LA TEORÍA DE EXPECTATIVAS RACIONALES DE LA ESTRUCTURA TEMPORAL DE TASAS DE INTERÉS Y EL VALOR DE LA OPCIÓN DE POSPONER INVERSIÓN. Gabriel Sod Hoffs 1

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1 LA EORÍA DE EXPECAIVAS RACIONALES DE LA ESRUCURA EMPORAL DE ASAS DE INERÉS Y EL VALOR DE LA OPCIÓN DE POSPONER INVERSIÓN Gabrel Sod Hoffs Documeno de Invesgacón No Agoso, 995 El auor es canddao a docor en la Unversdad de Harvard. Ese documeno fue elaborado durane su esanca como nvesgador nvado del Banco de Méxco en el verano de 995. Las opnones expresadas en el documeno represenan los punos de vsa del auor y no necesaramene aquellos de las nsruccones arrba menconadas.

2 LA EORÍA DE EXPECAIVAS RACIONALES DE LA ESRUCURA EMPORAL DE ASAS DE INERÉS Y EL VALOR DE LA OPCIÓN DE POSPONER INVERSIÓN. Gabrel Sod Hoffs Agoso, 995 DOCUMENO DE INVESIGACIÓN No RESUMEN La leraura sobre esrucura emporal de asas de nerés, parendo del supueso del comporameno raconal de los agenes, esablece que la asa de nerés de largo plazo es gual a la negral de las asas presene y fuuras de coro plaza, más una prma por lqudez, donde esa úlma ende a desaparecer medane el arbraje. Ese documeno cuesona ese resulado medane el uso explíco de opcones en la explcacón del perfl de asas. Medane el análss economérco de la experenca mexcana concluye que la prma de lqudez responde a cambos en la volaldad de las asas de nerés y que dcha prma no se elmna por arbraje.

3 .- Inroduccón Exsen numerosas razones para esudar la esrucura de asas de nerés. Por un lado, como esablece Mankw (986ª), al esrucura parece ser cenral en el mecansmo de ransmsón de la políca moneara. Oras razones para su análss ncluyen la mporanca de avanzar en la comprensón de los mercados fnanceros en general y la posbldad de relaconar el perfl de asas con la nflacón y la nversón. En la leraura desacan varos arículos que raan el ema, nenando probar s los agenes se comporan raconalmene. En la mayoría de ellos se pare del supueso de que la asa de nerés de largo plazo es gual a la negral de las asas presene y fuura de coro plazo más una prma (o premo) por lqudez. ambén suponen que la prma por lqudez es consane en el empo y no especfcan caraceríscas alguna para ésa. De hecho, al enfoque no explca compleamene por qué los agenes desearían pagar por ello. Hay al menos dos posbles razones por las que no se ha abundado en el análss de la prma por lqudez en la leraura exsene: ) En equlbro, y dadas las eorías acuales, dcha prma podría ser elmnada por arbraje y, ) La mayoría de los esudos corren regresones en dferencas por lo que, s la prma es consane, desaparece de la esmacón. Sn embargo, como nenaré mosrar, esos, arículos negan el hecho de que, nverr en bonos de largo plazo sn consderar el valor de esperar, es smplemene ncorreco. Esa suacón provoca un sesgo en los resulados y no consdera compleamene el comporameno de los nversonsas. Aunque Mankw (986ª) ncorpora una varable de resgo en su análss, no explca apropadamene por qué debera ener una forma funconal en vez de ora. La leraura fnancera, s ben eórca en su mayoría, es exensa en el raameno de la esrucura emporal en un conexo esocásco, y más exensa aún es en el raameno de las opcones sobre asas de nerés (Meron [974], ec.). Así pues, no se dspone de referencas que cubran la brecha enre la eoría de expecavas per se y el reso de la leraura fnancera concernene a la nauraleza esocásca de las asas de nerés. Oras eorías relaconadas con ese ema ncluyen la eoría de la segmenacón de mercado, la cual esablece la hpóess de que no es necesaro relaconar las asas de coro y de largo plazo, dado que los oferenes y los nversonsas son ndependenes. El propóso del arículo será responder empírcamene a ese puno de dscusón medane el uso explíco de opcones en la explcacón de la esrucura emporal de asas de nerés, modfcando así los modelos usuales de expecavas raconales. Se explcará y cuanfcará el componene de la prma por lqudez para asas de largo plazo. Más aún, se explcará por qué dcha prma no se

