DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO

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1 CAPÍTULO VI DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO Julio 4 3 diciembre Lanzamieno: 5 ocubre 997 En ocubre de 997 la nave espacial Cassini-Huygens fue lanzada desde la Tierra en un viaje hacia Saurno que demoraría un oal de 7 años. En su camino, la nave pasó dos veces cerca de Venus, se acercó de nuevo a la Tierra y pasó juno a Júpier. En cada uno de esos acercamienos la nave adquirió nuevos impulsos, sin los cuales nunca habría podido llegar a su desino. Los ingenieros de vuelo usaron las leyes de la Física para describir el movimieno de la nave. Es decir, fueron capaces de deerminar la posición de la nave, su velocidad y aceleración en función del iempo. En ese capíulo esudiaremos las definiciones de los vecores posición, velocidad y aceleración, y las aplicaremos en paricular a movimienos en una dimensión. Observador y sisema de referencia Considere una persona senada omando una aza de é: esá en reposo o esá en movimieno? Una segunda persona, senada a su lado, dirá que la primera persona esá definiivamene en reposo: permanece senada, y el é en su aza no delaa ningún movimieno. En realidad, esas dos personas son pasajeros de un avión que vuela a unos 4[km/h]. Desde el puno de visa de una persona en el suelo, ambos pasajeros se esán moviendo a la misma velocidad del avión. Observe que los pasajeros no ienen ninguna percepción direca del movimieno del avión: incluso si miran por la venanilla y ven pasar el paisaje, podrían pensar que ése es sólo una maquea que se desliza lenamene hacia arás del avión. El movimieno es siempre relaivo: al decir que un objeo se mueve, siempre debe esablecerse con respeco a qué. Por ejemplo, el primer pasajero esá en reposo respeco del segundo, pero esá en movimieno respeco a la persona en el suelo. Ambas descripciones son igualmene válidas. Por muchos siglos, los aniguos asrónomos inenaron describir el movimieno de los planeas con respeco a la Tierra. Nicolás Copérnico comprendió que dicha descripción resulaba mucho más simple si los movimienos se describían con respeco al Sol. Llamaremos observador a una persona (real o hipoéica) o a un insrumeno que puede regisrar la posición de un cuerpo en función del iempo. Para poder describir el movimieno de un cuerpo, cada observador define un sisema de referencia, generalmene un sisema de coordenadas caresianas y un insane inicial para el iempo. 69

2 Posición El vecor posición r de un cuerpo es el razo dirigido desde el origen del sisema de coordenadas, hasa la posición del cuerpo en un insane dado. Si el cuerpo esá en movimieno respeco al observador, el vecor posición cambia en dirección, en magniud o en ambas. Ejemplo: Un comea recorre una órbia elípica alrededor del Sol, con un perihelio (mínima disancia al Sol) de,8[ua]. Escribamos el vecor posición del comea cuando pasa por el puno A ubicado a [UA] de Sol, como se indica en la figura, y ambién cuando pasa por el perihelio B. y A ra B rb O 53 Sol Como se conocen las disancias con respeco al Sol, escogemos a ése, como el origen de nuesro sisema de referencia: ra rb = [UA] cos53 î + [UA] sen53 ĵ (,6î +,8 ĵ)[ua] =,8[UA] î + ĵ,8î[ua]. La posición de un cuerpo en un insane queda deerminada por su vecor posición en ese insane. 7

3 Velocidad y aceleración El vecor velocidad de una parícula iene magniud igual a la rapidez insanánea de la parícula, y dirección angencial a la rayecoria en el senido del movimieno. Ejemplo: El comea del ejemplo anerior pasa por B con rapidez 8,[UA/año]. Al pasar por el puno C su rapidez es de 5,[UA/año]. En ese puno la reca angencial a la rayecoria forma un ángulo de 3º con el eje X. El comea demora,6[año] en viajar desde B hasa C. Deerminar el vecor aceleración media con que se mueve el comea cuando va desde B hasa C. y B O Sol C 3 Deerminemos primero el vecor velocidad del comea al pasar por B, y al pasar por C. v B = 8, ĵ [UA / año] v C = 5 [UA / año] cos3 î 5 [UA / año] sen3 ĵ (4,3î,5 ĵ) [UA / año] Calculemos el vecor cambio de velocidad Δ v del comea en el inervalo de iempo de,6[año] que demora en viajar desde B hasa C. vc vb Δ v B C Δ v B C = v C v B = (4,3î,5 ĵ) [UA / año] ( 8, ĵ [UA / año]) = (4,3î + 5,5 ĵ)[ua / año] Finalmene, calculemos el vecor aceleración media cuando el comea se mueve desde B hasa C. amedia = Δ v Δ = v v C B Δ 7

4 Observe que el vecor aceleración media se define en función de dos velocidades insanáneas. Reemplazando los valores de las velocidades y del inervalo de iempo: amedia = Δ v Δ = vc v B Δ (4,3î + 5,5 ĵ) [UA / año] = (7,î,6[año] + 9, ĵ) [UA / año ] El vecor aceleración media iene la misma dirección y senido que el vecor Δv. El vecor aceleración media no esá necesariamene dirigido en la dirección angencial a la rayecoria, como puede observarse en ese ejemplo. Es posible definir el vecor aceleración insanánea como el vecor aceleración media para un inervalo muy pequeño de iempo: ainsanánea Δ v Δ, para un Δ muy pequeño Dejaremos para más adelane el cálculo del vecor aceleración insanánea, en el caso más general de movimienos en rayecorias curvas. En el reso del capíulo nos limiaremos a movimienos recilíneos y a casos en que el vecor aceleración es consane. Movimieno en una dimensión Esudiaremos el movimieno de cuerpos que recorren rayecorias recilíneas, como los ejemplos epliciados en las figuras que van a coninuación. En odos los casos de ales movimienos, siempre es posible escoger un eje de referencia, de modo que los vecores posición, velocidad y aceleración de la parícula, se puedan epresar como r = rx î, v = v î y a = ax î, si el eje es nominado X. Las componenes escalares de esos vecores serán posiivas o negaivas, si las direcciones de dichos vecores coinciden con la dirección del eje de referencia o son conrarias a esa dirección. 7

5 Por ejemplo, considere un cuerpo lanzado vericalmene hacia arriba como se muesra en la figura. Si escogemos el eje y en dirección verical hacia arriba, el vecor posición queda epresado como: r = y ĵ, siendo y la coordenada de la posición del cuerpo. El vecor velocidad queda: v = v y ĵ en donde v y es la componene escalar del vecor velocidad en la dirección del eje y. No debe confundirse v y con la rapidez v del cuerpo, ya que esá úlima es siempre posiiva. y jˆ g En cambio, v y será posiiva si el cuerpo se mueve en senido posiivo del eje y, pero será negaiva cuando el cuerpo se mueve en senido conrario. Finalmene, el vecor aceleración queda epresado como: a = a y ĵ, en donde a y es la componene escalar del vecor aceleración en dirección del eje y. En ese lanzamieno, si se desprecia el roce del aire, el vecor aceleración del cuerpo es consane en magniud y dirección, ano de subida como de bajada y corresponde a la aceleración de gravedad g de modo que: g = es decir, a = g, siendo g 9,8 m s. ( 9,8[m / s ],vericalmene hacia abajo) = 9,8 ĵ[m / s ], a y = g, en donde g represena la magniud de la aceleración de gravedad, En las siguienes secciones esudiaremos movimienos en una dimensión. Como odos los vecores esán a lo largo de una sola dirección basa referirse a sus componenes escalares. No debe olvidarse que ésas pueden ener signo negaivo, cuando los correspondienes vecores ienen dirección opuesa a la del eje correspondiene. En general, usamos el érmino rapidez para referirnos a cambios en el iempo de una canidad física escalar y el de velocidad cuando consideramos el carácer vecorial de una canidad física que varía en función del iempo. Sin embargo, en forma coloquial y cuando por el coneo del asuno que se eamina no se produzcan ambigüedades, empleamos ocasionalmene velocidad y rapidez como sinónimos. 73

