Análisis de Señales. Descripción matemática de señales

Transcripción

1 Análisis d Sñals Dscripción mamáica d sñals Sñals Las sñals son funcions d variabls indpndins, poradoras d información Sñals lécricas:nsions y corrins n un circuio Sñals acúsicas: audio Sñals d vido: variación d la innsidad Sñals biológicas: scuncias d bass d un gn 1

2 Variabls indpndins Pudn sr coninuas Pudn sr discras Pudn sr 1-D, -D...N-D Para s curso: impo. Var. Indp.1-D impo coninuo (TC) x() oma valors coninuos impo discro (TC) x[n] n oma valors nros Sñals n TC :analógicas Ampliud y impo coninuos - x() valors conínuos La mayoría d las sñals dl mundo físico son dl ipo TC. Por j. nsión, corrin, prsión, mpraura y vlocidad

3 Sñals cuanizadas x Q() Timpo coninuo, ampliud discra. La ampliud solo oma drminados valors. Sñals n TD : musradas Musradas: impo discro ampliud coninua - x[n] n valors nros Sñals n TD n la nauralza Scuncia d bass ADN Población d spcis En TD hchas por l hombr Imagn digial Inrés bancario 3

4 Digials FUNCIONES DE SEÑALES EN TIEMPO CONTINUO 4

5 Función scalón 1 > u() ½ < u() 1 < Función signo 1 > u() -1 < u() 1-1 < 5

6 6 Función rampa uniaria rampa() > u d u rampa ) ( ) ( ) ( τ τ 1 La función rampa n TC s la ingral d la función scalón uniario Función impulso uniario ) ( 1 ) ( ) ( a a a d g a d g A δ () ) ( 1 () lim 1 () lim lim g a a g d a g A a a a a a

7 Trn d impulsos uniarios + n x ( ) δ ( T ) Función rcángulo uniario 1 rc( ) 1 > 1 7

8 Función riángulo uniario 1 ri( ) < 1 1 Función sinc uniaria sn( π ) sinc() π 8

9 Función d Dirichl drcl(, N) sn( π N) N sn( π ) El numrador s cuando s múliplo nro d 1/N. La función val n sos punos salvo qu l dnominador sa ambién sa. Si N s par los xrmos s alrnan nr +1 y 1. Si N s impar odos los xrmos son +1. Función d Dirichl 9

10 Transformacions d la variabl indpndin Escalamino d ampliud Dsplazamino n l impo Escalamino n l impo Transformacions múlipls Escalamino n ampliud g() Ag() 1

11 Dsplazamino n l impo g(-1) Ej. Funcions scalón ransformadas 11

12 Escalamino n l impo /a -4-4 / g(/) Escalamino n l impo -/ / g(-/)

13 Transformacions múlipls Transformacions múlipls Escala d ampliud 13

14 Difrnciación Ingración 14

15 Funcions Par Impar n TC Función par g()g(-) Función impar g()-g(-) Una forma d rconocr una función par, l j d las ordnadas s un spjo. Para una función impar las mismas dos imágns son n spjo ngaivas una d ora. Funcions Par Impar n TC Par Impar 15

16 Ni Par Ni Impar Cualquir función g(), incluso si no s par ni impar, pud xprsars como la suma d sus pars par impar: g ( ) g( ) + g( ) g o ( ) g( ) g( ) g( ) g ( ) g ( ) + o Funcions priódicas n TC Una función g() s priódica si g()g(+nt) Para cualquir valor nro d n dond T s l príodo d la función. El inrvalo mínimo posiivo para l cual s rpi la función s l príodo fundamnal T o. La frcuncia fundamnal f o 1/T o ciclos/sg ó Hz (Hrz) La frcuncia fundamnal n radians por sgundo ω o πf o. 16

17 Ej. f()cos w 1 + cos w Si la función s priódica con príodo T, noncs s posibl nconrar dos nros m y n als qu w 1 Tπm w 1 /w m/n w Tπn Es dcir la rlación w 1 /w db sr un númro racional. Sñals priódicas xponncial complja y snoidal Considrmos la siguin xponncial complja : jw x( ) Propidad imporan: s priódica jw jw( + T ) jw jwt Para sr priódica jw T 1 17

18 Sñals xponncials y snoidals Si ω noncs x( ) 1 priódica para cualquir valor d T. Si ω noncs l príodo fundamnal T, l valor posiivo más pquño d T qu cumpl con T π ω Rcordando rlación : xponncial complja sñal snoidal jω cosω + j snω cos ω sn ω jω jω + j jω jω R Im jω { } jω { } 18

19 FUNCIONES DE SEÑALES EN TIEMPO DISCRETO 19

20 Scuncia uniaria u[ n] 1 n n < Función rampa uniaria rampa[ n] n n n <

21 Impulso uniario δ[ n] 1 n n Trn d impulsos uniarios + n x[ n] δ [ n m N ] 1

22 Dsplazamino n TD Escalamino n TD

23 Funcions Par Impar n TD Es par si g[n]g[-n] Es impar si g[n]-g[-n] Igual qu n TC, dfinimos g [ n] g[ n] + g[ n] g o [ n] g[ n] g[ n] Ejmplos Par Impar 3

24 Funcions priódicas n TD Una función g[n] s priódica si g[n]g[n+mn] Para cualquir valor nro d m dond N s l príodo d la función. El inrvalo mínimo posiivo para l cual s rpi la función s l príodo fundamnal N o. La frcuncia fundamnal f o 1/N o ciclos/musra La frcuncia fundamnal n radians por musra ω o πf o. Funcions priódicas n TD 4

25 Exponncial ral n TD x [ n] Cα n Priodicidad d xponncials discras(1) Para impo coninuo vimos dos jω propidads d jω Minras más grand la magniud d w mayor srá la vlocidad d oscilación d la sñal. Es priódica para cualquir valor d w. Vamos sas propidads n TD 5

26 Priodicidad d xponncials discras() j( + π ) n j π n jωn jω n ω Vmos qu la xponncial w +π s la misma con frcuncia w. Difrn al caso conínuo, dond las sñals son disinas para disinas w. Por lo ano al considrar xponncials compljas, ncsiamos solamn omar l inrvalo d frcuncia d longiud π dnro dl cual s scog w. Conform w s incrmna dsd, la sñal oscila más rápido hasa π. Sguimos aumnando w hasa π y la sñal oscila más lno hasa producir la misma scuncia qu n w. 6

27 Priodicidad d xponncials discras(3) La sgunda propidad rspco d la priodicidad d la xponncial complja discra. Para sr priódica : jω ( n+ N ) jωn jωn Db habr un nro m al qu w Nπm w /πm/n 1 7

28 Priodicidad d xponncials discras(4) D acurdo con lo anrior, la xponncial s priódica si w /π s un númro racional y s no priódica n oras circunsancias. Nm(π/w ) jω jω n Sñals disinas para disinos valors d w Sñals idénicas para valors d w sparados π Priódica para cualquir w Frcuncia fundamnal w Priódica sólo si w π m/n con m y N nros Frcuncia fundamnal w /m Príodo fundamnal π/w Príodo fundamnal πm/w 8