Colisiones elásticas y sección eficaz total hadrón - hadrón a altas energías

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Colisiones elásticas y sección eficaz total hadrón - hadrón a altas energías"

Transcripción

1 Rev. Acad. Colomb. Cienc. 8(Supl.):-7, 4 Colisiones elásticas y sección eficaz total hadrón - hadrón a altas energías Ciencias físicas Colisiones elásticas y sección eficaz total hadrón - hadrón a altas energías Carlos Ávila Bernal Departamento de Física, Universidad de Los Andes, Colombia Resumen Presentamos un estudio de la sección eficaz diferencial para colisiones pp y pp basado en una parametrización de la amplitud de dispersión en función de dos términos exponenciales que difieren en una fase. Esta parametrización describe correctamente los datos experimentales, incluyendo el mínimo de difracción que es diferente para ambos tipos de colisiones. Se presenta también un estudio detallado de la sección eficaz total, σt, para colisiones pp, pp, π ± p y K ± p. Para este estudio se usa una parametrización basada en un crecimiento logarítmico de σt con la energía de la colisión. Se hace uso de relaciones de dispersión integrales para maximizar la muestra de datos estudiada. Todos los datos existentes hasta la fecha (incluidos los datos del experimento TOTEM) son tenidos en cuenta. El estudio concluye que σt aumenta con la energía de la forma ln(s) y predice un valor para σt en colisiones pp a la energía de 4 TeV de σtpp = 9, ±,6 mb. El documento adicionalmente presenta una revisión de los métodos usados para estudiar colisiones elásticas. Palabras clave: dispersión elástica, sección eficaz total, amplitud de dispersión, relaciones de dispersión, teoría de Regge. Elastic scattering and hadron-hadron total cross sections at high energies Abstract We present a study of the differential cross section for pp and pp collisions based on the use of a parametrization of the scattering amplitude as a function of two exponential terms with a phase difference. This parametrization describes correctly the experimental data, including the diffraction minimum which is different for both processes. Also, a detailed study of the total cross section, σt, for pp, pp, π ± p and K ± p collisions is presented. This study uses a parametrization based on the logaritmic increase of σt with the energy of the collision. Integral dispersion relations are used in order to maximize the data sample studied. All the existing experimental data up to date (including data from the TOTEM experiment) are taken into account. The study concludes that σt increases with energy as ln(s) and predicts a value for σt in pp collisions at the energy of 4 TeV of σtpp = 9, ±,6 mb. The document aditionally presents a review of the methods used to study elastic collisions. Key words: Elastic scattering, total cross section, scattering amplitude, dispersion relations, Regge theory. I. INTRODUCCIÓN Entre el % al % de las colisiones entre hadrones son elásticas. En estas colisiones ambos hadrones incidentes salen intactos después de la colisión, sin producir partículas adicionales, sufriendo una pequeña desviación con respecto a sus trayectorias iniciales (con ángulos de dispersión menores a unos pocos miliradianes), pero manteniendo la magnitud de su momento inicial y conservando todos sus números cuánticos. Dado que el momento transferido en este tipo de colisiones es muy bajo, no se pueden usar los métodos perturbativos de la cromodinámica cuántica (QCD) para describirlos, porque la constante de acoplamiento fuerte toma valores muy grandes y hace que la serie perturbativa sea divergente []. La única forma de entender la dinámica de los procesos elásticos es a partir de observaciones experimentales y del uso de modelos fenomenológicos basados en propiedades de la amplitud de dispersión y en algunas suposiciones adicionales sobre la estructura interna de los hadrones. Las suposiciones de los diferentes modelos son probadas a medida que nuevos datos experimentales son accesibles, lo que permite ajustar los modelos sobre la evidencia experimental de una manera iterativa y así ir acercandonos a una descripción aproximada de los fenómenos internos que ocurren en los hadrones en el momento de la colisión. La principal observable experimental es la sección eficaz diferencial, dσ/, donde t es el cuadrado del cuadrimomento transferido que explicaremos en la sección II. La estructura que presenta dσ/ es la herramienta que tenemos para descifrar la dinámica interna del proceso de dispersión elástica. A partir de dσ/ podemos medir otras variables experimentales como son: la sección eficaz elástica (σel), la sección eficaz total (σt), el cociente de la parte real a la parte imaginaria de la amplitud de Correspondencia: Carlos Ávila Bernal, Recibido: 7 de agosto de Aceptado: de agosto de 4

2 dispersio n (ρ) y el para metro de pendiente nuclear (B). En la seccio n III describimos cada uno de estas variables. Durante mas de an os diferentes experimentos han proporcionado mediciones de dσ/ a varias energı as de centro de masa y tipos de colisiones hadronicas, lo que ha permitido entender co mo la estructura de dσ/ y demas variables de dispersio n ela stica cambian con la energı a, y ası tratar de establecer que feno menos internos de dispersio n dominan en diferentes regı menes de energı a. En este trabajo hacemos una revisio n de los datos experimentales que se tienen actualmente en colisiones pp, p p, π± p y K ± p. Usamos la parametrizacio n propuesta por Amaldi [] y relaciones de dispersio n integrales que nos permiten hacer un ajuste simulta neo de los datos experimentales de σt y ρ para los diferentes tipos de colisiones hadronicas, con el fin de demostrar que todas las colisiones hadro n-hadro n estudiadas tienen el mismo incremento gradual con la energı a y que la magnitud de las secciones eficaces a altas energı as difieren de acuerdo al conteo y tipo de quarks que participan en la colisio n. El ajuste a los datos nos permite verificar si la seccio n eficaz total a las energı as de los aceleradores actuales cumplen con el lı mite de Froissart [], el cual es explicado en la seccio n V C. Los resultados de los fits son consistentes con las mediciones recientemente publicadas por el experimento TOTEM a las energı as de centro de masa de 7 TeV y 8 TeV [4 6], y nos permiten predecir el valor de σt para colisiones pp a la energı a de 4 TeV. El colisionador LHC empezara a tomar datos a esta energı a en el an o. Para describir la estructura de dσ/ usamos una parametrizacio n sencilla, propuesta inicialmente por Phillps and Barger [7], basada en construir la amplitud de dispersio n nuclear como la suma de dos te rminos exponenciales que difieren en una fase. En este trabajo mostramos que esta parametrizacio n describe apropiadamente dσ/ para colisiones pp y p p sobre todo el rango de energı as accesible. En el presente documento empezamos por describir la cinema tica de las cosilisones ela sticas (seccio n II), luego en la seccio n III hacemos una revisio n de los datos experimentales. En la seccio n IV explicamos detalles de la configuracio n experimental para etiquetar y estudiar eventos de dispersio n ela stica. Posteriormente hacemos una breve revisio n de modelos fenomenolo gicos (seccio n V) y de las relaciones de dispersio n (seccio n VI). En las secciones VII y VIII describimos los estudios realizados con los datos de la seccio n eficaz diferencial y total, respectivamente. En la seccio n IX presentamos nuestras conclusiones. para A y B respectivamente, definimos el cuadrado de la energı a del centro de masa (CM), s, como: s = (pia + pib ) = ma + mb + mb E donde E es la energı a en el sistema de laboratorio para la partı cula proyectil. El cuadrado del cuadrimomento transferido se define como: t = (pf A pia ) = 4k sen (θ/) CINEMA TICA Y DEFINICIO N DE VARIABLES Para una colisio n ela stica A + B A + B, con A considerada como la partı cula proyectil y B la partı cula blanco, en el sistema de laboratorio, y con cuadrimomentos iniciales pia, pib y cuadrimomentos finales pf A, pf B, 6 () donde k es la magnitud del vector momento y θ el a ngulo de dispersio n, ambos medidos con respecto al CM. s y t son invariantes de Lorentz conocidas como variables de Mandelstam. Hay dos contribuciones a la dispersio n de hadrones cargados: interaccio n Coulomb e interaccio n nuclear. La amplitud de dispersio n de Coulomb se obtiene a partir de la ecuacio n de Rutherford: fc = ± kcαg (t) t () Donde el signo + ( - ) es para interaccio n de hadrones de carga ele ctrica de signo opuesto (del mismo signo). α es la constante de estructura fina y G(t) es el factor de forma electromagne tico del proto n, el cual se suele aproximar a [8]: t G(t) = + (4), 7 De observaciones experimentales se ha encontrado que para valores de t <, (GeV /c) la amplitud de dispersio n nuclear se puede parametrizar como: fn = kσt (ρ + i) exp( B t ) 4πc () Donde B es el para metro de pendiente nuclear. Esta parametrizacio n es consistente con el teorema o ptico: σt = 4π m {fn (t = )} k (6) Adicionalmente definimos ρ como: ρ= e (fn (t = )) m (fn (t = )) (7) La seccio n eficaz diferencial viene dada por: π dσ = f k II. () (8) Donde f = fn + fc e±iαφ(t) y αφ(t) es la diferencia de fase entre las amplitudes de dispersio n de coulomb y nuclear, φ(t), que se puede escribir como [9]: φ(t) = ln, 8 t, 77 (9)

3 Rev. Acad. Colomb. Cienc. 8(Supl.):-7, 4 III. REVISIO N DE DATOS EXPERIMENTALES A. Aporte a dσ/ (%) Coulomb Nuclear Interferencia t (GeV ) Figura : Aporte porcentual a dσ/ de la amplitud de dispersio n de Coulomb, nuclear e interferencia nuclear-coulomb. Debido a la diferencia de fase entre la dispersio n coulomb y nuclear aparece un te rmino de interferencia nuclear-coulomb que tambie n contribuye a la seccio n eficaz diferencial. Usando las ecuaciones a podemos esc cribir de manera explicita la contribucio n Coulomb ( dσ ), dσinter dσn interferencia nuclear- Coulomb ( ), y nuclear ( ) a dσ : 4π(c) α G4 (t) dσc = t dσinter α(ρ αφ)σt G (t) B t = ± exp( ) t dσn ( + ρ )σt = () exp( B t ) 6π(c) Donde el signo + es para colisiones antihadro n-hadro n y el signo - para colisiones hadro n-hadro n. Con el fin de entender la contribucio n de cada te rmino a dσ/, usamos como ejemplo las mediciones recientes del experimento TOTEM a s = 7. TeV [] (B = 9.89 (GeV/c), σt = 98.6 mb) y asumimos un valor de ρ =, 4 (esperado a esta energı a) y graficamos dσ/ para estas condiciones (Figura ). A la energı a de s = 7. TeV el te rmino de interferencia tiene su ma ximo aporte (, %) para valores de t, 76 (GeV/c) (que corresponde a un a ngulo de dispersio n de aproximadamente 4 microradianes), a este valor de t las dispersiones nuclear y Coulomb tienen igual contribucio n. La dispersio n de Coulomb domina a valores muy bajos de t, para t, (GeV/c) la contribucio n de Coulomb es de 9%. Para valores t >, (GeV/c) la dispersio n nuclear tiene una contribucio n superior al 9 %, mientras que la contribucio n de dispersio n Coulomb es menor al %. seccio n eficaz diferencial, dσ/ La cantidad que se mide experimentalmente es dn/, que corresponde al nu mero de eventos que registra un detector por intervalo de cuadrimomento transferido t y en un intervalo de tiempo definido. Este nu mero se debe corregir por la ineficiencia y cubrimiento azimutal (aceptancia) del detector, por tiempos muertos debido a registro de la informacio n y por sustraccio n de background. Para encontrar el a ngulo de dispersio n θ y de allı obtener t, es importante conocer con alta precisio n la posicio n del detector con respecto al haz de partı culas, y los campos ele ctricos y magne ticos por los que atraviesan las partı culas entre el punto de colisio n y la ubicacio n del detector. Adicionalmente este a ngulo necesita ser corregido debido a que el detector tiene una resolucio n finita, que el haz de partı culas tiene dimensiones transversales (ancho del haz), que las partı culas dentro del haz no necesariamente colisionan de manera frontal (divergencia del haz), y que cada colisio n no ocurre exactamente en el mismo punto debido a la forma gaussiana en el eje longitudinal del haz de partı culas. Finalmente, se usa una medida del flujo de partı culas que colisionan como normalizacio n, usando como referencia el mismo intervalo de tiempo de la medicio n de dn/, (Luminosidad integrada, L []) para ası obtener la seccio n eficaz diferencial: dσ dn = L () Las mediciones que existen para dσ/ son ma s abundantes para colisiones pp y p p, donde hay cubrimiento de energı a desde unos pocos GeV hasta 7 TeV. La energı a mas alta corresponde a resultados recientes del experimento TOTEM del colisionador LHC, se espera para el nuevas mediciones de TOTEM a s= 4 TeV. El cubrimiento en cuadrimomento transferido va desde valores muy bajos de t, (GeV/c) hasta t (GeV/c) y es diferente para cada energı a ya que depende del cubrimiento logrado por cada experimento []. Las Figuras y 6 muestran los datos de dσ/ para colisiones p p y pp a altas energı as, respectivamente. A valores de t >, (GeV/c) domina ampliamente la dispersio n nuclear y se observa un decaimiento exponencial hasta llegar a un mı nimo de difraccio n. El mı nimo de difraccio n para colisiones pp es ma s profundo y bien determinado comparado con colisiones p p donde se tiene un mı nimo ma s plano que es ma s consistente con un cambio de pendiente. Posterior al mı nimo de difraccio n se aprecia un nuevo decaimiento exponencial con una pendiente ma s pequeña, también se se observa que aa medida pequen a, tambie n medidaque quelalaenerenergı a colisio nincrementa incrementael el mı nimo difraccio n gía dedelalacolisión mínimo de de la difracción se mueve hacia valores ma s bajos de t haciendo que el decaimiento exponencial antes del mı nimo de difraccio n tenga una pendiente mucho ma s pronunciada. La seccio n eficaz ela stica se obtiene a partir de integrar la seccio n eficaz diferencial proveniente de dispersio n nu7

