MODELADO DE UNA TRANSMISIÓN HARMONIC DRIVE. ANÁLISIS DEL ERROR CINEMÁTICO

Transcripción

1 Revista Iberoaericana de Ingeniería Mecánica. Vol. 13, N.º, , 009 MODELADO DE UNA TRANSMISIÓN HARMONIC DRIVE. ANÁLISIS DEL ERROR CINEMÁTICO CRISTINA CASTEJÓN, JUAN CARLOS GARCÍA-PRADA, OMAR JOSÉ LARA Universidad Carlos III de Madrid Dirección Gruo de investigación MAQLAB, Deartaento de Ingeniería Mecánica Avda. de la Universidad nº 30, 8911 Leganés, Madrid, Esaña (Recibido 0 de arzo de 008, ara ublicación 5 de febrero de 009) Resuen Las transisiones de tio Haronic Drive son aliaente usadas en alicaciones industriales, tales coo: robótica, industria aeroesacial, equios édicos o grandes irentas, debido a la recisión en su osicionaiento, caacidad de transisión de ar, oco eso y voluen, holguras desreciables, versatilidad y alta eficiencia. Sin ebargo, estos sisteas resentan un tio de error característico denoinado error cineático, aráetro oco estudiado, que genera resonancias en el sistea y deende básicaente de la fricción, la flexibilidad y los desajustes de ontaje de los distintos eleentos que configuran el sistea ecánico. Para integrar con recisión un Haronic Drive en un sistea robótico, es necesario conocer la variación del error cineático durante la rotación; en este artículo se lantea un odelo ateático del funcionaiento dináico del Haronic Drive, basado en las ecuaciones de Lagrange, y una reresentación del iso ediante ecuaciones de estado de un sistea lineal en S I M U LI N K, que nos erite caracterizar el error cineático de anera razonable e integrarlo en un sistea electroecánico. Palabras clave Haronic Drive, error cineático, odelo de estados. 1. INTRODUCCIÓN El ecaniso Haronic Drive (HD) es un sistea de transisión de otencia caaz de desarrollar elevadas relaciones de transisión, aortando al conjunto una elevada exactitud en su osicionaiento, con una relación eso/voluen baja. Fue creado en el año 1955 or Musser [1], y es actualente acetado or la gran ayoría de científicos e ingenieros. El Haronic Drive está couesto or 3 eleentos distintos y con funciones bien definidas, coo lo son el Wave Generator (WG), el FlexSline (FS) y el Circular Sline (CS), eleentos resentados en la Fig. 1(a). Para conocer el coortaiento de todo el disositivo, es necesario conocer el coortaiento individual de cada eleento que lo coone. Se dice que el HD tiene tres osibles configuraciones de funcionaiento, debido a que cualquiera de los tres coonentes antes encionados uede servir de entrada o salida de oviiento de rotación, lo cual deterinará la configuración del disositivo. La configuración básica, consiste en la fijación del Circular Sline, que erite una rotación de alta velocidad en el Wave Generador y una baja velocidad en el FlexSline. De anera siilar, con el FS fijo, el ar en el WG uede increentarse y transitirse a través del Circular Sline. Si tanto el Circular Sline coo el FlexSline son utilizados coo entradas, el Wave Generador uede ser anejado a altas velocidades y bajo ar. En general, usando diferentes cobinaciones de rotación de los tres coonentes del HD, se ueden lograr nuerosas relaciones de transisión y ar. Los estudios de la caracterización del coortaiento de un HD son escasos y se han canalizado en dos líneas rinciales de investigación: la riera relacionada con la otiización de los ateriales utilizados en los coonentes del HD, en esecial del FlexSline, y la segunda, en la caracterización del coortaiento dináico del HD y sus alicaciones de control de sisteas.

