Programa de Acceso Inclusivo, Equidad y Permanencia PAIEP U. de Santiago

Transcripción

1 Estática A Fuerzas Si sobre un cuerpo actúan solo dos fuerzas en la misma línea, y el cuerpo está en reposo o moviéndose con velocidad constante, las fuerzas son iguales pero de sentidos contrarios. Si las fuerzas son paralelas, iguales y de sentidos contrarios, el cuerpo no se traslada aceleradamente pero puede rotar (torque). Si la superficie sobre la que se arrastra un cuerpo tiene roce, entonces la fuerza de roce que aplica la superficie sobre el cuerpo es proporcional a la fuerza normal, y su sentido es contrario al sentido del movimiento (tendencia a moverse). En un diagrama de cuerpo libre, solo se consideran las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. Siempre que dos cuerpos entran en contacto, se generan dos fuerzas iguales, de la misma dirección y sentidos opuestos. Todas las vigas, apoyos, cuerdas, objetos en general están sujetos a la aceleración de gravedad a menos que el problema especifique otra condición. Las vigas o barras rígidas pueden sufrir una fuerza de compresión (tendencia a comprimirse) o tensión (tendencia a alargarse). Las cuerdas y cadenas solo pueden sufrir tensión. En resumen, las condiciones que deben cumplirse para que un cuerpo no rote ni se traslade aceleradamente son: Γ = 0 Fx = 0 Fy = 0 B Tipos de apoyo Hay apoyos que presentan 1, 2 o tres incógnitas Los que esconden una incógnita (sin ningún roce): Figura 1. Apoyo rodante. Figura 2. Apoyo en un cilindro o esfera. 1

2 Figura 3. Apoyo en una mesa, fuerza normal. Figura 4. Collarín en barra. Figura 5. Articulación entre dos barras. Figura 6. Fuerza sobre las barras horizontales en Fig.1, 2, 3, 4 y 5. Los que esconden dos incógnitas (con roce): Figura 7. Articulación en apoyo fijo. Figura 8. Barra sobre superficie. Figura 9. Barra en apoyo fijo. 2

3 Figura 10. Fuerza sobre las barras en Fig.7, 8 y 9. La que esconde tres incógnitas (con torque): Figura 11. Barra empotrada. En la Fig.11 las fuerzas sobre la barra son las mismas que en Fig.10, y además se tiene un torque por el peso de la barra. Ejercicios Resueltos 1) Tres cajas, A, B y C, de 60, 80 y 120 [kg] de peso cada una, respectivamente, están apiladas, cuando un muchacho trata de levantar la caja A jalándola hacia arriba con una fuerza de 196 [N]. Para esta condición, calcule todas las fuerzas externas que actúan sobre cada uno de los tres cuerpos. Figura 12. Cajas apiladas. R: Hay que determinar las fuerzas que actúan sobre cada uno de los cuerpos, no las que los cuerpos ejercen sobre los demás. No hay roce, por lo que para cada cuerpo solo habrá una incógnita. Sobre la caja A, se tiene su peso, P A = m A g, la fuerza que se ejerce hacia arriba, y la fuerza de B sobre A: 3

4 Figura 13. Fuerzas sobre la caja A. La fuerza N A actúa en el centro de la base del cuerpo (parte derecha de la Fig.13), pero en estos casos se ve más claramente si se traslada un poco. Las flechas (vectores) y su magnitud no están a escala, solo muestran correctamente la dirección y sentido. [ ] kg m 20 9, 8 P A + N A = 0 N A = 392[N] s 2 La suma de las fuerzas debe ser nula, pues el cuerpo A está en reposo. También tendría que ser cero si el cuerpo estuviera moviéndose con velocidad constante junto con las otras cajas. Para el caso de la caja B se tiene su peso, la fuerza de C sobre B, y una fuerza en la misma dirección pero diferente sentido que N A : Figura 14. Fuerzas sobre la caja B. N B 392 P B = 0 N B = 1176[N] 4

5 Y finalmente para la caja C, se tiene su peso, la fuerza del suelo sobre C y una fuerza en la misma dirección pero diferente sentido que N B : Figura 15. Fuerzas sobre la caja C. N C 1176 P C = 0 N C = 2352[N] 2) Determinar la masa de la bola A en la Fig.16, teniendo en cuenta que la tensión en cada cable sujeto al techo es de 450 [N]. Figura 16. Bola A, suspendida de dos cables iguales e inextensibles. 5

6 R: Lo primero es separar el problema es las componentes horizontal (x) y vertical (y) de las fuerzas en el punto central: Figura 17. Tensiones en el nodo central. x : T cos(40) T cos(40) = 0 y : 2T sen(40) T A = 0 Sabiendo que T A es igual que el peso de la bola, P = mg, se tiene: 2T sen(40) mg = 0 2T sen(40) g = m = 59[kg] 3) Calcule la tensión en el cable y la compresión en la viga, si el cuerpo suspendido tiene una masa m. Figura 18. Cuerpo de masa m suspendido de una cuerda y viga. 6