6 Movimieno recilíneo con rapidez consane Consideremos un movimieno de rapidez consane a lo largo de una rayecoria recilínea. La posición insanánea del móvil la indicamos por su disancia a un puno de referencia elegido en la rayecoria. Llamemos eje a un eje de coordenadas que coincide con la rayecoria del móvil y que iene su origen en el puno de referencia ( P.R.) escogido. P. R. O vr V V La posición del móvil en el insane la indicamos por la función = (). Enonces: ( ) = es la posición del móvil en el insane = ( ) La rapidez media para el inervalo de iempo esá dada por: v = Δ Δ = En un movimieno de rapidez consane, la rapidez insanánea coincide con la rapidez media en cualquier insane del movimieno. v = v Luego: donde v represena a la rapidez insanánea, v consane. que: Reemplazando y despejando enemos v = ( ) = v La diferencia de posición corresponde en ese caso a la disancia recorrida por el móvil en el inervalo de iempo. 74

7 Si eaminamos el gráfico, v en función de, vemos que el recángulo que corresponde al inervalo iene como lados v = V [m/s] y = Δ [s]. El produco de los lados de ese recángulo nos da el área V[m/s] Δ[s] = Δ [m], v [m/s] V[m/s] [s] Δ[s] que es igual al valor de. Eso lo epresamos diciendo que el área bajo la curva en el gráfico v en función de, para un inervalo Δ dado, es igual al cambio de posición Δ en ese inervalo. El nombre de área se usa por la analogía con el méodo de calcular el área geomérica, pero es en realidad un concepo diferene. Noe que: área bajo la dim curva v = dim ( rapidez ) dim iempo () = ( L τ ) τ = L ( ) = dim( disancia ) es decir, la dimensión de esa área es longiud. La epresión = v ( ) relaciona dos posiciones del móvil correspondiene a dos insanes dados. Los insanes y son dos insanes cualesquiera mienras se maniene la condición de movimieno recilíneo con rapidez consane. Enonces, si llamamos: ( ) = = ()= ( = ) la posición del móvil en el insane = = obenemos: () = v ( ) () = + v ( ) v 75

8 Esa úlima ecuación nos da la posición del móvil para cada insane de ese movimieno, siendo su posición inicial para el insane de referencia. X o La función = + v ( ) que describe la posición insanánea de un móvil en movimieno recilíneo a lo largo del eje con rapidez consane, es una función lineal del iempo. Observemos, ambién, que en un movimieno recilíneo con rapidez consane el móvil iene velocidad consane. O î V () V La velocidad consane v la epresamos en ese caso por: v = v î siendo su magniud: v = v = v que es consane para un movimieno con rapidez consane. Resolvamos a coninuación algunos ejemplos sobre esa maeria. Suponga que un barco se acerca a un puero siguiendo una rayecoria recilínea con rapidez consane de [mile/h]. En ciero insane el barco esá a 8[mile] del puero. Cuáno iempo más arde debe salir la lancha del prácico de bahía, para que viajando direcamene hacia el barco con rapidez consane de 5[mile/h], lo encuenre a,[mile] del puero? Llamemos eje X a la reca que coincide con las rayecorias del barco y de la lancha. Sea OB = el insane en que el barco esá a 8 [mile] del puero y, el insane en que la lancha sale del OL puero. L =? B = V L V B Puero = () = [mile] B = 8 [mile] [mile] 76

9 Ecuación del movimieno recilíneo de v () = + ( ) v = ce. Daos del barco Usamos un único cronómero para los dos móviles v B B B = 8 [mile] = [mile/hora] = B L B B =?, insane en que el barco pasa por = [mile]. ( B ) = [mile] Noa: se debe ener cuidado de epresar los daos del problema en unidades coherenes. Al reemplazar los daos en la ecuación del movimieno no escribiremos las unidades, pero es indispensable incluirlas en el resulado. Esas observaciones se seguirán en los problemas que vienen a coninuación. Reemplazo en la ecuación del movimieno de los daos del barco. ( ) = 8 B 8 B = =,6[h] Daos de la lancha () = [mile] L = vl = 5[mile/hora] L =,6[h] L =?, insane en que debe parir la lancha para enconrar al barco a [mile] del puero. Reemplazo en la ecuación del movimieno de los daos de la lancha = + 5(,6 L ), 6 L 5 = L =,6,8 =,5 [h] La lancha debe salir,5[h] después del insane en que el barco pasa por el puno de 8[mile] del puero. 77

10 Dos objeos A y B se mueven a lo largo de un mismo riel recilíneo, que iene,3[m] de largo, de acuerdo con las siguienes epresiones: 3, = 4 + 7,8 A ( ) = ( ) donde las designan a las disancias medidas desde un eremo del riel y esán dadas en [cm], y los iempos, con el mismo insane de referencia para ambos objeos, se miden en [s]. Calculemos la rapidez media de alejamieno enre esos objeos. B En el iempo la separación del objeo B respeco al A es: s = () B() A() s() = ( 4 + 7,8 ) 3, s() = 4 + 4,7 Enonces, en el insane + Δ la separación es: s + Δ = 4 + 4,7 + Δ ( ) ( ) ( ) = 4 + 4,7 + 4,7 Δ = s() + 4,7 Δ Posición O s() s(+δ) +Δ B () A () iempo Con lo cual, el correspondiene incremeno de separación resula: y por lo ano, la rapidez media de alejamieno es: Δ s = s ( + Δ) s( ) = 4,7 Δ v a Δs 4,7 Δ = = = 4,7[cm/s] Δ Δ Dado que la rapidez media v a resula independiene del incremeno de iempo de los objeos se efecúa con rapidez consane. Δ, el alejamieno Noe que la conclusión de que los cuerpos se alejan enre sí con rapidez consane podemos obenerla direcamene al eaminar la epresión: s( ) = ( 4 + 4,7 ) [cm] con en [s]. que nos dice que la separación inicial es ( ) v a = 4,7[cm/s], consane. s = s = 4[cm] y que la rapidez de alejamieno es Le adverimos que debe ener en cuena que el procedimieno seguido, y por lo ano, el resulado obenido, son válidos sólo mienras ambos objeos se mueven sobre el riel. Dejamos a used la area de calcular el insane a parir del cual las epresiones obenidas dejan de ener significado físico. 78

