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1 INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL COORDINACION GENERAL DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACION ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA UNIDAD ZACATENCO DESARROLLO DE CODIGOS EN MATLAB PARA RESOLVER PROBLEMAS EN HIDRÁULICA REGISTRO CGPI PARTICIPANTES: LUCIO FRAGOSO SANDOVAL J. ROBERTO RUIZ Y ZURVIA FLORES ARTURO BRUNO JÚAREZ LEÓN JOSÉ LUIS PENA ROMERO ADRIANA GUADALUPE PORRES LÓPEZ MEXICO DISTRITO FEDERAL, A 8 DE JUNIO DEL 005.

2 DESARROLLO DE CODIGOS EN MATLAB, PARA RESOLVER PROBLEMAS EN HIDRÁULICA RESUMEN 4 INTRODUCCIÓN 4 METODOS Y MATERIALES 5 IMPACTO 6 I. ESTUDIO DEL SISTEMA INTERACTIVO MATLAB 6 I.1ACCESO A MATLAB. 6 I.. INTRODUCCIÓN DE MATRICES. 6 I.3. OPERACIONES CON MATRICES, OPERACIONES A COORDENADAS. 7 I.4. DECLARACIONES, EXPRESIONES Y VARIABLES; ALMACENAMIENTO DE UNA SESIÓN. 7 I.5. FUNCIONES PARA LA CONSTRUCCIÓN DE MATRICES. 8 I.6. FOR, WHILE, IF - Y RELACIONES. 8 I.7. FUNCIONES ESCALARES. 9 I.8. FUNCIONES VECTORIALES. 9 I.9. FUNCIONES MATRICIALES. 10 I.10. COMANDOS DE EDICIÓN DE LÍNEA Y RELLAMADA. 10 I.11. ARCHIVOS.M. 11 I.1. CADENAS DE TEXTO, MENSAJES DE ERROR, INPUT. 11 I.13. FORMATO DE SALIDA. 1 I.14. HARDCOPY. 1 I.15. GRÁFICOS. 1 II. MODELOS MATEMÁTICOS EN HIDRÁULICA, ANÁLISIS DE APROXIMACIONES Y ERRORES EN LOS PROBLEMAS. 14 II.1. ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES 14 III. RESOLUCION DE ECUACIONES NO LINEALES 18 III.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 18 III.. METODOS DE SOLUCION 19 III..1. MÉTODO DEL PUNTO FIJO. 19 III... MÉTODO DE BISECCIÓN DE BOLZANO 0 III..3. MÉTODO DE LA REGLA FALSA O DE LA FALSA POSICIÓN 3 III..4. MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON 5 III..5. MÉTODO DE LA SECANTE 7 III..6. FUNCIÓN FZERO (F_NOMBRE,P0) DE MATLAB. 9 IV. RESOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES 30 IV.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 30 IV.. METODOS DE SOLUCION 31 IV..1. SOLUCIONES EMPLEANDO OPERACIONES CON MATRICES 31 IV... MÉTODO DE SEIDEL 35 IV..3. MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON. 37 V. INTERPOLACIÓN Y APROXIMACIÓN POLINOMIAL 39

3 V.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 39 V.. METODOS DE SOLUCION 39 V..1. POLINOMIO INTERPOLADOR DE LAGRANGE 39 V... POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE NEWTON 41 V..3. POLINOMIO DE CHEBYSHEV. 43 VI. AJUSTE DE CURVAS 45 VI.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 45 VI.. METODOS DE SOLUCION 45 VI..1. REGRESIÓN LINEAL O RECTA DE REGRESIÓN EN MÍNIMOS CUADRADOS 45 VI... LINEALIZACIÓN DE RELACIONES NO LINEALES. 46 VII. DERIVACION NUMERICA 48 VII.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 48 VII.. METODOS DE SOLUCION 48 VII..1. DERIVACIÓN NUMÉRICA MEDIANTE LIMITES. 48 VII... DERIVACIÓN USANDO EL MÉTODO DE EXTRAPOLACIÓN DE RICHARDSON 49 VII.3. DERIVACIÓN NUMÉRICA MEDIANTE INTERPOLACIÓN EN N-1 NODOS 50 VIII. INTEGRACION NUMERICA 5 VIII.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 5 VIII.. METODOS DE SOLUCION 5 VIII..1. MÉTODO DEL TRAPECIO 5 VIII... MÉTODO DE SIMPSON 54 VIII..3. MÉTODO DE ROMBERG 55 IX. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 58 IX.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 58 IX.. METODOS DE SOLUCION 58 IX..1. MÉTODO DE EULER 58 IX... MÉTODO DE HEUN 59 IX..3. MÉTODO DE LAS SERIES DE TAYLOR 61 IX..4. MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA 6 IX..5. MÉTODO DE ADAMS-BASHFORTH-MOULTON 63 IX..6. MÉTODO DE MILNE 65 IX..7. MÉTODO DE HAMMING 67 X. SOLUCION NUMERICA DE ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES 69 X.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 69 X.1.1. ECUACIÓN DIFERENCIAL PARCIAL ELÍPTICA (FUNCIÓN POTENCIAL) 69 X.. METODOS DE SOLUCION 71 X...a METODO DE DIFERENCIAS FINITAS EXPLICITAS 74 X...b METODO DE CRANK-NICHOLSON 76 X...c METODO DE DIFERENCIAS FINITAS 78 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 80 ANEXO 81

4 RESUMEN Tradicionalmente en la enseñanza de la hidráulica se ha dejado que el alumno genere sus propios códigos para resolver problemas en este campo, tenio que rehacerse cada semestre tales códigos. Por ello, investigadores de la Escuela Superior de Ingeniería y Arquitectura, Unidad Zacatenco del Instituto Politécnico Nacional, desarrollaron este proyecto que nos permite estandarizar los procedimientos en la generación de códigos en Matlab, mismos que se pueden reutilizar, y son fáciles de exportar a otros lenguajes de programación como lo es el lenguaje C, Basic, o bien Fortran, y que incluso son fáciles de interpretar y realizar. En este proyecto se desarrollaron diversas herramientas que podrán ser utilizadas en el curso de Métodos Numéricos y aplicadas a otras materias de Hidráulica, así como también en el desarrollo de otros proyectos de investigación y en el desarrollo de tesis de grado. A través de este proyecto se llevo a cabo en el ambiente del programa Matlab, el desarrollo de diferentes códigos, para la solución de problemas de metodología numérica, según el tipo de problema sobre hidráulica que se preta analizar y resolver. De igual manera se desarrolló un Manual de Usuario, que contiene un breviario del objetivo principal de cada codigo, así como su pseudocódigo y algoritmo que nos explican la actividad paso a paso que desarrolla cada programa. INTRODUCCION Los métodos numéricos son fundamentales para el desarrollo de la programación numérica de problemas en el campo de la hidráulica y en general en todo el ámbito de la ingeniería. Los objetivos planteados inicialmente en el proyecto son: a) Desarrollar una serie de códigos en Matlab, que permitieran resolver problemas en el campo de la hidráulica. b) Estandarizar los procedimientos utilizados en el desarrollo de dichos códigos. c) Evaluar los resultados generados de la estandarización de los códigos a través de los menús creados, dadas las rutinas y subrutinas. d) Desarrollar notas para el curso de Métodos numéricos y notas previas para el desarrollo de un libro. Es por eso, que a través del desarrollo de éstos códigos de análisis númerico, se realizaron varios procedimientos estandarizados, para que los alumnos que cursen materias, en las cuales tengan la necesidad de desarrollar alguno de los programas que contenga la guía de este trabajo, ahorre tiempo en la codificación del programa, ya que solo trá que delimitar su problema y agregar los datos en la ventana de inicio del programa Matlab o bien a un fichero, y éste correrá sus datos en el algoritmo que se le designe. Con el desarrollo de este proyecto se generó un paquete de códigos, de los cuales nos podremos auxiliar en la resolución de problemas hidráulicos, así como una guía práctica que nos permite conocer la utilidad de cada uno de los métodos desarrollados, su funcionamiento, su pseudocódigo (lista de acciones del programa),

5 su algoritmo (secuencia lógica y matemática de los pasos que ejecuta el programa), así como la codificación detallada de cada uno de éstos. Por lo antes expuesto se puede considerar, que el proyecto es de gran importancia púes sus resultados pueden utilizarse de una amplia forma, dentro del medio educativo, y de investigación, dentro del desarrollo de otros proyectos relacionados con la Hidráulica, cuyo campo acción es muy grande. METODOS Y MATERIALES Para el alcance de los objetivos planteados, fue necesario recrear en Matlab todos y cada uno de los componentes del análisis numérico, para así a partir de ellos delimitar cada uno de los elementos que se debían de analizar y desarrollar para generar los nuevos códigos en todos los temas de los Métodos Numéricos que nos permitieran su aplicación para resolver problemas en el campo hidráulico, para diferentes condiciones y situaciones que se representaron, en dichos programas, lo cual también integran los resultados de este proyecto. Lo antes expuesto se describe detalladamente en los diez capítulos que se presentan después de la presentación del IMPACTO del presente proyecto. De igual manera de cada sección se generó un menú que permitió realizar la evaluación de los resultados generados, de manera rápida y concisa, demostrando la efectividad de las metodologías empleadas. AMBIENTE MATLAB. Para llevar a cabo la aplicación de dicha metodología fue necesario, realizar un estudio del comportamiento de los componentes que utilizaríamos en matlab, para desarrollar el estudio de los scrips o códigos. MATLAB es un programa para realizar cálculos numéricos con vectores y mátrices. Como caso particular puede también trabajar con números escalares, tanto reales como complejos. Una de las capacidades más atractivas es la de realizar una amplia variedad de gráficos en dos y tres dimensiones. MATLAB tiene también un lenguaje de programación propio. 1 Es un gran programa para cálculo técnico y científico. Para ciertas operaciones es muy rápido, cuando puede ejecutar sus funciones en código nativo con los tamaños más adecuados para aprovechar sus capacidades de vectorización. En otras aplicaciones resulta bastante más lento que el código equivalente desarrollado en C, C++ o Fortran. Sin embargo, siempre es una magnífica herramienta de alto nivel para desarrollar aplicaciones técnicas, fácil de utilizar y que aumenta la productividad de los programadores respecto a otros entornos de desarrollo.

