[MODULO 1: RELACIONES Y FUNCIONES] UNIDAD 1 RELACIONES Y FUNCIONES

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1 PARES ORDENADOS Y PLANO CARTESIANO. Definiciones importantes: Eje de las ordenadas o eje de las y Par Ordenado; Los arreglos de la forma (a,b) se llaman pares ordenados donde: a= primera componente y b= segunda componente. Igualdad de Pares Ordenados: el par ordenado (a,b) es igual a (c,d) solo si a = c y b = d. Plano Cartesiano: Sistema de coordenadas cartesianas formada por dos rectas perpendiculares entre sí que se cortan en un punto llamado Origen: representa el valor de cero Eje de las abscisas ò eje de las x = (a, b ) Ubicar los puntos o pares ordenados en el plano cartesiano requiere la interpretarlos así: ( x, Y) La primera componente a en el eje de las abscisas x y la segunda componente b en el eje de las ordenadas y. PRÁCTICA Coloca los siguientes pares ordenados en el plano cartesiano: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) pero cuando los puntos están ubicados en los ejes del plano cartesiano, tienen las formas siguientes: Cuando están en el eje x ; (a, 0), su representación en el plano es ( x, 0) Cuando están en el eje y ; (0, b), su representación en el plano es (0,Y), este valor (0, b ) es llamado Intercepto pues ahí corta al eje Y el grafico. Ahora ubica los puntos siguientes: ( ) ( ) ( ) ( ) IGUALDAD DE PARES ORDENADOS Igualdad de Pares Ordenados: El par ordenado (a,b) es igual a (c,d) solo si a = c y b = d. En otras palabras, serán iguales si tienen iguales sus respectivas componentes así: (x,y ) = (a, b ) solo si x = a y y = b Proyecto de Graduación UNICAES ILOBASCO Walberto de Jesús Ortiz; Lorenzo Arcides Bolaños; José Raúl Antonio Ramos

2 Hagamos un mapa mental de cómo se desarrolla la igualdad de pares ordenados: Mi problema: Encontrar los valores de la incógnita si los pares ordenados son; ( ) ( ) Recuerda la forma de los puntos: (x, y) = (a, b) Son la primera componente: Igualemos cada componente: la primera con Primera en cada punto y segunda con segunda: 4x = -5 y Entonces: ( ) ( ) Ahora despejemos las incógnitas en cada caso: 4x = -5 Son la segunda componente: + 5 = 4x = x y = ( ) = X y = 4 Desarrolla los siguientes casos y entrégalos a tu docente: Ejercicio.- ( - x, 4 - y ) = ( x, - y ) Ejercicio.- ( x, y - 9) = ( - x, Y ) PRODUCTO CARTESIANO DE CONJUNTOS Definición Importante: Si se tienen dos conjuntos A y B, se pueden formar parejas cartesianas de tal manera que la primera componente ( a, _ ) pertenezca al primer conjunto A, y la segunda componente ( _, b ) pertenezca al segundo conjunto, B; al conjunto formado por todas las parejas cartesianas se le llama Producto Cartesiano de A x B. Se representa así: A x B = { (a, b ) / a ε A y b ε B - Proyecto de Graduación UNICAES ILOBASCO Walberto de Jesús Ortiz; Lorenzo Arcides Bolaños; José Raúl Antonio Ramos

