Cálculo integral y series de funciones

Transcripción

1 UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE MATEMÁTICA LABORATORIO DE FORMAS EN GRUPOS Cálculo integrl y series de funciones Rmón Bruzul Mrisel Domínguez Crcs, Venezuel Febrero 2005

2 Rmón Bruzul Correo-E: Mrisel Domínguez Correo-E: Lbortorio de Forms en Grupos Centro de Análisis Escuel de Mtemátic Fcultd de Ciencis Universidd Centrl de Venezuel lbfg Not: Este mteril está disponible en l págin web lbfg/guis.htm En generl mntenemos un réplic en un servidor externo l Universidd Centrl de Venezuel, el vínculo se encuentr indicdo en es mism págin web.

3 Prólogo Est guí h sido concebid pr ser utilizd en l segund prte del curso de Análisis I de l Licencitur en Mtemátic de l Fcultd de Ciencis. En este curso se debe dr un visión riguros del cálculo diferencil y del cálculo integrl en un vrible. Est guí comienz con un discusión del concepto de integrl. Los siguientes tems son trtdos con rigurosidd y en form exhustiv: () Integrl de Riemnn, definición, funciones integrbles, integrles superior e inferior, condición de integrbilidd de Riemnn, ejemplos de funciones no integrbles. Teorem fundmentl del Cálculo, integrción por prtes. (2) L función logrítmic, l función exponencil y ls funciones trigonométrics. (3) Series infinits, convergenci bsolut y condicionl, reordenmiento. Multiplicción de series. (4) Sucesiones de funciones, convergenci uniforme, relción con continuidd, diferencición e integrción. Convergenci de series de funciones. Condiciones suficientes. Teorem de Weierstrss. (5) Integrles impropis del primer tipo. Vlor principl de Cuchy, pruebs de convergenci, integrles y series. Integrles impropis del segundo tipo. (6) Series de potenci, intervlos de convergenci, derivds. Teorem de Tylor. Se h incorpordo un último cpítulo, donde se hce un breve introducción ls series de Fourier. Aunque l definción riguros de ls funciones exponencil, logrítmic y trigonométrics se hce en lo cpítulos 2 y 3, ests funciones y sus propieddes son usds, suponiendo un conocimiento previo intuitivo, en l prte previ estos cpítulos. Tnto el trbjo de mecnogrfí como l elborción de los gráficos estuvo crgo de los utores. Agrdecemos culquier observción o comentrio que deseen hcernos llegr. Rmón Bruzul. Mrisel Domínguez. Febrero iii

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5 Índice generl Cpítulo. Integrles.. Definición de l integrl de Riemnn. 2. Teorem fundmentl del cálculo. 3. Integrción por prtes Lectur dicionl: Equivlenci entre l integrl de Riemnn y l de Drboux. 3 Ejercicios. Integrles. 8 Cpítulo 2. Ls funciones exponencil y logrítmic. 23 Cpítulo 3. Ls funciones trigonométrics. 27 Cpítulo 4. Series numérics. 3. Definiciones y resultdos básicos Series de términos no negtivos Convergenci bsolut y convergenci condicionl Producto de series. 42 Ejercicios. Series Numérics. 44 Cpítulo 5. Sucesiones y series de funciones. 49. Motivción y lgunos ejemplos Convergenci uniforme Series de funciones Series de potencis El Teorem de proximción de Weierstrss. 65 Ejercicios. Sucesiones y series de funciones. 68 Cpítulo 6. Integrles impropis. 73 v

6 vi ÍNDICE GENERAL. Integrles impropis del primer tipo Integrles impropis del segundo tipo. 74 Ejercicios. Integrles impropis. 76 Cpítulo 7. Series de Fourier. 77. Polinomios trigonométricos y funciones periódics Coeficientes y serie de Fourier Convergenci puntul de l Serie de Fourier. 80 Bibliogrfí 83 Índice lfbético 85

7 CAPíTULO Integrles.. Definición de l integrl de Riemnn. Definición.. Sen, b R, < b. Un prtición del intervlo [, b] es un colección finit de puntos de [, b], de los cules uno es y otro es b. Los puntos de un prtición pueden ser numerdos como t 0, t,..., t n, de form tl que el conjunto quede ordendo de l siguiente mner = t o < t < < t n < t n = b. Al hblr de un prtición siempre supondremos que está ordend de l form nterior. Definición.2. Sen, b R, < b y f : [, b] R un función cotd. Se P = {t o, t,..., t n } un prtición del intervlo [, b]. Pr i n, sen m i = ínf{f(x) : t i x t i }, M i = sup{f(x) : t i x t i }. L sum inferior de f correspondiente P, se denotrá por L(f, P ) y es L(f, P ) = n m i (t i t i ). i= L sum superior de f correspondiente P, se denotrá por U(f, P ) y es U(f, P ) = n M i (t i t i ). i= A continución ilustrmos, medinte ejemplos gráficos, el significdo geométrico de L(f, P ) y de U(f, P ).

