Señales. Apéndice 3. A3.1 Representación de formas de ondas. Una señal es una función del tiempo. La gráfica de una señal se denomina forma de onda.

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1 Apéndice 3 1 Señales Una señal es una función del iempo. La gráfica de una señal se denomina forma de onda. A3.1 Represenación de formas de ondas Esudiaremos algunas propiedades de la represenación de formas de ondas. Sea la forma de onda de la Figura A3.1 f() Figura A3.1 La forma de onda no cambia si se cambia el argumeno de la función. Se suele decir que el argumeno es una variable muda. La Figura A3.2 muesra el cambio de por (a+b). Si la función f(a+b) se represena en érminos de (a+b); su forma de onda es idénica a la represenación de f() en función de, de la Figura A3.1. En dirección opuesa al aumeno de la variable independiene, exise un eje, en cuya dirección aumenan los valores negaivos de la variable. f(a+b) -(a+b) a+b Figura A3.2 Cambio de argumeno. Leopoldo Silva Biji

2 2 Teoría de Redes Elécricas Roación respeco del eje de ordenadas Si se represena f(-) en érminos de (-) y luego se dibuja el eje (+) aumenando hacia la derecha, se iene la forma de onda de la Figura A3.3, que represena un giro o roación respeco del eje de las ordenadas (=0). f(-) Corrimieno a la derecha Figura A3.3 Giro respeco de =0. Si se represena f(-2) en érminos de (-2), se endrá la misma forma de onda. Si se considera el cambio de ejes que se ilusra en la Figura A3.4: Figura A3.4-2 Se endrá que la forma de onda de f(-a) corresponde a una raslación de a unidades a la derecha, como se muesra en la Figura A3.5, con a posiivo. f(-2) Corrimieno a la izquierda Figura A3.5 Corrimieno a la derecha. La forma de onda de f(+a) corresponde a una raslación de a unidades a la izquierda, como se muesra en la Figura A3.6, con a posiivo. Leopoldo Silva Biji

3 Apéndice 3. Señales 3 f(+2) Corrimieno y giro Figura A3.6 Corrimieno a la izquierda. Podemos combinar el corrimieno a la derecha y el giro respeco al eje de ordenadas. Eso lo logramos, si la Figura A3.3, la desplazamos en dos unidades a la derecha, reemplazando por (-2). f(2-) Figura A3.7 Corrimieno y giro. Igual resulado obenemos a parir de la Figura A3.5, si efecuamos un giro relaivo al eje ubicado en -2=0 La Figura A3.8 ilusra un corrimieno a la izquierda con un giro relaivo al eje de ordenadas. A parir de la Figura A3.3, la desplazamos a la izquierda reemplazando por +2. f(-2-) f() Ampliación o reducción horizonal Figura A3.8 La Figura A3.9 muesra ampliación o reducción horizonal de la forma de onda de la Figura A3.1 Leopoldo Silva Biji

4 4 Teoría de Redes Elécricas f(2) f(/2) Cambio de escala Figura A3.9 Se puede lograr un efeco de ampliación o reducción horizonal cambiando la escala emporal. La Figura A3.10 ilusra una ampliación cambiando la base de iempo. f() 2 Ampliación o reducción verical Figura A3.10 La Figura A3.11 muesra ampliación o reducción verical de la forma de onda de la Figura A3.1 2f() f(-)/2 Figura A3.11 La Figura A3.12 muesra raslaciones vericales de la forma de onda de la Figura A3.1. Leopoldo Silva Biji

5 Apéndice 3. Señales 5 f()+2 f()-2 Figura A3.12 A3.2. Señales disconinuas Definiremos varias señales que han mosrado ser úiles en análisis de redes. A Escalón uniario. Se define la señal escalón uniario, según: u () 1, 0 0, 0 Permie modelar un cambio insanáneo de una variable en un deerminado iempo; lo cual no es posible en la realidad física. Esa idealización permie un raamieno maemáico simplificado, de una siuación en la que ocurren cambios. La Figura A3.13 es una represenación gráfica del escalón uniario. u() Ejemplo A3.1. Figura A3.13 Represenar la forma de onda de la Figura A314, mediane escalones uniarios. Leopoldo Silva Biji