4 4 clear: σel = dσn () Podemos obtener una buena aproximacio n para la seccio n eficaz total ela stica a partir de integrar la seccio n eficaz diferencial proveniente de dispersio n nun clear, asumiendo no estructura para dσ, es decir aproxidσn mando a la exponencial decayente antes del mı nimo de difraccio n: dσn = dσn exp( B t ) () t= Con esta parametrizacio n obtenemos: σ + ρ σel = tot 6πB(c) (4) n El ignorar la estructura de dσ ma s alla del mı nimo de difraccio n so lo tiene un efecto menor al, % en el ca lculo de la integral. B. σt = σel + σinel = Dado que el para metro ρ toma valores pequen os a altas energı as, el uso de una extrapolacio n de ma s bajas energı as paraρ ρproducirá producira una unaincertidumbre incertidumbreinferior inferioralal % % gías para Ninel Nel + L L (6) La dependecia de la luminosidad integrada L se puede evitar combinando esta u ltima ecuacio n con la ecuacio n (me todo independiente de la luminosidad): Seccio n eficaz total, σt La seccio n eficaz total coresponde al a rea efectiva del hadro n que interactua con el haz de partı culas que incide sobre e l. La medicio n de la seccio n eficaz total para un proceso de dispersio n especı fico provee informacio n del taman o del hadro n, el cual depende de la dina mica del proceso de dispersio n. Dado que el hadro n es un sistema compuesto de quarks y gluones, cada constituyente contribuye de manera diferente al proceso de dispersio n y esta contribucio n depende de la energı a de la colisio n. Existen tres me todos para medir la seccio n eficaz total: ) Normalizacio n de Coulomb, ) Me todo dependiente de luminosidad, y ) Me todo independiente de luminosidad. La normalizacio n de Coulomb se puede usar cuando se pueden medir a ngulos de dispersio n muy pequen os (del orden de microradianes), tal que se alcance a tener un intervalo de cuadrimomento transferido donde la dispersio n Coulomb sea la contribucio n dominante a la seccio n efidσc dσc caz diferencial: dσ, y dado que corresponde a la dispersio n de Rutherford, que es completamente conocida, podemos usar la ecuacio n para determinar el valor de luminosidad. Adicionalmente, usando las ecuaciones y, con la extrapolacio n dn para dispersio n nuclear en el punto t =, y la luminosidad obtenida de la normalizacio n de Coulomb podemos obtener: / 6π dnn / σt + ρ = c () L t= 8 en la determinacio n de σt. En el caso que un experimento dado no alcance a registrar a ngulos donde la dispersio n de Coulomb tenga una contribucio n significativa requerira hacer una medicio n adicional para la luminosidad (me todo dependiente de luminosidad), que se hace usualmente midiendo las caracterı sticas de los haces de partı culas que colisionan, estas mediciones por lo general tienen incertidumbres altas (4% en el acelerador LHC y % en el acelerador TEVATRON) que afectan la precisio n con que se pueda llegar a conocer σt []. Para evitar la dependencia de la luminosidad en la medicio n de σt se debe hacer una medicio n simulta nea del nu mero de colisiones ela sticas (Nel ) e inela sticas (Ninel ) producidas en un intervalo de tiempo determinado, haciendo las correcciones respectivas a cada una de ellas por eficiencia, aceptancia de los detectores usados, background y tiempos muertos producidos por el sistema de adquisicio n de datos. Con estos dos valores la seccio n eficaz total se puede escribir como: σt = 6π(c) + ρ Nel + Ninel Realizando la ecuacio n : misma Nel = B dnn (7) t= aproximacio n que dnn en la (8) t= Ninel incluye todas las topologı as de las colisiones que no son ela sticas, esto significa que se debe medir el nu mero de colisiones donde ambos hadrones incidentes se rompen despue s de la colisio n (colisiones no difractivas), donde alguno de los dos permanece intacto (colisiones difractivas simples) o donde ambos permanecen intactos despue s de la colisio n perdiendo parte de su energı a y generando nuevas partı culas (colisiones doblemente difractivas). Los detectores centrales alrededor del punto de colisio n con calorı metros y reconstruccio n de vertices juegan un papel fundamental para la medicio n de Ninel [ ], algunos experimentos que no han contado con estos sistemas centrales han tenido que requerir condiciones especiales del haz de partı culas con el fin de sustraer los backgrounds de sus sen ales [6], [7]. Cuando se tienen muy altas luminosidades instanta neas,l (L > cm s ) se puede explotar el feno meno de pileup para medir σinel : cuando dos conjuntos de hadrones cruzan el punto de interaccio n puede haber ma s de una colisio n simulta nea. La probabilidad de que ocurra un nu mero n de colisiones inela sticas en un mismo cruce de conjunto de protones sigue la distribucio n de Poisson: P (n, μ) = μn μ e n! (9)

5 Rev. Acad. Colomb. Cienc. 8(Supl.):-7, 4 Donde μ = Lσinel Δt, donde Δt correponde a una ventana de tiempo muy corto, tı picamente de segundo. Se puede medir la probabilidad P para diferentes luminosidades instantaneas y diferente nu mero de vertices primarios de interacio n reconstruidos, n y de allı extraer σinel. Este me todo novedoso ha sido implementado por primera vez en el experimento CMS del acelerador LHC []. La Figura 7 muestra los datos de las secciones eficaces para colisiones pp y p p en funcio n de la energı a de centro de masa. A bajas energı as ( s < GeV) las secciones eficaces totales van decreciendo a medida que la energı a aumenta. A energı as s > GeV las secciones eficaces aumentan de manera logarı tmica con la energı a. A bajas energı as σtp p es mayor que σtpp pero ambas convergen al mismo valor a medida que la energı a aumenta, esto significa que los procesos de dispersio n parto nica varı an a medida que la energı a de colisio n cambia. A bajas energı as los quarks constituyentes de los hadrones (quarks de valencia) dominan la interaccio n, los canales de aniquilacio n quark-antiquark hacen que σtp p sea mayor que σtpp, a medida que la energı a aumenta tambie n se aumenta la probabilidad de fluctuaciones de gluones a pares quark-antiquark dentro del hadro n, generando quarks adicionales a los constituyentes (quarks del mar), estos gluones y quarks del mar dominan la interaccio n a altas energı as, haciendo que las secciones eficaces hadro nhadro n y hadro n-antihadro n converjan al mismo valor. Existen mediciones de σtpp producidas en experimentos de rayos co smicos, las cuales se caracterizan por sus altas incertidumbres debido a que las cantidades medidas en el experimento esta n indirectamente relacionadas con σtpp. Entre estas cantidades esta n la composicio n de los rayos co smicos y la composicio n molecular de la atmo sfera. Se mide la seccio n eficaz inela stica para colisiones proto n -aire y usando modelos para el chorro de partı culas generadas se infiere σinel y σtpp [8]. La Figura 9 corresponde a σt para colisiones π ± p y K ± p donde se verifica que todas las secciones eficaces hadro n-hadro n y antihadro nhadro n convergen al mismo valor e incrementan con la energı a de manera logarı tmica en la misma proporcio n. C. Cociente de la parte real a la parte imaginaria de la amplitud de dispersio n, ρ Del teorema o ptico (ecuacio n 6) se deduce que la parte imaginaria de la amplitud de dispersio n en la regio n frontal (a ngulos de dispersio n de cero) aumenta con la energı a. Como veremos en la seccio n VI las propiedades de analiticidad y simetrı a de cruce de la amplitud de dispersio n relacionan el cociente de la parte real a la imaginaria de la amplitud de dispersio n en la regio n frontal, ρ, con la seccio n eficaz total, por lo tanto mediciones de ρ son complementarias y ayudan a entender el comportamiento de σt a altas energı as. El para metro ρ aparece en los te rminos de dispersio n nuclear y de interferencia nuclear-coulomb (ver ecuacio n ). Dado que los valores de ρ por lo general son pequen os (ρ <,) el te rmino de interferencia es el ma s sensible a ρ y es el que experimentalmente se usa para su medicio n. Experimentos cuyo objetivo es medir ρ necesitan alcanzar valores de t cercanos a la regio n de ma xima interferencia nuclear-coulomb ( tinterf. (GeV/c) ) y medir dσ, ρ se obtiene a partir del ajuste de la funcio n de interferencia descrita en la ecuacio n al dσ medido en el experimento. La Figura 8 muestra los datos para ρpp y ρp p. Los datos para colisiones pp son mas abundantes. Ambos, ρpp y ρp p, convergen hacia un mismo valor a altas energı as, con valores siempre por debajo de ρ <,, lo que implica que a altas energı as la parte imaginaria de la amplitud de dispersio n domina ampliamente. IV. CONFIGURACIO N EXPERIMENTAL PARA MEDICIONES DE DISPERSIO N ELA STICA A medida que incrementa la energı a de la colisio n los valores de t (y por lo tanto de a ngulos de dispersio n θ) por debajo del mı nimo de difraccio n, que son u tiles para la medicio n de σt y ρ se hacen muy pequen os ( t <, (GeV/c) que corresponde a valores de θ de una fraccio n de miliradian). Se necesitan dispositivos y condiciones especiales del haz de partı culas para poder detectar estos a ngulos. Los dispositivos que se usan consisten en contenedores de acero que se incrustan dentro del tubo del acelerador y pueden ser reposicionados de manera remota hasta unos pocos milı metros del centro del haz de partı culas, con una resolucio n de unos pocos micro metros. Se ubican en posiciones longitudinales muy lejanas al punto de interaccio n con el fin de detectar partı culas dispersadas que viajan dentro del tubo del acelerador [9]. Estos dispositivos sirven como ollas, dentro de las cuales se ubican los detectores que registran las coordenadas x, y de las partı culas que llegan a ellos (con resoluciones tı picas del orden de μm). Los primeros dispositivos de este tipo fueron desarrollados en la decada de 97 por un grupo de la universidad de Roma para ser usados en el primer colisionador proto n proto n del laboratorio CERN, desde entonces se les denomina Ollas Romanas. Las ollas romanas cuentan con un sistema de fuelles que les permite cambiar su posicio n sin afectar el vacı o del acelerador (ver Figura ). El sistema de posicionamiento consiste en un motor de paso cuyo nu mero de giros es calibrado para indicar la ubicacio n de la olla romana en milı metros. Para reducir las incertidumbres en la posicio n se usa por lo general un sistema adicional de sensores como por ejemplo transformadores diferenciables variables lineales (LVDT, por sus siglas en ingle s). Para reducir el material que deben atravesar las partı culas en su paso hacia el detector, a las ollas romanas se les coloca una ventana en frente del detector de menos de micrones de grosor. Los detectores que se usan para el registro de las partı culas deben ser de pequen as dimensiones, tal que quepan dentro de la olla y cuentan con un sistema de pines que permitan 9

