Teoría del Consumidor: El Equilibrio del Consumidor *

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1 UNIVERSIDAD DEL BIO-BIO Facultad de Ciencias Empresariales Departamento de Economía y Finanzas Teoría del Consumidor: El Equilibrio del Consumidor * Andrés Acuña D. ** Versión: Mayo de 2011 Resumen El presente documento constituye Material Docente de apoyo para estudiantes que cursen asignaturas ligadas a la ciencia económica, en particular aspectos microeconómicos básicos. En éste se aborda en profundidad y de manera simple la determinación de la función de demanda de bienes o servicios bajo una perspectiva de asignación eficiente de los recursos por parte del consumidor. Índice 1. Equilibrio del consumidor Caracterización del equilibrio del consumidor Formalización del equilibrio del consumidor y su solución Equilibrio del consumidor y control óptimo: Un ejemplo Ejercicios Propuestos 7 * Esta obra se encuentra bajo una Licencia Creative Commons Atribución-NoComercial-SinDerivadas 3.0 Unported. ** Académico del Departamento de Economía y Finanzas, Universidad del Bío-Bío. aacunad@ubiobio.cl

2 Teoría del Consumidor El Equilibrio del Consumidor 2 1 Equilibrio del consumidor 1.1 Caracterización del equilibrio del consumidor El problema de fondo que debe resolver todo individuo o consumidor es alcanzar el mayor nivel de bienestar posible de acuerdo al ingreso m) que éste percibe, dados los precios de los bienes que consume p 1 y ). De acuerdo a esto, el equilibrio del consumidor está dado por aquella canasta de consumo que da respuesta a la interrogante anterior. Si utilizamos la intuición para solucionar el equilibrio del consumidor, entonces podemos decir que el individuo debe elegir aquella canasta de consumo que pertenece a la curva de indiferencia que se encuente más lejana del origen y, que a su vez, pertenezca al conjunto de posibilidades de consumo 1. Situación que es representada por el punto A en la figura 1. Figura 1: Representación gráfica del equilibrio del consumidor Formalmente, la idea anterior se cumple en aquella canasta de consumo que iguala la pendiente de la recta presupuestaria y la pendiente de la curva de indiferencia. Por ende, la canasta de consumo óptima soluciona la siguiente condición de equilibrio: UMgX 1 UMgX 2 = p 1 Donde el lado izquierdo de la expresión anterior representa la Tasa Marginal de Sustitución TMS) que es la pendiente de la curva de indiferencia 2, y el lado derecho representa la razón de precios relativos que es la pendiente de la recta presupuestaria. 1 El conjunto de posibilidades de consumo está compuesto por todas aquellas canastas de consumo que pertenecen al área triangular formada por la máxima cantidad que es posible adquirir del bien 1 m/p 1 ), la máxima cantidad que es posible adquirir del bien 2 m/ ), y el origen. 2 Para obtener la pendiente de la curva de indiferencia se debe aplicar el diferencial total a la función de utilidad en cuestión y evaluarla en un nivel de utilidad determinado que representa una curva de indiferencia en particular. Luego del álgebra respectivo, es posible obtener la expresión planteada.

3 Teoría del Consumidor El Equilibrio del Consumidor Formalización del equilibrio del consumidor y su solución Para obtener la curva de demanda para cada uno de los bienes debemos formalizar el equilibrio del consumidor, el cual es la solución al siguiente problema de optimización: máx ux 1, x 2 ) {x 1,x 2} s.a. : m = p 1 x 1 + x 2 x 1 > 0, x 2 > 0 Donde la primera línea resume la idea que el problema es alcanzar el mayor nivel de bienestar posible, el cual es capturado a través de la función de utilidad cuya unidad de medida son los denominados útiles. Mientras que la segunda y tercera líneas capturan las dos restricciones del problema: la primera de ellas es la restricción presupuestaria la cual se cumple con igualdad debido a la incorporación del supuesto de no saciedad local i.e., el individuo gasta todo su ingreso en el consumo de bienes), y la segunda implica que la elección de la canasta de consumo óptima debe incorporar cantidades positivas de los bienes, lo cual evita obtener soluciones de esquina 3. Pero de lo anterior surgen dos interrogantes. La primera es cómo solucionamos matemáticamente este problema, cuya respuesta es utilizar la función Lagrangeana, herramienta matemática que pertenece al control óptimo. Y la segunda, que nace de la anterior, es cómo resolvemos el equilibrio del consumidor empleando tal herramienta. Para ello, siga cada uno de los pasos enumerados y explicados a continuación. Paso 1. Construya el Lagrangeano o función de Lagrange. El Lagrangeano está compuesto por la suma de la función objetivo y la o las) restricciónes) del problema multiplicadas) por el denominado multiplicador de Lagrange, el cual es representado por la letra griega lambda λ). Por lo tanto, en nuestro problema del consumidor la función objetivo es la función de utilidad y la restricción del problema es la restricción de presupuesto. Lo anterior se manifiesta a través de la siguiente expresión: 1) máx {x 1,x 2} L = ux 1, x 2 ) + λ m p 1 x 1 x 2 ) Paso 2. Encuentre las condiciones necesarias de primer orden CNPO). Para ello derive parcialmente el Lagrangeano con respecto a cada una de las variables de decisión del problema y con respecto al o los) multiplicadores) de Lagrange. En nuestro caso, las variables de decisión son las cantidades demandadas de los bienes 1 y 2 x 1 y x 2 ). Es decir: 2) 3) = ux 1, x 2 ) λp i = 0 x i x i λ = m p 1x 1 x 2 = 0 Donde i se refiere a los bienes 1 y 2. 3 Técnicamente, las dos restricciones deben expresarse en términos de mayor igual que si somos fieles al control óptimo. No obstante, esta opción implicaría la utilización de las condiciones de Kuhn-Tucker al momento de resolver el problema, temática que está fuera de los objetivos del presente documento.

