Colisiones elásticas y sección eficaz total hadrón - hadrón a altas energías

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1 Rev. Acad. Colomb. Cienc. 8(Supl.):-7, 4 Colisiones elásticas y sección eficaz total hadrón - hadrón a altas energías Ciencias físicas Colisiones elásticas y sección eficaz total hadrón - hadrón a altas energías Carlos Ávila Bernal Departamento de Física, Universidad de Los Andes, Colombia Resumen Presentamos un estudio de la sección eficaz diferencial para colisiones pp y pp basado en una parametrización de la amplitud de dispersión en función de dos términos exponenciales que difieren en una fase. Esta parametrización describe correctamente los datos experimentales, incluyendo el mínimo de difracción que es diferente para ambos tipos de colisiones. Se presenta también un estudio detallado de la sección eficaz total, σt, para colisiones pp, pp, π ± p y K ± p. Para este estudio se usa una parametrización basada en un crecimiento logarítmico de σt con la energía de la colisión. Se hace uso de relaciones de dispersión integrales para maximizar la muestra de datos estudiada. Todos los datos existentes hasta la fecha (incluidos los datos del experimento TOTEM) son tenidos en cuenta. El estudio concluye que σt aumenta con la energía de la forma ln(s) y predice un valor para σt en colisiones pp a la energía de 4 TeV de σtpp = 9, ±,6 mb. El documento adicionalmente presenta una revisión de los métodos usados para estudiar colisiones elásticas. Palabras clave: dispersión elástica, sección eficaz total, amplitud de dispersión, relaciones de dispersión, teoría de Regge. Elastic scattering and hadron-hadron total cross sections at high energies Abstract We present a study of the differential cross section for pp and pp collisions based on the use of a parametrization of the scattering amplitude as a function of two exponential terms with a phase difference. This parametrization describes correctly the experimental data, including the diffraction minimum which is different for both processes. Also, a detailed study of the total cross section, σt, for pp, pp, π ± p and K ± p collisions is presented. This study uses a parametrization based on the logaritmic increase of σt with the energy of the collision. Integral dispersion relations are used in order to maximize the data sample studied. All the existing experimental data up to date (including data from the TOTEM experiment) are taken into account. The study concludes that σt increases with energy as ln(s) and predicts a value for σt in pp collisions at the energy of 4 TeV of σtpp = 9, ±,6 mb. The document aditionally presents a review of the methods used to study elastic collisions. Key words: Elastic scattering, total cross section, scattering amplitude, dispersion relations, Regge theory. I. INTRODUCCIÓN Entre el % al % de las colisiones entre hadrones son elásticas. En estas colisiones ambos hadrones incidentes salen intactos después de la colisión, sin producir partículas adicionales, sufriendo una pequeña desviación con respecto a sus trayectorias iniciales (con ángulos de dispersión menores a unos pocos miliradianes), pero manteniendo la magnitud de su momento inicial y conservando todos sus números cuánticos. Dado que el momento transferido en este tipo de colisiones es muy bajo, no se pueden usar los métodos perturbativos de la cromodinámica cuántica (QCD) para describirlos, porque la constante de acoplamiento fuerte toma valores muy grandes y hace que la serie perturbativa sea divergente []. La única forma de entender la dinámica de los procesos elásticos es a partir de observaciones experimentales y del uso de modelos fenomenológicos basados en propiedades de la amplitud de dispersión y en algunas suposiciones adicionales sobre la estructura interna de los hadrones. Las suposiciones de los diferentes modelos son probadas a medida que nuevos datos experimentales son accesibles, lo que permite ajustar los modelos sobre la evidencia experimental de una manera iterativa y así ir acercandonos a una descripción aproximada de los fenómenos internos que ocurren en los hadrones en el momento de la colisión. La principal observable experimental es la sección eficaz diferencial, dσ/, donde t es el cuadrado del cuadrimomento transferido que explicaremos en la sección II. La estructura que presenta dσ/ es la herramienta que tenemos para descifrar la dinámica interna del proceso de dispersión elástica. A partir de dσ/ podemos medir otras variables experimentales como son: la sección eficaz elástica (σel), la sección eficaz total (σt), el cociente de la parte real a la parte imaginaria de la amplitud de Correspondencia: Carlos Ávila Bernal, Recibido: 7 de agosto de Aceptado: de agosto de 4

2 dispersio n (ρ) y el para metro de pendiente nuclear (B). En la seccio n III describimos cada uno de estas variables. Durante mas de an os diferentes experimentos han proporcionado mediciones de dσ/ a varias energı as de centro de masa y tipos de colisiones hadronicas, lo que ha permitido entender co mo la estructura de dσ/ y demas variables de dispersio n ela stica cambian con la energı a, y ası tratar de establecer que feno menos internos de dispersio n dominan en diferentes regı menes de energı a. En este trabajo hacemos una revisio n de los datos experimentales que se tienen actualmente en colisiones pp, p p, π± p y K ± p. Usamos la parametrizacio n propuesta por Amaldi [] y relaciones de dispersio n integrales que nos permiten hacer un ajuste simulta neo de los datos experimentales de σt y ρ para los diferentes tipos de colisiones hadronicas, con el fin de demostrar que todas las colisiones hadro n-hadro n estudiadas tienen el mismo incremento gradual con la energı a y que la magnitud de las secciones eficaces a altas energı as difieren de acuerdo al conteo y tipo de quarks que participan en la colisio n. El ajuste a los datos nos permite verificar si la seccio n eficaz total a las energı as de los aceleradores actuales cumplen con el lı mite de Froissart [], el cual es explicado en la seccio n V C. Los resultados de los fits son consistentes con las mediciones recientemente publicadas por el experimento TOTEM a las energı as de centro de masa de 7 TeV y 8 TeV [4 6], y nos permiten predecir el valor de σt para colisiones pp a la