3 Ejemplo. Mi problem Dados los conjuntos: A = {,, 5 } y B = {, 4 } Mi herramienta Encontrar A x B Observa lo siguiente: La primera componente (a, _ ) pertenece al primer conjunto. La segunda componente (_, b ) pertenece al segundo conjunto. Ejercicio: Encontrar B x A. Ahora grafica el producto A x B en el plano cartesiano Mi Resultado Usa el diagrama de Veen Euler: A A x B {(,, (,4),(,),(,4),(5,),(5,4)} B 4 Practica estos casos: Dados los conjuntos P = {0,,,, 4 }, Q = {, 4, 5 }, R = { 4, 6 } Encontrar: P x Q Q x P Q x R R x Q P x R R x P Aplica el proceso de arriba y preséntalos a tu profesor/a Tipos de Corchetes: PRODUCTO CARTESIANO DE INTERVALOS. [ _, _ ] Corchete Cerrado: Como está estructurado un intervalo? Los Símbolos de Desigualdad asociados a los corchetes son: [ _, _ ] ] _, _ [ > < [, 4 ] LIMITES CORCHETES Los Límites están Incluidos en este intervalo. ] _, _ [ Corchetes Abiertos: Los Límites NO están incluidos en este intervalo [, 4 [ Corchete Semi Cerrado. El Limite Esta Incluido, pero el Limite 4 No está Incluido. ], 4 ] Corchete Semi Abierto. El Limite NO está incluido pero el Limite 4 SI está incluido en el Intervalo. Proyecto de Graduación UNICAES ILOBASCO Walberto de Jesús Ortiz; Lorenzo Arcides Bolaños; José Raúl Antonio Ramos

4 En un Problema de Producto Cartesiano donde intervienen Intervalos se presentan de la siguiente manera: Representar gráficamente] -, ] X ] - - ], encontrar A x B Entonces: Problema planteado:] -, ] X ] A se ubica en el eje X y B se ubica en el eje Y Grafícalo en el plano cartesiano Quienes son los intervalos A y B? 4 - ] - Resuelve junto con tu maestro/a los siguientes casos: A =,x ε z / - x 0} B =, x ε R / x 5- Paso.- A = {-,-, -, 0} B = [, 5 ] Paso.- A x B =,(X, Y) ε Z x R / - x 0, y 5- En otra forma te resulta así: = {-, -, -,0} X [,5 ] Paso.- En el Plano Cartesiano: 5 ] - Producto A x B Ruta de solución:.- Identifica los elementos de cada conjunto. A = estará formado por los Enteros. B = estará formado por los Reales. Cuales es la diferencia o que tiene que ver esta aclaración?..- Establece el producto cartesiano A x B..- ubícalos en el plano cartesiano Desarrolla los siguientes ejercicios: Entrégalos en limpio a tu profesor/a 4.- Interpreta y completa la gráfica, pues en (-,), (-,5) es cerrado, busca los otros si son cerrados o abiertos. Cuando los límites son números Reales los Intervalos son llamados: FINITOS a) A = [, 8 ] B = ] -5, [ Representa A x B en el Plano Cartesiano. b) A = [-4, 4[ B = ]-, 5] Representa A x B en el Plano Cartesiano. c) A = ]-, 0] B = ], 4] Representa A x B en el Plano Cartesiano Proyecto de Graduación UNICAES ILOBASCO Walberto de Jesús Ortiz; Lorenzo Arcides Bolaños; José Raúl Antonio Ramos 4

5 Definición Importante: RELACIONES: una relación de A en B es un sub conjunto del Producto Cartesiano de A x B de tal manera que cada par ordenado formado CUMPLA CON UNA REGLA DE CORRESPONDENCIA. Una Relación normalmente se representa por R. Dados los conjuntos: M = {, } y N = {,,4 }, encontrar la Relación R = Es Igual a Cómo se resuelve un problema de Relaciones? Identifica la regla de correspondencia: Es Igual a. Usa el diagrama de Veen Euler para tener mejor visualización del problema: M Es Igual a N Para la regla de correspondencia Es igual a solo estos elementos cumplen de M es igual a de N y de M es igual a de N. 4 Encontremos la Relación. Es Igual a R = {(, ), (, )} Resuelve con esos mismos conjuntos la relación: R =, es menor que - Para dar por resuelta una Relación, debes encontrar el Dominio D y el Recorrido R. 4 Dominio: está formado por todas las primeras componentes de los pares ordenados que cumplen con la Regla de Correspondencia de la Relación y se agrupan en un sub conjunto que las representa, así; D =, _, _, _, - Recorrido: está formado por todas las segundas componentes de los pares ordenados que cumplen con la Regla de Correspondencia de la Relación y se agrupa en un sub conjunto que las representa, así; R =, _, _, _, - 5 Por último grafícala, ubica esos pares ordenados de la Relación en el Plano Cartesiano. Hagamos el siguiente Ejemplo: Sean los conjuntos: P = {, 4, 9} y Q = {-4, -, -, -,,,, 4} Encontrar la Relación de P en Q ; R = Es el cuadrado de. Proyecto de Graduación UNICAES ILOBASCO Walberto de Jesús Ortiz; Lorenzo Arcides Bolaños; José Raúl Antonio Ramos 5