2 5 C. Castejón, J.C. García-Prada, O.J. Lara En el año 1997, Hoon [9], realizó una ejora en las roiedades dináicas de un FlexSline, y concluyó que un FlexSline híbrido, couesto or acero y fibra de vidrio eóxica era el ás aroiado ara su uso en HD. Dos años ás tarde, en 1999, Han et al. [8] llevaron a cabo un estudio de la vibración de un HD, al coarar el coortaiento de dos FS híbridos, el riero couesto de acero y fibra de carbono eóxica y el segundo de acero con fibra de vidrio eóxica, concluyendo que el odelo de fibra de carbono resenta ejores características ante la vibración, coo la caacidad de aortiguaiento. Haciendo una revisión de los trabajos ás reresentativos, en el año 199, Tuttle et al. [11] resentaron un alio odelo exeriental de las roiedades ás influyentes del HD, coo son: la rigidez, la fricción y el error cineático; en el cual concluyen, entre otras cosas, que el error cineático resenta una frecuencia redoinante del doble de la frecuencia de giro del otor. En el año 001, Ghorbel et al. [5], desarrollaron un odelo ateático ara caracterizar el coortaiento dináico del HD, y hallaron el error cineático asociado, al seararlo en una coonente de fricción y una coonente flexible. Un año ás tarde, en el 00, Gandhi et al. [6], desarrollaron un sistea de control de lazo cerrado ara contrarrestar los efectos del error cineático en un sistea de transisión de HD, sistea que los isos autores ejoraron en el año 005 [10]. Tabién se consideran relevantes los estudios llevados a cabo or Kennedy et al. [1], en los cuales se efectúa un análisis y odelado del sistea de brazo robótico Mitsubishi PA-10, con reductores de tio HD. El resente artículo se divide en tres artes, la riera consiste en una breve introducción de las transisiones HD y de los estudios revios en su entorno; en la segunda arte, se reseñan los fundaentos básicos del HD, sus coonentes y sistea de funcionaiento. Por últio, se exone un análisis de las ecuaciones que describen el error cineático del HD y que finalente odelan al sistea ediante el odelo en el esacio de estados.. FUNDAMENTOS DE OPERACIÓN DEL HARMONIC DRIVE Cuando se insertan en el FlexSline y el Wave Generador en el Circular Sline (véase Fig. 1(b)), los dientes externos del FlexSline engranan con los dientes internos del Circular Sline a lo largo del eje ayor de la elise del Wave Generator. Los tres coonentes de la transisión ueden rotar a velocidades diferentes, aún estando en el iso eje de rotación. El ecaniso de rotación del Haronic Drive (véase Fig. ) coienza su recorrido en el oento que el Wave Generator tiene la zona de engrane en su eje ayor, y cuando esta zona se deslaza 180º alrededor de la circunferencia del Circular Sline, entonces el FlexSline, que osee dos dientes enos que el Circular Sline, tendrá un retraso de un diente relativo al Circular Sline. Por este engrane gradual y continuo de los dientes del engranaje, cada rotación del Wave Generator ueve al FlexSline dos dientes hacia atrás sobre el Circular Sline. Las relaciones de transisión tíicas del Haronic Drive están en el rango de 50:1 a 00:1, aunque ueden obtenerse relaciones de transisión de hasta 30:1 en una transisión sile []. Las eficiencias del ecaniso noralente rondan el 85%, aunque ueden alcanzar un 90%; las transisiones ás equeñas ueden roorcionar un ar ínio de salida de alrededor de 1.3N., a altas revoluciones (3000 r) y con relaciones de transisión ínias (50:1); or el contrario, los Haronic Drives de alta otencia ueden resuir de hasta N. de caacidad de ar..1. El Haronic Drive Ideal En catálogos coerciales, a cada Haronic Drive se le asigna una relación de transisión N, que describe su osición, velocidad y coortaiento de ar. En articular, conociendo el valor de N y la osición de dos de los tres coonentes del HD, uede saberse la rotación ideal del tercer coonente, ediante la ecuación (1): θ = ( N + 1) θ Nθ (1) WG θ WG = Rotación angular del Wave Generator CS FS

