LAS SERIES DE FOURIER

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1 LAS SERIES DE FOURIER Y EL DESARROLLO DEL ANÁLISIS EN EL SIGLO XIX Universidad Complutense de Madrid

2 Las series trigonométricas surgieron en la Matemática en el siglo XVIII, en relación con el estudio de las pequeñas oscilaciones de medios elásticos, pero como veremos, su influencia fue decisiva en el desarrollo del Análisis a lo largo del siglo XIX. Es realmente sorprendente la omnipresencia del tema en multitud de situaciones, de tal modo que puede rastrearse su presencia como motivador de gran parte de los desarrollos más importantes acaecidos en este siglo, desde la evolución de la noción misma de función hasta el comienzo de la topología o los números transfinitos, pasando por el desarrollo de las distintas nociones de integración. De ello trataremos en esta charla. 1.- El Problema de la Cuerda Vibrante. A partir del desarrollo del Cálculo en el siglo XVII, éste se había convertido en la principal herramienta para estudiar y modelizar la Naturaleza. La idea básica era representar la evolución de un fenómeno natural por medio de una ecuación diferencial que relacionaba las distintas magnitudes relevantes en el fenómeno. Esta ecuación se obtenía a partir de un análisis del fenómeno a nivel infinitesimal, utilizando un reducido número de leyes naturales que se habían ido descubriendo. Los fenómenos que podían describirse en términos de una sola variable venían así regidos por ecuaciones diferenciales ordinarias, que relacionaban la función incógnita con sus derivadas. Por ejemplo, la posición y(t) (en función del tiempo) de un punto material de masa m que se desplaza a lo largo de una recta atraído por un centro atractivo O por una fuerza proporcional a la distancia al centro, satisface la ecuación diferencial cuya solución general es m d2 y = ky (k constante > 0), dt2 y(t) = C 1 sen ωt + C 2 cos ωt, ω = k m. A lo largo del siglo XVII y la primera mitad del XVIII se habían desarrollado considerablemente los métodos de resolución de este tipo de ecuaciones. Sin embargo, cuando en el fenómeno estudiado dependía de dos o más variables significativas, su modelización venía dada por una ecuación en derivadas parciales, mucho más difícil de tratar. Uno de 1

3 los primeros fenómenos estudiados fue el siguiente: Consideremos una cuerda tensa con los extremos fijos en los puntos x = 0 y x = l del eje Ox. Si desplazamos ligeramente la cuerda de su posición de equilibrio y la soltamos, oscilará un plano. Se trata de encontrar la posición u = u(x, t) que ocupará el punto de abscisa x en el instante t. En el caso de un sólo punto material, se trata del problema anteriormente ya citado de la oscilación de una masa atraída por un centro atractivo. Este problema fue abordado por Johann Bernouilli en 1727, considerando primero la oscilación de n masas iguales situadas equidistantes. Para el desplazamiento y k de la k-ésima masa, Bernouilli había obtenido la ecuación en diferencias finitas d 2 y k dt 2 = a2 (y k+1 2y k + y k 1 ), donde a depende de la tensión de la cuerda, de la masa total y de la distancia entre las masas puntuales. Bernouilli resolvió esta ecuación y consideró el caso de la cuerda continua haciendo tender n a infinito formalmente. De esta manera, obtuvo que, en cada instante t, la cuerda toma una forma sinusoidal, solución de la ecuación d2 y dx = ky (con k función 2 del tiempo). Este resultado ya había sido obtenido en 1715 por J. Taylor. En 1747, Jean le Rond D Alembert, el famoso enciclopedista, se interesó por el problema. A través de un análisis infinitesimal y las leyes físicas pertinentes, D Alambert obtuvo la ecuación diferencial que rige el fenómeno, a saber: 2 u t 2 = a2 2 u x 2, (1.1) donde a es una constante que depende de las características físicas de la cuerda y que, por simplicidad, supondremos en lo que sigue igual a 1. A continuación, tras unas ingeniosas manipulaciones formales, consiguió obtener la integral general de la ecuación (1.1) en la forma u(x, t) = Ψ(t + x) Ψ(t x) siendo Ψ una función arbitraria. En un artículo inmediatamente posterior (ambos aparecieron en 1749), D Alembert obtiene la solución del problema de la cuerda vibrante en términos de la posición inicial u(x, 0) := f(x) de la cuerda y su velocidad inicial u t (x, 0) := g(x). A continuación D Alembert establece que las funciones f y g no pueden 2

4 ser arbitrarias, sino que deben satisfacer ciertas condiciones. Esencialmente, D Alembert sostiene que, debido al método de resolución, las funciones admisibles como valores iniciales deberían ser, por un lado, periódicas de periodo 2l, y por otro, suficientemente lisas, debiendo verificar la ley de continuidad y una condición geométrica que equivale, en términos modernos, a ser dos veces diferenciables (sin picos ). Un año después, en 1750, el gran Leonard Euler presenta el primero de los 15 trabajos que dedicó a este problema, iniciando así un debate que duró cerca de 50 años y en el que intervinieron la mayoría de los grandes matemáticos de la época. La solución de Euler no difiere técnicamente de la de D Alembert, aunque sí el método de deducción. Partiendo de la posición inicial u(x, 0) := f(x) de la cuerda, obtiene geométricamente la solución en la forma u(x, t) := 1 2 f(t + x) + 1 f(t x). 2 Para Euler, esta ecuación funcional describe totalmente el fenómeno físico y, por tanto, no supone restricción alguna para f. Por tanto, puesto que podemos elegir arbitrariamente la forma inicial de la cuerda (y Euler pone concretamente el ejemplo de una poligonal), f puede ser totalmente arbitraria, e.d. irregular y mecánica. regular y contenida en una cierta ecuación, o El problema subyacente en esta polémica estriba, en primer lugar, en la noción misma de función, que Euler y D Alembert utilizaban con el mismo nombre, pero con significados distintos. En general, la idea de función no había sido definida con claridad. Para los matemáticos del XVIII la noción más aceptada es la adoptada por el propio Euler en el Capítulo I de su famoso Introductio in Analysin Infinitorum, publicado en 1748: Una función de una cantidad variable es cualquier expresión analítica formada con la cantidad variable y con números o cantidades constantes. Una función está sujeta a la ley de continuidad si puede expresarse en todo su dominio por una sóla expresión analítica, siendo en otro caso discontinua. De modo que, para Euler, funciones como son discontinuas. x := { x, si x 0 x, si x < 0 Un poco más adelante, Euler explicita la idea que tenían todos los matemáticos de que 3

