El método de los elementos finitos

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1 El método de los elementos finitos Segundo curso Grado en Física

2 Índice Funciones continuas a trozos: elementos finitos Métodos variacionales Elementos finitos aplicados a la ecuación de Poisson

3 Consideremos un problema de ejemplo con u() = y u(1) =. d 2 u u + x =, < x < 1 (1) dx 2 Intentamos aproximar la solución mediante una función de prueba ũ con un parámetro libre a Definamos el residuo R como ũ = ax(1 x). (2) R(x) = d 2 ũ ũ + x = 2a ax(1 x) + x. (3) dx 2

4 Hallemos el valor de a que minimiza el residuo minimizando I 2 1 I 2 = R 2 (x)dx (4) Para minimizar, hacemos resultando a =,235. I 1 2 a = R(x) R(x) dx =. (5) a

5 El método de residuos ponderados se basan en resolver la ecuacion (o ecuaciones) 1 I = w(x)r(x)dx = (6) donde w(x) se denomina función de peso. Con la elección w = R/ a recuperamos la ecuacion de minimización de R 2.

6 Mejoremos la aproximación con ũ 1 = x(1 x), ũ 1 = x 2 (1 x). Entonces ũ = a 1 ũ 1 + a 2 ũ 2, (7) R = a 1 ( 2 x + x 2 ) + a 2 (2 6x x 2 + x 3 ) + x. (8) Para minimizar la integral de R 2 la funciones peso son w 1 (x) = 2 x + x 2 ;w 2 (x) = 2 6x x 2 + x 3. (9) El método de Galerkin utiliza las mismas funciones como peso y prueba w 1 (x) = x(1 x);w 2 (x) = x 2 (1 x). (1)

7 Formulación débil del método de los residuos ponderados La formulación que hemos visto del MRP exige evaluar 1 w 2 ũ x 2 dx. Esta formulación se denomina formulación fuerte del MRP. Exige que las funciones prueba deben ser derivables al menos dos veces.

8 Formulación débil del método de los residuos ponderados Integremos por partes la formulación fuerte I = = 1 1 ( d 2ũ ) w dx 2 ũ + x) dx (11) ( dw ) [ dũ wũ + xw + w dũ ] 1 =. (12) dx dx dx La segunda derivada ha desaparecido. A esta formulación se la denomina formulación débil.

9 Funciones continuas a trozos: elementos finitos Funciones de prueba continuas a trozos La precisión de las soluciones expuestas anteriormente depende fuertemente de las funciones prueba elegidas. La dependencia se hace aún más evidente cuando el dominio es bi o tri-dimensional, y/o las condiciones de contorno se complican. Una forma de abordar el problema consiste en usar funciones definidas en pequeños subdominios (a trozos). Ejemplo: funciones lineales a trozos φ i (x) = (x x i 1 )/(x i x i 1 ) para x i 1 x x i (x i+1 x)/(x i+1 x i ) para x i x x i+1 en otro caso (13)

10 Funciones continuas a trozos: elementos finitos Ejemplo Consideramos de nuevo el problema con u() = y u(1) =. d 2 u u + x =, < x < 1 (14) dx 2 La formulación débil se escribe como 1 ( I = dw ) [ dũ wũ + xw + w dũ ] 1. (15) dx dx dx Lo aplicamos a funciones definidas a trozos en [, 2/3], [1/3,1].

11 Funciones continuas a trozos: elementos finitos La formulación de elementos finitos de Galerkin Aumentando el número de funciones continuas a trozos, conseguimos aproximarnos más y más a la solución. Los subdominios en los que se definen las funciones continuas a trozos se denominan elementos finitos. En lo que sigue, consideraremos que las funciones peso y prueba coinciden (Galerkin). Resolvemos nuestro problema de ejemplo con más elementos.

