INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECyT MIGUEL BERNARD PERALES

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1 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECyT MIGUEL BERNARD PERALES INFORME DEL PROYECTO DE INVESTIGACIÓN EDUCATIVA Planteamiento de Laboratorio Virtual para el estudio de las Matemáticas como alternativa didáctica M.E. OSCAR T. GÁMIZ CASARRUBIAS M. C. BEATRIZ E. GÁMIZ CASARRUBIAS ING. PEDRO ESCOBAR BALLESTEROS

2 Resumen: La matemática es una ciencia exacta creada por el hombre con la finalidad de ayudarle en su vida diaria, y a la vez, ayudarle a comprender y explicar una gran cantidad de fenómenos. Aunque muchas veces escuchamos que la matemática es una materia muy complicada es importante tener conocimientos básicos de ella. El desarrollo vertiginoso del mundo en que vivimos se debe en gran medida al avance de la matemática y a los nuevos conceptos y aplicaciones que de ella se desprenden. Agrupándose una serie de ayudas tanto físicas como virtuales que facilitan el aprendizaje. 1) Físicos, que se definen como cualquier material u objeto físico del mundo real que los estudiantes pueden palpar para ver y experimentar conceptos matemáticos. 2) Virtuales, que se definen como representaciones digitales de la realidad posibilitadas por los computadores, y que el estudiante puede también manipular con el mismo objetivo de los primeros. Los manipulables virtuales tienen además la capacidad de hacer visible lo que es difícil de ver e imaginar. En esta investigación se pretende desarrollar un laboratorio virtual y elaborar un software con aplicaciones virtuales ya que los instrumentos bien diseñados y bien utilizados (físicos o virtuales) ayudan a los estudiantes a construir, fortalecer y conectar varias representaciones de ideas matemáticas al tiempo que aumentan la variedad de problemas sobre los que pueden pensar y resolver. Asimismo, los instrumentos ofrecen a los estudiantes objetos para reflexionar y hablar. Les suministran un lenguaje adicional para comunicar ideas matemáticas sobre sus percepciones visuales, táctiles y espaciales. Introducción El proyecto surge al detectar que los estudiantes de bachillerato presentan serios problemas en el manejo, interpretación y aplicación de las matemáticas. Entre las causales se observa que en sus diferentes cursos de matemáticas no han logrado la construcción de marcos referenciales sólidos. Si el fin es que el alumno adquiera aprendizajes significativos es necesario entre otras cosas conocer y analizar cuales son los factores dentro del ambiente escolar - factores intrínsecos al proceso de enseñanza aprendizaje - y los que están fuera del ambiente escolar - factores extrínsecos que se encuentran dentro del contexto social -. Por otra parte, en esta investigación se pretende hacer uso de un laboratorio virtual para simular diferentes ambientes de aprendizaje en los cuales puede desenvolverse el alumno. El planteamiento del Laboratorio de Matemáticas busca promover, impulsar y fortalecer la investigación sobre las formas de aplicación de las matemáticas contemporáneas a problemas técnicos y científicos de naturaleza interdisciplinaria mediante herramientas de cómputo científico. Además el Laboratorio de Matemáticas es un punto de encuentro entre profesores, estudiantes e investigadores en torno a problemas abiertos donde se requiere simulación numérica y modelación matemática para alcanzar soluciones efectivas a problemas interdisciplinarios.

3 El laboratorio promueve actividades docentes, elaboración de cursos de extensión, planes de educación virtual. Sus áreas de trabajo son algebra, geometría y trigonometría, geometría analítica, cálculo diferencial e integral y Estadística. Descripción del Problema La dificultad que implica para los profesores del nivel medio (secundaria y bachillerato) la enseñanza del conocimiento matemático, ha quedado de manifiesto en diversos estudios. Numerosos reportes nacionales y extranjeros (Booth 1984; Kieran 1980, 1988; Filloy y Rojano, 1985; Ursini 1990) han investigado y catalogado las dificultades y errores más comunes que cometen los alumnos que se inician en el estudio de las operaciones fundamentales de la aritmética y del álgebra elemental. Se señala, por ejemplo, que los alumnos: -No interiorizan el significado de las operaciones fundamentales de suma, resta, multiplicación y división. -No interpretan geométricamente el significado de las fracciones. -Tienden a interpretar el signo de igualdad sólo como signo de acción, mientras que este signo suele emplearse para representar equivalencias. -Tienen dificultad para entender que mientras en aritmética las operaciones se ejecutan y se obtienen resultados numéricos, en álgebra las operaciones se indican y su ejecución efectiva queda suspendida. -Tienen dificultades con la adquisición de conceptos nuevos, propios del álgebra, por ejemplo, el concepto de variable. -No incorporan interpretaciones geométricas a la formación de los conceptos simbólicos del álgebra, etc. Estos elementos constituyen un obstáculo para el aprendizaje de las matemáticas. Se enfatiza entonces que para lograr un manejo adecuado del álgebra, es necesario que los alumnos, por un lado, desarrollen una capacidad para percibir la simbología y las operaciones aritméticas de manera distinta, y por el otro, construyan nociones completamente propias del álgebra y la geometría. Se comprende que los factores incidentes en la apropiación del conocimiento matemático son múltiples: hay razones económicas, sociales, herencia cultural, actitudes y creencias. Pregunta de investigación. El Laboratorio virtual de matemáticas ayuda a disminuir las dificultades y errores más comunes que cometen los alumnos de nivel medio superior en la aplicación de las matemáticas?

