a. a 8

84 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Ejemplos: El inverso multiplicativo de 87.6 es = 87.6 El inverso multiplicativo de. es - (- ) = , porque 87.6 x, porque. x El inverso multiplicativo de es porque x = El inverso multiplicativo de es 9, porque x 9 = 9 9 La división La división es la operación inversa de la multiplicación, es una operación entre dos números: el dividendo y el divisor. Con una excepción, siempre que se tengan dos números reales, se pueden dividir; por ejemplo:.86. = 0.6 dividendo divisor cociente La excepción es que el divisor no puede ser cero. Esto es, no se puede dividir entre cero. 8

85 LECCIÓN 7 Observe que el dividendo sí puede ser cero, y cuando esto ocurre el resultado o cociente siempre es cero. Por ejemplo, 0 5. = 0 Las reglas de los signos en el caso de la división son las mismas que para la multiplicación: el cociente de dos números de igual signo siempre es positivo; el cociente de dos números de distinto signo siempre es negativo. Aunque la división está muy emparentada con la multiplicación, no tiene todas las propiedades de la multiplicación. Por ejemplo, la división no es una operación conmutativa: 6. =., y ese resultado es distinto de La división no es tampoco una operación asociativa: 8 (8 ) = = =, mientras que 8 ( ) = = = 8 8 Potencias y raíces Las propiedades de las operaciones con exponentes serán vistas con mayor detalle en la siguiente lección, pero aquí adelantamos algunos hechos. 85

86 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Elevar un número real a una potencia equivale a multiplicarlo por sí mismo tantas veces como indica el exponente. Así, = x x x = 8 5 = ( 5) x ( 5) x ( 5) = 5 La operación inversa es la raíz, que puede ser cuadrada, raíz tercera, cuarta o quinta, etc. Por ejemplo, como 8 es igual a elevado a la cuarta potencia, la raíz cuarta de 8 es, y como 5 es igual a 5 elevado a la tercera potencia, la raíz tercera de 5 es 5: 8 = - 5 = -5 La raíz más utilizada es la raíz cuadrada. La raíz cuadrada de un número a es el número que elevado al cuadrado da a. Cuando se usa raíz cuadrada no se suele poner el arriba del símbolo. Por ejemplo, = =, porque = No todos los números reales tienen raíz cuadrada. Todos los números reales positivos y el cero tienen raíz cuadrada, pero no se puede calcular la raíz cuadrada de un número negativo. 86 Para calcular una raíz cuadrada existen procedimientos que son algo complicados. La mejor manera es utilizar una calculadora, o bien intentar encontrar, por aproximación, un número cuyo cuadrado se parezca lo suficiente al número original. Veamos esto con un ejemplo: intentemos encontrar la raíz cuadrada de =?

87 LECCIÓN 7 Es decir, buscamos un número que multiplicado por sí mismo dé 87. Lo primero que podemos observar es que ese número está entre 9 y 0, porque 9 = 8 (le falta) y 0 = 00 (le sobra). Intentemos entonces con el número que está exactamente entre esos dos: 9.5. Vemos que 9.5 = 9.5 x 9.5 = 90.5 o sea que le sobra también. Intentemos ahora con números entre 9 y 9.5, digamos 9., 9. y 9. : 9. = 8.6, 9. = 86.9 y 9. = Vemos ahora que la raíz cuadrada de 87 es un número que está entre 9. y 9., porque al cuadrado de 9. le falta un poco para llegar a 87 y al cuadrado de 9. le sobra un poco. Entonces podemos repetir el procedimiento, buscando ahora el número que está exactamente entre esos dos: 9.5. Vemos que 9.5 = 87.5 o sea que le sobra también. Entonces el número que buscamos está entre 9. y 9.5, y podemos buscar, por ejemplo: 9. = y 9. = Ahora sabemos que el número que buscamos está entre 9. y 9., más cerca del segundo que del primero. De hecho, la diferencia entre 9. y 87 es muy pequeña, y podemos quedarnos con esta aproximación:

88 GUÍA DE MATEMÁTICAS III o bien podemos seguir el proceso para encontrar una aproximación con más cifras decimales. Si usamos una calculadora, encontraremos una aproximación con bastantes cifras decimales: Combinaciones de varias operaciones Es común que en una misma expresión aparezcan varias operaciones. Aquí mencionaremos dos propiedades. Prioridad de las operaciones. Cuando en una expresión aparecen varias operaciones, no necesariamente se efectúan en el orden en el que están escritas, sino que se deben efectuar en este orden: PRIMERO las operaciones con exponentes y raíces SEGUNDO las multiplicaciones y las divisiones TERCERO las sumas y las restas La única manera de revertir este orden es utilizando paréntesis. Cuando aparecen paréntesis, se efectúan primero las operaciones dentro del paréntesis, siguiendo las reglas recién mencionadas, y después las que aparecen fuera del paréntesis. Si aparecen varios pares de paréntesis, unos dentro de otros, se efectúan primero las operaciones dentro de los paréntesis internos y de ahí se procede de adentro hacia fuera. 88

89 LECCIÓN 7 Ejemplos: + x = + = ( + ) x = 5 x = = 5.6. = 0.85 (5.6.) =.6 = [.0 x.7 (8.6 +.)] = 5.6 [.0 x.7.8] = -5.6 [.0 x.689.8] = 5.6 [ ] = Observe que en el último ejemplo fuimos efectuando las operaciones paso a paso, pero que cada vez repetimos el resto de la expresión. Esto es con el fin de que la igualdad se conserve siempre. Cabe anotar que cuando se usa una raya para denotar una división, ésta sirve también como los paréntesis: se deben efectuar primero por separado las operaciones en el numerador y en el denominador, y luego efectuar la división. Por ejemplo: x 0. x 0.0 = = = 6.6 Veamos ahora la segunda propiedad: 0. Distributividad. La multiplicación distribuye a la suma y a la resta. Esto quiere decir que si un número multiplica a una suma (o resta), el resultado es el mismo que si se multiplica el número por cada uno de los sumandos y luego se suman ambos productos. Es decir, si a, b y c son tres números reales, la distributividad de la multiplicación con respecto de la suma y a la resta dice que: a x (b + c) = (a x b) + (a x c) a x (b c) = (a x b) (a x c) 89

90 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Ejemplos: 5.0 x (.8 +.) = 5.0 x 5.9 = 7.009, y también (5.0 x.8) + (5.0 x.) = = x [ 6. (.)] =. x [ 6. +.] =. x (.9) =.9, y también [. x ( 6.)] [. x (.)] = =.9 x ( - )= x ( ) = x = =, 5 y también ( x ) - ( x ) = - = x x 5 x x 5 x x = = La distributividad es una propiedad que utilizamos algunas veces para facilitar algunos cálculos. Por ejemplo, multiplicar por 90 puede ser engorroso, pero no lo es así multiplicar por 00 ni multiplicar por 0, y como 90 = 00 0, podemos transformar una multiplicación por 90 en una multiplicación por 00 menos una multiplicación por 0. Así, por ejemplo: 6.5 x 90 = 6.5 x (00 0) = = 6.5 x x 0 = = = =

91 LECCIÓN 7 Aplicación de las propiedades en la solución de ecuaciones En lecciones y grados anteriores ya hemos trabajado con ecuaciones. Hemos visto que una ecuación es una igualdad en la que se desconocen uno o más valores. A los valores desconocidos se les llama incógnitas y se representan generalmente con letras. Solucionar una ecuación es encontrar el valor de la incógnita, para lo cual se despeja ésta, dejándola sola de un lado de la igualdad y efectuando las operaciones que quedan en el otro lado de la igualdad. Este proceso se puede realizar gracias a las propiedades de las operaciones que hemos resumido aquí. A continuación veremos tres ejemplos de ecuaciones, que resolveremos como usted aprendió a hacer en las lecciones a 5 del curso anterior e iremos marcando en cada paso qué propiedades estamos utilizando. El primer ejemplo es el siguiente: Araceli compró un vestido que le costó $79.90 y le quedaron $0.0, cuánto dinero traía Araceli? Una manera de expresar esta situación usando lenguaje algebraico es, en primer lugar, elegir una letra para representar el valor que nos interesa conocer, en este caso la cantidad de dinero que Araceli traía en la bolsa y la vamos a llamar z. Como Araceli traía z pesos, gastó $79.90 y le quedaron $0.0, podemos expresar esta transacción algebraicamente con la expresión: 9

92 GUÍA DE MATEMÁTICAS III z = 0.0 La igualdad que aparece arriba es una ecuación y la incógnita o valor que queremos encontrar es z. Como usted sabe, para despejar el valor de z en la ecuación "pasamos sumando" el que se encuentra restando del lado izquierdo: z =

93 LECCIÓN 7 Cuando despejamos la incógnita y "pasamos sumando", hemos puesto en juego muchas de las propiedades de las operaciones que hemos enunciado. A continuación repetiremos este proceso paso a paso y haremos del lado derecho de la página una reflexión acerca de las propiedades que estamos utilizando en cada momento. z = 0.0 (z ) = [z + ( ) = z + [( ) ] = z + [ ( )] = z + 0 = z = z = 00 Ésta es la ecuación original. Estamos sumando un mismo número de los dos lados de la igualdad, para que ésta se conserve. Hemos aplicado el hecho de que restar un número positivo es lo mismo que sumar su negativo. Hemos aplicado la asociatividad de la suma. Hemos aplicado la conmutatividad de la suma. Hemos aplicado la propiedad del inverso aditivo. Hemos aplicado la propiedad del elemento neutro de la suma. Hemos resuelto la operación del lado derecho de la igualdad. Hemos encontrado así que Araceli tenía $00.00 antes de comprar el vestido. Veamos otro ejemplo. 9

94 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Rodolfo compró una caja de latas de leche. La caja trae 8 latas y costó $50.0, cuánto cuesta cada lata? Para plantear este problema llamaremos c al costo de cada lata. Tenemos que: 8 x c = 50.0 Para despejar esta ecuación "pasamos dividiendo" el 8 que se encuentra multiplicando del lado izquierdo, así: c = Veamos, paso por paso, en qué consiste este "pasar dividiendo"; como en el caso anterior iremos reflexionando sobre las propiedades que entran en juego: 8 x c = 50.0 (8 x c) 8 = (c x 8) 8 = (c x 8) = Ésta es la ecuación original. Estamos dividiendo entre un mismo número de los dos lados de la igualdad, para que ésta se conserve. Hemos aplicado la conmutatividad de la multiplicación. Hemos aplicado el hecho de que dividir entre un número es lo mismo que multiplicar por su inverso multiplicativo. 9

95 LECCIÓN 7 8 c x (8 x ) = c x = c = c = 8.5 Hemos aplicado la asociatividad de la multiplicación. Hemos aplicado la propiedad del inverso multiplicativo. Hemos aplicado la propiedad del elemento neutro de la multiplicación. Hemos resuelto la operación del lado derecho de la igualdad. Hemos encontrado así que cada lata de leche cuesta $8.5. Por último, veamos otro ejemplo. Ramona compró un mantel a $6.50 y seis servilletas; en total pagó $ A cuánto salió cada servilleta? Si llamamos s al precio de cada servilleta, la ecuación correspondiente al problema se puede plantear así: 6 s = Para despejar esta ecuación, tenemos que "deshacer" dos operaciones que afectan a la incógnita s: una multiplicación y una suma (recuerde que 6s es lo mismo que 6 x s). Si conociéramos el valor de s, primero efectuaríamos la multiplicación por 6 y al resultado le sumaríamos 6.50, pero como estamos deshaciendo operaciones, empezamos en orden inverso: primero deshacemos la suma, para lo cual "pasamos restando" el 6.50: 6 s =

96 GUÍA DE MATEMÁTICAS III y después deshacemos la multiplicación, para lo cual "pasamos dividiendo" el 6: s = Veamos nuevamente, paso a paso, qué propiedades intervienen en este despeje: 6 s = (6 s ) 6.50 = (6 s ) + ( 6.50) = Ésta es la ecuación original. Estamos restando un mismo número de los dos lados de la igualdad, para que ésta se conserve. Restar un positivo es lo mismo que sumar su negativo. 6 s + [ ( 6.50)] = Asociatividad de la suma. 6 s + 0 = Inverso aditivo. 6 s = Neutro aditivo. (6 s ) 6 = Estamos dividiendo entre un mismo número de los dos lados de la igualdad, para que ésta se conserve. (s x 6) 6 = Conmutatividad de la multiplicación. 96

97 LECCIÓN 7 6 (s x 6) x = 6 s x (6 x ) = Dividir entre un número es lo mismo que multiplicar por su inverso multiplicativo. Asociatividad de la multiplicación. s x = Inverso multiplicativo. s = s = s = Neutro multiplicativo. Para realizar las operaciones del lado derecho, empecemos por el numerador. Hemos resuelto la operación final del lado derecho de la igualdad. Cada servilleta valía, entonces, $

98 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Con estos tres ejemplos hemos pretendido poner de manifiesto todas las propiedades de las operaciones que entran en juego cuando se realiza el despeje de la incógnita en una ecuación. Sin embargo, esto no significa que al despejar una incógnita sea necesario guardar conciencia de todas las propiedades. Las propiedades son las que justifican el hecho de que se pueda "pasar" sumando o restando, multiplicando o dividiendo, pero en la práctica simplemente se procede al despeje sin tenerlas necesariamente en cuenta. Ejercicio Encuentre con dos cifras decimales las siguientes raíces cuadradas: a) 879 b) c). d) 6 Ejercicio Realice las siguientes operaciones: a) 5.8. d) 8 x ( - ) b) e) [. x (5..7).7] x. 5. c) 6. x (.. ) + 5. f) x

99 LECCIÓN 7 Ejercicio Plantee los siguientes problemas en forma de ecuación y despeje la incógnita usando el procedimiento que usted prefiera: a) Un terreno de forma rectangular tiene 5 m de frente y 57 metros cuadrados de superficie. Cuánto mide el terreno de fondo? b) Pablo compró 5 manzanas y naranjas y pagó $.00. Si cada manzana costó $.60, cuánto pagó por cada naranja? c) Mauricio compró un televisor anunciado con el 5% de descuento. Si pagó $99.5 por el aparato cuánto costaba originalmente? d) Alejandra depositó $780 pesos en el banco. Un año después retiró su dinero del banco y le dieron $ Cuánto ganó por los intereses? Qué porcentaje representa la ganancia que obtuvo en el año? 99

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101 Unidad II Álgebra 0

102 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Lección 8: Potencias con exponentes enteros Cuando queremos indicar productos de factores iguales, generalmente usamos la notación exponencial. Por ejemplo podemos expresar x, como ( al cuadrado), del mismo modo 8 x 8 x 8 x 8 x 8, puede expresarse como 8 5 (8 a la quinta). Para referirnos a expresiones como las anteriores, también decimos que "el está elevado al cuadrado" o que el "8 está elevado a la quinta potencia". Usted ya ha usado esta notación en los cursos anteriores y en algunas lecciones de este libro. Ahora trataremos de profundizar más en el concepto de potenciación. En la notación exponencial, la base es el factor que debe multiplicarse por sí mismo tantas veces como lo indica el exponente. Así en la expresión 9 5, tenemos: base 9 5 Exponente 0

103 LECCIÓN = 9 x 9 x 9 x 9 x 9 5 veces En general, si tenemos un número real cualquiera que llamamos a y un número natural que llamamos n, entonces: a n = a x a x a x a x... x a n veces La expresión anterior nos dice que a n significa que hay que multiplicar a x a x a..., n veces. Cuando la base de una potencia es un número positivo, el resultado siempre es positivo. Si la base es negativa, el signo del resultado depende del exponente, si el exponente es un número par, el resultado es positivo; si es impar el resultado es negativo. Ejemplos: ( 5) = ( 5) ( 5) ( 5) ( 5) = 65 ( 5) 5 = ( 5) ( 5) ( 5) ( 5) ( 5) = 5 Observe que el signo del resultado es consecuencia de las reglas de multiplicación de los números racionales. Operaciones con potencias Para poder operar con exponentes hay que tener en cuenta, que: 0

104 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Si a es un número cualquiera, entonces: a = a Esto significa que si el exponente es uno el resultado es igual a la base de la potencia. Ejemplos: 8 = = 0.0 ( 56) = 56 ( 0.78) = 0.78 ( ) = Si a es un número cualquiera distinto de cero, entonces: a 0 = Esto significa que si el exponente es 0 (cero), el resultado de la potencia siempre es igual a. Ejemplos: 8 0 = ( 0.75) 0 =.8 0 = (.0) 0 = ( ) =

105 LECCIÓN 8 Aquí hay que considerar la condición a 0, ya que no se puede resolver la potencia 0 0. Hasta ahora hemos hablado de exponentes que son números naturales, es decir 0 ó cualquier número entero positivo; pero el exponente de una potencia también puede ser un número entero negativo. En este caso Si a es un número cualquiera distinto de cero, y n es un número natural, entonces: a -n = ( ) = a n a n Esto significa que cuando el exponente es negativo se debe transformar la potencia en otra cuya base sea el inverso multiplicativo de la base dada, cuyo exponente sea el inverso aditivo del que se tenía. Ejemplos: = ( ) = = = x x 8 ( ) = (- ) =- =- (- ) = ( ) = 8 ( ) = ( ) = Hemos dicho que en matemáticas es útil el uso de letras para expresar un número cualquiera, para representar una cantidad 05