6 Sigue la ruta de solución: Paso : Mi problema: Paso : Mi herramienta: Recuerda: Sean los conjuntos P = {, 4, 9} y Q = {-4, -, -, -,,,, 4} Encontrar la Relación de P en Q; R = Es el cuadrado de. Usando el diagrama de Venn Euler puedo visualizar la Relación. P el cuadrado de Q 9 9 Observa: Al graficar una Relación, la grafica es el conjunto de puntos del plano cartesiano que representan a cada uno de los pares ordenados que cumplen la Regla de Correspondencia Paso : Mi resultado Paso 4: Obtener; Dominio: primeras componentes. Recorrido: segundas componentes. Paso 5: Grafica el dominio X, el recorrido Y R = {(,-)(, ), (4,-),(4, ), (9,-), (9, )} D = {, 4, 9} R = {-, -, -,,, } - 9 RESUELVE - 4 R=, (x, y ) ε R x R / Y = - x} R= { (x, y ) ε D x D / Y= x +- R=, ( x, y) ε R x R / Y = x Proyecto de Graduación UNICAES ILOBASCO Walberto de Jesús Ortiz; Lorenzo Arcides Bolaños; José Raúl Antonio Ramos 6

7 Definición importante: Recordando: Primera Componente X Segunda Componente Y ( X, Y ) Variable Independiente X Variable Dependiente Y Tipos de Funciones: Función Lineal: f (x) ax b a = es la pendiente m de la recta. FUNCION: Se llama función a toda Relación que cumple con la condición siguiente; A cada valor del Dominio le corresponde un único valor del Recorrido, o también que a todo valor de A tiene una y solo una imagen en B. Dominio: El dominio de una función es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable independiente X, llamado conjunto de partida. Recorrido: El Recorrido de una función es el conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente Y, llamado conjunto de llegada. Recordemos la estructura de los pares ordenados. ( a, b ) (X, Y), entonces, lo que era la primera componente es la variable independiente y la segunda componente es la variable dependiente. Funciones Algebraicas. Función Lineal: Expresada como f (x) ax b se llama función lineal de x. Características: El grafico es una Línea Recta. La expresión f (x) ax b es la Ecuación de la Línea Recta. b = es el intercepto. El exponente de x es. RUTA DE SOLUCIÓN:.- La función debe estar expresada en la forma: Cómo se resuelve un problema de ecuaciones? f (x) x Es lo mismo Y = X.- has una tabulación para mayor facilidad: X Y = X ( x, y ) - Y= (-) = 9 ( -, 9 ) - Y= - (-) = 7 ( -, 7 ) - Y = (-) = 5 ( -, 5 ) 0 Y = (0) = ( 0, ) Y = () = (, ) Y = -() = - (, - ) Y = -() = - (, - ).- Dominio:, -, -, -, 0,,, - = Números Reales Recorrido:, 9, 7, 5,,, -, - - =Números Reales 4.- Ahora grafícala. CASO I Proyecto de Graduación UNICAES ILOBASCO Walberto de Jesús Ortiz; Lorenzo Arcides Bolaños; José Raúl Antonio Ramos 7