4 Objetivo general Analizar el propósito de las matemáticas y sus implicaciones así como la vinculación con otras asignaturas. Investigar las aplicaciones de dichos conceptos en la vida diaria como estrategia para resolución de problemas. Estudiar aplicaciones del Laboratorio Virtual. Como atender las necesidades y dar servicios de asesoramiento en el área de matemáticas a los estudiantes utilizando material de referencia. Proveer un espacio en el Internet que sea de ayuda para los estudiantes que cursan Matemáticas; proveyéndoles ayuda en temas específicos y, Facilitar el intercambio de ideas entre educadores de matemáticas mediante cursos de Educación Continua. Hipótesis general El uso del laboratorio virtual en la enseñanza de las matemáticas puede favorecer procesos cognitivos tales como razonamiento abstracto, observación y análisis que redundaran en el aprendizaje y comprensión de las matemáticas Preguntas de investigación El laboratorio de matemáticas ayuda a los profesores y alumnos al aprendizaje de las matemáticas? Qué los estudiantes piensan sobre la enseñanza y el aprendizaje mediante la modalidad del internet? Cuáles son las actitudes y percepciones de la facultad y personas en la comunidad sobre los cursos en internet? Objetivos específicos 1. Análisis de diferentes ambientes educativos variando las formas de interacción del docente y alumno. 2. Análisis de diferentes estrategias de enseñanza. 3. Análisis de los marcos referenciales previos de los estudiantes 4. Identificar factores intrínsecos del proceso de enseñanza y aprendizaje 5. Identificar factores extrínsecos que influyen en el proceso de enseñanza y aprendizaje Hipótesis específicas

5 1.- El alumno interactúa de manera más eficaz con el profesor si se emplean diferentes ambientes educativos, porque al variar el ambiente su percepción de las matemáticas cambia mejorando su aprendizaje 2.- Las mejores maneras de enseñanza en la interacción personalizada con el alumno 3.- Los marcos referenciales de los estudiantes son el rechazo a las matemáticas por complejas, la no comprensión de las matemáticas hasta que se les presenta su aplicación real. 4.- Los factores intrínsecos son el rechazo a las matemáticas y todo lo que se refiere a ellas incluyendo a el profesor 5.- Los factores extrínsecos es la falta de aplicación de las matemáticas a problemas reales Justificación El modelo educativo del Instituto Politécnico Nacional "promueve cambios muy especiales de las estructuras cognoscitivas en la relación profesor-alumno mediante el impulso del espíritu analítico, crítico, creador y participativo en una constante búsqueda de alternativas de solución de los problemas de la realidad social."(córdoba y Gutiérrez, 1996: p.12). Este modelo educativo, centrado en el alumno, se apoya en dos herramientas didácticas que son la investigación y el trabajo grupal a través de las cuales se pretende que el alumno tenga una participación activa en su propio aprendizaje y que sea capaz de reflexionar sobre lo que le rodea, para actuar sobre esa realidad y transformarla. Sobre estas bases, el empleo de materiales educativos especiales e innovadores no sólo cabe dentro del modelo sino que funciona de acuerdo con él. Es precisamente en la enseñanza de temas de matemáticas donde los docentes se enfrentan con un reto muy especial, ya que desafortunadamente resulta muy común que los estudiantes carezcan de las bases necesarias para poder avanzar en la adquisición de conocimientos. Los alumnos se inician en estos temas a partir del primer semestre, cuyo contenido se centra en álgebra y es aquí donde se tienen detectados dos problemas importantes: 1) El manejo del álgebra básica por parte de la mayoría de los alumnos es muy pobre; 2) En los diversos cursos que tocan temas de Álgebra y de Cálculo Diferencial es muy común que no sea posible dedicar suficiente tiempo a realizar revisiones de puntos básicos de temas vistos anteriormente, ya sea a través de ejercicios en clase o tareas, que en caso de utilizarse rara vez se revisan en detalle durante las sesiones en el aula, lo cual también ocurre para la solución de problemas sobre nuevos temas. Al faltar el apoyo que proporciona la revisión detallada de soluciones a ejercicios de diversos grados de dificultad, ocurre que los estudiantes enfrentan serias dificultades cuando más adelante deben aplicar lo aprendido al planteamiento y solución de modelos matemáticos en otros semestres, durante o al concluir su vocacional. A fin de cubrir un contenido tan amplio en los semestres, consideramos que es necesario recurrir al uso de materiales didácticos que faciliten un aprendizaje significativo para el alumno. Otro de los problemas que se presenta con la enseñanza de Matemáticas es que el

6 docente no siempre logra que el alumno participe activamente en el proceso de enseñanza y aprendizaje, ni puede alcanzar la vinculación entre los contenidos matemáticos, cuya lógica interna exige impartirlos en determinada secuencia y acorde con los contenidos del programa. Para resolver toda esta problemática, entre muchas otras medidas, existen guias con ejercicios de Álgebra y Cálculo Diferencial y se han utilizado y probado diferentes tipos de materiales educativos interactivos (Fournier, Rouquette, Ariza, 2000: p.261) como resultado de la preocupación de docentes y autoridades. Desafortunadamente, al menos en México, es común que el estudiante defina su vocación precisamente a partir de su falta de facilidad para las Matemáticas. Es bien sabido que desde la escuela primaria los programas educacionales de matemáticas son largas listas de detalles que el estudiante debe ser capaz de repetir al terminar cada nivel, y de operaciones que deberá repetir mecánicamente sin haberlas comprendido. Sobre este punto, De la Peña (1999: pp.16-17) afirma que: "las reformas recientes en la enseñanza de las matemáticas en diversos países, México entre ellos, enfatizan en la necesidad de que los alumnos adquieran ciertas habilidades al presentárseles de manera sistemática 'situaciones didácticas' convenientes", lo que en opinión de él mismo parece ser "la dirección correcta" aunque tiene reservas al respecto, ya que duda: "que la mayoría de los maestros realmente busque desarrollar las habilidades deseadas entre sus alumnos". Con base en lo que llama "una rápida encuesta entre conocidos" descubre que: "al igual que cuando nosotros estuvimos en la escuela primaria, el énfasis de las matemáticas sigue estando en las mecanizaciones. Recientemente, una encuesta mostró que la pregunta 'Si al echar dos volados con una moneda normal obtiene usted águilas, qué obtendrá con mayor probabilidad al echar el tercer volado?' sólo era contestada correctamente por 38% de los encuestados (entre estudiantes de la UNAM se obtuvo un impresionante -por lo bajo- 47% de respuestas correctas). Debido a toda esta situación que se presenta con las matemáticas, desde temprana edad los estudiantes adquieren actitudes de temor y rechazo hacia esta disciplina, lo que se irá acentuando en cursos posteriores, conforme aumenta el nivel de abstracción de los temas, por el arrastre de conceptos no entendidos, por las pocas oportunidades de participar activamente en el aprendizaje y por la escasa relación entre las matemáticas y la realidad del alumno (Ariza, Rouquette, 2002: p.201). Esto va a dificultar que el estudiante pueda complementar sus carencias matemáticas a través del autoaprendizaje con materiales tradicionales, como cuadernos de ejercicios y problemarios tomados de textos convencionales. En nuestro caso, hemos probado en condiciones controladas (Fournier, Rouquette, Ariza, 2000: p.235), que el uso de materiales didácticos innovadores para usarse en equipo PC permite que los estudiantes adquieran conocimientos, además de resultarles interesante y representar un reto. Hay un inconveniente con los materiales didácticos ya elaborados, es que pocas veces coinciden con las necesidades de los estudiantes, ya que la mayoría están basados en el esquema tradicional de materias por temas, que se imparten en cursos semestrales. Los contenidos rara vez van a coincidir con las necesidades de nuestros contenidos.