106 GUÍA DE MATEMÁTICAS III que no conocemos o para expresar relaciones entre números; entonces, así como usamos los exponentes para indicar productos entre números, también los usamos cuando los números están representados por letras. De este modo podemos escribir x, z, etc. Por otro lado es importante recordar que si una expresión está encerrada entre paréntesis y elevada a una potencia, esto significa que toda la expresión debe elevarse a la potencia indicada. Por ejemplo: (5 + ) =.5 =.5 (x + y) = (x + y) (x + y) (x + y) Ahora veremos ciertas reglas que nos permiten hacer operaciones con potencias. Producto de potencias de igual base. Al multiplicar dos potencias que tienen la misma base, se obtiene como resultado otra potencia cuya base es la misma que tienen los factores, y cuyo exponente es igual a la suma de los exponentes dados. Es decir, si a es un número cualquiera, y m y n son números enteros: a n a m = a n + m Ejemplos: 5 6 x 5 7 = 5 0 x 0 = 0 0 (.5) 9 x (.5) 7 = (.5) 06

107 LECCIÓN 8 Cociente de potencias de igual base. Al dividir dos potencias que tienen la misma base, se obtiene como resultado otra potencia cuya base es la misma que tienen el dividendo y el divisor, y cuyo exponente es igual a la resta del exponente del dividendo menos el exponente del divisor. Es decir, si a es un número cualquiera distinto de cero, y m y n son números enteros: a n a m = a n m Ejemplos: = = 6 7 ( 7.0) ( 7.0) = ( 7.0) Potencia de otra potencia. Al elevar una potencia a otra potencia, se obtiene como resultado una potencia cuya base es la misma de la potencia original y cuyo exponente es el producto de los dos exponentes. Es decir, si a es un número cualquiera, y m y n son números enteros: (a n ) m = a n m Ejemplos: (8 6 ) = 8 ( 9 5 ) = 9 5 (6. ) =

108 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Ejercicio Calcule las siguientes potencias: a).5 f) (.0) k) ( 5.) p) 0 9 b) 0.50 g) ( 8) l) 0. q) c). 0 h) 0.5 m) (.5) r) 65 d).8 i) 0 n) (.5) s) (.) e) (- ) j) ( ) o) ( ) t) (- ) Ejercicio Exprese como potencias cuyos exponentes sean números naturales los resultados de las siguientes operaciones: a) 0 5 x 0 e) (5 ) i) (w ) b) 6 x 0 x 5 f) [( ) ] j) ( h) ( h) ( h) c) 8 8 g) (x) 5 (x) k) a 8 a d) ( ) 6 h) z 8 z z l) [(u ) 5 ] Propiedades de la potenciación Así como la suma y la multiplicación tienen propiedades, también la operación de potenciación tiene propiedades, que son las que veremos a continuación. 08

109 LECCIÓN 8 La potenciación es distributiva con respecto al producto. Si a y b son dos números cualesquiera y m es un número entero, entonces: (a b) m = a m b m Ejemplo: ( x 5) = 0 = 000, y también x 5 = 8 x 5 = 000 Esta propiedad nos dice que si tenemos que elevar una multiplicación a una potencia dada, podemos seguir cualquiera de los dos procesos siguientes: Resolver primero la multiplicación y después elevar el producto a la potencia indicada. Elevar a la potencia dada cada uno de los factores y después resolver la multiplicación. La potenciación es distributiva con respecto de la división. Si a y b son dos números cualesquiera, con b distinto de cero, y m es un número entero, entonces: (a b) m = a m b m Ejemplo: (6 ) = =, y también 6 = 6 9 = Esta propiedad nos dice que si tenemos que elevar una división a una potencia dada, podemos seguir cualquiera de los dos procesos siguientes: 09

110 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Resolver primero la división y después elevar el cociente a la potencia indicada. Elevar a la potencia dada el dividendo y el divisor y después resolver la división. La potenciación no es distributiva con respecto de la suma o la resta. Si a y b son dos números cualesquiera y m es un número entero, entonces en general: (a + b) m a m + b m (a b) m a m b m Ejemplos: ( + 5) = 8 = 6, pero este resultado es diferente de + 5 = = ( 5) = ( ) =, pero este resultado es diferente de 5 = 9 5 = 6 Esto significa que si debemos elevar a una potencia dada una suma o una resta debemos: Resolver primero la operación indicada y después elevar el resultado a la potencia dada. Ejercicio Resuelva los siguientes ejercicios: a) (5 x ) h) ( 8.6.) 5 o) (r s t) b) (0 0 ) i) ( ) 6 p) (x 5y) 0

111 LECCIÓN 9 c) (8 + ) j) [ 9.56 ( 9.56)] 8 q) (a x b) d) ( 5) k) (6z) r) [k 0 (k 5 k )] e) (. 0.) l) (y z) s) (v u ) f) ( 5) + ( ) m) (c d) 7 t) (p + q) g) (0 x 0.) n) (g 7 g ) Lección 9: Polinomios Nosotros ya hemos trabajado con distintas expresiones algebraicas desde el primer curso de secundaria y sabemos que en las expresiones algebraicas, las letras representan números. Ahora veremos algo más referente a estas expresiones y cómo podemos operar con ellas recordando las propiedades que hemos visto para las operaciones aritméticas. Definiciones Comenzaremos por conocer algunos nombres con los que se identifican algunas expresiones algebraicas. Se llama monomio a una expresión algebraica en la que no hay sumas ni restas. Por ejemplo: xz, 5y, - w, ab, etc.

112 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Se llama binomio a la suma o resta de dos monomios. Por ejemplo: m + n, 7x + 5xy, 5x + 8, etc. Se llama trinomio a la suma y/o resta de tres monomios. Por ejemplo: m + n +.5n, 7.8x 5x + x, 9y xy 7, etc. 7 Se llama polinomio a un binomio, a un trinomio o a la suma y/o resta de más de tres monomios. Por ejemplo: 8a 7b + c 5, k + 0.5k 5 k, etc. A los monomios que conforman un binomio, trinomio o polinomio también se los llama términos. Un término o un monomio está compuesto por un número que multiplica a una o varias variables; este número se llama coeficiente. Por ejemplo, en el término 5 mn el coeficiente es 5 y las letras m y n son variables. En general, cuando el coeficiente es, no se escribe: por ejemplo, en el monomio ab el coeficiente es. Cuando dos monomios tienen la misma parte literal, es decir, las mismas letras con los mismos exponentes, se dice que son términos semejantes. En los ejemplos anteriores tenemos los siguientes términos semejantes: 8, 7 y 5 n,.5n y n;

113 LECCIÓN 9 5y, 5y y 9y; xy y 5xy; m y m; 7x, 7.8x, 5x y x. Observe que los términos -k, 0.5k y no son términos k semejantes, porque aun cuando en todos aparece la letra k, ésta está elevada a distintos exponentes en cada uno de los monomios: en k, el exponente es, en 0.5k 5 es y en el exponente es k. Ejercicio Diga si las siguientes expresiones son monomios, binomios, trinomios o polinomios. En el caso en que no sean monomios, indique cuáles son los términos que las componen. 5 7 a) 67d +. ed c) 58.7wqyhk e) 78s r + u v + 87 b) a ab + abc d) t + e + f f) 5h + 5h Ejercicio En los siguientes polinomios indique los términos semejantes: a) 5 ab + a b a b c) r s + 8r b) m 7nm + m + mn d) 6xy + x y 7xy + x y

114 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Operaciones con polinomios En esta sección veremos cómo se opera con polinomios. Empezaremos revisando la suma y resta de polinomios, continuaremos con la multiplicación de polinomios y finalizaremos con la división de un polinomio entre un monomio. Conviene tener presente en estas operaciones que los términos de un polinomio están compuestos de coeficientes numéricos y de letras que representan números, por lo que estaremos aplicando continuamente las propiedades de las operaciones entre números reales que revisamos en la lección 7, así como las propiedades de las operaciones con exponentes que vimos en la lección 8. La suma o resta de dos o más polinomios es la suma o resta de los monomios o términos que los conforman. Por ello, el problema de suma o resta de polinomios se reduce a conocer cómo se opera con monomios. Sólo se pueden resolver las sumas o restas de monomios semejantes, para lo cual se utilizan las propiedades de la suma y resta entre números que usted ya ha visto desde primer grado de secundaria. Cuando tenemos sumas de términos no semejantes, la dejamos indicada, ya que no se puede avanzar en su resolución. Veamos los siguientes ejemplos: Si queremos sumar los monomios mn y mn, al escribir la suma ya tenemos un binomio: mn + mn =

115 LECCIÓN 9 Para resolver la suma indicada podemos pensar del siguiente modo, por un lado tenemos veces el producto mn, y por otro lado lo tenemos veces, si hacemos la suma podemos decir que tenemos 7 veces el producto mencionado. Entonces: mn + mn = 7mn Un modo más formal de explicar este modo de resolver la operación, es recordando la propiedad distributiva del producto con respecto de la suma. Volvamos a nuestro ejemplo: mn + mn = ( + ) mn, porque si aplicamos la propiedad distributiva al segundo miembro se obtiene el primero. Como + es 7, llegamos al resultado anterior. Esta forma de "ver al revés" la propiedad distributiva se conoce como sacar factor común. Se llama factor común al número o letra que está como factor (es decir multiplicando), en distintos términos de un polinomio. En nuestro ejemplo, m y n son factores comunes. El procedimiento que hemos seguido en este ejemplo puede generalizarse a la suma y a la resta de dos términos semejantes cualesquiera: El resultado de la suma de términos semejantes es otro monomio semejante a los anteriores, cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes de los sumandos. El resultado de la resta de dos términos semejantes es otro monomio semejante a los anteriores, cuyo coeficiente es la diferencia entre los coeficientes del minuendo y el sustraendo. 5

116 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Como los coeficientes son números reales, al sumarlos o restarlos se tendrán en cuenta las reglas de operaciones de esos números. Veamos otro ejemplo. Supongamos que tenemos una operación como la siguiente: el monomio x más el binomio 5y x Primero escribimos el trinomio resultante: x + 5y x y luego reordenamos los sumandos para poder operar con los términos semejantes: x + 5y x = x x + 5y = ( ) x + 5y = x + 5y Finalmente, como en general no se escribe el coeficiente, tenemos que x + 5y x = x + 5y Cuando se resuelven sumas o restas entre términos de un polinomio, se dice que se reducen términos. Si queremos sumar dos polinomios simplemente reordenamos y agrupamos los términos semejantes de cada uno de ellos para efectuar, como en los ejemplos anteriores, las operaciones que sean posibles. Si en el polinomio aparecen restas es útil escribirlas como sumas considerando los inversos aditivos, de esta forma será más fácil reagrupar los términos. 6

117 LECCIÓN 9 A modo de ejemplo, vamos a efectuar la suma de los siguientes tres polinomios: x + y 5; x y + 6; 7y + Primero vamos a convertir las restas que aparecen en el primer polinomio y en el segundo, en sumas x + y 5 = x + y + ( 5); x y + 6 = x + ( y) + 6; Para expresar la suma podemos acomodar los sumandos uno a continuación de otro y después reordenar para agrupar los términos semejantes o podemos acomodar los polinomios en posición vertical de modo que los términos semejantes queden en la misma columna. Veamos los dos modos: Primer modo: x + y + ( 5) + x + ( y) w + 7y + = = (x + x) + [y + ( y) + 7y] + w + [( 5) ] = ( + ) x + ( + 7) y + w + = 5 x + 0 y + w + Segundo modo: + x + y + ( 5) x + ( y) + 6 w + 7y + w + 5x + 0y + 7

118 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Si quisiéramos restar dos polinomios actuamos de forma muy similar, más aún, podemos convertir la resta entre los polinomios en una suma considerando el inverso aditivo de cada uno de los términos del sustraendo. Por ejemplo vamos realizar la siguiente resta: Al polinomio 8a + 5b ab, le vamos a restar el polinomio ab a + 8. Entonces tenemos que: (8a + 5b ab) (ab a + 8) = (8a + 5b ab) + [ ab ( a) + ( 8)] Como ahora se tiene una suma usted puede resolverla del mismo modo en que lo hicimos en el ejemplo anterior y seguramente llegará al resultado: 0a + 5b 7ab 8. Veamos a continuación cómo efectuar la multiplicación de polinomios. Aquí se pueden presentar tres situaciones que analizaremos por separado: el producto de dos monomios, el producto de un polinomio por un monomio y el producto de dos polinomios. Para multiplicar dos monomios no es necesario que éstos sean semejantes. Veamos el siguiente ejemplo ( x ) ( xy) Como cada monomio expresa una multiplicación, tenemos por x que multiplica a por x por y, y nosotros sabemos por las propiedades conmutativa y asociativa del producto que podemos cambiar el orden de los factores y agruparlos como nos convenga, 8

119 LECCIÓN 9 para poder multiplicar como ya sabemos hacerlo. La expresión anterior se nos convierte entonces en: () () (x ) (x) (y) = 8x y Habrá observado que al multiplicar (x ) (x), usamos la regla de producto de dos potencias de igual base, es decir sumamos los exponentes. Veamos algunos ejemplos más: ( x) ( x ) =( ) ( ) (x) (x ) =- x 5 ( pq ) ( p q 5 ) = p q 7 ( 0.5k) (7kr) ( k r) = 7k r La segunda situación que veremos es el producto de un polinomio por un monomio. En este caso aplicamos la propiedad distributiva y cada vez tenemos el producto de dos monomios. Por ejemplo: (g + h) (c) = gc + hc Veamos otro ejemplo: (5x + xz z ) (xz) = (5x) (xz) + (xz) (xz) (z ) (xz) = 5x z + x z xz 9

120 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Como el resultado es un polinomio cuyos términos no son semejantes, no podemos reducir términos, por lo que hemos terminado la operación. Finalmente, para multiplicar dos polinomios aplicamos también la propiedad distributiva, recordando que debemos multiplicar cada término de un polinomio por cada término del otro. Veamos un primer ejemplo: multipliquemos los polinomios (5w + ) y (z + ). Primero distribuiremos el binomio z + multiplicándolo por el binomio 5w +, y después distribuiremos este último multiplicándolo por cada uno de los términos del primero: (5w + ) (z + ) = (5w + ) (z) + (5w + ) () = = (5w) (z) + () (z) + (5w) () + () () = = 5wz + z + 5w + 6 Veamos un segundo ejemplo. (ab + b ) (a b) = Antes de hacer la multiplicación, tal vez resulte más sencillo si expresamos la resta del segundo binomio como suma para poder aplicar la ley de los signos de la multiplicación: (ab + b ) (a b) = ab + b ) [ a + ( b) ] Ahora procederemos a la multiplicación y haremos las dos distribuciones de una sola vez: 0

121 LECCIÓN 9 (ab + b ) [ a + ( b) ] = (ab ) (a) + (b ) (a) + (ab ) ( b) + (b ) ( b) = = a b + ab ab b En este caso, como el segundo y el tercer término son semejantes, podemos resolver la resta: a b + ab ab b = ab ab = ab. Entonces el resultado final de la multiplicación es (ab + b ) (a b) = a b + ab b En general para multiplicar polinomios entre sí, se procede de la siguiente manera: El producto de dos monomios es otro monomio cuyo coeficiente es el producto de los coeficientes de los factores, y la parte literal está formada por todas las letras que aparecen en los factores; cada letra tendrá como exponente la suma de los exponentes que tenía en cada factor. Para multiplicar dos polinomios se aplica la propiedad distributiva de modo que cada término de un polinomio quede multiplicado por cada uno de los términos del otro. Si es posible se reducen términos. Si en los factores aparecen restas es útil escribir éstas como sumas usando el inverso aditivo. Se debe aplicar la regla de los signos que se ha visto para la multiplicación de números.

122 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Por último para dividir un polinomio entre un monomio seguimos un proceso muy similar al que aplicamos en la multiplicación. Para poder aplicar más fácilmente la regla de la división de potencias de igual base, resulta útil que cada término del dividendo tenga todas las letras del divisor. Cuando esto no ocurre podemos agregarlas con exponente cero, ya que como cualquier número elevado a la cero es uno, la expresión no cambia aunque la escribamos de distinta forma. Veamos el siguiente ejemplo: (b + b c) (bc) = Como en el primer término no aparece la letra c que sí está en el divisor la agregamos con exponente 0, y nuestra expresión se convierte en: (b c 0 + b c) (bc) Ahora aplicamos la propiedad distributiva y dividimos como ya sabemos hacerlo: (b c 0 + b c) (bc) = (b c 0 ) (bc) + (b c) (bc) = b c + b c 0 = b c + b Entonces, nuestra división queda así: (b + b c) (bc) = b c + b

123 LECCIÓN 9 Y también se puede expresar así: b + b c = b + b bc c Observe que a este último resultado podíamos llegar también del siguiente modo: b + b c = b + b c = b + b c = b + b bc bc bc bc bc c Lo que hicimos aquí fue expresar la división como una suma de fracciones en la que cada una tiene en el numerador y en el denominador sólo un término (es decir, no aparecen sumas ni restas dentro de ninguna fracción), y después tachamos los factores comunes en cada fracción: en la primera tachamos arriba y abajo el factor b, y en la segunda tachamos arriba y abajo los factores b y c. Esto es similar al proceso de simplificación de fracciones que usted estudió en la lección 5 del segundo curso. En general podemos decir que: El cociente de dos monomios es otro monomio cuyo coeficiente es el cociente del coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor, y cuya parte literal está formada por todas las letras que aparecen en la operación, en la que cada letra tendrá como exponente la resta del exponente que tenía en el dividendo menos el que tenía en el divisor. Para dividir un polinomio entre un monomio se aplica la propiedad distributiva de modo que cada término del polinomio quede dividido entre el divisor.

