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1 Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN UNIDAD PROFESIONAL ZACATENCO UN NUEVO MÉTODO NUMÉRICO PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS ELECTROMAGNÉTICOS EN MEDIOS NO HOMOGÉNEOS TESIS QUE PARA OBTENER EL GRADO DE MAESTRO EN CIENCIAS EN INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIONES PRESENTA: ING. MARÍA ROSALÍA TENORIO GONZÁLEZ DIRECTOR DE TESIS DR. VLADISLAV KRAVCHENKO CHERKASSKI MEXICODF 7 i

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4 AGRADECIMIENTOS Un nuevo método numérico para la solución de A Dios Por el inmenso amor que sé que me tienes y que me llega de todos lados. A Mis padres Por darme la vida. A Mi hermano Daniel Por compartir la vida sigue tus sueños nene. A mis Abuelos Tíos Primos Gracias por los bellos momentos compartidos. A Rosalía Vallejo Monter y Emigdio Tenorio Cervantes Que esta ausencia que provoca dolor es y será mi motor para terminar este trabajo y seguir adelante no sé dónde están pero los amo. A ti David Por el tiempo el espacio la LIBERTAD la paciencia el apoyo y por tanto amor. TE AMO. A César Te amo hijo gracias por el tiempo que no hemos estado juntos y que he dedicado a este sueño. A mi asesor Dr. Vladislav Kravchenko por aceptar ser mi asesor por su invaluable tiempo para explicarme por la inmensa paciencia que me tuvo para llevar a término este trabajo. Al Dr. Raúl Pére Gracias Raulito por ser una lu que brilla gracias por la ayuda y las aportaciones a este trabajo que sin tu ayuda hubiera tomado más tiempo llevarlo a eli término. A David Sánche Eduardo Espitia Eduardo Muño Federico Felipe Jose Luís Lópe Bonilla Juan G. Ugalde Rosas Marco.A. Acevedo Vladislav Kravchenko. Porque son para mí siempre motivo de admiración y respeto gracias por aportar cada uno a su manera algo para que este sueño se realiara. A mi otra amilia Adriana Alvarado Jorge Alberti Alberto Flores Cristina Rubio Dulce Pardo Eloy Ramíre Fernando Martíne Luís Día Gato Ilian Orea Jaeth Alonso Jair García Karla Huerta Migue Bautista Miriam Cuevas Raúl Pére Roberto GómeSergio Vidal Wendy García Yahaira Giron. Los amo gracias por ser parte de mi vida por los momentos que compartimos y que me ayudaron a hacer esta aventura más placentera. Al Instituto Politécnico Nacional Por la beca Institucional IPN otorgada en la estancia durante la Maestría para la culminación de este trabajo. Es un honor ser parte de de esta institución. iv

5 INDICE Objetivo Justiicación Resumen Abstract Introducción Un nuevo método numérico para la solución de viii ix xi xii xiii I PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA. Ecuaciones dierenciales en derivadas parciales. Problemas con valor inicial y problemas con valor a la rontera.3 Planteamiento del problema II DEFINICIÓN Y RESULTADOS. Introducción. Algunas deiniciones y resultados de las unciones analíticas generaliadas de Vekua.3 Algunas deiniciones y resultados de la teoría de unciones pseudoanalíticas.3. Generando pares de derivadas y antiderivadas.3. Secuencias generadoras y serie de Taylor para potencias ormales.4 Relación entre las unciones analíticas generaliadas y las soluciones de la ecuación de Schrödinger.4. Factoriando el operador de Schrödinger.5 La ecuación principal de Vekua.6. Series de Taylor en potencias ormales para unciones pseudoanalíticas y soluciones de la ecuación de Schrödinger.6. Condición S.6. Construyendo explícitamente las secuencias generadoras para la ecuación principal de Vekua con donde se satisace la Condición S.7 Algoritmo para el cálculo simbólico de potencias ormales v

6 III DESCRIPCIÓN Y JUSTIFICACIÓN DEL MÉTODO NUMÉRICO 4 3. Construcción de unciones para la ecuación de Helmholt 3. Demostración de la aproximación de las potencias ormales cuando tiende a 3.3 Método de colocación 3.4 Tipos de error y sus deiniciones 3.5 Comparación con Matlab 6.5 PDE TOOL 3.5. PDE (Partial Dierential Equations) TOOL IV REALIZACIÓN NUMÉRICA Y ANÁLISIS DE RESULTADOS 4. Convergencia y análisis de resultados 4. Comparación de resultados con PDE TOOL V CONCLUSIONES 6 APÉNDICE a. Programa para calcular potencias ormales (real) a. Programa para calcular potencias ormales (imaginaria) a.3 Función i a.4 Función para calcular los operadores d y d a.5 Función lamu a.6 Función etapsi a.7 Función integrando a.8 Método de colocación REFERENCIAS 69 vi

7 Índice de iguras Un nuevo método numérico para la solución de Fig.. Algoritmo para el cálculo de las potencias ormales 35 Fig.. Diagrama de Flujo Integrando 36 Fig..3 Función φ 37 Fig..4 Función lamu 38 Fig..5 Función etapsi 39 Fig..6 Función Integrando 4 Fig. 3. Puntos de Colocación para la solución aproximada 45 Fig. 3. Puntos de colocación para la solución aproximada y la solución exacta 46 Fig.3.3 Formación de malla Fig.3.4 Algoritmo para el cálculo del método de colocación Fig 3.5 Diagrama de lujo para el método de colocación Fig. 4. Convergencia Índice de Tablas Tabla de Resultados Tabla de Resultados vii

8 OBJETIVO El objetivo de este trabajo es el desarrollo de una herramienta basada en un sistema de cómputo simbólico para la construcción de un conjunto completo de soluciones exactas de la ecuación de Schrödinger estacionaria bidimensional y la aplicación de dicho conjunto a la solución numérica de problemas con valores a la rontera. viii

9 JUSTIFICACIÓN Un gran número de ísicos y especialistas de otras áreas trabajan o han trabajado con la ecuación de Schrödinger; la bibliograía correspondiente es inmensa. Muchos de estos investigadores se han dado a la búsqueda de nuevas soluciones exactas de esta ecuación (vea por ej [5]). Cabe mencionar que la ecuación de Schrödinger estacionaria sirve para modelar dierentes procesos ísicos no solamente en la mecánica cuántica sino en la teoría electromagnética en acústica y en muchas otras áreas de la ciencia e ingeniería. Los problemas que se consideran en el presente trabajo corresponden a los modelos de propagación de ondas electromagnéticas o acústicas en medios no homogéneos. En [] se describe un método para construir un sistema completo de soluciones de la ecuación de Schrödinger estacionaria en dos dimensiones a partir de una solución particular. En el presente trabajo se desarrolla y se implementa una herramienta para la aplicación de dicho método en orma simbólica y la utiliación del sistema de soluciones obtenido para la solución numérica de problemas con valores a la rontera para la ecuación de Schrödinger. En la actualidad se cuenta con sotware especialiado como Matlab que nos permite desarrollar programas para la manipulación y generación de ecuaciones en orma simbólica tal como se requiere para el presente desarrollo. Asimismo la existencia de equipos de cómputo con la suiciente capacidad para procesar en un lapso de tiempo aceptable una cantidad voluminosa de inormación hacen actible el logro del presente trabajo. ix

10 El alcance de este estudio es el desarrollo de un programa computacional que de acuerdo al método descrito en [] genere las expresiones simbólicas de las unciones que conorman el sistema completo de soluciones a partir de una solución particular dada. Asimismo la aplicación de este programa a la solución numérica de problemas con valor a la rontera. x

11 RESUMEN En este trabajo se considera el método desarrollado en [] y se propone un algoritmo programado en Matlab el cual tiene por objetivo construir un sistema completo de soluciones de la ecuación de Schrödinger estacionaria en dos dimensiones a partir de una solución particular de dicha ecuación. Este algoritmo se programó en orma genérica para poder ser utiliado en la construcción de los sistemas completos de soluciones con independencia de la solución particular empleada. De igual orma Matlab nos permite emplear expresiones simbólicas en lugar de valores numéricos especíicos lo que hace posible que las soluciones construidas por este algoritmo puedan ser posteriormente evaluadas empleando los valores numéricos. El sistema de soluciones construido se utilia para la solución numérica con problemas de valor a la rontera y se demuestra la convergencia del método numérico obtenido de esta manera y se compara su eiciencia con un sotware estándar llamado PDE TOOL (Partial Dierential Equations) que emplea el método de dierencias initas contra los resultados obtenidos a partir de la evaluación de las expresiones simbólicas que representan el conjunto completo de soluciones construido por el algoritmo descrito en este trabajo. xi

12 ABSTRACT In this work is considered the method developed in [] and is proposed an algorithm programed using Matlab that has the objective to build a complete system o solutions o the stationary on two dimensions Schrödinger equation starting on a particular solution o that equation. This algorithm was programmed in a generic way in order to be used in the building o the complete systems o solutions with independence o particular solution used. In the same way Matlab allows us to use symbolic expressions instead o speciic numerical values making possible that the solutions build by this algorithm can be urther evaluated using given numerical values. The solutions system build is used or the numerical solution or problems with boundary values and is demonstrated the convergence o the numerical method gotten by this way and is compared its eiciency with a standard sotware named PDE TOOL (Partial Dierential Equations) that uses the method o inite dierences against the results gotten with the evaluation o symbolic expressions that represent the complete set o the solutions build by the algorithm described in this work. xii