6 6 Teoría de Redes Elécricas f() Figura A3.14 Aplicando corrimieno a la derecha a un escalón uniario, luego resando a un escalón y muliplicando por dos, se obiene: Ejemplo A3.2. f() = 2( u()-u(-2) ) Represenar la forma de onda de la función definida por secciones, mediane escalones uniarios. f() 0, 0, 0 1 2, 1 2 0, 2 Figura A3.15 La reca que pasa por el origen con pendiene uno, se represena por, y se la hace válida en el inervalo [0..1] muliplicando por la resa de escalones: u()-u(-1). La reca que pasa por el origen con pendiene menos uno, se represena por ; se la desplaza a la derecha en dos unidades reemplazando por (-2), lo cual puede escribirse como (2-), luego se la hace válida en el inervalo [1..2] muliplicando por la resa de escalones: u(-1)-u(-2). Finalmene: f() = ( u()-u(-1) ) + (2-)(u(-1)-u(-2)) Leopoldo Silva Biji

7 Apéndice 3. Señales 7 La función escalón esá definida en Maple como la función Heaviside( ); sin embargo no esá definida en =0. La forma de onda de la Figura A3.15, puede obenerse con: plo(*(heaviside()-heaviside(-1))+(2-)*(heaviside(-1)-heaviside(-2)),=-1..3); También se puede definir una expresión, por secciones lineales usando piecewise. f:= piecewise( <0, 0, <=1,, <=2, 2-, >2, 0 ); plo( f, =-1..3); Una función f() se define según: f := -> piecewise(<0, 0, <=1,, <=2, 2-, >2, 0); plo( f(), =-1..3); A Impulso. El impulso o disribución -Dirac esá definido por el siguiene par de propiedades: ( ) 0 0 ( ) d 1 En =0 iene singularidad infinia. Las propiedades de la disribución -Dirac pueden obenerse como el límie del área de una figura cuya área iende a uno, a pesar que su ancho iende a cero y su alura a infinio. Un ejemplo sencillo es un área recangular uniaria cuyo ancho iende a cero y cuya alura iende a infinio, consideremos: ( ) lim h ( ) 0 u( ) u( ) h () 2 La Figura A3.16 muesra una represenación gráfica de h para res valores de : 2, 1 y ½. Figura A3.16 Leopoldo Silva Biji

8 8 Teoría de Redes Elécricas Pueden exisir diferenes formas de áreas uniarias, que cumplan las propiedades aneriores. Relaciones con el escalón uniario. Se ienen: du() () d ( ) d u( ) Normalmene la disribución -Dirac se emplea para modelar señales físicas que acúan sobre inervalos muy coros de iempo, y cuando los efecos dependen de la inegral de la señal. Ejemplos: un impulso de corriene a ravés de un condensador produce un cambio insanáneo del volaje; la aperura de un inducor por el cual circula corriene consane produce un impulso de ensión enre los erminales del inducor. Permien modelar la derivada de señales con disconinuidades finias; en cada salo de la señal se producen impulsos en su derivada. Del mismo modo la inegración de una señal que coniene impulsos presena salos en la forma de onda en los insanes en que esán presenes los impulsos. Ejemplo A3.3. Expresar analíicamene la señal f() y su derivada g(). Se iene: f ( ) 3 u( ) 3 u( 2) f() 3 g() Figura A3.17 Leopoldo Silva Biji