5 cualquier función admisible en matemáticas podía expresarse como una serie de potencias con exponentes naturales, salvo en un número finito de puntos a lo más. A lo largo de la obra, Euler fundamenta esta convicción obteniendo los desarrollos en serie de una gran cantidad de funciones. La culminación y sistematización de esta noción de función se encuentra sin duda en la monografía Théorie des fonctions analytiques, publicado en 1797 por J. L. Lagrange como libro de texto para sus alumnos de la Ecole Polytechnique, fundada pocos años antes para formar a las nuevas generaciones de técnicos y científicos que debieran llevar a Francia a la cabeza del desarrollo científico e industrial después de la Revolución. En este libro que, como orgullosamente declara su autor, presenta la teoría de funciones y el cálculo diferencial liberados de toda consideración acerca de infinitesimales, cantidades evanescentes, límites o fluxiones..., Lagrange define de hecho una función por su desarrollo en serie de potencias (aunque intenta dar una demostración de la posibilidad de tal desarrollo), y las derivadas sucesivas como los correspondientes coeficientes en el desarrollo en serie de la función. Es esta noción de función la que adopta y defiende D Alembert en el debate sobre la cuerda vibrante, junto con la postura más ortodoxa sobre la utilización rigurosa de las leyes del cálculo. Euler, por su parte, motivado por la naturaleza física del problema, defendía que la solución obtenida era válida para cualquier función arbitraria (mecánica en su notación, para indicar una función cuya gráfica está trazada al azar ). Este problema, junto con otros de naturaleza geométrica, hicieron a Euler considerar su primera definición de función como demasiado restrictivo. Así, en su Institutiones Calculi Differentialis da una nueva definición que, en sentido literal, no estaría demasiado lejos de la concepción moderna de función: Si unas cantidades dependen de otras, de modo que si las últimas cambian, lo hacen también las primeras, se dice que las primeras cantidades son funciones de las últimas. No obstante, la idea actual de función como correspondencia arbitraria era sencillamente extraña a Euler (y, en general, al pensamiento de la época). Simplemente, Euler quería señalar que podían ser objeto de estudio en Matemáticas funciones más generales 4

6 que las obtenidas por medio de una expresión analítica concreta. Realmente, las funciones admitidas por Euler como posición inicial de la cuerda serían lo que en lenguaje moderno llamaríamos funciones continuas, de clase C 1 a trozos. De hecho, las confrontaciones más intensas entre Euler y D Alembert se referían a la posibilidad de considerar como funciones válidas a las que tuvieran picos (como las poligonales a trozos), e.d., con derivada discontinua en algunos puntos. Euler admitía las objeciones de D Alembert desde el punto de vista del rigor, pero defendía la necesidad de encontrar nuevos instrumentos matemáticos para extender las leyes del cálculo conocido a situaciones más generales, justificados en todo caso por la evidencia física del problema. Es de destacar la postura pionera de Euler en el problema de las soluciones generalizadas de una ecuación diferencial. Se trata, como en el caso de la cuerda vibrante, de conciliar la evidencia empírica de que muchos problemas que se modelizan a través de ecuaciones diferenciales, tienen soluciones reales no regulares desde el punto de vista matemático. Ya hemos señalado una de las posibilidades, adoptada por Euler: modificar el modelo matemático por otro que no exija restricciones tan severas a las soluciones. También Euler dio los primeros pasos en el método de las soluciones débiles : Se trata de aproximar una función mecánica arbitraria f por funciones regulares, obtener la solución clásica (a lo D Alembert) de (1.1) para estas funciones y representar la solución original como límite (en algún sentido) de estas soluciones clásicas. Uno de los intervinientes en el largo debate sobre la cuerda vibrante fue Daniel Bernouilli, amigo de Euler y perteneciente a la conocida familia de matemáticos de origen suizo. Daniel Bernouilli era esencialmente lo que hoy llamaríamos un físico matemático. Por ello, los razonamientos físicos primaban para él sobre los argumentos matemáticos. En consecuencia, retomando los argumentos de su padre Johann, propuso en 1753 que la posición general de la cuerda debiera obtenerse por superposición (e.d., combinación lineal, eventualmente infinita) de las vibraciones elementales sinusoidales que su padre había encontrado como solución. Más precisamente, propuso como solución u(x, t) = α(t) sen πx l + β(t) sen 2πx l + γ(t) sen 3πx l + (1.2) En particular, la posición inicial u(x, 0) := f(x) debiera poder expresarse como una serie trigonométrica. Por supuesto, Bernouilli no dio ninguna indicación sobre cómo calcular los coeficientes α, β, γ,.... 5