13 INTRODUCCIÓN En los años cincuentas Lipman Bers [7] desarrolló la teoría de unciones pseudoanalíticas y obtuvo análogos de la serie de Taylor para unciones pseudoanalíticas y algunas órmulas recursivas para construir generaliaciones del sistemas. En orma paralela e independiente Ilia Nestorovich Vekua matemático soviético especialiado en ecuaciones dierenciales parciales desarrolló la teoría de unciones analíticas generaliadas. Las dos teorías consideran el mismo sistema matemático que actualmente se conoce como la ecuación de Vekua. Las soluciones de esta ecuación son denominadas como unciones pseudoanalíticas o unciones analíticas generaliadas. En su época la teoría de Ilia Vekua tuvo mayor aceptación y gran alcance debido a la generalidad de los métodos y resultados implementados. Esa teoría dio un gran impulso al desarrollo de la teoría general de ecuaciones elípticas por lo cual pronto ue rebasada por esta última. Por su parte Lipman Bers trató de generaliar los resultados clásicos de la teoría de variable compleja y en este camino desarrolló una teoría de series de Taylor y de Laurent en potencias ormales. Bajo condiciones muy generales las potencias ormales representan un sistema completo de soluciones de la ecuación de Vekua en el mismo sentido que las potencias de la variable representan un sistema completo de soluciones de las ecuaciones de Cauchy- Riemann. La teoría de Lipman Bers aunque representó un gran avance en general no oreció un algoritmo para la construcción explícita del sistema de potencias ormales para una ecuación de Vekua dada. Las potencias ormales se han podido construir sólo en algunos casos muy especiales [7] [8]. En el reciente trabajo [] se obtuvo una relación entre la ecuación de Schrödinger y la ecuación de Vekua más precisamente. xiii

14 Con ayuda de cualquier solución particular de la ecuación de Schrödinger real estacionaria en dos dimensiones se construye una ecuación de Vekua con las propiedades siguientes: la parte real de las soluciones es solución de la ecuación de Schrödinger original y la parte imaginaria es una solución de la ecuación de Schrödinger asociada cuyo potencial tiene la orma del potencial obtenido después de la transormación de Darboux []. En el mismo trabajo [] se obtuvo un algoritmo que nos permite construir explícitamente en condiciones bastante generales un sistema completo de potencias ormales para la ecuación de Vekua correspondiente lo cual nos proporciona un procedimiento relativamente simple para obtener un sistema completo de soluciones de la ecuación de Schrödinger a partir de una solución particular conocida. Aquí la completitud se entiende en el sentido de que cualquier solución de la ecuación de Schrödinger puede ser aproximada arbitrariamente cerca por una combinación lineal de unciones de este sistema del dominio de interés. En este trabajo se propone y se implementa un algoritmo general simbólico de acuerdo a lo desarrollado en []. Dicho algoritmo recrea el procedimiento exacto para la construcción del sistema completo de soluciones llamado potencias ormales. Como complemento del presente estudio se desarrolló otro programa que emplea el sistema de soluciones obtenido por el algoritmo arriba mencionado utiliando estas soluciones en problemas con valor a la rontera para demostrar la convergencia del método. xiv

15 En el capítulo se presentarán algunos conceptos de la teoría de las ecuaciones dierenciales en derivadas parciales la deinición de los tipos de problemas con valor inicial y problemas con valor a la rontera. Así mismo plantearemos el problema que se considera en este trabajo más adelante. En el capítulo mencionaremos algunos resultados obtenidos por I. N. Vekua y L. Bers así como el desarrollo del trabajo [] donde se explica cómo construir las potencias ormales. En ese capítulo se explicará el algoritmo de la construcción de las potencias ormales. Como un ejemplo de aplicación del algoritmo expuesto en el Capítulo en el Capítulo 3 se considera el problema de Dirichlet para la ecuación de Helmholt. En base a las potencias ormales se construye un sistema completo de soluciones para dicha ecuación y se utilia para la solución numérica del problema de Dirichlet. Finalmente en el Capítulo 4 se hace un análisis de los resultados obtenidos así como una comparación mediante unas pruebas realiadas con un sotware ya existente PDE TOOL (Partial Dierential Equations Tool) una herramienta de Matlab. Esta herramienta genera sus soluciones utiliando el método de elementos initos. xv

16 CAPÍTULO I PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA En este capítulo se presentan algunos conceptos básicos sobre las ecuaciones dierenciales en derivadas parciales la identiicación de una ecuación elíptica así como su solución y los tipos de condiciones a la rontera y condiciones iniciales para la solución de sistemas elípticos. Posteriormente se plantea el problema al cual se aplicará el método numérico.. Ecuaciones dierenciales en derivadas parciales Una ecuación dierencial es una ecuación en la que la incógnita es una unción y en la que además de la propia incógnita aparecen derivadas suyas. Las derivadas pueden ser parciales en cuyo caso estamos ante una ecuación en derivadas parciales (abreviada comúnmente como EDP). Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables si consideramos EDP lineales de segundo orden de la orma u u u u u a + b + c + d + e + u = x x y y x y se pueden identiicar tres tipos dierentes de ecuaciones dependiendo del valor de la expresión b a

17 Tipo de ecuación Condición Tipo de problema Ejemplo de ecuación Hiperbólica.b a c > valor inicial ecuación de onda Parabólica.b a c = valor inicial ecuación de diusión Elíptica.b a c < problema de contorno ecuación de Laplace. Problemas con valor inicial y problemas con valor a la rontera Ecuaciones especiales Las siguientes ecuaciones dierenciales parciales lineales u u k = k > x t (.) u u = x t a (.) u u + x y = (.3) desempeñan un papel importante en muchas áreas de ísica e ingeniería. Las ecuaciones (.) y (.) son conocidas como ecuación de calor en una dimensión y ecuación de onda en una dimensión respectivamente. Una dimensión se reiere al hecho de que x denota una dimensión

18 espacial en tanto que t generalmente representa tiempo. La ecuación (.3) se llama ecuación de Laplace. El análisis de una amplia variedad de enómenos lleva a las ecuaciones (.) (.) o (.3) o a sus generaliaciones para un mayor número de variables espaciales. A (.) se le llama ecuación de diusión puesto que la diusión de substancias disueltas en solución es análoga al lujo de calor en un sólido. La unción u(xt) que satisace la ecuación dierencial parcial representa en este caso la concentración del líquido. De manera similar la ecuación (.) surge en el estudio del lujo de electricidad en un cable largo o en una línea de transmisión. En este contexto (.) es conocida como ecuación de la transmisión (telegráica). Se puede demostrar que bajo ciertas condiciones la corriente y el voltaje en una línea son unciones que satisacen dos ecuaciones de idéntica orma que la ecuación (.). La ecuación de onda (.) aparece en la teoría de las líneas de transmisión de alta recuencia mecánica de luidos relacionados con desplaamientos estáticos de membranas y más a menudo en problemas electromagnéticos. Se distingue entre las ecuaciones de evolución a procesos que describen cambios con el tiempo y por lo tanto a ésta como variable independiente y las ecuaciones estacionarias que describen procesos estáticos esto es que no dependen del tiempo. Se consideran dos tipos de condiciones auxiliares: Condiciones de rontera: u o u/ x especiicada para x = constante; u o u/ y especiicada para y = constante Condiciones iniciales: u en t = para la ecuación (.) o bien u y u/ t en t = para la ecuación (.). 3

19 El número de condiciones iniciales a considerar depende del orden de la derivada parcial con respecto al tiempo que contenga la ecuación por ejemplo: Ecuación de onda: u tt = C u xx + a(xt)a t Ecuación no homogénea se considera dos condiciones u t u t u(x) = (x); ( x ) = = ( x) t= Las condiciones a la rontera están asociadas a variables que representan alguna dimensión espacial y que por lo tanto se hallan restringidas a una cierta región Ω inita o semiininita del espacio. Si la ecuación dierencial en derivadas parciales es de segundo orden es necesario conocer el valor de su solución de su derivada o de una combinación de ellas a la rontera Ω en la región considerada Ω Ω Tratemos tres tipos de condiciones a la rontera: Dirichlet Neumann Robin. a) Condiciones de Dirichlet : Consisten en prescribir el valor de la solución a la rontera y se representan por U Ω = g ; donde g es una unción conocida. b) Condición de Neumann: Consisten en prescribir el valor de la derivada según la dirección normal de la solución a la rontera y se representa por u n Ω = g 4

20 Ω 9 o Ω c) Condiciones de Robin: Son de carácter mixto y prescriben el valor de una combinación lineal de la solución y su derivada según la dirección normal a la rontera se puede representar como: u u + k = g Ω n ( R) k. Para que se considere el tipo de condiciones a la rontera apropiado para una ecuación dierencial en derivadas parciales se debe cumplir que: Se cuente con la existencia y unicidad de la solución La solución debe depender de orma continua de los datos iniciales y/o de los datos a la rontera. Como ejemplo particular en el capítulo 4 se verá la solución de un ejercicio en donde consideramos la ecuación de Helmholt la cual es un caso particular de la ecuación de Schrödinger..3 Planteamiento del problema Consideremos la ecuación de Schrödinger lineal real y estacionaria (independiente del tiempo) en dos dimensiones: ( + ) u = ν (.4) 5