11 Movimieno recilíneo: eperimeno A coninuación le presenamos un eperimeno realizado con un carrio que puede moverse en un riel recilíneo. vibrador cina hilo polea Para regisrar las caracerísicas del movimieno del carrio se une a él una cina de papel que pasa por un vibrador. A medida que el carrio se desplaza, el vibrador imprime marcas sobre la cina a inervalos iguales de iempo. Para producir el movimieno solamos el cuerpo C que esá unido al carrio mediane un hilo como se muesra en la figura anerior. Una de las cinas obenidas al ejecuar ese eperimeno se reproduce, al cosado de la página. Los punos consecuivos fueron marcados a iguales inervalos de iempo, de [ms]. La disancia enre dos punos consecuivos corresponde a la disancia recorrida por el carrio en [ms]. Con mediciones efecuadas en la cina confeccionamos la siguiene abla de valores. [s] s [cm],,,4 6,63,6 3,55,8 3,, 34,97, 49,47,4 66,5,6 86,7 Δ s [cm] v [cm/s],, 4,43, 6,9 34,6 9,46 47,3,96 59,8 4,5 7,5 7,4 85, 9,56 97,8 c Observación: Las disancias enre los punos esán en proporción a la abla. 79

12 Donde: es el iempo ranscurrido desde la iniciación del movimieno. s es la disancia recorrida por el carrio durane el iempo. Δ s es la disancia recorrida en cada inervalo de,[s]. v = Δs Δ es la correspondiene rapidez media. Mediane los daos de la abla consruimos gráficos que represenan la disancia recorrida y la rapidez media en función del iempo. s [cm] v [cm/s] 8 6 4,,4,6,8,,4,6 [s],,4,6,8,,4,6 [s] Observamos que para iguales inervalos de iempo los incremenos de la disancia recorrida por el móvil son cada vez mayores y que la rapidez no es consane, lo que indica un movimieno acelerado. Al hacer el gráfico rapidez media versus iempo, obenemos una curva escalonada. Por ora pare, como sabemos por la eperiencia que la rapidez del móvil no va cambiando a salos, represenamos la rapidez insanánea por una curva coninua, en ese caso por una reca que une los punos medios de los razos que represenan las rapideces medias. Con los valores de la rapidez insanánea correspondienes a esos punos medios y sus respecivos insanes confeccionamos la siguiene abla: 8

13 [s] v cm s,,,3,,5 34,6,7 47,3,9 59,8, 7,5,3 85,,5 97,8 Δ v cm s a cm s, 56,,4 6,,7 63,5,5 6,5,7 63,5,7 63,5,6 63, a[cm/s ],,4,6,8,,,4,6 [s] Los valores de esa abla nos indican, denro de los errores de medición, que la aceleración en ese movimieno puede considerarse consane. La aceleración en el primer inervalo de iempo es diferene debido a la influencia del modo como se inicia el movimieno del carrio. Un movimieno recilíneo con aceleración consane Consideremos un objeo en movimieno al que su rayecoria es recilínea y su aceleración es consane. Sean v y v las velocidades del móvil en los insanes y, respecivamene, con las direcciones indicadas en la figura adjuna. Dado que la aceleración es consane, la aceleración media iene el mismo valor para cada insane, por ano: v a = a = Δ v Δ de donde: = v v ( ) Δ v = v v = a Noemos que la variación de rapidez en un inervalo de iempo corresponde al área bajo la curva de aceleración versus iempo en ese inervalo dado. v () Si en un insane de referencia la rapidez es v, enonces, en un insane arbirario, la rapidez puede escribirse, usando la fórmula anerior como: v ( ) ()= v + a 8

14 Consideremos a coninuación el gráfico de la rapidez v en función del iempo. Calculemos el área bajo la curva en el inervalo (, ). A = v + v v ( ) ( ) ( ) A = v + v v ( ) ( ) ( ) v v A = v + ( ) ( ) v v donde a = A = v ( ) ( ) + a, porque a = ce. El área bajo la curva represena el desplazamieno o cambio de posición de la parícula Δ. Si la posición es en = y () en el insane, se cumple que: () = ( ) ( ) + v - + a -. Esa es la ecuación de la posición de un móvil para un movimieno recilíneo de aceleración consane. Resumiendo, en la descripción del movimieno de un objeo que sigue una rayecoria recilínea y cuya aceleración es consane, podemos llamar: eje a un eje de coordenadas coincidene con la rayecoria recilínea. = a un insane de referencia. a la posición del móvil en. v a la rapidez del móvil en. = a v v a = () 8

15 Con al noación, las caracerísicas del movimieno quedan deerminadas por las ecuaciones: a...aceleración consane. () X ( ) () ( ) ( ) v = v + a..rapidez insanánea. = + vx + a.posición insanánea. que nos dicen que para un movimieno de aceleración consane, la rapidez es una función lineal del iempo y la posición del móvil es una función cuadráica del iempo. Esas ecuaciones quedan ilusradas para dos casos pariculares, por los siguienes gráficos: a v v a v v 83

16 Ejemplos Una parícula se mueve a lo largo del eje de modo que la componene v de su velocidad varía con el iempo según el gráfico adjuno. Deermine el cambio de posición y el camino recorrido por la parícula. Usando el concepo área bajo la curva V [m/s] A 4 A = [m/s] [s] = [m] A = 8[m/s] 4[s] = 6[m] -8 A [s] Observe que el área A resula negaiva. Eso significa que el móvil esá moviéndose en dirección conraria al eje. Cambio de posición = A + A = 6 = 84[m] En = 4[s] la parícula esá a 84[m] a la derecha del puno en que esaba en =. Camino recorrido = A + A = + 6 = 6 [m] Observe además, que no hay daos en el enunciado que nos permian saber dónde esá la parícula en cualquier insane. Suponga a coninuación que la parícula pasó por el origen en =, enonces: Aplicando la ecuación ()= + v X ( ) + a ( ) : v Posición = [m/s] ; = ; = 4[s] ; = ; a = [m/s ] ( 4) = ( 4) = 8 96 = 84[m] Camino recorrido de = a =. v Camino recorrido de [s] = [m/s] ; = ; a = [m/s] ( ) = = [m] = a = 4[s]. 84

17 Enre los insanes [s] y 4[s] la parícula se mueve en dirección opuesa al eje. El cambio de posición es: Δ = ( 4) ( ) = 84[m] [m] = 6[m] El camino recorrido en ese inervalo es igual al valor absoluo del cambio de posición. d = Δ = 6[m] Toal del camino recorrido = + 6 = 6[m] La ecuación ()= + v X ( ) + a ( ) es válida cualesquiera que sean los signos de v o y de a. Pero ( () ) no necesariamene es la disancia recorrida por la parícula. Supongamos que el despegue de un je se efecuó en 4[s] con aceleración consane de,5[m/s ]. Calculemos la disancia recorrida por el je sobre la pisa durane el iempo ranscurrido desde la parida hasa el despegue. = V = = = 4[s] v = ; a =,5[m/s ] ; = 4[s] () = v + a ( ) ( ) 4,5 4 Disancia recorrida para el despegue = [m]. ( ) =, ( 4) = disancia recorrida Dos cuerpos A y B se mueven recilíneamene en el mismo senido con aceleraciones consanes de,[m/s ] y,5[m/s ] respecivamene. En ciero insane el cuerpo A se encuenre a 5[m] delane de B y las velocidades de A y B son [m/s] y 3[m/s] respecivamene. Calculemos cuándo y dónde B alcanza a A. B = v B = 3 [m/s] a =,5 [m/s ] X B = A = v A = [m/s] a A =, [m/s ] X A = 5[cm] =? [m] =? Encuenro de A y B 85