8 FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA Cuando en un cociente aparece la variable X formando parte del denominador, entonces el denominador debe ser diferente de 0. Por ejemplo, Encuentra el Dominio y Recorrido y grafica la función siguiente: f x x+. Su grafica se llama Hipérbola RUTA DE SOLUCIÓN:.- La función debe estar expresada en la forma: f (x) x+ Es lo mismo Y = x+.- has una tabulación para mayor facilidad: 4.- Ahora grafícala. X f (x) x+ ( x, y ).- Dominio: Recorrido: CASO II Cuando aparecen raíces pares y la variable X es parte del radicando, entonces el radicando debe ser mayor o igual que 0. Por ejemplo, Encuentra el Dominio y Recorrido y grafica la función siguiente: f (x) x. Llamada también Función Raíz Cuadrada RUTA DE SOLUCIÓN:.- La función debe estar expresada en la forma: f (x) x.- has una tabulación para mayor facilidad: 4.- Ahora grafícala. X f (x) x ( x, y ) Dominio: Recorrido: Proyecto de Graduación UNICAES ILOBASCO Walberto de Jesús Ortiz; Lorenzo Arcides Bolaños; José Raúl Antonio Ramos 8

9 FUNCION CUADRATICA. La función cuadrática se expresa como f (x) ax bx c. También: Y= x Características: La Grafica es una Parábola y es simétrica. El Exponente de X es. Si a > 0; y X 0 la convexidad es hacia abajo. Si a < 0; y X 0 la convexidad es hacia arriba. RUTA DE SOLUCION Ejemplo: Encontrar el Dominio y Recorrido y grafica la función: f (x) x x Complétalo con tu profesor/a.- has una tabulación para mayor facilidad: X f (x) x x ( x, y ) - ( ) ( ) (-, 6) - (-, 9) - (-, 4) 0 (0, ) (, 0) (, ) (, 4).- Dominio: Recorrido: FUNCION CONSTANTE Su forma: f x C Características: No posee variable X, en todo caso es de la forma x 0. Y La grafica es una línea recta horizontal pues el valor C corresponde al intercepto en el eje Y. RUTA DE SOLUCION: Ejemplo: Encontrar el Dominio y Recorrido y grafica la función: f (x).- La tabulación para mayor facilidad: X Y = ( x, y ) - Y = (-, ) Dominio: Recorrido Proyecto de Graduación UNICAES ILOBASCO Walberto de Jesús Ortiz; Lorenzo Arcides Bolaños; José Raúl Antonio Ramos 9

10 Características: FUNCION CUBICA Su forma es: f x ax bx cx d Si grado de la función polinomial es tres ( x ), entonces la función es cubica. La grafica es una Parábola cubica. O así RUTA DE SOLUCION Ejemplo: Encontrar el Dominio y Recorrido y grafica la función: f (x) x x x Complétalo con tu profesor/a.- has una tabulación para mayor facilidad: X Y = x x x ( x, y ) - (-, -64) - (-, -7) - (-, -8) 0 (0, -) (,0) (, ) (, 8).- Dominio: Recorrido: Ahora a practicar; no olvides la ruta de solución, Tabular, Dominio y Recorrido y graficar: Entrégalos a tu maestro/a en limpio 5) f x x ) f x x 6) f x x x ) Y = x 7) f x x ) Y x 8) f x x 4) f x x 9) Y = 0) Y = - Evaluación de las Funciones. Evaluar una función significa encontrar el valor de la variable dependiente, al sustituirla en la Regla de Correspondencia el respectivo valor de la variable independiente. Función Real de Variable Real: Es aquella en la que el Dominio y el Recorrido lo constituyen el conjunto de los números Reales R. Proyecto de Graduación UNICAES ILOBASCO Walberto de Jesús Ortiz; Lorenzo Arcides Bolaños; José Raúl Antonio Ramos 0

