Instituto Politécnico Nacional

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1 Instituto Politécnico Nacional Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología Avanzada Unidad Legaria Análisis del discurso de argumentación de estudiantes en la solución de una actividad matemática Tesis que para obtener el grado de Maestro en Ciencias en Matemática Educativa Presenta Juan Arturo Hernández Morales Directores de tesis Dr. Apolo Castañeda Alonso M. en C. Juan Gabriel Molina Zavaleta México, Distrito Federal Diciembre de

2 Autorización de uso de obra Instituto Politécnico Nacional P r e s e n t e Bajo protesta de decir verdad el que suscribe Juan Arturo Hernández Morales, manifiesto ser autor y titular de los derechos morales y patrimoniales de la obra titulada: Análisis del discurso de argumentación de estudiantes en la solución de una actividad matemática, en adelante La Tesis y de la cual se adjunta copia, por lo que por medio del presente y con fundamento en el artículo 27 fracción II, inciso b) de la Ley Federal del Derecho de Autor, otorgo a el Instituto Politécnico Nacional, en adelante El IPN, autorización no exclusiva para comunicar y exhibir públicamente total o parcialmente en medios digitales (formato electrónico en formato PDF) La Tesis por un periodo de (10 años) contado a partir de la fecha de la presente autorización, dicho periodo se renovará automáticamente en caso de no dar aviso a El IPN de su terminación. En virtud de lo anterior, El IPN deberá reconocer en todo momento mi calidad de autor de La Tesis. Adicionalmente, y en mi calidad de autor y titular de los derechos morales y patrimoniales de La Tesis, manifiesto que la misma es original y que la presente autorización no contraviene ninguna otorgada por el suscrito respecto de La Tesis, por lo que deslindo de toda responsabilidad a El IPN en caso de que el contenido de La Tesis o la autorización concedida afecte o viole derechos autorales, industriales, secretos industriales, convenios o contratos de confidencialidad o en general cualquier derecho de propiedad intelectual de terceros y asumo las consecuencias legales y económicas de cualquier demanda o reclamación que puedan derivarse del caso. México, D.F., a 11 de diciembre de Atentamente 2

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4 Agradecimientos A mi esposa Norma Leticia e hijos Iván y Valeria quienes me motivan a alcanzar mis sueños, a mi mamá y a toda mi familia. Deseo agradecer a mis profesores y personal administrativo del Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología Avanzada todas sus atenciones durante mis estudios. A mis asesores en este proyecto, quienes guiaron el desarrollo del trabajo con una gran dedicación Dr. Apolo Castañeda Alonso y M. C. Juan Gabriel Molina Zavaleta. A los doctores Mario Humberto Ramírez Díaz, Daniel Sánchez Guzmán y Mario Sánchez Aguilar por la revisión del presente. A directivos de la Universidad Politécnica de San Luis Potosí por todo el apoyo y facilidades otorgadas. A mis compañeros Rafael Aguilar, Alicia Alonso, Carlos Arriaga, Selina Ponce y José Guevara por todo el apoyo en lo personal y profesional. A los estudiantes que participaron en el presente trabajo de forma entusiasta y comprometida en las actividades realizadas. 4

5 Índice de contenido Índice de tablas y figuras Glorario Resumen Abstrac Introducción Capítulo I: Problematización Antecedentes Dificultades observadas sobre la resolución de problemas Interés por el estudio de la resolución de problemas Primer acercamiento con el tema Contextualización El estudio de la argumentación en el contexto de la institución educativa Cuestionamientos Síntesis de ideas Problema de investigación Supuestos en la investigación Propósito de la investigación Justificación Alcances de la investigación Capítulo 2: Marco Teórico 2.1 Resolución de problemas y aprendizaje de las matemáticas Qué significa resolver un problema matemático? Concepto de solución de un problema matemático Estrategias de solución de los problemas Conocimientos y habilidades en la resolución de problemas

6 2.6 Meta-reflexión El rol de la intuición del estudiante en la resolución de problemas Intencionalidad didáctica de la resolución de problemas Usos didácticos de los problemas Tipos de problemas Problemas no rutinarios Resolución de problemas como un tipo de actividad matemática Resumen de ideas Argumentación y resolución de problemas Un enfoque para desarrollo de conceptos Qué representa argumentar Qué es argumentación matemática Modelo de Toulmin para el análisis de argumentos Cómo se analizan los argumentos en clase de matemáticas Resumen de ideas Rol del docente en la actividad de resolución de problemas Un modelo de actividad centrada en la producción de los estudiantes Los argumentos como evidencia de construcción de dominio matemático Habilidades cognitivas Cómo participa el docente en un escenario didáctico de argumentación y debate Alcances del modelo didáctico Exploración de un nuevo escenario didáctico para el estudio de las matemáticas Evidencias se generan con este modelo de actividad Capítulo 3: Metodología Las preguntas o cuestionamientos desde el punto de vista metodológico El tipo de problemas matemáticos y su integración a la secuencia Propósito de la solución del problema Descripción de los elementos que componen el problema El tipo de problema: Matemática involucrada Dominio o conceptos matemáticos Proceso de solución Alternativa de solución basada en sistemas de ecuaciones lineales