3 Modelado de una transisión Haronic Drive. Análisis del error cineático 53 Fig. 1. (a) Desiece del HD (b) Ensablaje de HD tíico [3]. Fig.. Mecaniso de oeración de un Haronic Drive. θ CS = Rotación angular del Circular Sline θ FS = Rotación angular del FlexSline De anera siilar, dado que N es una constante bajo suosiciones ideales, la derivada de esta relación roduce una restricción de velocidad dada or la ecuación (): ω = ( N + 1) ω Nω () WG De las ecuaciones (1) y () se arecia que, si ω cs =0, el Wave Generator rotará N veces as ráido que el FlexSline en la dirección ouesta. En una configuración diferente, un FlexSline fijo roduce que el Wave Generator rote (N+1) veces as ráido que el Circular Sline en la isa dirección. Alicando la ley de conservación de la energía a los 3 coonentes del HD, el ar ideal se define coo: CS FS τ 1 1 N 1 τ = = + N τ WG CS FS (3)

4 54 C. Castejón, J.C. García-Prada, O.J. Lara Fig. 3. Error cineático tíico del Haronic Drive. De esta identidad, se uede corobar que, el ar en cada uerto del HD conduce al ar ideal en los otros dos. Tabién se observa que el ar en el FlexSline es seejante al ar en el Circular Sline, que es aroxiadaente N veces ás grande que el ar en el Wave Generator. Con las ecuaciones (1), () y (3), el coortaiento dináico de un HD bajo suosiciones ideales, está coletaente definido. 3. EL ERROR CINEMÁTICO EN EL HARMONIC DRIVE En alicaciones que requieren de alta recisión en la osición, el error cineático del HD exone los untos débiles de un odelo de transisión ideal. Este error de osición ( Δ θ ), se calcula restando la rotación a la salida del HD de la rotación de entrada dividida or la relación de transisión ideal. En la configuración estudiada, la rotación de entrada del otor es la que irie el Wave Generator al ecaniso, y la rotación de salida es la roorcionada or el FlexSline. θ Δ θ = θl (4) N donde: Δ θ Error cineático θ = θwg Rotación de entrada del otor N Relación de transisión θ l = θ FS Rotación de salida de la carga Este nuevo aráetro ( Δ θ ), está definido rincialente or los errores de ontaje, la flexibilidad de los coonentes y la fricción; y es necesario considerarlo a la hora de conocer la osición exacta de cada uno de los coonentes del ecaniso, lo cual genera que el sistea real tenga dos grados de libertad. Los fabricantes aseguran que la agnitud del error cineático varía eriódicaente al doble de la frecuencia de la velocidad de giro del WG y que uede reducirse con el tio de oeración del ecaniso; la alitud de este error eriódico odula dos veces or cada revolución del FS o CS coo se ilustra en la Fig. 3. Los fabricantes Haronic Drive Technologies Nabtesco inc. [3] y HDsystes [4], aseguran que se uede lograr una recisión de 0.08 grados.