6 6 su correcta ubicacio n y alineacio n. Los detectores por lo general son de tres tipos: detectores gaseosos, fibras de centelleo o detectores de silicio. Adicional al detector de coordenadas de la partı cula se debe contar con bloques centelladores que permitan hacer registro de tiempo de vuelo de la partı cula desde el punto de interaccio n a la ubicacio n del detector. Con el fin de etiquetar correctamente los eventos ela sticos en colisionadores hadro nicos se colocan estaciones de ollas romanas de manera sime trica a ambos lados del punto de interaccio n, con por lo menos un par de estaciones a cada lado. En cada estacio n se debe contar como mı nimo con un par de ollas romanas con sus respectivos detectores que se puedan acercar al haz de partı culas ya sea en el plano vertical u horizontal. Se verifica la propiedad de colinearidad de los eventos ela sticos (las dos partı culas dispersadas despue s de la colisio n deben viajar en direcciones opuestas con iguales a ngulos de dispersio n) en ollas romanas diagonalmente opuestas al punto de interaccio n para proceder con el registro de cada evento. Dada la o ptica del acelerador de partı culas, entre el punto de interaccio n y la ubicacio n del detector se pueden tener magnetos para enfocar el haz o desviar su trayectoria. Por esta razo n las partı culas no viajan en lı nea recta entre el punto de interaccio n y el detector. Si se conoce la o ptica del haz, se puede establecer una relacio n entre las coordenadas de la partı cula en un detector (xi, yi ) y las coordenadas(x, y ) y el a ngulo de dispersio n en el punto de interaccio n (θx, θy ): xi = Mx,i x + Lx,i θx yi = My,i y + Ly,i θy () Donde Mx,i, Lx,i (My,i, Ly,i ) son elementos de transporte en el eje horizontal (vertical) para la localizacio n del detector [], los cuales son funciones de los campos ele ctricos y magne ticos por los que atraviesa la partı cula desde el punto de interaccio n hasta la ubicacio n del detector. En el caso que las coordendas x, y en el punto de interaccio n sean despreciables (que es lo que normalmente se espera ya que el punto de colisio n corresponde al punto (,)), entonces el a ngulo de dispersio n se obtiene como el cociente de la coordenada medida en el detector sobre el el elemento matricial L, esto es equivalente a determinar el a ngulo como si la partı cula hubiese viajado en lı nea recta una distancia longitudinal Lx (Ly ) y una distancia lateral x (y), por esta razo n a Lx (Ly ) comunmente se le llama distancia efectiva en el eje x (y). La Figura muestra como ejemplo la configuracio n experimental para estudiar eventos ela sticos de colisiones p p en el experimento D del acelerador TEVATRON []. El punto de interaccin (PI) se encuentra ubicado en el centro del detector principal del experimento D (que no se incluye en el diagrama). Alrededor del punto de colisio n se observa una serie de magnetos cuadrupolares usados para enfocar los haces de partı culas en el PI. Un proto n/antiproto n dispersado pasa a trave s de los magnetos cuadrupolares y llega a la primera estacio n de ollas romanas (ubicadas a m del PI), posteriormente atraviesa un separador electrosta tico, para mantener apartados los haces de protones y antiprotones fuera del punto de interaccio n, y arriba a una segunda estacio n (ubicada a m del PI). Los registros de coordenadas de los detectores atravesados en ambas estaciones permiten reconstruir el a ngulo de dispersio n en el PI usando la ecuacio n y teniendo conocimiento de los campos magne ticos y ele ctricos producidos en los magnetos y en el separador. Las estaciones atravesadas por un antiproto n (proto n) dispersado son llamadas A (P ) y A (P ). En cada estacio n hay 4 detectores (U,D se mueven sobre el eje vertical alrededor del haz, y O,I sobre el plano horizontal). Un evento ela stico es etiquetado si hay un antiproto n atravesando dos detectores A y A, en coincidencia con un proto n atravesando dos detectores P y P, exigiendo que las coincidencias de los detectores cumplan con la condicio n de colinearidad. La Figura muestra una comparacio n tı pica de las coordenadas verticales para antiprotones y protones dispersados en la misma colisio n. Se observa la correlacio n de las coordenadas correspondientes a la condicio n de colinearidad pero adicionalmente se observan eventos de background superpuestos a la banda de correlacio n, que se deben sustraer en el ana lisis de datos. El ancho de la banda de correlacio n es consecuencia de la divergencia de los haces de partı culas y de la resolucio n de los detectores. En los colisionadores de partı culas de altas energı as se tiene como objetivo principal la bu squeda y estudio de eventos con secciones eficaces muy bajas, lo que requiere tomar datos con las luminosidades ma s altas posibles. Para incrementar la luminosidad se usan los magnetos cuadrupolares para enfocar al ma ximo los haces de partı culas y reducir sus a reas transversales en el punto de colisio n. Esto tiene como efecto que las a reas transversales del haz en otros puntos del acelerador se incrementan haciendo que las ollas romanas no puedan ser ubicadas tan cerca al centro del haz de partı culas como se requiere. Para la toma de datos de colisiones ela sticas, por lo tanto, se requiere lo opuesto: bajas luminosidades a traves de un menor enfoque en el punto de colisio n, de esta manera se reduce el a rea transversal en los puntos donde esta n ubicadas las estaciones de las ollas romanas permitiendo que se puedan ubicar ma s cerca al centro del haz de partı culas. V. MODELOS FENOMENOLO GICOS Dado que la cromodina mica cua ntica perturbativa no puede explicar dispersio n ela stica, se recurre a la expansio n de la amplitud de dispersio n en ondas parciales para extender las propiedades de unitariedad, analiticidad y simetrı a de cruce de la amplitud de dispersio n a dominios de momento angular mas amplios, como por ejemplo valores continuos y valores complejos. Si se ignora spin la amplitud de dispersio n se puede expandir

7 Rev. Acad. Colomb. Cienc. 8(Supl.):-7, 4 7 Figura : Esquema de las estaciones de ollas romanas (A, A, P, P ) del experimento D del laboratorio Fermilab. Las letras U, D, I, O indican los detectores que se pueden mover cerca al haz de partı culas. La propiedad de unitariedad de f (s, t) garantiza que la suma de las secciones eficaces de dispersio n σ para cada onda parcial nos debe dar como resultado la seccio n eficaz total (σt = σ ), en otras palabras la propiedad p y (mm) de unitariedad exige que la suma de las probabilidades de dispersio n de cada onda parcial sea igual o menor que la unidad. La propiedad de analiticidad se refiere a que la amplitud de dispersio n se puede expandir en una serie de potencias convergente y por lo tanto es infinitamente diferenciable, excepto en un nu mero finito de puntos. La simetrı a de cruce se refiere a que la observacio n del proceso de interaccio n a + b c + d implica la existencia de las interacciones donde se cruza la partı cula al otra lado de la reaccio n cambia ndola por su antipartı cula: a + c b + d, d + c b + a, a+ b + c + d, etc. yp (mm) A. Figura : Comparacio n de coordenadas verticales (medidas desde la base del detector) para coincidencias entre detectores de protones y antiprotones. La banda oscura corresponde a la correlacio n de las coordenadas debido a que el a ngulo de dispersio n de ambas partı culas que colisionan ela sticamente es el mismo. Los puntos superpuestos a la banda de correlacio n corresponden a eventos de background. como una serie de polinomios de Legendre: f (s, t) = k ( + )P (cosθ)a (k) () Donde s, t son las variables de Mandelstam y a (k) es la amplitud de dispersio n para la -e sima onda parcial. Esta u ltima se puede determinar a partir del corrimiento de fase δ de la onda parcial con momento angular : eiδ i La descripcio n de una interaccio n desde meca nica cla sica se hace a trave s del para metro de impacto b que corresponde a la distancia perpendicular entre la trayectoria inicial de movimiento de la partı cula proyectil y el centro dispersor. Los modelos geome tricos que describen dispersio n ela stica esta n basados en la representacio n de la amplitud de dispersio n en el espacio del para metro de impacto [] y en la propiedad de unitariedad de la amplitud de dispersio n. A altas energı as la amplitud de dispersio n debe tener contribuciones de ondas parciales con valores muy grandes de, por lo que se hace conveniente cambiar la suma discreta de ondas parciales por una integral ( d ), para esto usamos la relacio n = a (k) = Modelos Geome tricos () cla sica entre momento angular y para metro de impacto y por conveniencia adicionamos a un factor de / que tiene un efecto despreciable para valores grandes de : + = bk. Igualmente podemos usar la siguiente aproximacio n para los polinomios de Legendre: para, P (cosθ) J (qb), con q = t y t definido en la ecuacio n (q es el momento transferido). Poniendo estas aproximaciones juntas podemos reescribir la amplitud de