7 3.9 Alternativa de solución basada en aritmética Alternativa de solución basada en ecuación lineal Origen del problema Contextualización en aula de clase El tipo de solución Planteamiento didáctico: Interpretación del problema Las argumentaciones en el modelo de Lester El modelo de Toulmin para explicar las estructuras argumentativas Cómo se establece la interacción: trabajo colaborativo estudiante-estudiante Interacción profesor-estudiante Generalización del modelo La obtención de datos Elementos del contexto Antecedentes matemáticos Programa de estudios Cómo se vincula la actividad matemática del problema con sus cursos actuales Estudiantes participantes Implementación Interacción Los argumentos Profesor Alcances del diseño Tipos de preguntas Tipos de dificultades Tipos de argumentos Resolución de problemas-modelo de Toulmin Descripción de que se logra o que se alcanza con la resolución del problema Capítulo 4 Análisis Descripción de la implementación La interacción de los estudiantes con el diseño La interacción de los estudiantes con otros estudiantes La interacción de los estudiantes con el profesor El estudiante como centro de actividad

8 4.6 Problemáticas en la implementación Problemas asociados con el diseño Problemas asociados con las características de los estudiantes Análisis de la información La muestra Cómo lo resolvieron Dibujos y representaciones Qué significado le dan al resultado Estrategias Estrategias de estudiantes de introducción a las matemáticas Estrategias generales empleadas por estudiantes de cálculo Estrategias generales empleadas por estudiantes de métodos numéricos Conclusión respecto a lo esperado del problema Los momentos en los que aparecen los argumentos Los argumentos en la resolución del problema El argumento en el proceso de solución Descripción de argumentos Conclusión; síntesis de lo expuesto Valoración del modelo en función del trabajo argumentativo del alumno Cómo replicar el modelo Características Limitaciones Aspectos a profundizar En el problema En el modelo Un síntesis final Capítulo 5: Conclusiones Referencias Anexos

9 Índice de tablas y figuras Figura 1. Esquema de análisis de la resolución del problema matemático planteado por Mayer (1986) Figura 2. Proceso de solución de problemas, Budnick, 2003, p Figura 3. Modelo de actividad matemática compleja, Lester (2013) Figura 4. Esquema del modelo de Toulmin, tomado de Inglis y Mejía-Ramos (2005) Figura 5. Modelo de actividad matemática compleja, Lester (2013) Figura 6. Diagrama primer ciclo de trabajo vuelo a Madrid, basado en Lester (2013) Figura 7. Esquema del modelo de Toulmin, tomado de Inglis y Mejía-Ramos (2005) Figura 8. Esquema de Toulmin para argumento de Bernardo Figura 9. Esquema de Toulmin para argumentos de Anahí Figura 10. Argumentos implícitos en la estrategia del equipo Figura 11. Esquema de Toulmin para argumento de Bernardo Figura 12. Esquema de Toulmin para argumento de Martín Figura 13. Planteamiento generado por el segundo equipo de trabajo Figura 14. Esquema de Toulmin para argumento de Martín

10 Glosario Adquisición de conocimientos matemáticos, relacionado con la necesidad de promover en los estudiantes que el conocimiento aprendido en situaciones o contextos de resolución de problemas pueda ser aplicado en la solución de nuevas situaciones. Argumentación, proceso mediante el cual se expone un razonamiento que se emplea para probar o demostrar una proposición, o bien para convencer a alguien de aquello que se afirma o se niega. Argumentación matemática, aquella que se desarrolla dentro de la actividad matemática y en la que la ley de paso se apoya en elementos del conocimiento matemático, requiriéndose la capacidad de comprender o de producir una relación de justificación entre proposiciones. Meta-cognición, el conocimiento de nuestro propio proceso cognoscitivo, al monitoreo activo y a la consecuente regulación y orquestación de las decisiones y procesos utilizados en la resolución de un problema. Problema matemático, es una relación particular entre el individuo y la tarea, la misma tarea puede requerir un significante esfuerzo para algunos estudiantes, para otros puede ser algo rutinario. Problemas no rutinarios, son aquellos que cuentan con varios métodos de solución o que requieren para su solución más que la aplicación de reglas, fórmulas o algoritmos Resolución exitosa, coordinar experiencias previas, conocimientos, representaciones familiares y patrones de inferencia e intuición en el desarrollo de in proceso de solución de un problema matemático. 10