6 IMPACTO Por lo antes expuesto se puede concluir, que el proyecto tiene un gran impacto pues sus resultados pueden utilizarse de una amplia forma, dentro del medio educativo, y de investigación, dentro del desarrollo de otros proyectos relacionados con la Hidráulica, cuyo campo acción es muy grande. Lo anterior se entie al considerar que a través de este proyecto se desarrollaron diversas herramientas que podrán ser utilizadas en el curso de Métodos Numéricos y aplicadas a otras materias de la Maestría en ciencias en Hidráulica, así como también en el desarrollo de otros proyectos de investigación y además en el desarrollo de tesis de grado. I. Estudio del sistema interactivo MATLAB I.1. Acceso a MATLAB. Después de entrar a la mayoría de los sistemas, para acceder a MATLAB basta utilizar la instrucción matlab y para salir, la instrucción exit o quit. Por ejemplo si estamos en una PC, salvo que tengamos el programa en un directorio aparte, basta con escribir C> matlab Podemos salir de él con la instrucción: >> quit. En sistemas que permiten procesos múltiples, como el UNIX, será conveniente tener activos a la vez MATLAB y el editor local. Si se trabaja en una estación de trabajo con ventanas múltiples será deseable tener activos MATLAB en una ventana y el editor en otra. Los detalles de la instalación local se pueden obtener del centro de cálculo correspondiente, o consultando al instructor. I.. Introducción de matrices. MATLAB trabaja esencialmente con un solo tipo de objetos: una matriz numérica rectangular con entradas posiblemente complejas; todas las variables representan matrices. A veces, las matrices 1_1 se consideran escalares, y las matrices con una sola fila o columna se consideran como vectores. Hay varias formas diferentes para introducir una matriz en MATLAB. A saber: _ Introducio una lista explícita de elementos, _ Generándola mediante funciones y declaraciones, _ Creándola en un archivo.m, _ Cargándola de un archivo de datos externo.

7 Por ejemplo, cualquiera de las declaraciones A = [1 3; 4 5 6; 7 8 9] y A = [ ] crea la matriz 3 _ 3 que se espera y la asigna a una variable A. Los elementos en una fila de una matriz pueden separarse tanto por comas como por espacios en blanco. Cuando alguno de los números se escribe en forma exponencial (por ejemplo.34e-9), deben evitarse los espacios en blanco. La escritura de una matriz grande debe hacerse preferentemente en un archivo.m, donde es más sencillo corregir errores. Las entradas individuales de una matriz o de un vector se pueden obtener ponio los índices entre paréntesis de la forma usual. Por ejemplo, A(; 3) denota la entrada en la segunda _la y tercera columna de la matriz A y x(3) denota la tercera coordenada del vector x. Solo se pueden usar como índices de vectores y de matrices enteros positivos. I.3. Operaciones con matrices, operaciones a coordenadas. Disponemos en MATLAB de las siguientes operaciones con matrices: + adición _ sustracción * multiplicación ^ potenciación traspuesta \ división izquierda / división derecha Estas operaciones para matrices se aplican también a escalares (matrices 1_1). Si los tamaños de las matrices son incompatibles para la operación matricial se obtiene un mensaje de error, exceptuando el caso en que uno de los operandos sea un escalar y el otro una matriz (para la adición, sustracción, división y multiplicación). En esta situación se opera el escalar con cada término de la matriz. I.4. Declaraciones, expresiones y variables; almacenamiento de una sesión. MATLAB es un lenguaje de expresiones; las expresiones que se escriben son interpretadas y evaluadas. Las instrucciones de MATLAB son, normalmente, de la forma : variable = expresión, o simplemente expresión. Las expresiones se componen, usualmente, a partir de operadores, funciones y nombres de variables. La evaluación de una expresión produce una matriz, que se muestra en pantalla, y se

8 asigna a la variable para su posterior uso. Si se omiten la variable y el signo =, se crea una variable llamada ans (por answer) a la que se asigna el resultado de la expresión. La instrucción who muestra las variables que se encuentran en el espacio de trabajo. Para eliminar una variable de la memoria se utiliza la instrucción clear nombre variable. Si se escribe sólo clear se borran todas las variables no permanentes. Almacenamiento de sesiones. Cuando salimos de MATLAB se pierden todas las variables. Para evitarlo se puede utilizar la instrucción save antes de salir. Esto hace que las variables se almacenen en el archivo de disco matlab.mat. Al acceder de nuevo a MATLAB, se pueden recuperar todas las variables con la instrucción load. I.5. Funciones para la construcción de matrices. Las siguientes funciones están disponibles en MATLAB: eye zeros ones triu tril rand hilb magic matriz identidad matriz de ceros matriz de unos parte triangular superior de una matriz parte triangular inferior de una matriz matriz generada aleatoriamente matriz de Hilbert matriz mágica Por ejemplo, zeros(m,n) produce una matriz nula m _ n, y zeros(n) produce otra cuadrada de orden n; si A es una matriz, entonces zeros(a) produce una matriz de ceros del mismo orden que A. Si x es un vector, diag(x) es la matriz diagonal con x en su diagonal; si A es una matriz cuadrada, diag(a) es un vector formado por la diagonal de A. I.6. For, while, if - y relaciones. Básicamente, las instrucciones para el control de flujo de MATLAB, operan como en la mayoría de los lenguajes usuales. for. Por ejemplo, las instrucciones x = []; for i = 1:n, x=[x,i ^ ], o x = []; for i = 1:n x = [x,i b ]

9 darán como resultado un cierto vector mientras que x = []; for i = n:-1:1, x=[x,i ^ b ], dará el mismo vector en orden inverso, producirán e imprimirán en pantalla la matriz de Hilbert m _ n. El punto y coma de la instrucción interior suprime la impresión no deseada de los resultados intermedios mientras que el último H muestra el resultado final. while. La forma general de un bucle while es while relación instrucciones Las instrucciones se repetirán mientras la relación sea cierta. Por ejemplo, dado un número a, las instrucciones siguientes calculan y muestran el menor entero no negativo n tal que n a. if. La forma general de un bucle if simple es if relación instrucciones Las instrucciones se ejecutarán sólo si la relación es cierta. Relaciones. Los operadores relacionales en MATLAB son < menor que > mayor que <= menor o igual que >= mayor o igual que == igual _= no igual. I.7. Funciones escalares. Algunas funciones de MATLAB operan esencialmente sobre escalares, aunque lo hacen también sobre matrices (elemento a elemento). Las funciones más comunes entre estas son: sin asin exp abs round cos acos log (natural) sqrt oor tan atan rem (resto) sign ceil I.8. Funciones vectoriales. Otras funciones de MATLAB operan fundamentalmente sobre vectores (fila o columna), aunque también pueden operar sobre matrices m _ n (m _ ) haciéndolo en este caso columna a columna, producio, por tanto, un vector _la que contiene el resultado de su aplicación a cada columna. Para conseguir que actúen por _las basta usar la transpuesta;

10 por ejemplo, mean(a')'. Veamos algunas de estas funciones: max sum median any min prod mean all sort std Por ejemplo, la entrada máxima de un matriz A se obtiene con max(max(a)) en vez de max(a). Inténtelo. I.9. Funciones matriciales. Las funciones matriciales más útiles de MATLAB son las siguientes: chol factorización de Cholesky svd descomposición en valores singulares inv inversa lu factorización LU qr factorización QR hess forma de Hessenberg schur descomposición de Schur rref forma escalonada reducida por filas expm matriz exponencial sqrtm matriz raíz cuadrada poly polinomio característico det determinante size tamaño norm norma 1, norma, norma de Frobenius, norma 1 cond número de condición en la norma rank rango I.10. Comandos de edición de línea y rellamada. Es fácil editar la línea de comandos en MATLAB. El cursor se posiciona con las echas izquierda/derecha mientras que para borrar caracteres pueden usarse las teclas Retroceso o Suprime. También son accesibles otras posibilidades de edición. En un PC pruebe con las teclas Inicio, Fin, y Suprime; en otros sistemas ver help cedit o type cedit. Una posibilidad muy útil es usar las echas arriba/abajo para recuperar los comandos previos. Se puede, por tanto, recuperar una línea de comandos previa, editarla, y ejecutarla revisada. Para pequeñas rutinas, esto es más conveniente que usar un archivo.m lo que requiere moverse entre MATLAB y el editor. Por ejemplo, el número de operaciones para el cálculo de la inversa de matrices de varios tamaños podrá ser comparado recuperando, editando y ejecutando repetidamente: a = rand(8); flops(0), inv(a); flops