5 Modelado de una transisión Haronic Drive. Análisis del error cineático Descoosición del error cineático Ghorbel et al. [5] concluyeron que, una descoosición razonable del error cineático consiste en la sua de un error uro θ, que engloba todos los térinos de fricción, y un error secundario ( θ s ), que viene dado or la flexibilidad torsional del ecaniso. Esta descoosición, sirve ara dar una exlicación al origen de la variabilidad y la aarente aleatoriedad de los erfiles del error cineático exerientales. Δθ θ + θ (5) Para obtener la coonente ura ( θ ) de odo exeriental, es necesario trabajar a uy baja velocidad ara evitar los efectos de la flexibilidad. Tabién se debe tener resente que, el error cineático no deende únicaente de factores coo la fricción y la flexibilidad de los coonentes del HD, sino que tabién se ha de tener en cuenta un factor huano, que tiene fundaentalente que ver con el ontaje de estos coonentes. 3.. Modelo ateático del Haronic Drive. Ecuaciones de Lagrange Las ecuaciones de Lagrange [13], son un étodo que erite forular las ecuaciones dináicas de un sistea ecánico general a artir de la definición de un sistea de coordenadas generalizadas. En la ecuación (6) se reresenta dicho foraliso: d T T Qi = 0 dt q qi i donde: q i Coordenadas generalizadas del sistea o grados de libertad. T Energía cinética del sistea. Q i Fuerza generalizada, térino que engloba todas las fuerzas que interactúan en el sistea. Las fuerzas ueden ser de tres categorías: A) Fuerzas de interacción entre diferentes asas untuales del sistea. B) Fuerzas exteriores, incluida la fuerza debida a la gravedad. C) Fuerzas debidas a la fricción. Las fuerzas de tio (A) y (B) definen un cao conservativo, y se ueden obtener derivando una función de energía otencial (V), con resecto a una coordenada generalizada; las fuerzas de fricción (tio C) son no conservativas, y se obtienen derivando con resecto a la velocidad un otencial deendiente de la isa, que es la función de Rayleigh (D). En la ecuación (7) se reresenta la fuerza generalizada con sus térinos conservativos y no conservativos. V D Qi = qi Para la configuración básica del HD exlicada en el aartado 1, se uede alicar la ecuación de Lagrange a un sistea ecánico de dos grados de libertad. Para ello, se debe conocer cuál es el conjunto de aráetros que actúan durante la transisión del oviiento en un sistea real. Se selecciona el sistea que se ilustra en la Fig. 4, que consiste en un HD [3], Unit HDC-40, N = 50, conectado or un eje de entrada a un otor eléctrico y ediante un eje de salida a un eleento de carga. Los aráetros se encuentran en la Tabla 1. Dado que el ecaniso tiene dos grados de libertad, se tienen dos coordenadas generalizadas, que son: s q i (6) (7)

6 56 C. Castejón, J.C. García-Prada, O.J. Lara Fig. 4. Mecaniso Haronic Drive. Tabla 1 Paráetros del Haronic Drive resentados en la Fig. 4. Paráetro Definición Valor Unidades J Inercia del otor.9e-04 J l Inercia de la carga 5.0E-04 B wg Inercia del Wave Generator 1.6E-04 Kg. Kg. Kg. B Aortiguaiento del otor 1.7E-04 N. s. B l B s Aortiguaiento or fricción entre dientes del Wave Generator y del Flexsline. Aortiguaiento or fricción entre dientes del Flexsline y del Circular Sline. 1.3E-05 N. s. 1.0E-04 N. s. B l Aortiguaiento debido a la carga. 5.0E-04 N. s. θ Posición del otor - rad θ l Posición de la carga. - rad N Relación de transisión 50 - K Rigidez de la carga 7160 N / rad 1. Posición o ángulo girado or el eje del otor ( θ ), valor de entrada del sistea.. El error cineático ( Δ θ ), que se exresa en función de la osición en la salida del HD ( θ l ), que es conocida de fora exeriental, y se uestra en la ecuación (8). θ θ N l = Δ θ (8) Por otra arte, la energía cinética (T), resentada en la ecuación (9), es la debida al oviiento en el eje otor y en el eje de salida donde existe un eleento de carga.

7 Modelado de una transisión Haronic Drive. Análisis del error cineático T = ( J + Jwg) θ + Jlθ l (9) La energía otencial elástica (V), es debida a la flexibilidad del ecaniso, y se define coo: 0 V = Kσ dσ (10) θ s donde σ : Desviación rotacional K: rigidez del eleento de carga La función de Rayleigh se define ediante la ecuación (11) n 1 D = Bq i= 1 i i (11) Alicando la ecuación (11) a cada uno de los térinos de fricción, se llega a la exresión (1) D B Bl l Bl l B θ = θ + θ + θ + θ + s θl + θ (1) N Existe una ecuación de Lagrange or cada coordenada generalizada, or lo que ara reresentar el sistea HD se necesitan dos ecuaciones de Lagrange. La ecuación de Lagrange ara la coordenada de osición o ángulo girado or el otor ( θ ), viene dada or la exresión (13), y ara la coordenada del eje de carga ( θ l ), la exresión (14). d T T V D + + = τ dt θ θ θ θ (13) d T T V D + + = τ l dt l l θ θ θ l θl Sustituyendo en estas dos ecuaciones, los valores reresentados or las exresiones (9), (10) y (1) corresondientes a energía cinética, energía otencial y función de Rayleigh, se llega a las ecuaciones dináicas (15) y (16) del HD, resentadas a continuación: 1 d θ θ 1 d J K l B Bl l B θ θ θ + θ + θ s l + + = N θ θ θ θ θ τ N dθ N N dθ θ Jl l K l Bl l Bl l B θ θ + θ + θ s l + = l N θ θ θ θ θ τ (16) N Coo se observa, en la ecuación dináica (15) se resenta una situación no lineal, que hace coleja la reresentación del odelo en variables de estado con la herraienta de siulación SIMULINK. Para lograr la condición de linealidad del sistea de ecuaciones, es reciso recordar que el error cineático resulta de una descoosición dada or la ecuación (5); en la cual es osible evaluar las dos coonentes de anera searada. Si se hace el error uro ( θ ) nulo, el sistea de ecuaciones ostrado arriba se hace lineal, y solo se evalúa el error cineático debido a los efectos de la flexibilidad. (14) (15)