11 Resumen El análisis de la matemática escolar nos permite establecer un espacio de análisis, reflexión y comprensión sobre el trabajo desarrollado en el aula de clases por estudiantes y profesores, permitiéndonos identificar elementos característicos de la clase de matemáticas y con ello establecer propuestas metodológicas para este entorno escolar. En particular el análisis de argumentos matemáticos presentes en los alumnos y profesores ha cobrado interés de diversos investigadores. En esta línea de investigación se enmarca nuestro trabajo, en el que se presenta un análisis de la manera en que argumentan los estudiantes de manera escrita y oral ante una actividad matemática desarrollada en el aula de clase, centrándonos en identificar las regularidades presentes que ponen en práctica en una ambiente de argumentación. La investigación requirió de una búsqueda de modelos vigentes aplicados para el análisis de argumentos, siendo notoria la relevancia del modelo de Toulmin en el campo de la argumentación matemática, decidimos aplicar el esquema de argumentación de Toulmin (2003) como herramienta de análisis, este modelo que aparece en su obra The Uses of Arguments de 1958 ofreció un nuevo panorama frente al modelo clásico de la lógica formal y ha sido ampliamente utilizado investigaciones de didáctica de las matemáticas, a partir de ello se logró contar con antecedentes y referencias de investigaciones desarrolladas en esta área, teniendo así una dirección inicial del trabajo de investigación. También fue de gran importancia analizar modelos de resolución de problemas siendo un referente muy importante para nuestra investigación el modelo propuesto por Lester (2013), modelo que sirvió de base para comprender las fases por las que atraviesa un estudiante cuando resuelve un problema matemático, de esta manera motivar la argumentación de los estudiantes en las fases previas a la obtención de una representación matemática del problema. 11

12 Un elemento importante para nuestro trabajo fue el de diseñar un problema que motive la argumentación de los estudiantes, para ello se analizaron elementos metodológicos que ayudaran a cumplir con este objetivo como son la aplicación de este problema en dos momentos de trabajo, primero de manera individual y después en equipos, ello permitió al estudiante un espacio propio para la reflexión y generación de ideas y después el discutir, apoyar o cuestionar la producción de sus compañeros. 12

13 Abstract The analysis of school mathematics allows us to establish a forum for analysis, reflection and understanding of the work developed in the classroom by students and teachers, allowing us to identify characteristic elements of math class and thereby establish methodological proposals for this school environment. In particular the analysis of mathematical arguments present in the students and teachers has gained interest of many researchers. In this research our work is framed in an analysis of how students argue in written and oral to a mathematical activity in the classroom, focusing on identifying regularities laying in presents practice in a friendly argument. The research required a search of existing models used for analyzing arguments, was notorious relevance Toulmin model in the field of mathematical argument, decided to implement the scheme Argument Toulmin (2003 ) as an analytical tool, this model shown in his work the Uses of Arguments, 1958 offered a new landscape in front of the classical model of formal logic and has been widely used research of mathematics education, since it is able to have background and references of research conducted in this area, thus having an initial direction of the research. It was also very important to analyze models of problem solving being a very important for our research regarding proposed by Lester (2013 ) model, which provided the basis for understanding the phases spanning a student when solving a mathematical problem model of Thus arguments motivate students in pre obtaining a mathematical representation of the problem phases. An important element of our work was to design a problem that motivates the argument of the students, this methodological elements that help achieve this goal, such as the application of this problem in two stages of work were analyzed, first individually and then in teams, it allowed the student own space for reflection and generating ideas and then discuss, support or challenge the production of their peers. 13

14 Introducción En esta investigación se analizan argumentaciones presentes en una actividad escolar en el nivel universitario. Se tiene como objetivo principal el analizar la producción de los estudiantes en su proceso de resolución de un problema matemático, primero la producción escrita generada en un momento de trabajo individual y a continuación los argumentos verbales presentes en un segundo momento de trabajo con el problema; para ello se tiene como herramienta principal de análisis el modelo de argumentación de Toulmin (2003) y se sigue el esquema y sugerencias planteados por Inglis y Mejía-Ramos (2005) para el estudio y análisis de argumentaciones. Sin embargo resultó indispensable el análisis de los modelos de resolución de problemas, al respecto Lester (2013) afirma que los profesores tienden a tratar con resolución de problemas y aplicaciones de matemáticas sólo después de que los conceptos matemáticos y habilidades se han presentado, practicado y desarrollado; Lester menciona que los problemas matemáticos deben demandar además de la traducción e interpretación, procesos más complejos tal como planear, seleccionar estrategias, identificar sub-metas, elección o creación de representaciones apropiadas, establecer conjeturas y verificar que la solución ha sido encontrada; Lester considera necesaria una nueva perspectiva que identifique estos elementos. Se decidió diseñar un problema, para ello se consideraron los siguientes aspectos; que fuera situado en un contexto real, distinto de las actividades ordinarias de clase y que su solución fuera posible aplicando diversos recursos matemáticos. El interés por plantear una situación del contexto real fue con la intención de observar la forma en que los alumnos emplean sus conocimientos e ideas y analizar cómo los aplican para plantear argumentos escritos y verbales. Reconocimos necesario dar al alumno un problema que fuera distinto a los trabajados comúnmente en clase de matemáticas ya que en nuestro caso la intención del problema 14