4 elmna con arbraje. Para ello, se propone en prmer lugar un mecansmo de formacón de expecavas sobre la varanza de asas de nerés ulzando un proceso GARCH (p,q), como proponen Engle e al (987). Poserormene, esa proposcón se conrasa ulzando daos de Méxco, los cuales, a su vez, ofrecen hechos eslzados neresanes que pueden ser explcados más claramene a la luz del esquema propueso. En la Seccón se presena un ejemplo para propósos de movacón. En la Seccón 3 se formalza el modelo. La cuara seccón ene que ver con la formacón de expecavas. La Seccón 5 conene el análss empírco. La Seccón 6 presena las conclusones..- UN EJEMPLO SENCILLO El ejemplo sguene perme resalar los problemas que surgen con una eoría smple de expecavas al nenar explcar la esrucura de asas de nerés en un conexo de ala volaldad de las msmas. Imagnemos un mundo con sólo dos períodos, donde hay cerdumbre en el prmero pero no sobre el segundo. Sea r la asa de nerés del período dsponble en el prmer período. E es el operador de expecavas, V el valor de nverr en nsrumenos de coro plazo y Φ la prmera por lqudez. Igualmene, supongamos que exse una ecnología de almacenameno al que nada se depreca. Fnalmene, supongamos que los ndvduos son mpacenes y su asa de descueno neremporal es gual a ρ para cada perodo. La hpóess de expecavas sugere el sguene modelo: ( + r ) ( + E( r )) + Φ + R (.) Suponendo r E( r ) 0., Pr( r 0.) 0.5, Pr( r 0.3) 0.5 y ρ 0.9, 0., enonces R φ, y los ndvduos valorarían dcho rendmeno en 0.44 más la prma por.9 lqudez. ( ) Qué sucedería s la prma se elmnara por arbraje? Enonces R 0.44 se valuaría en Ahora, veamos el valor de nverr sólo en el nsrumeno de coro plazo y esperar a conocer la asa de nerés en el segundo perodo para omar la decsón de nverr en el momeno o no hacerlo. El valor de la nversón de coro plazo será enonces: V Pr ( r.3) (.3)( r ) ( ) > + ρ Pr ( r. ) ( r / ( + ρ )) (.)

5 La nucón que hay derás del segundo érmno es la sguene: s la asa de nerés observada en el segundo perodo no es lo sufcenemene grande, los ndvduos gasarían su ngreso en lugar de nverr en un nsrumeno de coro plazo. Así, como podemos ver, s los ndvduos esperan y pueden opar enre nverr o no en el segundo perodo, obenen una gananca de Además, podemos noar que la prma por lqudez no puede ser elmnada por arbraje, aún con nversonsas neurales al resgo. S no hubera prma, nade nverría en el nsrumeno de largo plazo. Más aún, parece que la prma de resgo puede ser cuanfcada y depende drecamene de la ncerdumbre de asas de nerés fuuras: a mayor ncerdumbre, se demandará una prma mayor por pare de los agenes. 3. MARCO DE REFERENCIA PARA LA CONRASACIÓN EMPÍRICA 3. MODELO SIN OPCIONES Sea en R la asa de nerés pagada en un nsrumeno con preco $ en el perodo 0 y vencmeno, y r la asa de nerés nsanánea en el momeno y φ la prma por lqudez. Nóese que, bajo el supueso de expecavas raconales y ancpacón perfeca, debe cumplrse que r R + Φ e (3.) 0 Es decr, en érmnos de (3.) se ene que, en cualquer momeno en el empo, R no es una asa de nerés por período de un nsrumeno de largo plazo, sno el nerés para odo el lapso. dr d R r (3.) Por su pare, al dferencar (3.) y obener (3.), se apreca en esa úlma la relacón que hay enre las asas de nerés en perodos nfnesmales, y la prma por lqudez desaparece. Ahora ben, llevando esa defncón al erreno de la conrasacón empírca, supongamos que el nsrumeno vence en y paga una asa de nerés r nsanáneamene y el nsrumeno dos es emdo cuando el prmero expra, vence en el momeno y paga una asa de nerés r