energı a de 4 TeV. El colisionador LHC empezara a tomar datos a esta energı a en el an o. Para describir la estructura de dσ/ usamos una parametrizacio n sencilla, propuesta inicialmente por Phillps and Barger [7], basada en construir la amplitud de dispersio n nuclear como la suma de dos te rminos exponenciales que difieren en una fase. En este trabajo mostramos que esta parametrizacio n describe apropiadamente dσ/ para colisiones pp y p p sobre todo el rango de energı as accesible. En el presente documento empezamos por describir la cinema tica de las cosilisones ela sticas (seccio n II), luego en la seccio n III hacemos una revisio n de los datos experimentales. En la seccio n IV explicamos detalles de la configuracio n experimental para etiquetar y estudiar eventos de dispersio n ela stica. Posteriormente hacemos una breve revisio n de modelos fenomenolo gicos (seccio n V) y de las relaciones de dispersio n (seccio n VI). En las secciones VII y VIII describimos los estudios realizados con los datos de la seccio n eficaz diferencial y total, respectivamente. En la seccio n IX presentamos nuestras conclusiones. para A y B respectivamente, definimos el cuadrado de la energı a del centro de masa (CM), s, como: s = (pia + pib ) = ma + mb + mb E donde E es la energı a en el sistema de laboratorio para la partı cula proyectil. El cuadrado del cuadrimomento transferido se define como: t = (pf A pia ) = 4k sen (θ/) CINEMA TICA Y DEFINICIO N DE VARIABLES Para una colisio n ela stica A + B A + B, con A considerada como la partı cula proyectil y B la partı cula blanco, en el sistema de laboratorio, y con cuadrimomentos iniciales pia, pib y cuadrimomentos finales pf A, pf B, 6 () donde k es la magnitud del vector momento y θ el a ngulo de dispersio n, ambos medidos con respecto al CM. s y t son invariantes de Lorentz conocidas como variables de Mandelstam. Hay dos contribuciones a la dispersio n de hadrones cargados: interaccio n Coulomb e interaccio n nuclear. La amplitud de dispersio n de Coulomb se obtiene a partir de la ecuacio n de Rutherford: fc = ± kcαg (t) t () Donde el signo + ( - ) es para interaccio n de hadrones de carga ele ctrica de signo opuesto (del mismo signo). α es la constante de estructura fina y G(t) es el factor de forma electromagne tico del proto n, el cual se suele aproximar a [8]: t G(t) = + (4), 7 De observaciones experimentales se ha encontrado que para valores de t <, (GeV /c) la amplitud de dispersio n nuclear se puede parametrizar como: fn = kσt (ρ + i) exp( B t ) 4πc () Donde B es el para metro de pendiente nuclear. Esta parametrizacio n es consistente con el teorema o ptico: σt = 4π m {fn (t = )} k (6) Adicionalmente definimos ρ como: ρ= e (fn (t = )) m (fn (t = )) (7) La seccio n eficaz diferencial viene dada por: π dσ = f k II. () (8) Donde f = fn + fc e±iαφ(t) y αφ(t) es la diferencia de fase entre las amplitudes de dispersio n de coulomb y nuclear, φ(t), que se puede escribir como [9]: φ(t) = ln, 8 t, 77 (9)

3 Rev. Acad. Colomb. Cienc. 8(Supl.):-7, 4 III. REVISIO N DE DATOS EXPERIMENTALES A. Aporte a dσ/ (%) Coulomb Nuclear Interferencia t (GeV ) Figura : Aporte porcentual a dσ/ de la amplitud de dispersio n de Coulomb, nuclear e interferencia nuclear-coulomb. Debido a la diferencia de fase entre la dispersio n coulomb y nuclear aparece un te rmino de interferencia nuclear-coulomb que tambie n contribuye a la seccio n eficaz diferencial. Usando las ecuaciones a podemos esc cribir de manera explicita la contribucio n Coulomb ( dσ ), dσinter dσn interferencia nuclear- Coulomb ( ), y nuclear ( ) a dσ : 4π(c) α G4 (t) dσc = t dσinter α(ρ αφ)σt G (t) B t = ± exp( ) t dσn ( + ρ )σt = () exp( B t ) 6π(c) Donde el signo + es para colisiones antihadro n-hadro n y el signo - para colisiones hadro n-hadro n. Con el fin de entender la contribucio n de cada te rmino a dσ/, usamos como ejemplo las mediciones recientes del experimento TOTEM a s = 7. TeV [] (B = 9.89 (GeV/c), σt = 98.6 mb) y asumimos un valor de ρ =, 4 (esperado a esta energı a) y graficamos dσ/ para estas condiciones (Figura ). A la energı a de s = 7. TeV el te rmino de interferencia tiene su ma ximo aporte (, %) para valores de t, 76 (GeV/c) (que corresponde a un a ngulo de dispersio n de aproximadamente 4 microradianes), a este valor de t las dispersiones nuclear y Coulomb tienen igual contribucio n. La dispersio n de Coulomb domina a valores muy bajos de t, para t, (GeV/c) la contribucio n de Coulomb es de 9%. Para valores t >, (GeV/c) la dispersio n nuclear tiene una contribucio n superior al 9 %, mientras que la contribucio n de dispersio n Coulomb es menor al %. seccio n eficaz diferencial, dσ/ La cantidad que se mide experimentalmente es dn/, que corresponde al nu mero de eventos que registra un detector por intervalo de cuadrimomento transferido t y en un intervalo de tiempo definido. Este nu mero se debe corregir por la ineficiencia y cubrimiento azimutal (aceptancia) del detector, por tiempos muertos debido a registro de la informacio n y por sustraccio n de background. Para encontrar el a ngulo de dispersio n θ y de allı obtener t, es importante conocer con alta precisio n la posicio n del detector con respecto al haz de partı culas, y los campos ele ctricos y magne ticos por los que atraviesan las partı culas entre el punto de colisio n y la ubicacio n del detector. Adicionalmente este a ngulo necesita ser corregido debido a que el detector tiene una resolucio n finita, que el haz de partı culas tiene dimensiones transversales (ancho del haz), que las partı culas dentro del haz no necesariamente colisionan de manera frontal (divergencia del haz), y que cada colisio n no ocurre exactamente en el mismo punto debido a la forma gaussiana en el eje longitudinal del haz de partı culas. Finalmente, se usa una medida del flujo de partı culas que colisionan como normalizacio n, usando como referencia el mismo intervalo de tiempo de la medicio n de dn/, (Luminosidad integrada, L []) para ası obtener la seccio n eficaz diferencial: dσ dn = L () Las mediciones que existen para dσ/ son ma s abundantes para colisiones pp y p p, donde hay cubrimiento de energı a desde unos pocos GeV hasta 7 TeV. La energı a mas alta corresponde a resultados recientes del experimento TOTEM del colisionador LHC, se espera