9 Apéndice 3. Señales 9 La derivada de f(), se obiene según: df () g( ) 3 ( ) 3 ( 2) d Inegrando g() se obiene f(): f () g( ) d df (3 ( ) 3 ( 2)) d 0 f (0) 0 f ( ) f (0) 3 u( ) 3 u( 2) En la represenación gráfica de un impulso la flecha indica que la ordenada iende a infinio, al lado de la flecha se coloca el valor del área consane y finia bajo la curva. Por esa razón en el impulso ubicado en =2, en la Figura A3.17, se dibuja la flecha hacia abajo. Propiedad de muesreo. Con: a T b, se iene, si f() es coninua en =T, que: b a cf ( ) ( T ) d cf ( T ) Lo que permie represenar una función por infinias muesras insanáneas: f ( ) f ( ) ( ) d A Rampa Se define la señal rampa uniaria, según: r (), 0 0, 0 Y se ienen las siguienes relaciones con el escalón uniario: dr() u () d u( ) d r( ) También se iene que: r( ) u( ) 2 d r () 2 d () Leopoldo Silva Biji

10 10 Teoría de Redes Elécricas A Aproximación de una señal por escalones. Una señal e() puede ser aproximada mediane escalones uniarios como se muesra en la Figura A3.18. e() e( k) k k+1 Enonces puede expresarse: Figura A3.18 e( ) e( )( u( ) u( )) k k k k 1 Si se define incremenos iguales de iempo, la variable discrea puede escribirse: k Reemplazando en la relación anerior, se obiene: u( k ) u( k ) e( ) e( k ) Si 0 podemos reemplazar por d. k La variable discrea podemos reemplazarla por una variable coninua: lim ( k ) Aplicando la definición de derivada, enemos: u( k ) u( k ) du( d ) La sumaoria se reemplaza por una inegral, se obiene: ( ) e( ) e( ) du d d k 0 La derivada del escalón puede represenarse mediane la disribución -Dirac: e( ) e( ) ( ) d Leopoldo Silva Biji

11 Apéndice 3. Señales 11 La cual es la propiedad de muesreo definida anes. Si e() es la exciación de un sisema lineal e invariane en el iempo, y si se conoce que la respuesa a un escalón uniario es s(), se endrá que la respuesa r() a la exciación e(), puede expresarse según: r( ) e( )( s( ) s( )) k k k k 1 Procediendo de manera similar a la anerior, se obiene: ( ) r( ) e( ) ds d d Si la respuesa a un escalón es s(), la respuesa a la derivada de un escalón, es decir a un impulso, será la derivada de s(). La respuesa a un impulso suele denominarse h(), enonces se iene que: r( ) e( ) h( ) d Ora forma de descomponer la exciación es a ravés de incremenos de escalones como se aprecia en la Figura A3.18a. e() e( k) e( k+1) k k+1 Figura A3.18a Enonces la exciación puede aproximarse por la suma: Si definimos: k k, se obiene: e( ) ( e( ) e( )) u( ) k k 1 k k Si 0 se obiene: e( k ) e( k ) e( ) u( k ) k de() e( ) u( ) d d Leopoldo Silva Biji

12 12 Teoría de Redes Elécricas Si la red es lineal e invariane, la respuesa será: Empleando k k, se obiene: r( ) ( e( ) e( )) s( ) k k 1 k k En el límie se iene: e( k ) e( k ) r( ) s( k ) k de() r( ) s( ) d d Que permie calcular la respuesa para cualquier exciación si se conoce la respuesa s() a un escalón uniario. A3.3. Exponenciales Los valores de una función exponencial decreciene e, disminuyen rápidamene a medida que el iempo aumena. Si muliplicamos por 100 la ordenada para visualizar en porcenaje el decaimieno exponencial, puede observarse en la figura A3.19, que en =1 el valor de la función es un 36,8 % del valor inicial. Luego de cuaro consanes de iempo disminuye al 1,83 %; y luego de cinco consanes de iempo, la función es menor que un 1 % del valor inicial. T Figura A3.19 Esudiemos la señal r() Re, en la cual se iene que: r(0) R y r ( ) 0. Podemos visualizar el efeco de la consane de iempo T, si obenemos gráficas para varios valores de T. A medida que la consane de iempo T aumena, el decaimieno exponencial es más leno. Leopoldo Silva Biji