21 donde es el operador laplaciano = + x y ν unción real y u es una unción real que debe satisacer la ecuación de Schrödinger. El objetivo es desarrollar una herramienta que nos permita la construcción de un sistema completo de soluciones en base a [] considerando que se conoce una solución particular de la ecuación (.4). Una ve obtenido dicho sistema se usa para la solución numérica de problemas con valores a la rontera para la ecuación (.4) en particular se considera el problema de Dirichlet. 6

22 CAPÍTULO II DEFINICIÓN Y RESULTADOS. Introducción En este capítulo se considerará la ecuación real estacionaria en dos dimensiones de Schrödinger. Siguiendo a [] con ayuda de cualquier solución particular de la ecuación anterior construimos una ecuación de Vekua con la propiedad especial siguiente: la parte real de las soluciones es solución de la ecuación de Schrödinger original y la parte imaginaria es una solución de la ecuación de Schrödinger asociada cuyo potencial tiene la orma del potencial obtenido después de la transormación de Darboux [4]. Usando la teoría de Bers de las series de Taylor para unciones pseudoanalíticas obtenemos un sistema completo de soluciones locales de la ecuación original de Schrödinger. Estas soluciones pueden ser construidas explícitamente para una amplia clase de ecuaciones de Schrödinger. Por ejemplo esto es posible cuando el potencial es unción de una variable cartesiana esérica parabólica o elíptica. Daremos unos ejemplos de aplicaciones con el procedimiento propuesto con el in de obtener un sistema completo de soluciones de la ecuación de Schrödinger. El desarrollo de la teoría de unciones pseudoanalíticas se realió por separado por I. N. Vekua y L. Bers con coautores y ue presentado en sus libros [] y [3]. La teoría tuvo un desarrollo posterior en cientos de trabajos subsecuentes (vea e.g. la revisión [78]) e históricamente se convirtió en uno de los impulsos más importantes para desarrollar la teoría general de los sistemas elípticos. Aquí la teoría de Vekua juega un papel muy importante debido a su tendencia a una 7

23 aproximación operacional más general. Bers trató de seguir más de cerca las ideas del análisis complejo clásico y puso mayor atención a la construcción de soluciones eicientes [3]. Además de otros resultados Bers obtuvo análogos de la serie de Taylor para unciones pseudoanalíticas y algunas órmulas recursivas para construir generaliaciones del sistemas base Las órmulas requieren el conocimiento del par generador de Bers (dos soluciones particulares) de la ecuación correspondiente de Vekua que describe unciones pseudoanalíticas así como pares generadores para una secuencia ininita de ecuaciones de Vekua relacionadas con la original. La necesidad de contar con un número ininito de soluciones exactas de las ecuaciones de Vekua resultaba un importante obstáculo para la construcción eiciente de las unciones pseudoanalíticas de las series de Taylor. La órmula recursiva de Bers parece haber sido especialmente diseñada para obtener series de tipo Taylor para soluciones de ecuaciones de Schrödinger estacionarias de dos dimensiones que admiten soluciones particulares que tienen una propiedad peculiar llamada en este trabajo condición S. La clase de tales ecuaciones de Schrödinger es realmente amplia. El resultado principal de [] es un procedimiento relativamente simple que nos permite construir explícitamente un sistema completo de soluciones de la ecuación de Schrödinger a partir de una solución particular conocida. Aquí la completitud se entiende en el sentido de que cualquier solución de la ecuación de Schrödinger puede ser aproximada arbitrariamente cerca por una combinación lineal de unciones de este sistema en el dominio de interés. Primero que nada observaremos en la subsección.4. que dada una solución particular de la ecuación de Schrödinger estacionaria en dos dimensiones el operador de Schrödinger 8

24 correspondiente puede ser actoriado de igual orma que en el caso de una dimensión. En el caso de dos dimensiones considerado la actoriación es la siguiente ( + ν ) ϕ = + C C ϕ en donde es una solución particular cualquiera de la ecuación de Schrödinger dos veces dierenciable y continua φ es una unción real denotamos como = + i x y y = i x y (usualmente este operador se emplea con el actor ½ de cualquier manera aquí por conveniencia no lo introducimos.) Las variables x y son unciones de y de donde =x+iy ( + ) = ν (.) y C es el operador de conjugación compleja. Esta observación nos da una relación simple entre la ecuación de Schrödinger y la ecuación de Vekua + C w =. (.) Cada solución de una de estas ecuaciones puede ser transormada (ver Corolario 4) en una solución de la otra y viceversa. Mostraremos que las soluciones de esta ecuación están estrechamente relacionadas con las soluciones de otra ecuación de Vekua. C W = (.3) a la cual llamamos la ecuación principal de Vekua. Para esta ecuación siempre tenemos un par generador (F G) (ver deinición ) en orma explícita y la (F G) derivada de W deinida más adelante (la operación introducida por L. Bers) es una solución de (.). La (F G) antiderivada de w es una solución de (.3). Más aun la parte real de W 9

25 es necesariamente una solución de (.) y la parte imaginaria de W es una solución de otra ecuación de Schrödinger con el potencial ν + el cual es precisamente el potencial que se esperaría obtener después de la transormación de Darboux que se conocía solamente en una dimensión. Sea una unción de una variable : ( ρ) ρ = tal que la expresión ρ ρ es una unción de ρ donde ρ ρ es dierente de cero. Denotamos esto como s ( ρ ) = y decimos que ρ satisace la condición S. Mostramos que bajo esta condición para (.3) las potencias ormales en el sentido de Bers pueden ser construidas explícitamente. Debería hacerse notar que las potencias ormales juegan un papel análogo al de las potencias de la variable independiente en la teoría clásica de unciones analíticas. Obtenemos análogos de las expansiones de la serie de Taylor para las soluciones de (.3) y cualquier solución de (.3) puede ser aproximada arbitrariamente cerca con un número inito de los primeros términos de la serie de Taylor en potencias ormales. Como se mencionó anteriormente las partes reales de las potencias ormales son soluciones de la ecuación de Schrödinger (.) y de orma similar las partes reales de las potencias de las cuales son muy importantes en la teoría de unciones armónicas y son ampliamente usadas para la solución numérica de problemas con valores a la rontera para la ecuación de Laplace. Las partes reales de las potencias ormales nos dan un sistema completo de soluciones para la ecuación de Schrödinger. Por motivos de simplicidad consideremos la ecuación de Schrödinger con un potencial de valor real.

26 Las siguientes secciones están basadas en los resultados presentados en [].. Algunas deiniciones y resultados de las unciones analíticas generaliadas de Vekua Ecuación de Vekua En 96 se publica la versión en inglés del trabajo de Vekua donde se presenta su teoría de las Funciones Analíticas Generaliadas [] Consideremos el siguiente sistema elíptico de ecuaciones dierenciales parciales de primer orden en un dominio bidimensional en orma canónica donde u(xy) y v(xy) son unciones reales donde abce son constantes reales u v + au bv = x y u v + + cu ev = g y x (.4) Introduciendo la unción compleja: w() = u(xy) + iv(xy) podemos ecribir el sistema de ecuaciones (.4) en la orma ( w) w+ Aw+ Bw F T = (.5) ( w iw ) w = + x y A = ( a δ + ic + ib) B = ( a + δ + ic ib) F = ( + ig). 4 4 Si F = en (.5) tenemos la ecuación homogénea w + Aw + Bw = (.6) equivalente al sistema homogéneo real

27 u v + au bv = x y u v + + cu δ v =. (.7) y x Soluciones de la ecuación (.6) se conocen como unciones analíticas generaliadas y la ecuación (.6) es conocida como la ecuación de Vekua. Este capítulo está basado más en la teoría de la ecuación (.6) desarrollada por L. Bers y presentada en su libro [3] donde las soluciones de la ecuación (.6) se llaman unciones pseudoanalíticas..3 Algunas deiniciones y resultados de la teoría de unciones pseudoanalíticas Esta sección está basada en los resultados presentados en [3]. Sea Ω un dominio en R simple conexo..3. Generando pares de derivadas y antiderivadas Deinición. Un par de unciones complejas arbitrarias F y G que poseen en Ω derivadas parciales con respecto a las variables reales x y se le llama par generador si satisace la desigualdad Im( F G ) > en Ω. Las siguientes expresiones son conocidas como coeicientes característicos del par generador (FG) a ( F G) = FG F G b ( G) FG FG F = FG FG FG FG