8 8 Im(l) dispersio n en te rminos de una doble integral: kbj (qb)a(b, s)db f (s, t) = C k = π π bdb a(b, s)ei q b dφ (4) C Re(l) e Ω(b,s) i () Donde Ω(s, b) corresponde a la opacidad que presenta el hadro n para un para mero de impacto b. La amplitud dispersio n se escribe como (d b = bdbdφ): ik d bei q b e Ω(b,s) (6) f (s, t) = π Diferentes modelos de estructura del hadro n se ven reflejados en la funcio n Ω(b, s) [ ]. Siguiendo las relaciones 6 y y usando la ecuacio n 6 podemos escribir: σt = e{ e Ω(b,s) }d b (7) e Ω(b,s) d b (8) σel = Un modelo sencillo es asumir que el hadro n es un disco negro de radio R, en este caso Ω y σt = πr, σel = πr, es decir que el caso en que asinto ticamente con la energı a el hadro n se llegue a comportar como un disco negro se esperarı a la seccio n eficaz ela stica sea la mitad de la seccio n eficaz total. Existen trabajos que indican que con los datos existentes de σt ya se puede confirmar este comportamiento [6]. B. Teorı a de Regge y el Pomero n La teorı a de Regge esta basada en extender la expansio n en ondas parciales al plano complejo de momento angular. Usamos la transformacio n de SommerfeldWatson [7] para este propo sito: a(l, s) f (s, t) = P (, s, t)d (9) ( + ) ik C sen(π ) El contorno de integracio n C rodea el eje real positivo de, como se indica en la Figura 4. Las funciones a(, s) y P (, s, t) son las continuaciones de a (k) y los polinomios de Legendre P a valores complejos de. Como los polos.α n Donde se ha sustituido al (k) por a(b, s) y en el u ltimo te rmino de la derecha se uso la representacio n integral de la funcio n de Bessel J (qb) (φ hace referencia al a ngulo azimutal). La parte fenomenolo gica entra en modelar la funcio n a(b,s) que describa correctamente los datos experimentales. Siguiendo la relacio n, a(b, s) se puede escribir como: a(b, s) =.α i () / 4 Figura 4: Contornos de integracio n para la Transformacio n de Sommerfeld-Watson donde se indican dos polos de Regge. del integrando se encuentran en valores enteros de, por el teorema de residuos obtenemos la expansio n original en ondas parciales dada por en la ecuacio n. Si deformamos el contorno C a C, donde C va desde un valor de / i a / + i (una lı nea vertical paralela al eje imaginario con e( ) = /), el nuevo contorno C puede encerrar polos de a(l, s). Si el i-e simo polo ubicado en = α(t) (llamado polo de Regge) tiene un residuo βi (t) podemos reescribir la amplitud de dispersio n como : f (s, t) = ik + i +i ( + ) i a(l, s) P (, s, t)d sen(π ) βi (t) P (α(t), s, t) sin(παi (t)) () En el lı mite cuando s la integral de la expresio n sα(t), anterior tiende a cero y la funcio n P (α(t), s, t) s por lo que la amplitud de dispersio n se simplifica a: β(t)sα(t) f (s, t) s () Donde β(t) contiene todos los factores que dependen de t. Para valores reales y positivos de t los polos de Regge representan resonancias y estados ligados, α(t) representa una trayectoria de Regge (o Reggeo n) que se interpola entre las diferentes resonancias o estados ligados y que sigue una lı nea recta: α(t) = α() + α t. Si usamos esta trayectoria de Regge y la ecuacio n 8 podemos escribir la seccio n diferencial ela stica como: dσel = F (t)sα() e α t ln(s) () Donde F(t) tiene en cuenta los residuos.tambie n podemos usar el teorema o ptico para obtener: sα() σt s () El intercepto de la trayectoria de Regge es el que contribuye a la seccio n eficaz total. Las trayectorias de Regge

9 Rev. Acad. Colomb. Cienc. 8(Supl.):-7, 4 9 conocidas hasta el momento tienen interceptos α() <, lo que implicarı a que σt decrecerı a con la energı a, lo cual esta en contraposicio n con las observaciones experimentales que indican que σt decrece con la energı a hasta llegar a una regio n plana y luego comienza a aumentar. Para conciliar la teorı a de Regge con los experimentos se hace necesario la existencia de una trayectoria de Regge con intercepto α() >, a esta trayectoria se le llama Pomero n, la cual hasta el momento no se puede asociar con ninguna partı cula y es tema de estudio tanto a nivel teo rico como experimental. Una indicacio n de que efectivamente el Pomero n es una buena explicacio n para el creciemiento de σt son las parametrizaciones propuestas por Donachie y Landshoff [8] donde los datos experimentales de σt son correctamente descritos a trave s de la suma de un Reggeo n ma s un Pomero n. Existen algunos modelos teo ricos que predicen la existencia de ma s de un Pomero n [9] y la existencia de un compan ero del Pomero n llamado Oddero n [] para el cual no hay evidencia experimental hasta el momento, pero que puede tener consecuencias en el comportamiento asinto tico de σt. C. A partir de la expansio n en ondas parciales de la amplitud de dispersio n y de sus propiedades de unitariedad se puede encontrar una cota para el crecimiento de la seccio n eficaz total con la energı a, que se le llama el lı mite de Froissart, el cual indica que para que se mantenga unitariedad la seccio n eficaz total no puede crecer ma s ra pido que ln (s) []: π ln (s) mπ RELACIONES DE DISPERSIO N A partir del teorema de Cauchy se pueden derivar relaciones de dispersio n integrales que establecen ecuaciones entre las partes real e imaginaria de la amplitud de dispersio n []: ef (E) = P π m mf (E ) mf ( E ) + E E E + E de () Donde P antes de la integral significa el valor principal de Cauchy. Si consideramos la amplitud de dispersio n, f, como compuesta de dos te rminos con paridad par (f+ ) e impar (f ), podemos escribir la amplitud de dispersio n para colisiones hadro n-hadro n (ab) y antihadro n-hadro n (a b) como: fab = f+ + f fa b = f+ f (6) (7) Se puede demostrar que las amplitudes f+, f cumplen con las siguientes relaciones de dispersio n en te rminos de derivadas [, 4]: Teoremas asinto ticos σt < VI. d mf+ π α + = s tan (8) d ln(s) sα d mf π α+ = sα tan (9) d ln(s) sα ef+ ef α En este trabajo usaremos las relaciones de dispersio n integrales para poder estudiar simulta neamente los datos de σt y ρ. (4) VII. Donde mπ es la masa del pio n. Las observaciones hechas con los u ltimos aceleradores de partı culas, en el rango de energı as de TeV, han conducido al debate de si existe evidencia suficiente de la saturacio n del lı mite de Froissart y que implicaciones tendrı a esta saturacio n []. El comportamiento asinto tico de los para metros que describen dispersio n ela stica se convierten en una herramienta fundamental para restringir los diferentes modelos fenomenolo gicos. Este comportamiento asinto tico se puede determinar a partir de las propiedades de la amplitud de dispersio n. El teorema de Pomeranchuk [8] es una de las restricciones mas importantes que deben cumplir los diferentes modelos. Este teorema predice que a altas energı as las secciones eficaces para colisiones hadro nhadro n y antihadro n-hadro n (por ejemplo pp y p p) convergen a un mismo valor. La predicio n del teorema de Pomeranchuk es ratificada por los datos actuales, como se puede ver en la Figura 7. ESTUDIO DE LA SECCIO N EFICAZ DIFERENCIAL En este trabajo presentamos un estudio modeloindependiente de dσ/. Basados en el hecho que dσ/ muestra un decaimiento exponencial pronunciado antes del mı nimo de difraccio n y un segundo decaimiento exponencial, menos pronunciado, despue s del mı nimo de difraccio n. Podemos construir una amplitud de dispersio n como la suma de dos te rminos exponenciales con diferente pendiente nuclear y que difieren de una fase entre ellas. La interferencia que se presenta entre los dos te rminos exponenciales puede explicar la profundidad del mı nimo de difraccio n y tambie n porque esa profundidad es diferente para colisiones hadro n-hadro n y antihadro nhadro n. La amplitud de dispersio n la podemos escribir como: f (s, t) = kσt (+ρ )/ e B t/ + Ce B t/ eiφ 4πc (4)

10 6 pp pp 9.4 GeV 6 GeV. GeV 8 GeV 46 GeV 96 GeV pp pp GeV. GeV. GeV. GeV 6. GeV 7 GeV dσ/ (mb/gev ) 8 x 6 x x4 x 8 x4 6 x 4 x x x 8 6 x Figura : dσ/ para colisiones p p y sus correspondientes ajustes. La escala vertical ha sido normalizada de manera diferente para diferenciar los datos de cada energı a En las Figuras y 6 se presentan los resultados a los ajustes hechos a los datos de dσ/ para colisiones p p y pp respectivamente, donde se demuestra que la parametrizacio n propuesta describe correctamente los datos desde energı as de colisio n de 9 GeV hasta 7 TeV para colisiones pp (desde 9 GeV hasta.96 TeV para colisiones p p). Las energı as de 9 GeV y GeV, donde se tienen datos para ambos tipos de colisiones, muestran que las pendientes nucleares antes y despue s del mı nimo de difraccio n son similares, dentro de las barras de error, para colisiones pp y p p. La diferencia en dσ/ para ambos tipos de colisiones se presenta en el mı nimo de de difraccio n que en un caso es constructiva (p p) y en el otro caso es destructiva (pp) t (GeV ) Figura 6: dσ/ para colisiones pp y sus correspondientes ajustes. La escala vertical ha sido normalizada de manera diferente para diferenciar los datos de cada energı a VIII. Nuestra motivacio n para proponer esta amplitud de dispersio n es meramente empı rica, al igual que en los trabajos desarrollados en [7] y []. Esta parametrizacio n tambie n converge a la ecuacio n cuando solo un decaimiento exponencial es considerado para dσ/. Sin embargo, te rminos similares para la amplitud de dispersio n se obtienen a partir del modelo quarkdiquark [6], [7]. t (GeV ) GeV dσ/ (mb/gev ) ESTUDIO DE LA SECCIO N EFICAZ TOTAL En el presente trabajo estudiamos el comportamiento logarı tmico de la seccio n eficaz sin estar atados a un modelo fenomenolo gico en particular, en vez de esto usamos la parametrizacio n propuesta por Amaldi []: σ = A E N ± A E N + C + C lnγ (s) (4) Donde el signo + ( - ) se usa para obtener σp p (σpp ). Los dos primeros te rminos son usados para describir el comportamiento de la seccio n eficaz a baja energı a. El u ltimo te rmino describe el comportamiento asinto tico de σt. Dado que σt es proporcional a la parte imaginaria de la amplitud de dispersio n, y el para metro ρ esta definido como el cociente entre la parte real sobre la parte imaginaria de la amplitud de dispersio n, usando relaciones de dispersio n integrales podemos obtener el producto ρσ, para colisiones pp como: E kρσ = B + P π m σp p σpp E (E E) E (E + E) k de (4) De manera similar se obtiene una ecuacio n para el producto ρσ para colisiones p p (intercambiando σpp por σp p en el integrando).

11 Rev. Acad. Colomb. Cienc. 8(Supl.):-7, 4. 8 p p data 6 p p data.. ρ σ (mb) 4 -. p p data 8 -. p p data s (GeV) Las ecuaciones 4 y 4 se pueden usar para hacer un ajuste simulta neo por el me todo de mı nimos cuadrados (usando el paquete MINUIT [8])a los datos de σt y ρ para las colisiones pp, p p, π ± p y K ± p [9], [4]. La parametrizacio n usada no describe la regio n de energı as donde se presentan resonancias de σt, por eso so lo se incluyen datos con energı as mayores a s = GeV. En la referencia [4] se reporta un trabajo similar, usando relaciones de dispersio n diferenciales, solo para colisiones pp y p p. El aporte del presente estudio es incluir los datos de otras reacciones y el uso de relaciones de dispersio n integrales. Dado que nuestra muestra de datos es mayor, especialmente a bajas energı as, el estudio que se presenta permite obtener con mayor precisio n los para metros de la parametrizacio n de Amaldi. En total se consideraron 7 datos para el fit simulta neo, con 8 parametros libres. Los datos fueron obtenidos de la bse de datos de Durham [4] y del grupo de datos de partı culas [4]. Siguiendo los resultados de Donnchie y Landshoff [8], quienes fueron los primeros en demostrar que las secciones eficaces de diferentes procesos hadro n - hadro n incrementan en la misma proporcio n con la energı a, se asumio en los fits realizados como para metros comunes, para todos los tres tipos de reaccio n estudiada, los exponentes de la parametrizacio n de Amaldi: N, N, γ. Los resultados obtenidos indican que la parametrizacin de Amaldi describe apropiadamente los datos experimentales (χ /grado de libertad =,), los cuales son compatibles con un crecimiento con la energı a para σt como ln (s) (γ =, 4 ±, ) por lo que se concluye que a altas energı as σt para colisiones hadro n-hadro n y antihadro n-hadro n crece a la ma xima rata esperada por el lı mite de Froissart pero no hay evidencia experimental suficiente que permita concluir que este lı mite se viole. Aunque el valor de σ obtenido esta por encima de,, la incertidumbre au n 4 s (GeV) Figura 8: Para metro ρ para colisiones pp y p p y sus corerspondientes ajustes. 4 4 σ (mb) Figura 7: σt para colisiones pp y p p y sus correspondientes ajustes. K+- p data K p data π+ p data π- p data s (GeV) Figura 9: Datos de σt para colisiones πp y Kp y sus correspondientes ajustes. lo hace estadı sticamente compatible con,. A bajas energı as las secciones eficaces π + p y π p difieren entre ellas por los canales adicionales de aniquilacio n de los quarks u y u (presentes en la reaccio n π p) que tienen mayor contribucio n que los canales de En el caso de colisioaniquilacio n entre quarks d y d. nes Kp los canales de aniquilacio n quark-antiquark se reducen y adema s intervienen quarks tipo s o s en la reaccio n, por esta razo n la seccio n eficaz es ma s baja que en colisiones πp y pp, como se muestra en la Figura 9. Aunque se usaron los datos de ρ para colisiones πp y Kp no se incluye una gra fica dado que son muy pocos los datos que existen. La tabla I presenta el valor de los para metros que mejor se ajustan a los datos con sus respectivas incertidumbres. Los resultados de los