18 Ecuaciones del movimieno: v ( ) = v + a ( ) ( ) = + v ( ) + a ( ) Ecuaciones para A: Ecuaciones para B: va = +, A = 5+ +, vb = 3+,5 B = 3 +,5 Cuando B alcanza a A, se cumple que A = B. Luego , = 3 +, = 3 +,75,5 + 5 = ± 44 4,5 5 =,5 = 45,8[s] =,[s] Se iene dos valores para. Significa que B alcanza a A en aceleración mayor que la de B, logra alcanzar a B a los 45,8[s]. Vamos a calcular la disancia recorrida por B hasa alcanzar a A. B = 3,+,5, B = 54,[m] disancia recorrida por B hasa alcanzar a A. =,[s]. Pero como A iene Used puede inenar calcular lo recorrido por A o por B desde = hasa el insane 45,8 [s]. Un cuerpo que sigue una rayecoria recilínea sale del reposo con aceleración de 3,[m/s ], la que maniene a lo largo de 6[m]. Después coninúa con velocidad consane durane 8,[min] y finalmene desacelera a razón de,9[m/s ] hasa deenerse. Deerminemos la aceleración, la rapidez y la posición del cuerpo en función del iempo. Elijamos como eje la dirección del movimieno y = el insane en que pare el cuerpo del origen =. Escribiremos las ecuaciones de movimieno usando las unidades [s], [m], [m/s] y [m/s ] para iempo, disancia, rapidez y aceleración respecivamene. En ese movimieno podemos considerar res eapas, según los valores de la aceleración. Esas eapas las podemos visualizar en los siguienes gráficos cualiaivos. 86

19 a v v En la primera eapa el cuerpo recorre una disancia a = 3,[m s ]. La rapidez en esa eapa del movimieno es: v() = a = 3, siendo v = y la posición insanánea esá dada por: a () = =,5 Luego, el insane en que el cuerpo esá a 6[m] del origen esá dado por: y la rapidez en el insane 6[m] = = = [s] a 3,[m/ s ] = [s] es v ( ) = v = 6[m s]. = 6[m] con aceleración consane La segunda eapa del movimieno comienza en origen y con rapidez v = 6[m s]. La aceleración es a = [m s ]. La rapidez es v = v = 6[m s], consane. = [s] a = 6[m] de disancia del La posición esá descria por la ecuación: () = ( ) que es válida hasa = 5[s], que corresponde a los 8,[min] de la segunda eapa más los [s] de la primera. La posición alcanzada por el cuerpo al érmino de esa segunda eapa es: ( ) = = = 9,4 [m] 3 El cuerpo comienza su ercera eapa en el insane 3 = 9,4 [m] con una rapidez v =6[ms]. = 5[s], desde la posición Como en esa eapa el cuerpo esá someido a una desaceleración consane de magniud a3 =,9[m s ], las ecuaciones que rigen para la rapidez y la posición insanánea en esa pare del v = v a 5 = 6,9 5 movimieno son: () ( ) ( ) 3 v3 5 a3 5 () = + ( ) ( ) 3 ( ) ( ) = 9, ,

20 Esas ecuaciones son válidas hasa el insane 3 en que el cuerpo se deiene, insane que esá deerminado por la condición de que el cuerpo se deiene: que da el valor 3 567[s]. v = 6,9 5 = Luego ( ) ( ) 3 3 En resumen, la aceleración, la rapidez y la posición insanáneas del cuerpo esán descrias por: a ( ) = 3, ; [s] ; [s] < 5[s],9 ; 5[s] < 567[s] 3, ; [s] v ( ) = 6 ; [s] 5[s] 6,9 ( 5 ) ; 5[s] 567[s] ( ) =,5 ; [s] ( ) ; [s] 5[s] 9, ( 5 ),45 ( 5 ) ; 5[s] 567[s] donde esá dado en [s], () a en [m/s ]. Represene used en gráficos a escala la aceleración, rapidez y posición insanánea en función del iempo. en [m], v ( ) en [m/s] y ( ) Un pequeño disco es lanzado hacia arriba por un plano inclinado sin roce, con una rapidez inicial de 5,[m/s]. Debido a la inclinación del plano, el móvil iene una aceleración a =,7[m/s ]. Deermine el insane en que el disco alcanza el puno más alo. Calcule, además, la disancia recorrida por el móvil al cabo de 4, [s] de movimieno. = v = 5, [m/s] a =,7[m/s ] a v = a v Hacemos coincidir el eje con el plano inclinado. 88

21 Debido a la aceleración negaiva el disco sube hasa un puno en que su velocidad se hace y luego desciende. Ecuaciones del movimieno: v() v a ( ) = + ; v a () = + ( ) + ( ) usando los valores: =, =, v = 5,[m/ s], a =,7[m / s ] las ecuaciones de movimieno quedan: ()= 5,, 7 ; en [s], v en [m/s] v ()= + 5, + (, 7 ) ; en [s], en [m] En el insane en que el disco esá en el puno más alo v() =. Luego 5, = 5,,7 = = 3,[s], insane de v() =., 7 Posición del móvil en el insane 3, [s]. ( 3,) = 5, 3,,7 3, 8 [m] Posición del móvil en el insane 4, [s]. ( 4,) = 5, 4,,7 4, 6,8 [m] Camino recorrido de subida: 8 = 8[m] Camino recorrido de bajada: 8 6,8 =, [m] Toal camino recorrido: 8 +, = 9,[m] Las ecuaciones que describen la posición de dos cuerpos A y B que se mueven sobre una misma reca son respecivamene: A () () = 3, 6, 47 ; B = 9 + 8,5 4, ; c con epresado en meros, y en segundos. Represenemos la posición y la rapidez de cada cuerpo en función del iempo. Calculemos el insane c y la coordenada c del choque y las correspondiene velocidades en ese insane. Por la esrucura de las ecuaciones de posición nos damos cuena que la aceleración de cada cuerpo es consane. Las componenes de las aceleraciones son respecivamene: aa = 6,4[m s ] y ab = 8,[m s ] y las componenes de las respecivas velocidades insanáneas esán dadas por las ecuaciones: va = 6, + 6,4 y vb = 8,5 8,, en [m/s] Un esquema de las siuaciones para los insanes de referencia = y de choque c es el siguiene: c = c -Δ c c -Δ = ab va aa va vb v B 47 9 c [m] 89