8 58 C. Castejón, J.C. García-Prada, O.J. Lara Fig. 5. Esquea tíico de un sistea. La coonente ura o de fricción del error cineático ( θ ) y su derivada, es conocida de fora exeriental or estudios revios. Para oder derivar una exresión en función del ángulo girado or el otor ( θ ), se rocede a desarrollar las series de Fourier tal y coo se uestra en la exresión (17). Las constantes an y bn son halladas or integración nuérica de datos exerientales [5], en un sistea HD real oerado a baja velocidad (310 RPM). donde: a θ [ cos θ θ ] (17) k 0 = + an n + bnsen n n= 1 ( ) ( ) 1 a ( ) cos( n ) d π n = π Δθ θ 0 θ θ ( ) ( ) π n = Δθ θ 0 θ θ 3.3. Modelado de un Haronic Drive en el esacio de estados (18) b sen n d (19) La fora ás habitual de estudiar un sistea dináico es, ediante la relación entre las entradas que se roorcionan a un sistea y las salidas que de él se obtienen. Este étodo es esecialente aroiado si el sistea es lineal, y sus aráetros varían continuaente en el tieo. En la Fig. 5 se esqueatiza este conceto. Las técnicas de odelado de sisteas en el esacio de estados se basan en describir el sistea dináico or edio de n ecuaciones diferenciales de rier orden, cuando se tienen sisteas descritos en tieo continuo, o de n ecuaciones en diferencias, si el sistea es de tieo discreto. Si las n ecuaciones se reresentan de fora atricial, la reresentación ateática del sistea se silifica bastante. Si denoinaos x(t 0 ) al vector de estados inicial del sistea, y(t) al de salida y u(t) al de entrada, odeos definir una función g tal que: yt () = g[ xt ( ), ut ()] (0) Igualente se uede definir una función f de odo que el estado en el que se encuentra el sistea en un oento deterinado deende del estado en el que se encontraba en el instante anterior y de la entrada al iso. 0 x() t = f[ x( t ), u()] t (1) Un sistea dináico uede describirse or un conjunto de ecuaciones diferenciales. Una vez que se conocen esas ecuaciones, se hallan las variables que definen el estado del sistea, o sus variables de estado. Definidas las variables, se vuelven a escribir las ecuaciones en función de éstas, y se obtienen las ecuaciones de estado del sistea 0 x() t = f[ x(), t u()] t () yt () = gxt [ (), ut ()] (3)