12 Tabla I: Valores de los para metros con el mejor ajuste a los datos experimentales (χ /grado de libertad =.). N N γ Ap Ap Cp Cp Bp Aπ Valor,9 ±,, ±,,4 ±, 4, ±,7,4 ±,74 8, ±,8,4 ±,7 -,4 ± 7,67,8 ±, Aπ Cπ Cπ Bπ AK AK CK CK Bp Valor,6 ±,,84 ±,9, ±, -9, ± 4,78, ±, 8, ±,9,9 ±,9, ±, -,4 ± 6,4 ajustes permiten hacer una extrapolacio n a la energı a de 4 TeV, correspondiente a la energı a de disen o del acelerador LHC y a la cual se espera tomar datos en el an o. La prediccio n para σtpp que se obtiene es: σtpp = 9, ±, 6 mb. A esta energı a los dos primeros te rminos de la parametrizacio n de Amaldi tienen una contribucio n despreciable (,%), lo que indica que el comportamiento asinto tico esta u nicamente dictado por el te rmino logarı tmico. IX. CONCLUSIONES es diferente para colisiones hadro n-hadro n y antihadro nhadro n. El estudio realizado a las secciones eficaces totales para las reacciones p p, pp, π ± p, K ± p permite concluir que las secciones eficaces para estos procesos tienen la misma rata de crecimiento a altas energı as y que el valor de la seccio n eficaz depende del tipo de quarks que intervienen en la reaccio n, por esta razo n las secciones eficaces para colisiones Kp son ma s bajas que en el caso πp y este u ltimo a su vez tiene una seccio n eficaz ma s baja que en el caso pp, dado que hay menor nu mero de quarks interviniendo en la reaccio n. Se demostro en el presente trabajo que el incremento de la seccio n eficaz total con la energı a, a altas energı as, se puede describir como un te rmino de la forma lnγ (s) donde γ es compatible, dentro de su incertidumbre, con el valor de,, por lo que se concluye que los datos experimentales indican que la seccio n eficaz total incrementa a altas energı as a la rata ma xima que permite la condicio n de unitariedad (descrita por el lı mite de Froissart) y no existe evidencia experimental de violacio n del lı mite de Froissart. Los datos que se tomen a la energı a de centro de masa de 4 TeV, en el acelerador LHC, sera n fundamentales para reducir la incertidumbre del para metro γ. Actualmente los datos a altas energı as provienen, en su mayorı a de mediciones con rayos co smicos, que presentan incertidumbres muy altas. Finalmente, se ha hecho una prediccio n para σtpp a la energı a de centro de masa de 4 TeV de 9 mb con una incertidumbre de, %. En el presente trabajo se ha hecho una corta revisio n de dispersio n ela stica y secciones eficaces totales hadro nhadro n y antihadro n-hadro n. El estudio realizado de dσ/ para colisiones p p y pp permite corroborar que los datos experimentales son adecuadamente descritos por una amplitud de dispersio n compuesta por dos te rminos exponenciales que difieren en una fase. El te rmino de interferencia que resulta por la diferencia de fase es el que determina la forma del mı nimo de difraccio n, que Agradezco a COLCIENCIAS, a la Facultad de Ciencias y al Departamento de Fı sica de la Universidad de los Andes por la financiacio n a las actividades de investigacio n del grupo de Altas Energı as. [] J. Forshaw and D.A. Ross, Quantum Chromodynamics and the Pomeron (Cambridge University Press, Cambridge, 997). [] U. Amaldi et al., Phys. Lett. B 66, 9 (977). [] M. Froissart, Phys. Rev., (96). [4] G. Antchev et al., Europhys. Lett., (). [] G. Antchev et al., Europhys. Lett., 4 (). [6] G. Antchev eta al., Phys. Rev. Lett., (). [7] R. Phillips, V. Barger, Phys. Lett. B 46, 4 (97). [8] M. Block, Phys. Rep. 46, 7 (6). [9] G. B. West, and D. Yennie, Phys. Rev. 7, 4 (968). [] M. G. Minty and F. Zimmerman, Measurement and Control of Charged Particle Beams (Springer-Verlag, Berlin, ). [] E. Martynov, arxiv:.9 (). [] T. Andeen et al., FERMILAB-TM-6 (7). [] S. Chatrchyan et al. (CMS Collaboration), Phys. Lett. B 7, (). [4] M. S. Alam et al. (ATLAS Collaboration), Nature Commun., 46 (). [] F. Abe et al. (CDF Collaboration), Phys. Rev. D, (994). [6] N. Amos et al. (E7 Collaboration), Phys. Lett. B 4, 8 (99). [7] C. Avila et al. (E8 Collaboration), Phys. Lett. B 44, 49 (999). [8] P. Abreu et al. (Auger Collaboration), Phys. Rev. Lett. 9, 6 (). [9] U. Amaldi et al., Phys. Lett. B 44, (97). [] V. M. Abazovet al.,(d Collaboration), Phys. Rev. D 86, 9 (). [] V. Barone and E.Predazzi, High Energy Particle Diffraction (Springer-Verlag, Berlin, ). [] U. Amaldi, K. R. Schubert, Nucl. Phys. B 66, (98). [] V. Anisovich, and V. Nikonov, arxiv:6.7 (). 6 AGRADECIMIENTOS

ACADEMIA COLOMBIANA. de Ciencias Exactas, Físicas y Naturale REVISTA DE LA. Vol. 38 Suplemento Págs Bogotá - Colombia ISSN

ACADEMIA COLOMBIANA. de Ciencias Exactas, Físicas y Naturale REVISTA DE LA. Vol. 38 Suplemento Págs Bogotá - Colombia ISSN ISSN 0370-3908 Academia Colombiana de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales REVISTA DE LA ACADEMIA COLOMBIANA de Ciencias Exactas, Físicas y Naturale Vol. 38 Suplemento Págs. 1-225 2014 Bogotá - Colombia

Más detalles

Theory Espanol (Colombia) El Gran Colisionador de Hadrones (Large Hadron Collider) (10 puntos)

Theory Espanol (Colombia) El Gran Colisionador de Hadrones (Large Hadron Collider) (10 puntos) Q3-1 El Gran Colisionador de Hadrones (Large Hadron Collider) (10 puntos) Por favor asegúrese de leer las instrucciones generales dentro del sobre adjunto antes de comenzar a resolver este problema. En

Más detalles

Theory Spanish (Costa Rica) El Gran Colisionador de Hadrones (Large Hadron Collider LHC) (10 puntos)

Theory Spanish (Costa Rica) El Gran Colisionador de Hadrones (Large Hadron Collider LHC) (10 puntos) Q3-1 El Gran Colisionador de Hadrones (Large Hadron Collider LHC) (10 puntos) Por favor asegúrese de leer las instrucciones generales del sobre adjunto antes de comenzar a resolver este problema. En este

Más detalles

Theory latin spanish (El Salvador) Gran Colisionador de Hadrones (Large Hadron Collider LHC) (10 puntos)

Theory latin spanish (El Salvador) Gran Colisionador de Hadrones (Large Hadron Collider LHC) (10 puntos) Q3-1 Gran Colisionador de Hadrones (Large Hadron Collider LHC) (10 puntos) Por favor lea las instrucciones generales, que están dentro del sobre adjunto, antes de comenzar este problema. En este problema

Más detalles

ANÁLISIS DE MUONES CÓSMICOS CON EL DETECTOR DE MUONES DEL EXPERIMENTO CMS DEL ACELERADOR LHC

ANÁLISIS DE MUONES CÓSMICOS CON EL DETECTOR DE MUONES DEL EXPERIMENTO CMS DEL ACELERADOR LHC ANÁLISIS DE MUONES CÓSMICOS CON EL DETECTOR DE MUONES DEL EXPERIMENTO CMS DEL ACELERADOR LHC Máster en Física Fundamental Javier Santaolalla Camino CIEMAT Junio de 2008 Facultad de Ciencias Físicas Universidad

Más detalles

Dispersión de Rutherford

Dispersión de Rutherford Capítulo Dispersión de Rutherford. Ernest Rutherford. El experimento de Geiger y Marsden.3 Sección eficaz diferencial Veamos ahora si podemos intuir cómo fue que Rutherford interpretó los resultados obtenidos

Más detalles

Campo Magnético en un alambre recto.

Campo Magnético en un alambre recto. Campo Magnético en un alambre recto. A.M. Velasco (133384) J.P. Soler (133380) O.A. Botina (133268) Departamento de física, facultad de ciencias, Universidad Nacional de Colombia Resumen. Se hizo pasar

Más detalles

Para ilustrar las ideas básicas, supongamos un ejemplo simple de potencial

Para ilustrar las ideas básicas, supongamos un ejemplo simple de potencial Mecánica Cuántica Avanzada Carlos Pena 5-5. Resonancias. [Ros XVI.5, Sak 7.7-8, Ynd.7] Motivación El concepto de resonancia es una pieza clave en el uso de los procesos de dispersión cuántica para el estudio

Más detalles

Es un proceso de separación mecánica de partículas a través de un fluido por acción de la fuerza de centrífuga.

Es un proceso de separación mecánica de partículas a través de un fluido por acción de la fuerza de centrífuga. Centrifugación Es un proceso de separación mecánica de partículas a través de un fluido por acción de la fuerza de centrífuga. Principio: El principio de la sedimentación es la diferencia de densidades

Más detalles

LIGHT SCATTERING MEASUREMENTS FROM SMALL DIELECTRIC PARTICLES

LIGHT SCATTERING MEASUREMENTS FROM SMALL DIELECTRIC PARTICLES LIGHT SCATTERING MEASUREMENTS FROM SMALL DIELECTRIC PARTICLES M.Sc. Abner Velazco Dr. Abel Gutarra abnervelazco@yahoo.com Laboratorio de Materiales Nanoestructurados Facultad de ciencias Universidad Nacional

Más detalles

Apéndice B Dispersión de rayos X a bajos ángulos (SAXS)

Apéndice B Dispersión de rayos X a bajos ángulos (SAXS) Apéndice B Dispersión de rayos X a bajos ángulos (SAXS) Dispersión de rayos X a bajos ángulos La dispersión de rayos X a bajos ángulos, o SAXS (Small Angle X-ray Scattering) es una técnica basada en analizar

Más detalles

7.- Teorema integral de Fourier. Transformada de Fourier

7.- Teorema integral de Fourier. Transformada de Fourier 7.- Teorema integral de Fourier. Transformada de Fourier a) Introducción. b) Transformada de Fourier. c) Teorema integral de Fourier. d) Propiedades de la Transformada de Fourier. e) Teorema de Convolución.

Más detalles

Practica nº n 5: Fenómenos de Difracción.