124 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Si en el polinomio aparecen restas es útil escribir éstas como sumas usando el inverso aditivo. Se debe aplicar la regla de los signos que se ha visto para la división de números. Ejercicio Resuelva las siguientes sumas y restas de polinomios: 5 9 a) (x 7z + ) + (5x + z ) f) ( w+ z)-[(- )z+ y]-[(- )y- w] 7 b) (x v + 5) (y + 6u 5) g) (5a b) + ( 6a b) (a + b) ( a b) c) (n + hg nhg) + (nhg n + ) h) (8x 0x + 50x) + ( 0x + 00x 5) d) ( 6d + e) (6d 5f + ) i) (t t + t ) + (t 5 t + + t) e) (a + b ) ( a + b) j) ( 7k + s q) ( q k) + (k + q s) Ejercicio Resuelva las siguientes operaciones de polinomios: a) (x y) (x y ) g) (x 5xy + 6y ) (x 5xy + 6y ) b) (8wz 5z + ) (w) h) (x 5x 0x + 5x) ( 5x) c) (x x + ) (x x + ) i) (q d 6qd + qd) (qd) d) (a + b ) (a b) j) (rt + 5e e) (e + rt) e) (g + h) (g h) k) ( 8x x x ) ( 5x x x 5) f) (w v) (w v) l) (7w wz + z 5y) (w z 5 )

125 LECCIÓN 0 Lección 0: Representación gráfica de algunas expresiones algebraicas En la lección 8 del curso anterior usted aprendió a representar puntos en el plano cartesiano y en la lección del mismo curso aprendió a usar ciertas expresiones algebraicas para referirse a relaciones numéricas. En esta lección vamos a ver cómo representar gráficamente algunas relaciones algebraicas. Recuerde que para representar puntos en el plano se consideran dos ejes perpendiculares: uno horizontal (eje de las x) que se llama eje de las abscisas, y otro vertical (eje de las y), que es el eje de las ordenadas. Cada eje representa una recta numérica; donde se cortan ambos ejes se ubica generalmente el punto (0, 0) y la ubicación en el plano de cualquier otro punto queda determinada por dos valores o coordenadas: el valor de x y el valor de y. Por ejemplo, veamos la representación de los puntos A, B, C y D, cuyas coordenadas son: 5

126 GUÍA DE MATEMÁTICAS III A = (0, 0) B = (, ) C = (, 6) D = ( 6, 5) -8 D -6 C A y B 6 8 x -8 Algunas veces nos interesa representar conjuntos de puntos cuyas coordenadas están relacionadas de algún modo entre sí. Para ver cómo es esto analizaremos un ejemplo. Vamos a representar algunos de los puntos cuyas coordenadas presentan la siguiente relación: para cada punto el valor de y es el doble del valor de x. Esta relación puede expresarse de la siguiente manera: y = x Observe que en este caso no hay nada que nos diga cuál debe ser el valor de las letras que están en la expresión; cuando esto ocurre significa que se está hablando de cualquier par de valores que cumpla la relación establecida; aquí decimos que la letra x y la letra y son variables. Algunos de los valores que pueden tomar las letras x y y que mantengan la relación mencionada son: x =, y = ; x =, y = ; x = 5, y = 0 Para encontrar otras parejas de valores que cumplan esa relación, le damos un valor cualquiera a x y calculamos el valor de y multiplicando por ese valor. Por ejemplo si decimos que x vale, encontramos que y = x = 8. 6

127 LECCIÓN 0 Para registrar los valores de x y de y, puede utilizarse una tabla como la que se muestra a la derecha. En la primera columna se ponen los valores de x (aquí se puede poner cualquier valor), y en la segunda columna los valores que calculamos para y, a partir de los que escogimos para x. En la tabla hemos puesto las parejas de valores que hemos mencionado ya y algunas más. Cada una de las parejas de valores (x, y) así encontradas puede tomarse como las coordenadas de un punto en el plano cartesiano. Las parejas de valores que aparecen en la tabla se pueden entonces representar como puntos: esto se muestra en la gráfica siguiente. x y = x x = x (-) = - x 5 = 0 x = 8 x 0 = 0 x (- )= - x = y x

128 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Si colocamos una regla sobre los puntos de la gráfica, es fácil ver que todos quedan sobre una misma recta, como se muestra en la gráfica de la derecha. Nosotros sólo hemos encontrado algunos pares de valores que cumplen la relación planteada pero hay infinidad de ellos, de hecho las coordenadas de cualquier punto que pertenezca a la recta cumplen con la relación dada, y cualquier punto cuyas coordenadas cumplan esa relación está en la recta y x 8 La relación que acabamos de describir y representar gráficamente es una función, y decimos que la recta es la representación gráfica de esa función. Veamos un ejemplo de una relación que también es función pero cuyos puntos no pertenecen a una recta. Ahora diremos que el valor de y es igual al cubo de x, es decir: y = x Para encontrar los valores vamos a construir una tabla como la anterior, eligiendo algunos valores de x y encontrando cuánto vale la y correspondiente a cada uno. 8

129 LECCIÓN 0 x y = x - (-) = (-.6) = (-.) = (-) = (-0.5) = = = 0.5 =.. = =.096 = 8 Con los valores encontrados podemos ubicar los puntos del plano: 9 y Es fácil ver que los puntos representados no pertenecen a una recta. Incluso, si unimos los puntos de izquierda a derecha en el orden que aparecen, podemos ver que pertenecen a una curva. Esa curva representa gráficamente a la función x -7 y = x

130 GUÍA DE MATEMÁTICAS III 9 y Cuando en la expresión algebraica las variables tienen exponente uno (recuerde que en ese caso el exponente no se escribe), la representación corresponde a una recta, y si el exponente es distinto de uno, se obtiene una curva x Si sabemos que la gráfica es una recta, para dibujarla sólo necesitamos encontrar dos puntos, pero si la gráfica es una curva para poder trazarla debemos ubicar varios puntos, y cuantos más puntos encontremos más fácil será dibujar la curva. -9 Ejercicio Escriba en lenguaje algebraico las siguientes relaciones entre los valores de la variable x y de la variable y. a) Un número es igual a la suma de más el doble de otro. (Llame y al primer número mencionado.) b) La suma de dos números es igual a. c) Un número es igual al cuadrado de otro. (Llame y al primer número mencionado.) d) Un número menos la mitad de otro es. (Llame y al primer número mencionado.) e) Un número es igual al cuadrado de la suma de otro número más. (Llame y al primer número mencionado.) 0

131 LECCIÓN 0 Ejercicio Para cada una de las relaciones del ejercicio, encuentre al menos seis parejas de números que cumplan esa relación, represente gráficamente los puntos y trace la recta o curva que pasa por ellos. Utilice un par de ejes distintos para graficar los puntos correspondientes a cada función. NOTA: Aunque se puede dar cualquier valor a x, para que usted pueda verificar sus resultados con las soluciones del libro, le sugerimos que en cada uno de estos ejercicios le asigne a x los valores que se dan a continuación:,, -, 0,,, ; además de éstos, usted puede asignar los valores que quiera. Ejercicio Indique para qué relaciones del ejercicio anterior el conjunto de puntos queda sobre una misma recta y para cuáles no.

132 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Lección : Ecuaciones lineales con dos incógnitas Ecuaciones con dos incógnitas Existen muchos problemas que pueden plantearse a través de ecuaciones con más de una incógnita. Veamos el siguiente ejemplo: María recorrió 0 Km siempre en la misma dirección, una parte del recorrido lo hizo a pie y el resto en camión. Cuántos kilómetros caminó y cuántos recorrió en camión? Es claro que la pregunta anterior da lugar a muchas respuestas. Podríamos decir por ejemplo, que María recorrió: 5 Km a pie y 5 Km en camión, porque = 0 Km a pie y 9 Km en camión, porque + 9 = 0.5 Km a pie y 7.5 Km en camión, porque = Km a pie y 9. Km en camión, porque = 0

133 LECCIÓN Usted puede encontrar otras parejas de números que pueden ser solución del problema. Pero no cualquier pareja de números es solución del problema. Por ejemplo Los números y 8 no son solución, porque + 8 = 0 Los números y tampoco son solución, porque aunque + = 0, María siempre caminó en la misma dirección y entonces no pudo recorrer Km a pie.

134 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Si llamamos x a la cantidad de kilómetros que María caminó y si llamamos y a la cantidad de kilómetros recorridos en camión, podemos describir el problema anterior del siguiente modo: x + y = 0 A expresiones de este estilo se las denomina ecuaciones de primer grado con dos incógnitas o ecuaciones lineales con dos incógnitas. Ya dijimos que este problema tiene muchísimas soluciones de las que hemos encontrado sólo algunas. Las soluciones que hemos encontrado: x = 5, y = 5 x =, y = 9 x =.5, y = 7.5 x = 0.8, y = 9. pueden ser expresadas como parejas ordenadas: (5, 5) (, 9) (.5, 7.5) (0.8, 9.) Y estas parejas ordenadas nos pueden servir para representar gráficamente las soluciones que hemos encontrado. Para ello consideramos los valores de x como abscisa, y los de y como ordenadas. Así, las primeras soluciones quedarán representadas por los siguientes puntos y x

135 LECCIÓN Ejercicio a) Copie la gráfica anterior. b) Encuentre otras parejas de números que sean solución de la ecuación x + y = 0 y represéntelas en la gráfica, con puntos. c) Trace una recta que pase por dos puntos cualesquiera de la gráfica. Los demás puntos de la gráfica quedan en la recta o fuera de ella? d) Encuentre dos parejas de números que NO sean solución de la ecuación x + y = 0 y represéntelas en la gráfica. e) Los dos puntos recién trazados quedan en la recta o fuera de ella? Ejercicio Considere la ecuación x + y =. a) Verifique que las parejas (, 6), (0, ), (, 0), y (5, 6) son solución de la ecuación. b) Verifique que los puntos que representan a esas parejas de números están en la gráfica de la derecha. c) Encuentre las coordenadas de los puntos A, B y C que están en la gráfica. d) Verifique que las parejas de números encontradas en el inciso anterior son solución de la ecuación. - - A y B C 5 6 x 5

136 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Gráfica de una ecuación lineal Regresemos a nuestra ecuación: x + y = 0 - Nosotros hemos representado sólo algunas parejas ordenadas y usted ha podido observar (al realizar los ejercicios anteriores) que todos los puntos que representan soluciones están sobre una línea recta. Sabemos que y la ecuación anterior tiene infinidad de soluciones, 0 y puede demostrarse 9 que todos los puntos que 8 7 pertenecen a la siguiente 6 recta, son solución de la 5 ecuación x Observe que hay puntos que pertenecen a la recta y son solución de la ecuación, pero no son respuesta al problema planteado. Por ejemplo la pareja (-, ) es solución de la ecuación, porque - + = 0, pero no puede ser respuesta al problema porque no tiene sentido decir que María caminó Km. Lo que hemos observado con la ecuación x + y = 0, ocurre con todas las ecuaciones de primer grado con dos incógnitas 6

137 LECCIÓN (también llamadas ecuaciones lineales), y se puede enunciar del siguiente modo: Toda ecuación de primer grado con dos incógnitas tiene infinitas soluciones. Los puntos que representan todas las soluciones de una ecuación de primer grado con dos incógnitas forman una línea recta. Veamos ahora cómo trazar esa recta. Ya sabemos que para trazar una recta sólo necesitamos dos puntos, entonces si queremos representar todas las soluciones de una ecuación lineal, basta con que localicemos los puntos que representan a dos de sus soluciones. Por ejemplo, si queremos obtener la recta que representa todas las soluciones de la ecuación: x y = 6, buscamos dos parejas de números que sean soluciones y las representamos gráficamente; si trazamos la recta que pasa por esos dos puntos, encontramos la gráfica de soluciones de la ecuación. Podemos ver que las parejas: (9, ) y (, ) son soluciones de la ecuación porque: 9 = 6 y ( ) = 6. 7

138 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Los puntos que representan a estas dos parejas se muestran en la gráfica de la derecha. Ahora podemos trazar la recta que buscábamos y 6 x y 6 x 8 0 En los dos ejemplos que hemos manejado, ha sido fácil encontrar parejas de números que sean solución de la ecuación. En algunos casos esto puede ser un poco menos sencillo. Veamos otro ejemplo: Se quiere encontrar la recta que representa a todas las soluciones de la ecuación: x + y = 0. Sabemos que sólo necesitamos dos puntos para determinar la recta, entonces bastará con encontrar dos parejas de números. Para ello podemos dar un valor cualquiera a x, por ejemplo y hacer la sustitución correspondiente. Así obtenemos la ecuación () + y = 0 que tiene una sola incógnita y que usted ya sabe resolver. () + y = 0 + y = 0 y = 0 y = 8 y = 9 8

139 LECCIÓN Del mismo modo, si decimos que x = 0, tenemos: (0) + y = y = 0 y = 0 0 y = 0 y = 0 - Usted puede verificar que las parejas (, 9) y (0, 0), son soluciones de la ecuación. y Y la recta trazada, que pasa por los puntos de coordenadas (, 9) y (0, 0), representa a todas las soluciones a la ecuación x + y = x Finalizaremos esta sección haciendo una reflexión acerca de la diferencia entre las soluciones de un problema y las soluciones a la ecuación. Consideremos el siguiente problema: Juan decidió no gastar las monedas de $ y $5. Al cabo de un tiempo su ahorro ascendía a $0. Cuántas monedas de $ y cuántas de $5 juntó Juan? 9

140 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Si llamamos x a la cantidad de monedas de $ y llamamos y a la cantidad de monedas de $5 podemos describir la situación planteada con la siguiente ecuación lineal x + 5y = 0 Esta ecuación tiene una infinidad de soluciones, y para trazar la gráfica de ellas podemos encontrar como en el ejemplo anterior dos soluciones; por ejemplo, para x = 0 encontramos y =0 5 =, y para x = 0 encontramos y = (0 80) 5 = 8. Entonces podemos trazar la recta que pasa por los puntos (0, ) y (0, 8): y x Observe que la recta contiene a todas las soluciones de la ecuación, sin embargo no todas ellas son respuestas al problema planteado, ya que por tratarse de cantidad de monedas sólo pueden considerarse como posibles respuestas las parejas de números naturales. 0

141 LECCIÓN Es decir, la gráfica de la página anterior representa a todas las soluciones a la ecuación, pero de todos los puntos que la conforman sólo una pequeña minoría son soluciones al problema. De hecho, si quisiéramos graficar solamente las soluciones al problema, encontraríamos una gráfica como la que se muestra a la derecha y x Ejercicio Para cada una de las siguientes ecuaciones, encuentre la recta que representa a todas las soluciones. a) x + y = b) x + y = Ejercicio Considere la ecuación x y =. a) Encuentre la recta que representa todas las soluciones. b) Complete las siguientes parejas de números para que sean soluciones de la ecuación. x = 5, y = x =, y =

142 GUÍA DE MATEMÁTICAS III x =, y = 6 x =, y = x =.5, y = x =, y = 0 x = 0, y = Ejercicio 5 Trace la gráfica de soluciones de cada una de las siguientes ecuaciones lineales. a) x + y = b) x y = Ejercicio 6 Un terreno rectangular tiene un perímetro de 7 m, y se quiere conocer su largo y su ancho. a) Encuentre una ecuación que corresponda al enunciado del problema, en la que x sea el largo del terreno y y sea su ancho. b) Trace la gráfica de soluciones de la ecuación. c) A partir de la gráfica, encuentre tres parejas de números que sean solución del problema y dos parejas que sean solución de la ecuación pero no del problema.

143 LECCIÓN Lección : Sistemas de ecuaciones lineales Resolución gráfica Hemos visto que las ecuaciones lineales de dos incógnitas nos permiten describir las situaciones planteadas en distintos problemas. Hemos observado que cada una de ellas admite infinidad de soluciones y hemos encontrado la recta que representa a todas las soluciones de una ecuación lineal. Hasta ahora hemos trabajado con situaciones en las cuales una sola ecuación permite expresar la condición que presenta el problema. En muchos casos nos enfrentamos a problemas en los que se plantea más de una condición, por lo que es necesario plantear más de una ecuación. Decimos que las ecuaciones que expresan las condiciones de un problema forman un sistema de ecuaciones. A continuación veremos cómo resolver, gráficamente, un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Como lo hemos hecho en otras situaciones, empezaremos con un ejemplo:

144 GUÍA DE MATEMÁTICAS III La suma de dos números es y su diferencia es 6. Cuáles son esos números? En este problema se nos pide que encontremos dos números que cumplan con dos condiciones: que su suma sea que su diferencia (es decir la resta de estos dos números) sea 6. Si llamamos x a uno de los números y llamamos y al otro, podemos expresar cada condición por medio de una ecuación: x + y = x y = 6 A expresiones como la anterior, se las denomina sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas y suelen expresarse del siguiente modo: { x + y = x y = 6 Una forma de encontrar la solución de este problema es buscar pares de valores que cumplan una de las condiciones, por ejemplo que su suma sea, y posteriormente ver cuál de ellos cumple también con la segunda. Para comenzar es bueno tener en cuenta que el valor de x debe ser mayor que el de y, de lo contrario la diferencia no sería positiva.