15 matemático que diseñamos fue que los estudiantes expresaran sus argumentos en el proceso de solución a fin de poder analizarlos. Desarrollo de capítulos Este trabajo se ha dividido en cinco capítulos, en primer lugar comenzamos planteando las preguntas que dan origen a nuestro tema de investigación. Las cuales se relacionan con la problemática entorno a la resolución de problemas y las explicaciones generadas por estudiantes cuando se les pide argumentar, principalmente se identifican las dificultades que comúnmente se presentan en estas actividades cuando se trabaja en clase de matemáticas. En el capítulo dos se hace un análisis del estado que guardan las investigaciones sobre resolución de problemas, desde los enfoques de Polya (1957), Schoenfeld (1985) y Lester (2013), considerando este último como uno de los principales referentes de nuestra investigación. También se analiza el esquema de argumentación de Toulmin, así como el estado que guarda actualmente este modelo en su aplicación como herramienta de análisis, en particular se siguen las orientaciones señaladas por Inglis y Mejía-Ramos. En el capítulo tres se presentan los referentes metodológicos que guiaron el diseño y la experimentación del planteamiento didáctico, elementos de importancia para el diseño del problema matemático así como su implementación en el aula. También analizamos el problema desde la matemática identificando las posibles dificultades que enfrenta un estudiante que resuelve el problema diseñado. En el cuarto capítulo analizamos las producciones de los estudiantes, tanto escritos como verbales. En nuestra investigación encontramos que los estudiantes siguen patrones comunes en la argumentación de su solución y se apoyan fuertemente en hacer uso de suposiciones que no son dadas explícitamente en la actividad. Finalmente en el quinto capítulo presentamos las conclusiones que surgen del trabajo realizado. 15

16 CAPÍTULO 1: Problematización En el presente capítulo se plantea la problemática que da origen a nuestro trabajo de investigación, basada en la observación del desempeño de estudiantes universitarios de primeros semestres, por un lado cuando tienen que resolver problemas fuera de lo acostumbrado y por el otro cuando el problema requiere de una argumentación que apoye el trabajo realizado; dichas observaciones son las que nos motivan en el desarrollo de la presente investigación. 1.1 Antecedentes Dificultades observadas sobre la resolución de problemas En el salón de clases una práctica cotidiana es trabajar en la resolución de ejercicios y problemas como parte de las actividades; normalmente el proceso fluye de manera cíclica: cuando el profesor presenta un nuevo tema, después una serie de ejemplos y finalmente ejercicios y problemas para resolverlos en clase. Sin embargo cuando se le presenta al estudiante un problema que sale del esquema ordinario de clase se aprecia la dificultad para resolverlo, incluso a pesar de que ha tratado previamente los contenidos matemáticos necesarios. Esto se hace más evidente cuando se les presenta un problema contextualizado del cual deben extraer la información y generar una representación matemática que describa y dé solución al problema, se aprecian las dificultades que tienen para identificar variables así como la relación entre éstas. Otra de las dificultades que se suele presentar es aquella que se ocurre cuando se le pide al estudiante dar una explicación o justificación del trabajo realizado, normalmente consideran que las operaciones realizadas son la explicación de su actuar. 16

17 Interés por el estudio de la resolución de problemas Como profesor de matemáticas es natural preguntarse por qué los estudiantes consideran que los problemas de aplicación son más difíciles, o por qué cuando se requiere el uso de cierto contenido matemático y no se dice expresamente en el problema que se debe aplicar dicho contenido no lo pueden identificar. Otra de las motivaciones es la de comprender la dinámica que surge cuando un estudiante tiene que resolver un problema matemático, sus etapas o momentos que atraviesa, desde que conoce el problema, hasta que da una solución. Por supuesto que no existen recetas a seguir para generar en un estudiante la capacidad de resolver problemas, pero la comprensión del proceso de resolución de problemas ayudará a guiar el trabajo del estudiante. El interés que se tiene como profesor de entender las problemáticas descritas y aprovecharlo en el trabajo escolar es lo que genera el interés de estudiar este proceso de resolución de problemas. Primer acercamiento con el tema El interés por estudiar las argumentaciones surge del acercamiento con esta área de investigación de los escenarios escolares, al descubrir que como docentes pocas veces reflexionamos sobre todo aquello que se expresa en el salón de clases por el profesor y los estudiantes, lo cual puede ser un valioso instrumento de análisis y reflexión para comprender la dinámica de lo que ocurre en el aula. Como profesores de matemáticas hemos trabajado con la resolución de una gran cantidad de problemas escolares, sin embargo pocas veces reflexionamos sobre aquello que ha sido puesto en práctica para llegar a un resultado; para el docente el proceso de resolver problemas es un proceso casi natural y en los entornos escolares se espera que para los alumnos también lo sea. 17