para el nuevas mediciones de TOTEM a s= 4 TeV. El cubrimiento en cuadrimomento transferido va desde valores muy bajos de t, (GeV/c) hasta t (GeV/c) y es diferente para cada energı a ya que depende del cubrimiento logrado por cada experimento []. Las Figuras y 6 muestran los datos de dσ/ para colisiones p p y pp a altas energı as, respectivamente. A valores de t >, (GeV/c) domina ampliamente la dispersio n nuclear y se observa un decaimiento exponencial hasta llegar a un mı nimo de difraccio n. El mı nimo de difraccio n para colisiones pp es ma s profundo y bien determinado comparado con colisiones p p donde se tiene un mı nimo ma s plano que es ma s consistente con un cambio de pendiente. Posterior al mı nimo de difraccio n se aprecia un nuevo decaimiento exponencial con una pendiente ma s pequeña, también se se observa que aa medida pequen a, tambie n medidaque quelalaenerenergı a colisio nincrementa incrementael el mı nimo difraccio n gía dedelalacolisión mínimo de de la difracción se mueve hacia valores ma s bajos de t haciendo que el decaimiento exponencial antes del mı nimo de difraccio n tenga una pendiente mucho ma s pronunciada. La seccio n eficaz ela stica se obtiene a partir de integrar la seccio n eficaz diferencial proveniente de dispersio n nu7

4 4 clear: σel = dσn () Podemos obtener una buena aproximacio n para la seccio n eficaz total ela stica a partir de integrar la seccio n eficaz diferencial proveniente de dispersio n nun clear, asumiendo no estructura para dσ, es decir aproxidσn mando a la exponencial decayente antes del mı nimo de difraccio n: dσn = dσn exp( B t ) () t= Con esta parametrizacio n obtenemos: σ + ρ σel = tot 6πB(c) (4) n El ignorar la estructura de dσ ma s alla del mı nimo de difraccio n so lo tiene un efecto menor al, % en el ca lculo de la integral. B. σt = σel + σinel = Dado que el para metro ρ toma valores pequen os a altas energı as, el uso de una extrapolacio n de ma s bajas energı as paraρ ρproducirá producira una unaincertidumbre incertidumbreinferior inferioralal % % gías para Ninel Nel + L L (6) La dependecia de la luminosidad integrada L se puede evitar combinando esta u ltima ecuacio n con la ecuacio n (me todo independiente de la luminosidad): Seccio n eficaz total, σt La seccio n eficaz total coresponde al a rea efectiva del hadro n que interactua con el haz de partı culas que incide sobre e l. La medicio n de la seccio n eficaz total para un proceso de dispersio n especı fico provee informacio n del taman o del hadro n, el cual depende de la dina mica del proceso de dispersio n. Dado que el hadro n es un sistema compuesto de quarks y gluones, cada constituyente contribuye de manera diferente al proceso de dispersio n y esta contribucio n depende de la energı a de la colisio n. Existen tres me todos para medir la seccio n eficaz total: ) Normalizacio n de Coulomb, ) Me todo dependiente de luminosidad, y ) Me todo independiente de luminosidad. La normalizacio n de Coulomb se puede usar cuando se pueden medir a ngulos de dispersio n muy pequen os (del orden de microradianes), tal que se alcance a tener un intervalo de cuadrimomento transferido donde la dispersio n Coulomb sea la contribucio n dominante a la seccio n efidσc dσc caz diferencial: dσ, y dado que corresponde a la dispersio n de Rutherford, que es completamente conocida, podemos usar la ecuacio n para determinar el valor de luminosidad. Adicionalmente, usando las ecuaciones y, con la extrapolacio n dn para dispersio n nuclear en el punto t =, y la luminosidad obtenida de la normalizacio n de Coulomb podemos obtener: / 6π dnn / σt + ρ = c () L t= 8 en la determinacio n de σt. En el caso que un experimento dado no alcance a registrar a ngulos donde la dispersio n de Coulomb tenga una contribucio n significativa requerira hacer una medicio n adicional para la luminosidad (me todo dependiente de luminosidad), que se hace usualmente midiendo las caracterı sticas de los haces de partı culas que colisionan, estas mediciones por lo general tienen incertidumbres altas (4% en el acelerador LHC y % en el acelerador TEVATRON) que afectan la precisio n con que se pueda llegar a conocer σt []. Para evitar la dependencia de la luminosidad en la medicio n de σt se debe hacer una medicio n simulta nea del nu mero de colisiones ela sticas (Nel ) e inela sticas (Ninel ) producidas en un intervalo de tiempo determinado, haciendo las correcciones respectivas a cada una de ellas por eficiencia, aceptancia de los detectores usados, background y tiempos muertos producidos por el sistema de adquisicio n de datos. Con estos dos valores la seccio n eficaz total se puede escribir como: σt = 6π(c) + ρ Nel + Ninel Realizando la ecuacio n : misma Nel = B dnn (7) t= aproximacio n que dnn en la (8) t= Ninel incluye todas las topologı as de las colisiones que no son ela sticas, esto significa que se debe medir el nu mero de colisiones donde ambos hadrones incidentes se rompen despue s de la colisio n (colisiones no difractivas), donde alguno de los dos permanece intacto (colisiones difractivas simples) o donde ambos permanecen intactos despue s de la colisio n perdiendo parte de su energı a y generando nuevas partı culas (colisiones doblemente difractivas). Los detectores centrales alrededor del punto de colisio n con calorı metros y reconstruccio n de vertices juegan un papel fundamental para la medicio n de Ninel [ ], algunos experimentos que no han contado con estos sistemas centrales han tenido que requerir condiciones especiales del haz de partı culas con el fin de sustraer los backgrounds de sus sen ales [6], [7]. Cuando se tienen muy altas luminosidades instanta neas,l (L > cm s ) se puede explotar el feno meno de pileup para medir σinel : cuando dos conjuntos de hadrones cruzan el punto de interaccio n puede haber ma s de una colisio n simulta nea. La probabilidad de que ocurra un nu mero n de colisiones inela sticas en un mismo cruce de conjunto de protones sigue la distribucio n de Poisson: P (n, μ) = μn μ e n! (9)