145 LECCIÓN x y x + y x - y Al llenar la tabla anterior vemos que la pareja de valores x = 9, y = es solución del problema ya que 9 + = y 9 = 6; es decir que estos números cumplen con las dos condiciones que se habían planteado. Podríamos preguntarnos si es la única pareja de valores que cumplen ambas condiciones, pero es imposible pensar en "probar" con todos los números cuya suma sea, porque como vimos en la lección anterior, son infinitas las parejas de valores que cumplen una condición de ese estilo. A continuación veremos un método más práctico que nos permite dar solución a este tipo de problemas. Este método recibe el nombre de resolución gráfica de sistemas de ecuaciones Para resolver el sistema anterior: { x + y = x y = 6 5

146 GUÍA DE MATEMÁTICAS III comenzaremos por encontrar la gráfica de soluciones de cada ecuación, es decir la recta que contiene a todas las soluciones de cada ecuación. Como ya sabemos que cada gráfica es una recta, para encontrarla bastará con elegir dos puntos cualesquiera. En este caso, para la ecuación x + y =, podemos tomar los puntos de las parejas que anotamos en la tabla anterior. De este modo encontramos la recta que se muestra en la gráfica de la derecha. Como ya dijimos, cada punto de esta recta es solución de la primera y ecuación, o lo que es lo mismo, la suma de las coordenadas de cualquiera de ellos es x Del mismo modo procedemos para encontrar la recta que representa a todas las soluciones de la ecuación x y = 6. Así obtenemos la recta siguiente: y Todos los puntos de esta recta son solución de la segunda ecuación, es decir que la diferencia de sus coordenadas es igual a x Cada ecuación tiene infinitas soluciones, pero nosotros buscamos una pareja de números que sea solución de ambas. 6

147 LECCIÓN Si trazamos en el mismo par de ejes las dos rectas podemos observar que se cruzan en un punto. El punto A pertenece a ambas rectas, por lo que sus coordenadas cumplen las dos condiciones o relaciones planteadas: por un lado la suma de sus coordenadas es igual a (línea lisa), y por otro la diferencia de sus coordenadas es igual a 6 (línea punteada). Es decir, si leemos las coordenadas del punto A encontramos los valores de x y de y, que es la solución al problema planteado y 6 8 A 0 x Entonces los números buscados son 9 y. Para verificar este resultado sustituimos la x por 9 y la y por en las dos ecuaciones que forman el sistema: x + y = x y = = 9 = 6 Observe que las rectas sólo se cortan en el punto A: podemos afirmar que (9, ) es el único par de valores que satisface simultáneamente las dos ecuaciones ya que no hay otro punto que pertenezca a ambas rectas. Ejercicio Resuelva gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones lineales. 7

148 GUÍA DE MATEMÁTICAS III { { a) x + y = 0 d) x + y = 0 x + y = 0 0x y 6 = 0 { { b) x + y = e) x + 6y = 6 x + y = 5 x + y = { { c) 5x y = f) x y = x + y = 6 5x 0y = 5 Sistemas sin solución y sistemas con infinitas soluciones En el ejercicio anterior observamos dos situaciones que merecen una consideración especial. Seguramente al resolver el inciso e, habrá llegado a la conclusión de que esas rectas no tienen punto de intersección, no se cortan por ser paralelas. Esto significa que en las rectas no hay punto alguno que pertenezca a las dos rectas por lo que el sistema no tiene solución. Cuando esto ocurre se dice que es un sistema inconsistente. En un caso así, aunque cada una de las ecuaciones del sistema tiene un número infinito de soluciones, no hay ninguna pareja de valores que sean solución de ambas ecuaciones: el sistema no tiene solución y x 8

149 LECCIÓN En cambio al resolver el inciso f, nos encontramos con que las gráficas de solución coinciden, todos los puntos de una recta pertenecen también a la otra. Aquí tenemos un sistema que tiene una infinidad de soluciones: -6 - y x 6 Si observamos los dos sistemas mencionados, podremos notar en ellos características que se presentan en general cuando tenemos sistemas inconsistentes o de infinitas soluciones. Un sistema tiene infinitas soluciones cuando una ecuación se obtiene multiplicando o dividiendo por un mismo número, todos los números que aparecen en la otra, respetando signos y operaciones. En el sistema del inciso f, tenemos: ª ecuación x y = ª ecuación x 5 x x 5 y = x 5 5 x 0 y = 5 Los sistemas de ecuaciones, que presentamos a continuación, tienen infinitas soluciones. Usted puede verificarlo encontrando las rectas correspondientes. { { x + y = x y = x + y =.5 9x + y = 9 { { x + 0y = 0 x + 0.6y =. x + 5y = 5 x.y =.8 9

150 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Si observamos ahora el sistema del inciso e, que no tiene solución, podemos notar que los coeficientes de x y de y de una de las ecuaciones se pueden obtener multiplicando por un mismo número los coeficientes correspondientes de la otra, pero esto no ocurre con el término independiente (el que no está acompañado por letra). ª ecuación x + 6 y = 6 ª ecuación x 0.5 x + 6 x 0.5 y = 6 x 0.5 x + y = Otros ejemplos de sistemas de ecuaciones que no tienen solución son los siguientes. Usted puede verificarlo encontrando las rectas correspondientes. { { x + y = 0 0.x y = 0 x + y = 0 0.9x y = 0 { { x + y = x + 6y = x + 0.5y = 5 x y = 8 50

151 LECCIÓN Ejercicio Resuelva gráficamente los siguientes sistemas. Exprese en cada caso los valores de x y de y que satisfacen ambas ecuaciones e indique, si fuera el caso, los sistemas inconsistentes o de infinitas soluciones. { { a) x + y = d) x + y = x + y = x + y = { { b) y x = e) x y = y 8x = y + x = { { c) x y = 7 f) x y = x + y = x y + = 5

152 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Lección : Resolución algebraica de sistemas de ecuaciones En la lección anterior hemos visto cómo resolver gráficamente un sistema de ecuaciones. Si bien ese método es relativamente sencillo de aplicar, no siempre es fácil leer las coordenadas de un punto. Además del método gráfico, hay varios métodos algebraicos que permiten obtener la solución de un sistema sin necesidad de recurrir a la representación gráfica. En general estos métodos tratan de obtener a partir del sistema de dos ecuaciones una sola ecuación de primer grado con una incógnita, aplicando las propiedades de las ecuaciones que ya conocemos. En esta lección veremos uno de ellos, llamado método de reducción por suma y resta. En la aplicación de este método se aplican las siguientes propiedades: Si sumamos (o restamos) cantidades iguales a los dos miembros de una ecuación, obtenemos otra ecuación que tiene las mismas soluciones que la primera. Si multiplicamos (o dividimos) los dos miembros de una ecuación por un mismo número, obtenemos otra ecuación que tiene las mismas soluciones que la primera. 5

153 LECCIÓN A modo de ejemplo vamos a resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. { x + y = 8 x y = Si escribimos la segunda ecuación como x + ( y) =, es fácil observar que ( y) es el inverso aditivo de y que figura en la primera ecuación. Como queremos llegar a una ecuación con una sola incógnita, aprovechamos la presencia de los inversos aditivos para quedarnos sólo con la x, pero manteniendo las relaciones de igualdad establecidas. Para ello vamos a sumar (x y) (o su igual ) a ambos miembros de la primera ecuación. Debemos recordar que sólo puede resolverse la suma de términos semejante, así que sumaremos: x + x, y + ( y) y 8 +. Tenemos entonces que: + x + y = 8 x y = x + 0 = El resultado de la suma es una ecuación de primer grado con una incógnita que podemos resolver fácilmente, para encontrar de este modo uno de los dos valores que buscábamos. 5

154 GUÍA DE MATEMÁTICAS III x + 0 = x = x = Conociendo este valor, sustituimos en cualquiera de las ecuaciones originales a la x por. Así obtendremos otra ecuación de primer grado con una incógnita que nos permitirá encontrar el valor de y : x y = y = y = y = - y = Podemos decir entonces que los números y son la solución del sistema de ecuaciones. También se dice que son las raíces del sistema. Veamos otro ejemplo. Queremos resolver el siguiente sistema: { x + y = 0 x + y = Aquí no tenemos inversos aditivos por lo que no servirá efectuar la suma como lo hicimos en el caso anterior, pero si en lugar de sumar restamos el efecto será el mismo. Restaremos (x + y) (o su igual ), a ambos miembros de la ecuación x + y = 0, considerando también aquí que la operación debe efectuarse entre términos semejantes: 5

155 LECCIÓN - x + y = 0 x + y = x + 0 = 6 tenemos entonces: x = 6 6 x = x = Sustituyendo la x por este valor en la segunda ecuación, obtenemos: x + y = + y = y = y = Hemos encontrado los dos números que buscábamos: podemos afirmar que la pareja (, ) es la solución del sistema. Observe que en las dos ecuaciones de los sistemas anteriores, los coeficientes de las y eran iguales (en cuyo caso restamos) o eran inversos aditivos (en cuyo caso sumamos). Podríamos actuar de modo equivalente si los coeficientes de las x fuesen de ese estilo. Por ejemplo si queremos resolver el sistema: { x + y = 8 x + y = 55

156 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Efectuamos una resta como en el último ejemplo y obtenemos una ecuación en la que sólo aparece la y: - x + y = 8 x + y = 0 + y = 6 Ahora sólo falta despejar la y para obtener su valor: 0 + y = 6 y = 6 y = 6 y = Reemplazando y por en cualquiera de las dos ecuaciones originales, obtenemos el valor de x: x + y = 8 x + () = 8 x = 8 x = 6 6 x = x = Entonces, las raíces del sistema de ecuaciones son la pareja (, ). Cuando no se presenta ninguna de estas situaciones, debemos multiplicar una o ambas ecuaciones por un número conveniente, para conseguir que una de las incógnitas quede con el mismo coeficiente en ambas ecuaciones, o con coeficientes que sean 56

157 LECCIÓN inversos aditivos. De este modo podremos eliminar por suma o resta a esa incógnita y despejar fácilmente a la otra. Veamos en el siguiente ejemplo cómo proceder en estos casos. { x + y = x + 5y = 5 Aquí de nada nos serviría sumar o restar estas ecuaciones como están, porque seguiríamos teniendo dos incógnitas. Para igualar los coeficientes de las x, multiplicamos la primera ecuación por (que es el coeficiente de la x en la segunda ecuación), y la segunda por (que es el coeficiente de la x en la primera ecuación). Para igualar los coeficientes de la y, multiplicaríamos la primera ecuación por 5 y la segunda por. Recuerde que multiplicar una ecuación por un número es multiplicar por ese número ambos miembros de la igualdad. (x + y) = x (x + 5y) = x 5 Así obtenemos un nuevo sistema, que es equivalente al que planteamos originalmente: { x + 6y = 8 x + 5y = 5 En este nuevo sistema, los coeficientes de las x son iguales, por lo que podemos efectuar la resta: x + 6y = 8 - x + 5y = y = 57

158 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Observe que en este caso no tenemos que despejar la y, porque aquí se ve directamente que y =. Entonces hacemos la sustitución correspondiente en cualquiera de las dos ecuaciones originales (en general se elige aquélla en la cual nos parece que resultará más sencillo el proceso). x + y = x + () = x + = x = x = 0 0 x = x = 0 Ahora podemos afirmar que la pareja (0, ) es la solución del sistema. El método que acabamos de ver es el más general y puede servir en cualquier caso. Usémoslo, por ejemplo, para volver a resolver el primer ejemplo de esta lección: { x + y = 8 x y = Aquí multiplicaremos por, que es el coeficiente de la x en la primera ecuación, la segunda ecuación y multiplicaremos por, que es el coeficiente de la x en la segunda ecuación, la primera; esto es, dejaremos la primera ecuación sin cambiar: x + y = 8 (x y) = x 58

159 LECCIÓN Obtenemos entonces: x + y = 8 x y = 6 restamos: - x + y = 8 x y = y = 8 6 y despejamos: y = y = Después sustituimos en una de las ecuaciones: x + y = 8 x + = 8 x = 8 x = x = - x = x = 59

160 GUÍA DE MATEMÁTICAS III y obtenemos que las raíces del sistema son y : exactamente las mismas que habíamos obtenido la primera vez. Con esto hemos intentado mostrarle que no importa qué método se siga, de todos modos se llega a la misma solución al sistema de ecuaciones. Ejercicio Verifique que las parejas de números obtenidas en los cuatro ejemplos anteriores, son realmente solución de los sistemas considerados. Ejercicio Utilice el método visto en la lección anterior, de resolución gráfica de un sistema de ecuaciones, para encontrar las soluciones del segundo ejemplo de esta lección: { x + y = 0 x + y = Compare el resultado obtenido con el que se obtuvo en esta lección. Qué observa? 60

161 LECCIÓN Ejercicio Aplique el método algebraico que acabamos de ver, para obtener las raíces de los sistemas que resolvió geométricamente, en el ejercicio de la lección anterior. Qué observó en los casos de sistemas inconsistentes o de infinitas soluciones? Ejercicio Resuelva algebraicamente los siguientes sistemas y verifique sus resultados. { { a) x y = 8 d) x + y = 0 x + y = x y = 5 { { b) x + y = 0 e) 8x + y = x y = 6 x y = { { c) x + y = 0 f) x + y = 6 x + y = 0 x + y = 7 6

162 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Lección : Problemas que se resuelven por sistemas de ecuaciones lineales A continuación veremos algunos problemas que se resuelven con sistemas de ecuaciones y algunos ejemplos de cómo plantear los sistemas para poder resolver fácilmente los problemas. Juan pagó $50 por cajas de taquetes y 5 cajas de clavos. Pedro compró 5 cajas de taquetes y 7 de clavos y tuvo que pagar $7. Cuál es el precio de cada caja de taquetes y de cada caja de clavos? 6

163 LECCIÓN Para plantear la solución de este problema, identificamos en primer lugar aquello sobre lo que se nos pregunta, es decir: qué debemos averiguar? En este caso debemos encontrar dos cantidades, el precio de una caja de taquetes y el precio de una caja de clavos. En segundo lugar debemos identificar las relaciones (o condiciones) que sobre esas dos cantidades se plantean en el problema. Si llamamos x al precio de una caja de taquetes y llamamos y al precio de una caja de clavos, podemos expresar lo que gastó Juan a través de una ecuación y lo que gastó Pedro por medio de otra. Para ello analicemos la información que nos presenta el problema y veamos cómo expresar algebraicamente las relaciones. Información Precio de una caja de taquetes. Precio de cajas de taquetes. Precio de 5 cajas de taquetes. Precio de una caja de clavos. Precio de 5 cajas de clavos. Precio de 7 cajas de clavos. Importe de la compra de Juan. Importe de la compra de Pedro. Expresión algebraica x pesos x pesos 5x pesos y pesos y pesos 5y pesos x + 5y = 50 5x + 7y = 7 Ahora ya podemos plantear y resolver el sistema: { x + 5y = 50 5x + 7y = 7 6

164 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Como los coeficientes son todos positivos, sabemos que debemos restar para eliminar una de las incógnitas y como todos son números distintos debemos efectuar primero las multiplicaciones convenientes. Por ejemplo si queremos eliminar la x, multiplicamos los dos miembros de la primera ecuación por 5 y los dos miembros de la segunda por (si se quiere eliminar la y, se debe multiplicar la primera ecuación por 7 y la segunda por 5). - 5x + 5y = 50 5x + y = 0 + y = 8 8 Entonces y = =7, ahora sustituimos y por ese valor en la primera ecuación y obtenemos el valor de x (también podríamos haber sustituido en la segunda ecuación): x + 5y = 50 x + 5(7) = 50 x = 50 5 x = 5 = 5 Podemos entonces decir que la caja de taquetes cuesta $5 y la de clavos cuesta $7. Enriqueta es costurera y quiere aprovechar una oferta de botones. El paquete de botones blancos cuesta $5 y el de botones negros $0. Si con $80.00 compró en total paquetes, cuánto gastó en botones blancos? 6

165 LECCIÓN Veremos dos maneras de plantear un sistema de ecuaciones para este problema. Según la primera manera, podemos pensar que para responder a la pregunta planteada nos puede ser útil conocer cuántos paquetes de botones blancos compró Enriqueta. Llamemos entonces x a la cantidad de paquetes de botones blancos y, equivalentemente, llamemos y a la cantidad de paquetes de botones negros. Podemos entonces expresar algebraicamente la cantidad total de paquetes comprados, el costo de los paquetes de cada color y el total gastado, lo que nos permitirá encontrar el dato que necesitamos para resolver el problema. 65

166 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Información Expresión algebraica Cantidad de paquetes de botones blancos. Cantidad pagada por los botones blancos. Cantidad de paquetes de botones negros. Cantidad pagada por los botones negros. Total de paquetes comprados. Importe de la compra. x 5x y 0y x + y = 5x + 0y = 80 Ahora ya podemos plantear el sistema de ecuaciones: { x + y = 5x + 0y = 80 Como a nosotros nos interesa conocer x, igualaremos los coeficientes de y. Es decir, para eliminar la y, multiplicamos la primera ecuación por x + 0 y = 0 5x + 0y = 80 5x + 0 = 0 Entonces despejamos la x: 5x = 0 x = 0 ( 5) x = 8 66