8 2. INTEGRALES. L sum de ls áres de los rectángulos sombredos es L(f, P ). y t o t t 2 t 3 t4 x Figur.. Sum inferior L sum de ls áres de los rectángulos sombredos es U(f, P ). y t o t t 2 t 3 t 4 x Figur.2. Sum superior El siguiente dibujo nos ilustr l sum superior pr l función f(x) = sen x en el intervlo [0, 0], con l prtición {0,, 2,..., 0}. y x - Figur.3. Sum superior pr f(x) = sen x El siguiente dibujo nos ilustr l sum inferior pr l función f(x) = sen x en el mismo intervlo [0, 0], con l mism prtición {0,, 2,..., 0}.

9 . DEFINICIÓN DE LA INTEGRAL DE RIEMANN. 3 y x - Figur.4. Sum inferior pr f(x) = sen x Observción.3. L hipótesis f cotd es esencil pr poder grntizr que tnto M i como m i están definidos. Tmbién es necesrio definirlos como supremo e ínfimo y no como máximos y mínimos, y que f no se supone continu. El siguiente resultdo es inmedito. Proposición.4. Si P es un prtición de [, b], entonces L(f, P ) U(f, P ). Lem.5. Se f un función cotd definid en el intervlo [, b]. Si P y Q son dos prticiones del intervlo [, b] tles que P Q entonces L(f, P ) L(f, Q) U(f, Q) U(f, P ). Demostrción. L desiguldd del medio es consecuenci de l Proposición.4. Probremos l desiguldd pr sums inferiores. Consideremos primero el cso especil en que Q contiene exctmente un punto más que P, es decir, existe k tl que P = {t 0, t,..., t k, t k,..., t n }, Q = {t 0, t,..., t k, u, t k,..., t n }, donde = t 0 < t <... < t k < u < t k <... < t n.

10 4. INTEGRALES. Sen m i = ínf{f(x) : t i x t i }, pr i =,..., n, m = ínf{f(x) : t k x u}, m = ínf{f(x) : u x t k }. Es clro que m k m y m k m. De donde m k (t k t k ) = m k (u t k + t k u) m (u t k ) + m (t k u). Por lo tnto n L(f, P ) = m i (t i t i ) i= k n = m i (t i t i ) + m k (t k t k ) + m i (t i t i ) i= i=k+ k n m i (t i t i ) + m (u t k ) + m (t k u) + m i (t i t i ) i= i=k+ = L(f, Q) Clrmente el cso generl se obtiene fácilmente prtir de éste. L prueb de l desiguldd pr sums superiores es nálog y qued como ejercicio. Teorem.6. Se f un función cotd definid en el intervlo [, b]. Si P y Q son prticiones del intervlo [, b], entonces L(f, P ) U(f, Q). Demostrción. Se P un prtición que contiene P y Q. Por el Lem.5 L(f, P ) L(f, P ) U(f, P ) U(f, Q). Definición.7. Un función cotd f definid en [, b] es integrble sobre [, b] si sup{l(f, P ) : P es un prtición de [, b]} = ínf{u(f, P ) : P es un prtición de [, b]}.

11 . DEFINICIÓN DE LA INTEGRAL DE RIEMANN. 5 Definición.8. En cso de que f se integrble el número común de l definición nterior recibe el nombre de integrl de f sobre [, b] y se denot por f. Observción.9. L integrl que se está desrrollndo en ests nots llev el nombre de integrl de Riemnn. Es usul hblr de función integrble Riemnn y de integrl de Riemnn l referirse los conceptos nteriores. L definición nterior no es l que originlmente fue dd por Riemnn. Est definición fue dd posteriormente por Drboux y es equivlente l definición originl de Riemnn. Pr más detlles ver l Sección 4. Ejemplo.0. L función f : [0, ] R dd por si x Q f(x) = 0 si x I no es integrble Riemnn porque sup{l(f, P ) : P es un prtición de [0, ]} = 0 ínf{u(f, P ) : P es un prtición de [0, ]} =. Ejemplo.. Se g : [0, 2] R l función definid por si x = g(x) = 0 en otro cso entonces g es integrble en [0, 2] y g = 0. Pr verificr est últim firmción bst notr lo siguiente: Si P es un prtición de [0, 2] entonces L(g, P ) = 0. Si 0 < ε < y considermos l prtición de [0, 2] dd por P = {0, ε/2, + ε/2, 2}, obtenemos que U(g, P ) = ε, de donde sigue que ínf{u(g, P ) : P es un prtición de [0, 2]} = 0.