5 Rev. Acad. Colomb. Cienc. 8(Supl.):-7, 4 Donde μ = Lσinel Δt, donde Δt correponde a una ventana de tiempo muy corto, tı picamente de segundo. Se puede medir la probabilidad P para diferentes luminosidades instantaneas y diferente nu mero de vertices primarios de interacio n reconstruidos, n y de allı extraer σinel. Este me todo novedoso ha sido implementado por primera vez en el experimento CMS del acelerador LHC []. La Figura 7 muestra los datos de las secciones eficaces para colisiones pp y p p en funcio n de la energı a de centro de masa. A bajas energı as ( s < GeV) las secciones eficaces totales van decreciendo a medida que la energı a aumenta. A energı as s > GeV las secciones eficaces aumentan de manera logarı tmica con la energı a. A bajas energı as σtp p es mayor que σtpp pero ambas convergen al mismo valor a medida que la energı a aumenta, esto significa que los procesos de dispersio n parto nica varı an a medida que la energı a de colisio n cambia. A bajas energı as los quarks constituyentes de los hadrones (quarks de valencia) dominan la interaccio n, los canales de aniquilacio n quark-antiquark hacen que σtp p sea mayor que σtpp, a medida que la energı a aumenta tambie n se aumenta la probabilidad de fluctuaciones de gluones a pares quark-antiquark dentro del hadro n, generando quarks adicionales a los constituyentes (quarks del mar), estos gluones y quarks del mar dominan la interaccio n a altas energı as, haciendo que las secciones eficaces hadro nhadro n y hadro n-antihadro n converjan al mismo valor. Existen mediciones de σtpp producidas en experimentos de rayos co smicos, las cuales se caracterizan por sus altas incertidumbres debido a que las cantidades medidas en el experimento esta n indirectamente relacionadas con σtpp. Entre estas cantidades esta n la composicio n de los rayos co smicos y la composicio n molecular de la atmo sfera. Se mide la seccio n eficaz inela stica para colisiones proto n -aire y usando modelos para el chorro de partı culas generadas se infiere σinel y σtpp [8]. La Figura 9 corresponde a σt para colisiones π ± p y K ± p donde se verifica que todas las secciones eficaces hadro n-hadro n y antihadro nhadro n convergen al mismo valor e incrementan con la energı a de manera logarı tmica en la misma proporcio n. C. Cociente de la parte real a la parte imaginaria de la amplitud de dispersio n, ρ Del teorema o ptico (ecuacio n 6) se deduce que la parte imaginaria de la amplitud de dispersio n en la regio n frontal (a ngulos de dispersio n de cero) aumenta con la energı a. Como veremos en la seccio n VI las propiedades de analiticidad y simetrı a de cruce de la amplitud de dispersio n relacionan el cociente de la parte real a la imaginaria de la amplitud de dispersio n en la regio n frontal, ρ, con la seccio n eficaz total, por lo tanto mediciones de ρ son complementarias y ayudan a entender el comportamiento de σt a altas energı as. El para metro ρ aparece en los te rminos de dispersio n nuclear y de interferencia nuclear-coulomb (ver ecuacio n ). Dado que los valores de ρ por lo general son pequen os (ρ <,) el te rmino de interferencia es el ma s sensible a ρ y es el que experimentalmente se usa para su medicio n. Experimentos cuyo objetivo es medir ρ necesitan alcanzar valores de t cercanos a la regio n de ma xima interferencia nuclear-coulomb ( tinterf. (GeV/c) ) y medir dσ, ρ se obtiene a partir del ajuste de la funcio n de interferencia descrita en la ecuacio n al dσ medido en el experimento. La Figura 8 muestra los datos para ρpp y ρp p. Los datos para colisiones pp son mas abundantes. Ambos, ρpp y ρp p, convergen hacia un mismo valor a altas energı as, con valores siempre por debajo de ρ <,, lo que implica que a altas energı as la parte imaginaria de la amplitud de dispersio n domina ampliamente. IV. CONFIGURACIO N EXPERIMENTAL PARA MEDICIONES DE DISPERSIO N ELA STICA A medida que incrementa la energı a de la colisio n los valores de t (y por lo tanto de a ngulos de dispersio n θ) por debajo del mı nimo de difraccio n, que son u tiles para la medicio n de σt y ρ se hacen muy pequen os ( t <, (GeV/c) que corresponde a valores de θ de una fraccio n de miliradian). Se necesitan dispositivos y condiciones especiales del haz de partı culas para poder detectar estos a ngulos. Los dispositivos que se usan consisten en contenedores de acero que se incrustan dentro del tubo del acelerador y pueden ser reposicionados de manera remota hasta unos pocos milı metros del centro del haz de partı culas, con una resolucio n de unos pocos micro metros. Se ubican en posiciones longitudinales muy lejanas al punto de interaccio n con el fin de detectar partı culas dispersadas que viajan dentro del tubo del acelerador [9]. Estos dispositivos sirven como ollas, dentro de las cuales se ubican los detectores que registran las coordenadas x, y de las partı culas que llegan a ellos (con resoluciones tı picas del orden de μm). Los primeros dispositivos de este tipo fueron desarrollados en la decada de 97 por un grupo de la universidad de Roma para ser usados en el primer colisionador proto n proto n del laboratorio CERN, desde entonces se les denomina Ollas Romanas. Las ollas romanas cuentan con un sistema de fuelles que les permite cambiar su posicio n sin afectar el vacı o del acelerador (ver Figura ). El sistema de posicionamiento consiste en un motor de paso cuyo nu mero de giros es calibrado para indicar la ubicacio n de la olla romana en milı metros. Para reducir las incertidumbres en la posicio n se usa por lo general un sistema adicional de sensores como por ejemplo transformadores diferenciables variables lineales (LVDT, por sus siglas en ingle s). Para reducir el material que deben atravesar las partı culas en su paso hacia el detector, a las ollas romanas se les coloca una ventana en frente del detector de menos de micrones de grosor. Los detectores que se usan para el registro de las partı culas deben ser de pequen as dimensiones, tal que quepan dentro de la olla y cuentan con un sistema de pines que permitan 9