7 De esta forma, tomando en cuenta las características del estudiante, las propias del Sistema en temas de Matemáticas a través del uso de nuevas tecnologías, estamos convencidos de que el uso de materiales desarrollados especialmente para cubrir las necesidades de los estudiantes, puede contribuir a mejorar el aprendizaje. La evolución de las nuevas tecnologías de la información representa un fenómeno de amplio espectro con consecuencias importantes para el mundo actual. De hecho hay autores que defienden la existencia de un nuevo paradigma tecnológico, con una gran incidencia en nuestra cultura, organizado en torno a las tecnologías de la información. En el último cuarto de este siglo, la informática, las telecomunicaciones y la tecnología audiovisual han contribuido a la evolución de la sociedad ya que más allá de un conjunto de medios más o menos sofisticados, las nuevas tecnologías de la información deben ser valoradas como un paradigma con un importante impacto cultural. La utilización de las nuevas tecnologías de comunicación y de informática en la educación ha causado un cambio tanto en los roles del docente y del alumno, como en la forma de interactuar con la información, es evidente que a nivel universitario debemos tratar de dar respuesta a lo que no es sino una demanda social que exige desde una elaboración de un pensamiento científico sobre la tecnología y su influencia en planos como el de los valores, las conductas sociales, las nuevas profesiones, etc., hasta el dominio del diseño de materiales educativos, pasando por el conocimiento de las aplicaciones de las nuevas tecnologías en diferentes campos profesionales. Por causa de los contextos escolares donde varía el tamaño del grupo y el tiempo de cada sesión entre otras, algunos docentes centran su esfuerzo en el aprendizaje de tipo informativo, pero actualmente con la ayuda de las tecnologías se vislumbra a corto plazo la posibilidad de centrar los esfuerzos escolares al manejo de grandes volúmenes de información, es decir se da un cambio en las funciones escolares ya que de ser solamente fuentes de información permiten actualmente generar ambientes virtuales donde se puede simular lo que ocurre en el aula escolar. El proceso educativo dentro de la tecnología informática es un sistema que está formado por el docente, el alumno y los materiales educativos interactivos. Cada integrante es un subsistema que está constituido por diferentes elementos que en su conjunto determinan el éxito o el fracaso escolar (Lieu M. W., 1997). La enseñanza El docente, dentro de este proceso, programa la estrategia de enseñanza y las secuencias remediales o cursos de acción que toman en cuenta el desempeño individual de los estudiantes. De este modo se resuelven los problemas específicos de cada estudiante.

8 Cada docente posee su propio estilo de enseñanza en el que, entre otros, intervienen los siguientes elementos: a) La velocidad de presentación de los contenidos. b) La forma de presentación de los contenidos, como ser de lo general a lo particular o de lo particular a lo general. c) El nivel asociado al material educativo, que puede ser informativo como en la presentación de conceptos o fórmulas, la elaboración de un resumen y el remarcar los puntos importantes. d) El nivel de análisis logrado por la presentación de ejemplos y contraejemplos. e) El uso de analogías o de preguntas para validar el aprendizaje. f) El nivel de síntesis logrado por la realización de ejercicios aplicados a problemáticas reales o significativas para el alumno. El aprendizaje Los nuevos modelos cognitivos incluyen componentes de procesos de aprendizaje como codificación y representación de conocimientos, almacenamiento y recuperación de información, así como incorporación e integración de los nuevos conocimientos con los conocimientos previos (Saettler, 1990). El docente debe tomar en cuenta los estilos de aprendizaje de los alumnos para poder proporcionar la ayuda pedagógica adecuada y para mantener la motivación del alumno si es que se quiere lograr un aprendizaje significativo. Los alumnos presentan ciertas habilidades de aprendizaje, que están determinadas por los marcos referenciales previos y la motivación intrínseca o extrínseca del proceso. Los materiales educativos Como formas o modalidades concretas del manejo de los materiales educativos se pueden clasificar de la siguiente manera: la Tutorial, la de ejercitación y práctica, los juegos, las simulaciones, las herramientas, el descubrimiento. La modalidad Tutorial presenta un material en la pantalla de la computadora y eventualmente hace preguntas sobre dicho material. En las versiones avanzadas de tutoriales, las preguntas se convierten en evaluaciones más o menos complicadas dependiendo de las cuales aparece una retroalimentación diferente y se toma un camino alterno para continuar con la presentación del resto del material. Desde el punto de vista de la lección a preparar hay tres grandes elementos a considerar que son: a) la información, b) los objetivos, c) el perfil del estudiante. El primer elemento es la descripción precisa de la información, que puede ser definida como lo que se pretende decir o enseñar e incluso en ciertos momentos qué material se necesita o está relacionado con el tema o que material debe ser excluido. En general, son los tópicos a cubrir, el tipo de material que se pretende emplear, es decir las lecturas, conferencias, etc.