11 Definición Importante: FUNCION INVERSA Funciones Crecientes y Decrecientes: al graficar una función nos podemos dar cuenta si es creciente o decreciente así: Creciente, Cuando a un aumento en el Dominio X corresponde un aumento en el Recorrido Y, por el contrario es Decreciente cuando a un aumento en el Dominio X corresponde una disminución en el Recorrido Y. Toda función Creciente o Decreciente es uno a uno. Función Inyectiva o función uno a uno: es aquella en donde a cada valor de Y en el Recorrido, le corresponde uno y solamente un único valor de X en el Dominio. Evaluar la función si es uno a uno: debemos graficar la función y trazar rectas horizontales que intersecten la grafica, si las rectas horizontales la cortan una sola vez entonces es una función uno a uno. Por Ejemplo: demostrar que la función f x Paso. Siempre Tabula: x x es creciente o uno a uno. X Y = x x ( x, y ) Es Creciente en]-α, -+ U *, α+* Creciente Decreciente Creciente Es Decreciente]-, ] Practica y entrégalos a tu maestro/a Indica los intervalos donde la función dada es creciente y donde es decreciente. f x x Indica los intervalos donde la función dada es creciente y donde es decreciente. f x 9 x Indica los intervalos donde la función dada es creciente y donde es decreciente. f x x Proyecto de Graduación UNICAES ILOBASCO Walberto de Jesús Ortiz; Lorenzo Arcides Bolaños; José Raúl Antonio Ramos

12 No todas las funciones tienen una función inversa, las únicas funciones que poseen inversa son las funciones uno a uno o Inyectivas o lo que es lo mismo las que son crecientes o decrecientes. Si f es una función Inyectiva entonces su inversa es f, de aquí concluimos que: ) El Dominio de f = Rango de f. ) El Rango de f = Dominio de f. X f (x) x ( x, y ) 0 Y=5(0) 4 = -4 (0, -4) Y=5() 4 = (, ) Y= 5() 4= 6 (, 6) Primero X f (x) x ( x, y ) -4 Y =0 (-4, 0) Y = (, ) 6 Y = (6, ) El método para encontrar la Función Inversa de una Función es: a) Se determina si la función dada es uno a uno o Inyectiva. b) Se intercambian las variables X y Y para obtener x f (y). X por Y y Y por f Hagamos un ejemplo: Encontrar la función inversa f de la función f (x) x Demuestra si la función es uno a uno. Complétalo X Y = x + 4 ( x, y ) Segundo Y = X + 4 Intercambiemos: X por Y y X por f X = f + 4 ahora despejemos f 4 esta sumando pasa a restar. X 4 = f esta multiplicando pasa a dividir. x = f así hemos encontrado Inversa. Compara las graficas y que concluyes? Proyecto de Graduación UNICAES ILOBASCO Walberto de Jesús Ortiz; Lorenzo Arcides Bolaños; José Raúl Antonio Ramos

13 Practica y entrégalo a tu maestro/a: Encuentra las funciones inversas a las funciones siguientes: y x ) y x ) f (t) t No olvides la ruta de solución: Verifica si es uno a uno, intercambia las variables X por Y, despeja Y, luego sustituye a y por f. Ojo Cuando una función NO cumple con la condición de ser uno a uno o Inyectiva, se puede restringir el dominio, de tal manera que la función dada se convierta en una función uno a uno y poder obtener su inversa, el procedimiento para ello es el siguiente: Ejemplo: para f (x)= x f (x) x si x o es decir si x (x ) si x < es decir si x <. Hagamos la grafica: usa algunos valores Observa: está formada por dos Rectas. Y = -(x ) Y = x Y = X Dominio: [-, +α * e y =-(x ) Dominio:]-α, + Por lo tanto f (x) x no es Inyectiva. Para Transformarla en Inyectiva tomamos cualquiera de los dominios: Dominio: [-, +α * ó Dominio:]-α, +. Si tomamos el Dominio restringido: [-, +α *, corresponde a Y = x saquemos la función inversa: Y = x Se intercambian las variables X y Y para obtener x f (y). X por Y y Y por f. x y despejando y y x Entonces f x, grafiquemos esta función: probemos si es uno a uno Proyecto de Graduación UNICAES ILOBASCO Walberto de Jesús Ortiz; Lorenzo Arcides Bolaños; José Raúl Antonio Ramos