18 1.2 Contextualización El estudio de la argumentación en el contexto de la institución educativa Actualmente uno de los modelos que ha cobrado fuerza en los entornos educativos es el modelo llamado enseñanza basada en competencias, en el caso de nuestra Universidad este modelo educativo es el que guía nuestro actuar como docentes y en particular en el área de matemáticas se considera importante contribuir al desarrollo de las competencias matemáticas; sin entrar en detalle, podemos mencionar que una de las intenciones que se tienen bajo este esquema de trabajo se relaciona con favorecer en el estudiante la capacidad de hacer uso de la matemática para resolver problemas de su entorno cotidiano. Cabe destacar que dentro de las competencias matemáticas la argumentación matemática es considerada de gran relevancia, la cual tiene que ver con la capacidad que tiene un estudiante para defender, explicar, o valorar razonamientos a partir de elementos matemáticos inmersos en la situación. 1.3 Cuestionamientos De manera general hemos expuesto algunas ideas iniciales que han motivado nuestra propuesta de investigación, sin embargo resulta indispensable plantear preguntas que generen un acercamiento y delimitación del tema de investigación, en lo particular los cuestionamientos que guían nuestro trabajo son los siguientes: Cómo justificar los problemas que resuelven los estudiantes? Es decir, primero analizar desde los diversos referentes teóricos el tipo de problemas que son tratados en clase de matemáticas y por otro lado definir lo que hace que una actividad matemática pueda ser considerada problema o ejercicio. Qué proceso de solución de un problema siguen los estudiantes? Cuál es el proceso que siguen los estudiantes en su trabajo de resolución de un problema, cuáles momentos o fases atraviesa desde que el estudiante conoce un problema hasta que expresa una solución. 18

19 Qué valor tiene la meta-reflexión en la solución de un problema? Es decir, el estudiante reflexiona sobre su actuar cuando resuelve un problema o solo se enfoca en generar un proceso o expresión matemática próximo a lo visto en clases. Cómo argumentan los estudiantes en el proceso de resolución de un problema? Cuando se le pide a un estudiante argumentar, qué es lo que expresa?, qué elementos usa como recurso para expresar sus argumentos? Síntesis de ideas De nuestra parte existe una gran cantidad de cuestionamientos que podemos plantearnos en torno al trabajo del alumno en la resolución de problemas, sin embargo nuestros cuestionamientos e intereses giran en torno a dos elementos centrales que son la resolución de problemas y la argumentación que se presenta en dicho proceso. En nuestro caso consideramos que estos dos elementos representan los focos principales que dan sentido a nuestra investigación. 1.4 Problema de investigación Lo anterior nos conduce a formular un problema de investigación, que expresamos por medio de la siguiente pregunta: Qué argumentos formulan los estudiantes de universidad en la resolución de un problema matemático? Nuestra investigación deberá considerar como primeros elementos de investigación el identificar puntualmente qué es un problema matemático y lo que significa argumentar en la resolución de un problema matemático, para ello surgen interrogantes acerca de los modelos teóricos que existen para describir el proceso de solución de problemas matemáticos y el análisis de los modelos empleados para analizar argumentos. Es importante señalar que en nuestra investigación nos enfocamos en un reducido número de 19

20 grupos de una sola Universidad por lo cual podemos señalar algunos de los rasgos presentes en la argumentación de los estudiantes universitarios. 1.5 Supuestos en la investigación Existe una serie de supuestos que hemos planteado como soluciones tentativas a nuestro problema de investigación los cuales son producto de la observación, análisis preliminar y de experiencias que se han tenido en el trabajo docente. Los estudiantes no reflexionan sobre el proceso de solución de un problema. Los argumentos que surgen en el proceso de solución de un problema contribuyen a reflexionar el problema y a formular una solución. El proceso de solución de un problema y la aparición de argumentos es un proceso estrechamente vinculado. El proceso de resolución de problemas y la reflexión sobre los argumentos contribuirá con el aprendizaje matemático. Algunos estudiantes resuelven los problemas matemáticos de forma mecánica y los estudiantes no realizan una valoración del resultado respecto del planteamiento. En un ambiente de resolución de problemas se puede generar un contexto de aprendizaje donde los argumentos contribuyen a formular ideas y repensar el problema. La resolución de problemas matemáticos de situaciones de la vida real contribuyen a reflexionar sobre la utilidad de la matemática fuera de la escuela. La estrategia de relacionar problemas matemáticos y hacer énfasis en la argumentación puede promover un modelo didáctico para la enseñanza. En general consideramos que será posible evidenciar algunas de las deficiencias de los alumnos al resolver problemas de matemáticas, sin embargo también es de nuestro interés estudiar las fortalezas y áreas que se pueden mejorar con nuestra propuesta. 20

21 1.6 Propósito de la investigación Desarrollar un problema matemático e implementarlo en el nivel superior considerando la argumentación como un eje prioritario. A fin de establecer un medio para dar respuesta a nuestra pregunta de investigación tenemos como propósito principal el trabajar con estudiantes en los escenarios escolares y analizar los argumentos que generen, para ello consideramos en primer lugar la necesidad de buscar en la literatura problemas aplicados para propósitos similares o bien desarrollar un problema matemático propio que sirva como medio para la generación de argumentos de los estudiantes. 1.7 Justificación por qué es importante que los estudiantes argumenten el proceso de resolución de problemas? Es importante que los estudiantes expresen sus argumentos en el proceso de resolución de problemas pues le da un doble sentido al quehacer matemático de los entornos escolares, por un lado porque la resolución de problemas es reconocida como una de las principales áreas de interés en la matemática y porque la argumentación denota el conocimiento que un estudiante posee y aplica para dar soporte a sus razonamientos; por ejemplo la primera recomendación del National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) en la obra An Agenda for action: Recommendations for School Mathematics of the 1980 s (Citado en Schoenfeld 1895) fue precisamente que la resolución de problemas debía ser el foco de la matemática escolar en los ochentas. El desarrollo de la capacidad de resolución de problemas debe dirigir los esfuerzos de los educadores matemáticos a través de la próxima década. El rendimiento en la resolución de problemas medirá la eficacia de nuestra posesión personal y nacional de la competencia matemática. (Citado en Schoenfeld 1895, p.69) 21