9 El siguiente elemento a considerar es la definición de los objetivos del curso, esto es las razones, las condiciones por las que el material debe ser realizado de esta manera, así como las metas que se proponen ser alcanzadas por el estudiante con tal realización. A veces, los objetivos se conjugan con cuestiones específicas sobre el tipo de conocimiento o habilidad que se pretende adquirir, en qué tiempo debe realizarse y bajo qué condiciones. El otro punto importante es el perfil del estudiante que nos sirve para acotar cuál es el público o el auditorio a quién está destinado el material a enseñar, cuál es el promedio de edad que tiene, cuál es el tipo de antecedentes, marcos referenciales o preparación por la cual ha pasado, cuáles son sus motivaciones principales, etc. La determinación del objetivo y las tareas permite tener una perspectiva sobre la amplitud del tema, lo que da una idea del tamaño en términos de tiempo necesario de trabajo para la presentación y adquisición del material a aprender. Dado que las lecciones o los módulos en computadora no pueden ser muy extensas en tiempo; según algunos autores, 15 o 20 minutos deben ser suficientes, algunos otros hablan hasta de 30 o 40 minutos máximos por lección. Bajo el supuesto, claro está, de que un módulo debe de poder ser revisado en una sola sesión de computadora. Si cada pantalla necesita de n minutos, esto indica un máximo de unas 30/n pantallas. En general el tiempo para hacer la lectura de cada pantalla es de al menos 3 minutos, lo que implica un máximo también de 13 pantallas por lección. La motivación Un elemento fundamental en el acto docente es la motivación que se puede catalogar en la de tipo individual y en la de tipo social. En la motivación de tipo individual se encuentra: El desafío: provoca en el sujeto confrontar la dificultad y la confianza que tiene el sujeto a su autoestima para poder superar la dificultad y llegar al resultado. Esto se ve matizado por todo el manejo computarizado que se puede dar para presentar la dificultad y de qué manera ésta va avanzando en diferentes niveles de las matemáticas. La curiosidad: en general se identifica al hombre como un sujeto fundamentalmente curioso. Como un sujeto que naturalmente quiere averiguar y aprender. Se aprende únicamente aquello que se desconoce. Entonces una buena curiosidad es aquello que presenta no sólo lo desconocido sino lo novedoso, es decir algo que se desea aprender. En matemáticas la novedad no debe de ser tan diferente de los marcos referenciales anteriores que presente una barrera infranqueable, deben presentarse los nuevos conceptos y términos matemáticos de manera paulatina para dar tiempo necesario a su asimilación. El control: permite la satisfacción de obtener sentido del dominio sobre la computadora, sobre el fenómeno de la simulación y sobre el objeto a través del modelo. Esta motivación es incrementada, mientras más libertad presente el sistema. En aquellos sistemas donde todo está predeterminado de alguna manera el sujeto se siente manipulado mientras que en el caso interactivo le da una motivación de autosuficiencia, de autoestima que difícilmente se obtiene de otra forma.

10 El entendimiento global: es importante promover la capacidad de visualización de las diferentes formas de resolución de problemas y sus implicaciones, así como una estrategia para poder decidir entre todas las opciones cuál es la respuesta adecuada. Entre las motivaciones sociales están las siguientes: La competencia es una de las motivaciones sociales, ya que es el obtener el reconocimiento o prestigio social por haber triunfado. El reconocimiento es también otra motivación indirecta de tipo social empleada que puede tomar diversas formas: unos aplausos y fanfarrias por sonido o mediante frases que animen a los estudiantes mencionando sus logros. El desarrollo de la tecnología informática ha ofrecido en diferentes momentos herramientas muy útiles a la educación tanto para apoyar la labor de docencia como la de investigación. En la docencia los Sistemas Tutoriales han evolucionado de ser solamente libros electrónicos a sistemas que se ajustan al desempeño de los estudiantes y que proporcionan la ayuda pedagógica adecuada para propiciar un buen aprendizaje y actualmente se pueden construir Sistemas que requieren de materiales multimedios, sin problema técnico alguno. En la labor de investigación, la informática permite actualmente programar todo tipo de espacios virtuales. Los Sistemas Tutoriales son una de las formas más usadas en la enseñanza como auxiliares para lograr el proceso de enseñanza aprendizaje. La función de un Sistema Tutorial es presentar conocimiento al estudiante por medio de un programa de computadora que se asemeje a un instructor privado y paciente que atienda individualmente a cada estudiante. Las características principales son: 1. Que promueve una respuesta activa: el estudiante aprende mejor realizando actividades cuando aplica un conocimiento recién adquirido. Por ejemplo, en nuestros tutoriales de Álgebra y Leyes de los Exponentes se le pregunta al estudiante por conceptos, definiciones o procedimientos y que resuelva ejercicios o problemas que en la mayoría de los casos requieren procesos de abstracción y generalización. 2. Que informa al estudiante sobre su desempeño: consiste en proporcionar al estudiante la comprobación inmediata sobre lo correcto o incorrecto de su respuesta. Esta información se presenta en forma inmediata ante la respuesta proporcionada por el alumno, con lo que se establece un proceso de evaluación continua después de presentar pequeñas cápsulas de conocimiento. De esta manera la revisión del Sistema Tutorial depende del desempeño de cada alumno. 3. Permite el avance del estudiante a su propio ritmo: indica que las personas cubren con diferente inversión de tiempo el mismo contenido instruccional. Esto no es problema en los Sistemas Tutoriales, porque en la construcción se individualizan las estrategias y técnicas de instrucción, con actividades complementarias para adaptar el material durante su uso, al ritmo de los avances de cada alumno. Cuentan con secuencias remediales para cada nivel de conocimiento. 4. Promueven que el alumno trabaje con el mínimo error, es decir que los individuos en sus experiencias de instrucción aprenden cometiendo cada vez menos errores. Esto se tiene contemplado en los Sistemas Tutoriales porque el proceso se divide en pasos