14 Si tomamos el otro Dominio Dominio:]-α, + que corresponde a y = - (x ) = y x. Encontremos su inversa: y x x y y x entonces f x Grafiquemos; Intenta uno: f (x) x y entrégalo. FUNCIONES TRASCENDENTES Definiciones importantes: Forma de la Función exponencial. CARACTERISTICAS DE LA FUNCION EXPONENCIAL. ) Dominio = Reales. ) Recorrido = Reales + ) El intersecto es (0, ) 4) Es función uno a uno 5) El eje x es una asíntota. Función Exponencial: Las funciones exponenciales describen crecimientos o decrecimientos acelerados y su aplicación se da en campos como la Demografía, la Química, la Economía, la Biología entre otras ciencias. f (x) f (x) a x Llamada función exponencial de base a. Algunos ejemplos de bases son: f (x) x llamada funcion exponencial de base. (. ) x llamada funcion exponencial de base decimal f (x) x llamada funcion exponencial de base f (x) Veamos cada una de ellas: е x llamada funcion de base e. Proyecto de Graduación UNICAES ILOBASCO Walberto de Jesús Ortiz; Lorenzo Arcides Bolaños; José Raúl Antonio Ramos 4

15 El Dominio, Recorrido y la Grafica de una Función Exponencial: Para f (x) a x con a > 0 y ǂ se tiene que: Dominio = Reales y el Recorrido = Reales + Hagamos un ejemplo: F (x) Encuentra el Dominio y Recorrido y Grafícala. x SIGUE LA RUTA YA APRENDIDA: Paso II: Grafícala Paso I: Tabular, complétala: X y x ( x, y ) - ( -, 0.5) - ( -, 0.5 ) - (-, 0.50 ) 0 ( 0, ) (, ) (, 4 ) (, 8 ) Paso III: Dominio: Reales Recorrido: Reales + Resuelve las siguientes funciones, siguiendo los pasos de arriba, compáralas y llega a conclusiones con tu profesor/a, no olvides presentarlos en limpio. ) f (x) x ) f (x). x ) f (x) ( ) x Proyecto de Graduación UNICAES ILOBASCO Walberto de Jesús Ortiz; Lorenzo Arcides Bolaños; José Raúl Antonio Ramos 5

16 CRECIMIENTO EXPONENCIAL. Una aplicación de las funciones exponenciales es la descripción del crecimiento poblacional, la propagación de una enfermedad, el crecimiento del dinero depositado en una cuenta de ahorros, hagamos algunas demostraciones. Ejemplo : Elisa deposita $ en un banco que paga el 5.56% de interés anual Cuánto dinero tendrá ahorrada después de uno, tres y cinco años?, si la ley de asignación que se aplica es f (x) Ce rx Donde: C = Cantidad inicial ó capital r = tasa de crecimiento X = Tiempo f (x) Cantidad Final Ruta a seguir: : que ley de asignación se aplica. f (x) Ce rx : con que datos contamos. C = $ r = 5.56% X =,, 5 años. : sustituir estos datos en la ley de asignación: f ( ) e (0.0 ) ; f ( ) e (0.0 ) ; f ( ) e (0.0 ) 4: Grafiquemos para visualizar mejor el comportamiento del ahorro. Proyecto de Graduación UNICAES ILOBASCO Walberto de Jesús Ortiz; Lorenzo Arcides Bolaños; José Raúl Antonio Ramos 6