22 Por otro lado el desarrollo de las competencias en los estudiantes ha tomado fuerza en los últimos años a escala internacional gracias al Programa para la Evaluación Internacional de Alumnos (PISA) en la cual la argumentación es reconocida como una de las capacidades de mayor nivel cognitivo, en el caso de argumentación en matemáticas (Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico [OCDE], 2006) señalan que: Argumentación. Comporta entender en qué consisten las pruebas matemáticas y qué las diferencia de otro tipo de razonamientos matemáticos; seguir y evaluar cadenas de argumentaciones matemáticas de distintos tipos; tener un sentido heurístico («Qué puede o no puede suceder y por qué?»), así como crear y expresar argumentaciones matemáticas (p. 101) De acuerdo al programa PISA (OCDE, 2006) se considera que los estudiantes que posean un nivel de competencia matemática alto son aquellos que, entre otras cosas demuestran su perspicacia a la hora de identificar la estrategia de solución más adecuada y hacen uso de otros procesos cognitivos de orden superior, como son la capacidad de generalizar, razonar y argumentar con el fin de explicar y comunicar los resultados. (p.118) Podemos observar que en esta última descripción la resolución de problemas y la argumentación están estrechamente vinculadas. Cómo contribuye esta propuesta en la formación de los estudiantes? La presente investigación contribuye a comprender la manera en que los estudiantes argumentan en la resolución de problemas matemáticos y con ello crear situaciones que apoyen la mejora de estas habilidades. Además de la creación de un problema matemático particular existen otros elementos que son de importancia para su desarrollo como pueden ser la interacción con compañeros y con el profesor. Pensamos que resulta importante contribuir y motivar en el estudiante la capacidad de expresar sus opiniones o explicaciones basado en el uso de la matemática. 22

23 También consideramos que estudiar de manera conjunta ambos procesos permite una mejor aproximación de aquello que hacen los estudiantes en los entornos escolares cuando trabajan resolviendo problemas. 1.8 Alcances de la investigación Una de las contribuciones que podemos generar con el desarrollo de nuestra investigación es la de diseñar estrategias que puedan ser empleadas en el salón de clases de matemáticas y que contribuya al trabajo del profesor, desde el punto didáctico consideramos la realización de un objeto de aprendizaje conformado por un problema y la metodología para su aplicación en el aula de clase; dado que el problema está orientado a los contenidos escolares consideramos que es posible su reproducción en nuevos escenarios. Aún más buscamos identificar aquellos elementos del problema y de su puesta en práctica que favorezcan en los estudiantes la expresión de argumentos. Resolución de problemas Comprender y poder definir lo que es un problema para el estudiante y qué factores entran en juego cuando lo resuelve ayudará a identificar elementos que se pueden considerar en el diseño de problemas escolares así como aciertos y posibles mejoras en el trabajo docente. Como lo hemos mencionado la resolución de problemas es una actividad que se realiza en cada salón de clase y la comprensión de lo que pasa en este proceso no es una tarea trivial. Por qué es importante estudiar cómo resuelven problemas los alumnos? La importancia de estudiar cómo resuelven los problemas los alumnos radica en que este proceso es cotidiano del trabajo escolar y en el cual normalmente se pasan por alto elementos que entran en juego en dicho proceso, cotidianamente en un entorno escolar ante el fracaso de un estudiante se suele atribuir como causa a la falta de estudio de dicho 23

24 estudiante, sin embargo creemos que se trata de un proceso complejo que no tiene que ver con sólo replicar lo realizado por el profesor de clase. Exploración de un modelo de enseñanza Finalmente consideramos que comprender los elementos que se han de considerar en un problema matemático, así como la situación en la que se aplica en clase, puede contribuir a establecer una dinámica de clase al aplicar esta experiencia de trabajo con nuevos problemas, dando la posibilidad de extenderla en otros grados y niveles escolares. 24

25 Capí tulo 2: Marco Teo rico En el presente capítulo planteamos los referentes teóricos sobre resolución de problemas y argumentación que servirán de soporte a nuestra investigación; estos referentes nos permiten por un lado, contar con un panorama general sobre problemas matemáticos y resolución de problemas y con ello se precisa lo que se entiende por problema para nuestra investigación. Por otro lado, nos enfocamos en el estudio de la argumentación en el aula de clase de matemáticas revisando particularmente el modelo teórico de Toulmin. Analizar el esquema de resolución de problemas propuestos por Lester (2013) nos permite situarnos en momentos por los cuales atraviesa un individuo al resolver un problema matemático y con ello posicionar nuestro trabajo de investigación enfocado a la identificación de argumentos. 2.1 Resolución de problemas y aprendizaje de las matemáticas Qué es un problema matemático? Al interior de la clase de matemáticas, como parte de las actividades cotidianas, el profesor trabaja con los alumnos en la resolución de diversas actividades o tareas matemáticas. Como parte de la clase el estudiante debe resolver las tareas matemáticas que se le presentan en la clase misma, en libros y exámenes, usualmente poniendo en juego expresiones matemáticas o enunciados contextualizados. Constantemente para el alumno el proceso de solución de la tarea matemática se relaciona con procesos recientemente tratados en clase. En el contexto escolar es común que estas tareas matemáticas reciban el nombre de ejercicios o problemas, en ocasiones de manera indistinta; en otros casos se suele distinguir en relación al formato y contexto en que se presenta dicha tarea, por ejemplo, si la tarea está dada como una expresión matemática se le llama ejercicio o si es presentada como una tarea situada en un contexto real en el cual se espera que el alumno elabore una abstracción y ponga en práctica su dominio matemático entonces se le da el 25