6 6 su correcta ubicacio n y alineacio n. Los detectores por lo general son de tres tipos: detectores gaseosos, fibras de centelleo o detectores de silicio. Adicional al detector de coordenadas de la partı cula se debe contar con bloques centelladores que permitan hacer registro de tiempo de vuelo de la partı cula desde el punto de interaccio n a la ubicacio n del detector. Con el fin de etiquetar correctamente los eventos ela sticos en colisionadores hadro nicos se colocan estaciones de ollas romanas de manera sime trica a ambos lados del punto de interaccio n, con por lo menos un par de estaciones a cada lado. En cada estacio n se debe contar como mı nimo con un par de ollas romanas con sus respectivos detectores que se puedan acercar al haz de partı culas ya sea en el plano vertical u horizontal. Se verifica la propiedad de colinearidad de los eventos ela sticos (las dos partı culas dispersadas despue s de la colisio n deben viajar en direcciones opuestas con iguales a ngulos de dispersio n) en ollas romanas diagonalmente opuestas al punto de interaccio n para proceder con el registro de cada evento. Dada la o ptica del acelerador de partı culas, entre el punto de interaccio n y la ubicacio n del detector se pueden tener magnetos para enfocar el haz o desviar su trayectoria. Por esta razo n las partı culas no viajan en lı nea recta entre el punto de interaccio n y el detector. Si se conoce la o ptica del haz, se puede establecer una relacio n entre las coordenadas de la partı cula en un detector (xi, yi ) y las coordenadas(x, y ) y el a ngulo de dispersio n en el punto de interaccio n (θx, θy ): xi = Mx,i x + Lx,i θx yi = My,i y + Ly,i θy () Donde Mx,i, Lx,i (My,i, Ly,i ) son elementos de transporte en el eje horizontal (vertical) para la localizacio n del detector [], los cuales son funciones de los campos ele ctricos y magne ticos por los que atraviesa la partı cula desde el punto de interaccio n hasta la ubicacio n del detector. En el caso que las coordendas x, y en el punto de interaccio n sean despreciables (que es lo que normalmente se espera ya que el punto de colisio n corresponde al punto (,)), entonces el a ngulo de dispersio n se obtiene como el cociente de la coordenada medida en el detector sobre el el elemento matricial L, esto es equivalente a determinar el a ngulo como si la partı cula hubiese viajado en lı nea recta una distancia longitudinal Lx (Ly ) y una distancia lateral x (y), por esta razo n a Lx (Ly ) comunmente se le llama distancia efectiva en el eje x (y). La Figura muestra como ejemplo la configuracio n experimental para estudiar eventos ela sticos de colisiones p p en el experimento D del acelerador TEVATRON []. El punto de interaccin (PI) se encuentra ubicado en el centro del detector principal del experimento D (que no se incluye en el diagrama). Alrededor del punto de colisio n se observa una serie de magnetos cuadrupolares usados para enfocar los haces de partı culas en el PI. Un proto n/antiproto n dispersado pasa a trave s de los magnetos cuadrupolares y llega a la primera estacio n de ollas romanas (ubicadas a m del PI), posteriormente atraviesa un separador electrosta tico, para mantener apartados los haces de protones y antiprotones fuera del punto de interaccio n, y arriba a una segunda estacio n (ubicada a m del PI). Los registros de coordenadas de los detectores atravesados en ambas estaciones permiten reconstruir el a ngulo de dispersio n en el PI usando la ecuacio n y teniendo conocimiento de los campos magne ticos y ele ctricos producidos en los magnetos y en el separador. Las estaciones atravesadas por un antiproto n (proto n) dispersado son llamadas A (P ) y A (P ). En cada estacio n hay 4 detectores (U,D se mueven sobre el eje vertical alrededor del haz, y O,I sobre el plano horizontal). Un evento ela stico es etiquetado si hay un antiproto n atravesando dos detectores A y A, en coincidencia con un proto n atravesando dos detectores P y P, exigiendo que las coincidencias de los detectores cumplan con la condicio n de colinearidad. La Figura muestra una comparacio n tı pica de las coordenadas verticales para antiprotones y protones dispersados en la misma colisio n. Se observa la correlacio n de las coordenadas correspondientes a la condicio n de colinearidad pero adicionalmente se observan eventos de background superpuestos a la banda de correlacio n, que se deben sustraer en el ana lisis de datos. El ancho de la banda de correlacio n es consecuencia de la divergencia de los haces de partı culas y de la resolucio n de los detectores. En los colisionadores de partı culas de altas energı as se tiene como objetivo principal la bu squeda y estudio de eventos con secciones eficaces muy bajas, lo que requiere tomar datos con las luminosidades ma s altas posibles. Para incrementar la luminosidad se usan los magnetos cuadrupolares para enfocar al ma ximo los haces de partı culas y reducir sus a reas transversales en el punto de colisio n. Esto tiene como efecto que las a reas transversales del haz en otros puntos del acelerador se incrementan haciendo que las ollas romanas no puedan ser ubicadas tan cerca al centro del haz de partı culas como se requiere. Para la toma de datos de colisiones ela sticas, por lo tanto, se requiere lo opuesto: bajas luminosidades a traves de un menor enfoque en el punto de colisio n, de esta manera se reduce el a rea transversal en los puntos donde esta n ubicadas las estaciones de las ollas romanas permitiendo que se puedan ubicar ma s cerca al centro del haz de partı culas. V. MODELOS FENOMENOLO GICOS Dado que la cromodina mica cua ntica perturbativa no puede explicar dispersio n ela stica, se recurre a la expansio n de la amplitud de dispersio n en ondas parciales para extender las propiedades de unitariedad, analiticidad y simetrı a de cruce de la amplitud de dispersio n a dominios de momento angular mas amplios, como por ejemplo valores continuos y valores complejos. Si se ignora spin la amplitud de dispersio n se puede expandir