17 ) Se ahorran $,00.00 si pasados x años el nuevo saldo se rige por la ley de asignación: f (x) (. ) x cuanto dinero se tendrá al cabo de años? ) Se ahorro una cantidad C de dinero, el nuevo saldo pasado 0 años es de $ y se 0.0 x rige por la ley de asignación f (x) Ce ) Un trabajador se jubila al cabo de 0 años de servicio y recibe una bonificación de $ 5, y desea ahorrarlo a una tasa de 8% de interés, cuanto tendrá ahorrado al final 5 años. 4.- El crecimiento demográfico en cierta ciudad de El Salvador se rige por la ley de asignación p (x) ( ) 0.0 t. Cual es la población al momento del estudio?, que población después de un año? Y la población después de quince años. 5.- Un cultivo de Bacterias crece de acuerdo a la ley de asignación y e 0. t. Donde t esta expresado en días, a) después de una semana. b) después de tres semanas Función Logarítmica. Conceptos importantes: Los logaritmos nos ayudan a resolver problemas de aritmética y geometría entre otros con mayor facilidad, de esta manera en lugar de multiplicaciones se hacen solamente sumas; llamado esto PROPIEDAD, y en lugar de las Divisiones se hacen restas; PROPIEDAD. La Función exponencial es uno a uno por lo tanto tiene su Inversa de aquí la función logarítmica. f (x) a x Donde а ǂ y а > 0 f (x) a x Proyecto de Graduación UNICAES ILOBASCO Walberto de Jesús Ortiz; Lorenzo Arcides Bolaños; José Raúl Antonio Ramos 7

18 Logaritmo base a de x y log a x Si solo si x a y Es decir que y es el logaritmo base a de x esto solo si y es el exponente al cual se eleva la base a para obtener x log 8 entonces 8 log 9 entonces 9 log Ejemplo: esto es Otros Ejemplos: Expresar en forma Logarítmica: 9 9 solución: log 9 9 Si log 00x encontrar el valor de x solución: x = x, x = 0 Se sabe que y log encontrar el valor de y Solución: y log y es equivalente a y entonces por lo tanto y = - Un ultimo caso log a encontrar el valor de a. Solución: Lo pasamos a forma logarítmica: a Pasamos el exponente a positivo: a Despejamos a a a encontramos a = a= Pasando de Exponencial a Logarítmica 9 9. Leamos así: log base 9 de 79 es igual a. log 9 9 Proyecto de Graduación UNICAES ILOBASCO Walberto de Jesús Ortiz; Lorenzo Arcides Bolaños; José Raúl Antonio Ramos 8

19 Cuales son las características de una función logarítmica? Grafiquemos la función Características: y log a x o x a y con а > 0 y а ǂ.- El dominio: Reales Positivos..- El Recorrido: Los Reales.- La Función es creciente para а > y decreciente cuando 0< a <. 4.- Es una función uno a uno. 5.- intersecta al eje x en ( ) y no corta al eje y. 6.- El eje de las y es una asíntota Pasando de Logarítmica a Exponencial: log 9 9 Leemos así: 9 es igual a elevado al cuadrado () Interpretación: log 0x Significa que la base es 0. log e se entiende que la base es "e" A los logaritmos de base 0 se llama: LOGARITMOS COMUNES. Cuando escribimos: y logx sabemos que: Dominio es un intervalo de cero al infinito positivo y el Recorrido son los reales. Entonces todo numero positivo x se puede expresar como una potencia, así: Forma Exponencial Forma Logarítmica. log. Característica:. log.. log. Log5 = = 0 = log Mantisa: log Proyecto de Graduación UNICAES ILOBASCO Walberto de Jesús Ortiz; Lorenzo Arcides Bolaños; José Raúl Antonio Ramos 9

20 Proyecto de Graduación UNICAES ILOBASCO Walberto de Jesús Ortiz; Lorenzo Arcides Bolaños; José Raúl Antonio Ramos 0

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