167 LECCIÓN Ahora ya sabemos que Enriqueta compró 8 paquetes de botones blancos. Pero lo que queríamos averiguar es cuánto gastó en ellos. Como conocemos el costo de cada uno de esos paquetes, tenemos: 8 x 5 = 0 Hemos llegado a la solución: podemos afirmar que Enriqueta gastó $0 en botones blancos. Observe que según esta manera de resolver el problema, la solución no está dada directamente por el valor de x, sino que necesitábamos ese valor para poder realizar la última operación que nos dio el resultado. Planteemos ahora la segunda manera de resolver el problema. Aquí nos podemos plantear que, como lo que necesitamos es saber cuánto gastó Enriqueta en botones blancos, esa cantidad es la que podemos llamar x, y, equivalentemente, llamamos y a la cantidad que gastó en botones negros. Ahora la información que tenemos se puede traducir en la siguiente tabla: Información Expresión algebraica Cantidad pagada por los botones blancos. Cantidad de paquetes de botones blancos. Cantidad pagada por los botones negros. Cantidad de paquetes de botones negros. x x 5 y y 0 Importe de la compra. Total de paquetes comprados. x 5 x + y = 80 y + = 0 67

168 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Esto nos da lugar al siguiente sistema de ecuaciones: { x + y = 80 x 5 y + = 0 Para eliminar la y ahora multiplicamos por 0 la segunda ecuación: - x + y = 80 + y = 0 0x 5 0x x + 0 = 0 5 Y entonces despejamos la x: 0x x = 0 5 5x - 0x 5 5x 5 x = 0 = 0 = 0 x = 0 x = 0 Ahora hemos llegado directamente a la solución: como en esta segunda manera la x representaba lo que Enriqueta gastó en botones blancos, tenemos que gastó $0. 68

169 LECCIÓN Observe que las dos maneras dieron lugar a distintos sistemas de ecuaciones, pero que con ambas llegamos al mismo resultado. Y observe también que en ninguna de las dos tuvimos necesidad de encontrar el valor de y, que representaba en el primer caso la cantidad de paquetes de botones negros y en el segundo el dinero pagado por ellos; si lo hubiéramos deseado, también lo hubiéramos podido calcular. Veamos ahora un par de ejemplos más de cómo plantear un sistema de ecuaciones: Con dos camiones cuyas capacidades de carga son respectivamente de y toneladas, se hicieron en total viajes para transportar 80 toneladas de madera. Cúantos viajes realizó cada camión? 69

170 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Si llamamos x a la cantidad de viajes que realizó el primer camión y y a la cantidad de viajes que realizó el segundo camión, podemos expresar algebraicamente la información que nos presenta el problema: Información Cantidad de viajes del primer camión. Madera transportada por el primer camión. Cantidad de viajes del segundo camión. Madera transportada por el segundo camión. Total de madera transportada. Total de viajes. Expresión algebraica x x y y x + y = 80 x + y = El sistema de ecuaciones es entonces: { x + y = 80 x + y = Usted puede resolver el sistema y encontrar los valores de x y de y, para concluir que el primer camión realizó viajes y el segundo. La edad de Camila y de su mamá suman 5 años y dentro de 9 años la edad de la mamá será el doble de la edad de Camila. Cuántos años tiene cada una? 70

171 LECCIÓN Si llamamos x a la edad de Camila y llamamos y a la edad de la mamá, podemos expresar algebraicamente las relaciones entre las edades de ambas que nos presenta el problema. Información Expresión algebraica Edad actual de Camila. Edad de Camila dentro de nueve años. Edad actual de la mamá. Edad de la mamá de Camila dentro de nueve años. Suma de las edades actuales. Relación entre las edades dentro de nueve años. x x + 9 y y + 9 x + y = 5 y = x 7

172 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Ahora ya podemos plantear el sistema de ecuaciones que usted puede resolver: { x + y = 5 x y = 0 Seguramente llegó a la conclusión de que Camila tiene 5 años y su mamá 9. Ejercicio Plantee el sistema que permite resolver cada uno de los siguientes problemas y resuélvalo. a) Jovita y Felipe hacen paletas de chocolate para vender. La materia prima necesaria para hacer una paleta grande les cuesta $5.00 y para una paleta chica $.00. Si disponen de $ y quieren hacer 50 paletas, cuántas paletas de cada tamaño podrán hacer? b) El costo de las entradas a una función de títeres es de $0 para los adultos y $0 para los niños. Si el sábado pasado asistieron 8 personas y se recaudaron $590, cuántos adultos y cuántos niños asistieron a la función el sábado? 7 c) Marta y sus amigos pagaron $09 por 5 hamburguesas y 7 refrescos. Si la semana anterior consumieron 8 hamburguesas y refrescos y la cuenta fue de $7, cuánto cuesta cada hamburguesa y cada refresco?

173 LECCIÓN d) El perímetro de un rectángulo es de 0 metros. Si se duplica el largo del rectángulo y se aumenta en 6 metros el ancho, el perímetro queda en 76 metros. Cuáles son las medidas originales del rectángulo y cuáles las medidas del rectángulo agrandado? e) Don José y don Tiburcio fueron a comprar semillas para sembrar. Don José compró cuatro sacos de maíz y tres sacos de frijol, y don Tiburcio compró tres sacos de maíz y dos de frijol. La carga de don José fue de 80 kilogramos y la de don Tiburcio de 0. Cuánto pesaban cada saco de maíz y cada saco de frijol? f) Encuentre dos números tales que su suma sea 0 y su diferencia sea. g) En una fábrica tienen máquinas de tipo A y máquinas de tipo B. La semana pasada se dio mantenimiento a 5 máquinas de tipo A y a del tipo B por un costo de $05. La semana anterior se pagó $5 por dar mantenimiento a máquinas de tipo A y 5 de tipo B. Cuál es el costo de mantenimiento de las máquinas de cada tipo? h) Las edades de Pedro y de su papá suman años. Hace años la edad de Pedro era la octava parte de la de su papá. Cuántos años tiene cada uno? 7

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175 Unidad III Geometría 75

176 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Lección 5: Escalas Cuando necesitamos hacer un dibujo que se vea como la realidad que queremos representar pero más pequeño o más grande hacemos un dibujo a escala, que es un dibujo proporcional a la realidad en longitudes. En el siguiente dibujo se representa una muñeca plana de cartón que se usa para exhibir ropa de niña en un aparador; la muñeca mide en la posición en la que está 90 cm de alto y 60 cm de ancho. Un centímetro en el dibujo representa 0 cm de la realidad y decimos que está hecho en una escala de a 0. Esto también se suele escribir así: la escala es de :0. Longitudes en el dibujo en cm Longitudes en la realidad en cm 76

177 LECCIÓN 5 Del dibujo podemos recuperar las medidas de la muñeca. Pongamos algunas de ellas en una tabla: Ancho de la cintura Altura del tronco Ancho de las piernas Largo de la falda Largo del pie dibujo cm cm cm.5 cm. cm muñeca 0 cm 0 cm 0 cm 5 cm cm Observe que todas las medidas que pusimos en la tabla están en la misma proporción: 0 = = = = Aquí la constante de proporcionalidad es un décimo, es decir. Cada longitud del dibujo es la décima parte de la 0 longitud original; o bien, cada longitud en la muñeca es de diez veces la correspondiente longitud en el dibujo. Para hacer el dibujo se consideran las medidas que conocemos de la muñeca, las relaciones entre sus partes, su posición y la escala a la que la queremos dibujar. Aquí, por ejemplo, se consideró para dibujar el brazo que vemos a la derecha que el codo está 0 cm arriba del nivel de la cintura y que del codo al hombro hay 5 cm, de esta manera en el dibujo el codo queda cm arriba del nivel de la cintura y del codo al hombro hay.5 cm. 77

178 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Podemos volver a dibujar la misma muñeca con otra escala si queremos un dibujo más grande o más chico. Hagamos una reducción del dibujo que tenemos: para ello tomamos una escala más chica, es decir una constante de proporcionalidad que sea un número menor que un décimo; probemos con un vigésimo, es decir con una escala de a 0. Con esta escala cada medida en el dibujo debe ser una vigésima parte de la medida de la muñeca. Consideremos las mismas medidas que antes y calculemos las que tendrá el dibujo dividiendo cada medida de la muñeca entre 0: Ancho de la cintura Altura del tronco Ancho de las piernas Largo de la falda Largo del pie muñeca 0 cm 0 cm 0 cm 5 cm cm dibujo cm.5 cm 0.5 cm 0.75 cm 0.55 cm Observe que también aquí se tiene la misma proporción entre las medidas del dibujo y las de la muñeca y la constante de proporcionalidad es un vigésimo, es decir la escala que escogimos: 0.5 = = = = También podemos calcular de antemano la altura que debe tener el codo con respecto al nivel de la cintura y el largo del codo al hombro: = = 0.5 y = =.5. Podemos ahora

179 LECCIÓN 5 dibujar la muñeca con esta nueva escala eligiendo el punto de partida que queramos: Las escalas son muy importantes y se usan mucho porque se necesita representar muchas cosas que no caben en un papel. Se hacen dibujos a escala como el croquis de un departamento o de un barrio, planos de ciudades, mapas de países, planos de aparatos, instructivos para armar muebles, etc. Lo fundamental en un dibujo a escala es que se conservan las propiedades y características geométricas de los objetos en el dibujo: las longitudes son proporcionales y los ángulos son los mismos. También se pueden hacer dibujos que no estén a escala pero no son tan útiles. A continuación le mostramos dos dibujos de la misma muñeca que presentamos antes pero que no están a escala: 79

180 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Observe cómo en estos dibujos cambian las formas de los objetos, por ejemplo la forma de la falda o la de la cabeza. Lo que ha cambiado es que son distintos los ángulos en estas figuras. A partir de ellas no podemos saber cuáles son las medidas de la muñeca original, porque no hay proporcionalidad. Ejercicio a) Considere el dibujo de la muñeca en escala de a 0 para llenar la tabla siguiente: 80

181 LECCIÓN 5 dibujo muñeca Ancho total del modelo. Altura de la muñeca. Boca de la manga. Ancho del cuello. Distancia entre los ojos. b) Considere el dibujo de la muñeca en escala de a 0 para llenar la tabla siguiente: dibujo muñeca Ancho total del modelo. Altura de la muñeca. Boca de la manga. Ancho del cuello. Distancia entre los ojos. Ejercicio El siguiente croquis corresponde a un departamento. Está en una escala de :00. 8

182 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Recámara Recámara Simbología Sala-comedor Baño Cocina Baño Estudio Paredes normales Paredes bajas (tipo balcón) Ventanas Puertas Clóset a) Cuánto mide de largo el departamento? Y de ancho? Qué área tiene en total? b) Qué dimensiones tiene la cocina? c) Qué dimensiones tiene cada uno de los dos baños? d) Qué dimensiones tienen los clósets? Qué área tiene cada uno de ellos? e) Cuál de las dos recámaras tiene mayor área? Qué área tiene? f) Qué longitud total tienen las ventanas del departamento? (Nota: la puerta que da a la terraza y la que da a la azotehuela se consideran como ventanas también, por ser de vidrio.) g) Si se desea poner contra una pared un mueble que mide m de largo, cabe en el departamento? Si sí, dónde? 8

183 LECCIÓN 6 Lección 6: Lectura de dibujos a escala En esta lección le presentamos varios dibujos a diferentes escalas para que practique su lectura y se familiarice con diversas maneras de decir cuál es la escala utilizada. En el siguiente dibujo se presenta una parte de la República Mexicana en una escala de a , es decir en una escala de : Esto significa que un centímetro del dibujo representa de centímetros de la realidad y como cm = 00 Km, tenemos que un centímetro del dibujo representa 00 Km de la realidad. Los datos que podemos obtener con una escala como ésta son aproximaciones un poco burdas pues aquí un milímetro representa 0 Km. a) b) c) Escala d) Km g) e) f) 8

184 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Observe cómo se marcó la escala en el dibujo, esta forma de hacerlo es usual en mapas y planos, también es usual marcar las longitudes que nos interesan con flechas de dos puntas. Ejercicio Complete la siguiente tabla con las longitudes marcadas en el mapa anterior y los cálculos que necesite hacer para encontrar las medidas reales: mapa realidad en cm en km a) b) c) d) e) f) g) Ejercicio En la figura de la página siguiente el malabarista pequeño es una reproducción a escala del grande. A partir del dibujo llene la tabla y conteste las preguntas. 8

185 LECCIÓN 6 a) Cuál es la altura total del malabarista grande? b) Cuál es la altura total del malabarista pequeño? c) Cuál es el ancho total del malabarista grande? d) Cuál es el ancho total del malabarista pequeño? e) Cuánto mide de ancho la cadera del malabarista grande? f) Cuánto mide de ancho la cadera del malabarista pequeño? g) Cuánto mide de alto la cabeza del malabarista grande? h) Cuánto mide de alto la cabeza del malabarista pequeño? i) Cuánto mide de ancho la cabeza del malabarista grande? j) Cuánto mide de ancho la cabeza del malabarista pequeño? 85

186 GUÍA DE MATEMÁTICAS III k) A qué escala está dibujado el malabarista pequeño? l) Un centímetro en el dibujo pequeño a cuántos centímetros del dibujo grande corresponde? Ejercicio En la siguiente página le presentamos un plano de la ciudad de San Cristóbal de las Casas en una escala de : Encuentre aproximaciones a las siguientes medidas: a) Cuánto hay que caminar para ir de la esquina noroeste del Zócalo a Bellas Artes? b) Qué longitud tiene la avenida Insurgentes - Gral. Utrilla? c) Qué longitud tiene la calle de Guatemala? d) Cuál es el ancho, en Km., de San Cristóbal? e) Cuál es el largo, en Km., de San Cristóbal? f) Cuáles son las dimensiones del ex-convento de Santo Domingo? 86

187 LECCIÓN 6 Costa Rica San Cristóbal de las Casas Barrio de mexicanos Nicaragua Ex-Convento de Santo Domingo Tonalá Chiapa de Corzo Venezuela Comitán Escuadron 0 Tapachula 8 de agosto Primero de marzo Flavio A. Paniagua 5 de frebero Ma. Adelina Flores Guadalupe Victoria zocalo Banamex Real de Guadalupe Diego de Mazariegos Francisco I. Madero Dr. José F. Flores Francisco León Templo y Arco del Carmen Bellas Artes Julio M. Corzo Fuente: Sna Jolobil, S.C. Organización de tejedoras de los Altos de Chiapas. 87

188 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Lección 7: Semejanza En las dos lecciones anteriores hemos trabajado con figuras a escala y hemos hecho algunas observaciones sobre ellas, hemos visto que en las reproducciones a escala las longitudes de las partes que se corresponden son proporcionales y que los ángulos se conservan, es decir que son de la misma medida. Si tenemos dos polígonos que cumplen estas características se dice que son semejantes. Hemos visto cómo leer dibujos a escala pero no nos hemos detenido mucho a ver cómo se trazan. Cuando vemos un objeto, a veces más grande que nosotros mismos, al interior de nuestros ojos se forma una imagen semejante a él, y una situación muy parecida a la que ocurre con los rayos de luz en nuestros ojos nos permite trazar figuras semejantes. Veamos cómo es esto. Trace una recta m y en ella un segmento AB. Sobre la misma recta trace otro segmento del mismo tamaño a partir de B y en dirección contraria a A; llame C al otro extremo de ese segmento. Trace una recta k que cruce a m en A. Trace sobre k dos segmentos AD y DE del mismo tamaño. Trace las rectas BD y CE. Observe que se han formado dos triángulos, BAD y CAE. Estos dos triángulos tienen relaciones interesantes: 88

189 LECCIÓN 7 B C m A D E k CA mide el doble que BA: esto es porque así lo construimos; AE mide el doble que AD: esto es porque así lo construimos; También CE mide el doble que BD; esto no lo construimos así, pero usted puede verificar con su compás que así es; El ángulo del vértice A es parte de los dos triángulos, y por lo tanto ese ángulo es igual en los dos triángulos; Los ángulos de los vértices B y C son iguales porque BD y CE son paralelas; Los ángulos de los vértices D y E son iguales por la misma razón. En resumen, tenemos dos triángulos con lados proporcionales y ángulos iguales, entonces son dos triángulos semejantes, o bien, dos triángulos a escala uno del otro. Podemos expresar esta semejanza de las siguientes maneras: El triángulo chico está a una escala de a del grande, o, lo que es lo mismo: Un centímetro del chico representa dos centímetros del grande, 89

190 GUÍA DE MATEMÁTICAS III la constante de proporcionalidad es un medio, el triángulo chico es una reducción del grande. El triángulo grande está a una escala de a del chico, o, lo que es lo mismo: un centímetro del grande representa medio centímetro del chico, la constante de proporcionalidad es dos, el triángulo grande es una ampliación del chico. Dibuje ahora un triángulo FGH, elija un punto P fuera del triángulo, y trace desde P las semi-rectas r, s, t que pasan por F, G y H. En r trace un t segmento FI del mismo tamaño que PF, en s K trace un segmento GJ del mismo tamaño que H G P PG, en t trace un F I segmento HK del mismo tamaño que PH, todos ellos en dirección contraria a P. J s r Una con segmentos los puntos I, J y K. Ahora ha formado un triángulo IJK semejante a FGH, en escala a, y el triángulo IJK es una ampliación de FGH. Este método para trazar figuras semejantes o a escala se puede usar con otras figuras y con otras constantes de proporcionalidad. Veamos cómo reducir un trapecio a uno en escala de a con respecto al grande. 90

