- Fernando Sánchez - Departamento de Matemáticas - Universidad de Extremadura

Transcripción

1 - Ferado Sáchez Números Cálculo I complejos E el cuerpo de los úmeros reales ecuacioes como x = 0 o tiee solució: el poliomio x o tiee raíces reales. Hace falta exteder el cocepto de úmero y añadir las raíces de poliomios como el aterior. Este proceso llevará a la costrucció de u cuerpo C que cotiee a R, e el que ecuacies como x 4 + x + 6 = 0 o x = 0 tega solucioes. Además se llega a costruir u cuerpo e el que todo poliomio co coeficietes e C tiee ua raíz e C (este resultado se cooce como teorema fudametal del álgebra.) Suma y producto. E R 2 = R R se defie las operacioes suma: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) producto: (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc) y la iclusió que es iyectiva, auque o es sobreyectiva. - Ferado Sáchez - - f : a R (a, 0) R 2 Es fácil comprobar que la suma es comutativa, asociativa, tiee a (0, 0) como elemeto eutro, y cada elemeto (a, b) tiee a ( a, b) como opuesto. Además, esta suma extiede a la suma de úmeros reales, ya que f(a) + f(b) = f(a + b). El producto es comutativo, asociativo, su elemeto uidad es (1, 0) y cada elemeto o ulo (a, b) tiee a (a/(a 2 + b 2 ), b/(a 2 + b 2 )) como iverso. Además, el producto es distributivo co respecto de la suma y extiede al producto de úmeros reales, es decir, f(a) f(b) = f(a b). El cálculo del iverso co el producto es fácil. Dado (a, b) o ulo, se trata de buscar (x, y) que cumpla (a, b) (x, y) = (ax by, ay + bx) = (1, 0). Por tato ax by = 1 bx + ay = 0 Números complejos 1

2 y se tiee x = - Ferado Sáchez - - a a 2 + b, y = b 2 a 2 + b. 2 Defiició de C. Por todo lo aterior (R 2, +, ) es u cuerpo comutativo e el cual (R, +, ) está sumergido. Este cuerpo (R 2, +, ) se deota mediate C y se llama cuerpo de los úmeros complejos. Se suele escribir (a, b) = a + bi, y así las operacioes queda como suma: (a + bi) + (c + di) = a + c + (b + d)i producto: (a + bi) (c + di) = ac bd + (ad + bc)i Por ejemplo, i 2 = (0 + 1i) (0 + 1i) = 1. Imposibilidad de u orde compatible e C. Es posible defiir e C u orde, como el lexicográfico, que sea u orde total. Si embargo, o es posible defiir u orde que sea compatible co las operacioes. Se dice que C o es ordeable. Para demostrar esta propiedad se utiliza propiedades de cualquier cuerpo ordeado (0 y 1 so el elemeto eutro y uidad de las operacioes): a > 0 a < 0, ya que a > 0 a a > 0 a 0 > a a 0 a 2 > 0, pues a > 0 a a > 0 y a > 0 ( a) ( a) > 0 0 < 1, cosecuecia de las ateriores pues 0 < 1 2 = 1. Por tato, si C tuviese u orde compatible co las operacioes cumpliría estas codicioes y se tedría que i 2 = (0, 1) 2 > (0, 0), que es falso: (0, 1) 2 = ( 1, 0) = (1, 0) < (0, 0), es decir, i 2 = 1 < 0. Represetació gráfica de los úmeros complejos. Cada úmero complejo (a, b) = a + bi se puede represetar e el plao. Se llama parte real a Re(a + bi) = a y parte imagiaria a Im(a + bi) = b. El módulo de a+bi es el úmero real positivo ρ = a+bi = a2 + b 2. Este módulo es ua extesió del valor absoluto - Ferado Sáchez - - e R y coserva sus propiedades. Se tiee: 1) a + bi 0 y a + bi = 0 a + bi = 0 2) a + bi + c + di a + bi + c + di (desigualdad triagular) 3) (a + bi) (c + di) = a + bi c + di, e particular, (a + bi) = a + bi y (a + bi) 1 = a + bi 1 si a + bi 0 La demostració de 1) y 3) es u ejercicio secillo. El apartado 2) tiee ua iterpretació gráfica simple: al dibujar e el plao los elemetos a + bi, c + di y su suma a + bi + c + di, se obtiee u triágulo. Esta propiedad 2) dice que la suma de dos lados siempre es mayor que el otro lado, de ahí el ombre de desigualdad triagular. Números complejos 2