28 A ( F G) = FG F G B ( G) FG FG F = FG FG FG FG en donde los subíndices y signiican la aplicación de y respectivamente. Cualquier unción compleja W deinida en un subdominio de Ω admite la representación única [3] W = φ F + ψg en donde las unciones φ y ψ son reales. Algunas veces es conveniente asociar con W la unción w= φ + iψ donde la correspondencia entre W y w es uno a uno dado un par generador (FG). Deinición.[][][3] La (FG) derivada W = d ( F G ) d W de una unción W existe y tiene la orma W si y sólo si se cumple la siguiente igualdad: = φ F + ψ G = W A( F G ) W B( F G )W (.8) φ F + ψ G =. (.9) Esta última ecuación puede ser reescrita de la siguiente manera W = a ( ) W b ( ) W F G + F G a la cual llamamos ecuación de Vekua. Las soluciones de estas ecuaciones son llamadas unciones (F G) pseudoanalíticas. Si W es una unción (F G) pseudoanalítica la unción w asociada es llamada unción (F G) pseudoanalítica de segunda clase.las unciones F y G son (F G) G pseudoanalíticas y F. 3

29 Prueba: W W = a ( F G) ( F G ) = φf + ψg FG F G FG F G Z Z Z Z φf + ψg = ( φf + ψg) + ( φ F + ψ G) FG FG FG FG F G Z Z [ G( φf + ψg) G( φ F + ψ G) ] + [ F( φf + ψg) + F( φ F + ψ G) ] = FG FG FG FG φ ( F G FG ) ψ ( F G FG ) = φf + ψg Z W + b Z W Si W=F entonces Ф= ψ= lo cual obviamente satisace (.9) es decir la ecuación de Vekua así F es (F G) pseudoanalítica. La demostración para G es similar pero ahora con Ф= ψ= entonces G G es (F G) pseudoanalítica. Además (.8) implica F Deinición 3. Sean (F G) y (F G ) dos pares generadores en Ω (F G ) es llamado par sucesor de (F G) y (F G) es llamado predecesor de (F G ) si a ( F G ) = a ( F G ) y b ( F G ) = B ( F G ). Donde (FG) no necesariamente tiene que ser únicos. La importancia de esta deinición se hace obvia con la siguiente explicación. Teorema. Sea W una unción (F G) pseudo analítica y (F G ) sea un sucesor de (F G). Entonces W es una unción (F G ) pseudo analítica. Deinición 4. Sea (F G) un par generador. Su par generador adjunto ( G) * deinido por la órmula F = ( * G * ) F es 4

30 F * = F FG FG G * = G. FG FG La (F G) integral W está deinida de la siguiente manera: = F Wd * Wd Re G Wd + G( ) Re ( G ) F( ) * F Γ Γ Γ en donde Γ es una curva rectiicable desde a. Si W = φ F + ψg es una unción (F G) pseudo analítica en donde φ y ψ son unciones de valores reales entonces.. Wd (.). ( F G ) = W ( ) φ( ) F( ) ψ ( ) G( ) y como F = G = esta integral es independiente del camino conectando con y representa la (F G) antiderivada de Ẇ..3. Secuencias generadoras y serie de Taylor para potencias ormales Deinición 5. Una secuencia { ( F m G m )} de pares generadores es llamada una secuencia generadora si ( F G ) es sucesor de ( F ). Si ( ) m+ m+ contenido en ( F m G m ). m G m F G = (F G) se dice que (F G) está Teorema. Sea (F G) un par generador en Ω. Sea Ω un dominio acotado (F G) puede ser contenido en la secuencia generadora de Ω. Ω Ω. Entonces 5

31 Deinición 6. Una secuencia generadora { ( ) m G m ( G ) F es equivalente a ( F ) m+ µ m+µ m G m Un nuevo método numérico para la solución de F } se dice que tiene periodo µ > si es decir si sus coeicientes característicos coinciden. Sea W una unción (F G) pseudo analítica. Usando una secuencia { ( F m G m )} generadora en la cual (F G) está contenida podemos deinir la derivada de orden superior de W con respecto a la secuencia por una órmula recursiva [ ] W = W; W d = [ m+ ] ( Fm Gm ) d W m m =. Deinición 7.[][3][][5] La potencia ormal ( ) ( a ) Z m ; con centro en Ω exponente donde a es un coeiciente deinido como una combinación lineal de generadores F G m m con coeicientes constantes reales λ µ escogidos de la siguiente manera F ( ) G ( ) a λ. m + µ m = Las potencias ormales con exponentes n = están deinidas por una órmula recursiva ( n+ ) ( n ( a ; ) ( n + ) Z ) ( a ; ζ ) d ( ) ζ Z m m+ F m G m Esta deinición implica las siguientes propiedades. =. (.). ( ) ( a ) es una unción ( ) Z n m ; F pseudo analítica de. m G m. Si a y a son constantes reales entonces Z ( n ) ( n ( ) ) ( n a + ia ; = a Z ( ; ) + a Z ) ( i ) m m m ; 3. Las potencias ormales satisacen las relaciones dierenciales d n ( F G ) Zm( a ; ) ( a ) m m n = nzm+ ; d 4. Las órmulas asintóticas ( n ) n ( a ; ) a( ) Z son válidas (ver (3.)). m Asumimos ahora que 6

32 W ( n ( ) Z ) ( a ; ) n= Un nuevo método numérico para la solución de = (.) la serie converge uniormemente en alguna vecindad de donde la ausencia del subíndice m signiica que todas las potencias ormales corresponden al mismo par generador (F G). El límite uniorme de las unciones pseudoanalíticas es pseudoanalítico y una serie que converge uniormemente en las series de unciones (F G) pseudoanalíticas puede ser dierenciada término a término. Por lo tanto la unción W en (.) es una unción (F G) pseudo analítica su r-esima derivada admite la expansión siguiente: W + [ r ] ( ) n ( n )... n ( n r ) Z ( n r = ) ( a ; ). n= r La órmula de Taylor para los coeicientes es: [ n ] ( ) r W a = n n!. (.3) Deinición 8. Sea W() una unción (F G) pseudoanalítica deinida para pequeños valores de n. La serie n= Z ( n ) ( a ; ) n (.4) con los coeicientes dados por (.3) es llamada serie de Taylor (F G) de W en construida con las potencias ormales. La serie de Taylor siempre representa la unción asintóticamente para toda N Є N W n n= ( n ( ) ) N + Z ( a ; ) = O ( ). es decir: (.5) 7

33 Esto implica (ya que una unción pseudo analítica no puede tener ceros de orden arbitrariamente alto sin desvanecerse idénticamente) que la secuencia de derivadas { W [ n ] ( )} determina la unción W de orma única. Si la serie (.4) converge uniormemente en una vecindad de ésta converge a la unción W. Teorema 3. La expansión de Taylor (.4) de una unción pseudoanalítica en potencias ormales deinida por una secuencia generadora periódica converge en alguna vecindad del centro. Proposición.[7] Sea b una unción compleja en la que b toma algún valor real y sea W=u+iv una solución de la ecuación Entonces u es una solución de la ecuación y v es una solución de la ecuación W = bw. ( bb + b ) u = u (.6) ( bb b ) v = v. (.7).4 Relación entre las unciones analíticas generaliadas y las soluciones de la ecuación de Schrödinger.4. Factoriando el operador de Schrödinger Es bien sabido que si es una solución particular de la ecuación unidimensional estacionaria de Schrödinger 8

34 d dx + v ( x) ( x) = entonces el operador de Schrödinger puede ser actoriado en la orma: d dx v d d. ( x) = + dx dx Podemos comenar con la generaliación de este resultado en una situación de dos dimensiones. Consideremos la ecuación ( + ) = ν (.8) en algún dominio Ω R donde = + x y v y son unciones reales. Asumimos que es una unción dos veces dierenciable y continua. Denotamos con C al operador de conjugación compleja. Teorema 4. Sea una solución particular no desvaneciente en Ω de (.8). Entonces para cualquier unción real φ continua real dos veces dierenciable en Ω la siguiente igualdad es válida. ( v) ϕ = + C C ϕ. (.9) Corolario. Como ϕ = Cϕ en (.9) es una unción de valor real podemos quitar el operador conjugación en el segundo operador de primer orden por la derecha y por lo tanto (.9) toma la siguiente orma: ( v) ϕ = + C ϕ. El operador puede ser representado como: =. 9

35 Introducamos la siguiente notación P =. Según el teorema 4 si es una solución no desvaneciente de (.8) el operador P transorma las soluciones w = P de (.8) en soluciones de la ecuación + C w = (.) Note que el operador aplicado a una unción de valor real ϕ puede ser considerado como un gradiente y si sabemos que ϕ = Φ en todo el plano complejo o en un dominio convexo en donde Φ = Φ + i Φ es una unción de valor complejo dada tal que su parte real Φ y su parte imaginaria Φ satisacen la ecuación: y Φ + xφ =. (.) Entonces podemos reconstruir ϕ hasta una constante arbitraria real c de la siguiente manera: x ( x y) Φ ( η y) dη Φ ( x ξ ) dξ + x y ϕ = (.) c y donde (x y ) es un punto arbitrario en el dominio de interés. Por A denotamos el operador integral y c una constante arbitraria en (.) A x y. x y [ Φ]( x y) = Φ ( η y) dη Φ ( x ξ ) dξ + c Notemos que la órmula (.) puede ser ácilmente extendida a cualquier dominio simple conexo considerado a lo largo de una curva rectiicable Γ desde (x y ) a (x y) ( x y) = ( Φ dx Φ dy) + c Γ ϕ. Si Φ satisace (.) existe una amilia de unciones reales ϕ tal que órmula ϕ = A[ Φ]. ϕ = Φ dada por la