22 En los gráficos adjunos vemos como cambian las posiciones y rapideces de cada cuerpo en el ranscurso del iempo. v [m/s] 3 [m] v A () 4 B () [s] [s] - v B () -4 A () -3 Para que se produzca el choque debe cumplirse: ( ) ( ) c c = + c c 3, 6, ,5 4, c 7,3 4,5 76 = dando como resulado: c 4,37[s]. El choque ocurre en el puno de coordenada c [m]. Como las velocidades insanáneas esán dadas por: va ( ) = v A ( )î = ( 6,4 6, )î[m/s] vb ( ) = v B ( )î = ( 8, + 8,5 )î[m/s], para el insane c 4,37[s] las velocidades de A y B son: va c c A c = eso es: ( ) î[m/s] y vb ( c ) 7 î[m/s] siendo sus magniudes [m/s] y 7[m/s] respecivamene. B c Ejercicios 6-) Dos lanchas paricipan en una carrera recilínea de 5[m]. Uno de los corredores decide desplazarse con una rapidez consane de 8[km/h]. El oro decide recorrer un primer ramo de [m] a 9[km/h], un segundo ramo de [m] a 8[km/h] y el reso del camino a [km/h]. Pero al minuo de haberse iniciado la carrera, la mea (que esá colocada sobre floadores ) cora amarras y es desplazada por el vieno hacia el puno de parida a razón de 4[m/s]. Cuál corredor llega primero a la mea? 9

23 6-) La abla adjuna muesra los valores de rapideces insanáneas de un auomóvil que parió del reposo. Haga gráficos de rapidez insanánea y de aceleración media en función del iempo. Cuál es la rapidez para =,5[s]? Cuál es el máimo valor de la aceleración? 6-3) Qué aceleración iene un cuerpo que, pariendo del reposo, se mueve con un movimieno recilíneo uniformemene acelerado y durane el seo segundo recorre 6,[m]? [s] v[m/s],,, 6,3,,6 3, 6,5 4,,5 5, 4, 6, 7,3 7, 9,5 8, 3,3 9, 33,, 34,9 6-4) Dado el gráfico rapidez en función del iempo, conese: Cuál es valor de la rapidez inicial? En qué inervalo de iempo la rapidez es consane? En qué inervalo de iempo la aceleración es mayor? Cuál es la disancia recorrida por el móvil?,5,,5, v [m/s], [s] 6-5) En ciero ipo de ubo elecrónico los elecrones eperimenan una aceleración de,8 5 [m/s ]. Calcule la rapidez que alcanzaría un elecrón,[ns] después de que saliera del cáodo con rapidez despreciable. 6-6) Un cuerpo que se mueve con movimieno recilíneo uniformemene acelerado viaja [m] en,[s]. Durane los próimos 3,[s] cubre 56[m]. Calcule la velocidad inicial del cuerpo y su aceleración. Qué disancia recorrerá en los próimos 5,[s]? 6-7) Si una nave espacial se dirigiera a la esrella Alfa Cenauro, siuada a 4,3[AL] de la Tierra, con aceleración consane de [m/s ] cuáno iempo demoraría en llegar y con qué velocidad llegaría? Comene. 6-8) En ciero insane un avión vuela con rapidez 5[km/h] sujeo a una aceleración de,[km/min ]. Si la dirección de vuelo y la aceleración se manuvieran consanes cuál sería la rapidez 5[min] más arde? 6-9) La disancia que hay enre dos esaciones de un Mero es de,5[km]. Considere que el ren recorre la primera miad de esa disancia con movimieno uniformemene acelerado y la segunda con 9

24 movimieno uniformemene reardado. La rapidez máima del ren es 5[km/h]. Calcule el valor de la aceleración, suponiendo que su magniud es igual a la de la desaceleración. 6-) Un cuerpo acelera uniformemene desde el reposo con una aceleración consane de,5[m/s ] durane 8,[s] y después coninúa su movimieno con rapidez consane. Dibuje el gráfico rapidez en función del iempo y deermine el iempo que demora en recorrer los 5[m] iniciales. 6-) Un auo pare del reposo y se desplaza con una aceleración de,[m/s ] durane 8,[s]. Luego se apaga el moor y el auo desacelera, debido a la fricción, durane 4[s] a un promedio de 8,5[cm/s ]. Enonces se aplican los frenos y el auo se deiene al cabo de 6,[s]. Calcule la disancia oal recorrida por el auo. Represene gráficamene la aceleración, rapidez y posición del auo en función del iempo. 6-) Durane pare del rayeco un ren viajó con movimieno uniformemene acelerado con a =,5 km h s ; si 5[s] después de pasar por un pose su rapidez era de 5[km/h] con qué rapidez pasó por el pose? Si después de alcanzar una rapidez de 9[km/h] frena durane 7,[s] hasa disminuir a 4[km/h] cuál fue la aceleración? 6-3) Un auomovilisa viaja con rapidez consane de 85[km/h] en una noche oscura. Al salir de una curva ve a 7[m] un camión que obsruye el camino. Suponga que el chofer aplica los frenos en el mismo insane que ve el peligro, logrando una desaceleración consane de 8[m/s ]. Alcanzará a deener el auo para eviar el choque con el camión? 6-4) Un auomovilisa descuidado viaja por una carreera con rapidez de 5[km/h] cuando recuerda que la máima permiida es de 9[km/h]; aplica los frenos y llega a los 9[km/h] en 5[s]. Deermine el valor de la desaceleración media impresa al auomóvil. Deermine cuános meros recorre anes de normalizar su rapidez, considerando que la aceleración ha sido consane. 6-5) El iempo de reacción de un conducor de auomóvil es de aproimadamene,7[s]. Consideremos como iempo de reacción al inervalo que ranscurre enre la percepción de un esímulo y la aplicación de los frenos. Si los frenos son capaces de producir una desaceleración de 4,8[m/s ], calcule la disancia oal recorrida desde la percepción de una señal hasa la deención del auomóvil cuando viaja a 3[km/h] y a 6[km/h]. 6-6) Deermine una epresión que describa la posición en función del iempo para el siguiene movimieno de un ren: pasa por un puno a [m] de una esación alejándose de ella con una velocidad de 7[km/h] de magniud, en ese insane se aplican los frenos provocando una desaceleración de 4,[m/s ] consane, hasa deenerse. 6-7) Un elecrón enra con una rapidez de 4, [m/s] a una región en donde es acelerado elécricamene. Sale al oro lado con una rapidez de 4, 6 [m/s]. Región de aceleración,5[cm] v v Cuál fue la aceleración del elecrón, supuesa consane? Durane cuáno iempo fue acelerado el elecrón? Eso es, en forma simplificada, lo que ocurre en el emisor de elecrones de un ubo de rayos caódicos, como los que se usan en los recepores de elevisión y en los osciloscopios. 6-8) La ecuación que describe la posición insanánea de una parícula es ()= 3,, + 4,, con epresada en meros y en segundos. Calcule la posición, la velocidad y la aceleración en el 9