26 estatus de problema; es debido a las diversas interpretaciones que se pueden tener acerca de problemas y resolución de problemas que resulta indispensable establecer una definición para nuestra investigación. Mayer (1986) menciona que los psicólogos concuerdan que un problema tiene ciertas características definidas por una relación entre datos, objetivos y obstáculos. Meyer considera que cualquier definición de problema debería consistir en tres ideas: 1) el problema está actualmente en un estado, pero 2) se desea que esté en otro estado, y 3) no hay una vía directa y obvia para realizar el cambio (p.19). Schoenfeld (1985) señala que la dificultad de definir lo que es un problema es debido a que es algo relativo, es decir lo que para una persona requiere de un esfuerzo significativo para otro puede ser sólo un ejercicio de rutina. Considera que ser un problema es una relación particular entre el individuo y la tarea, la misma tarea puede requerir un significante esfuerzo para algunos estudiantes, para otros puede ser algo rutinario. De esta manera, él menciona que problema se define como una tarea que es difícil para el individuo que está tratando de resolverla, difícil en el sentido que no se conoce el esquema de solución de dicha tarea. En este caso consideramos que las tareas matemáticas desarrolladas como trabajo de clase pueden ser consideradas problemas matemáticos para un alumno siempre que éstas le representen una verdadera dificultad, debido a que no conoce el esquema inmediato de solución y son considerados ejercicios cuando sólo requieran la puesta en práctica y repetición de un proceso matemático conocido. 2.2 Qué significa resolver un problema matemático? Lester (2013) menciona que es necesario replantear lo que se entiende por problema y solución de problemas, considera que las definiciones existentes se enfocan de manera general en señalar que un problema es una tarea para la cual el individuo no sabe qué hacer (de forma inmediata) para obtener la respuesta, además señala que resolver el problema se identifica con aquello que tiene que hacer el individuo para resolver el problema. Lester 26

27 considera que una definición adecuada debe reconocer que la resolución de problemas es una actividad que requiere que la persona (o grupo) articule una variedad de acciones cognitivas, cada una de las cuales requiere de ciertos conocimientos y habilidades, algunas de las cuales no son rutinarias. Lester (2013) señala que: La resolución exitosa de problemas involucra el coordinar experiencias previas, conocimientos, representaciones familiares y patrones de inferencia e intuición en un esfuerzo por generar nuevas representaciones y patrones relacionados de inferencia que resuelven cierta tensión o ambigüedad que estimula la actividad real de resolver problemas. (pp ) Considera que los avances que se logran en la adopción de esta definición es reconocer elementos claves para el éxito (solución): la coordinación de experiencias, conocimiento, representaciones familiares, patrones de inferencia e intuición. Usualmente se considera que resolver un problema implica que el individuo pone en práctica sus conocimientos, sin embargo debemos distinguir en diversos tipos de conocimiento que entran en juego, Mayer (1986) expone una serie de conocimientos que desde el punto de vista de la psicología son considerados necesarios para la resolución de un problema dado en forma de oración contextualizada. Conocimiento lingüístico, conocimiento de la lengua en que esté redactado el problema, como reconocer las palabras. Conocimiento semántico, conocimiento de los hechos acerca del mundo. Conocimiento esquemático, conocimiento de los tipos de problemas. Conocimiento operativo, conocimiento de cómo llevar a cabo la secuencia de operaciones. Conocimiento estratégico, técnicas para saber cómo utilizar los diversos tipos de conocimiento disponible para resolver un problema dado, por ejemplo, plantearse sub-objetivos. 27