12 Métodos variacionales La formulación variacional del Método de Elementos Finitos La formulación original del método de elementos finitos se basaba en la minimización de una funcional. Tomemos de nuevo nuestro caso de ejemplo con u() = y u(1) =. d 2 u u + x =, < x < 1 (16) dx 2 Expresamos su variación al modificar u en una cantidad δu 1 ( δj = d 2 ) [ ] u du 1 dx 2 + u x δudx + dx δu. (17)

13 Métodos variacionales La formulación variacional del Método de Elementos Finitos Realizamos una integración por partes (y suponiendo por sencillez condiciones de contorno de Neumann) 1 ( ) du d(δu) δj = + uδu xδu dx. (18) dx dx Puesto que el operador variacional conmuta con la derivación y con la integral { 1 ( ) } 1 d(δu) 2 δj = δ dx 2 u2 xu dx. (19)

14 Métodos variacionales La formulación variacional del Método de Elementos Finitos La minimización de la funcional { 1 ( ) } 1 du 2 J = dx 2 u2 xu dx, (2) es equivalente a las ecuaciones diferenciales de partida. El método de elementos finitos original se basaba en minimizar la funcional para funciones test de la forma u(x) = N i=1 a i w(x). Esta formulación se denomina método de Rayleigh-Ritz. Para su resolución, se obtiene el mismo sistema de ecuaciones que hemos encontrado en la formulaciones anteriores.

15 Métodos variacionales Ejemplo-resumen Formula las ecuaciones algebraicas que aproximan la solución del problema d 2 u u + x =, < x < 1 (21) dx 2 con condiciones de contorno u() = y u(1) =, utilizando el método de elementos finitos de Galerkin, con n funciones peso definidas a trozos (en las regiones x i < x < x i+1 con x i = (i 1)/(n 1)).

16 Elementos finitos aplicados a la ecuación de Poisson Formulación débil de la ecuación de Poisson. Consideremos la ecuación de Poisson (ε φ) = ρ, (22) definida en el dominio limitado por el contorno S = S 1 S 2, con las condiciones de contorno: φ = φ en S 1, φ n = f en S 2. (23) Su formulación débil viene dada por dτ ε φ Ψ = dτ ρψ + εf Ψ (24) τ S 2 τ para toda función Ψ definida en τ y tal que Ψ = en S 1.

17 Elementos finitos aplicados a la ecuación de Poisson Discretizado del dominio espacial El método de elementos aplica la formulación débil de la ecuación de Poisson en un espacio discretizado. En elementos finitos es habitual discritezar el espacio en regiones triangulares. La discretización puede ser muy compleja y es realizada por medio de rutinas de mallado que pueden ser muy complejas. El método de elementos finitos presenta gran flexibilidad para tratar con dominios de formas complejas. En Matlab, entremos en la PDEToolBox y experimentemos con los mallados.

18 Elementos finitos aplicados a la ecuación de Poisson Funciones prueba w Las funciones de prueba se definen en torno a cada vértice de la malla, de forma que valgan 1 en un cierto vértice y en todos los demás, con variación lineal w i (a j ) = { 1 si j = i si j i (25) y x

19 Elementos finitos aplicados a la ecuación de Poisson Solución por elementos finitos Se busca una solución de la forma φ(r) = n j=1 φ j w j (r) + n j=n +1 Imponemos que cumpla la ecuación integral φ w j (r) (26) n j=1 K ij φ j = B i i = 1,...,n donde (27) K ij = B i = τ τ dτ ε w i w j (28) dτ ρw i + n ds εfw i S i dτ φ ε w j w i j=n +1 τ

20 Elementos finitos aplicados a la ecuación de Poisson Comentarios adicionales La ecuación diferencial de partida se aproxima por un sistema de ecuaciones algebraicas. El sistema de ecuaciones lineales suele ser de dimensión alta pero disperso. Existen numerosos software de elementos finitos con interfaces amigables. Dentro de Matlab, se tiene la PDEToolBox.

21 Elementos finitos aplicados a la ecuación de Poisson Bibliografía Carlos A. Felippa, Introduction to Finite Element Methods. Department of Aerospace Engineering Sciences University of Colorado at Boulder. Disponible en courses.d/ifem.d/. Vídeos de demostración de COMSOL Software de código abierto Elmer

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