191 LECCIÓN 7 Trace un trapecio ABCD, elija un punto Q fuera del trapecio, y desde Q trace las semi-rectas a, b, c, d que pasen respectivamente por A, B, C y D. d D E H C Q G F Mida los segmentos QA, QB, QC, QD, calcule la tercera parte de cada uno de a c ellos y márquela en la recta correspondiente a partir de Q; llame E, F, G y H a los puntos que obtiene. A B b Una con segmentos y en ese orden los puntos E, F, G y H. El polígono EFGH es una reducción en una escala de a del trapecio inicial. Ejercicio a) Trace un hexágono regular y dibuje una ampliación en una escala de a y una reducción en una escala de a. b) Trace un triángulo equilátero y dibuje una ampliación en una escala de a. 9

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193 Unidad IV Estadística y probabilidad 9

194 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Lección 8: Utilidad de la estadística Siempre que hay interés por conocer cierta información, esa información necesariamente se refiere a personas, animales, instituciones, cosas, etc. Supongamos que alguien nos dice que le interesa tener información sobre la "edad", seguramente le preguntaríamos sobre la edad de quiénes o de qué cosas tiene interés en conocer; podría ser la edad de personas en cuyo caso interesaría saber de cuáles, o podría ser la edad de zonas arqueológicas, de edificios de alguna ciudad, o de los animales de un zoológico, etc. De hecho no tiene sentido referirse a una característica de interés sin decir en quiénes o en qué cosas nos interesa observar esa característica. Algunas veces podemos conocer la información referente a todos los sujetos o cosas específicas que nos interesen, por ejemplo cada diez años, cuando se realiza el censo general de población, se conocen varias características de todos y cada uno de los habitantes del país. En este caso se dice que se tiene la información de toda la población. Sin embargo, en la mayoría de las ocasiones es muy difícil o imposible conocer la información de todos y cada uno de los sujetos que nos interesan, en estos casos se observa la 9

195 LECCIÓN 8 característica de interés sólo en una parte de la población; lo que se obtiene de este modo es una muestra. Por ejemplo, durante las elecciones se hacen los sondeos de salida de casilla, que permiten estimar con buenas aproximaciones los resultados de la elección aún mucho antes del conteo de todos los votos. Estos sondeos consisten en preguntarles a algunas personas que acaban de votar por cuál candidato votaron; la información que se registra en cada caso no es cómo votó cada individuo, sino cuántas personas votaron por cada candidato. Cuando se hace el sondeo se trabaja con una muestra, ya que sólo se conoce el voto de algunos de los votantes. Cuando se tiene el recuento de todos los votos se trabaja con toda la población. En ambos casos nos podemos referir a poblaciones y muestras distintas. Por ejemplo si hablamos de resultados a nivel nacional nos referimos al voto de todos los votantes del país, y esa es nuestra población; pero si nos interesan los resultados de una región, un estado, una ciudad o un municipio, entonces las poblaciones respectivas serán todos los votantes de esa región, de ese estado, ciudad o municipio; y las muestras consideradas para predecir resultados deberán tomarse en cada caso de una parte de esas poblaciones. Además de permitir la organización de la información, la estadística aporta técnicas que nos indican cómo seleccionar una parte de la población que nos interesa, para obtener una muestra a partir de la cual se puedan sacar ciertas conclusiones sobre la población. 95

196 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Hasta aquí nos hemos referido a dos aspectos importantes: a una (o varias) característica(s) de interés y a los sujetos o cosas sobre los que se quiere conocer esa característica. La forma de conocer aquello que nos interesa es variada, por ejemplo si nos interesara conocer la estatura de los niños que entran a primer grado en una escuela, usaríamos una cinta métrica o una regla; si nos interesara conocer la opinión de las personas sobre un cierto suceso, se lo preguntaríamos, si nos interesara saber qué tipos de árboles hay en un parque podríamos ir y observar cada uno de ellos. Aunque la forma de llevar a cabo la obtención de la información sea distinta, nos referimos a este proceso como "proceso de medición de la variable" y a los resultados obtenidos en ese proceso como a "los valores de la variable". Cada vez que midiéramos la estatura de un niño, obtendríamos un valor de la variable estatura; cada vez que una persona nos dijera lo que piensa sobre el suceso en cuestión, obtendríamos un valor de la variable opinión; cada vez que conociéramos a qué clase pertenece un árbol, obtendríamos un valor de la variable clase de árbol. Cuando hemos recolectado toda la información, tenemos colecciones de datos que pueden ser pequeñas o muy grandes. En los cursos de primero y segundo grado usted vio algunas formas estadísticas de ordenar y de describir la información de modo que pueda visualizarse fácilmente, en tablas y gráficas. A modo de repaso vamos a revisar las gráficas que usted vio en cursos anteriores. Para ello veremos un ejemplo: Un asesor de matemáticas que apoyó a un grupo de estudiantes inscritos en el programa de secundaria 96

197 LECCIÓN 8 del INEA, aplicó un examen sobre los contenidos de los cursos de modo que cada alumno pudiera valorar su preparación para el examen formal. En la siguiente tabla se presenta la información correspondiente a los alumnos que estaban preparando el examen de tercer grado. En ella aparecen los datos registrados al considerar las siguientes variables: Tiempo en minutos que tardó cada alumno en resolver el examen; Sexo de cada alumno: 0 para femenino y para masculino; Opinión de cada estudiante respecto al nivel de dificultad del examen: fácil, regular y difícil; Evaluación que hizo el asesor del examen de cada alumno: MB (muy bien), B (bien), R (regular) y M (malo). 97

198 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Estudiante tiempo sexo opinión evaluación 05 R 7 MB 85 B 96 0 B R 6 95 R MB B 9 80 B 0 65 B 80 0 R 95 MB 06 0 B 80 0 B 5 95 M 6 0 R 7 95 MB 8 85 B 9 00 B MB 98

199 LECCIÓN 8 Con los datos de la tabla podemos construir tabla de frecuencias y frecuencias relativas, y distintas gráficas. Veamos por ejemplo la tabla y gráfica de la variable opinión. Tabla de frecuencias y frecuencias relativas Valor (fácil) (regular) (difícil) Frecuencia 5 0 Frecuencia relativa 5 = 0.5 = 5% = 0.5 = 5% = 0.0 = 0% Total 0 = = 00% La gráfica de barras de la derecha muestra la distribución de las frecuencias correspondientes a los valores de la variable opinión. 0 0 Usted vio cómo realizar este tipo de gráficas en la lección 0 Frecuencia 0 del primer curso y en la lección 8 0 del segundo curso de esta serie. Recuerde que para trazar una gráfica de barras se 6 0 consideran dos ejes. En el horizontal se colocan los valores de la variable y en el vertical los valores de las frecuencias. A partir de cada valor de la variable levantamos una barra cuya altura coincida con el valor de la frecuencia correspondiente. Opinión 99

200 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Si en lugar de la distribución de frecuencias queremos una gráfica que muestre la relación entre los valores y sus frecuencias relativas correspondientes, procedemos de forma similar sólo que ahora en el eje vertical ubicaremos los valores de frecuencias relativas, cuidando la escala. Frecuencia relativa Este tipo de gráficas nos permite 60% comparar entre sí informaciones 55% provenientes de conjuntos de 50% 5% datos con diferente cantidad 0% de datos cada uno: la frecuencia 5% 0% relativa o porcentaje da una 5% medida común del total. Usted 0% vio cómo realizar este tipo de 5% 0% gráficas en la lección 0 del 5% Opinión 0% segundo curso. 0% Otra forma de presentar la misma información es usando una gráfica circular o de pastel. Aquí se 5% considera el círculo como el total y se hace una repartición proporcional (como las estudiadas en la lección 6 de este libro) de los 60º del círculo en sectores proporcionales a la frecuencia o a la frecuencia relativa. Este tipo de gráficas se 5% estudiaron en la lección 0 del primer curso. Sea cual sea la manera de presentar gráficamente la información, lo más importante de una gráfica es su aspecto visual: debe permitir apreciar de un solo golpe de mirada los aspectos más relevantes de los datos. Por ejemplo, en cualquiera 00

201 LECCIÓN 8 de estas tres gráficas podemos apreciar que hubo más alumnos que tuvieron la opinión "" que alumnos con las otras opiniones. Es decir, la opinión más frecuente entre estos alumnos fue que el nivel de dificultad examen fue "regular". En general las gráficas no permiten conocer con precisión los números a los que hacen referencia; por ejemplo, al ver la gráfica de barras de frecuencias relativas podemos tener la duda de si la frecuencia relativa correspondiente a la opinión (difícil) es 0% exactamente o si es un porcentaje cercano a 0%; en este sentido es mejor utilizar una tabla de frecuencias relativas, porque ahí sí aparecen los números con precisión. Pero lo que se gana con una gráfica es la imagen global, que permite apreciar, aunque sea sin precisión, las relaciones más importantes entre las frecuencias o las frecuencias relativas correspondientes a cada valor de la variable. Ejercicio Construya la gráfica de barras de frecuencias para los datos de las siguientes variables y mencione algún aspecto relevante de las relaciones entre esas frecuencias que se pueda percibir al ver la gráfica: a) Sexo b) Evaluación Ejercicio Construya las gráficas de barras de frecuencias relativas para los datos de las siguientes variables y diga algún aspecto relevante 0

202 GUÍA DE MATEMÁTICAS III de las relaciones entre esas frecuencias relativas que se pueda percibir al ver la gráfica: a) Sexo b) Evaluación Ejercicio Construya las gráficas circulares de las frecuencias relativas de las siguientes variables, y refiérase a algún aspecto relevante de las relaciones entre esas frecuencias relativas que se pueda percibir al ver la gráfica: a) Sexo b) Evaluación 0

203 LECCIÓN 9 Lección 9: Histogramas En las lecciones anteriores representamos gráficamente algunos conjuntos de valores, ya sea con gráficas de barras o con gráficas circulares. Sin embargo con las variables numéricas continuas, estas formas de representación no son útiles, debido al tipo de valores que se presentan. Al hablar de variables numéricas continuas nos referimos a aquellas que pueden tener entre sus valores cualquier número racional, por ejemplo si midiéramos en metros la estatura de personas adultas podríamos encontrar valores como.58,.7,.60,.5,.7,.80, etc.; algo similar ocurre con el peso, en este caso los valores que podríamos encontrar en personas adultas al medir su peso en kilogramos serían como 60, 57.00, 50, 8.500, etc. Cuando en la práctica tenemos que hacer mediciones de esta naturaleza nos encontramos que la gran mayoría de ellas son distintas y las mediciones iguales se repiten muy pocas veces, entonces la frecuencia con que aparece cada valor es o un número muy pequeño. Además, como los valores varían mucho y debemos respetar la unidad de medida, necesitaríamos una gráfica muy larga y de barritas muy pequeñas que sería más difícil de leer que la misma colección de datos. Veamos un ejemplo: 0

204 GUÍA DE MATEMÁTICAS III En un grupo de 0 jóvenes de 8 a 0 años de una colonia del Distrito Federal, se midió la estatura y se obtuvieron los datos que se presentan a continuación, ordenados de menor a mayor:

205 LECCIÓN 9 Al calcular las frecuencias podemos observar que los únicos valores que tienen frecuencias distintas de son:.6 y.7, que tienen frecuencias iguales a, y.65,.70 y.75, que tienen frecuencias iguales a. La gráfica de barras correspondiente a estos datos es la que se muestra aquí. Frecuencia 0 Estatura Considerando que la finalidad de una gráfica es permitirnos visualizar, fácilmente, el conjunto de datos y percibir las relaciones entre valores y frecuencias, es claro que esta gráfica no cumple con su objetivo. Aún puede ser más complicado tratar de leer una gráfica circular que contenga estos datos: Para poder construir una gráfica que realmente aporte información, se agrupan los valores en intervalos, esto es consideramos juntos los valores que pertenecen a un mismo intervalo. Por ejemplo, si nos referimos a los valores que son mayores que.0 y menores o iguales.50, estamos hablando de los dos primeros valores de la lista..7 05

206 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Veamos como construir una tabla de frecuencias para valores agrupados en intervalos (que también se denominan clases). Primero tenemos que decidir cuáles serán los intervalos, es decir, dónde empieza y termina cada uno de ellos; aquí hay que tener en cuenta lo siguiente: Todos los intervalos deben tener la misma longitud, esto es las distancias entre los extremos de los intervalos deben ser las mismas en todos. Cada valor debe pertenecer sólo a un intervalo. Esto significa que ningún dato debe quedar fuera de la agrupación y que ningún dato puede pertenecer a dos intervalos distintos. Para que nos quede cómodo nosotros vamos a agrupar los datos de diez en diez centímetros: de.0 a.50, de.50 a.60,.60 a.70, y así sucesivamente. Como las expresiones anteriores no nos dicen dónde ubicar algunos números, como por ejemplo el.70; recurrimos a los intervalos semiabiertos que usted estudió en la lección de este libro. Vamos a usar intervalos abiertos por la izquierda y cerrados por la derecha, por ejemplo el intervalo (.0,.50]; como ya sabemos en este intervalo están todos los números mayores que.0 y menores o iguales a.50. De los datos que nosotros tenemos los que pertenecen al intervalo anterior son. y.9; sabemos también que.70 está dentro del intervalo (.60,.70]. Para calcular la frecuencia de cada intervalo contamos cuántos datos de los que tenemos pertenecen a ese intervalo. A continuación reproducimos la lista original de datos, pero ahora ponemos en columnas distintas los datos que pertenecen a distintos intervalos: 06

207 LECCIÓN Veamos entonces cómo queda nuestra tabla de frecuencias: Intervalo o clase Frecuencia Frecuencia relativa (.0,.50] 0.07 = 7% (.50,.60] = 7% (.60,.70] 0 0. = % (.70,.80] 0 0. = % (.80,.90] 0.0 = 0% Totales 0 = 00% A partir de la tabla de frecuencias construimos la siguiente gráfica: 07

208 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Frecuencia Estatura Una gráfica como ésta recibe el nombre de histograma. Puede observar que una vez establecidas las clases (o intervalos) el proceso de construcción es similar al de las gráficas de barras. La diferencia en el dibujo está en la posición de las barras: en el histograma las barras están pegadas, cada una comienza donde acaba la anterior, mientras que en las quehabíamos elaborado anteriormente las barras van separadas unas de otras. Con una gráfica de esta naturaleza es claro que perdemos la información de sobre los valores individuales, ya no sabemos cuáles fueron los valores obtenidos al medir la estatura de cada joven, pero ganamos en información global. Por ejemplo, una simple ojeada a la gráfica basta para detectar que la gran mayoría de los jóvenes midieron entre.60 m y.80 m. Así como se construyó el histograma de frecuencias, también puede construirse el histograma de frecuencias relativas. Frecuencia relativa 5% 0% 5% 0% 5% 0% 5% Estatura 08

209 LECCIÓN 9 Ejercicio Considere los datos de la variable tiempo de la tabla de datos de la lección anterior y complete la siguiente tabla: clase (60, 70] Frecuencia Frecuencia relativa (70, 80] (80, 90] (90, 00] (00, 0] Totales Ejercicio A partir de la tabla anterior, construya: a) Un histograma de frecuencias. b) Un histograma de frecuencias relativas. 09

210 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Ejercicio Se les preguntó a los obreros de una fábrica cuánto tiempo empleaban para trasladarse desde su domicilio al lugar de trabajo. Con los datos obtenidos se construyó la tabla que se muestra a continuación. clase Frecuencia Frecuencia relativa [5, 55) 0.0 [55, 65) 6 0. [65, 75) 6 0. [75, 85) [85, 95) 0. [95, 05) 0 0 [05, 5) 0.0 Totales 50 Con los datos de la tabla construya: a) Un histograma de frecuencias. b) Un histograma de frecuencias relativas. 0

211 LECCIÓN 9 Ejercicio Con base en la información de la tabla anterior conteste las siguientes preguntas: a) Cuántos obreros fueron consultados? b) Cuántos obreros emplean entre 65 y 75 minutos en trasladarse de su domicilio al lugar de trabajo? c) Cuántos obreros emplean entre 55 y 75 minutos en trasladarse de su domicilio al lugar de trabajo? d) Cuántos obreros emplean entre 95 y 05 minutos en trasladarse de su domicilio al lugar de trabajo? e) Cuántos obreros emplean más de 85 minutos en trasladarse de su domicilio al lugar de trabajo? f) Cuántos obreros emplean menos de 75 minutos en trasladarse de su domicilio al lugar de trabajo?

212 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Lección 0: Medidas descriptivas de un conjunto de datos Cuando se recolecta información generalmente se pretende sacar de ella algún tipo de conclusión, a través de uno o varios indicadores que permitan resumir o dar un panorama general de lo que la información aporta. Hasta ahora hemos visto cómo describir un conjunto de datos a través de tablas y de gráficas, pero muchas veces se hace a través de números o de valores de la variable que se estudia. A estas maneras de resumir la información se les llama medidas descriptivas. Entre las medidas descriptivas se encuentran la moda, que es el valor de la variable que se presenta con mayor frecuencia, y la media, que es el promedio de los datos; también se usan mucho los porcentajes para referirse a algunas informaciones estadísticas. Ahora revisaremos estas nociones. Para ver cómo se obtiene la moda, consideremos la gráfica de frecuencias de los valores correspondientes a la variables opinión, presentada en la lección 8 de este libro. Recuerde que opinión, es la opinión de cada estudiante con respecto al nivel de dificultad del examen y sus valores son = fácil, = regular y = difícil.