3 - Ferado Sáchez - - Para probar el apartado 2) basta hacer lo siguiete: a + bi + c + di a + bi + c + di» (a + c)2 + (b + d) 2 a 2 + b 2 + c 2 + d 2 - Ferado Sáchez - - (a + c) 2 + (b + d) 2 a 2 + b 2 + c 2 + d a 2 + b 2 c 2 + d 2 ac + bd a 2 + b 2 c 2 + d 2 2abcd a 2 d 2 + b 2 c 2 0 a 2 d 2 + b 2 c 2 2abcd 0 (ad bc) 2, y esto último es evidetemete cierto. Si a + bi 0, se llama argumeto de a + bi al úmero real ϕ que verifica π < ϕ π y a = ρ cos ϕ = a 2 + b 2 cos ϕ b = ρ se ϕ = a 2 + b 2 se ϕ Se llama cojugado de a + bi al úmero a + bi = a bi; u úmero y su cojugado tiee argumetos opuestos ϕ y ϕ. Si se deota z 1 = a + bi, z 2 = c + di etoces es imediato ver que 1) z 1 + z 2 = z 1 + z 2 2) z 1 z 2 = z 1 z 2 3) z 1 /z 2 = z 1 /z 2 si z 2 0 4) z 1 = z 1 5) z 1 z 1 = z 1 2, y así z 1 1 = z 1 z 1 2 para z 1 0. Para escribir la suma de z 1 y z 2 se escribe sus partes reales e imagiarias y se obtiee la suma: z 1 = a + bi = z z 2 = c + di 1 + z 2 = (a + c) + (b + d)i y gráficamete represeta la suma de los vectores (a, b) y (c, d) e R 2. Para el producto coviee expresar los úmeros complejos co su módulo y argumeto. Se escribe z 1 = a + bi = ρ 1 (cos ϕ 1 + i se ϕ 1 ) y así z 1 z 2 = (a + bi) (c + di) z 2 = c + di = ρ 2 (cos ϕ 2 + i se ϕ 2 ) = ρ 1 (cos ϕ 1 + i se ϕ 1 ) ρ 2 (cos ϕ 2 + i se ϕ 2 ) = ρ 1 ρ 2 Ä cos ϕ1 cos ϕ 2 se ϕ 1 se ϕ 2 + i(se ϕ 1 cos ϕ 2 + cos ϕ 1 se ϕ 2 ) ä = ρ 1 ρ 2 Ä cos(ϕ1 + ϕ 2 ) + i(se(ϕ 1 + ϕ 2 ) ä Números complejos 3