36 De manera similar deinimos el operador A correspondiente a A Un nuevo método numérico para la solución de : x y. x y [ Φ]( x y) = Φ ( η y) dη + Φ ( x ξ ) dξ + c Considere el operador S = A. Es claro que PS = I. PRUEBA: Sea ψ una unción compleja arbitraria PSψ A = P[ A( ψ )] = [ [ A( ψ ) ] [ ( ψ )] = ψ = PSψ = ψ Proposición. [8] Sea una solución particular que no se desvanece de (.8) y w una solución de (.). Entonces la unción = Sw es una solución de (.8). Proposición 3. [8] Sea una solución de (.8). Entonces en donde c es una constante real arbitraria. S P = = c = El Teorema 4 junto con la Proposición nos muestran que la ecuación (.8) es equivalente a la ecuación de Vekua (.) en el siguiente sentido: las transormaciones indicadas convierten una solución de (.8) en soluciones de (.) y viceversa..5 La ecuación principal de Vekua La ecuación (.) está estrechamente relacionada a la siguiente ecuación de Vekua. C W =. (.3) Observemos que el siguiente par de unciones: F = y G = i / (.4)

37 es un par generador de W en (.3). Entonces los coeicientes característicos correspondientes A ( F G) y B ( F G ) tienen la orma A ( F G ) = B ( F G ) = y la (F G) derivada de acuerdo a (.8) se deine como sigue: W = W W = C W. Comparando B ( F G ) con el coeiciente en (.) junto con el Teorema obtenemos lo siguiente. Proposición 7. Sea W una solución de (.3) entonces la (F G) derivada la unción w = una solución de (.). W es Este resultado puede ser veriicado por sustitución directa. De acuerdo con (.) y tomando en cuenta que la (FG) antiderivada tiene la orma: F* = i y G* = / w ( ζ ) d ( ) ζ = ( ) = F G ( ) Re w Re ( ζ ) i dζ + ( ζ ) ( ) ( ζ ) i dζ ( ζ ) ( ) Im w Re ( ζ ) w( ζ ) dζ i ( ζ ) w( ζ ) dζ = (.5) y obtenemos lo siguiente: Proposición 5. Sea w una solución de (.) entonces la unción es una solución de (.3) W ( ) w F G ( ζ ) d ( ) ζ =

38 Sean φ y ψ unciones de valores reales. Es ácil ver que la unción W iψ = φ + es una solución = de (.3) si y sólo si φ y ψ satisacen la ecuación ψ i φ la cual es equivalente al sistema = ψ x + φ y ψ y φ x Deiniéndo la así llamada unción p-analítica ver ([98]) donde = p =. Proposición 6. Sea W una solución de (.3). Entonces u=rew es una solución de (.8) y v = ImW es una solución de la ecuación: + v = v (.6) Prueba. Observe que el coeiciente b= en (.3) satisace la condición de la Proposición b = = v. De acuerdo con la Proposición u es una solución de (.6) y v es una solución de (.7). Calculando la expresión bb + b = v y bb b v = completamos la prueba. Proposición 7. Sea u una solución de (.8) entonces la unción v ker + v tal que W = u + iv es una solución de (.3) es construida de acuerdo a la órmula ( ( u ) v = A i. (.7) Ésta es única excepto por un término aditivo c en donde c es una constante real arbitraria. 3

39 Dada ker + v v la correspondiente u ( v) ker puede ser construida como sigue ( ( v) ) u = A i (.8) hasta un término aditivo c. Prueba. Considere la ecuación (.3). Sea W iψ = φ + su solución entonces la ecuación = ψ i φ (.9) u es válida. Note que si u = ReW entonces φ =. Dadas φ ψ es ácil obtener en (.8) ( i φ ) ψ = A. De tal manera que la expresión A( i φ ) tiene sentido esto es x ( x ) + y ( φ y ) = φ. Por la proposición 6 la unción v = ψ es una solución de (.6). Así obtenemos (.7). Notemos que mientras el operador A reconstruye la unción escalar hasta una constante arbitraria real la unción v en la órmula (.7) es únicamente determinada por el término aditivo c en donde c es una constante real arbitraria.la ecuación (.8) se prueba de manera similar. Nota. El potencial de la ecuación de Schrödinger (.6) tiene la orma de un potencial obtenido después de la transormada de Darboux (c [] [4]) y las órmulas (.7) y (.8) pueden ser consideradas como un análogo en dos dimensiones de la transormada de Darboux aunque no es claro cómo incluir en nuestras consideraciones los eigenvalores del operador. 4

40 Un nuevo método numérico para la solución de Nota. Cuando v y (.7) y (.8) se convierten en las bien conocidas órmulas del análisis complejo para construir unciones armónicas conjugadas []. Nota 3. La ecuación (.3) puede ser escrita de la siguiente manera + ( P + i P ) W = (.3) + donde P = ( I + C) i y P = ( I C). La orma del operador en (.3) sugiere la siguiente estructura del operador inverso H: ( A( Φ) + i A( i Φ) ) H Φ = (.3) donde Φ debe ser una unción tal que las expresiones A ( Φ) y ( Φ) A i toman sentido. Proposición 8. La unción W = HΦ deinida por (.3) es una solución de (.3) y equivalentemente de (.3) si y solo si Φ es una solución de (.) Prueba. Asumimos que Φ es tal que las expresiones ( Φ) y ( Φ) Im( Φ) A y ( i Φ) A toma sentido: y Re x (.3) = ( i Φ) Im( i Φ) y Re x =. (.33) En este caso substituimos la unción W = HΦ en (.3) así tenemos que: + ( P + i P )( A( Φ) + i A( i Φ) ) = ( A( Φ) + i A( i Φ) ) = ( Φ Φ) = = 5

41 Ahora probemos que (.3) y (.33) son equivalentes con el hecho que Φ es una solución de (.). Denotemos φ = ReΦ y ψ = ImΦ. Entonces (.3) y (.33) pueden ser reescritas como sigue ψ x y φ = x + y =. y ( φ ) ( ψ ) Las dos últimas igualdades son equivalentes al sistema el cual puede reormularse como: x y xφ + yψ = φ ψ x y xψ yφ = ψ φ Φ = Φ. Nota 4. Esta Proposición nos muestra que en el caso de la ecuación (.3) la (F G) antiderivada puede ser calculada usando (.3). Por lo tanto sea W una solución de (.3). Consideremos la (F G) derivada como sigue: W la cual es una solución de (.) junto con la Proposición 4 puede ser reescrita W = ( u) + i ( ) v donde u = ReW y v = ImW. Considere: HCW = = = A ( ( u ) A( i ( v) ) + i A( i ( u ) + i A( ( v ) A ( u + iv A( i ( v) ) + i A( i ( u )).. CW + i A CW = = 6

42 De aquí y de la Proposición 6 obtenemos: donde c y c son constantes reales arbitrarias. Un nuevo método numérico para la solución de ic HC W = u + iv + c + Aplicando el operador HC a las soluciones de (.) nos da el mismo resultado que la (FG) antiderivada deinida por (.5)..6. Series de Taylor en potencias ormales para unciones pseudoanalíticas y soluciones de la ecuación de Schrödinger Mostraremos en esta sección (.6) cómo para una amplia clase de potenciales mediante una solución particular de (.8) conocida se puede construir una secuencia ininita de soluciones teniendo la propiedad de ser completa. Lo cual ue probado en [5].6. Condición S Lema. Sea ϕ una unción analítica que no se desvanece. Entonces las soluciones de las ecuaciones. y W = bw (.34) ϕ w = bw (.35) ϕ están relacionadas entre sí de la siguiente manera: si W es una solución de (.34) entonces w =ϕ W es una solución de (.35) y si w es una solución de (.35) entonces W = w/ϕ es una solución de (.34). 7

43 Proposición 9. Sea una unción de la unción real ρ (x y) una variable real : ( ρ) que para una unción de valor real que no se desvanece η la ecuación = tal ρ ( ρ ) = η en Ω (.36) se cumple. Denotemos ϕ = iηρ entonces ϕ = ϕ y si W es una solución de (.3) entonces w=ϕ W es una solución de (.) y viceversa si w es una solución de (.) entonces W = w/ϕ es una solución de (.3). Prueba. Consideremos la expresión = ρ observe que ϕρ = ϕρ. Entonces ϕ ρ ϕ = = ϕ ϕ De (.36) es evidente que ϕ es analítica. Entonces denotando b = vemos que (.3) es la ecuación (.34) del Lema 6 y que la ecuación (.) es la ecuación (.35). Así del Lema 6 obtenemos el resultado. Consideremos la siguiente condición introducida en [3]. Condición. (Condición S) Sea una unción de alguna unción real ρ (x y) : ( ρ) = tal ρ ρ que ρ ρ es una unción de ρ. La denotamos como s ( ρ )=. ρ 8

