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2 Ejemplo 1 Dibujar la función: = +1 A la hora de representar funciones tenemos que tener en cuenta los siguientes puntos. Dominio Puntos de corte con los ejes Simetría Asíntotas Crecimiento decrecimiento/máximos y mínimos Dominio: Para calcular el domino en estas funciones que son división de dos polinomios tenemos que ver donde se hace 0 el denominador: =0 = 0 Por lo tanto el domino es = 0 Puntos de corte con los ejes Con el eje OX y=0 +1 = 0 +1 = 0 Al resolver esta ecuación vemos que no tiene solución porque no existe una raíz par de un número negativo. Por lo tanto no hay puntos de corte con el eje OX

3 Con el eje OY x=0 como x=0 no forma parte del dominio, no podrá haber puntos de corte. Por lo tanto no tenemos puntos de corte con ninguno de los ejes. Simetría: Para calcular la simetría tenemos que calcular lo que vale f(-x) = +1 = +1 Como = tenemos simetría par, esto quiere decir que la función será simétrica con respecto al eje OY. Asíntotas: Asíntotas Horizontales (AH): Hay que hacer el límite cuando x tiende a más y menos infinito. Existirán AH si dicho límite vale cualquier valor excepto infinito. +1 = = Al ser de mayor grado el numerado que el denominador. +1 = = Por lo tanto no hay Asíntotas horizontales Asíntotas Verticales (AV). Hay que hacer los límites laterales de todos los números que no formen parte del dominio. +1 = + +1 = + Tenemos por lo tanto Asíntotas verticales en x=0

4 Asíntotas oblicuas (AO) Para que haya asíntotas oblicuas el grado del numerador tiene que ser uno más que el grado del denominador. En este caso no tenemos, porque el grado del numerador es 4 y el del numerador es 2 (es dos grados mayor) Crecimiento-decrecimiento/máximos-mínimos. Para calcular la los máximos y mínimos de una función tenemos que calcular la primera derivada y después igualarla a 0. Para hacer la derivada de f(x), tenemos que darnos cuenta de que una división de dos funciones. = = 0 1 = 0 =1 =±1 = 1 Ahora tenemos que dibujar una recta y colocar los números que hagan la derivada 0(en este ejemplo +1 y -1), y además también tenemos que poner los números que no formen parte del dominio (en este ejemplo el 0) Como vemos se forman 4 intervalos, tendremos cual es el signo de la primera derivada en cada intervalo. Cuando la primera derivada sea negativa en un intervalo, la función será decreciente en dicho intervalo. Si por el contrario es positiva la primera derivada, la función será creciente.

5 f (x) f(x) La función es decreciente en, 1$0,1 La función es creciente en 1,0$1, En x=-1 tendremos un mínimo. Para calcular la coordenada Y del mínimo tendremos que sustituir x=1 en f(x), es decir en la función inicial (Ojo con sustituirla en la derivada, que es un fallo muy típico que se suele cometer). Por lo tanto tendremos un mínimo en (-1,2) En x=0 no tenemos un máximo porque x=0 no forma parte del dominio (Ojo con esto también que suele ser otro fallo importante que se suele tener) En x=1 tenemos otro mínimo en el punto (1,2) Consejos para dibujarla. Lo primero que tenemos que poner son los puntos que hemos ido obteniendo a lo largo de todo el estudio (puntos de corte máximos, mínimos). Después dibujaría las asíntotas. Cuando tenemos que dibujar Asíntotas verticales, es de mucha utilidad dibujar como es la gráfica alrededor de la asíntota. Para ello nos tenemos que fijar en los límites laterales calculados anteriormente.

6 Ejemplo 2. Representar la siguiente función = Dominio. Como en el ejemplo anterior tenemos que igualar a 0 el denominador, y los números que cumplan no formaran parte del dominio. Por lo tanto: = 1 Puntos de corte con los ejes: % Con el eje OX y=0 0 % 1 % 0 0

7 Por lo tanto, el punto de corte con el eje OX es el 0,0 Con el eje OY: x=0 & = 0 % 0 1 = 0 Por lo tanto el punto de corte con el eje OY es también el 0,0 Simetría. Tenemos que calcular = % 1 Esta función no tiene ningún tipo de simetría porque es distinto a (simetría par) y a (simetría impar). Asíntotas. Asíntotas horizontales. Hay que calcular el ite cuando x tiende a % 1 = + Como este límite nos da infinito, la gráfica no tiene asíntotas horizontales. Asíntotas verticales. Hay que hacer los límites laterales de todos los números que no formen parte del dominio. % ( 1 = 1 0 ) = + % ( 1 = 1 0 ) = + Por lo tanto tenemos una asíntota vertical en = 1

8 Asíntotas oblicuas. La condición para que tengamos asíntotas oblicuas es que el grado del denominador tiene que ser uno menor que el grado del numerador. En este caso si tenemos asíntota oblicua. Para calcularla tenemos que dividir ambos polinomios. % % La asíntota oblicua estará en el cociente de dicha división. Por lo tanto la asíntota oblicua la tendremos en & =+2 Crecimiento y decrecimiento. Para calcular los máximos y los mínimos tenemos que calcular la primera derivada e igualarla a 0. = % 1 Fijaros que como tenemos el término 1 en los dos sumandos del numerador y en el denominador podemos simplicarlo.