11 Si se desea comparar las gráficas de las funciones y = senmx y y = cosnx en el intervalo [0; π] para varios m y n, se podrá hacer lo mismo con la línea de comandos: m=; n=3; x=0:.01:*pi; y=sin(m*x); z=cos(n*x); plot(x,y,x,z) I.11. Archivos.m. MATLAB puede ejecutar una sucesión de instrucciones almacenadas en archivos de disco. Estos archivos se denominan \archivos.m", debido a que su sufijo debe ser \m". Gran parte del trabajo con MATLAB será el de crear y refinar archivos.m. Hay dos tipos de archivos.m: archivos de instrucciones y archivos de funciones. Archivos de instrucciones. Los archivos de instrucciones son utilizados a menudo para introducir datos en una matriz grande. En un archivo de este tipo es bastante sencillo corregir los errores sin tener que repetir todo el trabajo. Si, por ejemplo, se escribe en el archivo datos.m Archivos de funciones. Los archivos de funciones hacen que MATLAB tenga capacidad de crecimiento. Se pueden crear funciones específicas para un problema concreto, y, a partir de su introducción, trán el mismo rango que las demás funciones del sistema. Las variables en las funciones son locales. Veremos, en primer lugar, un ejemplo sencillo de archivo de función: function a = ental(m,n) %ENTAL Matriz entera generada aleatoriamente. % ental(m,n) produce una matriz mxn con entradas % enteras entre 0 y 9 a = floor(10*rand(m,n)); I.1. Cadenas de texto, mensajes de error, input. Las cadenas de texto se introducen en MATLAB entre comillas simples. Por ejemplo, s = 'Esto es una prueba' asigna la cadena de texto dada a la variable s. Las cadenas de texto pueden mostrarse con la función disp. Por ejemplo: disp('este mensaje se está mostrando aquí') Los mensajes de error se muestran mejor con la función error ; error('lo siento, la matriz debe ser simétrica') ya que esta hace que la ejecución salga del archivo.m.

12 I.13. Formato de salida. Aunque todos los cálculos en MATLAB se efectúan en doble precisión, el formato de la salida en pantalla puede ser controlado con las siguientes instrucciones. format short coma fija con 4 decimales (el defecto) format long coma fija con 14 decimales format short e notaci_on cient ca con 4 decimales format long e notaci_on cient ca con 15 decimales Una vez que se ordena un formato, se mantiene hasta que se ordena un cambio. La orden format compact evitará la mayor parte de las líneas en blanco, con lo que se puede mostrar más información en pantalla. Es indepiente de las demás instrucciones de formato. I.14. Hardcopy. La forma más sencilla de obtener una hardcopy1 es con la instrucción diary. La orden diary nombre de archivo hace que todo lo que aparezca a continuación en pantalla (excepto los gráficos) sea escrito en el archivo nombre de archivo (si se omite el nombre se toma por defecto diary) hasta que se ordena diary off; la instrucción diary on hará que se escriba al final del archivo,etc. Al terminar, se puede editar el archivo como se desee e imprimirlo en el sistema local. Todo se puede hacer sin salir de MATLAB usando el signo!. I.15. Gráficos. MATLAB puede producir gráficos planos y gráficos de malla de superficies tridimensionales. Para ver algunas de sus posibilidades escriba plotdemo. Gráficos planos. La instrucción plot crea gráficos en el plano XY; si x e y son vectores de la misma longitud, la orden plot(x,y) accede a la pantalla gráfica y realiza un gráfico plano de los elementos de x contra los elementos de y. Por ejemplo, podemos dibujarla gráfica de la función seno sobre el intervalo [-4; 4] con las instrucciones siguientes: x = -4:.01:4; y = sin(x); plot(x,y) El vector x es una partición del dominio con paso 0.01 mientras que y es un vector (sin es vectorial) con los valores que toma el seno en los nodos de esta partición. Para volver a la pantalla alfanumérica desde la gráfica, se pulsa cualquier tecla. Por el contrario, para acceder a la pantalla gráfica, se usa la orden shg (show graph). Si su máquina soporta ventanas múltiples con una ventana gráfica aparte, puede desear mantener la ventana expuesta aunque a un lado y la ventana alfanumérica activa. Pueden ponerse títulos, comentarios en los ejes o en cualquier otra parte con los siguientes comandos que tienen una cadena como argumento:

13 title t tulo del gr_a_co xlabel comentario en el eje x ylabel comentario en el eje y gtext texto posicionado interactivamente text texto posicionado mediante coordenadas

14 II. Modelos matemáticos en hidráulica, análisis de aproximaciones y errores en los problemas. II.1. Ecuación de Navier-Stokes Considerando la partícula elemental de masa m constante, representada en la figura 4.6 y sujeta a las fuerzas de superficie y a la fuerza de cuerpo en un campo gravitacional la ecuación 4.1 aplicada en la dirección x, resulta F du = ma = = ( ρdxdydz) a = σ dydz + dt x x x x σ σ + τ x dx dydz + τ yx + x y yx dy dxdz τzx τyxdxdz + τ + zx dz dydx τzx z dydx + ρg dxdydz x.1 simplificando se tiene que: ρa x σ τ x yx τ zx = ρg x.a x y z similarmente, para las direcciones y y z, resulta que ρa ρa y z σ y τ xy τ zy = ρg y y x z.b σ τ τ z xz yz = ρgz z x y.c nombrándose a éstas, Ecuaciones Generales de Movimiento, aplicadas a cualquier fluido dentro de un campo gravitacional. Sí el fluido es de tipo newtoniano se sustituyen las ecuaciones 4.40 y 4.45 en las ecuaciones.. Además de considerar que el esfuerzo normal σ es igual a - p, según la ecuación 3.48, la ecuación.a resulta ser igual a

15 ρa x p ρ µ u = gx + µ x x x 3 ( q ) µ v + y x + u + u µ u w +.3 z z x qué es válida para un fluido newtoniano de densidad y viscosidad variables en un campo gravitacional. Como µ es una función de la temperatura y muy ligeramente de la presión, por tanto, si se considera que los cambios de la temperatura y de presión no influyen en µ, ésta entonces es constante, por lo que la ecuación.3 se transforma en ρ ax p ρ µ u = g x + x x x 3 ( q ) µ v + y x + u + u µ u w +.4 z z x qué después de desarrollar y simplificar, y hacio lo mismo para las direcciones y y z, se obtiene ρ ax ρ µ p u u u µ = g x + x + + x y z + 3 x ( ) q.5a ρa ρa ρ µ p v v v µ = g + y + + x y z + 3 x y y z z z ρ µ p w w w µ = g + z + + x y z + 3 z z z z z ( ) ( ) q.5b q.5c Estas ecuaciones son llamadas Ecuaciones de Navier-Stokes o ecuaciones diferenciales de la conservación de la cantidad de movimiento lineal, aplicadas a fluidos newtonianos de viscosidad constante, de densidad variable en un campo gravitacional y para un flujo no permanente. Estas ecuaciones presentadas en notación vectorial y usando las ecuaciones 3.7 y 3.9 se transforman en ρ ρ q µ a = + ρ = ρ + µ + t 3 ( q ) q g p q ( q).6 Para fluidos donde la densidad permanece constante, la ecuación de continuidad es = q 0, por tanto la ecuación.6 se reduce a

16 ( ) ρ ρ ρ µ q q q g q t p + = +.7 Generalizando la posición de una partícula referida a un sistema de coordenadas cartesiano y situada a una altura h(x yz,, ) sobre un plano horizontal de referencia, como el que se observa en la figura 4.7, el valor de h x / significa el incremento de la elevación h en la dirección x ; si esta variación es constante, entonces será igual al sen. Para un valor positivo de h x /, la componente del peso en la dirección x, será negativa, pues la componente de la aceleración de la gravedad en la dirección x es g x e igual a - g h x /. De forma semejante, para las direcciones y y z las componentes de la aceleración de la gravedad serán respectivamente; g g h y y g g h z y = = / /, o bien g = g h que pueden ser sustituidas en las ecuaciones anteriores. Por ejemplo, para el caso de la ecuación.7 y sus componentes resultan ser ( ) a q q q q = + = + ρ µ ρ t g h p 1.8 ρ µ ρ u t u u x v u y w u z g h x p x u x u y u z = a ρ µ ρ v t u v x v v y w v z g h y p y v x v y v z = b ρ µ ρ w t u w x v w y w w z g h z p z w x w y w z = c Debe observarse que ax ay az,, y fueron reemplazadas por los valores expresados en las ecuaciones 3.9. Las ecuaciones.8 y.9 son también de Navier - Stokes en un sistema de coordenadas cartesiano para un fluido newtoniano de viscosidad y densidad constante (incompresible). Las ecuaciones.9 en coordenadas cilíndricas se expresa de la siguiente manera: Para la dirección r θ ρ θ θ v t v v r v r v v r v v z g h r p r r r r r z z = + 1

17 µ 1 θ ( ) ρ r r r rv 1 vr v v r r + + r θ r θ z.10a Para la dirección θ v θ v θ v θ v θ vrv θ v θ h 1 p + vr vz = g + t r r θ r z θ ρ r θ µ 1 ( θ ) ρ r r r rv 1 v v v r θ r θ z θ θ θ.10b Para la dirección z v z t vz vθ vz vz h 1 p + vr + + vz = g + r r θ z z ρ z µ 1 1 ρ r r r v z vz v + z + r r θ z z.10c Todas estas ecuaciones son diferenciales parciales no lineales, que en muchos de los casos es imposible obtener soluciones generales; por ello es que en algunos problemas de ingeniería es necesario efectuar simplificaciones razonables que dan soluciones aproximadas con fines de diseño, como se verá en incisos posteriores; sin embargo, para otros problemas de flujo se pueden generar soluciones exactas, como es el caso de flujo entre placas paralelas y tuberías de diámetro constante y flujos permanentes y plenamente desarrollados.