28 Sobre la resolución de problemas matemáticos Mayer (1986) señala que El razonamiento cuantitativo se produce cuando el alumno recibe una información numérica y debe utilizar las reglas de las matemáticas para deducir una respuesta numérica (p. 408). Mayer considera que este razonamiento cuantitativo es una forma del razonamiento deductivo en el cual las premisas y conclusiones incluyen números. En nuestro caso adoptamos para la investigación elementos de Lester y Schoenfeld, en el sentido que un problema para un estudiante es una tarea matemática que exige la aplicación de un esquema de solución que no se reconoce inmediatamente, que requiere la puesta en práctica en conjunto de todos los elementos cognoscitivos con que cuenta para su solución. 2.3 Concepto de solución de un problema matemático En matemáticas se suele considerar que la solución de un problema matemático está asociada con la obtención de una cantidad que comprueba o verifica la situación planteada. Bajo este enfoque, la solución se considera una expresión generada al final del proceso desarrollado por el estudiante, sin embargo como lo señala Lester (2013), la solución no es el último paso de un proceso que termina, sino que involucra una serie de comparaciones entre el contexto del problema inicial, así como de la representación matemática que se deriva; Lester considera que este proceso actividad metacognitiva- de continuo monitoreo es clave para el éxito en el proceso de solución. En nuestro caso, el concepto de solución lo reconocemos como un término de mayor amplitud en el sentido de que la solución se encuentra constituida por toda la producción escrita u oral generada por el estudiante orientada a responder la tarea dada. Es por medio de esta producción del estudiante que consideramos un recurso en el cual se pueden analizar las argumentaciones dadas por los estudiantes. 28

29 2.4 Estrategias de solución de los problemas Mayer (1986) señala que en la mayoría de las descripciones de la resolución de problemas matemáticos el primer paso consiste en traducir las palabras del problema a una representación interna, el cual comprende desde las palabras del problema narrado hasta una ecuación. En este primer paso de traducción considera importantes los tipos de conocimiento lingüístico, semántico y esquemático. El segundo gran paso consiste en aplicar las reglas del álgebra y aritmética a la representación interna, por ejemplo pasar de la ecuación al valor numérico desconocido. (p.409) Figura 1, esquema de análisis de la resolución del problema matemático planteado por Mayer (1986). Es interesante distinguir que en este modelo, Mayer considera que solución y respuesta son elementos distintos del proceso, la solución es entendida como la parte operativa y en la que se plantean estrategias y por otro lado la respuesta es considerada el fin de este proceso. Esta visión de interpretación-traducción del proceso de resolución de problemas se presenta a profesores y estudiantes incluso en los libros de texto escolares. Budnick (2003) menciona: 29

30 En las secciones restantes del capítulo se tratarán los problemas aplicados. Al empezar a leerlas, no olvide que esos problemas exigen una traducción de la formulación verbal del problema a una adecuada representación matemática Una vez definida la solución matemáticamente derivada, un elemento esencial del proceso lo constituye la traducción del resultado matemático a una recomendación práctica en el ámbito de la aplicación. (p.650). Budnick (2003) presenta un esquema del proceso de solución de problemas de acuerdo al proceso que considera debe seguir un alumno al resolver problemas en su libro. Figura 2. Proceso de solución de problemas, Budnick, 2003, p Al respecto Lester (2013) menciona que existe una perspectiva simplista sobre la resolución de problemas, la cual tiene dos niveles o mundos: el mundo cotidiano de cosas, problemas y aplicaciones de matemáticas y el mundo idealizado, abstracto de símbolos matemáticos conceptos y operaciones. Plantea que esta visión ingenua se trata de un enfoque en el cual se transita en las siguientes etapas : se comienza con un problema planteado en términos reales, a continuación se traslada el problema en términos matemáticos abstractos, entonces se opera en esta representación matemática a fin de llegar a la solución matemática, finalmente esta solución es trasladada en términos del problema original, en resumen se trata de un proceso de traducción e interpretación. 30

31 El conocimiento empírico de la resolución de problemas nos muestra que se trata de una actividad que no está regida o establecida por una serie de pasos definidos. En el proceso de solución existe un amplio margen en el uso de recursos, procedimientos e incluso la intuición para establecer una posible ruta de solución. Sin embargo, Polya (1957) observó que en el proceso de solución de un problema es posible identificar características comunes, en cuanto a su estructura y también aspectos comunes en las estrategias que usan los estudiantes para resolverlos. Esto permitió establecer y formular pautas o sugerencias para el proceso de solución de un problema. (Polya, 1957) Polya (1957) estableció un método de cuatro pasos como estrategia de apoyo para resolver problemas, el cual apoya con preguntas enfocadas para que el estudiante reflexione en cada momento del proceso de solución. Primero, entendiendo el problema. Tienes que entender el problema. Qué es lo que desconoce? Cuáles son los datos? Cuál es la condición? Es posible satisfacer la condición? Es la condición suficiente para determinar lo desconocido? Es insuficiente? Es redundante? Contradictorio? Dibuja una figura. Introduce notación adecuada. Separa en varias partes la condición. La puedes escribir? Segundo, elaborando un plan. Encuentra la conexión entre los datos y lo desconocido. Puede ser que estés obligado a considerar problemas auxiliares si es que no puedes encontrar una conexión inmediata. Eventualmente puedes obtener un plan de la solución. Lo has visto antes? Has visto el problema en una forma ligeramente diferente? Conoces un problema relacionado? Conoces un teorema que pueda resultar útil? Mira a lo desconocido! Y trata de pensar en un problema familiar que tenga una interrogante igual o similar. Se tiene un problema resuelto previamente relacionado al suyo Lo podrías usar? Podrías usar su resultado? Podrías usar el método? Podrías introducir algunos elementos auxiliares para hacer esto posible? Podrías reescribir el problema? Podrías reescribirlo de una manera diferente? Vuelve a las definiciones. 31

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