6 compuesa connuamene. Sea r el rendmeno por perodo de un nsrumeno a dos perodos. Podemos suponer además que ambos perodos son de la msma duracón. Sguendo el arículo de Mankw (986b), enemos que la mplemenacón economérca de ese modelo sería ( r + E ( r )) φ r + (3.3) Acomodando érmnos obenemos ( r - r) - r - r - φ + ε (3.4) Suponendo que r E ( r ) + ε (3.4.) donde ε es un érmno de error, cuyo valor esperado es cero. La ecuacón que srve de referenca es (3.4), la cual dría que la dferenca enre la asa de nerés acual de coro plazo y la de largo plazo debería predecr la dferenca enre la asa de nerés esperada de coro plazo y la acual asa de coro plazo. Además, esa ecuacón nos dará un parámero equvalene para la prma por lqudez. Como se puede ver, ese enfoque no ncorpora el valor de la opcón sugerdo en la seccón aneror. Algunos ejemplos de ese raameno para el caso de Méxco se encuenran en Babaz y Conesa (995). 3. EL MODELO CON OPCIONES En ese nco se ene como objevo defnr las caraceríscas que debería ener el modelo economérco a usar para probar la hpóess de que la llamada prma de lqudez, esa relaconada con el concepo de opcón esbozado anerormene. Como puno de referenca se sgue a Séller (989). Supongamos nsrumenos con vencmeno ya sea al fnal de uno o de dos perodos con duracón. Esos nsrumenos pueden ser adqurdos al momeno de su emsón al prncpo del perodo que comprendan, con una asa de nerés sguen la rayecora descra por la ecuacón (3.5) -donde z es un proceso Wener -, los nversonsas no pueden lograr gananca esperada alguna de rerasar la compra del nsrumeno de coro plazo en

7 el mercado secundaro. Por lo aneror, s los agenes enen expecavas smlares enre s, el nercambo en el mercado secundaro es rrelevane. dr m () r d + s ()dz r (3.5) La razón es que, s suben las asas de nerés, hay una pérdda sobre el prncpal para los propearos del nsrumeno. El mercado secundaro dará al nsrumeno un preco menor al orgnal. Sucede lo opueso s bajan las asas de nerés. En cualquer momeno el preco será gual al benefco de manener el nsrumeno. Esa conclusón conene la msma nucón que la ecuacón (3.), donde el premo a la lqudez ende a cero. Ahora, el sguene paso es relaconar los precos de los nsrumenos de coro plazo con los de largo plazo. La decsón que harán los agenes será comprar un nsrumeno de largo plazo al prncpo del prmer perodo, o comprar uno de coro plazo en ese msmo nsane y ver s compran oro de coro plazo al nco del sguene perodo. S los ndvduos decden comprar el nsrumeno de largo plazo, el rendmeno que obengan debe ser gual a lo que obendrían s huberan comprado nsrumenos de coro plazo. El rendmeno de los nsrumenos de coro plazo esa dado por ( + r ) ( + E ( r )) φ + R + (3.6) que es gual a la ecuacón (.). S al nversonsa le es posble cobrar el nsrumeno al fnal del prmer perodo, puede decdr, s la asa de nerés es sufcenemene ala, renverr o no el efecvo comprando el nsrumeno de coro plazo en el segundo perodo. El nsrumeno de largo plazo no perme al nversonsa omar al decsón sn un casgo. Con base en la msma línea de razonameno seguda en párrafos anerores, el nversonsa podría vender el nsrumeno de largo plazo s creyera que hay una mejor alernava para el dnero. Pero, s los mercados son efcenes, el casgo por vender el nsrumeno anes de su perodo de maduracón compensaría exacamene los benefcos de hacerlo. Dado que los nsrumenos no enen pagos en cupones o dvdendos, comprar un nsrumeno de coro plazo en lugar de uno de largo plazo, mplca ambén comprar la opcón sobre asas de nerés