18 III. RESOLUCION DE ECUACIONES NO LINEALES III.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA En hidráulica un problema frecuente es encontrar las raíces de ecuaciones algebraicas y trascentales de la forma f(x) = 0 o x = g(x), donde f(x) es una función real de una variable x. Se le llaman raíces de la ecuación a los valores de x que hacen f(x) = 0 Ejemplo de estas ecuaciones son: a). Tirante normal (ecuación algebraica no lineal) nq 3 A hrh = So Donde: y n = Tirante normal, en m A h = Área hidráulica, en m = (B+t y n ) y n P m = Perímetro mojado, en m = Pm = B + yn 1 t R h = Radio hidráulico, en m = A h /P m Q = Gasto medio, en m 3 /s B = Ancho de plantilla, en m t = Talud del canal, adimensional n = Coeficiente de rugosidad de Manning S o = Piente longitudinal del canal. b). Longitud de la onda en aguas intermedias (ecuación trascental), en la teoría lineal de la ola progresiva (pequeña amplitud) gt π d L = tanh π L Donde: L = Longitud de la ola, distancia horizontal medida entre dos crestas o valles consecutivos, en metros T = Periodo de la ola, tiempo que tarda en pasas por un punto fijo dos crestas o dos valles consecutivos, en segundos g = Aceleración local de la gravedad = 9.81 m/s π = d = Profundidad del cuerpo de agua, en metros. c). Factor de fricción para tubos comerciales, en la región entre tubos lisos y la zona de turbulencia completa, desarrollada por Colebrook y que es la base para el diagrama de Moody. ε 1 = D ln + f 3.7 R f Donde: f = Coeficiente de fricción

19 ε = Rugosidad relativa del tubo D = Diámetro de la tubería, en m R = Numero de Reynolds III.. METODOS DE SOLUCION III..1. Método del punto fijo. a. Introducción Resuelve la ecuación x=g(x), bajo determinadas condiciones para la función g, mediante el método iterativo que parte de un valor inicial p 0 (aproximación a la solución) y que se define como p k+1 = g(p k ). El teorema del punto fijo asegura que esta sucesión así definida converge hacia una solución de la ecuación y = g(x). En la práctica el proceso iterativo hay que detenerlo cuando el error absoluto o relativo correspondiente a dos iteraciones consecutivas es inferior a una cota prefijada (tolerancia). b. Algoritmo Entrada: f_nombre = Nombre de la funcion que define la ecuacion p0 = Punto de partida, cercano a la solucion Salida: it = Número de iteraciones realizadas punto = Aproximación al punto fijo ErrorAbs = Diferencia entre dos valores consecutivos Puntos' = Sucesion de puntos {pn} Pasos computacionales: *condiciones iniciales; Sean tolerancia= it_ limite=500 (limite de iteraciones) Inicia la iteración declarando puntos(1) = p0. Para límite de iteraciones igual a hasta el límite de iteraciones *evaluación de funciones; Puntos(it) f(puntos(it-1)) Por lo que el: error absoluto = valor absoluto de (Puntos(it)) menos(puntos(it-1)); error relativo = error absoluto entre el valor absoluto de Puntos(it) más épsilon. Punto = Puntos(it). Sí. El error absoluto es menor que la tolerancia ó el error relativo es menor que la tolerancia en tonces Termina, Finaliza Finaliza Sí la iteración es identica a el límite de iteraciones, entonces Indica que se excedió el número máximo de iteraciones y Termina Denota que Puntos=Puntos';

20 c. Código en Matlab %Metodo del punto fijo %Objetivo: Resuelve ecuaciones no lineales del tipo x=g(x) %Sintaxis: %function [it,punto,errorabs,puntos] = puntofijo(f_nombre,p0) %function [punto] = puntofijo(f_nombre,p0) %Entrada: % - f_nombre = Nombre de la funcion que define la ecuacion a % resolver introducida como una cadena de caracteres 'g1'. % - p0 = Punto de partida, cercano a la solucion % Salida: % - it = Número de iteraciones realizadas % - punto = Aproximación al punto fijo % - ErrorAbs = Diferencia entre dos valores consecutivos % - Puntos' = Sucesion de puntos {pn} %Parametros de control Tolerancia= ; %Tolerancia it_limite=5000; %Número máximo de iteraciones %Inicia Iteración Puntos(1)= p0; for it=:it_limite Puntos(it)=feval(f_nombre,Puntos(it-1)); ErrorAbs=abs(Puntos(it)-Puntos(it-1)); ErrorRel=ErrorAbs/(abs(Puntos(it))+eps); punto=puntos(it); if (ErrorAbs<Tolerancia) (ErrorRel<Tolerancia),break; if it == it_limite disp('excedido el número máximo de iteraciones') Puntos=Puntos'; III... Método de bisección de Bolzano a. Introducción El método de bisección es el más sencillo posible. Dada una función f real y continua en el intervalo compacto I0 = [a; b] y que toma valores de signos contrario en a y b, esto es f(a) f(b) < 0, el teorema de Bolzano asegura que f se anula en algún punto interior de I0.

21 El método de bisección calcula f(c) donde c = (a+b)/ es el punto medio del intervalo. Si f (c) = 0, hemos acabado, pero si no es así tiene el mismo signo que f(a) o f(b), es decir, en uno de los dos intervalos [a; c] o [c; b] la función toma valores de signo contrario en los extremos y por lo tanto contiene una raíz. Llamando ahora I1 a dicho intervalo estamos en la situación anterior pero con I1 en lugar de I0, la ventaja es que la longitud de I1 es la mitad de la I0. Repetimos el procedimiento de evaluar f en el punto intermedio de I1 y quedarnos con la mitad I donde haya un cambio de signo en los valores de los extremos. Continuando este proceso obtenemos una sucesión de intervalos encajados In de longitud (b-a)/ n que contienen una raíz de f. Teorema 1 [Teorema de Bolzano] Si f es una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y f (a) f (b) < 0, existe un punto ε (a, b) en el cual f () = 0. b. Algoritmo Se quiere resolver la ecuación f (x) = 0. Entrada: X a, X c, f unción. Salida: Yb (solución aproximada o mensaje de fracaso) Pasos computacionales: *condiciones iniciales; Sean tolerancia= it_ limite=300 (limite de iteraciones) it = 0. *evaluación de funciones; Ya f(xa) Yc f(xc) Sí (Ya*Yc > 0), comprueba si Xb es una mejor aproximación de la raíz que Xa. Termina. Indica que : f(a) f(c) < 0, Cambia a o b y ejecuta otra vez. Sí no continúa aplicando criterio de convergencia. Mientras se incrementa la iteración it = it + 1. Aplica el método de bisección para encontrar el punto medio. Evalúa: Xb = (Xa-Xc) / Yb f (Xb) Criterios de parada, detenemos la iteración si sucede al menos alguna de éstas posibilidades: Si (abs(xc-xa)) <= tolerancia, tolerancia satisfecha. Termina.