7 Rev. Acad. Colomb. Cienc. 8(Supl.):-7, 4 7 Figura : Esquema de las estaciones de ollas romanas (A, A, P, P ) del experimento D del laboratorio Fermilab. Las letras U, D, I, O indican los detectores que se pueden mover cerca al haz de partı culas. La propiedad de unitariedad de f (s, t) garantiza que la suma de las secciones eficaces de dispersio n σ para cada onda parcial nos debe dar como resultado la seccio n eficaz total (σt = σ ), en otras palabras la propiedad p y (mm) de unitariedad exige que la suma de las probabilidades de dispersio n de cada onda parcial sea igual o menor que la unidad. La propiedad de analiticidad se refiere a que la amplitud de dispersio n se puede expandir en una serie de potencias convergente y por lo tanto es infinitamente diferenciable, excepto en un nu mero finito de puntos. La simetrı a de cruce se refiere a que la observacio n del proceso de interaccio n a + b c + d implica la existencia de las interacciones donde se cruza la partı cula al otra lado de la reaccio n cambia ndola por su antipartı cula: a + c b + d, d + c b + a, a+ b + c + d, etc. yp (mm) A. Figura : Comparacio n de coordenadas verticales (medidas desde la base del detector) para coincidencias entre detectores de protones y antiprotones. La banda oscura corresponde a la correlacio n de las coordenadas debido a que el a ngulo de dispersio n de ambas partı culas que colisionan ela sticamente es el mismo. Los puntos superpuestos a la banda de correlacio n corresponden a eventos de background. como una serie de polinomios de Legendre: f (s, t) = k ( + )P (cosθ)a (k) () Donde s, t son las variables de Mandelstam y a (k) es la amplitud de dispersio n para la -e sima onda parcial. Esta u ltima se puede determinar a partir del corrimiento de fase δ de la onda parcial con momento angular : eiδ i La descripcio n de una interaccio n desde meca nica cla sica se hace a trave s del para metro de impacto b que corresponde a la distancia perpendicular entre la trayectoria inicial de movimiento de la partı cula proyectil y el centro dispersor. Los modelos geome tricos que describen dispersio n ela stica esta n basados en la representacio n de la amplitud de dispersio n en el espacio del para metro de impacto [] y en la propiedad de unitariedad de la amplitud de dispersio n. A altas energı as la amplitud de dispersio n debe tener contribuciones de ondas parciales con valores muy grandes de, por lo que se hace conveniente cambiar la suma discreta de ondas parciales por una integral ( d ), para esto usamos la relacio n = a (k) = Modelos Geome tricos () cla sica entre momento angular y para metro de impacto y por conveniencia adicionamos a un factor de / que tiene un efecto despreciable para valores grandes de : + = bk. Igualmente podemos usar la siguiente aproximacio n para los polinomios de Legendre: para, P (cosθ) J (qb), con q = t y t definido en la ecuacio n (q es el momento transferido). Poniendo estas aproximaciones juntas podemos reescribir la amplitud de

8 8 Im(l) dispersio n en te rminos de una doble integral: kbj (qb)a(b, s)db f (s, t) = C k = π π bdb a(b, s)ei q b dφ (4) C Re(l) e Ω(b,s) i () Donde Ω(s, b) corresponde a la opacidad que presenta el hadro n para un para mero de impacto b. La amplitud dispersio n se escribe como (d b = bdbdφ): ik d bei q b e Ω(b,s) (6) f (s, t) = π Diferentes modelos de estructura del hadro n se ven reflejados en la funcio n Ω(b, s) [ ]. Siguiendo las relaciones 6 y y usando la ecuacio n 6 podemos escribir: σt = e{ e Ω(b,s) }d b (7) e Ω(b,s) d b (8) σel = Un modelo sencillo es asumir que el hadro n es un disco negro de radio R, en este caso Ω y σt = πr, σel = πr, es decir que el caso en que asinto ticamente con la energı a el hadro n se llegue a comportar como un disco negro se esperarı a la seccio n eficaz ela stica sea la mitad de la seccio n eficaz total. Existen trabajos que indican que con los datos existentes de σt ya se puede confirmar este comportamiento [6]. B. Teorı a de Regge y el Pomero n La teorı a de Regge esta basada en extender la expansio n en ondas parciales al plano complejo de momento angular. Usamos la transformacio n de SommerfeldWatson [7] para este propo sito: a(l, s) f (s, t) = P (, s, t)d (9) ( + ) ik C sen(π ) El contorno de integracio n C rodea el eje real positivo de, como se indica en la Figura 4. Las funciones a(, s) y P (, s, t) son las continuaciones de a (k) y los polinomios de Legendre P a valores complejos de. Como los polos.α n Donde se ha sustituido al (k) por a(b, s) y en el u ltimo te rmino de la derecha se uso la representacio n integral de la funcio n de Bessel J (qb) (φ hace referencia al a ngulo azimutal). La parte fenomenolo gica entra en modelar la funcio n a(b,s) que describa correctamente los datos experimentales. Siguiendo la relacio n, a(b, s) se puede escribir como: a(b, s) =.α i () / 4 Figura 4: Contornos de integracio n para la Transformacio n de Sommerfeld-Watson donde se indican dos polos de Regge. del integrando se encuentran en valores enteros de, por el teorema de residuos obtenemos la expansio n original en ondas parciales dada por en la ecuacio n. Si deformamos el contorno C a C, donde C va desde un valor de / i a / + i (una lı nea vertical paralela al eje imaginario con e( ) = /), el nuevo contorno C puede encerrar polos de a(l, s). Si el i-e simo polo ubicado en = α(t) (llamado polo de Regge) tiene un residuo βi (t) podemos reescribir la amplitud de dispersio n como : f (s, t) = ik + i +i ( + ) i a(l, s) P (, s, t)d sen(π ) βi (t) P (α(t), s, t) sin(παi (t)) () En el lı mite cuando s la integral de la expresio n sα(t), anterior tiende a cero y la funcio n P (α(t), s, t) s por lo que la amplitud de dispersio n se simplifica a: β(t)sα(t) f (s, t) s () Donde β(t) contiene todos los factores que dependen de t. Para valores reales y positivos de t los polos de Regge representan resonancias y estados ligados, α(t) representa una trayectoria de Regge (o Reggeo n) que se interpola entre las diferentes resonancias o estados ligados y que sigue una lı nea recta: α(t) = α() + α t. Si usamos esta trayectoria de Regge y la ecuacio n 8 podemos escribir la seccio n diferencial ela stica como: dσel = F (t)sα() e α t ln(s) () Donde F(t) tiene en cuenta los residuos.tambie n podemos usar el teorema o ptico para obtener: sα() σt s () El intercepto de la trayectoria de Regge es el que contribuye a la seccio n eficaz total. Las trayectorias de Regge