Practica nº n 5: Fenómenos de Difracción. Facultad de Farmacia Universidad de Granada Departamento de Química Física Practica nº n 5: Fenómenos de Difracción. OBJETIVOS 1.Observar los fenómenos de difracción Rendija simple Rendija doble 2.Calcular

Más detalles

DERIVADAS. Para hallar la pendiente de una curva en algún punto hacemos uso de la recta tangente de una curva en un punto.

DERIVADAS. Para hallar la pendiente de una curva en algún punto hacemos uso de la recta tangente de una curva en un punto. DERIVADAS Tema: La derivada como pendiente de una curva Para hallar la pendiente de una curva en algún punto hacemos uso de la recta tangente de una curva en un punto. La pendiente de la curva en el punto

Más detalles

TALLER DE OSCILACIONES Y ONDAS

TALLER DE OSCILACIONES Y ONDAS TALLER DE OSCILACIONES Y ONDAS Departamento De Fı sica y Geologı a, Universidad De Pamplona DOCENTE: Fı sico Amando Delgado. TEMAS: Todos los desarrollados el primer corte. 1. Determinar la frecuencia

Más detalles

Título do proxecto: Estudio del flujo de muones con respecto a su ángulo cenital Autora: Isabel Sáinz Sáenz-Diez Docente: Tino Álvarez Muíña

Título do proxecto: Estudio del flujo de muones con respecto a su ángulo cenital Autora: Isabel Sáinz Sáenz-Diez Docente: Tino Álvarez Muíña Título do proxecto: Estudio del flujo de muones con respecto a su ángulo cenital Autora: Isabel Sáinz Sáenz-Diez Docente: Tino Álvarez Muíña Introducción Objetivos de la investigación: Adentrarse en el

Más detalles

REALES DECRETOS SOBRE LAS ENSE ANZAS MêNIMAS. EDUCACIîN SECUNDARIA OBLIGATORIA

REALES DECRETOS SOBRE LAS ENSE ANZAS MêNIMAS. EDUCACIîN SECUNDARIA OBLIGATORIA REALES DECRETOS SOBRE LAS ENSE ANZAS MêNIMAS PRIMER CURSO EDUCACIîN SECUNDARIA OBLIGATORIA Nœmeros naturales. El sistema de numeraci n decimal. Divisibilidad. Fracciones y decimales. Operaciones elementales.

Más detalles

Conceptos básicos sobre interacción de la radiación ionizante con la materia

Conceptos básicos sobre interacción de la radiación ionizante con la materia Conceptos básicos sobre interacción de la radiación ionizante con la materia Martín Gascón Introducción al laboratorio de Física Nuclear Técnicas experimentales avanzadas Departamento de Física de Partículas

Más detalles

Funciones y ecuaciones exponenciales y logarítmicas

Funciones y ecuaciones exponenciales y logarítmicas MB000 _MAAL_Eponenciales Versión: Septiembre 01 Funciones y ecuaciones eponenciales y arítmicas por Oliverio Ramírez Juárez Las funciones eponenciales sirven de apoyo en distintos campos del conocimiento

Más detalles

Programa de Doctorado en Física Pontificia Universidad Católica de Valparaíso Universidad Técnica Federico Santa María

Programa de Doctorado en Física Pontificia Universidad Católica de Valparaíso Universidad Técnica Federico Santa María 1 Mecánica Clásica - II Semestre 2014 Programa de Doctorado en Física Pontificia Universidad Católica de Valparaíso Universidad Técnica Federico Santa María Problema 1. Una barra rígida (de altura despreciable)

Más detalles

Física, Serway, tomo 1, cuarta edición halle las tensiones T 1, T 2 y T 3 en el sistema indicado.

Física, Serway, tomo 1, cuarta edición halle las tensiones T 1, T 2 y T 3 en el sistema indicado. Problemas propuestos y resueltos Leyes de Newton Elaborado por: profesora Pilar Cristina Barrera Silva Física, Mg. Educación Cometarios y sugerencias: picriba@hotmail.com Física, Serway, tomo 1, cuarta

Más detalles

PRÁCTICA 6: PÉNDULO FÍSICO Y MOMENTOS DE INERCIA

PRÁCTICA 6: PÉNDULO FÍSICO Y MOMENTOS DE INERCIA Departamento de Física Aplicada Universidad de Castilla-La Mancha Escuela Técnica Superior Ing. Agrónomos PRÁCTICA 6: PÉNDULO FÍSICO Y MOMENTOS DE INERCIA Materiales * Varilla delgada con orificios practicados

Más detalles

UNIDAD II Ecuaciones diferenciales con variables separables

UNIDAD II Ecuaciones diferenciales con variables separables UNIDAD II Ecuaciones diferenciales con variables separables UNIDAD ECUACIONES DIFERENCIALES CON VARIABLES SEPARABLES Ecuaciones diferenciales de primer orden y de primer grado. Una ecuación diferencial

Más detalles

Derivada y diferencial

Derivada y diferencial Derivada y diferencial Una cuestión, que aparece en cualquier disciplina científica, es la necesidad de obtener información sobre el cambio o la variación de determinadas cantidades con respecto al tiempo

Más detalles

En la figura 1 se observan los cambios de polaridad (positivo y negativo) y las variaciones en amplitud de una onda de ca.

En la figura 1 se observan los cambios de polaridad (positivo y negativo) y las variaciones en amplitud de una onda de ca. Página 1 de 7 TENSION ALTERNA En la figura 1 se observan los cambios de polaridad (positivo y negativo) y las variaciones en amplitud de una onda de ca. Puede definirse un voltaje alterno como el que varía

Más detalles

Lección 7. Ecuaciones de Maxwell. Ondas electromagnéticas.

Lección 7. Ecuaciones de Maxwell. Ondas electromagnéticas. Lección 7. Ecuaciones de Maxwell. Ondas electromagnéticas. 201. Escribir las ecuaciones de Maxwell válidas en medios materiales. Definir los diferentes términos y su significado físico. Deducir las condiciones

Más detalles

REPASO Interferencia

REPASO Interferencia REPASO Interferencia Dos fuentes de ondas coherentes separadas por una distancia 4 Considere un punto a en el eje x. las dos distancias de S 1 a a y de S 2 a a son iguales las ondas requieren tiempos iguales

Más detalles

Práctica 5: Ondas electromagnéticas planas en medios dieléctricos

Práctica 5: Ondas electromagnéticas planas en medios dieléctricos Práctica 5: Ondas electromagnéticas planas en medios dieléctricos OBJETIVO Esta práctica de laboratorio se divide en dos partes principales. El primer apartado corresponde a la comprobación experimental

Más detalles

Hoja de Problemas 5. Física Atómica.

Hoja de Problemas 5. Física Atómica. Hoja de Problemas 5. Física Atómica. Fundamentos de Física III. Grado en Física. Curso 25/26. Grupo 56. UAM. 3-3-26 Problema En 896 el astrónomo americano Edward Charles Pickering observó unas misteriosas

Más detalles

Anejo 1. Teoría de Airy. Solución lineal de la ecuación de ondas.

Anejo 1. Teoría de Airy. Solución lineal de la ecuación de ondas. Anejo 1. Teoría de Airy. Solución lineal de la ecuación de ondas. Introducción y ecuaciones que rigen la propagación del oleaje. La propagación de oleaje en un fluido es un proceso no lineal. Podemos tratar

Más detalles

Curso de Radiactividad y Medioambiente clase 4

Curso de Radiactividad y Medioambiente clase 4 Curso de Radiactividad y Medioambiente clase 4 Departamento de Física, Facultad de Ciencias Exactas - UNLP Instituto de Física La Plata CONICET Calle 49 y 115 La Plata Interacción de la radiación con la

Más detalles

Práctica Módulo de torsión

Práctica Módulo de torsión Práctica Módulo de torsión Objetivo eterminar el módulo de torsión de varillas de distintos materiales por los métodos estático y dinámico. Material Aparato de torsión representado en la figura, varillas

Más detalles

Ondas sonoras. FIS Griselda Garcia - 1er. Semestre / 23

Ondas sonoras. FIS Griselda Garcia - 1er. Semestre / 23 Ondas sonoras Las ondas sonoras son ondas mecánicas longitudinales las partículas se mueven a lo largo de la línea de propagación. La propagación de una onda sonora provoca desviaciones de la densidad

Más detalles

Paso de partículas α a traves medios materiales: pérdida de energía en aire

Paso de partículas α a traves medios materiales: pérdida de energía en aire Departamento de Fisica Atomica, Molecular y Nuclear Facultad de Ciencias Fisicas. UCM Asignatura: Radiofísica Paso de partículas α a traves medios materiales: pérdida de energía en aire 1. Introducción

Más detalles

Estudio de un modelo lineal EL CASO DE RESISTIVIDAD ELÉCTRICA

Estudio de un modelo lineal EL CASO DE RESISTIVIDAD ELÉCTRICA Estudio de un modelo lineal EL CASO DE RESISTIVIDAD ELÉCTRICA OBJETIVOS Encontrar la relación que existe entre la resistencia eléctrica, R, y la longitud, L, para determinado material escribiendo su ecuación

Más detalles

, de nuevo aplico 𝑦! 𝑦! = 36,0 𝑚 al resolver el tiempo 𝑡 = 1,49 𝑠 la distancia para la segunda piedra con este tiempo es: 𝑦!

, de nuevo aplico 𝑦! 𝑦! = 36,0 𝑚 al resolver el tiempo 𝑡 = 1,49 𝑠 la distancia para la segunda piedra con este tiempo es: 𝑦! Problemas propuestos y resueltos cinemática unidimensional Preparado por: Profesora Pilar Cristina Barrera Silva Propuesto por: profesora Pilar Cristina Barrera Silva Una partícula se mueve en una dimensión

Más detalles

La ciencia que estudia los fenómenos balísticos en general se denomina «Balística».

La ciencia que estudia los fenómenos balísticos en general se denomina «Balística». OTROS CONCEPTOS del MOVIMIENTO DEL PROYECTIL La ciencia que estudia los fenómenos balísticos en general se denomina «Balística». Contenido 1 Ecuaciones de la trayectoría balística 2 Movimiento balístico

Más detalles

Examen Final Fisi 3162/3172 Nombre: lunes, 18 de mayo de 2009

Examen Final Fisi 3162/3172 Nombre: lunes, 18 de mayo de 2009 Universidad de Puerto Rico Recinto Universitario de Mayagüez Departamento de ísica Examen inal isi 3162/3172 Nombre: lunes, 18 de mayo de 2009 Sección: Prof. Lea cuidadosamente las instrucciones. Seleccione

Más detalles

[ notas. FÍSICA ] El bosón de Higgs

[ notas. FÍSICA ] El bosón de Higgs [ notas. FÍSICA ] El bosón de Higgs El pasado 4 de julio, en el Laboratorio CERN, en Ginebra, Suiza, los voceros de los experimentos CMS y ATLAS anunciaron en rueda de prensa haber observado un bosón neutro

Más detalles

Magnetismo y Óptica Departamento de Física Universidad de Sonora

Magnetismo y Óptica Departamento de Física Universidad de Sonora Magnetismo y Óptica 2006 Departamento de Física Universidad de Sonora 1 Magnetismo y óptica 6. Difracción. a. Introducción a la difracción. Difracción de Fresnel y de Fraunhofer. b. Difracción de rendijas

Más detalles

1 Movimiento Ondulatorio

1 Movimiento Ondulatorio Movimiento Ondulatorio 1 1 Movimiento Ondulatorio Cuando se arroja una piedra al agua se produce una onda. En ella las partes del medio se desplazan sólo distancias cortas. Sin embargo a través de ellas

Más detalles

ÓPTICA GEOMÉTRICA: REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN DE LA LUZ

ÓPTICA GEOMÉTRICA: REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN DE LA LUZ 1 ÓPTICA GEOMÉTRICA: REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN DE LA LUZ INTRODUCCIÓN TEÓRICA: La característica fundamental de una onda propagándose por un medio es su velocidad (v), y naturalmente, cuando la onda cambia

Más detalles

Fricción. Fricción estática y cinética. Si las superficies en contacto presentan o no movimiento relativo, las fuerzas friccionales son diferentes.