4 - Ferado Sáchez - - que dice que el módulo del producto es el producto de los módulos y el argumeto del producto es la suma de los argumetos. Por ejemplo, como i tiee módulo 1 y argumeto π/2, cada vez que multipliquemos u úmero complejo z por i se obtiee otro úmero complejo que es el resultado de girar z u águlo recto e direcció positiva. De la misma forma, si queremos girar u úmero complejo π/4 basta multiplicarlo por el úmero cos π/4 + i se π/4. Esta forma de escribir los úmeros complejos, utilizado el módulo y el argumeto, simplifica el cálculo de la raíz de cualquier orde de u úmero complejo. Si z = a + bi = ρ(cos ϕ + i se ϕ) etoces z = [ρ(cos ϕ + i se ϕ)] = ρ Ä cos(ϕ) + i se(ϕ) ä Teorema (fórmula de De Moivre). Todo úmero complejo o ulo tiee exactamete raíces complejas de orde (aquí = 2, 3, 4,...) Demostració. Dado z = ρ(cos ϕ + i se ϕ) y w = ρ 1 (cos ϕ 1 + i se ϕ 1 ) la ecuació w = z (w es ua raíz -ésima de z) es lo mismo que [ρ 1 (cos ϕ 1 + i se ϕ 1 )] = ρ 1 Ä cos(ϕ1 ) + i se(ϕ 1 ) ä = ρ(cos ϕ + i se ϕ) y así se tiee que cumplir ρ 1 = ρ ϕ 1 = ϕ De la seguda igualdad se deduce que debe cumplirse ua de las codicioes siguietes (para valores mayores se empieza a repetir) ϕ 1 = ϕ, ϕ 1 = ϕ + 2π - Ferado Sáchez - -, ϕ 1 = ϕ + 2 2π,..., ϕ 1 = ϕ + ( 1)2π. Se cooce como formula de De Moivre a la expresió que da las raíces de ρ(cos ϕ+i se ϕ), que so Ç ρ 1/ cos ϕ + 2kπ + i se ϕ + 2kπ å, (k = 0, 1,..., 1). Ejemplo. Si z = 27i etoces se puede calcular fácilmete los úmeros que verifica w 3 = z, es decir, w = 3 z. Estos úmeros so w 1, w 2 y w 3. Todos tiee como módulo 3 27 = 3. Sus argumetos so π/2, π/2+2π y π/2+4π. Así, por ejemplo, w 1 = 3 Ä cos(π/6) + i se(π/6) ä = 3 2 ( 3 + i/2) que es u úmero que tiee módulo 3 y co argumeto π/6 (es decir, 30 grados). Su represetació gráfica es fácil. Raíces de la uidad. Se llama así a los úmeros complejos que verifica z = 1 para = 2, 3, 4,... El caso = 2 es muy simple: hay dos solucioes que so z = ±1. El caso = 3 represeta los úmeros que cumple z 3 = 1, es decir, su módulo es 1 y su argumeto es u águlo que multiplicado por tres sale 0 = 2π. E geeral, z = 1 represeta los putos de u poĺıgoo regular de lados, comezado e z = 1. Números complejos 4

5 - Ferado Sáchez - - Para otros úmeros, como i, resulta fácil represetar sus raíces utilizado la fórmula de De Moivre. Raíces de poliomios. El teorema fudametal del álgebra dice que cada poliomio co coeficietes reales o complejos a x + a 1 x a 1 x + a 0 tiee algua raíz e C. Si r C es raíz etoces a r + a 1 r a 1 r + a 0 = 0 y el poliomio es divisible por (x r) a x + a 1 x a 1 x + a 0 = Ä b 1 x b 1 x + b 0 ä (x r). - Ferado Sáchez - - A su vez se puede aplicar el mismo argumeto (el cálculo de ua raíz) a este poliomio b 1 x b 1 x + b 0. Reiterado este proceso a x + a 1 x a 1 x + a 0 = a (x r 1 )(x r 2 )... (x r ) dode r 1, r 2,..., r so las raíces del poliomio. Además, si r es raíz de u poliomio co coeficietes reales, etoces, aplicado las propiedades del cojugado, 0 = a r + a 1 r a 1 r + a 0 = a r + a 1 r a 1 r + a 0 = a r + a 1 r a 1 r + a 0 = a r + a 1 r a 1 r + a 0 y etoces el cojugado r de r tambié es raíz del mismo poliomio. Ejemplos. Si 3 5i es raíz de algú poliomio co coeficietes reales etoces 3 + 5i es raíz del mismo poliomio. Ese poliomio tiee al meos como factor x 2 6x+34 = (x (3 5i))(x (3+5i)). Este poliomio es el poliomio de meor grado co coeficietes reales que tiee a ambos Números complejos 5

6 - Ferado Sáchez Ferado Sáchez - - úmeros como raices. E geeral, cada pareja de raíces del tipo a + bi y su cojugada geera u factor de grado 2 del poliomio del que sea raices: (x (a + bi))(x (a bi)) = x 2 2ax + a 2 + b 2 El poliomio x 3 3x 2 6x 20 tiee como raíces x 1 = 5, x 2 = 1 + i 3 y x 3 = 1 i 3. Al ser u poliomio co coeficietes reales, las raíces complejas va e parejas (u úmero y su cojugado). Se tiee etoces x 3 3x 2 6x 20 = (x x 1 )(x x 2 )(x x 3 ) Å = (x 5) x ( 1 + i ãå 3) x ( 1 i ã 3) = (x 5)(x 2 + 2x + 4) Como cosecuecia, todo poliomio co coeficietes reales de grado impar tiee algua raíz real. Números complejos 6