8 crecenes. El preco de la opcón (, X) φ esaría dado por las fórmulas de Black-Scholes (973) y de Meron (973). Enonces, la asa de nerés de largo plazo será (, ) ΙΙ ( + r( ) ) + φ (, X) R (3.7) Esá ben esablecdo que φ > σ 0, φ > 0 y φ < 0 X (3.8) En ese caso, manener el nsrumeno de largo plazo es equvalene a manener el de coro plazo menos la opcón que ese úlmo mplca. Dado lo aneror, sería posble esperar que:. La mayor volaldad cambará la esrucura de plazos, exendendo el dferencal. Eso puede verse a parr de que la opcón aumena de valor s hay más volaldad. En al suacón, la opcón valdrá más y el nversonsa que manene el nsrumeno de largo plazo endrá que ser compensado por no ener la opcón. (Eso puede verse omando la dervada parcal de R - r con respeco a σ ).. La dsmnucón en las asas de nerés esperadas para el fuuro podría no dsmnur la asa de nerés de largo plazo s hay mayor volaldad. En ese sendo, la credbldad puede ser crucal para alcanzar un proceso de esablzacón exoso. 3. La msma lógca se aplca a bonos denomnados en dferenes monedas. Como veremos en la seccón 6, dada la esrucura de asas forward y asas spo, hay una opcón mplíca en ceros bonos ndzados, que sgue la msma lógca aneror. Puede hacerse el msmo análss para un proceso dferene al que corresponde a la ecuacón (3.5). podríamos ener un proceso donde se agregue un proceso Posson al proceso Wener normal. Podemos pensar que, además de la volaldad usual de las asas de nerés dada por el proceso Wener normal, puede haber choques mayores frecuenes. Esos choques endrían un efeco anormal en las expecavas fuuras, en parcular sobreesmando la volaldad usual de las asas de nerés. Enconramos el análss formal en Meron (973). Aunque la ecuacón (3.7) se modfcaría lgeramene, habría un gran cambo en las expecavas. S λ es el parámero Posson, ése aparecería en la opcón ncluda en la ecuacón (3.7)

9 4. EXPECAIVAS oda vez que el propóso del documeno es conrasar la posble relacón enre la esrucura de asas y la volaldad esperada de las msmas, es necesaro hacer algunas observacones sobre la manera en que esas expecavas serán modeladas en la seccón empírca. A ése respeco es úl apunar que la leraura recurre usualmene a rezagos po Koycy para deermnar las asas raconales ex-ane. Séller (989) descrbe lo sguene: ( - g) R λ (4.) r Ulza (4.) para compararla con la asa acual de largo plazo y observar s la esrucura emporal es raconal (smlar a Mankw [986]). Ahora ben, en ése caso lo que nos neresa es la volaldad esperada. Nuesra sugerenca es que los ndvduos forman sus expecavas como en un modelo GARCH (p,q) q ρ ( σ ) α ε - + β σ - ω + α ( L) ε + β ( L) h E σ (4.) Bollerslev (986, 99) proporcona una larga lsa de argumenos a favor de ese procedmeno. Parendo de ésa ecuacón, en la sguene seccón se mplemenaran un par de pruebas: ) Deermnar r, R y s de acuerdo con un modelo de expecavas como el descro, y ver s los ndvduos en realdad forman sus expecavas así (Séller [979]). ) Mosrar s, juso después de perurbacones exógenas que engan un mpaco sgnfcavo sobre las asas de nerés, la volaldad esperada es mayor que la usual, y por ano, se presena un período para el cual la opcón sea demasadocososa. Eso puede aplcarse drecamene al caso de Méxco. A medda que la volaldad aumenaba (medados de 994), la asa de nerés que el goberno endría que haber ofrecdo a los nversonsas para que ésos manuveran bonos de largo plazo hubera sdo an grande que la respuesa ópma por pare de las auordades fue reducr el plazo de vencmeno de la deuda emda. Eso ene