Fricción. Fricción estática y cinética. Si las superficies en contacto presentan o no movimiento relativo, las fuerzas friccionales son diferentes. Fricción. Cuando dos superficies se tocan se ejercen fuerzas entre ellas. La fuente primordial de estas fuerzas superficiales o de contacto es la atracción o repulsión eléctrica entre las partículas cargadas

Más detalles

CINETICA QUIMICA. ó M s s

CINETICA QUIMICA. ó M s s CINETICA QUIMICA La Cinética Química se encarga de estudiar las características de una reacción química, con respecto a su velocidad y a sus posibles mecanismos de explicación. La velocidad de una reacción

Más detalles

Descenso del paracaidista en una atmósfera uniforme

Descenso del paracaidista en una atmósfera uniforme Descenso del paracaidista en una atmósfera uniforme Cuando un paracaidista se lanza desde el avión suponemos que su caída es libre, el peso es la única fuerza que actúa sobre él, la aceleración es constante,

Más detalles

1. Crecimiento de una función en un intervalo.

1. Crecimiento de una función en un intervalo. 1. Crecimiento de una función en un intervalo. Definición: Se llama Tasa de Variación Media de una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) en un intervalo [𝑎, 𝑏] al cociente: 𝑇. 𝑉. 𝑀. [𝑎, 𝑏] = 𝑓 𝑏 𝑓(𝑎) 𝑏 𝑎 También se puede expresar

Más detalles

Equilibrio de fuerzas Σ F z = 0. Σ M y = 0 Σ M x = 0 Σ M z = 0. Equilibrio de momentos. Segunda ley de Newton (masa)

Equilibrio de fuerzas Σ F z = 0. Σ M y = 0 Σ M x = 0 Σ M z = 0. Equilibrio de momentos. Segunda ley de Newton (masa) Estática: leyes de Newton: equilibrio, masa, acción y reacción Primera ley de Newton (equilibrio) Un cuerpo permanece en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U. = velocidad constante) si la

Más detalles

2.004 MODELISMO, DINÁMICA Y CONTROL II Primavera Boletín de problemas 3

2.004 MODELISMO, DINÁMICA Y CONTROL II Primavera Boletín de problemas 3 2.004 MODELISMO, DINÁMICA Y CONTROL II Primavera 2003 Boletín de problemas 3 Problema 1 Las dos masas a la derecha del dibujo están ligeramente separadas e inicialmente en reposo. La masa de la izquierda

Más detalles

Práctica #9 Ondas estacionarias en una cuerda

Práctica #9 Ondas estacionarias en una cuerda Física -Químicos do cuatrimestre 007 Práctica #9 Ondas estacionarias en una cuerda Objetivo Realizar un estudio experimental de ondas estacionarias en cuerdas con sus dos extremos fijos. Estudio de los

Más detalles

Problemas. Laboratorio. Física moderna 09/11/07 DEPARTAMENTO DE FÍSICA E QUÍMICA. Nombre:

Problemas. Laboratorio. Física moderna 09/11/07 DEPARTAMENTO DE FÍSICA E QUÍMICA. Nombre: Física moderna 9/11/7 DEPARTAMENTO DE FÍSICA E QUÍMICA Problemas Nombre: 1. Un muelle de constante k =, 1 3 N/m está apoyado en una superficie horizontal sin rozamiento. A 1, m hay un bucle vertical de

Más detalles

Distancia focal de una lente convergente (método del desplazamiento) Fundamento

Distancia focal de una lente convergente (método del desplazamiento) Fundamento Distancia focal de una lente convergente (método del desplazamiento) Fundamento En una lente convergente delgada se considera el eje principal como la recta perpendicular a la lente y que pasa por su centro.

Más detalles

Medida del campo magnético terrestre

Medida del campo magnético terrestre Práctica 8 Medida del campo magnético terrestre 8.1 Objetivo El objetivo de esta práctica es medir el valor del campo magnético terrestre. Para ello se emplea un campo magnético de magnitud y dirección

Más detalles

CONCEPTO DE CINEMÁTICA: es el estudio del movimiento sin atender a las causas que lo producen

CONCEPTO DE CINEMÁTICA: es el estudio del movimiento sin atender a las causas que lo producen CINEMÁTICA CONCEPTO DE CINEMÁTICA: es el estudio del movimiento sin atender a las causas que lo producen CONCEPTO DE MOVIMIENTO: el movimiento es el cambio de posición, de un cuerpo, con el tiempo (este

Más detalles

2 o Bachillerato. Conceptos básicos

2 o Bachillerato. Conceptos básicos Física 2 o Bachillerato Conceptos básicos Movimiento. Cambio de posición de un cuerpo respecto de un punto que se toma como referencia. Cinemática. Parte de la Física que estudia el movimiento de los cuerpos

Más detalles

MECÁNICA CLÁSICA CINEMATICA. FAyA Licenciatura en Química Física III año 2006

MECÁNICA CLÁSICA CINEMATICA. FAyA Licenciatura en Química Física III año 2006 Física III año 26 CINEMATICA MECÁNICA CLÁSICA La cinemática estudia el movimiento de los cuerpos, sin tener en cuenta las causas que lo producen. Antes de continuar establezcamos la diferencia entre un

Más detalles

1. Distribuciones de probabilidad de variable continua.

1. Distribuciones de probabilidad de variable continua. 1. Distribuciones de probabilidad de variable continua. a. Definición de distribuciones de probabilidad de variable continua. o Distribución de probabilidad de variable continua = Idealización de una distribución

Más detalles

PRÁCTICA DE LABORATORIO II-05 PÉNDULO DE TORSIÓN

PRÁCTICA DE LABORATORIO II-05 PÉNDULO DE TORSIÓN PRÁCTICA DE LABORATORIO II-05 PÉNDULO DE TORSIÓN OBJETIVOS Determinar la constante de torsión de un péndulo. Estudiar la dependencia del período de oscilación con el momento de inercia. Determinar experimentalmente

Más detalles

Grupo A B C D E Docente: Fís. Dudbil Olvasada Pabon Riaño Materia: Oscilaciones y Ondas

Grupo A B C D E Docente: Fís. Dudbil Olvasada Pabon Riaño Materia: Oscilaciones y Ondas Ondas mecánicas Definición: Una onda mecánica es la propagación de una perturbación a través de un medio. Donde. Así, la función de onda se puede escribir de la siguiente manera, Ondas transversales: Son

Más detalles

FORMACIÓN DE IMÁGENES CON LENTES

FORMACIÓN DE IMÁGENES CON LENTES Laboratorio de Física General (Optica) FORMACIÓN DE IMÁGENES CON LENTES Fecha: 09/09/2014 1. Objetivo de la práctica Estudio de la posición y el tamaño de la imagen de un objeto formada por una lente delgada.

Más detalles

Unidad Nº 10. Magnetismo

Unidad Nº 10. Magnetismo Unidad Nº 10 Magnetismo 10.1. Definición y propiedades del campo magnético. Fuerza magnética en una corriente. Movimiento de cargas en un campo magnético. 10.2. Campos magnéticos creados por corrientes.

Más detalles

Cinemática: parte de la Física que estudia el movimiento de los cuerpos.

Cinemática: parte de la Física que estudia el movimiento de los cuerpos. CINEMÁTICA Cinemática: parte de la Física que estudia el movimiento de los cuerpos. Movimiento: cambio de posición de un cuerpo respecto de un punto de referencia que se supone fijo. Objetivo del estudio

Más detalles

Ley Cuántica de Malus

Ley Cuántica de Malus Ley Cuántica de Malus Omar Martínez Ambrosio Fac. de Ciencias, Universidad Nacional Autónoma de México, Lab. de Física Contemporánea II Coyoacán, 04510, México, D.F. En este trabajo se presenta una fuente

Más detalles

Problemas de Ondas Electromagnéticas

Problemas de Ondas Electromagnéticas Problemas de Ondas Electromagnéticas AP Física B de PSI Nombre Multiopción 1. Cuál de las siguientes teorías puede explicar la curvatura de las ondas detrás de los obstáculos en la "región de sombra"?

Más detalles

1. Estudio de la caída de un puente.

1. Estudio de la caída de un puente. 1 1. Estudio de la caída de un puente. A. Introducción Las oscilaciones de un puente bajo la acción de una fuerza externa pueden estudiarse a partir de la resolución de una ecuación a derivadas parciales

Más detalles

3. TRANSFORMADORES. Su misión es aumentar o reducir el voltaje de la corriente manteniendo la potencia. n 2 V 1. n 1 V 2

3. TRANSFORMADORES. Su misión es aumentar o reducir el voltaje de la corriente manteniendo la potencia. n 2 V 1. n 1 V 2 3. TRANSFORMADORES Un transformador son dos arrollamientos (bobina) de hilo conductor, magnéticamente acoplados a través de un núcleo de hierro común (dulce). Un arrollamiento (primario) está unido a una

Más detalles

En qué consisten los fenómenos ondulatorios de :

En qué consisten los fenómenos ondulatorios de : Cuáles son las características de una onda? Cuáles son los tipos de ondas que existen? Cuáles son las diferencias más importantes entre las ondas mecánicas y las electromagnéticas? En qué consisten los

Más detalles

FENÓMENOS ONDULATORIOS

FENÓMENOS ONDULATORIOS FENÓMENOS ONDULATORIOS 1. Superposición de ondas. 2. Ondas estacionarias. 3. Pulsaciones. 4. Principio de Huygens. 5. Difracción. 6. Refracción. 7. Reflexión. 8. Efecto Doppler. Física 2º Bachillerato

Más detalles

3) a) En qué consiste la refracción de ondas? Enuncie sus leyes. b) Qué características de la onda varían al pasar de un medio a otro.

3) a) En qué consiste la refracción de ondas? Enuncie sus leyes. b) Qué características de la onda varían al pasar de un medio a otro. Movimiento ondulatorio Cuestiones 1) a) Explique la periodicidad espacial y temporal de las ondas y su interdependencia. b) Una onda de amplitud A, frecuencia f, y longitud de onda, se propaga por una

Más detalles

1 Universidad de Castilla La Mancha Septiembre 2015 SEPTIEMRE 2015 Opción A Problema 1.- Tenemos tres partículas cargadas q 1 = -20 C, q 2 = +40 C y q 3 = -15 C, situadas en los puntos de coordenadas A

Más detalles

4.3 - Determine el punto (distinto del infinito) en el cual el campo eléctrico es igual a cero.

