Introducción al método de los Elementos Finitos en 2D

Transcripción

1 Introducción al método de los Elementos Finitos en D Lección Variantes para la aproimación en elementos finitos D Adaptado por Jaime PuigPe UC de:. Zabaras. Curso FE Analsis for Mech&Aerospace Design. U. Cornell. 0.. Fish J. Blt Beltschko T. A First Course in Finiteit Elements. Ed. Wile 007. E. T. S. de Ingeniería de Caminos C. P. Santander

2 Elementos Finitos Isoparamétricos. Las funciones base utilizadas en las transformaciones T e no tienen por qué ser las mismas que las que se emplean para la aproimación de funciones.. Sea M el número de funciones base utilizadas para definir T e sea ne el número de funciones base nodos por elemento utilizadas para la aproimación de funciones.. Los polinomios empleados para definir la geometría pueden ser de maor orden M>ne igual Mne o menor M<ne que los empleados para la aproimación de la función incógnita principal.. Esto define elementos finitos superparamétricos isoparamétricos subparamétricos respectivamente. E. T. S. de Ingeniería de Caminos C. P. Santander

3 Elementos Finitos Sub Iso Super paramétricos ne9 ne9 ne ne6 ne6 ne E. T. S. de Ingeniería de Caminos C. P. Santander

4 Elementos cuadriláteros: BILIEAL. Utilizamos el producto tensorial de polinomios de Lagrange D de grado : E. T. S. de Ingeniería de Caminos C. P. Santander

5 Elementos cuadriláteros: BICUÁDRATICO. Utilizamos el producto tensorial de polinomios de Lagrange D de grado. 5 grado Observar que en este modelo eiste un nodo interno 9. E. T. S. de Ingeniería de Caminos C. P. Santander 5

6 Elemento Cuadrático de 8 nodos. Este tipo de elementos no procede del producto tensorial de polinomios D. Se d i l t di it denominan elementos serendipit.. Para deducir el función de forma para el nodo se necesita n el nodo se necesita un polinomio que se anule sobre las rectas: Y que valga en el nodo 5 Y que valga en el nodo E. T. S. de Ingeniería de Caminos C. P. Santander 6

7 Fórmulas reglas de integración cuadratura numérica. Las reglas de cuadratura D se basan en las reglas de Gauss D: Â G d d G d d. Aquí renombramos os los índices mn p p p con sólo uno l variando de a p en G i wi w G ll w i l este caso p es el num. de p. base de GaussLegendre en D supuesto que se toma el mismo valor p en cada dirección. l. Esta regla de Gauss Legendre de puntos integra eactamente polinomios de grado menor o igual que 5 en cada variable en el dominio!! E. T. S. de Ingeniería de Caminos C. P. Santander 7

8 Elementos triangulares Se consideran primero elementos triangulares de lados rectos Consideremos la. Se consideran primero elementos triangulares de lados rectos. Consideremos la transformación entre un elemento maestro triángulo rectángulo isósceles Las funciones base de Lagrange se comprueba fácilmente que son:. La transformación de coordenadas se define como: Â E. T. S. de Ingeniería de Caminos C. P. Santander 8

9 Elementos triangulares. Invirtiendo la transformación: e A Â De estas epresiones se e e area of A Area de e. De estas epresiones se puede calcular fácilmente: J e e J Y de ellas la matriz de rigidez el vector de cargas del elemento e E. T. S. de Ingeniería de Caminos C. P. Santander 9 el vector de cargas del elemento

10 Coordenadas de área. Las valores de se pueden interpretar fácilmente como cocientes de áreas. Ello es útil para deducir elementos triangulares de maor orden.. Únanse los puntos genéricos interiores a los triángulos con los vértices de los triángulos Â Ω e respectivamente. Denótese â i a i como las áreas de los subtriángulos opuestos a los nodos i en Â Ω e respectivamente. Â. Definimos las coordenadas de área en  como: i â i / m i donde  m / es el área del elemento maestro Â. E. T. S. de Ingeniería de Caminos C. P. Santander 0

11 Coordenadas de área. Puesto que J es constante representa el cociente de áreas de Ω e  la transformación T e transforma las áreas uniformemente. Así: i â/â i m a/a i e i donde A e es el área del triángulo en el espacio original. Esto es cierto sólo para triángulos de lados rectos. Â. Las coordenadas de área también se denominan coordenadas baricéntricas. E. T. S. de Ingeniería de Caminos C. P. Santander

12 Coordenadas de área. En las figuras se muestran varias propiedades interesantes de las coordenadas de área.. En un punto interior arbitrario la recta i cte es paralela al lado opuesto al nodo i en el elemento. cte cte. Los lados del borde del elemento tiene como ecuación: i 0 i. cte. Las coordenadas de área o baricéntricas de los vértices del triángulo son: E. T. S. de Ingeniería de Caminos C. P. Santander

13 Funciones de forma de alto grado. Las coordenadas de área i sobre  se pueden utilizar para definir funciones de forma de maor grado. Fish J. Beltschko T. A First Course in Finite Elements. Wile. 007 / / / / / / 9 / / / 9 / / / 7 / / 7 / / 7 / / 7 / / 7 / / 7 / / 0 7 Funciones de forma cuadráticas Funciones de forma cúbicas E. T. S. de Ingeniería de Caminos C. P. Santander

14 Funciones de forma utilizando coordenadas de área. La transformación de coordenadas se hace ahora mediante las epresiones:. Los cálculos difieren de los usados en cuadriláteros por la presencia de la coordenada redundante.. Para el cálculo de las derivadas se procede así:. De modo alternativo se puede utilizar operar como se hace con los cuadriláteros. E. T. S. de Ingeniería de Caminos C. P. Santander

15 Fórmulas de integración para triángulos. Se pueden utilizar reglas de cuadratura especiales para aplicarse empleando coordenadas de área. d d recordar que G G l l l  l w Donde l l l son los puntos base para la integración en  g su número w l los pesos. g l Eacta polin. lineales Eacta polin. cuadráticos Eacta polin. cubicos Puntos ζ i w i Puntos ζ i w i Puntos ζ i w i E. T. S. de Ingeniería de Caminos C. P. Santander 5