22 c. Código en Matlab Sí (it>it_limite), indica se excedió el límite de iteraciones. Termina. Sí (Ya*Yb<=0) Xc = Xb y Yc = Yb Sí no Xa = Xb y Ya = Yb Termina. % METODO DE BISECCION. % bisección(función, a,c) % Datos % - función : Definicion de la ecuación a resolver. % - Xa, Xc : Extremos del intervalo inicial. % Salida % - tolerancia : Tolerancia. % - it_limite : Limite del numero de iteraciones. % - Ya, Yc : Valores "y" de los extremos actuales. function [Xb] = biseccion(funcion,xa,xc) tolerancia = ; it_limite = 300; it = 0; %Evaluar las funciones Ya = feval(funcion, Xa ); Yc = feval(funcion, Xc ); if ( Ya*Yc > 0 ) %Checa que f(a)f(c) < 0, funcion cambia de signo en el intervalo fprintf( '\n Detenido porque f(a)f(c) > 0 \n' ); fprintf( '\n Cambiar a o b y ejecutar otra vez.\n' ); break; else while 1 it = it + 1; %Se determina la aproximacion a la raiz y evalua la funcion Xb = (Xa + Xc)/; Yb = feval(funcion, Xb ); %Checa que no se exceda la tolerancia if ( abs(xc-xa)<=tolerancia ) fprintf( ' Tolerancia satisfecha. \n' );break

23 %Checa que no se excedan las iteraciones if ( it>it_limite ) fprintf( ' Excedido el limite de iteraciones.\n' ); break %Se redefinen los valores if( Ya*Yb <= 0 ) Xc = Xb; Yc = Yb; else Xa = Xb; Ya = Yb; III..3. Método de la regla falsa o de la falsa posición a. Introducción En el método de la falsa posición se presenta una alternativa basada en una visualización gráfica que consiste en unir f (X1) y f (Xn) con una línea recta. La intersección de ésta línea con el eje de las X representa una mejor estimación de la raíz. El hecho de que se reemplace una línea curva por una línea recta da una posición falsa de la raíz; de aquí el nombre del método de la falsa posición, o en latín, regula falsi. También se le conoce como el método de la interpolación lineal. Usando triángulos semejantes, la intersección de la línea recta con el eje de las x puede ser estimado como: f (Xl) f (Xu) = Xr Xl Xr - Xu El cual puede resolverse por; f (Xu) (Xl Xu) Xr = Xu f (Xl) -- f (Xu) El valor de Xl, calculado con la ecuación anterior reemplaza uno de los dos valores iniciales Xl o Xu, que produzca un valor de la función. b. Algoritmo Entrada: a, c, f unción. Salida: c, err, yc = f(c). Pasos: *condiciones iniciales; Sean delta = tolerancia para el cero =

24 *evaluación de funciones; Ya f(xa) Yb f(xb) epsilón = tolerancia para la función = max1 = numero máximo de iteraciones =300 Sí (Ya*Yb > 0), comprueba si Xb es una mejor aproximación de la raíz que Xa. Indicar que : f(a)*f(b) > 0, Termina. Para k =1 hasta max1 Aplica el método de falsa posición. Calculando dx = yb * (b-a) / (yb-ya); Calculando c = b - dx; Calculando ac = c a; Evalúa: yc f (c) Sí yc ==0, Termina Sí no itera Sí yb*yc>0, Entonces b = c; yb = yc; Sí no a = c; ya = yc; Termina Calcula el valor mínimo de dx; dx =min(abs(dx),ac); Criterios de parada, detenemos la iteración si sucede al menos alguna de éstas posibilidades: Si (abs(dx)) <delta, Termina. Si (abs(yc)) <epsilon, Termina. Finaliza. Damos salida al valor de c calculado, Damos salida al cálculo de el error err = abs (b a) / ; Evalúamos: yc f (c). c. Código en Matlab function [c]=regula(funcion,a,b) % Datos % - f es la función, introducida como una cadena de caracteres 'f' % - a y b son el extremo izquierdo y el extremo derecho % - delta es la tolerancia para el cero % - epsilón es la tolerancia para el valor de f en el cero % - max1 es el numero máximo de iteraciones

25 % Resultados % - c es el cero % - yc=f(c) % - err es el error estimado de la aproximación a c delta = ; epsilon = ; max1=300; ya=feval(funcion,a); yb=feval(funcion,b); if ya*yb>0 disp('nota: f(a)*f(b) >0'), break, for k=1:max1 dx=yb*(b-a)/(yb-ya); c=b-dx; ac=c-a; yc=feval(funcion,c); if yc==0,break; elseif yb*yc>0 b=c; yb=yc; else a=c; ya=yc; dx=min(abs(dx),ac); if abs(dx)<delta,break, if abs(yc)<epsilon, break, c; err=abs(b-a)/; yc=feval(funcion,c); III..4. Método de Newton-Raphson a. Introducción Este método consiste en un procedimiento iterativo para calcular valores aproximados de una raiz o un cero de la ecuación f (x) = 0, partio de un punto conocido y cercano a la raíz buscada. Sea r una raiz de f (x) = 0 situada en el intervalo (a, b) y supóngase que f (x) existe en (a, b). La recta tangente a la curva en el punto P(a, f(a)) de abscisa a (valor que se toma como la aproximación inicial de r) viene dada por:

26 y f(a) = f (a)(x-a) (punto piente) Para determinar el punto de intersección de esta recta con el eje x, que se llamará a 1 y que se considera como la siguiente aproximación de r, se hace y = 0 en (1), de lo cual se obtiene: f(a) a1 = a ; f (a) o f (a) En muchas ocasiones a 1 es una aproximación a r mejor que a; en tales casos se repite de nuevo el procedimiento reemplazando el punto a por a 1. La recta tangente a la curva en el punto P 1 (a 1, f(a 1 )) y de piente f (a 1 ) viene dada por: y f(a1) = f (a1)(x-a1) El intercepto de esta recta con el eje x, que se llamará a y que se considera la siguiente aproximación de r, se obtiene al hacer y = 0 en la ecuación (), y asi se obtiene: f(a1) a = a ; f (a1) o f (a1) El procedimiento se continúa de esta manera utilizando la siguiente fórmula de recurrencia: f(an) an+1 = an ; f (an) o f (an) Son muchos los casos en los cuales la fórmula anterior proporciona una sucesión de valores a n, que progresivamente se van acercando a la raíz exacta. Resuelve la ecuación f(x)=0, bajo determinadas condiciones exigidas a f, mediante la iteración = f ( xk 1 ) p k pk 1 para un valor inicial dado de p f '( xk 1 ) 0 lo suficientemente próximo a una solución. b. Algoritmo Entrada: X 0 (aproximación inicial), f unción. Salida: Xb Pasos:

27 c. Código en Matlab *condiciones iniciales; Sean X = Xo (punto inicial) Xb = X 999, del_x = 0.01 n = 0. Mientras el valor absoluto de (x-xb) sea mayor que n=n+1; Xb = X Sí el valor de n es mayor que 300, Termina, Finaliza *evaluación de funciones; Y f(x) por lo que y_driv = f(x+del_x) y / del_x ; x = Xb y / y_driv; Termina. %Newt_n(f_name, x0) Encuentra una ruta de una función mediante Iteración %de Newton % f_name: es el nombre de la función que define la ecuación a resolver. % x0: aproximación inicial. function x = Newton(función, x0) x = x0; xb=x-999; n=0; del_x = 0.01; while abs(x-xb) > n=n+1; xb=x; if n > 300 break; y=feval(funcion, x); y_driv=(feval(funcion, x+del_x) - y)/del_x; x = xb - y/y_driv; III..5. Método de la Secante a. Introducción En el método de la secante en lugar de obtener una sucesión de intervalos, se calcula una sucesión de números que aproximan el cero de la función. Partio de dos aproximaciones x0; x1 a la raíz que buscamos, se construye la recta secante que pasa por los puntos (x0; f(x0)); (x1; f(x1)) y calcula su corte con el eje OX que se

28 le llama x y se calcula f(x). Después el proceso se repite con x1 y x para calcular x3 y sucesivamente x4; x5. La expresión que generaliza el método de la secante es la siguiente: f(xn)(xn - xn-1) xn+1 = xn ; n = 1,,. f(xn) - f(xn-1) La aplicación sucesiva de la iteración anterior no es siempre posible, puede ocurrir que algún punto xn no estuviera en el dominio de f o que el denominador sea casi cero, en cuyo caso la secante es horizontal y, salvo que xn fuese ya un cero de f, no corta al eje de las abscisas. f ( pk )( pk pk 1 ) p k + 1 = pk f ( p ) f ( p ) k k 1 b. Algoritmo Se prete obtener la raíz de la ecuación f (x) = 0 dados los valores de po y p1, próximos a la raíz. El algoritmo construye una sucesión de aproximaciones p0, p1, p.. pn.. Entrada: po, p1, f unción. Salida: y (función evaluada en p1), p1 (valor de la aproximación a cero calculado por el método de la secante), err, k. Pasos: *condiciones iniciales; Sean delta = tolerancia para p1 = epsilón =tolerancia para los valores de la función= = max 1 = numero máximo de iteraciones =300 Para k =1 hasta max 1 (300) Aplica el método de la secante. *evaluación de funciones; para p f(p1) para p f(p0) aplicar estas evaluación en la siguiente fórmula; p1- f(p1) * ( p1- p0) Calculando la aproximación p = f(p1)- f(p0) Calculando el error err = abs(p - p1) Evaluando el error en función de la tolerancia y de p; Entonces declaramos que: relerr = *err / abs(p) + delta); p0 = p1 p1 = p; y

29 por lo tanto Evalúa: y f (p1) Sí el error es menor que la tolerancia para p1 ó sí el error en función de la tolerancia p es menor que la tolerancia para p1 ó sí el valor absoluto de y es menor que la tolerancia para los valores de la función, Entonces, Termina Finaliza. c. Código en Matlab function [p1]=secante(función, p0, p1) %Datos % - f es la función, introducida como una cadena de caracteres 'f' % - p0 y p1 son las aproximaciones iniciales a un cero de la función % - delta es la tolerancia para p1 % - epsilon es la tolerancia para los valores de la función % - max1 es el numero máximo de iteraciones % Resultados % - p1 es la aproximación al cero, % obtenida con el método de la secante % - err es una estimación del error de p1 % - k es el numero de iteraciones realizadas % - y es el valor de la función f(p1) delta = ; epsilon = ; max1 = 300; for k=1:max1 p=p1-feval(funcion,p1)*(p1-p0)/(feval(funcion,p1)-feval(funcion,p0)); err=abs(p-p1); relerr=*err/(abs(p)+delta); p0=p1; p1=p; y=feval(funcion,p1); if (err<delta) (relerr<delta) (abs(y)<epsilon),break, III..6. Función fzero(f_nombre,p0) de Matlab. a. Introducción MATLAB dispone de funciones que minimizan y calculan raíces de funciones no lineales de una y varias variables, funciones que calculan integrales de funciones de