7 R: Si tenemos el ángulo 60 o y 90 o, entonces el que falta es 30 o. El bloque está sometido a dos fuerzas, su peso y la tensión, por lo que son iguales, T 2 = mg. Lo demás es sencillo; sumar las componentes de la fuerzas sobre el extremo de la viga, con m y g conocidos: Figura 19. Fuerzas ejercidas sobre el extremo de la viga. y : T 1 sen(30) mg = 0 T 1 = mg sen(30) x : F T 1 cos(30) = 0 F = T 1 cos(30) F = mg tan(30) 4) Una grúa levanta a un trabajador de la compañía de luz, metido dentro de una canastilla, con una velocidad constante de 1,2 [ ] m s. Si se sabe que el trabajador tiene una masa de 72 [kg] y que la tensión de la cuerda es de 254 [kg], cuál es la masa de la canastilla? Figura 20. Trabajador de 72 [kg] levantado por una grua. 7

8 R: En equilibrio estático, un cuerpo en reposo y uno con velocidad constante no son distinguibles. Como se quiere hallar la masa de la canastilla, no se ocupará g: Figura 21. Diagrama de cuerpo libre de la canastilla m C = 0 m C = 182[kg] 5) Sabiendo que el dinamómetro de la Fig.22 marca 80 kg, determine la masa del cuerpo Q y la tensión en la cuerda AC. Figura 22. Cuerpo Q suspendido por dos cuerdas inextensibles. R: Este problema se puede resolver de dos maneras; la primera es sumar las componentes de las fuerzas en el nodo A: 8

9 Figura 23. Fuerzas ejercidas sobre el nodo A. x : ACsen(45) 784sen(60) = 0 AC = 960[N] y : ACcos(45) + 784cos(60) P = 0 P = 1071[N] m = 109, 3[kg] Hay una manera más directa, la geométrica, mediante el teorema del seno: Figura 24. Ángulos del problema. Figura 25. Triángulo de fuerzas, para solución geométrica. 9

10 mg sen(75) = 784 sen(45) = AC m = 109, 3[kg] sen(60) AC = 960[N] 6) Calcular las reacciones en los apoyos A y B de la viga, de peso despreciable, que soporta las cuatro fuerzas mostradas. Figura 26. Viga de masa despreciable sometida a varias fuerzas paralelas. R: Se piden dos reacciones; o sea, se tienen dos incógnitas, entonces se necesitan dos ecuaciones, una es la suma de las fuerzas, y otra es la suma de momentos, desde el punto A: Figura 27. Sistema de coordenadas y reacciones N A y N B. Γ : ( 5390) 1 + ( 14700) 3 + ( 11760) 5 + ( 3430) 7 + N B 9 = 0 N B = 14700[N] F : N A + N B = 0 N A = 20580[N] 7) Una barra NO homogénea de largo L puede girar libremente en torno a un eje fijo O, en la posición que indica la Fig.28. La barra permanece en equilibrio sujeta por una cuerda horizontal. El peso de la barra es mg = P B = 800[N], y 10

11 la tensión en la cuerda es T = 800[N]. A qué distancia de O está el centro de masa de la barra, en función de L? Sabiendo que sen(53) = 4 5 = cos(37) y cos(53) = 3 5 = sen(37). Figura 28. Barra no homogénea sujeta a cuerda, en un eje fijo. R: Los datos conocidos son L, m, g, T y el ángulo 53 o. Hay que hacer el diagrama de cuerpo libre de la barra, pero para obtener la distancia requerida solo es necesario sumar los momentos: Figura 29. Fuerzas sobre la barra y ángulos para cálculo de momentos. Γ : L T cos(53) mg x CM sen(53) = L T 3 5 mg x CM 4 5 = 0 3LT 4mg = x CM = 3 4 L 8) Una persona de 70 [kg] sube por una escalera de 2 [m] de longitud y 10 [kg] de peso, apoyada tal como se indica en la 11

12 Fig.30. El coeficiente de roce entre el extremo inferior de la escalera y el suelo es 0,4. Calcular: a) Las reacciones en los apoyos, cuando el hombre a ascendido 0,5 [m] a lo largo de la escalera. b) La máxima altura x a la que puede subir el hombre por la escalera antes de que esta comience a deslizar. Figura 30. Persona subiendo una escalera para superar un obstáculo de 1 [m] de alto... R: Haciendo el diagrama de cuerpo de libre de la escalera, y sumando las fuerzas y los momentos, se tiene: Figura 31. Fuerzas sobre la escalera. a) Para un ascenso de 0,5 [m] en la escalera, y considerando que el peso de la persona está concentrada en ese punto, se 12