10 sendo porque no hay necesdad de que las asas sean an alas s la volaldad es emporal. Más aún, s las asas de nerés se elevan por una percepcón errónea de ala volaldad, ene sendo no responder, es decr, no pagar asas excesvas. 5. ANÁLISIS EMPÍRICO 5. LOS DAOS En esa seccón se ulzan ano daos semanales como daos mensuales para los CEES con vencmeno a uno y res meses. Los daos semanales van de Novembre de 989 a Julo de 995, menras que los daos mensuales van de Agoso de 98 a Julo de 995. esos daos fueron obendos a parr de la base de daos de la Gerenca de Mercado de Valores del Banco de Méxco. En una prmera aproxmacón se ulzan an solo los daos de CEES a 8 y 9 días. En una prmera nsanca se calculo la sobreasa que es pagada por el goberno sobre los CEES de largo plazo. Las asas que se ulzan son nomnales y los rezagos ulzados son 4 y 8 perodos respecvamene, cuando así es necesaro. Eso se hace con el propóso de calcular la sobreasa arrba menconada. 5. ESIMACIÓN La prmera ecuacón que se esma es smlar a aquella propuesa por Séller (989), y que corresponde a la ecuacón (3.4) χ c + ε (5.) Donde el prmer érmno represena el concepo defndo en la leraura como sobreasa en bonos de largo plazo. Ese érmno se calcula de la sguene forma, sguendo a Engle e al (987). ( r + r r ) χ (5.) 3R Donde R represena la asa a res meses, r la asa a un mes y la consane c en la ecuacón (5.) precsamene represena la prma emporal o premo por lqudez- explcada anerormene. La regresón con daos semanales es la sguene:

11 χ.49 + ε (5.3) con un esadísco de 3.84, y sgnfcava de más del %. Eso nos perme esablecer que exse una prma emporal sgnfcava equvalene a alrededor del 5% anual: - ( +.49 ) Cuando se usan los daos mensuales, se obenen los sguenes resulados: χ ε (5.4) con un valor de.46, al % de sgnfcanca. Nuevamene, nos perme afrmar que exse una prma emporal posva de 6.33%. cuando se realza una prueba ARCH(4) para analzar el comporameno del componene de error de esas regresones con daos semanales, prueba de bondad de ajune propuesa por Bollerslev (99) la cual se dsrbuye como χ, da un valor de 30.4 lo cual perme rechazar la hpóess nula de no heeroscedascdad a un nvel de sgnfcanca de 5%. Sn embargo, cuando se ulzan daos mensuales, la hpóess nula no se rechaza para nveles de sgnfcanca razonables. Esa es una conclusón relevane porque mplca que grandes movmenos son segudos de grandes movmenos, y que pequeños movmenos son segudos de pequeños movmenos. La ecuacón es ε 0.58ε ε ε (5.5) Ese modelo no explca el sgno del segundo coefcene, pero la magnud es menor que la de los oros además de ser poco sgnfcava. La dnámca que muesra la volaldad de asas abre la posbldad para que los agenes económcos, aprovechen la nformacón para omar decsones sobre el plazo de sus nversones en érmnos de lo descro en las seccones y 3. en oras palabras, el dferencal podría ser explcado