213 LECCIÓN 0 En esta gráfica vemos que el valor de mayor frecuencia es = regular, es decir, el valor que más se repite en el conjunto de datos es = regular. Decimos que "regular" es la moda de este conjunto de datos. Frecuencia Opinión Llamamos moda de un conjunto de datos al valor de la variable que se presenta con mayor frecuencia, el que se repite más veces. Hay conjuntos de datos que tienen más de una moda. Esta medida describe al conjunto de datos en la siguiente manera: al decir que la moda es "regular" estamos diciendo que la opinión que más personas atrajo, en la que más se concentraron las apreciaciones, en la que más personas están de acuerdo, es que el examen es de una dificultad regular. Cuidado! No fue la mayoría la que opinó eso, porque el total de estudiantes es 0 y sólo 9 tienen esa opinión: para que fueran mayoría se necesitaría que fueran más de la mitad, o sea ó más. Observe que aquí no podemos hablar de promedio porque necesitaríamos poder sumar y en la variable opinión los números son sólo etiquetas o códigos para no escribir completas las palabras fácil, regular y difícil. Para trabajar con la media o promedio se necesita que la medición de la característica de interés sea numérica. Veamos ahora un ejemplo del cálculo del promedio. Toño se está entrenando para correr los 00 metros planos en una competencia latinoamericana; esta semana hizo los siguientes tiempos:

214 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Lunes:.5 seg, Martes: 5. seg, Miércoles: 0.8 seg, Jueves:. seg, y Viernes: 0. seg. El tiempo promedio de esta semana en el entrenamiento de Toño fue de: =.0 seg 5

215 LECCIÓN 0 Ningún día de la semana hizo Toño un tiempo de.0 seg. en la carrera, pero el promedio es la suma del tiempo de cada día entre el número de días y lo que nos dice es que si todos los días hubiera hecho el mismo tiempo en la carrera ese tiempo hubiera sido de.0 seg. La media o promedio hace una distribución pareja y se usa mucho para comparar los datos individuales o por grupos con lo que se tendría si la distribución fuera equitativa. Veamos más ejemplos. Los sueldos mensuales en una oficina son los siguientes: el director gana $5 000, los dos jefes de departamento $ 000, los tres analistas de cada departamento $7 000, la secretaria $ 500 y el mensajero $ 500. El sueldo promedio en esa oficina es: (000)0 + 6(7000) = Observe que en esa oficina personas ganan muy por encima del sueldo promedio, 6 personas ganan un poco por encima del sueldo promedio y personas ganan muy por debajo del sueldo promedio. Lo que nos dice el promedio es que si con el mismo presupuesto todos ganaran lo mismo, cada uno ganaría $ Otra situación muy frecuente de uso de promedio se da cuando se quiere describir la velocidad con la que un móvil recorrió cierta distancia. Cuando decimos que José viajó a Guadalajara a un promedio de 90 Km por hora esto no significa que cada hora haya recorrido exactamente 90 Km, sino que se divide el total de kilómetros recorridos entre el total del tiempo 5

216 GUÍA DE MATEMÁTICAS III en horas y se obtiene la velocidad constante a la que se tendría que haber viajado para hacer el viaje en ese tiempo: esto permite describir globalmente la velocidad de traslado. Al final del ciclo escolar un maestro debe concluir si un alumno tiene o no los elementos necesarios para cursar el siguiente grado; para llegar a esa conclusión cuenta con la información que fue registrando de uno u otro modo a lo largo del curso. Es decir que el resultado final de un curso es para cada alumno una síntesis de los resultados que fue teniendo a lo largo del ciclo escolar. Muchas veces el resultado final es el promedio de las calificaciones obtenidas, aunque éstas no hayan sido todas iguales. Los porcentajes son especialmente útiles para describir un conjunto de datos. Regresemos un poco a la opinión sobre el examen de la que hablamos antes. Ya vimos que en ese conjunto de datos la moda es "regular", puesto que 9 estudiantes opinaron que la dificultad del examen era regular y ninguna otra opinión atrajo más estudiantes que 9; pero esos 9 son pocos o muchos? Eso depende del total de estudiantes; en este ejemplo tenemos que son 9 de 0 estudiantes, y lo podemos expresar como = 0.5 =. Con estas operaciones estamos diciendo, de 00 varias maneras cuántos estudiantes y de un total de cuántos tuvieron esa opinión. Según la primera manera lo estamos diciendo como son, o sea nueve vigésimas partes del total. Según la segunda, estamos considerando el total como una unidad, y entonces tenemos son 5 centésimos de esa unidad. Según la tercera, estamos diciendo que si el total fueran cien, 5 de ellos tendrían esa opinión. Esta última expresión también 6

217 LECCIÓN 0 se puede leer como 5 de cada 00 o como 5 por ciento, es decir 5%. En todos los casos estamos diciendo que son un poco menos de la mitad. Los porcentajes, frecuencias relativas o proporciones nos permiten describir la distribución de un conjunto de datos relativizando al total. Así, 9 de 0, o 5%, es mucho más que 9 de 00, que serían.5%, y que 9 de 000, que serían 0.5%. Veamos ahora cómo estas tres medidas descriptivas nos permiten tener una idea global de un conjunto de datos y compararlo con otro. Dos maestros de estadística del sistema escolarizado de la Universidad Pedagógica realizaron una encuesta en los grupos que atienden del primer curso para conocer mejor a esta población. Entre lo que les interesaba de los alumnos estaba el ambiente familiar en relación a los estudios. Sobre esto se preguntó el número de años de escolaridad de ambos padres y del hermano mayor; a partir de esta información se construyó una variable de escolaridad familiar (calculada como la media de las tres precedentes). Se preguntó también sobre la ocupación de los padres y el gusto por las fiestas de cada estudiante. Los datos de dos de los grupos se presentan en las tablas de las siguientes páginas. En estas tablas se usaron los siguientes códigos: Ocupación de la madre (y del padre): = Gerente o, dueña(o) de empresa = Empleada(o) = Obrera(o) 7

218 GUÍA DE MATEMÁTICAS III = Ama de casa 5 = Desempleada(o) 6 = Trabajador(a) por su cuenta 7 = Campesina(o) 8 = Finada(o) 9 = Otra Gusto por las fiestas: = nada = poco = regular = mucho Grupo A Alumno Ocupación Años de escolaridad Madre Padre Madre Padre Hermano Mayor Escolaridad familiar Gusto por las fiestas

219 LECCIÓN 0 Grupo B Alumno Ocupación Años de escolaridad Madre Padre Madre Padre Hermano Mayor Escolaridad familiar Gusto por las fiestas

220 GUÍA DE MATEMÁTICAS III A continuación se presentan las tablas de frecuencias y frecuencias relativas de la ocupación de la madre en ambos grupos y las respectivas gráficas de pastel. Ocupación de la madre. Grupo A. Ocupación Frecuencia Frecuencia Relativa 0. = % 0.78 = 78% = 6% = 6% Ama de casa 78% Trabaja por su cuenta 6% Finada 6% Empleada % Total 8 = 00% Ocupación de la madre. Grupo B. Ocupación Frecuencia Frecuencia Relativa = 9% = 58% = % Ama de casa 58% Desempleada % Trabaja por su cuenta 9% = 9% Empleada 9% Total 6 = 00% 0

221 LECCIÓN 0 Es pertinente hacer varias observaciones a propósito de estas tablas y gráficas. Aunque en ambos grupos la moda de la ocupación de la madre es ama de casa, esta ocupación la tiene en el grupo A el 78% de las madres mientras que en el grupo B la tiene el 58%. Esto significa que en el grupo A predominan más las amas de casa que en el grupo B. Observe que esto ocurre a pesar de que hay más amas de casa en el grupo B (son 5) que en el A (donde son sólo ): esto es porque de 8 son una proporción mucho mayor que 5 de 6.

222 GUÍA DE MATEMÁTICAS III En ambos grupos ocurren valores con frecuencia de : en el grupo A una persona declaró que su madre trabaja por su cuenta y otra persona declaró que su madre es finada, mientras que en el grupo B un estudiante declaró que su madre está desempleada (lo que significa que usualmente tiene un trabajo remunerado adicionalmente a ser ama de casa). Sin embargo, en las gráficas de pastel las "rebanadas" correspondientes a estos valores son distintas: son más grandes las "rebanadas" correspondientes a los valores con frecuencia igual a en el grupo A que en el grupo B. Esto se debe a que, como el total de los estudiantes en el grupo A es de 8 y en el grupo B es de 6, una persona en el grupo A es un 6%, mientras que en el grupo B una persona es sólo un %. En las tablas se han redondeado las frecuencias relativas a dos decimales por lo que en la tabla del grupo A aparece en los renglones de las ocupaciones 6 y 8 una frecuencia relativa de 0.06 = 6%. En realidad, y 0.06 es sólo un redondeo de ; algo análogo ocurre en los demás renglones. Así, la suma de las frecuencias relativas y los porcentajes que ahí se registran son.0 = 0%; si se hubiera redondeado a tres decimales se tendría = 56% y la suma sería.00 = 00.%; como estas diferencias se deben al redondeo de los decimales no se registra en la tabla una suma distinta de = 00%. Ejercicio a) Haga la tabla de frecuencias y frecuencias relativas de ocupación del padre para los dos grupos. b) Haga la gráfica de barras de porcentajes de ocupación del padre para los dos grupos.

223 LECCIÓN 0 c) Qué porcentaje de los padres del grupo A es campesino? d) De cuántos de los padres del grupo B desconocemos la ocupación? Ejercicio Haga la gráfica de pastel de la distribución de porcentajes de gusto por las fiestas de los dos grupos. Para ello, haga la tabla de frecuencias, frecuencias relativas y porcentajes y calcule el ángulo para la gráfica. Anote en la gráfica cada categoría, el ángulo correspondiente y el porcentaje.

224 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Ejercicio a) Encuentre la moda de años de escolaridad de la madre, del padre y del hermano mayor de los estudiantes de ambos grupos. b) Compare las modas de años de escolaridad de la madre, del padre y del hermano mayor de los estudiantes del grupo A y ordénelas de menor a mayor. c) Encuentre el promedio de años de escolaridad de la madre, del padre y del hermano mayor de los estudiantes de ambos grupos. d) Compare los promedios de años de escolaridad de la madre, del padre y del hermano mayor de los estudiantes del grupo B y ordénelos de menor a mayor. Ejercicio a) Encuentre la moda de las escolaridades familiares de ambos grupos y compárelas. b) Encuentre el promedio de las escolaridades familiares de ambos grupos y compárelos.

225 LECCIÓN Lección : Probabilidad En el curso anterior usted estudió ciertos conceptos básicos de probabilidad y cómo calcular algunos valores de probabilidad a partir del conteo de los casos favorables y los casos posibles. Esta forma de calcular probabilidades se conoce con el nombre de Probabilidad clásica y es muy útil cuando todos los valores elementales tienen la misma probabilidad de ocurrencia. Sin embargo, hay fenómenos aleatorios cuyos eventos elementales no son equiprobables, es decir en los que no todos los eventos tienen la misma probabilidad de ocurrir, sino que es más fácil que ocurran unos eventos que otros. Por ejemplo si tiramos un dado cargado, una cara va a quedar más fácilmente hacia arriba que las otras. Cuando se tiene un fenómeno aleatorio, una forma de valorar la probabilidad de algún evento o de verificar si todos los eventos elementales son equiprobables, es a través de la experimentación. Esto significa que se observa muchísimas veces el fenómeno y de acuerdo a los resultados que se obtienen se estima el valor de la probabilidad de los eventos, esto es, se obtiene un valor aproximado de la probabilidad. Nosotros sabemos que un valor de probabilidad adquiere sentido si pensamos en lo que ocurriría con ese fenómeno a la 5

226 GUÍA DE MATEMÁTICAS III larga; por ejemplo decimos que la probabilidad de obtener "águila" al tirar una moneda es 50%, esto significa que en una serie muy larga de tiros aproximadamente la mitad de los resultados serán águila, pero no debemos pensar que esta proporción de águilas se dé en 0, 0, 50 o 00 tiros. Considerando lo anterior, es claro que para poder hacer una estimación de probabilidades basándonos en los resultados obtenidos, sea necesario repetir muchísimas veces el experimento. La mejor forma de entender lo que estamos diciendo es haciéndolo, por lo que le propondremos que realice un experimento. Pero antes es necesario hacer algunas consideraciones sobre la forma de registrar lo que se va observando. Supongamos que queremos estimar la probabilidad de obtener 5, al arrojar un dado. Si el dado estuviera muy bien hecho, las seis caras tendrían la misma probabilidad de quedar hacia arriba y podríamos usar la probabilidad clásica; así llegaríamos a la conclusión de que el valor buscado es. 6 6

227 LECCIÓN Esto significa que a la larga aproximadamente la sexta parte de las veces que tiremos el dado, obtendríamos 5 en la cara superior. Para registrar los resultados usaremos una tabla como la siguiente: Tiros Número de tiros en total (n) Cantidad de caras con el número 5 en los últimos 0 tiros Cantidad de caras con el número 5 en todos los tiros realizados (f) Proporción de 5 en todos los tiros realizados ( f ) n al 0 0 a a a 0 al 0 0 b a + b a+b 0 0 al 0 0 c a + b + c a+b+c 0 La manera de llenar la tabla es la siguiente: En la primera columna de la tabla registramos los tiros de 0 en 0; en la segunda anotamos la cantidad de tiros que llevamos, contando los que acabamos de hacer y los anteriores; la tercera columna anotamos la cantidad de caras con el número 5 obtenidas en la última decena de tiros; en la cuarta la cantidad de caras con el número 5 que llevamos hasta ese momento; en la quinta columna anotamos la proporción de caras con el número 5 obtenidas hasta ese momento. 7

228 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Observe que la cantidad de caras con el número 5 es la frecuencia, f, con la que se presentó este resultado en un número, al que podemos llamar n, de observaciones realizadas; es decir que la proporción es lo mismo que la frecuencia relativa. Aún sin hacer el experimento podemos afirmar que al avanzar en el número de tiros, las diferencias entre las frecuencias relativas de dos renglones seguidos, se irán haciendo cada vez más pequeñas. Cuando los cambios entre las frecuencias relativas de tres o más renglones consecutivos sean muy pequeños, podemos decir que hemos encontrado un valor aproximado de la probabilidad de ocurrencia del 5, es decir, de la probabilidad con la que queda hacia arriba la cara del dado que tiene el número 5. Entonces: Si se realiza un experimento aleatorio n veces, con n suficientemente grande, y la frecuencia del evento A es f, podemos afirmar que la probabilidad del evento A, es aproximadamente igual al valor de la frecuencia relativa de A. Esto lo escribimos así: P (A) f n A esta forma de calcular la probabilidad se la denomina Probabilidad frecuencial. Con esta definición nosotros podemos estimar a partir de la frecuencia relativa, la probabilidad de que se presenten determinados valores de una variable cualquiera. Por ejemplo, supongamos que nos interesara saber cuál es la probabilidad de que un programa de televisión determinado 8

229 LECCIÓN resulte muy interesante para los jóvenes de cierta ciudad y que al consultarlos se hayan obtenido los valores que se presentan en la siguiente tabla: Valores Frecuencia Frecuencia relativa Nada interesante. Poco interesante. Interesante 75 Bastante interesante 65 Muy interesante Totales 00 Con los valores obtenidos podemos decir que la probabilidad de que un joven de esa ciudad encuentre muy interesante ese programa de televisión es aproximadamente = 0.07 o 7%. Esto nos permite esperar que en grupo grande de jóvenes de esa ciudad, 7 de cada 00 consideren el programa muy interesante. 00 Ejercicio Para realizar este experimento debe conseguir un dado. a) Para estimar la probabilidad de obtener un 5 al tirar su dado, realice 00 tiros y registre los resultados en una tabla como se mostró. (En lugar de tirar 00 veces el dado 9

230 GUÍA DE MATEMÁTICAS III puede conseguir 0 dados iguales, arrojarlos todos juntos y considerar que el número de cincos que salieron corresponden cada vez a 0 tiros). b) Puede considerar que el dado está bien hecho? Ejercicio Complete la tabla del ejemplo acerca del programa de televisión y responda las siguientes preguntas. a) Cuál es la probabilidad de que un joven de esa ciudad encuentre poco interesante ese programa de televisión? b) Cuál es la probabilidad de que un joven de esa ciudad encuentre bastante interesante ese programa de televisión? c) Cuál es la probabilidad de que un joven de esa ciudad encuentre ese programa de televisión por lo menos interesante? d) Qué es más probable, que un joven de esa ciudad encuentre ese programa poco interesante o que lo encuentre bastante interesante? 0

231 LECCIÓN

232

233 RESPUESTAS Respuestas a los ejercicios

234 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Lección Ejercicio a) El número de cifras decimales puede variar de calculadora a calculadora. 5 = ; 7 =.6575; =.56; = b) c) = 0.75; = 0.8; = 0.8; 7 7 = 0.857; = 0.; = 0.578; = 0.. Ejercicio a) 0.56; b).; c) ; d).5; e) 7.000; f) 5.65; g) ; h) Ejercicio 5.606; ;.;.705. Ejercicio a) 0.57; b).; c)897.68; d).6; e) 7.000; f) 5.65; g) ; h) Son iguales los incisos b), e), f) y g). Son distintos los incisos a), c), d) y h). Ejercicio ; ;.;.705. Sólo difiere la primera. Lección Ejercicio a).5678 x 0 ; b).5690 x 0 ; c).508 x 0;