4 Teoría del Consumidor El Equilibrio del Consumidor 4 Paso 3. De las ecuaciones tipo 2) obtenga una relación g ) para x i en función de las otras variables. Esto quiere decir que a partir de las CNPO para los bienes 1 y 2 se debe obtener una solución para λ, y a partir de éstas despejar la cantidad demandada del bien i en función de la cantidad demandada del bien j y de los precios de los bienes. Es decir: 4) 5) λp 1 = 0 λ = UMgX 1 x 1 p 1 λ = 0 λ = UMgX 2 x 2 Combinando 4) y 5) obtenemos: 6) λ = UMgX 1 p 1 = UMgX 2 UMgX 1 UMgX 2 = p 1 A partir de 6) es posible obtener: 7) x i = gx j, p 1, ) Paso 4. Reemplace la relación 7) para x i en la ecuación 3) y resuelva para x j. La expresión resultante es la función de demanda Marshalliana del bien j cuyos argumentos son p 1,, y el ingreso del individuo m). Por ejemplo, si suponemos que i = 1 y j = 2, entonces lo anterior implica que: 8) p 1 x 1 + x 2 = m p 1 gx 2, p 1, ) + x 2 = m Si solucionamos 8) para x 2, entonces obtenemos la demanda Marshalliana del bien 2: 9) p 1 gx 2, p 1, ) + x 2 = m x 2 = x M 2 p 1,, m) Paso 5. Una vez obtenida la demanda Marshalliana para el bien j, x M j en la ecuación 7) y así obtener la demanda Marshalliana para el bien i, x M j. Si aplicamos lo anterior obtendremos la siguiente expresión: 10) x i = gx M j p 1,, m), p 1, ) = x M i p 1,, m) }{{} x j Para nuestro ejemplo anterior: x 1 = gx M 2 p 1,, m), p 1, ) = x M 1 p 1,, m) }{{} x 2, debemos reemplazarla

5 Teoría del Consumidor El Equilibrio del Consumidor Equilibrio del consumidor y control óptimo: Un ejemplo Dado que el método de solución del equilibrio del consumidor ya es conocido, entonces es posible obtener las demandas Marshallianas a través de un ejemplo en particular. Para ello suponga que la función de utilidad que captura las preferencias del individuo respecto del consumo de bienes está dada por la siguiente expresión: ux 1, x 2 ) = 9x 1/4 1 x 3/4 2. Si aplicamos el método anterior obtendremos lo siguiente. Paso 1. Construya el Lagrangeano o función de Lagrange. 11) máx L = {x 9x1/4 1 x 3/4 2 + λ m p 1 x 1 x 2 ) 1,x 2} Paso 2. Encuentre las condiciones necesarias de primer orden CNPO). 12) 13) 14) = 9 1 x 1 4 x 3/4 1 x 3/4 2 λp 1 = 0 = 9 3 x 2 4 x1/4 1 x 1/4 2 λ = 0 λ = m p 1x 1 x 2 = 0 Paso 3. De las ecuaciones 12) y 13) obtenga una relación g ) para x i en función de las otras variables. 15) 16) x 1 λp 1 = 0 λ = 9 4p 1 x 2 λ = 0 λ = ) λ = 9 4p 1 ) 3/4 x2 x 1 ) 1/4 x1 x 2 Combinando 15) y 16) obtenemos: x2 x 1 ) 3/4 = 27 4 x1 x 2 ) 1/4 1 3 x2 x 1 ) = p 1 A partir de 17) es posible obtener una expresión g ) para el bien 1: 18) x 1 = gx 2, p 1, ) = x 2 3p 1

