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1 Introducción al método de los elementos finitos Métodos Numéricos 2 Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN) Dep. de Matemàtica Aplicada III Universitat Politècnica de Catalunya www-lacan.upc.es Ventajas del método de los elementos finitos (EF) Mallas no estructuradas: dominios con contornos irregulares, adaptatividad Las condiciones de contorno se imponen de forma sistemática (sin casuística) Programas de EF con rutinas generales: cálculo sistemático de todo, describiendo de forma adecuada los datos del problema (geometría, condiciones de contorno...) un solo código de EF permite resolver varios problemas de contorno. 2 Problema mecánico (I) Principio de los trabajos virtuales Problema mecánico (II) Residuos ponderados Ecuación de equilibrio Premultiplicando por v tal que v=0 en Γ d Considerando para cualquier desplazamiento virtual v (con v=0 en Γ d ) 3 4

2 Utilizando el teorema de la divergencia de Gauss Residuos ponderados Problema modelo Forma fuerte con Dado que v=0 en Γ d, σn=t en Γ n y σ es un tensor simétrico Premultiplicando por una función de test v tal que v=0 en Γ d 5 6 utilizando Forma débil Encontrar u H 1 (Ω) tal que u=u d en Γ d y aplicando el teorema de la divergencia de Gauss para cualquier función de test v H 1 (Ω) tal que v=0 en Γ d, donde Bilineal, simétrica y coerciva dado que v=0 en Γ d y un=g n en Γ n Es fácil demostrar que la forma fuerte y la forma débil son equivalentes. 7 8

3 Interpolación seccional (Spline) Se considera una interpolación seccional (lineal C 0, cúbica C 1,...) Valores prescritos Se fijan los coeficientes que corresponden a valores conocidos por las condiciones de contorno esenciales N i (x) Ventajas: soporte compacto (bases locales) matrices casi-vacías fácilmente integrable coeficientes u i con significado físico u h (x) verifica (salvo error asociado a la interpolación) la condición de contorno esencial u=u d en Γ d N i (x)=0 en Γ d para i B (funciones de test v) Existen otras técnicas: multiplicadores de Lagrange, métodos de penalización, método de Nitsche Discretización de la forma débil Imponiendo la forma débil para v=n i (x) con i B y sustituyendo la interpolación u h (x) Ejemplo 1D (con spline lineal C 0 ) Interpolación: Sistema lineal de ecuaciones 11 12

4 Sustituyendo la aproximación y v=n i para i=1...5 o, equivalentemente, Sistema lineal 5 5: 5: La matriz del sistema es tridiagonal (en general es una matriz con pocos coeficientes no nulos) Cálculo de integrales: cuadratura compuesta Hay que calcular integrales Matriz simétrica y diagonalmente dominante: matriz simétrica y definida positiva Si la forma bilineal a(,) es simétrica y coerciva, la matriz resultante es simétrica y definida positiva. El coeficiente (i,j) de la matriz es no nulo sólo si los nodos i y j pertenecen al mismo elemento: matrices casi-vacías 15 con funciones polinómicas a trozos (un polinomio en cada elemento) Se usa una cuadratura de Gauss compuesta (cuadratura de Gauss en cada elemento) 16

5 Matrices elementales Ensamblado de matrices elementales Ejemplo La matriz elemental K e contiene la contribución del elemento Ω e a la matriz total donde () denota número de nodo local y nnode es el número de nodos del elemento. La matriz de conectividades da la correspondencia entre número de nodo local y número global. Definición de la geometría (matriz de conectividades) (#) numeración local K 1 = K 2 = 19 20

6 Matriz simétrica y semidefinida positiva (falta imponer valores prescritos) K 3 = K 4 = Cálculo de la matriz elemental Cuadrilátero de 4 nodos Q1: bilineal, {1,x,y,xy} (x 3,y 3 ) (x 2,y 2 ) Funciones de forma N i (x)=? Cuadratura numérica Transformación isoparamétrica Cuadrilátero de 9 nodos Q2: bicuadrático Ω e (x 4,y 4 ) Elemento de (x 1,y 1 ) referencia 23 24

7 Elemento bilineal Q1 Elemento bicuadrático Q2 N 1 N 2 N 1 N 2 N 3 N 4 N 8 N Triángulos: Coordenadas de área P1 Tetraedro de 4 nodos lineal {1, x, y, z} Puntos de integración específicos para triángulos Interpolación lineal (P1, {1, x, y}), cuadrática (P2, {1, x, y, xy, x 2, y 2 })... P2 P3 Hexaedro de 8 nodos trilineal {1, x, y, z, xy, xz, yz, xyz} 27 28

8 Observaciones finales Para realizar los cálculos sólo es necesario definir: Forma débil del problema de contorno La geometría o malla de elementos finitos: coordenadas nodales X conectividades T El elemento de referencia: puntos y pesos de integración (cuadratura de Gauss) valor de las funciones de forma y derivadas en los puntos de integración 29

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