13 Apéndice 3. Señales 13 T=10 T=1 T=5 Figura A3.20 Ejemplo A3.4. La siguiene forma de onda represena la solución general de una ecuación diferencial de primer orden con exciación consane. Es de inerés dibujar la forma de onda para diferenes valores de la función en cero y en infinio. r( ) ( r(0) r( )) e T r ( ) a) Con T=1, para r (0) 4 y r ( ) 1, se iene la Figura A3.21. r(0)=4 r( )=1 Figura A3.21 Derivando y evaluando en cero la señal r(), se obiene: dr(0) ( r(0) r( )) d T g( ) g(180º ) Para el caso de la figura A3.21 se iene: Leopoldo Silva Biji

14 14 Teoría de Redes Elécricas ( r(0) r( )) g(180º ) T Lo cual permie obener la reca angene a la curva en =0, la cual se ilusra en la figura A3.21. Un procedimieno aproximado para dibujar la forma de onda es hacerla angene a la reca pendiene en el origen, y ambién angene a la reca r ( ) en =4T. b) Con T=1, para r (0) 2 y r ( ) 4, se iene la Figura A3.22. Ahora, debido a los valores, la pendiene en el origen puede calcularse según: ( r( ) r(0)) g( ) T Enonces la curva exponencial arranca angene a la reca pendiene en el origen y ermina siendo angene a la reca r ( ) en =4T. r(0)=2 r( )=4 Figura A3.22 Debido a que se iene: r( ) r( ) dr( ) T d Se puede razar, en cualquier insane, una reca angene a la forma de onda, con el procedimieno que se indica en la Figura A3.23. Dibujando algunas pendienes, puede razarse la curva exponencial, con basane aproximación. r() r( ) +T Figura A3.23 Leopoldo Silva Biji

15 Apéndice 3. Señales 15 A3.4. Sinusoidales Una señal sinusoidal iene res parámeros: la ampliud A, la frecuencia angular, y el ángulo de fase. f ( ) Acos( ) La variación de la señal depende de la frecuencia angular, se mide en rad s. El argumeno de la función coseno, el ángulo ( ), suele medirse en radianes; pero ambién puede expresarse en grados. La variación emporal ambién puede medirse en érminos del período T, el cual se mide en segundos: 2 T Donde T es el mínimo inervalo de iempo después del cual la señal oma iguales valores. El período T es la duración de un ciclo. Ora medida de la variación emporal es el número de ciclos en un segundo, lo que se define como frecuencia; se mide en ciclos por segundo o Herz, la unidad se anoa [Hz]. Las res medidas de la velocidad de variación de una señal sinusoidal, esán relacionadas por: 1 f T 2 La Figura A3.24 muesra un período de la señal coseno, con ampliud y frecuencia angular uniaria, con ángulo de fase cero, y el eje de abscisas en radianes. Figura A3.24. f ( ) cos( ) La Figura A3.25, muesra el eje de abscisas y el ángulo de fase en grados. Leopoldo Silva Biji

16 16 Teoría de Redes Elécricas Figura A3.25. f ( ) 2 cos( 30º ) Para ilusrar la influencia, en la forma de onda de sinusoides, de un cambio de período y ampliud, la Figura A3.26 muesra la aproximación por series de Fourier de una señal cuadrada, de ampliud uno; las abscisas se expresan en radianes. Se muesra la fundamenal, la ercera y quina armónica f ( ) ( sen( ) sen(3 ) sen(5 )) 3 5 El período de la ercera armónica es un ercio del período de la fundamenal. La frecuencia de la quina armónica es cinco veces la de la primera. A la derecha de la Figura A3.26, se muesra un especro de líneas, con las res frecuencias presenes en la señal. sen(5)/5 sen(3)/3 sen() f() Figura A3.26. La Figura A3.27 muesra la relación de fases de res señales que consiuyen un sisema rifásico. Leopoldo Silva Biji

