OSCILACIONES ACOPLADAS

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1 OSCILACIONES ACOPLADAS I. Objetivos: Analizar el movimiento conjunto de dos osciladores armónicos similares (péndulos de varilla), con frecuencia natural f 0, acoplados por medio de un péndulo bifilar. En particular, se generan los dos modos normales del sistema y se determinan las respectivas frecuencias, f 1 y f ; y se construye una superposición de modos (pulso) para la que se obtiene la frecuencia f 3 de cada péndulo individual así como la frecuencia del pulso f s. II. Introducción teórica: Con frecuencia se encuentran ejemplos de sistemas físicos que pueden ser descritos por medio de dos (o más) osciladores armónicos, aproximadamente independientes, con algún tipo de acoplamiento débil entre los dos. Como ejemplo específico, consideraremos el sistema que se muestra en la figura 1, que consiste en un par de péndulos idénticos (osciladores armónicos) acoplados por medio de un resorte. En esta práctica, el sistema que analizaremos se corresponde con el representado en la figura, que consta de dos péndulos de varilla acoplados por un péndulo bifilar, sin embargo, la dinámica de ambos sistemas es equivalente, y por su mayor simplicidad centraremos el estudio teórico en el primero de los sistemas descritos. Figura 1: Péndulos acoplados 1

2 En la figura 1 se observan dos péndulos de igual masa m y con la misma longitud l acoplados por medio de un resorte cuya constante es D. Utilizaremos los desplazamientos s 1 y s como coordenadas generalizadas, tal y como se indica en la figura 1. Cuando se separan los péndulos de su posición de equilibrio un cierto ángulo α (suficientemente pequeño como para que las oscilaciones sean armónicas), las fuerzas que actúan sobre cada una de las masas son debidas a su peso y al resorte. La componente del peso en la dirección de s es mg senα, con senα = s / l. Por otra parte, la fuerza debida al resorte es proporcional al alargamiento del muelle, siendo D la constante de proporcionalidad. Por lo tanto, la fuerza sobre cada una de las masas es: donde D 0 = mg / l. normales: F 1 = D 0 s 1 D (s 1 s ) F = D 0 s D (s s 1 ), (1) Estamos interesados en dos casos particulares, correspondientes a los dos modos a) En el primer modo normal (s 1 = s ), los dos péndulos oscilan juntos con igual amplitud (figura.a). Por lo tanto (1) se transforma en: F 1 = F = D 0 s 1. () Si tenemos en cuenta la ley de Newton, F = ma, con a = s, y (), s 1 + (D 0 / m ) s 1 = 0. (3) La ecuación del movimiento de un oscilador armónico simple es: s + ω s = 0, (4) donde ω es su frecuencia angular, relacionada con la frecuencia f del movimiento mediante f = ω / π. En este caso, la oscilación de la variable s 1 estará caracterizada por la frecuencia ω 1 = D 0 m = ω 0 = g l. (5) Como el resorte no está ni extendido ni contraído, en este movimiento no es sorprendente que la frecuencia de cada péndulo (f 1 ) sea justamente la que tendrían sin acoplar (f 0 ).

3 Figura : Diseño del experimento b) En el segundo modo normal (s 1 = s ), los péndulos oscilan en direcciones opuestas, extendiendo y comprimiendo el muelle (figura.b), F 1 = (D 0 + D) s 1 F = (D 0 + D) s 1. (6) Teniendo en cuenta los razonamientos anteriores, el movimiento estará caracterizado ahora por la frecuencia ω = D 0 D m = D, (7) m 1 mayor que ω 1. En general, el movimiento de los péndulos acoplados está descrito por el sistema de ecuaciones diferenciales: 3

4 o, utilizando la ecuación (5), D 0 = 1 m, m d s 1 dt = D 0 s 1 D (s 1 s ) m d s dt = D 0 s D (s s 1 ), d s 1 dt 1 s 1 d s dt 1 s D m s 1 s D m s s 1. (8) Para resolver este sistema necesitamos conocer las condiciones iniciales. Supongamos que en t = 0 el sistema parte del reposo, con un péndulo desplazado una distancia s m y el segundo péndulo en su posición de equilibrio (figura.c): ds 1 dt = ds dt = 0, s 1 = s m, s = 0. Con estas condiciones iniciales, la solución del sistema (8) es: s 1 = s m ( cos ω 1t + cos ω t ) s = s m ( cos ω 1t cos ω t ), (9) donde ω 1 y ω vienen dadas por (5) y (7) respectivamente. Usando las expresiones para la suma o diferencia de dos funciones angulares: cos α + cos β = cos cos cos α cos β = sen sen, (10) obtenemos las ecuaciones del movimiento de los péndulos acoplados con las condiciones iniciales mencionadas: s 1 = s m cos ( 1 s = s m sen ( 1 t ) cos ( 1 t ) sen ( 1 t ) t ). (11) 4