13 tiene: Γ : 1 N 2 sen(60) 1 98 cos(60) 0, cos(60) = 0 N 2 = 190, 96[N] F y : N N 2 cos(60) = 0 N 1 = 688, 52[N] Se puede observar que solo se ocupó la componente y en la suma de fuerzas. El brazo correspondiente a la fuerzas N 2 es c; 1[m] c[m] = sen(60). b) Para que la escalera este a punto de deslizar hacia la izquierda, f r = 0, 4 N 1, y x es: F x : f r N 2 sen(60) = 0, 4 N 1 N 2 sen(60) = 0 N 1 = sen(60) N 2 0, 4 F y : sen(60) N N 2 sen(60) = 0 N 2 = 258, 65[N] 0, 4 Γ : 1 N cos(60) x 686 cos(60) = 0 x = 0, 56[m] sen(60) 9) Un tablón de 25 [kg] está apoyado en dos soportes A y B, como muestra la Fig.32. Un hombre de 70 [kg] está parado sobre él, hasta qué distancia puede caminar hacia la derecha del soporte B, sin que el tablón gire y vuelque? Figura 32. Hombre caminando sobre el tablón. R: A medida que el hombre camina hacia la derecha, la fuerza N A se va reduciendo; cuando N A sea cero el tablón comenzará a girar en sentido horario: 13

14 Figura 33. Sistema de coordenadas y fuerzas de los soportes sobre el tablón. Y solo se ocupó la sumatoria de momentos. Γ : 0 N A ( 2) + ( 245) ( 1) + ( 686) x = 0 x = 0, 357[m] 10) Dos bloques de masa m 1 y m 2, cuelgan de dos poleas sin fricción como se muestra en la Fig.34. Qué bloque de masa m 3 hará que el bloque de masa m 2 apenas comience a moverse hacia la derecha?. Suponga un coeficiente de roce estático µ s. Figura 34. El bloque de masa m 2 está a punto de moverse hacia la derecha. R: Sobre el bloque de masa m 1, al igual que el bloque de masa m 3, solo actúan dos fuerzas, por lo que T 1 = m 1 g y T 2 = m 3 g. La sumatoria de fuerzas para el bloque de masa m 2 considerando que está a punto de moverse hacia la derecha, es: 14

15 Figura 35. Fuerzas sobre el bloque de masa m 2. F x : T 2 cos(θ 2 ) T 1 cos(θ 1 ) f r = 0 F y : T 2 sen(θ 2 ) + T 1 sen(θ 1 ) + N 2 m 2 g = 0 Con f r = µ s N 2, se tiene: F y : T 2 sen(θ 2 ) + T 1 sen(θ 1 ) + N 2 m 2 g = 0 N 2 = m 2 g T 2 sen(θ 2 ) T 1 sen(θ 1 ) F x : T 2 cos(θ 2 ) m 1 gcos(θ 1 ) µ s (m 2 g T 2 sen(θ 2 ) m 1 gsen(θ 1 )) = 0 De la sumatoria en la componente x, se tiene: Despejándo T 2 : T 2 cos(θ 2 ) m 1 gcos(θ 1 ) µ s m 2 g + T 2 µ s sen(θ 2 ) + µ s m 1 gsen(θ 1 ) = 0 Y recordando que T 2 = m 3 g, finalmente se tiene: T 2 = g(m 1cos(θ 1 ) + µ s m 2 µ s m 1 sen(θ 1 )) µ s sen(θ 2 ) + cos(θ 2 ) m 3 = m 1cos(θ 1 ) + µ s m 2 µ s m 1 sen(θ 1 ) [kg] µ s sen(θ 2 ) + cos(θ 2 ) 11) Si el peso de la viga de la Fig.36 es de 200 [kg], el de la caja 75, y la tensión que debe soportar la cuerda A es de 100 [kg], cuál debe ser la tensión de la cuerda B y a qué distancia x de A debe colocarse para que el conjunto se mantenga en equilibrio? 15

16 Figura 36. Bloque en una viga, sistema en equilibrio. R: Nuevamente entregan una fuerza, la tensión, en masa, entonces: Figura 37. Fuerzas sobre la viga. F y : T B = 0 T B = 1715[N] o 175[kg] Γ : ( 1960) 10 + ( 735) x = 0 x = 17, 86[m] 12) Sabiendo que la viga articulada en A pesa 235 [kg] y la articulada en B, 100, cuáles son las reacciones en dichas articulaciones? 16

17 Figura 38. Vigas articuladas. R: En este caso se deben dibujar dos diagramas; uno para la viga A, y otro para la viga B. No hay fuerzas en la dirección x. Figura 39. Fuerzas sobre la viga A. F y : R A + R 1 + R = 0 (1) Γ : 6 R R = 0 (2) Figura 40. Fuerzas sobre la viga B. 17

18 F y : R B R 1 R = 0 (3) Γ : ( 3) ( R 1 ) + 5 ( R 2 ) + ( 1) 980 = 0 (4) De la Ec.4, se tiene: Reemplazando Ec.5 en la Ec.2, se encuentra: Y evaluando Ec.6 en la Ec.5, se tiene que R 2 = 849, 34[N]. 3R = 5R 2 R 2 = 3 5 R (5) ( ) 3 6R R = R 1 = 1088, 9[N] (6) Reemplazando R 1 y R 2 en Ec.1 y Ec.3, se obtiene R A = 364, 76[N] y R B = 2918,