6 Teoría del Consumidor El Equilibrio del Consumidor 6 Paso 4. Reemplace la relación 18) para x 1 en la ecuación 14) y resuelva para x 2. La expresión resultante es la función de demanda Marshalliana del bien 2 cuyos argumentos son p 1,, y el ingreso del individuo m). 19) p 1 gx 2, p 1, ) + x 2 = m p 1 p2 x 2 3p 1 ) + x 2 = m Si solucionamos 19) para x 2, entonces obtenemos la demanda Marshalliana del bien 2: ) p2 x 2 20) p 1 + x 2 = m x 2 + x 2 = m x 2 = x M 2 p 1,, m) = 3m 3p Paso 5. Una vez obtenida la demanda Marshalliana para el bien 2, x M 2, debemos reemplazarla en la ecuación 18) y así obtener la demanda Marshalliana para el bien 1, x M 1. ) ) ) 21) x 1 = gx M p2 2 p 1,, m), p 1, ) = x M p2 3m 2 = }{{} 3p 1 3p 1 4 x 2 Por lo tanto, la demanda Marshalliana del bien 2 está dada por la siguiente expresión: 22) x M 1 p 1,, m) = m 4p 1 Finalmente, una vez obtenidas las demandas Marshallianas para los bienes 1 y 2 en su expresión general entonces es posible dar respuesta a cualquier interrogante de estática comparativa. Esto es, la posibilidad de conocer los cambios en el patrón de consumo del individuo ante cambios en el precio de alguno de los bienes, ante cambios en el ingreso, o bien, ante cambios en distintas direcciones de las variables anteriores. En este plano, la siguiente sección propone una serie de problemas que desafían al lector con el fin de fortalecer los contenidos abordados en el presente documento.

7 Teoría del Consumidor El Equilibrio del Consumidor 7 Ejercicios Propuestos 1. Suponga que las preferencias de Lisa pueden ser resumidas por la siguiente función de utilidad: ux 1, x 2 ) = 16x 0,4. De acuerdo a esto responda lo siguiente: 1 x0,6 2 a) Plantee el problema de maximización de utilidad, encuentre las condiciones necesarias de primer orden, y obtenga las demandas Marshallianas de los bienes 1 y 2. b) Suponga que p 1 = 5, = 240, y m = 400. Obtenga las cantidades óptimas de equilibrio de los bienes 1 y 2, y el nivel de utilidad alcanzado por Lisa. c) Grafique el equilibrio de Lisa obtenido en el literal b). d) Suponga que existe un alza en el precio del bien 1, ahora p 1 = 8. Cuánto demandará Lisa del bien 1 en la nueva situación? Grafique el nuevo equilibrio. e) De acuerdo a lo planteado en el literal anterior, calcule la elasticidad precio y arco del bien 1. f ) Si aumenta el ingreso de Lisa en un 25 % cuáles serán las nuevas cantidades demandadas? Calcule la elasticidad ingreso para los bienes 1 y 2 hint: Utilice los precios del literal b)). g) Suponga que a Lisa le ofrecen cambiar la canasta obtenida en b) por otra, la cual contiene una mayor cantidad del bien 2, que es el bien de mayor valor. La canasta es x B 1, x B 2 ) = 7; 1,5), la oferta parece tentadora ya que Lisa sólo debe sacrificar en algo el consumo del bien 1... aceptará Lisa la propuesta? Por qué? 2. Suponga que las preferencias de Calvin pueden ser resumidas por la siguiente función de utilidad: ux 1, x 2 ) = 3x 1/2 1 x 1/2 2. De acuerdo a esto responda lo siguiente: a) Plantee el problema de maximización de la utilidad, encuentre las condiciones necesarias de primer orden CNPO), y obtenga las demandas Marshallianas de los bienes 1 y 2. b) Suponga que p 1 = 18, = 2, y m = Obtenga las cantidades óptimas de equilibrio de los bienes 1 y 2, y el nivel de utilidad alcanzado por Calvin. c) Grafique el equilibrio de Calvin obtenido en el literal b). d) Suponga que existe una baja en el precio del bien 1, ahora p 1 = 8. Cuánto demandará Calvin del bien 1 en la nueva situación? e) Considerando la información obtenida en el literal anterior, calcule la elasticidad precio para el bien 1.