9 = % 1 % = 3% 3 2 % 1 % = 0 % 3 =0 3 =0 = 0, = 3 = % 3 1 % Ahora tenemos que poner en una recta real, los números que hacen 0 a la primera derivada, y los números que no forman parte del dominio. En este ejemplo tendremos que poner en dicha recta el 0, el 3 y el Donde la primera derivada sea positiva, la función será creciente, y donde la primera derivada sea negativa, la función será decreciente. Por lo tanto la función será creciente en: Y la función será decreciente en:,1$3,+ 1,3

10 Atención que en = 1 no tendremos un máximo porque ese punto no forma parte del dominio. En =3 tenemos un mínimo porque por la izquierda decrece y por la derecha crece. Sustituyendo en la función inicial obtenemos que el mínimo esta en el punto 3, + ). A la hora de dibujarla, lo primero que tenemos que trazar son las asíntotas y los puntos que hemos ido obteniendo (máximos, mínimos, puntos de corte etc.). Recordar lo importante que es dibujar los límites laterales alrededor de la asíntota vertical, para hacernos una idea mucho más exacta de cómo es la gráfica.

11 Ejemplo 3. Representar la siguiente función. = + 2 Dominio de la función. Los números que no forman parte de la función son aquellos que hacen al denominador 0, por lo tanto, tendremos que resolver la siguiente ecuación. + 2 =0 Las soluciones a esta ecuación no formarán parte del dominio. Las soluciones son: Por lo tanto: Puntos de corte: Con el Eje OX & =0 = 1 = 2 = 2,1 + 2 =0 = 0 = 0 Por lo tanto el punto de corte con el eje OX es el 0,0 Con el eje OY =0 sustituyendo x por 0 en la función inicial nos vuelve a dar el punto 0,0 Por lo tanto solo tenemos un punto de corte con los ejes que es el 0,0 Simetría. Para ver la simetría tenemos que hacer:

12 = 2 = 2 Esta función no presenta ningún tipo de simetría, ni par ni impar. Asíntotas Asíntotas Horizontales (AH). Para calcular estas asíntotas tenemos que hacer el límite cuando x tiende a infinito de la función. + 2 = Nos tenemos que fijar en los grados. Como los dos grados son iguales, nos fijamos en los números que acompañan a los términos de mayor grado. + 2 = = 1 = Por lo tanto podemos decir que tenemos una AH en & = Asíntotas verticales. Tenemos que hacer los límites laterales de los números que no forman parte del dominio. Recordamos que cuando tenemos que hacer estos límites laterales y tenemos un polinomio de grado 2 o más en el numerador conviene factorizarlo. ( ( 1+2 = 0 ) = = 0 = 1+2 = 0 =

13 1+2 = 0 ) = + Por lo tanto tenemos asíntotas verticales en = 2 & -. = 1 Asíntotas oblicuas (AO) no tenemos. Para tener asíntotas oblicuas el grado del numerador tiene que ser uno mayor que el grado del denominador. Crecimiento y decrecimiento. Tenemos que calcular la primera derivada y luego igualarla a 0. = = 18% % + 2 = =0 36 = 0 4 =0 = 0 = 4 Ahora para calcular los máximos y los mínimos tenemos que poner en una recta los números que hacen la primera derivada a 0 y los números que no forman parte del dominio. Donde la primera derivada sea positiva, la función será creciente, y donde la primera derivada sea negativa, la función será decreciente.

14 Por lo tanto la función creciente en:, 2$ 2,0$4, Y decreciente: 0,1$1,4 En = 0 tenemos un máximo porque por la izquierda crece y por la derecha decrece. Sustituyendo = 0 en la ecuación obtenemos que dicho máximo esta en 0,0 En = 4 tenemos un mínimo porque por la izquierda decrece y por la derecha crece. Sustituyendo =4 en la ecuación inicial, obtenemos que dicho mínimo esta en 4,8 A la hora de dibujarla, lo primero que tenemos que trazar son las asíntotas y los puntos que hemos ido obteniendo (máximos, mínimos, puntos de corte etc.). Recordar lo importante que es dibujar los límites laterales alrededor de la asíntota vertical, para hacernos una idea mucho más exacta de cómo es la gráfica.

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f( x) = ( x)2 + 11 x + 5 = 0 = x2 + 11 = 0 = No hay solución y = 0 + 11 0 + 5 = 11

f( x) = ( x)2 + 11 x + 5 = 0 = x2 + 11 = 0 = No hay solución y = 0 + 11 0 + 5 = 11 1. y = x + 11 x + 5 a) ESTUDIO DE f: 1) Dominio: Como es un cociente del dominio habrá que excluir los valores que anulen el denominador. Por tanto: x + 5 = 0 x = 5 ) Simetría: A simple vista, como el

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