7 La solución de Bernouilli fue rechazada por Euler por no ser lo suficientemente general. Aunque reconoció la importancia de las observaciones de Bernouilli en el aspecto físico del problema, consideraba matemáticamente inaceptable que cualquier función arbitraria pudiera representarse por medio de una suma trigonométrica. Para Euler, todas las curvas contenidas en esta ecuación [se refiere a (1.2)] incluso cuando aumentamos el número de términos hacia infinito, tienen ciertas características que las distinguen de otras curvas. Entre esas características, Euler hace hincapié en la periodicidad. Un error tan evidente (es obvio que lo relevante para el problema es lo que sucede en el intervalo [0, l]), pone claramente de manifiesto la dificultad en asimilar la idea moderna de dominio de una función, incluso por un hombre como Euler, protagonista de la transición entre la antigua teoría de funciones y la nueva. Para Euler, como para todos sus contemporáneos, una función se asocia siempre con la totalidad del dominio en el que existe. Otra de las objeciones de Euler hacía referencia a la determinación de los coeficientes α, β, γ, etc., tarea que le parecía sin duda muy difícil, por no decir imposible.. D Alembert, por una vez, coincidió con Euler para rechazar la solución de Bernouilli. Incluso fue más lejos, afirmando que ni siquiera cualquier función periódica podría representarse por una serie trigonométrica. En el fondo, como señaló H. Lebesgue en 1906, las objeciones de Euler y D Alembert tenían un significado muy profundo. En efecto, si consideramos la posición inicial de la cuerda como una poligonal, resulta que una serie trigonométrica (que es una expresión analítica) representaría una función lineal en un subintervalo de [0, l] y otra función lineal distinta en otro subintervalo; e.d., dos expresiones analíticas deberían ser iguales en un intervalo y desiguales en otro, lo que parecía imposible. ( Nótese que para series de potencias, esto es claramente imposible!). 2.- La teoría de la transmisión del calor y la resolución de E.D.P. La invención de la máquina de vapor, base de la Revolución Industrial, despertó el interés por el desarrollo de una teoría matemática de la conductividad del calor, más tarde concretada en la termodinámica. Varios matemáticos y físicos, como Laplace, Lavoisier, 6

8 Biot, et. realizaron investigaciones en este campo. En el año 1811 el Institut de France convocó un concurso cuyo objeto eral proporcionar una teoría matemática de las leyes de propagación del calor y comparar esta teoría con experimentos. El ganador del premio fue el académico Jean B.Fourier. De familia modesta (era hijo de un sastre de Auxerre), Fourier estudió en la Escuela militar de su ciudad natal, de donde llegó a ser Profesor. Se adhirió a las ideas de la Revolución y participó activamente en la política. Tras participar como estudiante en la creación de la Ecole Normale en 1794, pasó a ser Profesor de la misma y posteriormente de la Ecole Polytechnique. En 1798 participó, junto con Monge y muchos otros científicos, en la expedición de Napoleón a Egipto, y se convirtió en un admirador y experto de la cultura egipcia. Regresó a Francia en 1801 y al año siguiente fue designado Prefecto del Departamento de Isère. En 1815, se trasladó a Paris, dedicándose desde entonces casi exclusivamente a su actividad científica. En 1817 fue designado miembro de la recién refundada Academia de Ciencias, de la que se convirtió en Secretario Perpetuo en Fourier, hombre comprometido con los problemas de su época, concebía las matemáticas, y especialmente el análisis infinitesimal, como el instrumento fundamental para comprender la Naturaleza, domeñarla y adaptarla a las necesidades del Hombre. como dice claramente en el Discours Préliminaire, Las causas primeras las desconocemos, pero están sujetas a leyes simples y constantes que pueden ser descubiertas por medio de la observación. Este el es objeto de la Filosofía Natural... Pero, una vez realizadas una serie de observaciones empíricas, es necesario obtener un modelo del fenómeno en términos matemáticos, y más precisamente, por medio de ecuaciones diferenciales. Éste es el camino que hay que seguir para avanzar nuestro conocimiento sobre la Naturaleza. Vemos, pues, que Fourier es el paradigma de lo que hoy llamaríamos un matemático aplicado (como lo eran la mayoría de sus contemporáneos). La motivación para desarrollar teorías matemáticas abstractas (a las que, como veremos, Fourier contribuyó en gran medida) debe ser siempre la obtención de nuevas herramientas que permitan resolver los problemas planteados por la observación de la Naturaleza. También hay que destacar en Fourier su concepción de la Ciencia como elemento esencial del progreso de la Sociedad civil. En contrapartida, el rigor en el razonamiento no es lo 7

9 más importante. Con estas premisas, no es de extrañar que Fourier se interesara por la teoría de la transmisión del calor. De hecho, había presentado una extensa Memoria al Instituto en 1807 que no fue publicada. En el informe del Jurado sobre la concesión del premio convocado por el Instituto, se lee Este trabajo contiene las ecuaciones diferenciales correctas que gobiernan la transmisión del calor, tanto en el interior de los cuerpos como en su superficie, y la novedad del tema junto con su importancia, ha motivado la concesión del premio... Sin embargo, la forma como el autor obtiene sus ecuaciones... y el análisis de su solución deja algo que desear tanto en lo concerniente a la generalidad [de la solución] como al rigor. Probablemente estas objeciones fueron la razón por la que el trabajo ganador no fuera publicado inmediatamente (como era costumbre), y tuviera que esperar hasta 1824 para su aparición, cuando ya Fourier era Secretario Perpetuo de la Academia. Las ecuaciones obtenidas por Fourier son: k 2 u x 2 = u t ( 2 ) u ; k x u y 2 = u t ( 2 ) u ; k x u y u z 2 = u t, según se trate de una barra, un recinto plano o un cuerpo sólido, donde u = u(x, t) es la temperatura en el instante t del cuerpo, en el punto de coordenadas x. Por supuesto, las soluciones buscadas deben verificar ciertas condiciones de contorno. A la resolución de distintos casos particulares (barras, cilindros, esferas, etc.) dedicó Fourier una serie de artículos que culminaron en su renombrada Théorie analytique de la chaleur, publicada en En esta obra, Fourier, a través de un gran número de ejemplos, desarrolla una serie de ideas y de técnicas que iban a ser el modelo a seguir en las investigaciones posteriores sobre las Ecuaciones en Derivadas Parciales. Probablemente, nada mejor que reproducir uno de los ejemplos de Fourier para acercarnos al espíritu de la obra: Consideremos el problema de la determinación de la temperatura estacionaria en el interior de una placa infinita de forma rectangular, cuyos bordes se mantienen a temperatura prefijada (p.e., 0 grados en los lados (infinitos) superiores y a distancia infinita, y 1 grado en el borde finito). 8