11 suficientemente pequeños para permitir que el reforzamiento pueda darse inmediatamente después de la realización de cada paso. El procedimiento básico de un Sistema Tutorial se describe en el siguiente diagrama: Los materiales educativos interactivos son una de las formas usadas en la enseñanza por computadora como auxiliares para lograr el proceso de enseñanza aprendizaje. Su función es presentar conocimiento al estudiante por medio de un programa de computadora que se asemeje a un instructor privado y paciente que trabaje con un solo estudiante. Los materiales educativos permiten individualizar la exposición del material para cada estudiante, quien avanza a su propia velocidad, llevar un registro de su desempeño y proporcionarle retroalimentación inmediata. Además, permiten la realización de ejercicios repetitivos para lograr el aprendizaje y como el material se encuentra fraccionado en lecciones, los usuarios pueden reiniciarlo a partir de cualquier punto, tal vez hasta donde se haya llegado en alguna sesión previa. MARCO TEÓRICO Marco Conceptual Principios didácticos. En cada momento de la enseñanza en cada uno de sus componentes, se deben manifestar los principios didácticos. En función de las características de un momento u otro se pone de manifiesto el papel rector de uno u otro principio, ya que no siempre todos ellos intervienen con la misma intensidad. Es por esto, que a continuación vamos a caracterizar cada principio y daremos a cada cual su personalidad propia aunque en la práctica veamos la relación mutua y la interdependencia entre ellos lo cual les concede el carácter de sistema. Los principios didácticos, constituyen una alternativa más de organizar el proceso de la teoría de la dirección del proceso de asimilación y de la psicología cognitiva. Carácter científico Este principio exige que la enseñanza sea exacta con relación a la matemática como ciencia. También presupone que en la enseñanza de la matemática hay que mostrar el movimiento y desarrollo de modelos matemáticos, conceptos, teoremas, métodos matemáticos, y que estos tienen su origen en la realidad objetiva, en las relaciones de

12 conjunto, estructurales y de posición y que son sus imágenes abstractas a menudo muy alejadas de la realidad. Asequibilidad. La enseñanza de las matemáticas impone altas exigencias al pensamiento abstracto. Asequibilidad significa que la enseñanza tiene que corresponder al desarrollo intelectual de los estudiantes. En virtud de la asequibilidad se hacen con frecuencia simplificaciones didácticas. Algunas definiciones se sustituyen por explicaciones, los teoremas no siempre se demuestran o se trabaja un tipo especial de demostración. En la solución de problemas o ejercicios se realizan a menudo simplificaciones didácticas; los datos de partida se adaptan, se prescinde de algunas condiciones variables, el problema en general se simplifica; pero en lo esencial, es decir, la selección del método de solución, su aplicación y el planteo matemático se mantienen. La facilidad de la enseñanza disminuye el interés por el estudio y la actividad intelectual. Ni tan fácil que no provoque conflicto, ni tan difícil que no se pueda resolver La exageración de la dificultad no conduce al éxito sino a la frustración. La asequibilidad presupone: Partir de lo conocido a lo desconocido. Ir de lo sencillo a lo complejo. Colocar al estudiante frente a dificultades y crear las condiciones para que pueda superarlas. No exigir ni por debajo ni por encima de las posibilidades de asimilación de los estudiantes. Este principio se asegura cuando se establece la retroalimentación entre el profesor y el estudiante. Es menester garantizar los medios seguros de retroalimentación mediante el control operativo de la asimilación de los conocimientos. Carácter sistemático. Este principio significa comparar el conocimiento adquirido a fin de asociarlo a una estructura o sistema establecido en su conocimiento. Significa que se analicen e investiguen propiedades comunes y diferencias. Significa hacer visibles las relaciones existentes. Es menester que al preparar cada clase, el profesor ponga de manifiesto las relaciones existentes entre los conceptos, no sólo dentro de la matemática, sino fuera de ella. Es decir la sistematización estricta y la secuencia lógica de la exposición de la materia, son requisitos necesarios pero no suficientes para una exitosa realización del proceso docente. Cumplir con el carácter sistemático, presupone: Trabajar los nuevos conocimientos en relación con los conocimientos que tienen una significación afín. Planificar cada clase en su relación con el cuadro de asociaciones de la asignatura o disciplina. Entrenar a los estudiantes a sistematizar, tanto en el plano cognitivo, como en el plano material (gráficos, algoritmos, cuadros sinópticos, expresión de nodos cognitivos). Lo fundamental es determinar la correspondencia entre la preparación teórica y la preparación práctica. No teorización exagerada separada de la práctica, ni un practicismo.

