Invariancia de escala en una cuna de Newton

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1 Revista Colombiana de Física, vol.44, No.2, 212. Invariancia de escala en una cuna de Newton Newton s Cradle Scale Invariance Villalobos, G. a, Oquendo, W. b, Muñoz, J.D. b a gvillalobosc@bt.unal.edu.co. Simulación de sistemas físicos, Universidad Nacional de Colombia, Bogotá b Simulación de sistemas físicos, Universidad Nacional de Colombia, Bogotá Recibido abril 1 de 21; aceptado febrero 17 de 211. Resumen En este trabajo se simula numéricamente un sistema de péndulos, conocido como la cuna de Newton, dispuestos secuencialmente y compuesto de tres partículas esféricas interactuando por medio de la Ley de Hertz. Se estudia la evolución del torque sobre la partícula del medio como función del tiempo y de la constante elástica k de las esferas. Se encuentra que existe una invariancia de escala entre el torque y k, representado por un colapso de las diferentes curvas en una forma invariante. Adicionalmente, se exploran los posibles cambios en la curva invariante al reemplazar la ley de Hertz por una ley de interacción lineal entre las esferas y al variar el número de partículas. Palabras Clave:ley de Hertz, cuna de Newton, invariancia de escala, simulación numérica. Abstract The Newton s cradle, a system of three consecutive pendulum composed by spherical particles, is simulated by a computational model. The interaction between the spheres is given by the Hertz Law. Time evolution of total applied torque acting on the middle sphere is studied, both as a function of time, and the elastic constant k of the spheres. The torque turns out to be scale invariant with respect to k, this is represented by a collapse of the different curves into a universal curve. In addition, shape changes of the invariant curve for both a linear interaction law,and a different number of spheres are also explored. PACS:2.6Cb, 2.7Ns, 45.2dc, 45.5Tn. Keywords: Hertz law, Newton s cradle, scale invariance, numerical simulation. 1. Introducción La cuna de Newton es un sistema físico compuesto por tres o más péndulos dispuestos de manera consecutiva de tal forma que en su posición de equilibrio las esferas apenas se tocan. El objetivo principal de este trabajo es estudiar la variación del torque en la partícula central como función del tiempo durante una colisión típica. Se encuentra que el torque sobre la esfera central en una cuna de Newton presenta invariancia de escala como función de la dureza de la esfera, lo cual se ilustra mediante el colapso de varias curvas de evolución temporal del torque en una sola, al escoger escalamientos apropiados en los ejes verticales y horizontales. Las interacciones entre las esferas se modelaron de la forma estándar usando la ley de Hertz [1,2]. Es de resaltar que este tipo de análisis sólo es posible mediante la simulación computacional, ya que requiere el valor del

2 G. Villalobos et al.: Invariancia de escala en una cuna... torque en intervalos de tiempo infinitesimales, lo cual es extremadamente complicado (si no imposible) de medir experimentalmente. L θ i i 1 2 x x 1 x 2 Figura 1. Cuna de Newton en su posición de equilibrio. 2. Simulación computacional de la cuna de Newton El sistema modelo está constituido por tres péndulos que en su posición de equilibrio se sitúan consecutivamente como se muestra en la Figura 1. En la modelación de la colisión entre esferas se supone que ésta ocurre en un tiempo finito y que la interacción se describe de la manera estándar por medio de la ley de Hertz [1,2], como: R x Figura 3. Esquema de un péndulo individual. El ángulo θ es la variable dinámica. La variable dinámica para cada péndulo es el ángulo que forma con la vertical, como se muestra en la Figura (3). Sobre una esfera determinada existirán dos posibles torques: uno, el asociado a la componente del peso perpendicular a la tensión y el otro, proveniente de la posible colisión con dos esferas vecinas. La dinámica de este sistema se simuló utilizando un algoritmo de elementos discretos. En cada paso de la simulación se calculan las fuerzas que actúan sobre las esferas y su aceleración. Las nuevas posiciones (en el instantet+ t) se encuentran mediante el algoritmo de integración mejorado de Verlet, propuesto por Omelyan, cuyo orden es O(dt 4 ) [3]: F = ks 1,5 (1) τ 1 = Lmgsin(θ) (2) τ 2 = Lks 1,5 i,i 1 Lks1,5 i,i+1, (3) donde k representa la dureza del material y s la distancia de interpenetración r 1 = r(t)+ v(t)ξ t v 1 = v(t)+ 1 m f[ r 1] t 2 r 2 = r 1 + v 1 (1 2ξ) t v(t+ t) = v m f[ r 2] t 2 r(t+h) = r 2 + v(t+h)ξ t, (4) 1 s Figura 2. Distancia de interpenetración s. donde ξ =, es el valor óptimo de la constante ξ que minimiza el error global total [3]. Las condiciones iniciales de la simulación se muestran en la Tabla