44 La siguiente proposición nos da una descripción de todas las posibles soluciones de η en (.36)para una ρ dada. Proposición. Para una unción de valor real no trivial ρ existe una unción de valores reales que no se desvanece η tal que (.36) se cumple si y sólo si ρ satisace la condición S. Prueba. Sea ρ que satisace la condición 8. Denotemos η = e S donde S es la antiderivada de s con respecto a ρ consideremos S S S ( η ρ ) = ( ρ ) = se ρ + e ρ = e. Asumimos que para ρ existe una unción de valor real que no se desvanece η tal que (.36) se cumple. Entonces ρ + ρ = η η o de otra orma: η ρ = ρ. η ρ Si ρ es armónica entonces la Condición es obviamente satisecha así que consideremos el caso opuesto asumiendo que ρ no es armónica. La última ecuación puede ser escrita como sigue lnη = µ ρ ρ donde µ =. Para que el producto de µ ρ sea un gradiente es necesario que ρ [ µ ρ] = lo cual implica que µ ( ρ) µ =. S En la Proposición tenemos que la unción ϕ de la Proposición 9 tiene la orma ϕ = ie ρ ρ =. ρ donde S( ρ ) dρ 9

45 .6. Construyendo explícitamente las secuencias generadoras para la ecuación principal de Vekua con donde se satisace la Condición S Asumimos que es una solución que no se desvanece de (.8) y satisace la condición S. S Teorema 5. Sea ϕ = ie ρ en Ω. Entonces el par generador (F G) con F = y G = i/ está contenido en la secuencia generadora ( F G ) m ±... m = con F = ϕ F y m m ± m G m m = ϕ G. Prueba. Primero que nada mostremos que ( F m G m ) es un par generador para m = ± ±... tenemos Im m m m ( F m G ) = Im( Fϕ G) = Im( ϕ FG) > m ϕ tomando en cuenta que ϕ = es ácil obtener las siguientes igualdades y Debemos veriicar la igualdad la cual se convierte en: m a ϕ ( Fm Gm) = a( F G) B ϕ m b = b m ( Fm Gm) ( F G ) ϕ ϕ = ϕ m B ( Fm Gm ) m ( F G ) b ( F G ) B( F G ) (.37) = m m m m. 3

46 ϕ b ( F G ) = B( F G ) ϕ Como b (FG) = y B (FG) = por la Proposición 9 se obtiene que (.37) es verdad. Así como la secuencia ( F m G m ) m = ± ± satisace la condición de la deinición 6 y por lo tanto es una secuencia generadora. Este teorema abre el camino para construir explícitamente las potencias ormales de cualquier orden n correspondientes al par generador ( i/ ) así como a cualquier par generador contenido en la secuencia propuesta en el Teorema 5. Como consecuencia la teoría de Bers de la expansión en series de las unciones pseudoanalíticas puede ser usada para obtener la serie de Taylor explícitamente en potencias ormales para la ecuación de Schrödinger (.8) debido a las Proposiciones 6 y 7. De (.5) tenemos que cualquier unción pseudo analítica W puede ser aproximada en cualquier punto Ω con una precisión arbitraria mediante los primeros N miembros de su serie de Taylor en potencias ormales. También se puede aproximar con precisión arbitraria por medio de la suma de las partes reales de los primeros N términos de la serie de Taylor en potencias ormales de la unción W. Deinición 9. Sea u() una solución dada de (.8) deinida para pequeños valores de y sea W() una solución de (.3) construida de acuerdo a la Proposición 7 tal que ReW = u. Entonces la serie n= ( a ) Re n Z (.38) n ; con los coeicientes dados por la ecuación (.3) es llamada la serie de Taylor para u en ormados con las potencias ormales. 3

47 Teorema 6. ( n) ( ) N + a ; = O( ) N u ( ) Re Z n n= (.39) para toda N y si la serie (.38) converge uniormemente en una vecindad de esta converge a la unción u. Prueba. Ésta es una consecuencia directa de (.5). En conjunto con el Teorema 5 ya podemos construir Z ( n ) ( a ; ) n explícitamente para muchos casos prácticos interesantes. El caso más simple es cuando es una unción de una variable cartesiana: = (y) esto es consideramos la siguiente ecuación ( x y) + v( y) ( x y) = en Ω. (.4) Hagamos una observación útil. En este caso ρ = y ρ = i y = ϕ entonces ( F ) m G m =(FG) m = ± ±... y obviamente se tiene una secuencia generadora periódica con periodo..7 Algoritmo para el cálculo simbólico de potencias ormales En esta sección se presenta el primer resultado obtenido en este trabajo donde se describe el algoritmo para construir las potencias ormales basado en el material de las secciones anteriores los cuales son un desarrollo de [] el algoritmo puede ser programado en cualquier sistema de cálculo simbólico como se demuestra en el apéndice A para este trabajo se utilió el sotware Matlab. Con ayuda de una solución particular y una ρ unción real calculamos las potencias ormales el primer paso es el cálculo de la Potencia ormal Z. Cabe mencionar que para cada exponente n debido a la propiedad de las potencias ormales es suiciente construir la potencia ormal que corresponde al coeiciente de Taylor y la potencia ormal que corresponde al coeiciente de 3

48 Taylor i. Para construir las potencias de orden superior a cero necesitamos calcular la unción φ del teorema 5. Después calculamos la unción φ. Esta unción la podemos ácilmente programar siguiendo la órmula de la unción φ deinida en la condición S siguiendo la notación que se manejó en []. Para elaborar nuestra secuencia generadora F k G k utiliamos el teorema 5 según el cual F k k = ϕ G k k iϕ = donde k es un contador inicialiado en hasta N donde N será nuestro número de potencias ormales que se deseen calcular. Para la construcción de Z (n) (a ;) es necesario construir la potencia ( ) ( a Z n ) esto signiica que para cada n tenemos que encontrar de dos sistemas de ecuaciones ( ) Z n ) y ( ( ) Z n i ) esto conlleva a la solución ( ( ) + G ( ) Fn µ n = λ (.4) y ( ) G ( ) i η F. (.4) n + ξ n = Para este procedimiento se elaboraron dos subrutinas que aparecen en los Apéndices a.5 y a.6 respectivamente que calculan las constantes reales λ µ y η ξ de acuerdo a las órmulas (.4) y (.43) las cuales explicamos a continuación. Sea A=ReF n ( ) B=ImF n ( ) C=ReG n ( ) D=ImG n ( ) es decir F n ( ) = A + ib G n ( ) = C + id Entonces la ecuación (.4) es equivalente al siguiente sistema de ecuaciones: λ A + µ C = λ B + µ D =. 33

49 Como tenemos un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas con unas simples sustituciones y despejes podemos encontrar los valores de λ µ. D λ = BC AD B µ = (.43) BC AD La ecuación (.4) es equivalente al siguiente sistema de ecuaciones η A+ ξ C= η B+ ξ D= Para el caso de los coeicientes imaginarios el procedimiento para el calculo de η ξ es el mismo. C η = AD CB A ξ = (.44) AD CB Esta parte del algoritmo corresponde a los programas de los apéndices a.5 a.6. De acuerdo a la deinición 7 la construcción de la potencia de orden n implica una integración de la potencia del orden n la cual corresponde al par generador sucesor. Por lo tanto es necesario incluir una subrutina para el cálculo de la integral Para obtener * F m * = F Wd m (.45) * Wd GmWd + Gm m Re ( m ) Re ( F G ) Fm ( ) Γ Γ Γ * G m se utilian las órmulas de la deinición 4. F * m = F m G F m m F m G m G * m = F m G G m m F m G m. Así se logra construir las potencias ormales de orden superior las cuales son un conjunto completo de soluciones para la ecuación de Schrödinger. ( ) ( ) Z ; ( ) ( ) Z ; ( ) ( i ) Z ; ( ) ( i ) Z ; 34

50 ( ) ( ) Z ; ( ) ( i ) Z ; A continuación se presenta el algoritmo y los diagramas de lujo que detallan la secuencia de instrucciones en base a lo explicado en (.5).. Fig.. Algoritmo para el cálculo de las potencias ormales Inicio I Lectura de Datos y ρ II Deinir e inicialiar las variables a utiliar III Calcular la unción i los coeicientes constantes λ y µ y las variables F G IV Calcular las potencias ormales aplicando la órmula (.4) en un ciclo recursivo V Guardar valores de las potencias ormales en un arreglo y en un archivo de texto Fin 35

51 Fig.. Diagrama de Flujo Integrando Inicio No k<=n 3 No j<=k Si k < j Variables =e cy ρ=y Función φ N= K= Si F=φ k G=φ k i - Función lamu Z=λ F+µ G j= Función integrando Z=jZ; j=j+ 3 K=k+ Fin 36

52 Fig..3 Función φ Inicio Leer ρ = y ρ ρ = + x ρ y S ( ρ ) ρ = ρ ρ ρ ρ = i x y ϕ = ie S ρ Parámetro de salida φ Fin 37

53 Fig..4 Función lamu Inicio Leer F = φ k G = φ k i - Fλ +igµ = Fλ +igµ = A = real(f) B = imag(f) C = real(g) D = imag(g) λ = D/(BC-AD); µ = B/(BC-AD); Sustituímos en λ µ x = y = Salida λ (Z()) µ (Z()) Fin 38

54 Fig..5 Función etapsi Inicio Lectura F = φ k G = φ k i - Fη +igξ = Fη +igξ = A = real(f) B = imag(f) C = real(g) D = imag(g) η = C/(DA-CB); ξ = A/(DA-CB); Sustituimos en η ξ x = y = Salida η (Z()) ξ (Z()) Fin 39