30 una y dos variables y, funciones que resuelven sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden con condiciones iniciales. Una de ésta funciones que optimiza y calcula raíces de funciones es la función fzero la cual encuentra raíces de una función de una variable. IV. RESOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES IV.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA La necesidad de resolver un sistema de ecuaciones lineales simultáneas es algo común en los problemas de ingeniería, por ejemplo: a). Problema de los tres depósitos El problema de los tres depósitos, es un caso particular de las tuberías interconectadas y consiste en determinar las condiciones hidrodinámicas del escurrimiento (velocidades y gastos) en los conductos que interconectan los depósitos, con niveles de agua en cotas conocidas y permanentes en el tiempo. La solución consiste en resolver el siguiente sistema de ecuaciones: En la primera ecuación asumimos que el flujo sale del depósito 1, a la unión (punto), continuando al depósito más bajo (punto 4) P1 V1 L1 V1 L4 V4 P4 V4 + Z1 + V1 f1 V1 f 4 V4 = + Z 4 + V4 γ g D1 g D4 g γ g Si la presión es la atmosférica P = 0 y si se considera que el nivel del agua en los depósitos es constante, V 1 y V 4 =0 L1 V1 L4 V4 f 1 V1 + f 4 V4 + ( Z 4 Z1 ) = 0 D g D g 1 4 En la segunda ecuación asumidos que el flujo sale del deposito 1 hacia la unión (punto), hasta el deposito 3

31 P1 + Z γ 1 V1 + V g 1 f 1 L D 1 1 V1 g V 1 f 3 L D 3 3 V3 g V 3 = P3 + Z γ 3 V3 + V g 3 f L V1 V g L3 V3 + f 3 V3 + 3 Z D g ( Z ) = D1 3 La tercera ecuación de obtiene al aplicar el principio de continuidad en el nudo A V + A V ) A V 0 ( = Donde: V = Velocidad media del flujo, en m/s π D A = Área de la tubería = 4 f = Coeficiente de fricción, adimensional L = Longitud de la tubería, en metros D = Diámetro de la tubería, en metros g = Aceleración de la gravedad = 9.81 m/s Z = Cota de la superficie libre del agua, en metros IV.. METODOS DE SOLUCION Existen varios métodos para resolver un sistema de ecuaciones IV..1. Soluciones empleando operaciones con matrices: Un sistema de ecuaciones puede escribirse de la forma A X = B 1.1. División de matrices a. Introducción Este método compre el cálculo de la solución de un sistema lineal AX = B mediante la reducción a forma triangular superior de la matriz ampliada [A B] seguida de la sustitución regresiva. X= A \ B T ó X=B/A T b. Algoritmo Entrada: A, B. Salida: X (matriz solución de AX = B). Pasos computacionales: *condiciones iniciales; Sean [N, N] = tamaño(a)

32 Termina. ésima X = matriz nula (N,1); Y = matriz nula (N,1); C = matriz nula (1,N+1); almacen temporal Calculamos la matriz ampliada denominada Aug = [A B] Para q = 1 hasta N -1 Determina la fila pivote parcial para la columna q- [Y,j]=valor máximo absoluto de (Aug(p hasta N,p)); Intercambio de filas q-ésima y j+p-1 ésima. C=la columna q de Aug; La columna q de Aug = la columna j+p-1, de Aug; La columna j+p-1, de Aug = C; Sí Aug(q,q) es una igualdad con cero, entonces imprime que A es singular, que no hay solución o que no es única, y por tanto termina el ciclo, Proceso de eliminación en la columna q-ésima. Para k = p+1 hasta N m = Aug(k,q) / Aug(q,q); Aug(k, q hasta N+1) = Aug(k, q hasta N+1) m * Aug(desde q,q hasta N+1); Termina el ciclo Termina. Calcula la Sustitución regresiva en la matriz [U Y] usando el programa anterior. X llama al programa backsub.m X=backsub(Aug(1 de N,1 hasta N), Aug(1 de N,N+1)); c. Código en Matlab %METODO DE TRIANGULACION SUPERIOR SEGUIDA DE SUSTITUCION REGRESIVA function X = uptrbk(a,b) %Datos % - A es una matriz invertible de orden N x N % - B es una matriz de N x N %Resultados % - X es una matriz de orden N x 1 que contiene al solucion de AX=B. %Inicializamos X y una matriz C que sirve de almacen temporal [N N]=size(A); X=zeros(N,1); C=zeros(1,N+1); %Calculo de la matriz ampliada: Aug=[A B] Aug=[A B];

33 for p=1:n-1 %Pivoteo parcial en la columna q-èsima [Y,j]=max(abs(Aug(p:N,p))); %Intercambio de las filas q-èsima y (j+q-1)-èsima C=Aug(p,:); Aug(p,:)=Aug(j+p-1,:); Aug(j+p-1,:)=C; if Aug(p,p)==0 'A es singular. No hay solucion o no es unica' break %Proceso de eliminacion de la columna q-èsima for k=p+1:n m=aug(k,p)/aug(p,p); Aug(k,p:N+1)=Aug(k,p:N+1)-m*Aug(p,p:N+1); % Sustitucion Regrsiva en [U Y] usando el programa 3.1 X=backsub(Aug(1:N,1:N),Aug(1:N,N+1)); 1.. Inversión de matrices a. Introducción Este método compre el cálculo de la solución de un sistema lineal AX = B cuando la matriz A es invertible. X = A -1 B ó X = B A -1 b. Algoritmo Entrada: A, B. Salida: X (matriz solución de AX = B). Pasos computacionales: *condiciones iniciales; Sean [N, N] = tamaño(a) X = matriz nula (N,1); Y = matriz nula (N,1); C = matriz nula (1,N); R = 1 hasta N; Para p = 1 hasta N -1 Determina la fila pivote para la columna q-ésima [max1,j]=max(abs(a(p:n,p))); Intercambio de filas q-ésima y j-ésima. C=la columna p de A; La columna p de A = la columna j+p-1, de A; La columna j+p-1, de A = C;

34 d=r(p); R(p)=R(j+p-1); R(j+p-1)=d; Sí A(p,p) es una igualdad con cero, entonces imprime que A es singular, que no hay solución o que no es única, y por tanto termina el ciclo, Termina. Calcula el multiplicador que se guarda en la parte subdiagonal de A. Para k = p+1 hasta N Mult = A(k,p) / A(p,p); A(k,p) = mult A(k,p+1 hasta N) = A(k,p+1 hasta N) mult * A(p, p+1 hasta N); Termina el ciclo Termina. Resolución para hallar Y Y(1) = B(R(1)); Para k= hasta N Y(k)= B(R(k))-A(k,1 hasta k-1) * Y(1 hasta k-1); Termina. Resolución para hallar X X(N)=Y(N)/A(N,N); para k=n-1 de -1 hasta 1 X(k)=(Y(k)-A(k,k+1 hasta N)*X(k+1 hasta N))/A(k,k); Termina. c. Código en Matlab %FACTORIZACION CON PIVOTEO. function X = lufact(a,b) %Datos % - A es una matriz de orden N X N % - B es una mtriz de orden N x 1 %Resultado % - X es una matriz de orden N x 1 de AX = B. %Inicializamos X, Y la matriz de almacenamiento temporal C y %la matriz fila R donde se registran los intercambios de filas [N,N]=size(A); X=zeros(N,1); Y=zeros(N,1); C=zeros(1,N); R=1:N; for p=1:n-1

35 %Determinación de la fila pivote para la columna q-ésima [max1,j]=max(abs(a(p:n,p))); %Intercambio de filas q-ésima y j-ésima C=A(p,:); A(p,:)=A(j+p-1,:); A(j+p-1,:)=C; d=r(p); R(p)=R(j+p-1); R(j+p-1)=d; if A(p,p)==0 'A es singular, no hay solucion o no es unica' break %Calculo del multiplicador que se guarda en la parte subdiagonal de A' for k=p+1:n mult=a(k,p)/a(p,p); A(k,p) = mult; A(k,p+1:N)=A(k,p+1:N)-mult*A(p,p+1:N); %Resolucion para hallar Y Y(1) = B(R(1)); for k=:n Y(k)= B(R(k))-A(k,1:k-1)*Y(1:k-1); %Resolucion para hallar X X(N)=Y(N)/A(N,N); for k=n-1:-1:1 X(k)=(Y(k)-A(k,k+1:N)*X(k+1:N))/A(k,k); IV... Método de Seidel a. Introducción El método de Seidel para la solución de sistemas de ecuaciones, es una generalización de la iteración del punto fijo para ecuaciones no lineales.