3 Rev. Col. Fís, 44, No. 2, 212. Tabla 1. Constantes y condiciones iniciales. Característica Valor Masa esferas (g) 1 Radio esferas (cm) Longitud péndulos (cm) 1,5cm 12cm Aceleración gravitacional cm/s 2 98 DeltaT θ ( o ) 5e 7 15 θ 1 ( o ) θ 2 ( o ) Nos interesa analizar numéricamente cómo varía el torque total sobre la esfera del medio 1, como función del tiempo, en un choque de tres esferas. Es decir, la condición inicial de un ángulo distinto de cero para la esfera de la mitad es equivalente a una velocidad inicial en el momento de la colisión. La integración numérica es la forma de conseguir estos datos experimentales, ya que en todo instante durante la simulación, es posible guardar los valores de todas las variables. Las curvas de torque como función de la constante de durezak durante un choque de tres esferas se muestran en la Figura Torque(g cm /s ) 2e+7 1e+7 1e+7 2e+7 Torque esfera central en el primer choque k=1e8 k=2e8 k=3e8 k=4e8 k=5e8 k=6e8 k=1e tiempo (s) Figura 4. Torque en la esfera central como función de la constante k de la ley de Hertz 1. Se usó un paso de tiempo de DeltaT=,5e 6. En la gráfica se diferencian claramente dos comportamientos. Inicialmente el torque aplicado actúa en el sentido positivo, esto se debe a la interacción que tiene la esfera del medio (etiqueta 1) con la esfera de la izquierda (etiqueta ). Este torque produce una velocidad angular y así mismo un desplazamiento positivo del ángulo de esta partícula, por lo cual ésta interactúa con la esfera de la derecha (etiqueta 2). La interacción con el péndulo (2) domina la segunda parte de la curva en que se aplica un torque neto negativo sobre la esfera del medio. Como se puede inferir de la Figura 4, el comportamiento ondulatorio del torque, con una región positiva y una región negativa, se presenta para diferentes valores de la constante de dureza k. Más que esto, es posible mostrar que la relación entre la constante de dureza y estas variables obedece a un escalamiento de ley de potencias, por lo cual se pueden reescalar todas estas curvas sobre una forma invariante, como se mostrará en la siguiente sección. 3. Escalamiento La primera característica sensible de escalamiento es el tiempo. Se calculó el tiempo durante el cual el torque es positivo, para los diferentes valores de la constante k, como se ve en la Figura 5. Se encuentra que la relación entre los logaritmos es lineal. Luego, existe una ley de potencias entre el tiempo de la oscilación y la constante de dureza del material. La pendiente de la recta en escala logarítmica es de,4(5), donde se utilizó un algoritmo de mínimos cuadrados. log(t) Logaritmo del tiempo durante el cual el torque es positivo contra logaritmo de la constante de dureza k 17.1 Ajuste 17 Datos Figura 5. Logaritmo del tiempo durante el cual el torque es positivo, para la colisión de tres esferas, como función del logaritmo de la constante k. La pendiente de la gráfica es de.4(5). De la misma manera se realiza la Figura 6 en la que se presenta el logaritmo del torque máximo como función del logaritmo de la constante k. En este caso, del ajuste se obtiene un exponente de,48(5), por lo tanto el torque máximo también se escala con una ley de potencias como función de la constante de dureza del material. 1 En el caso de tres esferas, la que tiene la etiqueta 1, es decir la segunda esfera. 12

4 G. Villalobos et al.: Invariancia de escala en una cuna... log(t_max) Logaritmo del torque maximo como funcion del logaritmo de la constante de dureza k Torque maximo Ajuste 6.5 Figura 6. Logaritmo del torque máximo como función del logaritmo de la constante k. La linealización por el método de los mínimos cuadrados establece una pendiente de -.48(5). Usando estos dos exponentes se realizan los reescalamientos del torque y el tiempo mediante las siguientes relaciones: τ τ = k,4 (5) t t =. (6) k,48 Esto lleva al colapso de las diferentes funciones del torque como función del tiempo en una única forma, como se muestra en la Figura 7. Tiempo reescalado = t / k Torque reescalado como funcion del tiempo k = 1e8 k = 2e8 k = 3e8 k = 4e8 k = 5e8 k = 6e8 k = 1e Torque reescalado = τ/ k.48 Figura 7. Curva invariante, para la colisión de tres esferas mediante un potencial de Hertz, después de aplicar el escalamiento mediante las ecuaciones 5 4. Interacción lineal entre esferas Para determinar si el escalamiento depende de la forma exacta de la ley de interacción, se estudió cómo varían los exponentes y la forma del torque para otro tipo de fuerza, en este caso una interacción lineal en la distancia de penetración: con s la distancia de interpenetración de las esferas. Los demás valores de la simulación se mantuvieron iguales. Se encuentra que se cumple el escalamiento, esta vez con pendientes de,49981(2) para el eje temporal y,522(7) para el torque. Es decir, los exponentes críticos dependen de la forma de la fuerza de interacción, como se muestra en las Figuras 8 y 9. log(t_max) Logaritmo del torque maximo como funcion del logaritmo de la constante de dureza k Fuerza de interaccion de tipo lineal "maxtorque.dat" u (log($1)):(log($2)) f(x) 7.6 Figura 8. Logaritmo del torque máximo como función del logaritmo de la constante k, para una interacción lineal entre las esferas, del tipo F = ks. log(t) Logaritmo del tiempo para torque positivo contra el logaritmo de la constnte de dureza k Fuerza de interaccion de tipo lineal f(x) "zerotorque.dat" u (log($1)):(log($2)) 16.6 Figura 9. Logaritmo del tiempo para torque positivo, como función del logaritmo de la constante k, para una interacción lineal entre las esferas, del tipo F = ks. En la Figura 1, se muestra la forma funcional invariante del torque como función de tiempo durante la colisión triple, utilizando la interacción lineal tipo Hooke, F = ks. F = ks, (7) 121