13 Visualización A través de este principio se trata de hacer una objetivación adecuada, que corresponda al objeto de conocimiento y al nivel en cuanto a capacidad de abstracción de los estudiantes. La visualización puede servir de base a una abstracción o como elemento heurístico, pero también puede ayudar a comprender más profundamente una relación abstracta. Este principio presupone: Que los estudiantes capten por la vía sensorial las representaciones gráficas de determinados conceptos. Establecer las relaciones y regularidades mediante esquemas o modelos Utilizar los procedimientos algorítmicos. Visualizar presupone: Orientar la percepción de los estudiantes para facilitar la introducción en la esencia de las cosas, a partir de visualizar los fenómenos. Proporcionar a los estudiantes, tantos hechos como sean necesarios para llegar a una generalización. Con la visualización en matemáticas se pretende que las ideas, conceptos y métodos de las matemáticas presenten una gran riqueza de contenidos visuales, representables intuitivamente, geométricamente, cuya utilización resulta muy provechosa, tanto en las tareas de presentación y manejo de tales conceptos y métodos como en la manipulación con ellos para la resolución de los problemas del campo. Los expertos poseen imágenes visuales, modos intuitivos de percibir los conceptos y métodos, de gran valor y eficacia en su trabajo creativo y en su dominio del campo en que se mueven. Mediante ellos son capaces de relacionar, de modo muy versátil y variado, constelaciones frecuentemente muy complejas de hechos y resultados de su teoría y a través de tales redes significativas son capaces de escoger de manera natural y sin esfuerzo, los modos de ataque más eficaces para resolver los problemas con que se enfrentan. Las ideas básicas del análisis elemental, por ejemplo orden, distancia, operaciones entre números, nacen de situaciones bien concretas y visuales. Todo experto conoce la utilidad de atender a tal origen concreto cuando quiere manejar con destreza los objetos abstractos correspondientes. Lo mismo sucede con otras partes aparentemente más abstractas de la matemática. Esta forma de actuar con atención explícita a las posibles representaciones concretas en cuanto desvelan las relaciones abstractas que al matemático interesan constituye lo que denominamos visualización en matemáticas. La matemática trata de explorar las estructuras de la realidad que son accesibles mediante ese tipo de manipulación especial que llamamos matematización, que se podría describir como sigue. Se da inicialmente una percepción de ciertas semejanzas en las cosas sensibles que nos lleva a abstraer de estas percepciones lo que es común, abstraíble, y someterlo a una elaboración racional, simbólica, que nos permita manejar más claramente la estructura subyacente a tales percepciones.

14 La aritmética, por ejemplo, surge del intento de dominar la multiplicidad presente en la realidad, con la geometría se trata de explorar racionalmente la forma y la extensión, el álgebra se ocupa de explorar, en una abstracción de segundo orden, las estructuras subyacentes a los números y a las operaciones entre ellos, es una especie de símbolo del símbolo, el análisis matemático nació con la intención de explorar las estructuras del cambio y de las transformaciones de las cosas en el tiempo y en el espacio,... Este proceso se ha manifestado extraordinariamente útil a la hora de entender mejor las estructuras comunes de las cosas y de aprovecharnos de ellas cuando lo consideramos oportuno. Nuestra percepción es prioritariamente visual y así no es de extrañar en absoluto que el apoyo continuo en lo visual esté tan presente en las tareas de matematización, no sólo en aquellas que, como la geometría, se refieren más directamente a la exploración específica de aspectos del espacio, sino también en otras, como el análisis, que nacieron para explorar los cambios de los objetos materiales en sí mismos y en sus aspectos espaciales. Y aun en aquellas actividades matemáticas en las que la abstracción parece llevarnos mucho más lejos de lo perceptible por la vista, los matemáticos muy a menudo se valen de procesos simbólicos, diagramas visuales y otras formas de procesos imaginativos que les acompañan en su trabajo haciéndoles adquirir lo que se podría llamar una intuición de lo abstracto, un conjunto de reflejos, una especie de familiaridad con el objeto que les facilita extraordinariamente algo así como una visión unitaria y descansada de las relaciones entre objetos, un apercibimiento directo de la situación relativa de las partes de su objeto de estudio. La visualización aparece así como algo profundamente natural tanto en el nacimiento del pensamiento matemático como en el descubrimiento de nuevas relaciones entre los objetos matemáticos, y también, naturalmente, en la transmisión y comunicación propias del quehacer matemático. He aquí un ejemplo. La siguiente figura se suele presentar como paradigma de lo que constituye una demostración visual del teorema de Pitágoras

15 Probablemente el novicio que mira con atención esta figura ve, con suerte, dos cuadrados iguales que se han diseccionado de dos formas distintas y será capaz tal vez de comprender, a través de las indicaciones escritas, que el cuadrado sobre la hipotenusa del triángulo rectángulo que ha resultado, que parece ser copia de los otros que aparecen en diversas posiciones en la figura tiene un área igual a la suma de las áreas de los cuadrados sobre los dos catetos. Para llegar de ahí al teorema de Pitágoras será necesario que se pueda cerciorar de que efectivamente los triángulos que resultan son iguales y que esa misma situación se puede dar para cualquier triángulo rectángulo, es decir es una situación genérica. La pretendida absoluta inmediatez ante la anterior disección o alguna de las otras disecciones clásicas que tratan de poner de manifiesto el teorema de Pitágoras no deja de ser hasta cierto punto engañosa, pues todas ellas necesitan una labor de descodificación en la que es necesario introducir al no iniciado. Esta consideración es una de las razones profundas de que la iniciación a la visualización, por ejemplo en la enseñanza, sea una tarea nada fácil ya que requiere muy esencialmente la conciencia clara de quien la transmite de que la transparencia del proceso, tal vez real para él mismo por razón de la familiaridad adquirida con la práctica a lo largo del tiempo, puede ser inexistente para el que comienza a adentrarse en este tipo de proceso. Papel de la visualización en el análisis matemático La imagen, como hemos ido observando, tiene papeles muy diferentes e importantes en el quehacer de los matemáticos. La imagen es, muy frecuentemente, *matriz de la que surgen los conceptos y métodos mismos del campo, *estimuladora de problemas de interés relacionados con los objetos de la teoría, *sugeridora de relaciones de otra forma un tanto ocultas capaces de conducir de forma fiable hacia la resolución de los problemas y hacia la construcción de la teoría, *auxiliar potente para la retención de forma unitaria y sintética de los contextos que surgen recurrentemente en el trabajo, *vehículo eficaz de transmisión rápida de las ideas, *ayuda poderosa en la actividad subconsciente en torno a los problemas complicados de la teoría. Constante consolidación de los resultados. Este principio indica al docente sobre el conocimiento de los objetivos generales y particulares previstos e indica la marcha del aprendizaje. Se le da personalidad propia a este principio, porque la constante consolidación de los resultados no es sólo un problema de medidas especiales a tomar en las evaluaciones o en la sistematización, sino es un problema de equilibrar la asimilación de la nueva materia y su consolidación. En el proceso docente no se vale solo hacer una buena rememorización de la conferencia anterior o una elegante motivación o una introducción interesante de un nuevo concepto Es necesario la repetición, la sistematización planificada (fijación, ejercitación, repaso, control, evaluación).