36 b. Algoritmo Entrada: A, B, P, delta, max1. Salida: X (matriz solución de AX = B). Pasos computacionales: *condición inicial; Sea N = longitud (B); Para k=1 hasta max1 Para j = 1 hasta N Si j es una igualdad a 1 X(1) = (B(1)-A(1, hasta N) * P( hasta N)) / A(1,1); Sí no j es una igualdad a N X(N) = (B(N)-A(N,1 hasta N-1) * (X(1 hasta N-1))') / A(N,N); Sí X(j) = (B(j)-A(j,1 hasta j-1)*x(1 hasta j-1)' - A(j,j+1 hasta N)*P(j+1 hasta N))/A(j,j); Termina. Termina. Err = valor absolute de (norm(x'-p)); Relerr = err/(norm(x)+eps); P=X'; Sí (err<delta)o (relerr<delta) Termina el ciclo; Termina. Termina. Declara que X = X'; c. Código en Matlab % METODO ITERATIVO GAUSS SEIDEL function X=gseid(A,B,P,delta, max1) % Datos: % - A es una matriz invertida de orden N x N % - B es una matriz de orden N x 1 % - P es una matriz de orden N x 1: el punto inicial % - delta es la tolerancia para P % - max1 es el numero máximo de iteraciones % Resultados: % - X es una matriz de orden N x 1: la aproximación a la % solución de AX = B % generada por el método iterativo de Gauss Seidel

37 N = length(b); for k=1:max1 for j=1:n if j==1 X(1)=(B(1)-A(1,:N)*P(:N))/A(1,1); elseif j==n X(N)=(B(N)-A(N,1:N-1)*(X(1:N-1))')/A(N,N); else %X contiene la aproximacion K- esima y P the (k-1)èsima X(j)=(B(j)-A(j,1:j-1)*X(1:j-1)'-A(j,j+1:N)*P(j+1:N))/A(j,j); err=abs(norm(x'-p)); relerr=err/(norm(x)+eps); P=X'; if (err<delta) (relerr<delta) break X=X'; IV..3. Método de Newton-Raphson. a. Introducción El método de Newton-Raphson para la solución se sistema de ecuaciones es una generalización del mismo método para ecuaciones simples. b. Algoritmo Entrada: Input -F es la función salvada en el M-file como F.m JF is the Jacobian of F saved as the M-file JF.M P es la aproximación inicial a la solución delta es la tolerancia para P epsilón es la tolerancia para F(P) max1 es el número máximo de iteraciones. Salida: P es la aproximación a la solución iter es el número de iteraciones requerido err es el error estimado para P.

38 Pasos: *evaluación de funciones; Y f(p) c. Código en Matlab Para k=1 hasta el número máximo de iteraciones J Jf(P) Por lo que Q=P-(J\Y')'; Z f(q); Por lo que el error=normal de (Q-P); Y relerr=err/(normal(q)+eps); P=Q; Y=Z; iter=k; Sí el error es menor que delta ó el error relativo es menor que delta ó el valor absoluto de Y es menor que epsilón, entonces finaliza termina Termina. function [P,iter,err]=raphson(F,JF,P,delta,epsilon,max1) %Input -F es la función salvada en el M-file como F.m % -JF is the Jacobian of F saved as the M-file JF.M % -P es la aproximación inicial a la solución % -delta es la tolerancia para P % -epsilón es la tolerancia para F(P) % -max1 es el número máximo de iteraciones. %Output- P es la aproximación a la solución % - iter es el número de iteraciones requerido % - err es el error estimado para P. Y=feval(F,P); for k=1:max1 J=feval(JF,P); Q=P-(J\Y')'; Z=feval(F,Q); err=norm(q-p); relerr=err/(norm(q)+eps); P=Q; Y=Z; iter=k; if (err<delta) (relerr<delta) (abs(y)<epsilon) break

39 V. INTERPOLACIÓN Y APROXIMACIÓN POLINOMIAL V.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 1. Curva elevación-áreas-capacidades de la Presa Becerra. Embalse Curva de elevación-áreas-capacidades Elevación (m) Área (m ) Capacidad (m 3 ) , , , , , , , , , , ,000.0 V.. METODOS DE SOLUCION Cuando se tiene un conjunto de datos que han sido obtenidos de un experimento o por observación de un fenómeno físico. Estos datos generalmente pueden considerarse como coordenadas de puntos de una función f(x). Existen diferentes métodos para encontrar un polinomio interpolador que ajuste de la mejor forma posible un conjunto de puntos. V..1. Polinomio interpolador de Lagrange a. Introducción El polinomio integrador de Lagrange que pasa por los N+1 puntos (X k,y k ), para k=0,1,..., N, se expresa como: donde: P N ( x) = y L ( x) k = 0 k N, k

40 L N, k ( x) N ( x x j ) j= 0 j k = N ( xk x j ) j= 0 j k b. Algoritmo Entrada: X, Y. Salida: C (matriz solución), L (matriz de coeficientes). Pasos computacionales: *condiciones iniciales; Sean w = longitud de (X); n = w-1; L = matriz nula (w,w); Para k=1 hasta n+1 V =1; Para j = 1 hasta n+1 Si k es igual o semejante a j V = obtención de coeficientes de los polinomios (V,poly(X(j)))/(X(k)-X(j)); Termina. Termina. La columna k de L = V; Termina. Cálcula los coeficientes de polinomio interpolador C=Y*L; c. Código en Matlab % METODO DEL POLINOMIO INTERPOLADOR DE LA GRANGE function [C,L]=lagran(X,Y) % Datos % - X es el vector que contiene la lista de las abcisas % - Y es un vector que contiene la lista de las ordenadas % Resultados % - C es la matriz que contiene los coeficientes del % polinomio interpolaodor de Lagrange % - L es la matriz que contiene los coeficientes de los polinomios % coeficientes de Lagrange w=length(x); n=w-1;

41 L=zeros(w,w); % Formación de los polinomios coeficientes de Lagrange for k=1:n+1 V=1; for j=1:n+1 if k~=j V=conv(V,poly(X(j)))/(X(k)-X(j)); L(k,:)=V; % Cálculo de los coeficientes del polinomio % interpolador de La grange C=Y*L; V..4. Polinomio de interpolación de Newton a. Introducción Este método compre que a partir de la construcción de un polinomio interpolador de Newton de grado menor o igual que N que pasa por los puntos (X k, Y k ) = (X k, f(x k ) para k = 0, 1,,N. P( x ) = d 0,0 + d 1,1 (x-x 0 ) + d, (x-x 0 ) (x-x 1 ) + + d N,N (x-x 0 ) (x-x 1 ) (x-x N-1 ), Sio d k,0 = y k y d k,j = d k,j -1 - d k-1,j-1 X k - X k-j b. Algoritmo Entrada: X, Y. Salida: C (vector de coeficientes), D (tabla de diferencias divididas). Pasos computacionales: *condiciones iniciales; Sean n = longitud de (X); D = matriz nula (n,n); La fila 1 de la matriz D = Y'; Para j = hasta n

42 Para k=j hasta n D(k,j) = (D(k,j-1) - D(k-1,j-1)) / (X(k) - X(k-j+1)); Termina. Termina. C = D(n,n); Para k = (n-1) de -1 hasta 1 C = obtención de coeficientes de los polinomios (C,poly(X(k))); m = longitud de (C); C(m) = C(m) + D(k,k); Termina. c. Código en Matlab % METODO DEL POLINOMIO INTERPOLADOR DE NEWTON. function [C,D]=newpoly(X,Y) %Datos % - X es un vector con la lista de las abcisas % - Y es un vector con la lista de las ordenadas %Resultados % - C es un vector que contiene los coeficientes % del polinomio interpolador de newton. escrito de % forma habitual, en potencias decrecientes de x % - D es la tabla de diferencias divididas n=length(x); D=zeros(n,n); D(:,1)=Y'; %Usamos la formula (0) para hallar % la tabla de diferencias divididas for j=:n for k=j:n D(k,j)=(D(k,j-1)-D(k-1,j-1))/(X(k)-X(k-j+1)); %Determine los coeficientes del polinomio interpolador de Newton C=D(n,n);

43 for k=(n-1):-1:1 C=conv(C,poly(X(k))); m=length(c); C(m)=C(m)+D(k,k); V..5. Polinomio de Chebyshev. a. Introducción Este método compre que a partir de la construcción y determinación de un polinomio interpolador de Chevyshev de grado N en el intervalo [a,b] para los nodos b - a (k+1)pi a + b X k = cos ( ) N + El polinomio está dado por; d k,j -1 - d k-1,j-1 P( x ) = N J=0 c J T,j X k - X k-j b. Algoritmo Entrada: fun, n, a, b. Salida: C, X, Y. Pasos computacionales: *condiciones iniciales; dado que d = pi / (*n+); C = matriz nula (1,n+1); Sí el numero de argumentos de entrada es una igualdad con, a = -1 y b=1 Termina. Para k = 1 hasta n+1 X(k) = cos((*k-1)*d); Termina. X = (b-a) * X/+ (a+b) / ; x = X; Y = la evaluación la función (fun);