10 En este caso, u t = 0 y se trata de encontrar la solución de la ecuación diferencial 2 u x u := u = 0 (2.1) y2 en el dominio x > 0, π 2 < y < π 2, que sea igual a 1 para x = 0 y se anule para y = π 2, y = π 2, y para x tendiendo a. Para resolver este problema, Fourier utiliza su método favorito de separación de variables (ya empleado por D Alembert y Bernouilli con anterioridad): Tratemos de encontrar soluciones de la forma u(x, y) = v(x)w(y). Sustituyendo en la ecuación (2.1), resulta que ha de cumplirse v (x) v(x) = w (y) w(y). Como el primer miembro depende sólo de x y el segundo de y, sólo pueden ser iguales si ambos son una constante λ. Obtenemos así dos ecuaciones diferenciales ordinarias, fáciles de resolver. Pero Fourier es más directo y, simplemente, dice... vemos que podemos tomar v(x) = e mx y w(y) = cos ny. Sustituyendo en (2.1), se obtiene m 2 = n 2 (= λ). De la condición (iii), resulta m < 0, y de la (ii) que n = (2k 1) (k N) y m = n. Así pues, las funciones u k (x, y) = e (2k 1)x cos(2k 1)y (k N), satisfacen todas las condiciones, salvo la (i). Retomando el principio de superposición, Fourier trata entonces de buscar una solución como superposición de las anteriores, es decir, de la forma u(x, y) = a n u n (x, y), n=0 para unos coeficientes (a n ) adecuados. Para determinar estos coeficientes, Fourier utiliza la condición (i), obteniendo 1 = a n cos(2n 1)y, para π 2 < y < π 2. n=1 A continuación, emplea formalmente el método habitual de eliminación de parámetros, 9

11 derivando la serie término a término y haciendo y = 0, lo que le conduce a las ecuaciones 1 = a n. 0 = 0 = n=1 (2n 1) 2 a n. n=1 (2n 1) 4 a n. n=1... (2.2) esto es, un sistema de infinitas ecuaciones lineales con infinitas incógnitas. Para resolverlo Fourier propone truncar el sistema, considerando sólo las n primeras ecuaciones con n incógnitas, que resuelve, obteniendo las soluciones a (n) 1, a(n) 2,..., a(n) n. Finalmente, haciendo tender n a infinito, obtiene el verdadero valor a k = lim n a (n) k, para cada k, resultando a k = 4 π ( 1) k 1 2k 1. Obviamente, se pueden poner serias objeciones al proceder de Fourier: Deriva término a término una serie, cuando sabemos que, en general, este proceso no es correcto; Tampoco el método empleado para resolver (2.2) es ortodoxo, (de hecho, cuando se sustituyen los valores calculados para a k en el sistema (2.2), las series resultantes son divergentes, a partir de la segunda), etc. El mismo Fourier no parece estar muy convencido de la corrección del método empleado, pues añade: Como estos resultados parecen desviarse de las consecuencias ordinarias del cálculo, es necesario examinarlos con cuidado e interpretarlos en su verdadero sentido. Y prueba directamente que la suma de la serie obtenida para x = 0 es constante e igual a 1 en el intervalo señalado (primera vez que aparece explí citamente el concepto de campo de convergencia de una serie). Finalmente, afirma que la serie obtenida para u es solución del problema de contorno propuesto. Más adelante, Fourier insiste de nuevo en que Debe ser uno muy cuidadoso con los cálculos realizados con estas series... El punto esencial es identificar los límites entre los que el desarrollo es válido... Como estos límites no son los mismos para todas las ecuaciones, pueden obtenerse resultados erróneos al combinar series diferentes... 10

12 Hay que decir que la postura de Fourier sobre la noción de convergencia de una serie funcional es muy novedosa para la época, ya que a lo largo del siglo XVIII, los matemáticos habí an utilizado las series sin ninguna restricción, operando con ellas como si fueran sumas finitas. Fourier no disponí a de criterios para asegurar la convergencia, por lo que, con gran habilidad, haciendo uso de su conocimiento de resultados previos en sumación de series numéricas, tuvo en cada caso que calcular la suma de los m primeros términos de cada serie directamente. El avance sustancial en este campo iba a venir de manos de Cauchy, quien iba a desarrollar una serie de criterios generales de convergencia, basados en el llamado criterio de Cauchy (enunciado poco antes, en 1817, por B. Bolzano en un importante, pero muy poco conocido trabajo, publicado en las Actas de la Real Sociedad Cientí fica de Bohemia.) Volviendo al problema que nos ocupa, notemos que si se consideran otras condiciones de contorno, aparecen soluciones particulares formadas por una combinación de senos y cosenos. Por otro lado, como cualquier función arbitraria f podría ser, en un caso real, la temperatura en el segmento π 2 < y < π 2 (recordemos el argumento de Euler en el debate sobre la cuerda vibrante), resulta, de la existencia de solución del problema físico, que necesariamente toda función arbitraria en un intervalo puede desarrollarse en serie de senos y cosenos del tipo (suponiendo por comodidad que el intervalo es el [ π, π]): f(x) = (a n cos nx + b n sen nx). (2.3) n=0 Fourier hace mención expresa de la validez del desarrollo para toda función arbitraria 1, aunque a la vista de los múltiples ejemplos que aparecen en la Théorie analytique de la chaleur, parece claro que Fourier está pensando en lo que hoy llamaríamos funciones continuas a trozos, con a lo más una cantidad finita de puntos de discontinuidad de salto. Una vez establecida la existencia del desarrollo ( por el imperativo categórico de la evidencia física!), Fourier siente la necesidad de justificar matemáticamente esta afirmación, aunque identifica la demostración de la existencia del desarrollo con la determinación de 1 En palabras de Fourier: No suponemos que estas ordenadas [ f(x)] estén sujetas a una ley común a todas ellas; se suceden unas a otras de una manera arbitraria, y cada una de ellas viene dada como si fuera una cantidad aislada... 11