25 insane = 5,[s]. Represene gráficamene la posición, rapidez y aceleración en función del iempo, para 5[s]. 6-9) Un cuerpo en movimieno recilíneo recorre una disancia D enre los lugares A y B en un iempo T. Las caracerísicas del movimieno son: Pare desde A con aceleración a A consane durane un inervalo enre = y un insane A, coninúa con velocidad v A, alcanzada en A, hasa un insane B y luego desacelera con a B consane hasa deenerse jusamene en B. Consruya gráficos de la posición y de la rapidez en función del iempo. Deermine en érminos de D, T, A y B los valores de v A, a A y a B. 6-) El movimieno de dos vehículos A y B que se desplazan por un camino recilíneo ( eje ) esá descrio por las epresiones: A () = + y () B = +, donde las posiciones A y B, medidas de un puno marcado = en el camino, se dan en [m] y el iempo, que se comienza a conar desde el mismo insane para ambos vehículos, se da en [s]. Represene gráficamene la posición de cada vehículo en función del iempo. Encuenre del gráfico el insane en que los vehículos se junan. Resuelva el problema algebraicamene. 6-) Un peaón corre con una rapidez consane de 6,[m] para alcanzar un bus que esá deenido ane un semáforo. Cuando esá a 5[m] del bus, la luz cambia y el auobús acelera uniformemene a,[m/s ]. Alcanza el peaón al bus? Si no es así, deermine la disancia mínima que los separa. Resuelva el problema gráfica y algebraicamene. 6-) Dos cuerpos W y Z se mueven a lo largo de un mismo camino reco. El cuerpo W lo hace con rapidez consane de 8,[m/s] y el Z con aceleración consane. En ciero insane el cuerpo W pasa frene a una señal. El cuerpo Z lo hace [s] más arde a 6,[m/s], junándose ambos cuerpos 3[s] después que Z pasó por la señal. Calcule la disancia enre la señal y el puno en que se junaron. Calcule la aceleración de Z. 6-3) Imagine que se enreiene lanzando bolias de crisal por un ubo de vidrio delgado, reco, de,[m] de largo y colocado horizonalmene. Suponga que pone una bolia en el eremo del ubo y hace que ella se mueva con rapidez consane de,3[m/s] y que después de /5[s] pone en movimieno ora bolia para que pille a la primera. Calcule la aceleración de la segunda bolia, supuesa consane, para que alcance a la primera juso anes que salga por eremo opueso del ubo. 6-4) Un auo esá esperando que cambie la luz roja. Cuando la luz cambia a verde, el auo acelera uniformemene a,5[m/s ] durane 6,[s], coninuando con rapidez consane. En el insane que el auo comienza a moverse, un camión que se mueve en la misma dirección con movimieno uniforme de [m/s], lo pasa. En qué iempo, y a qué disancia se enconrarán nuevamene el auo y el camión? 6-5) Dos auos A y B se mueven en la siguiene forma: en ciero insane el auo A pare del reposo y se mueve con aceleración aa =,5[m/s ] consane; en ese mismo insane el auo B pasa por un puno siuado a disancia D = 8[m] derás de la largada de A con una rapidez v y se mueve con aceleración ab =,7[m/s ] consane. Calcule el valor mínimo de v para que B pueda alcanzar a A. Para al valor de v calcule el iempo empleado por B para alcanzar a A y las velocidades de A y B en el insane del encuenro. 6-6) Demuesre que para una parícula en un movimieno recilíneo uniformemene acelerado se cumple que: ( ) = + v v a donde el eje coincide con la reca en que se mueve la parícula. 93

26 Caída libre y lanzamieno verical Si used deja caer dos objeos, ales como una goma y una moneda, simuláneamene y desde una misma alura, observará que ambos cuerpos llegan al piso prácicamene en el mismo insane. Si usa un rozo de papel y una moneda, generalmene observará que la moneda llega primero al piso; pero, si hace una peloilla con el papel, no observará una diferencia de iempo apreciable en la caída de la peloilla y la moneda, eso se eplica porque ha disminuido el efeco de la acción del aire sobre el papel. Ese ipo de siuaciones fue esudiado eperimenalmene por Galileo, quien esableció que la caída libre de los cuerpos es un movimieno acelerado y con igual aceleración para odos los cuerpos. En un esudio cinemáico simplificado del movimieno verical de los cuerpos en la cercanía de la superficie erresre podemos considerar que la aceleración de gravedad es consane y que su magniud iene un valor aproimado de 9,8[m/s ]. g. Se acosumbra designar a la magniud de esa aceleración como g, y al vecor aceleración como g 9,8[m s ] Si escogemos el eje y vericalmene hacia abajo, enonces: g = g ĵ (eje y, hacia abajo) y las componenes escalares de la velocidad y la posición en función del iempo son: v y ()= v + g( ) y()= y + v ( )+ g ( ) Hablamos de caída libre cuando la velocidad inicial es v = y hablamos de lanzamieno verical hacia abajo ( arriba ) cuando v iene igual ( opuesa ) dirección que la aceleración de gravedad g. Used puede verificar esas aseveraciones y enconrar un valor de la aceleración de caída de los cuerpos, llamada aceleración de gravedad, haciendo el siguiene eperimeno: 94

27 Suele desde las venanas de un segundo, ercer y cuaro piso de un edificio una bolia de madera y ora de acero. Para visualizar el insane de llegada al suelo puede colocar un ieso con agua; ambas bolias salpicarán el agua al mismo iempo si se han solado simuláneamene. y()= y + v ( ) + g ( ) En el momeno en que se suela la bolia v = y =. Para el insane en que la bolia oca el agua y ()= h. Luego h = g = gh Mida los iempos de caída y las aluras respecivas. Obendrá, aproimadamene, que g iene un valor de 9,8 [m/s ]. Ejemplos Se suela una piedra desde un puene que esá a 44[m] sobre el nivel del agua. Después de,[s] de solar esa piedra se lanza ora desde el mismo lugar, vericalmene hacia abajo con rapidez inicial de 7,3[m/s]. Calculemos el inervalo de iempo ranscurrido enre las llegadas de las piedras al agua. En ese problema resula más conveniene poner la dirección del eje y hacia abajo. y = h y vi = vi La aceleración queda como: Ecuaciones del movimieno: a = g = g ĵ. () = + ( ) v v g y y v g () = + ( ) + ( ) 95

28 Ecuaciones para la piedra : v =, y =, = Luego v( ) = g y( ) = g, 3, y( ) = h = 44[m], para el insane en que la primera piedra llega al agua. 3,5 44 = 9,8 44 = 3,[s] 9,8 Ecuaciones para la piedra : v Luego = 7,3[m/s], y =, =,[s] ( ) = + ( ) ( ) = ( ) + ( ) v v g y v g y( ) = h = 44 m cuando la piedra oca el agua en el insane Luego 44 = 7,3 (,)+ 9,8 (, ) 4,9 ( -,) +7,3( -,)-44=, = 7,3 ± 7, ,9 44 4,9,,3 El segundo valor de resula ser negaivo y no 3,5[s] es solución física del problema. Inervalo de iempo Δ enre las llegadas de las piedras Δ = = 3,5 3, =,5 s La segunda piedra llega,5[s] después que la primera. 96