12 en pare por el érmno de la opcón en la esrucura y, a medda que la varanza percbda cambe, ambén lo hará el premo de espera meddo como una opcón En ése puno se puede pasar a probar la hpóess cenral de ésa nvesgacón medane el análss de lo que sucede cuando la varanza se ncluye como regresor. Eso se realza por el méodo de máxma verosmlud, obenendo smuláneamene la esmacón de la ecuacón de la esrucura emporal de asas y de la volaldad de las msmas. Los resulados se reporan en (5.6) Y (5.7). χ + I σ I ε I (5.6) En la prueba de las regresones la consane ene un esadísco de 4., menras que el coefcene que corresponde a la volaldad, una de Claramene ambas son sgnfcavas. La R es gual a Ese resulado apoya de manera muy clara la dea de que el públco oma en cuana la volaldad de las asas de nerés para decdr el plazo de su nversón en respuesa a la esrucura de asas en el mercado. Además, es mporane resalar que el érmno de la consane en la ecuacón (5.6) dsmnuye con respeco al de la ecuacón (5.4), dado que pare del efeco esá capurado por el érmno de la varanza (opcón). Sn embargo, ambén debe noarse que dcho premo connua sendo sgnfcavo por lo que deben exsr oros facores, lgados al marco nsuconal del mercado de deuda gubernamenal en Méxco que requerrán de análss poseror. Fnalmene se repora el resulado del modelo GARCH (,) que descrbe la dnámca de la volaldad de asas. La ecuacón GARCH (,) a parr de la ecuacón (4.) es la sguene: σ ε σ - 0.3σ - (5.7) Los esadíscos correspondenes son 3.8, 4.7 y 4.35 respecvamene, claramene sgnfcavas y con una R de 0.. Debe noarse que, de acuerdo a Meron o Black-Scholes, el preco de una opcón no puede deermnarse en forma apropada s la varanza no es consane. Esamos conscenes de al dfculad y confamos en que el problema se resuelva.

13 6. CONCLUSIONES Ese documeno presena un resulado de gran mporanca para avanzar en la comprensón de los facores que deermnan la esrucura de asas de nerés. A dferenca de lo que sucede en economías caracerzadas por largos perodos de esabldad, en países donde las asas de nerés son voláles, puede verse cómo el públco oma en cuena al nformacón para la conformacón de sus porafolos, con el correspondene efeco que ello ene sobre la esrucura de asas y plazo de la deuda. A parr de esas conclusones, resula neresane proponer, como exensones para esa línea de nvesgacón, el esudo empírco del plazo de la deuda en un enorno de volaldad como el descro, así como sus aplcacones para el caso en que los agenes pueden adqurr opcones sobre asas de nerés y/o po de cambo, ya sea drecamene o a ravés de nsrumenos que ofrezcan al coberura, como fue el caso de los esobonos en Méxco en 994.

14 BIBLIOGRAFÍA Babaz, G & Conesa, A. he erm Srucure of Ineres Raes: An Emprcal Analyss for Mexco Mmeo Harvard U. 995 Bollerslev,. Generalzed Auoregresve Condonal Heeroskedascy Journal of Economercs Campbell, J. and Sjller, R. Yeld Spreasds and Ineres Rae Movemens: A Brd s Eye Vew Revew of Economc Sudes 99 Egle, R. e al. Esmang me Varyng Rsk Prema n he erm Srucure : he ARCH-M Model Economerca 55 () March 987 Huang, C.F. & Lzenberger, R. Foundaons of Fnancal Economcs Prence Hall 988 Hull, J. Opons, Fuures an d Oher Dervave Secures Prence Hall 990 Mankw, N.G. he erm Srucure of Inerres Raes Revsed Brookngs Papers on Economc Acvy : 986 Mankw, N.G. & Mron, J. he Changng Behavvor of he erm Srucure of Inerres Raes Quarerly Journal of Economcs May 986 Meron, R. A heroy of aonal Opon Prncng Bell Journal of Economcs 973 Meron, R. Connuous me Fnance basl Blackwell 990 Shller, R. Marke Volaly MI Press 989 Shller, R. he Volaly of Long-erm Ineres Raes and he Expecaons Model of he erm Srucure Journal of Polcal Economy 979