13 los coeficientes a n, b n que aparecen en el mismo. Su primer método consiste en considerar separadamente el caso de funciones impares (en cuyo desarrollo aparecen sólo senos) y funciones pares (que desarrolla en serie de cosenos). En cada caso, considera la expresión (2.3) y desarrolla f en serie de potencias (impares en el primer caso; pares en el segundo) y hace lo mismo con el segundo miembro, utilizando los conocidos desarrollos en serie de las funciones seno y coseno. Tras identificar coeficientes y un análisis largo y complicado, obtiene la expresión de los coeficientes en forma de integrales definidas (cuya notación actual, por cierto, se debe al mismo Fourier). El segundo método es mucho más sencillo y directo, y está basado en las relaciones de ortogonalidad de las funciones trigonométricas: π π sen nx cos mx dx = 0, (n, m = 0, 1, 2,...) π π sen nx sen mx dx = π π cos 2 nx dx = π π π π cos nx cos mx dx = 0 (n m), sen 2 nx dx = π (n 0). Si ahora multiplicamos ambos miembros de (2.3) sucesivamente por sen nx y cos mx e integramos entre π y π ambas expresiones, admitiendo la validez de la integración término a término de la serie, resulta inmediatamente π π a n = 1 f(x) cos nx dx, b n = 1 π π π que son los llamados coeficientes de Fourier de f. π f(x) sen nx dx (2.4), La integración término a término de una serie no repugnaba en absoluto las exigencias de rigor de la época, y sólamente fue puesto en cuestión este hecho mucho más tarde. Sin embargo, debido a la arbitrariedad de f, Fourier se siente obligado a justificar la existencia de las integrales en (2.4). Durante el siglo XVIII, debido al gran desarrollo del cálculo, la integración se consideraba simplemente la operación inversa de la derivación, obteniéndose la integral definida por medio de la regla de Barrow. Pero la existencia de una primitiva para una función arbitraria, sin una expresión analítica definida, era un problema no trivial. Por ello, Fourier justifica la existencia de las integrales retomando la idea original de área del correspondiente recinto de ordenadas, cuya existencia nadie ponía 12

14 en cuestión (aunque el cálculo efectivo pudiera ser difícil). Aparece así por primera vez claramente planteado el problema de definir b f(x) dx como un área, cuando f es una a función arbitraria. Fourier hace también una mención a la solución del problema de la cuerda vibrante dada por Daniel Bernouilli, señalando que su error había consistido en no poder demostrar concretamente cómo podían calcularse los coeficientes de la serie. 3.- Las series trigonométricas y la teoría de la Integral. La afirmación de Fourier de la posibilidad de desarrollar en serie trigonométrica cualquier función arbitraria fue rápidamente aceptada por la mayoría de sus contemporáneos, aunque no así su pretendida demostración. Los analistas más prestigiosos de la época, como Poisson, Cauchy, etc. dieron demostraciones alternativas, todas ellas incorrectas. El primero en obtener una demostración correcta, aunque imponiendo condiciones restrictivas sobre f, fue P. L. Dirichlet, en un artículo publicado en el Journal de Crelle en Tras criticar la demostración de Cauchy, Dirichlet hace la primera aportación importante al problema, expresando la suma de los n primeros términos de la serie de Fourier de una función f en [ π, π] como S n (f)(x) = n (a k cos kx + b k sen kx) = 1 π k=0 π π f(t) sen(n (t x)) 2sen 1 dt 2 (t x) A partir de aquí, éste ha sido el punto de partida del estudio de la convergencia de una serie de Fourier que, por tanto, resulta equivalente al estudio de la existencia del límite cuando n tiende a de integrales del tipo: I n = h 0 sennx f(x) dx. senx (Integrales de Dirichlet). Tras un proceso largo y absolutamente riguroso, Dirichlet logra probar que si f satisface las hipótesis: I) f es continua en [ π, π], salvo a lo más en un número finito de puntos, en los que posee límites laterales. II) f posee un número finito de máximos y mínimos en el intervalo, 13