16 METODOLOGÍA La metodología a emplear es una propuesta ampliamente documentada en la bibliografía, la cual tiene como marco teórico de referencia el constructivismo social. El presente proyecto de intervención pedagógica es una propuesta para trabajar conjuntamente con grupos de profesores. En dicho proyecto proponemos una metodología en la que los alumnos, a través de la manipulación del material, encuentran una ilustración atractiva de los correspondientes procesos del modelo abstracto de la teoría matemática subyacente. La propuesta radica, por un lado, en revisar algunos aspectos que la educación matemática presentó en un pasado reciente. Por otro lado, se hace mención de algunas tendencias generales que señalan las líneas de trabajo en la actualidad. De estas tendencias se derivan algunos cambios en los principios metodológicos que deberían guiar la enseñanza y aprendizaje, en nuestros días, de la educación matemática. Mediante el uso de las nuevas tecnologías de informática actualmente se pueden implementar en la educación ambientes virtuales que permiten el análisis de los diferentes factores que intervienen en el proceso educativo. Así es posible analizar los roles del docente, los del alumno y los materiales involucrados. Con el fin de investigar las causas del bajo desempeño académico de los estudiantes en el área de matemáticas se construye un laboratorio que denominamos laboratorio virtual de matemáticas que utiliza un Sistema Tutorial para identificar los elementos que promueven o que impiden que los alumnos tengan un aprendizaje significativo. En el laboratorio virtual se pueden realizar experimentos en situaciones controladas o utilizarlo como apoyo didáctico para promover el aprendizaje de ciertos contenidos. Además es posible empezar a desglosar los cambios que se efectúan en los marcos referenciales del alumno, ya que en general, del proceso de enseñanza aprendizaje conocemos sólo cuales son las entradas y cuales las salidas, pero no se conoce a ciencia cierta cómo y cuando el alumno realiza los procesos de acomodación y asimilación. Como complemento en el aula se pueden utilizar los Sistemas Tutoriales para aprender contenidos de un tema o contenidos presentados con diferentes niveles de complejidad. El laboratorio virtual en su versión de Sistema Tutorial es interactivo y además de proporcionar conocimientos al alumno, cuentan con un TUTOR en el que se plasma la experiencia del docente para permitir al alumno la adquisición de los conocimientos específicos del tema. En este tipo de Sistema Tutorial no sólo se presentan conceptos, definiciones y comentarios al estudiante, sino que se le plantean preguntas y ejercicios, dosificados de acuerdo con la experiencia del docente que desarrolló el tema, que debe responder en forma interactiva a fin de comprobar si ha asimilado el conocimiento. Dependiendo de que la respuesta sea o no correcta, el estudiante seguirá una secuencia diferente en el transcurso de la lección, ya que cuando el TUTOR detecta a través de una respuesta incorrecta que el alumno no ha logrado adquirir el conocimiento, le guía a través de una secuencia remedial en la que se plantean los puntos de la falla en forma

17 diferente y desglosada. Este tipo de Sistema Tutorial parece ser el más adecuado para la presentación de conocimiento de tipo procedimental de cualquier área. Cada Sistema Tutorial contiene las secuencias necesarias para proporcionarle al alumno el conocimiento de acuerdo con su desempeño al interactuar con el programa en el transcurso de una lección. El programa cuenta también con un Administrador de lecciones que sirve para revisar el material específico de cada lección y cada Sistema Tutorial contiene una base de conocimiento referente a un área específica en donde se encuentra tanto el conocimiento experto del profesor que desarrolló el curso, como su experiencia docente al diseñar las secuencias de aprendizaje y las derivaciones remediales. También en los Sistemas Tutoriales Interactivos el Administrador de Lecciones se encarga del control de las mismas presentando el menú de lecciones del curso. Análisis Cómo trabajar en matemáticas Sobre todo trata de entender. Cómo se hace para tratar de entender? Aquí tienes un refrán que te recuerda la fórmula: Oigo, y olvido. Veo, y recuerdo. Hago, y entiendo. Saber matemáticas es saber hacer cosas con lo que aprendes. Por eso cuando estudias matemáticas debes tener constantemente tu boli en acción. Repite ejemplos, haz los ejercicios, invéntate otros. Dibuja a tu modo. Repite a tu modo las gráficas, imágenes y esquemas que el texto te va proporcionando. Hazte tú mismo las que te puedan ayudar a dominar lo que lees. Los diferentes objetos matemáticos son herramientas para hacer algo con ellas. Entérate bien a fondo para qué sirven y cómo se manejan. Observa cómo los utiliza el profesor, tus compañeros, para hacer tú igual. No permitas que sea otro el que los a usa delante de ti mientras tú te limitas a mirar pasivamente. La pregunta es el anzuelo para pescar en el mar de las ideas. Pregunta. Quien pregunta aprende. Pregunta cuanto antes puedas aquello que no entiendas bien. Al profesor, a tus compañeros. Lo que te parezca entender, coméntalo para asegurarte de que lo entiendes bien. Para qué la memoria en matemáticas. No trates de memorizar nada antes de haber entendido bien a fondo. No trates de memorizar nada antes de haber experimentado un buen rato con los objetos que tienes delante. Observa con atención los diferentes pasos por los que procedes. Esto es lo más interesante que has de tratar que quede en tu memoria.