9 Rev. Acad. Colomb. Cienc. 8(Supl.):-7, 4 9 conocidas hasta el momento tienen interceptos α() <, lo que implicarı a que σt decrecerı a con la energı a, lo cual esta en contraposicio n con las observaciones experimentales que indican que σt decrece con la energı a hasta llegar a una regio n plana y luego comienza a aumentar. Para conciliar la teorı a de Regge con los experimentos se hace necesario la existencia de una trayectoria de Regge con intercepto α() >, a esta trayectoria se le llama Pomero n, la cual hasta el momento no se puede asociar con ninguna partı cula y es tema de estudio tanto a nivel teo rico como experimental. Una indicacio n de que efectivamente el Pomero n es una buena explicacio n para el creciemiento de σt son las parametrizaciones propuestas por Donachie y Landshoff [8] donde los datos experimentales de σt son correctamente descritos a trave s de la suma de un Reggeo n ma s un Pomero n. Existen algunos modelos teo ricos que predicen la existencia de ma s de un Pomero n [9] y la existencia de un compan ero del Pomero n llamado Oddero n [] para el cual no hay evidencia experimental hasta el momento, pero que puede tener consecuencias en el comportamiento asinto tico de σt. C. A partir de la expansio n en ondas parciales de la amplitud de dispersio n y de sus propiedades de unitariedad se puede encontrar una cota para el crecimiento de la seccio n eficaz total con la energı a, que se le llama el lı mite de Froissart, el cual indica que para que se mantenga unitariedad la seccio n eficaz total no puede crecer ma s ra pido que ln (s) []: π ln (s) mπ RELACIONES DE DISPERSIO N A partir del teorema de Cauchy se pueden derivar relaciones de dispersio n integrales que establecen ecuaciones entre las partes real e imaginaria de la amplitud de dispersio n []: ef (E) = P π m mf (E ) mf ( E ) + E E E + E de () Donde P antes de la integral significa el valor principal de Cauchy. Si consideramos la amplitud de dispersio n, f, como compuesta de dos te rminos con paridad par (f+ ) e impar (f ), podemos escribir la amplitud de dispersio n para colisiones hadro n-hadro n (ab) y antihadro n-hadro n (a b) como: fab = f+ + f fa b = f+ f (6) (7) Se puede demostrar que las amplitudes f+, f cumplen con las siguientes relaciones de dispersio n en te rminos de derivadas [, 4]: Teoremas asinto ticos σt < VI. d mf+ π α + = s tan (8) d ln(s) sα d mf π α+ = sα tan (9) d ln(s) sα ef+ ef α En este trabajo usaremos las relaciones de dispersio n integrales para poder estudiar simulta neamente los datos de σt y ρ. (4) VII. Donde mπ es la masa del pio n. Las observaciones hechas con los u ltimos aceleradores de partı culas, en el rango de energı as de TeV, han conducido al debate de si existe evidencia suficiente de la saturacio n del lı mite de Froissart y que implicaciones tendrı a esta saturacio n []. El comportamiento asinto tico de los para metros que describen dispersio n ela stica se convierten en una herramienta fundamental para restringir los diferentes modelos fenomenolo gicos. Este comportamiento asinto tico se puede determinar a partir de las propiedades de la amplitud de dispersio n. El teorema de Pomeranchuk [8] es una de las restricciones mas importantes que deben cumplir los diferentes modelos. Este teorema predice que a altas energı as las secciones eficaces para colisiones hadro nhadro n y antihadro n-hadro n (por ejemplo pp y p p) convergen a un mismo valor. La predicio n del teorema de Pomeranchuk es ratificada por los datos actuales, como se puede ver en la Figura 7. ESTUDIO DE LA SECCIO N EFICAZ DIFERENCIAL En este trabajo presentamos un estudio modeloindependiente de dσ/. Basados en el hecho que dσ/ muestra un decaimiento exponencial pronunciado antes del mı nimo de difraccio n y un segundo decaimiento exponencial, menos pronunciado, despue s del mı nimo de difraccio n. Podemos construir una amplitud de dispersio n como la suma de dos te rminos exponenciales con diferente pendiente nuclear y que difieren de una fase entre ellas. La interferencia que se presenta entre los dos te rminos exponenciales puede explicar la profundidad del mı nimo de difraccio n y tambie n porque esa profundidad es diferente para colisiones hadro n-hadro n y antihadro nhadro n. La amplitud de dispersio n la podemos escribir como: f (s, t) = kσt (+ρ )/ e B t/ + Ce B t/ eiφ 4πc (4)

10 6 pp pp 9.4 GeV 6 GeV. GeV 8 GeV 46 GeV 96 GeV pp pp GeV. GeV. GeV. GeV 6. GeV 7 GeV dσ/ (mb/gev ) 8 x 6 x x4 x 8 x4 6 x 4 x x x 8 6 x Figura : dσ/ para colisiones p p y sus correspondientes ajustes. La escala vertical ha sido normalizada de manera diferente para diferenciar los datos de cada energı a En las Figuras y 6 se presentan los resultados a los ajustes hechos a los datos de dσ/ para colisiones p p y pp respectivamente, donde se demuestra que la parametrizacio n propuesta describe correctamente los datos desde energı as de colisio n de 9 GeV hasta 7 TeV para colisiones pp (desde 9 GeV hasta.96 TeV para colisiones p p). Las energı as de 9 GeV y GeV, donde se tienen datos para ambos tipos de colisiones, muestran que las pendientes nucleares antes y despue s del mı nimo de difraccio n son similares, dentro de las barras de error, para colisiones pp y p p. La diferencia en dσ/ para ambos tipos de colisiones se presenta en el mı nimo de de difraccio n que en un caso es constructiva (p p) y en el otro caso es destructiva (pp) t (GeV ) Figura 6: dσ/ para colisiones pp y sus correspondientes ajustes. La escala vertical ha sido normalizada de manera diferente para diferenciar los datos de cada energı a VIII. Nuestra motivacio n para proponer esta amplitud de dispersio n es meramente empı rica, al igual que en los trabajos desarrollados en [7] y []. Esta parametrizacio n tambie n converge a la ecuacio n cuando solo un decaimiento exponencial es considerado para dσ/. Sin embargo, te rminos similares para la amplitud de dispersio n se obtienen a partir del modelo quarkdiquark [6], [7]. t (GeV ) GeV dσ/ (mb/gev ) ESTUDIO DE LA SECCIO N EFICAZ TOTAL En el presente trabajo estudiamos el comportamiento logarı tmico de la seccio n eficaz sin estar atados a un modelo fenomenolo gico en particular, en vez de esto usamos la parametrizacio n propuesta por Amaldi []: σ = A E N ± A E N + C + C lnγ (s) (4) Donde el signo + ( - ) se usa para obtener σp p (σpp ). Los dos primeros te rminos son usados para describir el comportamiento de la seccio n eficaz a baja energı a. El u ltimo te rmino describe el comportamiento asinto tico de σt. Dado que σt es proporcional a la parte imaginaria de la amplitud de dispersio n, y el para metro ρ esta definido como el cociente entre la parte real sobre la parte imaginaria de la amplitud de dispersio n, usando relaciones de dispersio n integrales podemos obtener el producto ρσ, para colisiones pp como: E kρσ = B + P π m σp p σpp E (E E) E (E + E) k de (4) De manera similar se obtiene una ecuacio n para el producto ρσ para colisiones p p (intercambiando σpp por σp p en el integrando).