15 entonces la serie de Fourier de f converge a la mitad del salto 1 2 (f(x + 0) + f(x 0)) en cada punto (en particular, converge a f(x) en cada punto de continuidad). Las funciones consideradas por Dirichlet cubrían el campo de las que habitualmente se consideraban en la Matemática de la época. No obstante, Dirichlet comenta que Falta considerar el caso donde no se cumplen las condiciones impuestas. Respecto a la hipótesis (I), el problema fundamental era dar sentido a la integral definida de una función con infinitas discontinuidades. Cauchy había demostrado la existencia de la integral de una función acotada con un número finito de discontinuidades, definiéndola como el límite de las áreas de los rectángulos inscritos en la gráfica de la función, cuya base son subintervalos de particiones cada vez más finas del intervalo total. Dirichlet creía que, efectivamente, se podía obtener una noción de integral con las propiedades habituales para funciones mucho más generales, aunque Claramente se siente la necesidad de imponer alguna restricción, pues, por ejemplo, la función que es igual a una constante c cuando x es racional y a una constante d c cuando x es irracional no puede tener una integral definida. Ésta es otra de las contribuciones importantes del artículo de Dirichlet, pues es el primer ejemplo constatado de la noción moderna de función como correspondencia arbitraria entre dos conjuntos de números, sin necesidad de venir dada por una expresión analítica. Esta idea aparece aún más claramente en la definición de función continua que aparece en la versión ampliada del trabajo de Dirichlet publicada en 1837 en Repertorium der Physik, una revista dirigida por el mismo Dirichlet: Si a cada x de un intervalo corresponde un único y finito, de manera que cuando x recorre continuamente el intervalo, y = f(x) también cambia gradualmente, se dice que y es una función continua de x. No es necesario que y depende de x con la misma ley en todo el intervalo... ni tampoco es preciso que la dependencia sea expresable por medio de operaciones matemáticas... En cuanto a la hipótesis (II), Dirichlet pensaba que podía suprimirse, al menos en el 14

16 caso de funciones continuas. El trabajo de Dirichlet probó de manera inequívoca lo que ya N. Abel había mostrado con un contraejemplo: que las series de Fourier podían representar funciones discontinuas y, por tanto, la inexactitud del teorema de Cauchy sobre la continuidad de la suma de una serie de funciones continuas. La búsqueda de condiciones para que se verificara este resultado deseable condujo al descubrimiento de la noción de convergencia uniforme (desarrollada, entre otros, por el mismo Dirichlet en su Seminario de Berlin). La extensión del marco de validez de su teorema fue propuesto como Tesis doctoral por Dirichlet a uno de sus mejores discípulos, R. Lipschitz, quien consiguió extender la noción de integral para funciones acotadas con posiblemente infinitos puntos de discontinuidad, pero siempre que este conjunto tuviera un número finito de puntos de acumulación o puntos límite. El trabajo de Lipschitz en este sentido, pese a sus limitaciones, es interesante porque sustenta la idea, ya apuntada por Dirichlet, de que la integrabilidad de una función está relacionada con el tamaño del conjunto de sus puntos de discontinuidad. El dilucidar la noción correcta de tamaño iba a ser un punto fundamental de las investigaciones sobre el tema en los 50 años siguientes. Buscando condiciones alternativas a la (II), Lipschitz introdujo la condición que lleva su nombre y comenzó el estudio de las funciones lipschitzianas. El mejor de los discípulos de Dirichlet fue sin duda Bernhard Riemann, uno de los grandes genios matemáticos de todos los tiempos. Su temprano interés por las series trigonométricas probablemente fue debido a su relación con Dirichlet, a cuyos Seminarios asistió en Berlin desde Pronto Dirichlet mostró un interés especial por el joven Riemann quien, a su vez, consideraba a Dirichlet el matemático más grande de su época. Tras presentar su Tesis en Gottinga en 1851, eligió para su trabajo de Habilitationsschrift en 1854 el estudio de la representación de funciones en serie trigonométrica. Tras discutir la contribución de Dirichlet, Riemann hace notar que parece razonable suponer que...las funciones que no cubre el análisis de Dirichlet, no ocurren en la naturaleza. No obstante, como había mantenido Dirichlet, pensaba que merecía la pena considerar el caso de funciones más generales, que parecían tener cada vez más importancia en los dominios de la Matemática pura. 15

17 Riemann comienza con la cuestión planteada por Dirichlet: Cuándo una función es integrable?. Riemann interpreta la noción de integrabilidad en un sentido próximo al de Cauchy, pero en lugar de restringirse a las funciones continuas, considera la totalidad de las funciones acotadas integrables, es decir, aquellas para las que existe el límite de las sumas n S P (f, ξ) = f(ξ i )δ i, donde P = {a = x o < x 1 <... x n = b} es una partición del intervalo [a, b], ξ i [x i 1, x i ] y δ i = x i x i 1 (nótese que, a diferencia de Cauchy, Riemann considera también sumas en las que f se evalúa en un punto arbitrario ξ i [x i 1, x i ]). Pero Riemann no se limita a dar la definición y comprobar la validez de las propiedades usuales para la nueva integral. Inmediatamente da condiciones necesarias y suficientes para que una función sea integrable, lo que le permite establecer grandes clases de funciones que son integrables (las continuas y las monótonas, entre ellas). También da ejemplos de funciones integrables con infinitos puntos de discontinuidad (que, además, forman un conjunto denso en un intervalo). En suma, establece una teoría potente y versátil que aplica con extraordinario aprovechamiento a muchos problemas del Análisis. En particular, obtiene resultados profundos en la teoría de series trigonométricas ( no necesariamente de Fourier!; es el primer matemático que realiza esta distinción) y, en fin, establece métodos en este campo que marcarán la pauta en las investigaciones posteriores. Sin embargo, su trabajo no fue conocido hasta 10 años después de su muerte, cuando R. Dedekind lo incluyó en los Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. La definición de integral de Riemann es la más general que puede obtenerse basada en el método de Cauchy de aproximación por sumas asociadas a particiones del intervalo de integración (que, en último término, se remonta a Arquímedes y al método de exhausción empleado por los griegos para el cálculo de áreas de figuras no poligonales). Una generalización posterior parecía impensable. La consideración de la clase de todas las funciones integrables parece obvia desde nuestra perspectiva, pero supuso en su tiempo un cambio radical en la idea de función (al desligar esta noción de cualquier consideración sobre la naturaleza y propiedades concretas de la misma), y en la propia visión de las matemáticas. La siguiente opinión de P. Du Bois-Reymond (1883) fue generalmente compartida por los matemáticos del siglo XIX: Riemann ha logrado extender el concepto de integral a sus 16 i=1