29 Un cuerpo se lanza vericalmene hacia arriba con rapidez de 6[m / s] En qué insane llegará a un nivel 5[m] más abajo que el nivel del puno de lanzamieno? Cuál es la velocidad del cuerpo cuando pasa por el nivel de lanzamieno? Las ecuaciones para el movimieno uniformemene acelerado a lo largo del eje y son: v y() = v + a y ( ) y() = y + v ( ) + a y ( ) Escogiendo el eje y vericalmene hacia arriba: a y = g 9,8[m / s ] Usando = y = y v = 6[m/ s], las ecuaciones quedan: v y () = 6 9,8 y() = 6 4,9 en donde el iempo esá en [s], la posición en [m] y la rapidez en [m/s]. Sea d el insane en que el cuerpo llega a 5[m] debajo del puno de lanzamieno. Enonces: 5 = 6 d 4,9 d 4,9 d 6 d 5 = d = 6 ± 6 4 4,9 ( 5) = 4,4[s] 4,9 en donde hemos descarado la solución negaiva. El cuerpo pasa a los 4,4[s] bajo el nivel de lanzamieno. Sea a el insane en que el cuerpo pasa hacia abajo por el nivel de lanzamieno. Enonces: y( a ) = = 6 a 4,9 a = a (6 4,9 a ) Descarando la solución a =, que corresponde al insane del lanzamieno, obenemos: a = 6 4,9 [s] Enonces, la rapidez en ese insane esá dada por: v y ( a ) = 6 9,8 6 = 6[m / s] 4,9 El vecor velocidad en ese insane es v( a ) = 6 ĵ[m/s]. Noe que la magniud de la velocidad es la misma del lanzamieno y su dirección es opuesa. 97

30 Un cuerpo se lanza vericalmene hacia arriba con rapidez inicial v = 6[m / s]. Después de,[s], se lanza vericalmene un segundo cuerpo desde el mismo lugar con una velocidad inicial v, al que ambos cuerpos chocan,7[s] después de lanzar el segundo. Cuál es la velocidad v,? Los cuerpos chocan en el insane C =,[s] +,7[s] = 4,7[s] después de lanzado el primer cuerpo. Las ecuaciones del movimieno a lo largo del eje y son: v y () = v + a y ( ) = =, [s] = 4,7[s] Insane del choque y() = y + v ( ) + a y ( ) Escogiendo el eje y vericalmene hacia arriba: a y = g 9,8[m / s ] Para el primer cuerpo: =, y = y v = 6[m / s],,,, Las ecuaciones para el primer cuerpo quedan: v () = 6 9,8 y, y() = 6 4,9 Para el segundo cuerpo:, =,[s], y = y v =?,,, Las ecuaciones para el segundo cuerpo quedan: v () = v 9,8 ( ) y,, En el insane del choque C Por lo ano: y() = v ( ) 4,9( ), = 4,7[s] los dos cuerpos ienen la misma posición: y( ) = y( ) c c, 6 4,7 4,9 (4,7) = v (4,7 ) 4,9 (4,7 ), 6 4,7 4,9 (4,7) = v (,7) 4,9 (,7) 6 4,7 4,9 (4,7) + 4,9 (,7) v =,99[m/ s],,7 El vecor velocidad inicial de la segunda piedra es v,,99 ĵ[m / s]. Verifique que los cuerpos chocan en y 33[m]. 98

31 Ejercicios 6-7) Cuál sería la rapidez con que llegaría a la Tierra una goa de lluvia si cayera con aceleración consane de 9,8[m/s ] desde una nube siuada a [km] de alura? Comene con sus amigos la respuesa. Pregune en clase. 6-8) Un cuerpo que se ha dejado caer recorre 7[m] en el úlimo segundo de su movimieno. Calcule la alura desde la cual cayó el cuerpo y el iempo que empleó en llegar al suelo. 6-9) Una piedra se lanza vericalmene hacia arriba con una rapidez de 9[m/s] Cuándo endrá una rapidez de 5,6[m/s] y en qué posición se enconrará en ese insane? 6-3) Un hombre parado en el echo de un edificio ira un cuerpo vericalmene hacia arriba con una rapidez de 4[m/s]. El cuerpo llega al suelo 4,7[s] más arde. Cuál es la máima alura alcanzada por el cuerpo?. Qué alura iene el edificio? Con qué rapidez llegará el cuerpo al suelo? 6-3) Se deja caer una bolia desde 8[m] de alura y,5[s] después se deja caer una segunda bolia desde 7[m] de alura. Calcule el inervalo de iempo ranscurrido enre las llegadas de las bolias al suelo. 6-3) Suponga que en ciero insane used suela una piedra desde el borde de un pozo y que después de un iempo suela ora piedra desde el mismo puno. Deermine una epresión algebraica para la rapidez media de cambio de separación enre ambas piedras. Si la profundidad del pozo es H deermine el rango de iempo para la validez de al epresión. 6-33) En un mismo insane y desde un mismo puno un cuerpo se deja caer y oro se lanza hacia abajo con una rapidez inicial de 5[cm/s]. Cuándo la disancia enre ellos será de 9[m]? 6-34) Se suela una piedra desde un puene que esá a 35[m] sobre el nivel del agua. Después de,7[s] se lanza vericalmene hacia abajo una segunda piedra. Ambas llegan al mismo iempo al agua. Cuál es la rapidez inicial de la segunda piedra? Consruya un gráfico de rapidez en función del iempo para ambas piedras. 6-35) Un cuerpo se lanza vericalmene hacia abajo con una rapidez inicial v = 6,[m/s]. Cuáno iempo más arde habrá que lanzar oro cuerpo desde el mismo puno con una rapidez inicial v =,6[m/s] para que alcance al primero a los 6,6[m] de recorrido? 6-36) Un ascensor de un edificio esá bajando con aceleración consane de,[m/s ] de magniud. En el insane en que la rapidez del ascensor es,5[m/s] cae un ornillo del echo del ascensor, que esá a 3,5[m] de su piso. Calcule el iempo que el ornillo arda en llegar al piso y la disancia, respeco a un observador en el edificio, recorrida por el ornillo durane ese iempo. 6-37) El sonido producido por una piedra al llegar al fondo de un pozo seco se escucha 4,[s] después de que fue solada. Si la rapidez de propagación del sonido es 3[m/s], calcule la profundidad del pozo. 6-38) Un cuerpo se lanza vericalmene hacia arriba con rapidez inicial de [m/s] Cuándo hay que lanzar oro cuerpo hacia arriba desde el mismo puno y con la misma rapidez para que ambos cuerpos se encuenren,8[s] después que se ha lanzado el segundo cuerpo? 6-39) Un cuerpo se lanza vericalmene hacia abajo con rapidez de 5,9[m/s]. Después de,4[s] se lanza oro cuerpo vericalmene desde el mismo puno. Cuando el primer cuerpo ha recorrido 6,7[m] es alcanzado por el segundo. Calcule la velocidad con que fue lanzado el segundo cuerpo. 6-4) Una piedra se deja caer de una alura H respeco al suelo. Ora piedra, siuada a alura H, menor que H, se lanza simuláneamene hacia arriba con velocidad inicial v o. Deermine epresiones algebraicas para el insane y la posición en que ambas piedras chocan. 99