44 Para k =1 hasta n+1 z=(*k-1)*d; Para j = 1 hasta n+1 C(j) = C(j)+Y(k) * cos((j-1)*z); Termina. Termina Calcula los coeficientes. C = *C / (n+1); C(1) = C(1) / ; c. Código en Matlab % METODO DE LA APROXIMACION DE CHEBYSHEV function [C,X,Y]=cheby(fun,n,a,b) %Datos % - fun es la funcion que deseamos aproximar, dada como una % cadena de caracteres % - n es el grado del polinomio de aproximación % - a es el extremo izquierdo % - b es el extremo derecho %Resultados % - C es la lista de coeficientes del polinomio % - X contiene las abcisas de los nodos % - Y contiene los valores de fun en los nodos if nargin==, a=-1;b=1; d=pi/(*n+); C=zeros(1,n+1); for k=1:n+1 X(k)=cos((*k-1)*d); X=(b-a)*X/+(a+b)/; x=x; Y=eval(fun); for k =1:n+1 z=(*k-1)*d; for j=1:n+1 C(j)=C(j)+Y(k)*cos((j-1)*z); C=*C/(n+1); C(1)=C(1)/;

45 VI. AJUSTE DE CURVAS VI.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Consiste en obtener una curva que represente el comportamiento general de los datos experimentales o medidos, se recomia para datos sin un grado significativo de error o ruido. La curva resultante permite estimar razonablemente valores no obtenidos o medidos. VI.. METODOS DE SOLUCION VI..1. Regresión lineal o recta de regresión en mínimos cuadrados a. Introducción Este método permite la construcción de la recta de regresión f(x) = y = Ax + B, que mejor se ajusta en el sentido de los mínimos cuadrados a las N datos (X 1, Y 1 ),,(X N, Y N ). Donde: = = = = = = N k k N k k N k k N k k N k k k x x N y x y x N A = = = = = = = N k k N k k N k k k N k k N k k N k k x x N y x x y x B b. Algoritmo Entrada: X, Y. Salida: A, B. Pasos computacionales: *condiciones iniciales; Sean xmean=mean(x); ymean=mean(y); La sumatoria de x = (X-xmean) * (X-xmean)'; La sumatoria de xy = (Y-ymean) * (X-xmean)'; A = La sumatoria de xy / La sumatoria de x; B = ymean - A * xmean; c. Código en Matlab % METODO DE LA RECTA DE REGRESION. function [A,B]=lsline(X,Y)

46 %Datos % - X es el vector de abcisas 1 x n % - Y es el vector de ordenadas 1 x n %Resultados % - A es el coeficiente de x en Ax + B % - B es el termino indepiente en Ax + B xmean=mean(x); ymean=mean(y); sumx=(x-xmean)*(x-xmean)'; sumxy=(y-ymean)*(x-xmean)'; A=sumxy/sumx; B=ymean-A*xmean; d. Función [A,B]=polyfit(X,Y,1) VI... Linealización de relaciones no lineales. Función y=f(x) Linealización Y=AX+B Cambio de variable 1. Función A 1 y = + B y = A + B x x X = 1 x Y = y. Función D 1 D 1 y = y = ( xy) + X = xy, Y = y, C =, x + C C C A D = 3. Función y = = Ax + B X = x, Y = Ax + B y y 4. Modelo del promedio de crecimiento de saturacion x y = = A + B X =, Y = Ax + B y x x y 5. Función y = A ln( x) + B y = A ln( x) + B X = ln( x), Y = y 6. Modelo exponencial (grafica semilogaritmica) Ax y = C e ln( y ) = Ax + ln( C) X = x, Y = ln( y), B = ln( C) 7. Modelo potencial y = C A x ln( y ) = A ln( x) + ln( C) X = ln( x), Y = ln( y), B C = e B A

47 8. Función y = ( Ax + B) 1/ y = Ax + B X = x, 1/ Y = y 9. Función Dx y = C x e y y B ln( ) = Dx + ln( C) X = x, Y = ln( ), C = e, D = A x x 10. Función L L L B y = ln( 1) = Ax + ln( C) X = x, Y = ln( 1), C = e 1 Ax + Ce y y

48 VII. DERIVACION NUMERICA VII.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA VII.. METODOS DE SOLUCION VII..1. Derivación numérica mediante limites. a. Introducción Este método consiste en construir las aproximaciones numéricas a f (x) mediante la generación de la sucesión: k k f ( x + 10 ) f ( x 10 ) f '( x) Dk =, para k = 0,..., n k (10 h) Donde las iteraciones continúan hasta que: D D D D O D D tolerancia n+ 1 n n n 1 n n 1 < b. Algoritmo c. Código en Matlab function [L,n]=difflim(f,x,toler) %Datos % - f es la funcion, introducida como una cadena de caracteres 'f' % - x es el punto en el que se deriva % - toler es la tolerancia para el error %Resultados % - L=[H' D' E']: % -H es el vector de lso incrementos % -D es el vector de las aproximaciones a la derivada % -E es el vector de las cotas del error % -n es la coordenada de la "mejor aproximacion" max1=15; h=1;

49 H(1)=h; D(1)=(feval(f,x+h)-feval(f,x-h))/(*h); E(1)=0; R(1)=0; for n=1: h=h/10; H(n+1)=h; D(n+1)=(feval(f,x+h)-feval(f,x-h))/(*h); E(n+1)=abs(D(n+1)-D(n)); R(n+1)=*E(n+1)*(abs(D(n+1))+abs(D(n))+eps); n=; while((e(n)>e(n+1))&(r(n)>toler))&n<max1 h=h/10; H(n+)=h; D(n+)=(feval(f,x+h)-feval(f,x-h))/(*h); E(n+)=abs(D(n+)-D(n+1)); R(n+)=*E(n+)*(abs(D(n+))+abs(D(n+1))+eps); n=n+1; n=length(d)-1; L=[H' D' E']; VII... Derivación usando el método de extrapolación de Richardson a. Introducción Este método consiste en construir las aproximaciones numéricas a f (x) mediante la construcción de la tabla D(j,k) con k<j en la que se obtienen como solución final la derivada f (x)=d(n,n). Los valores D(j,k) forman una matriz triangular inferior cuya primera columna se define como: j f ( x + h) f ( x D( j,1) = j+ 1 h j h) Y cuya fila j-esima para j> tiene los siguientes elementos D( j, k 1) D( j 1, k 1) D( j, k) = D( j, k 1) +, para k k 4 1 j b. Algoritmo

50 c. Código en Matlab function [D,err,relerr,n]=diffext(f,x,delta,toler) %Datos % - f es la funcion, introducida como una cadena de caracteres 'f' % - x es el punto en el que se deriva % - delta es la tolerancia para el error % - toler es la toleranci apara el error relativo %Resultados % - D es la matriz de las aproximaciones de la derivada % - err es la cota del error % - relerr es la cota del error relativo % - n es la coordenada de la "mejor aproximacion" err=1; relerr=1; h=1; j=1; D(1,1)=(feval(f,x+h)-feval(f,x-h))/(*h); while relerr > toler & err > delta &j <1 h=h/; D(j+1,1)=(feval(f,x+h)-feval(f,x-h))/(*h); for k=1:j D(j+1,k+1)=D(j+1,k)+(D(j+1,k)-D(j,k))/((4^k)-1); err=abs(d(j+1,j+1)-d(j,j)); relerr=*err/(abs(d(j+1,j+1))+abs(d(j,j))+eps); j=j+1; VII.3. Derivación numérica mediante interpolación en N-1 nodos a. Introducción Este método consiste en construir el polinomio interpolador de Newton de grado N: P ( x) = a0 + a1( x x0 ) + a ( x x0 )( x x1 ) an ( x x0 )( x x1 )...( x xn 1 ) Y aproximar numéricamente a f (x 0 ) mediante P (x 0 )

51 b. Algoritmo c. Código en Matlab function [A,df]=diffnew(X,Y) %Datos % - X es un vector 1 x n que contiene las abcisas % - Y es un vector 1 x n que contiene las ordenadas %Resultados % - A es unj vector 1 x n que contiene los coeficientes del % polinomio de Newton de grado N % - df es la derivada aproximada A=Y; N=length(X); for j=:n for k=n:-1:j A(k)=(A(k)-A(k-1))/(X(k)-X(k-j+1)); x0=x(1); df=a(); prod=1; n1=length(a)-1; for k=:n1 prod=prod*(x0-x(k)); df=df+prod*a(k+1);

52 VIII. INTEGRACION NUMERICA VIII.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Estimar el área de la sección transversal de un escurrimiento (A), es una actividad que se requiere realizar para varios tareas dentro de la ingeniería de recurso hidráulicos, incluso en el pronostico de avenidas y en el diseño de presas. A menos que los dispositivos sondeo electrónicos están disponibles obtener perfiles continuos del fondo del cauce, el ingeniero debe confiar de las dimensiones discretas de profundidad para calcular À. Un ejemplo de una sección transversal del arroyo típica se muestra debajo. El datos representa lugares dónde un barco era anclado y dimensiones de profundidad tomados. Distancia Profundidad VIII.. METODOS DE SOLUCION VIII..1. Método del trapecio A. Regla compuesta del trapecio. a. Introducción Aproxima la integral definida de la función f(x) entre dos puntos a y b de la siguiente forma: b M 1 h f ( x) dx ( f ( a) + f ( b) ) + h f ( xk ) a k = 1 Calculándose f(x) en los puntos equidistantes x k =a+kh, para k=0,1,..m con x 0 =a y x M =b

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