18 Activa frecuentemente lo que has aprendido. No dejes que las cosas se te oxiden por no usarlas. Cada semana trata de activar, hacer ejercicios, problemas que tienen que ver con las cosas que esa semana has aprendido. Cada mes trata de activar las cosas que has aprendido a lo largo del mes. No hace falta que esperes a que vengan las evaluaciones. Memoriza lo que es de uso constante. Te vendrá bien aprender de memoria alguna que otra fórmula sencilla y de uso constante, pero nunca trates de retener fórmulas complicadas en la cabeza. Te equivocarás con frecuencia. Más te vale tratar de retener las ideas del proceso por el que se llega a ellas. Cómo usar el libro de texto. En espiral. El trabajo con un texto de matemáticas se hace más fácil procediendo en espiral. Dale a la sección o tema una primera pasada. Muchas cosas son fáciles. Otras quedan oscuras. A la siguiente pasada verás que algunas de las oscuras te resultan más claras. Activa lo que ya sabes relacionado con el tema. Tu actividad propia, con tu lápiz constantemente en acción, debe comenzar comprobando cómo, efectivamente, con lo que ya sabes puedes ir realizando las actividades que antes de adentrarte en el tema se te proponen. Haz tú mismo los ejemplos y ejercicios aclaratorios. Trabajando el cuerpo de cada tema debes asegurarte de que entiendes las ideas que se exponen, de que te resulta claro cómo los ejemplos corresponden a esas ideas y de que tú mismo eres capaz de desarrollar por tu cuenta esos ejemplos. Cuando se han expuesto unas cuantas ideas importantes, se te proponen ejercicios para que tú mismo, ahora sin guía tan cercana, los resuelvas. Cuando los ejercicios te resultan difíciles. Si no consigues enfocar y resolver bien los ejercicios, vuelve a leer pausadamente lo que precede del tema. Es posible que algo que hay ahí se te haya pasado por alto. En una primera pasada trata de hacer algunos de los más sencillos y más adelante, en posibles vueltas sucesivas, harás el resto. Evalúa tu trabajo. Al final de cada capítulo de cualquier libro que utilices encontrarás unos ejercicios de evaluación que te servirán para comprobar que has conseguido asimilar y dominar los temas del capítulo. Si hay algunos que no te salen bien, sabrás qué temas debes repasar mejor.

19 Identifica lo que has de tratar de retener del capítulo. Al terminar el capítulo especialmente trata de identificar las porciones más importantes e interesantes que has aprendido a fin de que queden bien señaladas en tus esquemas de conocimiento. Valdrá la pena que procures memorizarlas bien para el futuro. Ejercítate en hacer problemas con método. Hacer muchos problemas es muy bueno. Mejor todavía es hacerlos con cierto método para aprovechar mejor el tiempo que en ello empleas. Recomendaciones para los docentes de matemática 1. Explorar el uso de las computadoras en las lecciones de Matemática, empezando por la edición de los exámenes, los registros de calificaciones mediante una hoja electrónica, etc. 2. Acondicionar un aula con una computadora personal, un televisor y un convertidor de señal, en caso de que no se dieran las condiciones económicas, entonces que dicha aula sea para todo el departamento de Matemática. 3. El docente debe capacitarse en cursos de computación, Internet, multimedia, etc. que le permita introducirse en forma adecuada, al uso de la tecnología. 4. El recurso de la computadora debe ser implementado de manera progresiva. Por ejemplo, al principio una vez al mes, luego cada dos semanas, y posteriormente una vez a la semana. 5. Una vez superada la introducción, si en la semana se tienen tres sesiones con los estudiantes, a lo sumo dos sesiones deben ser con la computadora, lo idóneo sería que una de ellas fuera en el Laboratorio. 6. El recurso computacional no debe emplearse por más de quince minutos en una sesión de ochenta minutos. La estrategia didáctica se podría realizar fraccionando los tiempos de empleo del recurso multimedial con el objeto de lograr una mayor atención por parte de los educandos. 7. Es importante conocer varios programas de cómputo, para desarrollar un mismo objetivo, entre mayores posibilidades de escoger se tengan, mayor es la posibilidad de obtener el éxito al trabajar el objetivo. 8. Partiendo de que las licencias de los programas de computación son caras, se recomienda tomar de Internet las licencias que son libres de pago. 9. Los proyectos de Multimedia que se utilicen en las clases deben ser sencillos, discretos, sin efectos especiales; en cuanto al sonido, debe tenerse el cuidado de que todos escuchen bien, el tamaño de las letras y símbolos sea el apropiado, para que todos puedan verlo bien, el uso de los colores debe ser balanceado.

20 10. Es conveniente utilizar otros recursos, los cuales permitan combinarse adecuadamente para que las lecciones de Matemática siempre sean no solo del agrado de los estudiantes, sino que además de mucho provecho. 11. Uso de bitácora que permita retroalimentar la experiencia. Conclusiones Hay aspectos adicionales que determinan las fortalezas del recurso de la computadora, en las clases de Matemática: Los estudiantes entienden mejor los contenidos. Hay mayor interés por parte de ellos. Se facilita el hacer los trabajos tanto para el docente como para el estudiante. Hay mayor provecho, el aprendizaje es mejor y más rápido, el trabajo en el aula es más dinámico. Se visualizan mejor los ejemplos. Las lecciones de Matemática son más agradables. Se facilita el proceso de enseñanza. Impacto del Laboratorio de Matemáticas. El impacto que se espera es sobre el aprovechamiento de los alumnos en la asignatura de matemáticas, se espera reducir el índice de reprobación que actualmente en la materia de álgebra es muy alto, en el semestre pasado se presentó del 65%. Otro aspecto que podrá ser modificado es en la manera de ver las matemáticas, ya que en la actualidad el 90% del alumnado manifiesta que no les gusta las matemáticas, se espera que con este laboratorio se modifique la forma de pensar y mejore su actitud hacia la materia. Además de contar con una metodología y material didáctico, que permite interactuar a los alumnos durante su aprendizaje, ayuda en el fomento del razonamiento abstracto que proporcionan las matemáticas y que se reflejará a lo largo de su carrera en el área de Ingeniería y Ciencias Fisicomatemáticas.

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