32 6-4) Demuesre que en un lanzamieno verical en que y() denoa la posición insanánea del cuerpo y v su rapidez insanánea, la canidad v + yg es independiene del iempo. y y 6-4) Desde una alura de 3[m] respeco al suelo se lanza un cuerpo vericalmene hacia arriba con una rapidez inicial v o de al manera que demora [s] en llegar al suelo. Escriba las ecuaciones para la posición y rapidez que describen el movimieno de ese cuerpo. Calcule la velocidad con que llega al suelo. En qué insane se encuenra el cuerpo a [m] del suelo? Rapidez angular Consideremos un cronómero de manecillas, por ejemplo el usado comunmene en el conrol de las carreras, que ambién suele emplearse en eperimenos de Física. En algunos cronómeros de ese ipo esán marcadas 3 rayias en el borde de una superficie circular que indican quinos de segundos. En la figura aparecen unas pocas rayias Una aguja reca esá monada sobre un eje que es perpendicular al círculo y que pasa por el cenro de ése; ella debe dar una vuela complea en 6[s]. Cuando el cronómero esá liso para ser usado la aguja apuna a la marca 6, la que ambién represena a la marca. Al poner en marcha el cronómero en el insane que llamamos [s], la aguja comienza a girar y en cada insane forma ciero ángulo respeco a la posición inicial de la aguja. Ese cronómero esá diseñado para que 5 π 3 π al ranscurrir [s] el ángulo formado mida [ rad] 45 3π 6 π Ya que esamos en presencia de un ángulo que cambia con el iempo resula naural inroducir el concepo de rapidez de cambio de ángulo o rapidez angular. A cada inervalo de iempo Δ, ranscurrido desde el insane inicial hasa un insane deerminado, corresponde un cambio angular Δϕ. Enonces el cuociene: Δϕ Δ

33 Δϕ define a la rapidez angular media ω = Δ Si enre los insanes = y = 5[s], la aguja del cronómero pasa del ángulo ϕ = al ángulo ϕ = π rad, la rapidez angular media es: [ ] ω = Δϕ Δ = ( ) rad π ( 5 ) s π 3 rad / s Y si enre los 5[s] y los 45[s] el cambio de ángulo es Δϕ = π [ rad], la rapidez angular correspondiene es: ω = Δϕ Δ = π rad 3 s π 3 rad s Noe que el valor de la rapidez angular media es igual en esos dos casos. Una caracerísica imporane de un buen cronómero es que la rapidez angular media del movimieno de la aguja sea la misma para cualquier inervalo de iempo, eso es, que la rapidez angular sea consane. El movimieno de una varilla que gira alrededor de un eje perpendicular a ella puede ser descrio por el ángulo que forma con una dirección de referencia convenienemene escogida. Como al moverse la varilla al ángulo cambia con el iempo, podemos asociar una rapidez angular a ese ipo de movimieno. Tome, por ejemplo, el movimieno de cada una de las barras que soporan los pedales de una biciclea. ϕ = Referencia Eje de giro Marquemos un puno en un disco y pensemos en el radio que une ese puno con el cenro. Al girar el disco al radio se desplaza con ciera rapidez angular. El movimieno de una marca en un neumáico monado en un auomóvil es ambién oro ejemplo ilusraivo de un movimieno angular. DISCO GIRANDO C referencia Análogamene, si una parícula (saélie, planeas) describe una órbia alrededor de ciero cenro (planea, sol), la línea reca que une a la parícula con al cenro describe un ángulo respeco a una dirección escogida. Podemos asociar a ese movimieno raslacional una rapidez angular. S P = referencia

34 En general, cuando un objeo gira la línea indicadora del giro describe (o barre ) un ángulo Δϕ en un inervalo de iempo Δ, enonces definimos su rapidez angular media por: Δϕ ω = Δ + Δ Δϕ ϕ C referencia En el Sisema Inernacional las unidades fundamenales de medición del iempo y del ángulo son [s] y [rad] respecivamene, resulando como unidad derivada de rapidez angular [rad/s]; eso es, epresamos: ω = a rad s, siendo a el número de medición. Por supueso podemos usar oras unidades de iempo y de ángulo y esablecer las equivalencias correspondienes de unidades. Un méodo para deerminar la rapidez angular media de un objeo que gira es conar el número de vuelas o de revoluciones que complea en ciera unidad de iempo; de eso proviene el uso de la unidad: una revolución por minuo... [r.p.m] [rev/min] con la equivalencia: rev min π rad 6 s π 3 rad s Ya hemos dicho que un número no iene dimensión física y hemos convenido en anoar dim (número) = ; en paricular dim (ángulo) =, por lo ano dim( ω) = ( ) ( ) = τ = τ dim ángulo dim iempo Por al razón, la rapidez angular se epresa a veces por: ω = a rad s a s a s Manejemos esos concepos en los siguienes ejemplos : Al escuchar un disco aniguo de 78[ r.p.m.] nos damos cuena que esá rayado. Cuál es la rapidez angular de la raya? Enendemos que un disco de 78 [r.p.m.] debe escucharse en un ocadiscos cuyo plao gire con rapidez angular igual a 78[rev/min]. La rapidez angular de la raya es: ω = 78 rev min 78 π rad 6 s 78 π 3 rad s 8, rad s

35 Una varilla muy delgada de 4[cm] de largo esá colocada sobre una mesa plana y se hace girar alrededor de un eremo con rapidez angular media ω L = 3, grado s Calculemos +Δ Δβ la rapidez media del aumeno del área barrida por la varilla. Marquemos una línea de referencia para medir el desplazamieno angular de la varilla. Llamemos = a un insane en que la varilla pasa por esa línea. L β REFERENCIA = En ciero insane la varilla forma un ángulo β [ rad] con la línea de referencia. El área barrida por la varilla es el secor circular deerminado por ese ángulo (área achurada de la figura): A( β)= πl β π = L β Al ranscurrir un inervalo de iempo Δ, a parir de, el ángulo incremena en Δβ y el área barrida cambia al valor: A( β+δβ) = L β+ ( Δβ)= L β+ L Δβ= A ( β )+ L Δβ con lo cual el área barrida incremena en: ΔA = A( β+δβ) A( β)= L Δβ y la rapidez de cambio del área barrida es: v A ΔA L Δβ L = = = ω Δ Δ L Al evaluar esa epresión con los daos L = 4[cm] y ω L = 3, grado s obenemos: v A = ( ) 4 cm 3, grado s π rad 36 grado 4 cm s 3

36 Movimieno circular Cuando una parícula describe una rayecoria circunferencial respeco a un cenro fijo, y ambién cuando nos referimos al movimieno de un puno de un cuerpo rígido que gira respeco a un eje fijo, hablamos de un movimieno circular. +Δ Sea P la posición de la parícula (o del puno ) en el insane y sea P' su posición en el insane + Δ. El largo del camino recorrido por la parícula o por el puno durane el inervalo de iempo Δ es el largo del arco PP': ω C P Δϕ R Δs P PP' = Δs =R Δϕ donde R es el radio, consane, de la rayecoria y Δϕ esá medido en radianes. La rapidez media v para ese movimieno de la parícula en la circunferencia es: v = Δs Δ = R Δϕ Δ =R Δϕ Δ =R ω v = ω R donde ω es la rapidez angular media correspondiene al rayo que une la parícula o el puno con el cenro o eje de giro. Usando, por ejemplo, R = a[m] y ω = b rad s v = ω R = b s a m b s obenemos: a b m s lo que muesra la consisencia de las unidades de medición empleadas. Consideremos el movimieno de roación de la Tierra alrededor de su eje. ω T Dado que la Tierra ejecua una revolución cada 4[h], su rapidez angular es: ω T = Δϕ Δ = π rad 4 h π rad h E S R E R S C 4

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