18 posibilidades más extremas. Durante mucho tiempo, las funciones integrables Riemann constituyeron el universo de funciones razonables más amplio concebible, y las condiciones de integrabilidad de Riemann, las más débiles que se podían imponer a una función. 4.- Las series trigonométricas y el inicio de la Topología y la Aritmética Transfinita. La clarificación de la noción de convergencia de series y sucesiones funcionales, iniciada por el contraejemplo de Abel y continuada por los trabajos de Dirichlet, puso también de manifiesto que no era posible, en general, intercambiar los signos e (como afirmaba otro de los teoremas de Cauchy en el Cours d Analyse). Que la convergencia uniforme era una condición suficiente para ello, fue probado por Karl Weierstrass. Estas investigaciones ponían en cuestión, como señaló E. Heine en 1870, el resultado (tácitamente asumido desde la demostración de Fourier) de que una función f acotada en el intervalo [ π, π] podía representarse a lo más de una sóla manera por una serie trigonométrica de la forma 1 2 a 0 + (a n cos nx + b n sen nx). (4.1) n=1 De hecho, como había señalado Riemann, existen funciones representadas por series trigonométricas cuyos coeficientes no son necesariamente los dados por las fórmulas de Fourier. El problema -se lamentaba Heine- es que la importancia que se había dado hasta entonces a la representación de una función por medio de una serie trigonométrica, residía en gran parte en la unicidad del desarrollo, es decir, en la certeza de que se obtenía el mismo desarrollo, cualquiera que fuera el método empleado. Ciertamente, una serie de Fourier que represente una función discontinua, no puede converger uniformemente, pero incluso...no sabemos con certeza si es posible representar una función continua dada por una serie trigonométrica uniformemente convergente. (Un poco más tarde, en 1876, P. Du Bois Reymond daría el primer ejemplo de una función continua cuya serie de Fourier no converge a la función en algún punto.) Por tanto, Heine consideraba que, además de la posibilidad de la representación (4.1), 17

19 era también crucial el problema de la unicidad de la misma. Restando dos posibles representaciones, el problema se reducía a ver si de 1 2 a o + (a n cos nx + b n sen nx) = 0, (4.2) n=1 se deducía necesariamente que a n = b n = 0, n. En el trabajo citado de 1870, Heine, usando técnicas desarrolladas por Riemann, probó que la respuesta era afirmativa si la convergencia de la serie (4.2) es uniforme en general, salvo en un conjunto finito P, e.d., si la convergencia es uniforme en cualquier subintervalo cerrado que no contenga puntos de P. Heine llamó la atención sobre este tema a su joven colega Georg Cantor. En una serie de artículos publicados entre 1870 y 1871, Cantor consiguió eliminar la hipótesis de convergencia uniforme, mostrando que la respuesta era afirmativa si simplemente se suponía que se verificaba (4.2) salvo a lo más para los puntos de un conjunto finito P. Poco después, se planteó la cuestión para el caso de ser P un conjunto infinito. Obviamente, el resultado no es cierto para cualquier conjunto P, por lo que era preciso determinar la naturaleza del posible conjunto excepcional P, de modo que aún se verificara el teorema de unicidad. Este fue el inicio del interés de Cantor por los conjuntos infinitos de números. Para estudiar la estructura de estos conjuntos, Cantor comienza, en su famoso artículo de 1872, dando una construcción rigurosa del cuerpo de los números reales por medio de las sucesiones de Cauchy de números racionales (poco antes, J. W. R. Dedekind había presentado su construcción por el método de las cortaduras ), demostrando sus propiedades fundamentales, incluyendo la completitud. Con esta sólida base, aborda el estudio riguroso de los conjuntos arbitrarios de números reales. Para ello, Cantor introduce los conceptos de punto límite y de conjunto derivado de un conjunto, estableciendo sin demostración lo que se conoce como Teorema de Bolzano-Weierstrass: Todo conjunto infinito [acotado] de números, posee al menos un punto límite. Finalmente, consigue dar una respuesta afirmativa al problema de la unicidad cuando la serie (4.2) converge salvo a lo más en los puntos de un conjunto de Primera Especie P, es decir, tal que P (n = para algún n (donde P := {puntos límites dep }, P = (P ), etc.) Para entonces, el interés de Cantor se centraba más en los preliminares del problema que en el teorema de unicidad que había demostrado. En particular, se sintió fascinado 18

20 por el problema de la clasificación de las distintas clases de conjuntos infinitos y la cuestión del continuo. En 1873, en una carta a Dedekind, Cantor plantea la pregunta de si N y R pueden ponerse en correspondencia biyectiva. La imposibilidad de tal biyección, cuya prueba encuentra en 1874, es el primero de una serie de importantes resultados sobre la topología de la recta real que Cantor obtiene en la siguiente década. Por otro lado, el método seguido para la construcción de los conjuntos derivados sucesivos, sugiere a Cantor la posibilidad de extenderlo más allá de un número finito de pasos. En un trabajo de 1880, introduce las nociones de unión e intersección arbitraria de subconjuntos y, si P no es de primera especie, define P ( = n=1p (n, y posteriormente la cadena: P ( +1 = ( P ( ) (... P (2 = P ( ) (,... P ( 2 = n=1p (n... En general, esto le permite a Cantor definir P (γ para cada símbolo infinito de la forma γ = n k k + n k 1 k 1 + n 1 + n o, dando así comienzo al estudio de la aritmética transfinita. 5.- Otros resultados sobre Series Trigonométricas. Como hemos dicho en la Sección anterior, P.Du Bois Reymond dio el primer ejemplo, en 1876, de una función continua cuya serie de Fourier diverge en al menos un punto. En el mismo trabajo probó, sin embargo, el resultado más fuerte hasta entonces conocido sobre la unicidad. En concreto, si f es una función acotada e integrable Riemann sobre [ π, π] ( la hipótesis más débil entonces concebible!) que admite una representación en serie trigonométrica en todo punto del intervalo, necesariamente la serie es la de Fourier de la función. Este resultado fue uno de los grandes logros de la teoría de la integral de Riemann, y le dio el espaldarazo definitivo. El mismo resultado, para f acotada e integrable Lebesgue fue demostrado por Lebesgue en 1906, con una demostración mucho más corta y elegante. Este hecho supuso también un importante apoyo para la nueva teoría de integración que había construído Lebesgue en su Tesis. En el mismo orden de ideas, de la Valleè Poussin extendió en 1913 el resultado anterior, suprimiendo la hipótesis de acotación de la función. 19

