Números Complejos. Capítulo Los números complejos. 1.2 El plano complejo. 2 Matemáticas 1 : Preliminares

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1 2 Matemáticas 1 : Prelimiares Capítulo 1 Números Complejos Este tema de úmeros complejos es más iformativo que recordatorio, siedo el uso explícito de los complejos escaso e las asigaturas de Matemáticas 1 y 2. Si embargo coocer su existecia e iterrelació co los reales es muy útil para la descomposició y busqueda de raíces de poliomios, o e la resolució de ecuacioes difereciales; tambié e asigaturas de electricidad, teoría de la señal, etc. usa de ellos. 1.1 Los úmeros complejos Coocemos y maejamos ya diversos cojutos de úmeros, los aturales N = {0, 1, 2, 3,...}, los eteros Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...}, los racioales Q = { m : Z, m Z {0}} y los úmeros reales R (o decimales que completa los huecos etre los racioales co los irracioales R = Q I). Cumpliedo N Z Q R. Nota: U úmero real puede describirse e la forma e.d 1 d 2 d 3... d..., u úmero etero seguido de ifiitos decimales. Si, a partir de uo de ellos, todos los decimales so cero ó los decimales se repite periódicamete el úmero es racioal (así, 1 3 = 0. {{ 3 = , luego 1 = 0. {{ 9 = ). Teemos defiidas uas operacioes de suma y producto e cada cojuto que so iteras (suma o producto de aturales es atural, suma o producto de eteros es etero, etc.) y coheretes co la cadea de cotecioes (si sumamos dos eteros como racioales o reales, el resultado es el mismo que si los sumamos como eteros). A efectos prácticos, so las mismas operacioes para todos los cojutos. Si embargo, o tiee e cada cojuto las mismas propiedades: e N i para la suma i para el producto existe iverso (i la resta i la divisió de aturales es, e geeral, u atural), e Z existe el iverso para la suma pero o para el producto (la resta de eteros es etera pero o la divisió) y tato e Q como e R podemos restar y tambié dividir por valores distitos de cero. La otra operació o maipulació básica etre úmeros, la potecia (ua geeralizació del producto) os distigue más estos dos últimos cojutos. Así 2 Q (luego a R), pero = 2 / Q, auque sí se cumple que R. E R, es cierto que si x e y so reales co x 0, etoces x y R; pero o se cumple cuado x < 0. Para resolver este defecto se cotruye los úmeros complejos: u cojuto C que cotega a R, que sus operacioes suma y producto permita restar y dividir y sea coheretes co las operacioes de los subcojutos, y que para la potecia se verifique además que si z, w C, etoces z w C. 1.2 El plao complejo Cosideremos el cojuto R 2 y cotruyamos e él uas operacioes suma y producto que fucioe como deseamos. Sobre R 2 teemos defiida ua operació suma que sí es itera: (a 1, b 1 ) R 2, (a 2, b 2 ) R 2, y (a 1, b 1 ) + (a 2, b 2 ) = (a 1 + a 2, b 1 + b 2 ) R 2, co operació iversa la resta (suma de opuestos) y ua operacio producto escalar, que o es itera, (a 1, b 1 ) R 2, (a 2, b 2 ) R 2, y (a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) = a 1 a 2 + b 1 b 2 R y o admite ua operació iversa. Dotar a R 2 de ua operació producto itera, co u fucioamieto aálogo al fucioamieto del producto e R crea ua ueva estructura coocida como el cojuto de los úmeros complejos y tambié como plao complejo o cuerpo complejo. Esta operació producto se defie de la forma siguiete: (a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) = (a 1 a 2 b 1 b 2, a 1 b 2 + b 1 a 2 ). Así, el cojuto de los úmeros complejos, C, está formado por R 2 co dos operacioes básicas: suma + (la suma de R 2 ) y el producto complejo (defiido arriba). Es decir, C = (R 2, +, ).