4.3 - Determine el punto (distinto del infinito) en el cual el campo eléctrico es igual a cero. Unidad Nº 4 Electrostática Ley de Coulomb Campo eléctrico 4.1 - En las esquinas de un triángulo equilátero existen tres cargas puntuales, fijas, como se ve en la figura, cuyos valores son: q1=2µc, q2=-4µc

Más detalles

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES Capítulo 6. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES 6.1. Ley de la inversa del cuadrado de la distancia.................. 59 6.2. Ley del coseno.......................................... 59 6.3. Iluminación normal, horizontal,

Más detalles

1 Interferencia. y(x, t) = A s e n(k x ωt)+asen(k x ωt + φ) Usando: )s e n(a. se tiene: y(x, t) = 2Acos( φ 2 )s e n(k x ωt + φ 2 )

1 Interferencia. y(x, t) = A s e n(k x ωt)+asen(k x ωt + φ) Usando: )s e n(a. se tiene: y(x, t) = 2Acos( φ 2 )s e n(k x ωt + φ 2 ) 1 Interferencia Como adelantamos al discutir la diferencia entre partí culas y ondas, el principio de superposición da a lugar al fenómeno de interferencia. Sean dos ondas idénticas que difieren en la

Más detalles

1 Control Óptimo. 1.1 Introducción Problema típico de control óptimo

1 Control Óptimo. 1.1 Introducción Problema típico de control óptimo 1 Control Óptimo 1.1 Introducción El control óptimo es una rama del control moderno que se relaciona con el diseño de controladores para sistemas dinámicos tal que se minimice una función de medición que

Más detalles

Solución Examen Cinemática 1º Bach Nombre y Apellidos: La expresión de la velocidad instantánea se obtiene derivando el vector de posición,

Solución Examen Cinemática 1º Bach Nombre y Apellidos: La expresión de la velocidad instantánea se obtiene derivando el vector de posición, Solución Examen Cinemática 1º Bach Nombre y Apellidos: 1. Dada la ecuación vectorial de la posición de una partícula halla en unidades S.I. a. la velocidad en función del tiempo, v ( t ) La expresión de

Más detalles

Sistemas de Partículas

Sistemas de Partículas Sistemas de Partículas Los objetos reales de la naturaleza están formados por un número bastante grande de masas puntuales que interactúan entre sí y con los demás objetos. Cómo podemos describir el movimiento

Más detalles

OSCILACIONES ACOPLADAS

OSCILACIONES ACOPLADAS OSCILACIONES ACOPLADAS I. Objetivos: Analizar el movimiento conjunto de dos osciladores armónicos similares (péndulos de varilla), con frecuencia natural f 0, acoplados por medio de un péndulo bifilar.

Más detalles

Deducción de las leyes de reflexión y refracción Imagen de un objeto puntual: refracción en una superficie esférica

Deducción de las leyes de reflexión y refracción Imagen de un objeto puntual: refracción en una superficie esférica Deducción de las leyes de reflexión y refracción Imagen de un objeto puntual: refracción en una superficie esférica 1 Deducción de las leyes de reflexión y refracción Mucho antes de que Maxwell desarrollara

Más detalles

EJERCICIOS ONDAS PAU

EJERCICIOS ONDAS PAU EJERCICIOS ONDAS PAU 1 Una masa m oscila en el extremo de un resorte vertical con una frecuencia de 1 Hz y una amplitud de 5 cm. Cuando se añade otra masa, de 300 g, la frecuencia de oscilación es de 0,5

Más detalles

Física III (sección 3) ( ) Ondas, Óptica y Física Moderna

Física III (sección 3) ( ) Ondas, Óptica y Física Moderna Física III (sección 3) (230006-230010) Ondas, Óptica y Física Moderna Profesor: M. Antonella Cid M. Departamento de Física, Facultad de Ciencias Universidad del Bío-Bío Carreras: Ingeniería Civil, Ingeniería

Más detalles

MOVIMIENTO ONDULATORIO

MOVIMIENTO ONDULATORIO ELVER ANTONIO RIVAS CÓRDOBA MOVIMIENTO ONDULATORIO El movimiento ondulatorio se manifiesta cuando la energía que se propaga en un medio elástico produce movimientos que lo cambian. Para describir una onda

Más detalles

UNIVERSIDAD DISTRITAL FJDC FAC. TECNOLÓGICA INGENIERÍA EN TELECOMUNICACIONES MEDIOS DE TRANSMISIÓN "GUÍAS DE ONDA Y RESONADORES"

UNIVERSIDAD DISTRITAL FJDC FAC. TECNOLÓGICA INGENIERÍA EN TELECOMUNICACIONES MEDIOS DE TRANSMISIÓN GUÍAS DE ONDA Y RESONADORES UNIVERSIDAD DISTRITAL FJDC FAC. TECNOLÓGICA INGENIERÍA EN TELECOMUNICACIONES MEDIOS DE TRANSMISIÓN "GUÍAS DE ONDA Y RESONADORES" Prof. Francisco J. Zamora Propagación de ondas electromagnéticas en guías

Más detalles

MEDICIÓN Y PROPAGACIÓN DE ERRORES. Comprender el proceso de medición y expresar correctamente el resultado de una medida realizada.

MEDICIÓN Y PROPAGACIÓN DE ERRORES. Comprender el proceso de medición y expresar correctamente el resultado de una medida realizada. LABORATORIO Nº 1 MEDICIÓN Y PROPAGACIÓN DE ERRORES I. LOGROS Comprender el proceso de medición y expresar correctamente el resultado de una medida realizada. Aprender a calcular el error propagado e incertidumbre

Más detalles

Unidad II - Ondas. 2 Ondas. 2.1 Vibración. Te has preguntado: o Cómo escuchamos? o Cómo llega la señal de televisión o de radio a nuestra casa?

Unidad II - Ondas. 2 Ondas. 2.1 Vibración. Te has preguntado: o Cómo escuchamos? o Cómo llega la señal de televisión o de radio a nuestra casa? Unidad II Ondas Unidad II - Ondas 2 Ondas Te has preguntado: o Cómo escuchamos? o Cómo llega la señal de televisión o de radio a nuestra casa? o Cómo es posible que nos comuniquemos por celular? o Cómo

Más detalles

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE FÍSICA

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE FÍSICA ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE FÍSICA TERCERA EVALUACIÓN DE FÍSICA A SEPTIEMBRE 17 DE 2014 SOLUCIÓN Pregunta 1 (8 puntos) P y R señalan

Más detalles

Tema 3. Magnitudes escalares y vectoriales

Tema 3. Magnitudes escalares y vectoriales 1 de 13 09/07/2012 12:51 Tema 3. Magnitudes escalares y vectoriales Algunos derechos reservados por manelzaera Como sabes, una magnitud es todo aquello que se puede medir. Por ejemplo, la fuerza, el tiempo,

Más detalles

Olimpiadas de Física Córdoba 2010

Olimpiadas de Física Córdoba 2010 E n el interior encontrarás las pruebas que componen esta fase local de las olimpiadas de Física 2012. Están separadas en tres bloques. Uno relativo a dinámica y campo gravitatorio (obligatorio) y otros

Más detalles

INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA

INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA 1. La figura muestra la superficie de un cubo de arista a = 2 cm, ubicada en un campo uniforme B = 5i + 4j + 3k Tesla. Cual es el valor del flujo del campo magnético a través

Más detalles

Fig. 1. P Exp. Campo magnético de un imán y campo magnético terrestre.

Fig. 1. P Exp. Campo magnético de un imán y campo magnético terrestre. P Exp. Campo magnético de un imán y campo magnético terrestre. Objetivos Como bien sabe, el campo gravitatorio creado por una partícula decrece con el cuadrado de la distancia. Pero, sabe con qué potencia

Más detalles

UNA INTERPRETACIÓN CUALITATIVA DE LOS DIAGRAMAS DE FASE EN UN CONTEXTO ECONÓMICO RESUMEN. x = f (x,y) ɺ ɺ

UNA INTERPRETACIÓN CUALITATIVA DE LOS DIAGRAMAS DE FASE EN UN CONTEXTO ECONÓMICO RESUMEN. x = f (x,y) ɺ ɺ UNA INTERPRETACIÓN CUALITATIVA DE LOS DIAGRAMAS DE FASE EN UN CONTEXTO ECONÓMICO RESUMEN Las soluciones a un sistema de ecuaciones del tipo = f (,) = g(, ) puede representarse de manera gráfica de distintas

Más detalles

1. Las gráficas nos informan

1. Las gráficas nos informan Nombre y apellidos: Puntuación: 1. Las gráficas nos informan Una partícula de 50 g de masa está realizando un movimiento armónico simple. La figura representa la elongación en función del tiempo. 0,6 0,5

Más detalles

Estática y dinámica de un muelle vertical

Estática y dinámica de un muelle vertical Prácticas de laboratorio de Física I Estática y dinámica de un muelle vertical Curso 2010/11 1. Objetivos Determinación de la constante del muelle. Estudio de un muelle oscilante como ejemplo de movimiento

Más detalles

SIMETRIAS Y LEYES DE CONSERVACION

SIMETRIAS Y LEYES DE CONSERVACION SIMETRIAS Y LEYES DE CONSERVACION 1. Introducción 2. Conservación de la energía y el momento 3. Conservación del momento angular 4. Paridad 5. Isospín 6. Extrañeza 7. Conjugación de carga 8. Inversión

Más detalles

ESTRUCTURA DE LA MATERIA

ESTRUCTURA DE LA MATERIA ESTRUCTURA DE LA MATERIA 1. Naturaleza de la materia (el átomo). 2. Modelos atómicos clásicos. 3. Modelo mecánico cuántico. 4. Mecánica ondulatoria de Schrödinger. 5. Números cuánticos. 6. Orbitales atómicos.

Más detalles

Tema 14 11/02/2005. Tema 8. Mecánica Cuántica. 8.1 Fundamentos de la mecánica cuántica

Tema 14 11/02/2005. Tema 8. Mecánica Cuántica. 8.1 Fundamentos de la mecánica cuántica Tema 14 11/0/005 Tema 8 Mecánica Cuántica 8.1 Fundamentos de la mecánica cuántica 8. La ecuación de Schrödinger 8.3 Significado físico de la función de onda 8.4 Soluciones de la ecuación de Schrödinger

Más detalles

EL MOVIMIENTO CIENCIAS: FÍSICA PLAN GENERAL SISTEMA DE REFERENCIA DESPLAZAMIENTO PREUNIVERSITARIO POPULAR FRAGMENTOS COMUNES

EL MOVIMIENTO CIENCIAS: FÍSICA PLAN GENERAL SISTEMA DE REFERENCIA DESPLAZAMIENTO PREUNIVERSITARIO POPULAR FRAGMENTOS COMUNES EL MOVIMIENTO El movimiento siempre nos ha interesado. Por ejemplo, en el mundo de hoy consideramos el movimiento cuando describimos la rapidez de un auto nuevo o el poder de aceleración que tiene. La

Más detalles

Distancia focal de una lente divergente II (método de la lente convergente)

Distancia focal de una lente divergente II (método de la lente convergente) Distancia focal de una lente divergente II (método de la lente convergente) Fundamento Las imágenes proporcionadas por las lentes divergentes son virtuales cuando el objeto es real. La construcción geométrica

Más detalles

1) Dé ejemplos de ondas que pueden considerarse que se propagan en 1, 2 y 3 dimensiones.

1) Dé ejemplos de ondas que pueden considerarse que se propagan en 1, 2 y 3 dimensiones. Ondas. Función de onda 1) Dé ejemplos de ondas que pueden considerarse que se propagan en 1, y 3 dimensiones. ) Indique cómo pueden generarse ondas transversales y longitudinales en una varilla metálica.

Más detalles

1 EL OSCILADOR ARMONICO

1 EL OSCILADOR ARMONICO 1 EL OSCILADOR ARMONICO 1.1 Autofunciones y Autovalores El potencial del oscilador armónico en una dimensión corresponde a la siguiente expresión matemática: V = 1 kx (1) donde k es la constante de la

Más detalles

LABORATORIO No. 5. Cinemática en dos dimensiones Movimiento Parabólico

LABORATORIO No. 5. Cinemática en dos dimensiones Movimiento Parabólico LABORATORIO No. 5 Cinemática en dos dimensiones Movimiento Parabólico 5.1. Introducción Se denomina movimiento parabólico al realizado por un objeto cuya trayectoria describe una parábola. Este movimiento

Más detalles

Inversor PWM 1 INTRODUCCION

Inversor PWM 1 INTRODUCCION Inversor PWM 1 INTRODUCCION Los inversores cd ca se emplean en fuentes de energía ininterrumpida y controles de velocidad para motores de ca. Esto se aplica en el control de la magnitud y la frecuencia

Más detalles