17 Apéndice 3. Señales sen( ), sen( ), sen( ) 3 3 Figura A3.27. El produco de dos señales sinusoidales con gran diferencia enre las frecuencias puede represenarse gráficamene como la variación de baja frecuencia de la ampliud de la señal de ala frecuencia. Eso se logra muliplicando, puno a puno, las dos señales. El proceso se denomina modulación de ampliud AM. f ( ) sen( ) sen(20 ) La Figura A3.28, muesra las envolvenes, de baja frecuencia, y la poradora de ala frecuencia, cuya ampliud varía. sen(20) sen() -sen() Figura A3.28. La suma de dos señales sinusoidales de frecuencias muy cercanas enre sí, iene una forma de onda caracerísica, que se conoce como baidos ; si las frecuencias son casi iguales, se iene prácicamene una señal sinusoidal cuya ampliud no cambia. Al aumenar la diferencia enre las frecuencias se produce una variación nooria de la ampliud. Ese méodo se emplea para afinar guiarras, oprimiendo dos cuerdas cuyos sonidos deberían ener igual frecuencia; se ajusa una de ellas hasa que cesen los baidos. La siguiene suma: Leopoldo Silva Biji

18 18 Teoría de Redes Elécricas f ( ) sen( n1 ) sen( n2 ) Puede expresarse, en forma equivalene, como el produco: n1 n2 n1 n2 f ( ) 2cos( ) sen( ) 2 2 Puede considerarse como una señal modulada en ampliud, donde la envolvene será el sinusoide de baja frecuencia. La gráfica de f() se muesra en la figura A3.29, con n 1 =10 y n 2 =10,75. sen(20,75/2) 2cos(0,75/2) Figura A3.29. La suma de dos señales, de diferene ampliud, ales que una de las frecuencias es un múliplo de la ora, ambién iene una forma de onda caracerísica. La Figura A3.30, muesra una señal de frecuencia fundamenal que iene el doble de ampliud que la segunda armónica; la señal puede represenarse por: f ( ) 2 sen( ) sen(2 ) La forma de onda se reconoce como disorsión de segunda armónica, y se produce cuando debido a no linealidades se genera en forma no deseada, el sinusoide con el doble de la frecuencia de la señal de inerés. 1 2 Figura A3.30. Leopoldo Silva Biji

19 Apéndice 3. Señales 19 La suma de una señal de baja frecuencia con ora de mayor ampliud y frecuencia, genera una forma de onda caracerísica. Se conoce como ruido de baja frecuencia, si la señal de inerés es la de ala frecuencia. Para la señal: Se muesra su gráfica en la Figura A3.31. f ( ) sen( ) 10 sen(12 ) Figura A3.31. También puede considerarse que es una señal modulada en ampliud, si la señal de inerés es la de baja frecuencia. A3.5. Sinusoidales amoriguadas exponencialmene Ese ipo de señales ocurre frecuenemene en redes lineales, como respuesa naural de sisemas cuya ecuación caracerísica iene un par de raíces complejas conjugadas. Si la pare real de esas raíces es negaiva, endremos exponenciales decrecienes, y se dice que se iene una red esable. Si las raíces complejas ienen pare real cero, la respuesa será sinusoidal con ampliud consane. Si la pare real es posiiva, se endrán sinusoides cuyas ampliudes varían con exponenciales crecienes, lo cual produce que la ampliud de la respuesa aumene rápidamene, llevando a la desrucción del sisema o bien a rabajar en zonas no lineales, que sauran la respuesa. Analizaremos la forma de onda con exponenciales decrecienes modulando la ampliud de la señal: T 2 e r ( ) R e cos( ) T Para R 1, T 2, T 0, 7 se iene la forma de onda de la Figura A3.32 e c c Leopoldo Silva Biji