5 Rev. Col. Fís, 44, No. 2, 212. Torque(g cm^2/s^2) 2e+7 1e+7 1e+7 2e+7 Torque esfera central en el primer choque Fuerza de interaccion entre particulas lineal k=1e tiempo (s) Figura 1. Torque como función del tiempo, para una interacción lineal entre las esferas, del tipo F = ks. log(t) Logaritmo del tiempo para torque positivo contra el logaritmo de la constante de dureza k Fuerza de Hertz, para cinco pendulos 17 f(x) "zerotorque.dat" u (log($1)):(log($2)) 16.1 Figura 12. Logaritmo del tiempo durante el cual el torque es positivo, como función de la constante de dureza k. Se obtiene una relación de potencias, con constante k =,44(3). 5. Variación del número de esferas La parte final de este trabajo busca estudiar el cambio de la interacción como función del número de esferas. Se utilizó la ley de Hertz, ahora con cinco péndulos, nuevamente aplicando una condición inicial de velocidad a una sola de ellas, como se muestra en la Figura Figura 11. Configuración de cinco péndulos. Se estudió la variación del torque sobre la esfera número 2 (central). Se obtuvieron los exponentes de,44(3) para el eje temporal y,47(3) para el eje del torque, ambos iguales dentro del margen de error de los valores encontrados para tres esferas Logaritmo del torque maximo como funcion del logaritmo de la constante de dureza k 6 Fuerza de Hertz, para cinco esferas Datos Linearizacion 6.5 Figura 13. Logaritmo del tiempo durante el cual el torque es positivo, como función de la constante de dureza k. Se obtiene una relación de potencias, con constante k =,47(3). Torque($g cm^2/s^2$) 2e+7 1e+7 1e+7 2e+7 Torque esfera central en el primer choque k=1e8 k=2e8 k=3e8 k=4e8 k=5e8 k=6e8 k=1e tiempo (s) Figura 14. Torque como función de el tiempo, para interacción tipo Hertz y cinco esferas. La dependencia funcional del torque como función del tiempo para las diferentes constantes de rigidez, es similar al caso del choque entre tres esferas, como se 122

6 G. Villalobos et al.: Invariancia de escala en una cuna... puede ver en la gráfica correspondiente, Figura Conclusiones Se modeló la cuna de Newton usando una fuerza de Hertz y de Hooke para la interacción entre los péndulos. El objetivo fue estudiar la variación temporal del torque y determinar la existencia de exponentes críticos de escalamiento. Se encontró que estos exponentes dependen de la forma de la ley de interacción, siendo alrededor de,4(5) para el tiempo y,48(5) para el torque usando la ley de Hertz, para tres o cinco péndulos. Para una interacción lineal tipo Hooke se obtuvieron los exponentes de,49981(2) para el tiempo y,522(7) para el torque, para tres péndulos. La forma funcional del torque encontrada mediante este método se puede explicar de la siguiente forma. Inicialmente la interacción se lleva a cabo principalmente con la esfera a la izquierda, produciendo un torque en el sentido de las manecillas del reloj, que es la dirección positiva para la variación del ángulo. Esto genera una aceleración del péndulo en la dirección neta positiva y lo lleva a interactuar con la esfera que se encuentra a su izquierda. En una segunda fase, la interacción primordial se lleva a cabo con la esfera de la izquierda, aplicando un torque en el sentido negativo. La continuación natural de este trabajo consiste en encontrar, mediante aproximaciones al problema analítico, la curva que describe el torque como función del tiempo y comparar con la simulación computacional mostrada en el presente artículo. Agradecimientos La presentación de este trabajo en el XXIII Congreso Nacional de Física fue posible gracias al apoyo del centro de excelencia CEiBA, la Facultad de Ciencias y el Departamento de Física de la Universidad Nacional de Colombia - sede Bogotá. Referencias [1] H. Hertz, J. Reine angewandte Mathematik, 17, 1982, p [2] N. V. Brilliantov, F. Spahn, J-M. Hertzsch, T. Pöschel. Phys. Rev. E, 5, 1993, [3] I. P. Omelyan, I. M. Mryglod, R. Folk. Phys. Rev. E, 5, 22,