235 RESPUESTAS d).0 x 0 6 ; e).6 x 0; f).689 x 0 6 ; g) x 0 9 ; h).999 x 0. Ejercicio a) 00; b) ; c) 5.0; d) ; e) 6000; f) 00000; g) 580; h).. Ejercicio a). x 0 ; b) 6.75 x 0 ; c) 5 x 0 ; d). x 0 5 ; e) 5.6 x 0 ; f) 9.7 x 0 ; g) 8.75 x 0 ; h).9 x 0. Ejercicio a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) 0.000; h) Ejercicio 5 a) 5.77 x 0 ; b) 8.5 x 0 ; c) 0.78 x 0 5 ; d) 6. x 0 ; e) 0.6 x 0 ; f).6 x 0 ; g).5 x 0 8 h).. Ejercicio 6 a) 88.; b) 57.; c) 56.88; d) 0; e) ; f) Lección Ejercicio a).098 >.567; b) π <.9; c).67 <.5; d).97 >.098; 5

236 GUÍA DE MATEMÁTICAS III e) π >.9; f) >.00; g) > ; h). > - Ejercicio a) no; b) no; c) sí; d) sí; e) sí; f) no; g) sí; h) sí, i) sí; j)no; k) sí; l) no; m) no; n) sí, o) sí; p) no; q) no; r) sí, s) no; t) no; u) sí, v) sí, w) sí; x) no. Lección Ejercicio Ejercicio a) 8.; b) 56; c) 8.; d) aproximadamente.6. Ejercicio x 6 a) x = tacos; x b) x = = minutos; x.50 c) x = = metro;.80 5 x d) x = = 5 autobuses. 6 Ejercicio 5 Cubeta Caramelos Vueltas A pagar Ejercicio La constante de proporcionalidad es 0.5 ó. Tierra Abono Ejercicio 6 La distancia entre Cuitzeotlán y Mirabampo es de 0 km. Velocidad Tiempo

237 RESPUESTAS Ejercicio 7 a)no es una tabla de variación proporcional. La relación es que mientras más días hay más células, pero no se trata de una proporcionalidad directa ya que por ejemplo en días no hay el doble de células que en días, porque 6 no es el doble de. También puede verse que los cocientes de la cantidad de células entre los respectivos días no son constantes. b) Sí es una tabla de proporcionalidad directa. La constante de proporcionalidad es 0. c) Sí es una tabla de proporcionalidad directa. La constante de proporcionalidad es. d) No es una tabla de variación proporcional. De 0 a 80 km/h el rendimiento aumenta con la velocidad, pero no de manera proporcional (por ejemplo, aunque 80 es el doble de 0, 7.5 no es el doble de 9.8), y de 80 km/h en adelante el rendimiento disminuye con la velocidad, pero no de manera proporcional inversa (por ejemplo, 80 x 7.5 = 00, mientras que 0 x. = 55). e) Sí es una tabla de variación proporcional, y es de variación proporcional inversa. A mayor largo, menor ancho, y en cualquier columna el producto del largo por el ancho es, que es la superficie que ocupa el lote de cajas. f) No es una tabla de variación proporcional. A mayor al titud menor cantidad de polvo de hornear, pero no de manera proporcional inversa (por ejemplo, 0 x = 0, mientras que 000 x = 000). 7

238 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Lección 5 Ejercicio Número % Ejercicio a) 800; b) aproximadamente; c).5; d).68 aproximadamente, e) 5; f) 00. Número 6% Ejercicio 5 Ejercicio Número % a) 5%; b) 59% aproximadamente; c) 0.% aproximadamente; d) 00%; e) 0.0%; f) 00%. 8 Número % 90 Ejercicio a) 0.0; b) 0.9; c) 9; d) 57.8; e) 9.; f) Ejercicio 6 Precio del artículo 5% de descuento Cantidad a pagar

239 RESPUESTAS Precio del artículo 5% de descuento Ejercicio 9 En.8% aproximadamente. Cantidad a pagar Precio del artículo 5% de descuento Cantidad a pagar Ejercicio 7 a) El porcentaje es el mismo por que es la misma calidad, no importa el tamaño del frasco. b)5% de 50, o sea.5 g. Ejercicio a)8.0; b)el artículo cuesta $0; con todo e IVA cuesta $.50; c) El artículo sin IVA cuesta $6; se pagó $9.5 de IVA. Lección 6 Ejercicio p = $0 y j = $00 Ejercicio a) Grado Grupos Longitud de la parcela m 0 m m Total 5 90 m b)la constante de proporcionalidad es 6 y significa la longitud de las parcelas correspondientes a cada uno de los 5 grupos. Se multiplica por el número de grupos de cada grado. 9

240 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Ejercicio Erandi recibe 6, Emilio y Julio 8. Ejercicio Ejercicio a)mide.8 m de fondo. b)cada naranja cuesta 50 centavos o sea $0.50. c)la televisión costaba $999. d)%. Lupe tiene 0 años. Lección 7 Ejercicio a) 9.65; b).; c).77; d) 0.0. Ejercicio a).67, b) aproximadamente.67; c) 99.5; d) 5 = ; 7 e) 5.796; 00 f) = Lección 8 Ejercicio a).875; b) ; c) ; d).8; 8 e) = ; 56 f).0608; g) 78; h) 0.5; i) ; 8 j) 9 =.65; 9 k) - = -0.85; 5. l) 0.6; m) 0.5; n).955; 5 o) =.565; 6 0

241 RESPUESTAS p) ; q) ; r) ; s) 7.6; t) - = Ejercicio a) 0 ; b) = ; c) 8 0 = ; d) (-) - = (- ) = ( ) ; e) 5 ; f) ( ) 6 = 6 ; g) (x) 7 ; h) z 6 ; i) w 8 = ( ) ; j) ( h) 0 = ; k) a 0 ; l) u 0. Ejercicio a) 8000; b) 0000; c) = ; d) ( ) = 6; e) 9; f) 5 + ( 6) = 89; g) 5.9; h) ; w 8 i) , j) 0 8 = 0; k) 6 z = 6 z ; l) y z ; m) c 7 d 7 ; n) g 8 ; o) r s t ; p) 5 x y ; q) 6 a b ; r) k 6 ; s) v 8 u ; t) (p + q) : ésta es la única manera de expresar el inciso t). Lección 9 Ejercicio a) es un binomio; sus términos son 67d y.ed; b) es un polinomio; sus términos son a, ab, abc y ; c) es un monomio; d) es un trinomio; sus términos son t, e y f; e) es un polinomio; sus términos son 78s, r, u, v y 87; f) es un binomio; sus términos son 5h y 5h.

242 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Ejercicio a) a b y ( a b); b) m y m; 7 nm y mn; c) no hay términos semejantes; d) no hay términos semejantes. Ejercicio a) 6x z + b) x v y 6u +0 c) hg nhg d) d e + 5f + e) 6a b f) w + z y g) a 8b h) 8 x 60 x + 50 x 5 i) t 5 + t t t + t + j) 0 Ejercicio a) 6x 5 y b) w z 5 wz + w c) x 6 x 5 x + 9 x 6 x x d) a + ab ab b e) g h f) w wv + 9v g) x 0 x y + 9x y 60 x y + 6 y h)- x + x + x 5 i) q d + 8 j) 5ert +0e 6e 6rt +e + r t +5e rt k) 0x 6 + 9x 5 +5x +55x +7x +5x l) y Lección 0 Ejercicio a) y = + x b) y + x =, y = x c) y = x d) y x =, y = + x e) y = (x +) Ejercicio a) w z 5 w z w z x y = + x w z x (-) = x (-) = - / + x (- / ) = 0 + x 0 = / + x / = 5 + x = 6 + x = 8

243 RESPUESTAS 7 c) 6 5 x y = x - (-) = (-) = - / (- / ) = / 0 0 = 0 / ( / ) = / b) = x y = - x = - - (-) = (-) = - / - (- / ) = 7/ 0-0 = / - / = 5/ - = - = d) x y = + /x - + (-) = - + (- / ) = / 5 - / +(- / ) = 7/ = / + / = 9/ +/ = 5/ - + =

244 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Ejercicio Pertenecen a una recta los puntos que cumplen las relaciones y = + x, y = x y y = + x. e) - x y =(x+) Pertenecen a una curva los puntos que cumplen las relaciones y = x, y y = (x +). - (-) = - 0 = 0 Lección - / ( / ) = / 0 = Ejercicio / ( / ) = 9/ = = 9 b) Se pueden encontrar muchas parejas de números que son solución de la ecuación. Por ejemplo, (., 7.7), (0, 0), (0, 0), etcétera c) Los demás puntos quedan en la recta d) Se puede encontrar muchas parejas de números que no son solución de la ecuación. Por ejemplo, (7, 8), (, ), ( 0, 0), etcétera.

245 RESPUESTAS e) Los puntos cuyas coordenadas no son solución de la ecuación quedan fuera de la recta. Ejercicio a) Ejercicio 6 0 a) ( ) + ( 6) = + ( 6) = ; (0) + (-) = 0 + ( ) = ; () + 0 = + 0 = ; b) Ejercicio -0 - a) (5) + 6 = = b) A = (, 8); B = (, ); C = (, ) c) -(-) + ( 8) = + ( 8) = ; () + ( ) = + ( )= ; () + = 6 + =

246 GUÍA DE MATEMÁTICAS III b) x = 5, y = x =, y = x = 9, y = 6 x =, y = x =.5, y = 0.5 x =, y =0 x =0, y =- Se pueden encontrar muchas otras parejas de soluciones. Ejercicio 5 a) b) Ejercicio 6 a) x + y = 7 b) c) Usted pudo haber encontrado distintas parejas de números. Para verificar si éstas son soluciones del problema tenga en cuenta que deben estar formadas por números en los que tanto x como y sean positivos (puesto que son longitudes) y en los que x sea mayor que y puesto que son respectivamente el largo y el ancho del terreno; es decir, y debe ser mayor que 0 y menor que 8.5, y x debe ser mayor que 8.5 y 6

247 RESPUESTAS menor que 7. Para que las parejas sean solución de la ecuación pero no del problema, ambos números deben sumar 7 pero deben no satisfacer las condiciones recién descritas. b) x =, y = Lección c) x =, y =. 0 Ejercicio 8 6 a) x =, y = d) x =, y =

248 GUÍA DE MATEMÁTICAS III e) No tiene solución f) Cada punto de la recta es solución del sistema. c) x =, y = Ejercicio a) x =, y = b) Infinitas soluciones, todos los puntos de la recta. 6 d) El sistema es inconsistente: no tiene solución

249 RESPUESTAS e) x =, y = x =, y = () + = 9 + = 0. + = x =, y = () + () = 6 + = 8. () + () = 6+ 6 =. - f) x = 5, y = x = 0, y = (0) + () =. (0) + 5 () = Ejercicio Lección Ejercicio x =, y = ( )+ = + = 8. 9 = =. Las dos rectas se cruzan en el punto (, ), que es la pareja solución que se había encontrado al analizar el ejemplo en la lección. 9

250 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Ejercicio a) x=, y = ; c) x =, y = e) x=, y = ; f) x = 5, y = En el inciso b) se tiene un sistema de infinitas soluciones. Al igualar el coeficiente de una de las incógnitas y hacer la resta quedó 0 = 0. En el inciso d) se tiene un sistema inconsistente. Al igualar uno de los coeficientes y hacer la resta se llega a una igualdad en la que cero es igual a otro número, lo cual es un resultado absurdo. Ejercicio a) x =, y = 0; b) x =, y =6; c) x =, y = ; d) x =, y = 5; 5 e) x =, y = 7; f) x =, y = Lección Ejercicio a) Si llamamos x a la cantidad de paletas chicas y y a la cantidad de paletas grandes, el sistema y la solución son: { x + y = 50 x + 5 y = 570 Solución: 90 paletas chicas y 60 paletas grandes. b) Si llamamos x a la cantidad de adultos, y y a la cantidad de niños, tenemos: { x + y = 8 0 x + 0 y = 590 Solución: 97 adultos y 5 niños. c) Si llamamos x al precio de una hamburguesa, y y al precio de cada refresco, tenemos: 50

251 RESPUESTAS { 5 x + 7 y = 09 8 x + y = 7 Solución: Una hamburguesa cuesta $ y un refresco $7. d) Si llamamos x al largo y llamamos y al ancho del rectángulo original, tenemos: { x + y = 0 ( x) + (y + 6) = 76 Solución: medidas originales: metros de largo y 8 metros de ancho; medidas del rectángulo agrandado: metros de largo y metros de ancho. e) Si llamamos x al peso de un saco de maíz, y y al peso de cada saco de frijol, tenemos: { x + y = 80 x + y = 0 Solución: Cada saco de maíz pesa 60 Kg y cada saco de frijol 80Kg. f) Si llamamos x al mayor de los números, y y al otro, tenemos: { x + y = 0 x y = Solución: Los números son 7 y. g) Si llamamos x al precio de mantenimiento de una máquina de tipo A, y y al precio de mantenimiento de una máquina de tipo B; tenemos: { 5 x + y = 05 x + 5 y = 5 Solución: el mantenimiento de las máquinas de tipo A cuesta $5 y el de las máquinas de tipo B cuesta $0. h) Si llamamos x a la edad de Pedro y y a la edad del papá, tenemos: { x + y = x = (y ) 5

252 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Solución: Pedro tiene 8 años y su papá tiene 6. b) Escala a 0 dibujo muñeca Lección 5 Ancho total del modelo cm 60 cm Ejercicio a) Altura de la muñeca Boca de la manga.5 cm 0.5 cm 90 cm 0 cm Escala a 0 dibujo muñeca Ancho del cuello cm 0 cm Ancho total del modelo 6 cm 60 cm Distancia entre los ojos 0. cm 6 cm Altura de la muñeca Boca de la manga Ancho del cuello Distancia entre los ojos 9 cm cm cm 0.6 cm 90 cm 0 cm 0 cm 6 cm Ejercicio a) m de largo por 8 m de ancho; el área es 96 m ; b) m por.5 m; c) el grande mide m por.5 m; el chico mide.5 m por m; d).5 m por 0.5 m;.5 m ; e) la que no tiene terraza, mide.75 m (la otra tiene 0 m ); f) 0.5 m; g) sí, en la pared del estudio. 5

253 RESPUESTAS Lección 6 Ejercicio realidad mapa en cm en km a) cm Ejercicio a) 9 cm; b) cm; c) 7.5 cm; d).5 cm; e).6 cm; f) 0.5 cm; g) cm; h) cm; i) cm; j) cm; k) de :; l) a cm. b) cm c).8 cm Ejercicio d) 6.6 cm e).5 cm f) cm g). cm a) 550 m; b) 60 m; c) 00 m; d).5 Km; e).6 Km; f) al sur 0 m, al este 0 m, al norte 0 m, al oeste 0 m. 5

254 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Lección 7 Ejercicio a) b) 5

255 RESPUESTAS Lección 8 Las relaciones que se anotan aquí no son necesariamente las únicas que se ven en las gráficas. Ejercicio b) Hay más alumnos con una evaluación de "bien" (B) que con los otros valores Frecuencia relativa a) Hay más hombres () que mujeres. 0 M R B MB Evaluación Frecuencia Ejercicio Sexo a) El 60% de los alumnos son hombres () y el 0% son mujeres (0). Frecuencia relativa 70% 60% 50% 0% 0% 0% 0% 0% 0 Sexo 55

256 GUÍA DE MATEMÁTICAS III b) Casi la mitad de los alumnos tuvieron una evaluación de "bien" (B) b) Casi la mitad del grupo obtuvo "B". 5% 5% Frecuencia relativa 5% 50% 0% 0% 0% 5% M R B MB 0% 0% M R B MB Evaluación Lección 9 Ejercicio Ejercicio a) El 60% de los alumnos son hombres. Clase (60, 70] Frecuencia Frecuencia relativa.5 (70, 80] 6.0 Hombres 60% Mujeres 0% (80, 90].0 (90, 00] 6.0 (00, 0].5 Totales 0 56

257 RESPUESTAS Ejercicio a) Ejercicio a) Frecuencia Frecuencia Tiempo Tiempo de transporte b) b) Frecuencia relativa 5% Frecuencia relativa 0% 0% 5% 5% 0% 0% 5% 5% 0% 0% 5% 5% Tiempo 0% 5% Tiempo de transporte Ejercicio a) 50; b) 6; c) 5; d) 0; e) ; f)

258 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Lección 0 Ejercicio Ocupación del padre Grupo B Ocupación Frecuencia Frecuencia relativa = 9% a) 0.5 = 5% Ocupación del padre Grupo A = 9% Ocupación Frecuencia Frecuencia relativa = % 0. = % 8 0. = % 0.7 = 7% = % 0. = % Total 6 = 00% = 6% = 7% Ocupación del padre Grupo A = 6% b) % = 6% = 8% 0 5 Total 8 = 00% Ocupación 58

259 RESPUESTAS Ocupación del padre Grupo B. % Ocupación Mucho 8% 00º Regular 9% 0º Nada 6% 00º Poco 8% Gusto por las fiestas. Grupo B c) 6%; d) 8. Gusto por las fiestas Frecuencia Frecuencia relativa Ángulo Ejercicio 0. = % Gusto por las fiestas. Grupo A = 9% 69 Gusto por las fiestas Frecuencia Frecuencia relativa Ángulo 0. = % = 6% = 7% = 8% 00 Total 6 = 00% = 9% 0 Nada % Total = 8% = 00% Mucho 7% 97º 68º Poco 9% 5º Regular % 59