55 Fig..6 Función Integrando Inicio Lectura de datos Z Φ - s s = j F( ) = φ s G( ) = φ s i - F * F = FG FG G * = G F G F G Sustituimos en FGF*G*W=Z x = xt y =yt Z * * = F ( ) Re G W ( x iy ) dt G ( ) Re F W ( x iy ) dt Datod de salida Z Fin 4

56 CAPÍTULO III DESCRIPCIÓN Y JUSTIFICACIÓN DEL MÉTODO NUMÉRICO En el campo de la ingeniería y ciencias existen ininidad de enómenos que requieren representarse mediante modelos matemáticos. Desaortunadamente la gran mayoría de estos modelos no tiene una solución exacta o no es ácil el hallarla. En estos casos es en donde los algoritmos numéricos proporcionan una solución aproximada al problema original. Un método numérico aceptable es aquél que de manera eiciente obtiene resultados que se aproximan a los que obtendríamos aplicando la solución analítica de un problema. El proceso numérico que utiliamos es el Método de colocación el cual es conocido como método directo de colocación puesto que construye la solución directamente es decir la solución aproximada debe satisacer la ecuación en los puntos de colocación. La solución numérica de un problema con valores a la rontera para la ecuación de Schrödinger se puede buscar en orma de una combinación lineal de las partes reales de las potencias ormales cuya construcción se presentó en el capítulo anterior. Los coeicientes en la combinación lineal se van a encontrar igualando la solución numérica con los datos a la rontera este método se explicará considerando el ejemplo del problema de Dirichlet para la ecuación de Helmholt. 4

57 3. Construcción de unciones para la ecuación de Helmholt Consideremos la ecuación de Helmholt ( + ) u = c (3.) siendo c una constante real arbitraria. Como ejemplo particular sea la solución particular = e cy. Esto nos permite utiliando el algoritmo expuesto en la sección anterior construir las primeras potencias ormales con centro en el origen en eecto: ( ) cy ( ) Z ; = e Z ( ) cy ( ) i; = ie Z () ( ; ) = xe cy + isenh( cy) c Z () ( i; ) senh cy = c ( ) cy + ixe Z ( ) ( ; ) ( ) ixsenh( cy) y senh cy = x e + + c c c cy Z ( ) ( i; ) = xsenh c ( cy) y senh( cy) + i x + e c cy c. Ahora tomando la parte real de las potencias ormales obtenemos un sistema completo de soluciones para la ecuación de Helmholt u ( x y) = e cy u ( x y) = xe cy senh( cy) u3 ( x y) = c u ( x y) 4 x y e c senh( cy) c = cy + xsenh( cy) u5 ( x y) =. c 4

58 3. Demostración de la aproximación de las potencias ormales cuando tiende a PRUEBA La órmula asintótica Z ( n ) n ( a ; ) a( ) m. Desarrollamos la serie de Taylor para cada uno de los términos de cada una de las potencias. Como ejemplo de la primera potencia tenemos: Taylor e cy + cy + (/)c y + (/6)c 3 y 3 + (/4)c 4 y 4 + (/)c 5 y 5 + (/7)c 6 y 6 + (/54) c 7 y 7 + (/43) c 8 y 8 + (/3688) c 9 y 9. Taylor senh(cy) cy + (/6) c 3 y 3 + (/) c 5 y 5 + (/54) c 7 y 7 + (/3688) c 9 y 9. Taylor /e cy cy + (/)c y (/6)c 3 y 3 + (/4) c 4 y 4 (/) c 5 y 5 + (/7) c 6 y 6 (/54) c 7 y 7 + (/43) c 8 y 8 (/3688) c 9 y 9. Cuando los valores para la serie de Taylor tienen potencias mayores a uno las cantidades se hacen más pequeñas y se hacen despreciables por lo tanto las vamos a descartar y sólo substituimos los valores donde las potencias son uno o menores a uno. Además sabemos que e e senh( ) = entonces: ( ) ( ) Z ; ~ e cy para ( ) ( ) Z ; ~ + cy = = ( ) Z ( ) ( i ) Z ; () ( ) Z ; ~ i/e cy para ( ) ( i ) Z ; ~ xe cy + /((i e cy )/c) /((i/c) e cy ) ( ) ~ i/ cy = i = i Z 43

59 () ( ) Z ; () ( ) Z ; ~ (+cy)x + (i/c)(senh(cy)) ~ x + cyx + iy~ x + iy= Z ( ) Un nuevo método numérico para la solución de () ( i ) Z ; ( ) ( ) Z ; ~ (/c)senh(cy) + ix /e cy () ~ cy(/c) + ix( cy) ~ y + ix icy ~ ix y = i Z ~ x e cy (y /c)e cy + senh(cy)/c + (ix/c)senh(cy)= x ( + cy) (y /c) ( + cy) + cy /c +(ix/c) cy = x + ix y y = ( ) ( i ) Z ; ~ x / c(senh(cy) + (iy/c)e cy isenh (cy)/c + x e cy = xcy/c + (iy/c (iy/c) cy ) icy /c + ix ( cy) = ( ) Z xy iy + ix ix cy = xy iy + x ix cy = ix xy iy ( ) = i Z. Se aplicó el siguiente límite para demostrar que eran correctas nuestras ecuaciones ( n ( Z ) ( ) ) Taylor ; lim x = n y Z Quedando demostrado en el programa obteniendo para cada uno de los casos de las potencias ormales tanto en el caso de las potencias reales como en el de las potencias imaginarias. 3.3 Método de Colocación Consideremos el problema de Dirichlet para la ecuación de Helmholt en un círculo unitario con el centro en el origen. Se requiere encontrar una unción u que sea solución de la ecuación de Helmholt dentro del círculo y en los puntos de la circunerencia unitaria que coincida con una unción dada h. 44

60 45 Fig. 3. Puntos de Colocación para la solución aproximada Sobre la circunerencia unitaria se escoge de una manera uniorme la misma cantidad de puntos de colocación que el número de las unciones u k. La solución aproximada del problema de Dirichlet en consideración se busca en la orma siguiente: = = n k a k u k u ~ igualando u ~ con h en los puntos de colocación obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales algebraicos para encontrar las incógnitas a k : = ) (... ) ( ) ( ) (... ) (... ) ( ) (... ) (... ) ( ) ( ) (... ) ( ) ( ) (... ) ( ) ( n n n n n n n n n n n n n y x h y x h y x h y x h a a a a y x u y x u y x u y x u y x u y x u y x u y x u y x u y x u y x u y x u Donde (x k y k ) son las coordenadas del k-ésimo punto de colocación. r= t t t t t t t t t t S Г h u = Γ

61 Sea U la matri de coeicientes u k a el vector de incógnitas a k y h el vector de los valores de la unción conocida h en los puntos de colocación. Así que el sistema de ecuaciones obtenido se puede representar en orma matricial U a = h de donde: a = U h Una de las condiciones para invertir la matri U es veriicar que su determinante sea dierente de cero.. Resolviendo la ecuación matricial encontramos los coeicientes a k de la solución aproximada Para probar el uncionamiento del método numérico se requiere algún modelo de prueba para el cual se tenga la solución exacta entonces se hace el estudio de la precisión del método numérico comparando la solución aproximada con la solución exacta en los puntos que diieran de los puntos de colocación. Como se muestra en la igura 3. T r = T Г T T R<r u = h Γ Fig. 3. Puntos de colocación para la solución aproximada y la solución exacta 46

62 3.4 Tipos de error y sus deiniciones Aproximación numérica y teoría de errores Debemos conormarnos siempre en la práctica de la ingeniería y de las ciencias con una solución aproximada a un problema por las siguientes raones: Los modelos matemáticos son aproximados esto es simpliicaciones al problema real. No se toman en cuenta todos los actores que aectan a un enómeno. Por ejemplo en el caso del tiro parabólico se suele despreciar la resistencia del aire sin embargo ésta puede ser importante. Los modelos matemáticos requieren de parámetros que la mayoría de las veces provienen de mediciones experimentales y éstas sólo tienen una precisión limitada que depende del instrumento de medición. Un modelo matemático es cada ve más complicado si se quiere simular la realidad de manera muy cercana entonces las correspondientes ecuaciones son muy diíciles de resolver y es necesario recurrir a métodos numéricos. Tenemos que aceptar que siempre se tendrán presentes errores que pueden clasiicarse en: Los errores inherentes son aquellos que tienen los datos de entrada de un problema y son debidos principalmente a que se obtienen experimentalmente debiéndose tanto al instrumento de medición como a las condiciones de realiación del experimento. Como ejemplo si el experimento es a temperatura constante y no se logra esto más que en orma aproximada. También pueden deberse a que se obtengan de cálculos previos. Por ejemplo si el valor calculado es el de un número irracional como π. 47