2 3 Matemáticas 1 : Prelimiares 1.2 El plao complejo Forma biómica de u úmero complejo El producto (complejo) tiee por elemeto eutro (1, 0), pues (1, 0) (a, b) = (a, b) (1, 0) = (1a 0b, 0a + 1b) = (1a, 1b) = (a, b). De hecho, para cualquier real λ, se tiee que (λ, 0) (a, b) = (λa 0b, 0a + λb) = (λa, λb); como e R 2 tambié sabemos que λ(a, b) = (λa, λb), puede idetificarse los elemetos (λ, 0) co los úmeros reales λ, es decir, e C podemos decir que (λ, 0) = λ a todos los efectos. Como (a, b) = (a, 0) + (0, b) = a + (0, b) = a + b(0, 1), haciedo (0, 1) = i el úmero complejo se escribe (a, b) = a + ib, que se deomia forma biómica del úmero complejo. Del elemeto i se dice que es la uidad imagiaria, y se cumple que i 2 = ii = (0, 1) (0, 1) = ( 1, 0) = 1. E la forma biómica, el producto se efectua como u producto de biomios habitual, pues: (a+ib)(c+id) = ac + iad + icb + i 2 bd = (ac bd) + i(ad+cb) = (ac bd, ad+cb) = (a, b) (c, d) Co esta ueva otació, suele escribirse C = {a + ib : a, b R} (a veces C = R + ir) y se deota los elemetos de C por z = a + ib; y se represeta e el plao R 2 que se deomia etoces plao complejo, al eje se abcisas se le deomia eje real y al de ordeadas eje imagiario. Defiició 1.- Si z = a + ib es u úmero complejo, al valor real a se le llama se llama parte real de z, Re(z) = a, y al valor real b la parte imagiaria, Im(z) = b, es decir, z = Re(z) + i Im(z). Si la parte imagiaria de z es cero, el complejo es u úmero real y, suele idicarse co z R. Si la parte real de z es cero se dice que es imagiario puro y, suele idicarse co z ir. El cero e C es el cero real (0, 0) = 0 + i0 = 0. Proposició 2.- Sea z C {0}, etoces existe u úico w C tal que zw = 1. Demostració: E { efecto, co z = a + ib y w = x + iy, zw = ax by + i(ay + bx) y zw = 1 = 1 + i0 el sistema ax by = 1 a tiee solució úica. Que es cierto, co x = bx + ay = 0 a 2 +b e y = b (a 2 + b 2 0 pues z 0). 2 Si z = a + ib, el iverso se deota por z 1 = 1 z y viee dado por la expresió z 1 = a a 2 +b + i b = a ib Cojugado de u úmero complejo Defiició 3.- Sea z = a+ib u complejo, se llama cojugado de z al úmero complejo z = a+i( b) = a ib. Nota: Co la otació de R 2, el cojugado de (a, b) es (a, b) y so simétricos respecto al eje real (de abcisas). Propiedades 4.- Sea z, w C, etoces a) z = z ; z + w = z + w ; zw = z w ; z 1 = (z) 1. b) z = z z = a + i0 R; z = z z = 0 + ib ir. c) z + z = 2 Re(z); z z = i2 Im(z) Módulo de u úmero complejo Defiició.- Sea z = a + ib C. Se deomia módulo (o orma) de z al valor real z = + a 2 + b 2. Nota: Si z es real, z = a + i0 = a, se tiee que z = + a = + a 2 = a, es decir, el módulo complejo coicide co el valor absoluto real. Propiedades 6.- Sea z, w C, etoces a) z 0; z = 0 z = 0. b) Re(z) z ; Im(z) z ; z Re(z) + Im(z).

3 4 Matemáticas 1 : Prelimiares 1.3 Forma polar de u úmero complejo c) z = z : z 2 = zz ; 1 z = z zz = z. z 2 d) z + w z + w ; z w z w. e) zw = z w ; z 1 = z 1. Defiició 7.- Se llama distacia etre z y w al valor real d(z, w) = z w. Del módulo, so imediatas las propiedades a) d(z, w) 0; d(z, w) = 0 z = w. b) d(z, w) d(z, t) + d(t, w), t C. 1.3 Forma polar de u úmero complejo Sea z = a + ib = (a, b). U puto de R 2 queda perfectamete determiado mediate su distacia al orige z y el águlo θ que forma co el eje polar (el semieje real positivo). Defiició 8.- Sea z = x + iy u úmero complejo o ulo. Se llama argumeto de z y se desiga por arg(z) a cualquier úmero real θ que verifique que z = x + iy = z cos θ + i z se θ = z (cos θ + i se θ). Se dice etoces que z está e forma polar (o módulo argumetal) y deotarse por z = z θ. Como las fucioes seo y coseo so periódicas de período 2π, arg(z) está determiado salvo múltiplos de 2π ; es decir, hay ifiidad de argumetos de z, pero dos cualesquiera de ellos difiere e múltiplos de 2π. Si fijamos como argumeto preferido el arg(z) ( π, π], puede obteerse de ( ) arg(z) ( π, π] = arccotg y x, si x > 0 π + arccotg y x, si x < 0 e y 0 π + arccotg y x, si x < 0 e y < 0 π 2, si x = 0 e y > 0, si x = 0 e y < 0. π 2 π + arccotg y x π + arccotg y x arccotg y x Al argumeto que se ecuetra detro del itervalo de tamaño 2π elegido como preferete suele deomiarse argumeto pricipal y deotarse por Arg(z). Co este cocepto, todos los argumetos de z se puede describir mediate: arg(z) = Arg(z) + 2kπ, k Z. Auque estamos habituados a maejar el argumeto e el itervalo [0, 2π) ó (0, 2π], es más usual tomar el itervalo ( π, π] ó el [ π, π) como preferete debido sobretodo a: Operacioes multiplicativas e forma polar 9.- Si z = z θ y w = w δ, se cumple que: a) z = z ( θ) ; z 1 = ( z 1 ) ( θ). b) zw = ( z w ) θ+δ ; z w = ( z w ) θ δ ; z = ( z ) θ Raices complejas Proposició 10.- U complejo z 0 tiee raíces -ésimas distitas. Si θ es u argumeto de z, so precisamete z 1 1 = ( z ) θ, para k = 0,..., kπ Demostració: U complejo w es la raíz -ésima de z, si se verifica que w = z ; es decir, si w = z y arg(w) = arg(z) = θ + 2kπ (alguo de los argumetos de z ). Luego w = z 1 y arg(w) = θ+2kπ, co k Z; pero co todos estos