5 Figura 3: Oscilaciones de dos péndulos acoplados Las ecuaciones (11) describen oscilaciones (ver la figura 3) producidas por la superposición de los dos modos normales, con frecuencias angulares ω 1 y ω. La oscilación rápida resultante tiene frecuencia angular ω 3 y frecuencia f 3 dadas por: 3 1 f 3 = f 1 f y la amplitud varía entre 0 y el máximo valor s m, con una frecuencia angular ω s y una frecuencia f s, siendo: S 1 f s = f f 1 Si en lugar de hablar de frecuencia del movimiento periódico, nos referimos al período T (T = 1/f ) del mismo: T s = 1 f s = f f 1 = T 1 T T 1 T, donde T 1 = 1 f 1 y T = 1 f. Podemos describir el movimiento como sigue: El primer,. péndulo oscila con frecuencia angular ω 3 y amplitud gradualmente decreciente s m cos w s t. Mientras tanto, el segundo péndulo comienza a oscilar con la misma frecuencia, pero 90 desfasado y con amplitud gradualmente creciente s m sen w s t. Después de un tiempo w s, el primer péndulo queda momentáneamente en reposo, y el segundo está oscilando con amplitud s m. Todo el proceso se repite indefinidamente (aunque en la práctica habrá naturalmente algún amortiguamiento). 5

6 III.Procedimiento experimental: Comprobar en los péndulos de varilla que las masas se encuentran exactamente en el extremo de las mismas. Situar los ganchos (a) para el acoplamiento de los péndulos exactamente a la misma altura (aproximadamente 15 cm. por encima de la masa del péndulo). Comprobar que las oscilaciones naturales de ambos péndulos tienen la misma frecuencia, moviendo si es necesario la masa de alguno de ellos. Ajustar la longitud del péndulo simple (b) de manera que su período de oscilación sea igual al de los péndulos sin acoplar. El acoplamiento de los péndulos se realiza con una masa suspendida de un hilo cuyos extremos se sitúan en los ganchos (a). Experimento 1: Oscilaciones naturales (sin acoplamiento). Para determinar la frecuencia natural f 0 de cada péndulo, medir el tiempo 10T 0 de 10 oscilaciones. Repetir esta operación varias veces (al menos 8) y calcular el valor medio de T 0. La frecuencia f 0 será 1/T 0. Experimento : Modos normales (con acoplamiento). Para determinar la frecuencia f 1 del primer modo normal, separar ambos péndulos en la misma dirección y con la misma amplitud (6 cm. aproximadamente) como se indica en el diagrama A de la figura, y dejar que oscilen. Medir el tiempo 10T 1 de 10 oscilaciones completas varias veces (al menos 8) y calcular la frecuencia f 1 del primer modo normal a partir del valor medio de T 1. Comparar este resultado con el valor teórico (f 1 = f 0 ) haciendo que oscilen simultáneamente con el péndulo simple (b). Del mismo modo determinar la frecuencia f del segundo modo normal, desplazando ambos péndulos en sentidos opuestos y con la misma amplitud inicial (diagrama B de la figura ). Experimento 3: Pulsos (con acoplamiento). 6

7 a) Separar uno de los péndulos (péndulo 1) de su posición de equilibrio mientras el otro permanece en reposo verticalmente y soltarlo. Ambos péndulos comenzarán a oscilar. Medir el tiempo 5T 3 de 5 oscilaciones completas del péndulo desplazado en primer lugar varias veces (al menos 8) y calcular la frecuencia f 3 a partir del valor medio de T 3. Comparar el resultado con el valor teórico. Mientras, el péndulo que inicialmente estaba en reposo (péndulo ) comienza a oscilar con amplitud creciente hasta alcanzar un máximo. Posteriormente disminuye su amplitud hasta parar nuevamente después de un tiempo T s /. Medir T s al menos 8 veces y calcular la frecuencia f s a partir de su valor medio. Comparar el resultado con el valor teórico. b) El desfase producido en cada péndulo puede comprobarse comparando sus oscilaciones con las del péndulo simple (b en la figura ). Para ello, mientras el péndulo permanece estacionario, separar el péndulo 1 y el de referencia de su posición de equilibrio (diagrama C de la figura ) y soltarlos en el mismo instante, con lo que inicialmente ambos oscilan en fase. Comparar las fases respectivas cuando el péndulo 1 comienza de nuevo a moverse, después de que su amplitud sea cero. Experimento 4: Dependencia con la longitud de la cuerda de acoplamiento. Dejar fija la posición de los enganches (a) y repetir los apartados y 3 para una longitud distinta del hilo del cual se suspende la masa que actúa como acoplamiento. 1) Por qué el ángulo α de las oscilaciones debe ser pequeño? ) Por qué los ganchos (a) tienen que estar situados a la misma altura? 3) Cómo se puede modificar el acoplamiento entre los péndulos? 4) Afecta el acoplamiento de igual manera al primer y segundo modo normal? 7

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