21 Los resultados anteriores son finos, pues se conocían ejemplos de series trigonométricas convergentes en todo punto que no eran la serie de Fourier de ninguna función integrable. Uno de tales ejemplos es: f(x) = n=2 sen nx log n. En cuanto a resultados negativos sobre la unicidad, el más sorprendente se debe a Menchoff, quien en 1916 construyó un ejemplo de una serie trigonométrica no idénticamente nula que converge a 0 en casi todo punto. Durante mucho tiempo el problema abierto más importante en este campo fue resolver la conjetura de si la serie de Fourier de una función continua converge en casi todo punto. Los resultados negativos en este tema se fueron acumulando. Así, utilizando el llamado principio de condensación de singularidades Steinhaus probó en 1913 que existía una función continua cuya serie de Fourier divergía en un conjunto infinito, no numerable y denso de [ π, π]. En 1926, A. Kolmogoroff encontró una función integrable cuya serie de Fourier diverge en todo punto de [ π, π]. Por otro lado, Pol y Bohr consiguieron probar en 1933 que si f es continua y periódica sobre [ π, π], existe un homeomorfismo θ : [ π, π] [ π, π] de modo que la serie de Fourier de f θ converge uniformemente. Finalmente, culminando una larga serie de esfuerzos, en 1966 Carleson y Hunt lograron demostrar que si f L p (p > 1), e.d., es de potencia p-ésima integrable Lebesgue, entonces su serie de Fourier converge (a f) en casi todo punto. Este sorprendente resultado reivindica finalmente la afirmación original de Fourier, pues sus funciones arbitrarias (funciones continuas a trozos) pertenecen obviamente a L 2. En otro orden de cosas, el estudio de las series trigonométricas motivó también la posibilidad de interpretar la palabra representar de manera diferente a la convergencia puntual, abriendo así el camino a la teoría de espacios funcionales y otras nociones de proximidad. Una primera aproximación en esa dirección fue la aparición de nuevas nociones de convergencia de sucesiones. Una de las primeras fue la convergencia Césaro, introducida en 1890: Una sucesión (a n ) se dice que converge a l en el sentido de Césaro si la sucesión de medias aritméticas ( a 1+a 2 + a n n ) converge a l en sentido ordinario. Por supuesto, toda sucesión convergente es también convergente en sentido de Césaro (y con el mismo límite). Pero existen sucesiones no convergentes, como la (( 1) n ), que tienen 20

22 límite en el sentido de Césaro (0 en este caso). Pues bien, el matemático húngaro Leopold Fejér demostró que la serie de Fourier de una función integrable Riemann converge en el sentido de Césaro a f(x) en todo punto de continuidad x de f y, si f es continua, lo hace uniformemente en todo el intervalo [ π, π]. Por supuesto, Lebesgue extendió el resultado de Fejér para funciones integrables Lebesgue. Se obtuvieron resultados análogos para otras nociones generalizadas de convergencia (convergencia Abel, etc.) Abandonando el marco de la convergencia puntual, la aparición de la teoría de la integral de Lebesgue permitió extender y completar una serie de resultados que se habían ido obteniendo a lo largo del último tercio del siglo XIX, expresándolos en términos de convergencia en distintos espacios funcionales. Así, F. Riesz y E. Fischer, independientemente, y como consecuencia de sus trabajos sobre el espacio L 2 de funciones de cuadrado integrable, consiguen probar que si f L 2 ([ π, π]), la serie de Fourier de f converge a f en la topología del espacio L 2, es decir ( π ) 1 lim S nf f 2 := lim S n f(x) f(x) 2 2 dx = 0. n n π (convergencia en media cuadrática, según la notación clásica). A partir de aquí, los resultados se fueron encadenando, probándose la convergencia en L p (p > 1), la convergencia distribucional, etc. A la largo de este rápido recorrido histórico sobre la teoría de series trigonométricas, hemos puesto de manifiesto las conexiones e interrelaciones con muchos otros temas importantes del análisis, la topología o la teoría de conjuntos, así como su papel en la aparición y desarrollo de nuevas ideas y teorías que después han crecido pujantemente por sí mismas. Este era nuestro objetivo, declarado al comienzo de la charla, que esperamos haber cumplido. 21

23 BIBLIOGRAFÍA SUCINTA [1.] - U. Bottazzini.- The higher Calculus: A history of Real and Complex Analysis from Euler to Weierstrasss. Springer, [2.] - C. B. Boyer.- Historia de la Matemática. Alianza Universidad Textos, 94. Alianza Ed. Madrid, 1986 [3.] - C. H. Edwards.- The Historical Development of the Calculus. Springer, [4.] - I. Grattan-Guinnes.- Del cálculo a la teoría de conjuntos, Alianza Universidad, 387. Madrid, [5.] - I. Grattan-Guinnes.- The Fontana history of the Mathematical Sciences. Fontana- Press, London, [6.] - T. Hawkins.- Lebesgue s Theory of Integration: its origins and development. Chelsea, [7.] - M. Kline.- Mathematical Thought from ancient to modern times. Oxford,

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