63 Errores de truncamiento Los errores de truncamiento se originan por el hecho de aproximar la solución analítica de un problema por medio de un método numérico. Como en el caso cuando se evalúa la unción exponencial por medio de la serie de Taylor donde se tiene que calcular el valor de la siguiente serie ininita: e y = + y + y +! 3 y +... = 3! n= n y n! Ante la imposibilidad de tomar todos los términos de la serie se requiere truncar después de cierto número de términos. Esto nos introduce un error que es el error de truncamiento. Éste es independiente de la manera de realiar los cálculos sólo depende del método numérico empleado. Errores de redondeo Los errores de redondeo nacen al realiar los cálculos que todo método numérico o analítico requiere y son debidos a la imposibilidad de tomar todas las ciras que resultan de operaciones aritméticas como los productos y los cocientes teniendo que retener en cada operación el número de ciras que permita el instrumento de cálculo que se esté utiliando. Así al determinar el valor de tenemos que quedarnos solo con la mayor cantidad de ciras que maneje nuestro instrumento de 3 cómputo. Los errores anteriores también suelen denominarse uentes de error. La magnitud del error generada por alguna o todas las uentes de error mencionadas anteriormente se puede cuantiicar con ayuda de los siguientes parámetros: Error El error se deine como la dierencia entre el valor real V r y una aproximación a este valor V a : e = V r V a. 48

64 Error relativo El error relativo se deine como el cociente del error entre el valor real V r ( si V ): r e r e V r a = =. r V V V r Error porcentual El error porcentual es simplemente el error relativo expresado en por ciento (%).. También es usual emplear el valor absoluto en los parámetros anteriores en cuyo caso se denominan respectivamente error absoluto error relativo absoluto y error porcentual absoluto. Para nuestro caso deinimos el error como err = u ~ h. Para comparar el error de nuestro método substituimos los valores para la unción h(x y) y la expansión u ~ ( x y ). De aquí obtenemos valores para cada uno de los casos que más adelante analiaremos en las tablas de resultados. 3.5 COMPARACIÓN CON Matlab 6.5 PDE TOOL 3.5. PDE (Partial Dierential Equations) TOOL Es una herramienta de Matlab que permite resolver ecuaciones dierenciales en derivadas parciales utiliando el Método del Elemento Finito. Con la utiliación de la intera gráica denominada PDE TOOL se pueden deinir problemas en D o 3 D con condiciones de rontera tipo Dirichlet Neumann o mixtas y PDE de tipo elíptica 49

65 hiperbólica o parabólica. Para nuestro caso usaremos la Ecuación de Helmholt siendo nuestra opción la PDE elíptica con condición de rontera Dirichlet. La resolución de problemas con PDE numéricamente se logra generando una estructura de malla discretiando las ecuaciones y produciendo una aproximación a la solución en donde se puede visualiar el resultado. PDE TOOL tiene una intera gráica donde se elige la igura geométrica a la cual se le quiere aproximar la solución el siguiente paso es ir deiniendo las condiciones de rontera así como el tipo de PDE. Posteriormente se deine la malla que uno desea teniendo como opción escoger cuántas veces se quiere reinar esta malla. Se resuelve y se graica el resultado teniendo como opción transportar los resultados numéricamente a la intera de trabajo de Matlab. PDE TOOL utilia el Método de Elemento Finito donde se considera un problema de valor de contorno. El método de elementos initos realia una discretiación tanto de la solución como del dominio. El dominio que se propone se particiona en pequeñas subregiones no superpuestas llamadas elementos initos el elemento que Matlab utilia es el denominado de supericie tipo triangular. Fig.3.3 Formación de malla 5

66 Para esta malla Matlab obtiene tres matrices p e y t. En la matri Punto denotada como p el primero y segundo renglón contienen las coordenadas x y en los puntos de la malla para cada uno de los triángulos. Para la matri Borde denotada como e el primero y segundo renglón contienen los índices de inicio y in de los puntos el tercero y cuarto renglón contienen el valor de los parámetros de inicio y in el quinto renglón registra el tamaño del segmento y el sexto y séptimo renglón contienen de iquierda a derecha el subdominio de los números. En la matri Triángulo denotada como t los primeros tres renglones contienen los índices de las esquinas dados en sentido de las manecillas del reloj y el cuarto renglón contiene el número de subdominios. Sea en la Fig.3.3 el dominio delimitado en rojo y la malla los triángulos interiores en donde las matrices p e t van a ser parte importante para la resolución del sistema ya que Matlab substituye los valores resultantes de estas matrices a las ecuaciones que construye para la solución. Para la comparación de los resultados deinimos un círculo unitario en D. Con condiciones de rontera tipo Dirichlet para los coeicientes h = r = e cx (la unción exponencial se escogió como la unción conocida a la rontera debido a que la continuación natural de esta unción es solución exacta del problema de Dirichlet en consideración) que satisacen la ecuación hu = r para las especiicaciones PDE el tipo de ecuación elíptica para la ecuación. div ( c u) + au = con = a = c =. Se inicialia la malla y se reina cuantas veces se desee. Lo que observamos en numerosas pruebas es que los resultados no mejoraban independientemente de las veces que se reinara la malla por lo que sólo se realió dos veces el reinado obteniendo para esto un tiempo raonable. Para dar el resultado con dos veces el reinado el número de nodos obtenidos es de 9. Esta aproximación es depositada en una variable llamada u que es la que enviamos a graicar. Lo que deseamos es graicar el error. En las especiicaciones de graicado tenemos la opción de 5

67 introducir manualmente alguna modiicación a este resultado de gráica y es aquí donde calculamos el valor absoluto de la dierencia de la solución aproximada y la ecuación que proponemos como solución exacta abs cx u e donde c corresponde al número de onda y x al primer renglón de la matri p. 5

68 Fig.3.4 Algoritmo para el cálculo del método de colocación Inicio I Lectura de potencias ormales VI Sustituir valores de a k en la solución aproximada II Obtener la parte real de las potencias ormales VII Generar puntos de colocación xy sustituir en h k III Calcular puntos de colocación en arreglo para xy sustituir en U VIII Construir solución exacta IV Construir matrices u k h k IX Calcular error error relativo error porcentual V Despejar y obtener coeicientes a k X Desplegar Resultados Fin 53

69 Fig 3.5 Diagrama de lujo para el método de colocación 54

70 55

71 CAPÍTULO IV REALIZACIÓN NUMÉRICA Y ANÁLISIS DE RESULTADOS 4. Convergencia y análisis de resultados La convergencia se reiere al hecho de que los métodos numéricos obtienen n términos de una sucesión de valores. Comenamos con un valor inicial x que sea una aproximación de la solución de un problema. Aplicando un método numérico se obtiene otra aproximación x. Se repite el procedimiento para obtener x y así sucesivamente es decir se genera la sucesión x x...x n (todos los términos son aproximaciones a la solución del problema). Si la sucesión obtenida al cabo de n iteraciones tiende a un límite se dice que el método es convergente o divergente en caso contrario. Para una unción h = e cx como solución exacta se resuelve el problema de Dirichlet en la ecuación de Helmholt. Se realiaron dierentes pruebas en las que variamos los puntos de colocación para la solución aproximada. En estos datos se observó que los resultados no varían mucho en el aspecto de la convergencia y la precisión del método de tal orma que para una ecuación y un punto de colocación el error es mayor y para 3 ecuaciones y 3 puntos de colocación el error decreció considerablemente; como puede verse en las Tablas de resultados 4.. El error obtenido para un total de 3 ecuaciones es del orden de -9. Para el error porcentual y relativo se obtuvo un error relativo del orden de -9 y un error porcentual de

72 La convergencia de nuestro método numérico se puede apreciar en la siguiente tabla 4.. Tabla de valores h=exp(c*x) Para r= y.<r<.9 Máximo valor de error Máximo valor de error Máximo valor de error Error Error relativo Error porcentual N=3C= n= 5.74E+ 8.69E+ 8.69E+ n= 3.8E+.85E+.85E+ n=3.6e+.6e+.6e+ n=4.e+ 8.7E- 8.7E+ n=5.4e- 6.38E- 6.38E+ n=6.4e-.e-.e+ n=7.e-.49e-.49e+ n=8 4.6E- 4.95E- 4.95E+ n=9.9e-.59e-.59e+ n= 6.98E E E- n=.76e E E- n=.6e-3.33e-3.33e- n=3 3.39E-4 4.7E-4 4.7E- n=4.8e-4.83e-4.83e- n=5 3.86E-5 5.7E-5 5.7E-3 n=6.38e-5.9e-5.9e-3 n=7 3.69E-6 5.E-6 5.E-4 n=8.37e-6.3e-6.3e-4 n=9 3.8E-7 5.5E-7 5.5E-5 n=.64e-8 3.4E-7 3.4E-5 n=.64e-8 4.E-8 4.E-6 n= 9.63E-9.6E-8.6E-6 n=3.9e-9.99e-9.99e-7 Tabla de Resultados 4. En la Figura 4. se puede ver más claramente cómo convergen los tres tipos de error estos valores resultan muy satisactorios. 57

73 En la gráica 4. podemos observar qué tan rápido tiende a cero el error absoluto del método.. Fig. 4. Convergencia 4. Comparación de resultados con PDE TOOL En el caso de la comparación con PDE TOOL en la Tabla de Resultados 4. podemos observar que cuando variamos el valor de c en nuestra solución particular de (3.) para valores pequeños los resultados que nuestro método da son muy buenos y más precisos que los obtenidos por medio de PDE TOOL pero para valores mayores a 4 el error se incrementa considerablemente. 58

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