9 Modelado de una transisión Haronic Drive. Análisis del error cineático 59 Fig. 6. Sistea ecánico en el que se integra el HD. donde: x() t es el vector de variables de estado x() t es el vector de variación teoral de las variables de estado ut () es el vector de entradas yt () es el vector de salidas del sistea En el caso de que el sistea sea lineal, las ecuaciones de estado ueden exresarse con atrices variables en el tieo coo sigue: x() t = A() t x() t + B() t u() t (4) yt () = Ctxt () () + Dtut () () (5) Para odelar la transisión de tio HD, es necesario escoger, dentro de las ecuaciones dináicas (15) y (16), las entradas, salidas y variables que definen el estado del sistea. Para oder distinguir entre entradas, salidas y variables de estado, se debe conocer el entorno donde se va a ubicar el sistea, es decir, sus condiciones de contorno. El sistea HD se integrará en un conjunto ecánico, coo el de la Fig. 6. Está forado or un otor de corriente continua y su salida acolada a una transisión HD. El HD transite la otencia ecánica que recibe del otor, de odo que reduce drásticaente la velocidad angular, auentando considerableente el ar transitido. La riera variable de entrada al sistea es la osición angular del otor ( θ ), y la riera variable de salida es la osición angular del eleento de carga ( θ l ). De ahí, que se conozca ar a un deterinado giro del otor, el ángulo girado or el eleento de caga del HD. El conociiento del ar transitido or el HD es fundaental ara saber si el sistea tiene caacidad suficiente ara over eleento de carga acolado al HD. Por esta razón se considera coo segunda variable de entrada el ar otor ( τ ), y coo segunda variable de salida el ar transitido ( τ l ). Estas variables son erfectaente válidas ara evaluar el error cineático, ya que éste resulta ser la diferencia ente la variable de salida ( θ l ), y el ángulo de osición que se obtiene alicando la ecuación (1) del sistea ideal ara el eleento de salida que corresonda. En resuen, las variables de estado obtenidas son: A. Variables de Entrada (u): A.1. Par otor ( v = τ ) A.. Posición angular del eje otor ( w = θ ) B. Variables de Salida (y): B.1. Posición angular del eje de salida ( j = x1 = θl ) i= τ τ = vn ) B.. Par transitido ( ( ) l

10 60 C. Castejón, J.C. García-Prada, O.J. Lara C. Variables de Estado (x): C.1. Posición angular del eje de salida. ( x 1 = θ l ) C.. Velocidad angular del eje de salida. ( x = l ) C.3. Coonente ura del error cineático. ( x 3 = θ ) C.4. Velocidad angular del otor. ( x 4 = ) Renobrando las variables en las ecuaciones dináicas (15) y (16), se llega a las exresiones (6) y (7), que exresan las ecuaciones dináicas del sistea en función de las variables de estado, entradas y salidas del sistea. θ K B K B K x B x x B B x w J x v N N N N N θ s s 1+ l l = 0 B K Kx ( B B B ) x Kx B x J x w vn N N s 1+ l + l + s + 3+ l 4 + l = 0 Desejando las variables deendientes del tieo, de las exresiones (6) y (7), se ueden escribir las ecuaciones de estado del sistea (8), (9), (30) y (31). 1 (6) (7) x = x (8) B B s l K ( Bl + Bl + B s) K N vn Kw Jl Jl Jl Jl Jl NJl x = x x x x + + (9) x 3 = 0 (30) K B K B B B + B + K s s l l N N N N N v J J J J J J x = x x x x w+ (31) Coo se verá ás adelante, uesto que el sistea es lineal, es osible exresarlo en fora atricial tal y coo se uestra en la ecuación (3). donde: x() t = Ax() t + Bu() t (3) [ x] = [ x x x x ] T (33) ( ) T [ x] 4 X 1 = x 1 x x 3 x 4 (34)

11 Modelado de una transisión Haronic Drive. Análisis del error cineático 61 Tabla. Relación entre tensión de alientación y velocidad angular del eje. Tensión de alientación (V) Velocidad angular del eje otor (r) 6, [ A] 4X Bs Bl ( Bl Bl B K + + s) K N Jl Jl Jl Jl = K Bs K Bs B l B Bl N N + + N N J J J J [ B] 4X 0 0 N K Jl NJl = K J N J ( ) T (35) (36) [ u] X 1 = v w (37) La ecuación que reresenta las salidas del sistea en fora atricial viene dada or: yt () = Cxt () + Dut () (38) donde: [ C] X 4 [ D] = X N 0 = 0 0 Con las exresiones (3), (34-40), el sistea real de un HD queda reresentado ediante un odelo ateático. Para generar el odelo, se configuran bloques rograados en MATLAB, con los datos de la Tabla 1, variando la alientación del sistea según la Tabla. Desués de realizar la siulación y de hallar un estiado de θ s, este valor se suará al error uro θ ), según la ecuación (5), y se conseguirá el error cineático total aroxiado ( Δ θ ). Con este roce- ( (39) (40)