4 Matemáticas 1 : Prelimiares 1.4 Ejercicios argumetos sólo se obtiee úmeros complejos distitos, los mismos que se obtiee tomado los valores de k = 0, 1,..., 1. Es decir, existe, y sólo, complejos distitos que so raíces -ésimas de z, que so z 1 1 ( ) = z cos θ+2kπ + i se θ+2kπ, co k = 0,..., 1. Observació 11.- Es claro de la prueba aterior que las raíces -ésimas de u complejo está distribuidas regularmete e ua circuferecia de radio z. Por ejemplo, las raíces quitas de z = r π, so los úmeros 3 complejos (i) z 0 = r π + 2π0 = r π. (ii) z 1 = r π + 2π1 = r 7π. (iii) z 2 = r π + 2π2 = r 13π. (iv) z 3 = r π + 2π3 = r 19π = r 11π. (v) z 4 = r π + 2π4 = r 2π = r π. que queda distribuidos como e la figura aeja. z 2 = r 13π z 1 = r 7π z =r π 3 z 3 = r 19π z 4 = r 2π z 0 = r π La expoecial compleja Defiició 12.- Si z = a + ib, se defie la expoecial compleja por e z = e a (cos b + i se b) Proposició 13.- Se verifica las siguietes propiedades: a) Si z = a R, etoces e z = e a+i0 = e a (cos 0 + i se 0) = e a y la expoecial compleja coicide co la expoecial real. b) Si z = ib ir, etoces e ib = e 0+ib = e 0 (cos y + i se y) = cos y + i se y. Etoces, si z = a + ib, se tiee que e z = e a e ib. c) e z = e a e iy = e a cos y + i se y = e a cos 2 y + se 2 y = e a. De dode e z 0, para todo z C. d) e z = e z, (e z ) 1 = e z y e z+w = e z e w, para todo z, w C. e) e z es periódica de período 2πi y si e z = e w, etoces z w = 2kπi, co k Z. Nota: Si z 0, puede escribirse como z = z e i Arg(z) que se deomia forma expoecial de z. Defiició 14.- Sea z u úmero complejo o ulo. Se dice que u úmero complejo w es u logaritmo de z, y se escribe w = log z, cuado e w = z. Proposició.- Sea z u úmero complejo o ulo, los logaritmos de z so todos los commplejos log(z) = l z + i arg(z) (uo por cada argumeto de z ) Al valor Log(z) = l z +i Arg(z) que se le llama logaritmo pricipal de z y cualquiera de los otros logaritmos de z se obtiee de: log(z) = Log(z) + 2kπi, k Z. 1.4 Ejercicios 1.1 Efectuar las siguietes operacioes, expresado el resultado e forma biómica: i 1 ; 2 + i ; 2i 2 i 1 + i + i; (1 i)(2 i)(i 3) ; i344 + ( i) 231 ; (1 + i) + 1 (1 i) 1 ;

5 6 Matemáticas 1 : Prelimiares 1.4 Ejercicios 1.2 Usar, cuado sea posible, las propiedades del módulo para calcular: i i ; 2i ; 2 i 1 + i + i ; (1 i)(2 i)(i 3) ; i 344 ( i) 231 i(1 + i) ; 2(1 i) ; 1.3 Expresar e forma expoecial, z = z e i arg(z), los complejos siguietes: a) 8 b) 1 i c) ( 3+i 2 ) 3 d) [4 cos( π2 ) + 4i se( π2 ) ] Expresar e forma biómica los complejos siguietes (tomar Arg(z) ( π, π]): a) 2 e iπ b) e 1 i π 2 c) ie i 7π 4 d) Log(i 3 ) e) Log(2e 1+i π 3 ) 1. Hallar todos los valores complejos de: a) i 1 2 b) c) ( 1) 1 3 d) ( 3 + i) 3 e) [4 cos( 2π3 ) + 4i se( 2π3 ) ] Si se sabe que 1 + i es ua raíz cúbica de z, hallar z y las demás raíces. 1.7 Describir geométricamete las regioes del plao complejo: a) z i = 1 b) z 2 = 4 c) 0 Arg z π 2 d) z = z e) z = z f) Im(z) 0 g) Re(z) > 2 h) Re(z) + Im(z) = Que valores de z verifica que z + 1 < z i? 1.9 Resolver las ecuacioes: a) z = 0 b) z 2 + 2z i = 0 c) z (i + 1)z2 (2 i)z = 0 d) z 3 = 1 e) z 6 = iz f) z 4 + (3 2i)z 2 = 6i 1.10 Hallar los z para los que a) e z R b) Re(e z )=0 c) e iz <1 d) e z = 1 e) e 2z =i f) e z =e z 1.11 Resolver la ecuació z 4 = z Probar que so ciertas las siguietes desigualdades: a + bi a + b 2 a + bi Probar las propiedades de la expoecial compleja dadas e c) y d) de la proposició 13.