11 Rev. Acad. Colomb. Cienc. 8(Supl.):-7, 4. 8 p p data 6 p p data.. ρ σ (mb) 4 -. p p data 8 -. p p data s (GeV) Las ecuaciones 4 y 4 se pueden usar para hacer un ajuste simulta neo por el me todo de mı nimos cuadrados (usando el paquete MINUIT [8])a los datos de σt y ρ para las colisiones pp, p p, π ± p y K ± p [9], [4]. La parametrizacio n usada no describe la regio n de energı as donde se presentan resonancias de σt, por eso so lo se incluyen datos con energı as mayores a s = GeV. En la referencia [4] se reporta un trabajo similar, usando relaciones de dispersio n diferenciales, solo para colisiones pp y p p. El aporte del presente estudio es incluir los datos de otras reacciones y el uso de relaciones de dispersio n integrales. Dado que nuestra muestra de datos es mayor, especialmente a bajas energı as, el estudio que se presenta permite obtener con mayor precisio n los para metros de la parametrizacio n de Amaldi. En total se consideraron 7 datos para el fit simulta neo, con 8 parametros libres. Los datos fueron obtenidos de la bse de datos de Durham [4] y del grupo de datos de partı culas [4]. Siguiendo los resultados de Donnchie y Landshoff [8], quienes fueron los primeros en demostrar que las secciones eficaces de diferentes procesos hadro n - hadro n incrementan en la misma proporcio n con la energı a, se asumio en los fits realizados como para metros comunes, para todos los tres tipos de reaccio n estudiada, los exponentes de la parametrizacio n de Amaldi: N, N, γ. Los resultados obtenidos indican que la parametrizacin de Amaldi describe apropiadamente los datos experimentales (χ /grado de libertad =,), los cuales son compatibles con un crecimiento con la energı a para σt como ln (s) (γ =, 4 ±, ) por lo que se concluye que a altas energı as σt para colisiones hadro n-hadro n y antihadro n-hadro n crece a la ma xima rata esperada por el lı mite de Froissart pero no hay evidencia experimental suficiente que permita concluir que este lı mite se viole. Aunque el valor de σ obtenido esta por encima de,, la incertidumbre au n 4 s (GeV) Figura 8: Para metro ρ para colisiones pp y p p y sus corerspondientes ajustes. 4 4 σ (mb) Figura 7: σt para colisiones pp y p p y sus correspondientes ajustes. K+- p data K p data π+ p data π- p data s (GeV) Figura 9: Datos de σt para colisiones πp y Kp y sus correspondientes ajustes. lo hace estadı sticamente compatible con,. A bajas energı as las secciones eficaces π + p y π p difieren entre ellas por los canales adicionales de aniquilacio n de los quarks u y u (presentes en la reaccio n π p) que tienen mayor contribucio n que los canales de En el caso de colisioaniquilacio n entre quarks d y d. nes Kp los canales de aniquilacio n quark-antiquark se reducen y adema s intervienen quarks tipo s o s en la reaccio n, por esta razo n la seccio n eficaz es ma s baja que en colisiones πp y pp, como se muestra en la Figura 9. Aunque se usaron los datos de ρ para colisiones πp y Kp no se incluye una gra fica dado que son muy pocos los datos que existen. La tabla I presenta el valor de los para metros que mejor se ajustan a los datos con sus respectivas incertidumbres. Los resultados de los

12 Tabla I: Valores de los para metros con el mejor ajuste a los datos experimentales (χ /grado de libertad =.). N N γ Ap Ap Cp Cp Bp Aπ Valor,9 ±,, ±,,4 ±, 4, ±,7,4 ±,74 8, ±,8,4 ±,7 -,4 ± 7,67,8 ±, Aπ Cπ Cπ Bπ AK AK CK CK Bp Valor,6 ±,,84 ±,9, ±, -9, ± 4,78, ±, 8, ±,9,9 ±,9, ±, -,4 ± 6,4 ajustes permiten hacer una extrapolacio n a la energı a de 4 TeV, correspondiente a la energı a de disen o del acelerador LHC y a la cual se espera tomar datos en el an o. La prediccio n para σtpp que se obtiene es: σtpp = 9, ±, 6 mb. A esta energı a los dos primeros te rminos de la parametrizacio n de Amaldi tienen una contribucio n despreciable (,%), lo que indica que el comportamiento asinto tico esta u nicamente dictado por el te rmino logarı tmico. IX. CONCLUSIONES es diferente para colisiones hadro n-hadro n y antihadro nhadro n. El estudio realizado a las secciones eficaces totales para las reacciones p p, pp, π ± p, K ± p permite concluir que las secciones eficaces para estos procesos tienen la misma rata de crecimiento a altas energı as y que el valor de la seccio n eficaz depende del tipo de quarks que intervienen en la reaccio n, por esta razo n las secciones eficaces para colisiones Kp son ma s bajas que en el caso πp y este u ltimo a su vez tiene una seccio n eficaz ma s baja que en el caso pp, dado que hay menor nu mero de quarks interviniendo en la reaccio n. Se demostro en el presente trabajo que el incremento de la seccio n eficaz total con la energı a, a altas energı as, se puede describir como un te rmino de la forma lnγ (s) donde γ es compatible, dentro de su incertidumbre, con el valor de,, por lo que se concluye que los datos experimentales indican que la seccio n eficaz total incrementa a altas energı as a la rata ma xima que permite la condicio n de unitariedad (descrita por el lı mite de Froissart) y no existe evidencia experimental de violacio n del lı mite de Froissart. Los datos que se tomen a la energı a de centro de masa de 4 TeV, en el acelerador LHC, sera n fundamentales para reducir la incertidumbre del para metro γ. Actualmente los datos a altas energı as provienen, en su mayorı a de mediciones con rayos co smicos, que presentan incertidumbres muy altas. Finalmente, se ha hecho una prediccio n para σtpp a la energı a de centro de masa de 4 TeV de 9 mb con una incertidumbre de, %. En el presente trabajo se ha hecho una corta revisio n de dispersio n ela stica y secciones eficaces totales hadro nhadro n y antihadro n-hadro n. El estudio realizado de dσ/ para colisiones p p y pp permite corroborar que los datos experimentales son adecuadamente descritos por una amplitud de dispersio n compuesta por dos te rminos exponenciales que difieren en una fase. El te rmino de interferencia que resulta por la diferencia de fase es el que determina la forma del mı nimo de difraccio n, que Agradezco a COLCIENCIAS, a la Facultad de Ciencias y al Departamento de Fı sica de la Universidad de los Andes por la financiacio n a las actividades de investigacio n del grupo de Altas Energı as. [] J. Forshaw and D.A. Ross, Quantum Chromodynamics and the Pomeron (Cambridge University Press, Cambridge, 997). [] U. Amaldi et al., Phys. Lett. B 66, 9 (977). [] M. Froissart, Phys. Rev., (96). [4] G. Antchev et al., Europhys. Lett., (). [] G. Antchev et al., Europhys. Lett., 4 (). [6] G. Antchev eta al., Phys. Rev. Lett., (). [7] R. Phillips, V. Barger, Phys. Lett. B 46, 4 (97). [8] M. Block, Phys. Rep. 46, 7 (6). [9] G. B. West, and D. Yennie, Phys. Rev. 7, 4 (968). [] M. G. Minty and F. Zimmerman, Measurement and Control of Charged Particle Beams (Springer-Verlag, Berlin, ). [] E. Martynov, arxiv:.9 (). [] T. Andeen et al., FERMILAB-TM-6 (7). [] S. Chatrchyan et al. (CMS Collaboration), Phys. Lett. B 7, (). [4] M. S. Alam et al. (ATLAS Collaboration), Nature Commun., 46 (). [] F. Abe et al. (CDF Collaboration), Phys. Rev. D, (994). [6] N. Amos et al. (E7 Collaboration), Phys. Lett. B 4, 8 (99). [7] C. Avila et al. (E8 Collaboration), Phys. Lett. B 44, 49 (999). [8] P. Abreu et al. (Auger Collaboration), Phys. Rev. Lett. 9, 6 (). [9] U. Amaldi et al., Phys. Lett. B 44, (97). [] V. M. Abazovet al.,(d Collaboration), Phys. Rev. D 86, 9 (). [] V. Barone and E.Predazzi, High Energy Particle Diffraction (Springer-Verlag, Berlin, ). [] U. Amaldi, K. R. Schubert, Nucl. Phys. B 66, (98). [] V. Anisovich, and V. Nikonov, arxiv:6.7 (). 6 AGRADECIMIENTOS

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