12 6 C. Castejón, J.C. García-Prada, O.J. Lara Fig. 7. Diagraa de bloques de los odelos del HD en SIMULINK. Fig. 8. Reresentación del error cineático uro a 310 r. diiento se obtienen el error debido a la flexibilidad ( θ s ), y al error uro ( θ ), de anera searada a través de SIMULINK. Este es el odelo real del error cineático. Mediante la coaración de la ecuación ideal del ecaniso (1) y la siulación del conjunto otor- HD real con la herraienta SIMULINK (véase Fig. 7), se obtiene la diferencia entre la osición de salida que roorcionan abos bloques, que obviaente corresonde al valor del error cineático debido a la flexibilidad. Las siulaciones son realizadas con distintas condiciones de contorno, variando la alientación del otor coo se indica en la Tabla. 4. RESULTADOS De acuerdo a lo lanteado en el aartado anterior, en la Fig. 8 se observa la coonente de error uro ( θ ), hallada or integración nuérica de los datos exerientales a través del desarrollo de Fourier [5]; el sistea consiste básicaente en un HD que rota a una velocidad de 310 r. Para evaluar la otra coonente del error, debida a los efectos de la flexibilidad ( θ s ), se rocede a efectuar la siulación del odelo lineal con la herraienta SIMULINK, en la Fig. 9 se resentan los errores cineáticos secundarios, ara distintas r y con resecto al ángulo de rotación del otor, cabe destacar que cada curva describe un coortaiento eriódico, y que existe un desfase entre ellas. En la Fig. 10 se ilustra con ayor detalle el efecto de la flexibilidad en la osición de los odelos estudiados, el odelo real, que incluye los efectos de la flexibilidad; está reresentado or una línea curva corresonde a la rotación del eleento de carga, y la línea recta corresonde al odelo ideal dado or la ecuación (1). Cabe destacar que estas dos curvas no resentan efectos de fricción asociados al error uro ( θ ).

13 Modelado de una transisión Haronic Drive. Análisis del error cineático 63 Fig. 9. Reresentación de los errores cineáticos or flexibilidad a varias r. Fig. 10. Reresentación del aosición angular ara los odelos a 110 r. Fig. 11. Reresentación de las coonentes del error cineático a 310 r. El error cineático total se reresenta en la Fig. 11, y resulta de la sua del error cineático uro resentado en la Fig. 8, y el error cineático debido a la flexibilidad resentado en la Fig. 9, abos ara una velocidad de rotación de 310 r. Los resultados resentado hasta ahora concuerdan con los obtenidos or otros investigadores en el asado reciente, quienes obtienen valores áxios del error cineático total en el rango de dos y tres centésias de radian. Para validar el odelo obtenido, se verifica la frecuencia redoinante del error cineático total Δ θ = θ + θs ostrado en la Fig. 11, alicando la FFT (Fast Fourier Transfor) o transforada ráida de Fourier, resultando los valores detallados en la Fig. 1.