20 20 Teoría de Redes Elécricas e -/2 Tc Figura A3.32. La envolvene exponencial se exingue para >4Te. Para R 1, T 2, T 6 se iene la forma de onda de la Figura A3.33. e c Figura A3.33. La forma de onda, cuando el período de la sinusoidal es mayor que la consane de iempo de la exponencial, muesra una respuesa menos oscilaoria. Para R 1, T 2, T 16 se iene la forma de onda de la Figura A3.34. e c En ese caso la respuesa es preponderanemene exponencial. Figura A3.34. Leopoldo Silva Biji

21 Apéndice 3. Señales 21 Si se suman dos exponenciales de diferenes consanes de iempo, la forma de onda endrá, luego de un iempo, la forma de la señal con consane de iempo mayor. Se dice que esa exponencial es dominane. Eso se muesra en la Figura A3.35, con T=1. T r() e e 4T e -/4 r() e - Figura A3.35. Lo mismo puede decirse en caso de sumar dos sinusoidales con amoriguamieno exponencial. La que demora más en exinguirse es la dominane; y es la que fija la duración de los ransienes. Para la siguiene suma, con T=1, el modo dominane esá dado por la exponencial con consane de iempo 6, lo cual se aprecia en la Figura A3.36. ( ) T cos( ) 6T cos(4 ) r e e Para >4 se ha exinguido prácicamene la exponencial con consane de iempo igual a uno. Después de ese iempo, no se disingue la respuesa oal, de la señal con consane de iempo igual a 6. T=6 T=1 r() Figura A3.36. Leopoldo Silva Biji

22 22 Teoría de Redes Elécricas A3.6. Medidas caracerísicas Exisen varias formas de medir el amaño de una señal s() que exise para >0. El valor máximo absoluo es una indicación del mayor valor posiivo o negaivo que endrá una señal. Las componenes suelen ener especificado el mayor volaje o corriene que pueden soporar sin desruirse, o bajo los cuales se comporan de acuerdo a su especificación. En inglés de denomina valor peak. El valor medio o promedio en un inervalo se define según: T 1 s s() d T El valor efecivo o raíz del valor medio cuadráico, en un inervalo, se define según: 0 T 1 2 Sef s () d T 0 En inglés, el valor efecivo se denomina rms por roo mean square. La energía de la señal, o inegral de la señal al cuadrado, se define según: 2 Es s () d 0 Equivale a la energía que disiparía la señal en una resisencia de un ohm. Para algunas señales esas medidas pueden ser infinias o no esar definidas. Leopoldo Silva Biji

23 Apéndice 3. Señales 23 Índice general APÉNDICE SEÑALES... 1 A3.1 REPRESENTACIÓN DE FORMAS DE ONDAS... 1 Roación respeco del eje de ordenadas... 2 Corrimieno a la derecha... 2 Corrimieno a la izquierda... 2 Corrimieno y giro... 3 Ampliación o reducción horizonal... 3 Cambio de escala... 4 Ampliación o reducción verical... 4 A3.2. SEÑALES DISCONTINUAS... 5 A Escalón uniario Ejemplo A Ejemplo A A Impulso Ejemplo A A Rampa... 9 A Aproximación de una señal por escalones A3.3. EXPONENCIALES Ejemplo A A3.4. SINUSOIDALES A3.5. SINUSOIDALES AMORTIGUADAS EXPONENCIALMENTE A3.6. MEDIDAS CARACTERÍSTICAS ÍNDICE GENERAL Índice de Figuras. Figura A Figura A3.2 Cambio de argumeno Figura A3.3 Giro respeco de = Figura A Figura A3.5 Corrimieno a la derecha Figura A3.6 Corrimieno a la izquierda Figura A3.7 Corrimieno y giro Figura A Figura A Figura A Figura A Figura A Figura A Figura A Leopoldo Silva Biji

24 24 Teoría de Redes Elécricas Figura A Figura A Figura A Figura A Figura A3.18a Figura A Figura A Figura A Figura A Figura A Figura A3.24. f ( ) cos( ) Figura A3.25. f ( ) 2 cos( 30º ) Figura A Figura A Figura A Figura A Figura A Figura A Figura A Figura A Figura A Figura A Figura A Leopoldo Silva Biji