14 64 C. Castejón, J.C. García-Prada, O.J. Lara Fig. 1. Reresentación de la FFT de las señales ostradas en la Fig. 10. Se obtienen una frecuencia de 10,5 Hz, que corresonde aroxiadaente al doble de la frecuencia de rotación del otor (310 r, 5,16 Hz), y que concuerda recisaente con los resultados arrojados or los estudios exerientales de Tuttle [,11]. 5. CONCLUSIONES Se ha logrado odelar el sistea dináico del HD de fora razonable, ediante un odelo ateático basado en el foraliso de Lagrange, y variables de estado con MATLAB y SIMULINK. Se observa que, al linealizar el sistea, y aroxiar el error uro ( θ ) del Haronic Drive HDC-40 [3], con 15 coeficientes de Fourier hallados exerientalente, se obtiene un valor uy cercano corresondiente al error cineático total real, y se corueba que la frecuencia redoinante en el error, es la corresondiente al doble de la velocidad de giro del otor, abos resultados obtenidos en estudios exerientales anteriores or autores coo Ghorbel et al. [5], Gandhi et al. [8] y Tuttle [,11]. Tabién se observa que los efectos debidos a la flexibilidad auentan a altas velocidades de rotación y que, a bajas velocidades de rotación (310 r), constituyen hasta un 5% del error cineático total. Por edio de estos resultados, es osible incororar un HD a un sistea ecánico y redecir en un grado alto su error cineático asociado. AGRADECIMIENTOS Los autores desean agradecer sinceraente la financiación roorcionada or el Gobierno Esañol a través del royecto DPI C0-0 y a J.M. Moreno or su colaboración. REFERENCIAS [1] Muser, C.W., Strain Wave Gearing. United States Patent, No,906,143 [] Tuttle, T.D., Understanding and odeling the behavior of a Haronic Drive Gear Transission, MIT Technical Reort 135, MIT Artificial intellingence laboratory (199) [3] Haronic Drive Technologies. Nebtesco Inc., Peabody, MA, EUA. htt:// [4] Haronic Drive gearing & otion control. HD systes Inc. Hauage, NY. htt:// [5] Ghorbel, F., Gandhi, P., Aleter, F., On the kineatic error in haronic Drive Gears, Transactions of ASME, Journal of Mechanical Design, 13, (001)

15 Modelado de una transisión Haronic Drive. Análisis del error cineático 65 [6] Gandhi, P, Ghorbel, F., Closed-loo coensation of kineatic error in haronic drives for recision control alications, IEEE Transactions on control systes technology, 10(6), (00) [7] Castejón, C., Meneses, J., Lorca, P.J., Rubio, H., Rubio, L, García Prada, J.C., Modelado y siulación de una cadena cineática de un grado de libertad. Alicación al diseño de robots. Anales de Ingeniería Mecánica, 15, (004) [8] Hoon, S., Iroveent of the dynaic roerties of a steel-coosite hybrid FlexSline of a Haronic Drive, Coosite Structures, 38(1-4), (1997) [9] Jeon, H., Hoon, S., A study on stress and vibration analysis of a steel and hybrid FlexSline for Haronic Drive, Coosite Structures, 47, (1999) [10] Gandhi, P.S., Ghorbel, F., High seed recision tracing with Haronic Drives systes using integral anifold control design, International Journal of Control, 78(), 11-1 (005) [11] Tuttle, T.D., Seering, W.P., Kineatic error, coliance and friction in a Haronic Drive gear transission ASME Design Technical Conference, 19th Design Autoation Conference. Albuquerque, NM, (1993) [1] Kennedy, C., Desay, J., Modeling and Control of the Mitsubishi PA -10 Robot Ar Haronic Drive Syste, IEEE/ASME Transactions Mechatronics, 10(3), (005) [13] Syon, K., Mechanics (Third Edition), University of Wisconsin. Adisson-Wesley (1971) KINEMATIC ERROR ANALYSIS IN HARMONIC DRIVE TRANSMISSIONS USING LAGRANGE EQUATIONS AND STATE VARIABLES Abstract Haronic Drive transissions are widely used in odern design alications as robotics, aerosace and ilitary industry, edical equient or rinting resses, due to advantages as ositional recision, high torque caabilities, low weight and volue, near zero backlash, versatility and high efficiency. Nevertheless, like all echanical devices, it has disadvantages as the kineatic error, little known araeter, which roduces syste resonances and basically deends of friction, coliance and assebly ierfections. In order to integrate an Haronic Drive in a robotic syste, it is necessary to know the kineatic error during rotation; this article deal with a atheatical od el about the Haronic Drive dynaical behavior, based on Lagrange foralis, and a novel reresentation by eans variable states of a lineal syste in SIMULINK, obtaining an accetable siulation of Haronic Drive kineatic error and its integration into an electroechanical syste. Keywords Haronic Drive, Kineatic error, State sace odel.

16