12 6. INTEGRALES. Teorem.2. Se f un función cotd definid en el intervlo [, b]. Entonces f es integrble sobre [, b] si y sólo si pr cd ε > 0 existe un prtición P de [, b] tl que U(f, P ) L(f, P ) < ε. Demostrción. Supongmos pr cd ε > 0 existe un prtición P ε tl que U(f, P ε ) L(f, P ε ) < ε. Como se tiene que ínf{u(f, P ) : P es un prtición de [, b]} U(f, P ε ), sup{l(f, P ) : P es un prtición de [, b]} L(f, P ε ) De donde 0 ínf P {U(f, P )} sup{l(f, P )} U(f, P ε ) L(f, P ε ) < ε. P 0 ínf P {U(f, P )} sup{l(f, P )} < ε. P Como esto último es válido pr todo ε > 0, tiene que ser ínf P De donde sigue que f es integrble. {U(f, P )} = sup{l(f, P )}. P Luego Recíprocmente, supongmos que f es integrble. Entonces ínf P {U(f, P )} = sup{l(f, P )} = P Por lo tnto, ddo ε > 0 existen prticiones P y P del intervlo [, b] tles que U(f, P ) < U(f, P ) L(f, P ) < f + ε/2, f ε/2 < L(f, P ). f. f + ε 2 f + ε 2 = ε. Se P un prtición que contiene P y P. Entonces U(f, P ) U(f, P ) y L(f, P ) L(f, P ).

13 . DEFINICIÓN DE LA INTEGRAL DE RIEMANN. 7 De donde U(f, P ) L(f, P ) U(f, P ) L(f, P ) < ε. Teorem.3. Se f un función continu definid en el intervlo [, b]. Entonces f es integrble en [, b]. Demostrción. Como [, b] es compcto f es uniformemente continu en [, b]. Ddo ε > 0, se δ > 0 tl que si x y x están [, b] y x x < δ entonces f(x) f(x ) < ε 2(b ). Se P = {t 0, t,..., t n } un prtición del intervlo [, b] tl que t i t i < δ pr i =, 2,..., n. Pr i n, sen m i = ínf{f(x) : t i x t i }, M i = sup{f(x) : t i x t i }. Por l continuidd de f existen y i y z i [t i, t i ] tles que f(y i ) = m i y f(z i ) = M i. Por lo tnto De donde M i m i = f(z i ) f(y i ) U(f, P ) L(f, P ) = = ε 2(b ) n M i (t i t i ) i= pr i =, 2,..., n. n m i (t i t i ) i= n (M i m i )(t i t i ) i= ε 2(b ) = ε 2 < ε. n (t i t i ) i= Por lo tnto f es integrble. Observción.4. El recíproco del teorem nterior no es cierto, ver Ejemplo..

14 8. INTEGRALES. Definición.5. Si P = {t 0, t,..., t n } es un prtición del intervlo [, b], l norm de P se define por P = máx{t i t i : i =,..., n}. De l demostrción del Teorem.3 se obtiene fácilmente el siguiente resultdo. Teorem.6. Se f : [, b] R un función continu. Entonces pr cd ε > 0 existe δ > 0 tl que n f(c i )(t i t i ) i= f < ε pr tod prtición P = {t 0, t,..., t n } de [, b] tl que P < δ y pr culquier conjunto de puntos {c i } tles que c i [t i, t i ]. Observción.7. El resultdo nterior se suele expresr de l siguiente mner: Si f es continu en [, b] entonces c i [t i, t i ]. f = lím P 0 n f(c i )(t i t i ) i= Ls sums que precen en l fórmul nterior se conocen con el nombre de sums de Riemnn de f. L demostrción del siguiente teorem es bstnte sencill y quedrá como ejercicio. Teorem.8. Sen < c < b. Entonces f es integrble sobre [, b] si y sólo si f es integrble sobre [, c] y sobre [c, b]. En este cso f = c f + c f. Ejemplo.9. Vemos cómo clculr 0 x 2 dx. Se P n = {t 0, t,..., t n } l prtición de [0, b] dd por t i = i b n.

15 . DEFINICIÓN DE LA INTEGRAL DE RIEMANN. 9 L integrl será el límite cundo n tiende infinito de l siguiente sum n n n t 2 i (t i t i ) = i 2 b2 n (t 2 i t i ) = b3 i 2. n 3 Usndo que obtenemos i= n i= i= i= Tommos límite cundo n tiende infinito: 0 n i 2 = n(n + )(2n + ) 6 t 2 i (t i t i ) = b3 (n + )(2n + ). 6 n 2 x 2 dx = b 3 (n + )(2n + ) lím n + 6 n 2 i= = b3 3. L demostrción del siguiente teorem quedrá como ejercicio Teorem.20. (i) Si f y g son funciones integrbles sobre [, b] entonces f + g es integrble sobre [, b] y demás f + g = f + (ii) Si f es integrble sobre [, b] y λ R entonces λf es integrble sobre [, b] y λf = λ f. g. Teorem.2. Se f integrble sobre [, b], tl que m f(x) M pr todo x de [, b]. Entonces m(b ) f M(b ). Demostrción. Se P = {t o, t,..., t n } un prtición de [, b]. Entonces n n L(f, P ) = m i (t i t i ) m (t i t i ) = m(t n t 0 ) = m(b ). i= i=

16 0. INTEGRALES. Análogmente U(f, P ) M(b ). De l definición de integrl m(b ) L(f, P ) f U(f, P ) M(b ). Observción.22. Si f es integrble sobre [, b] entonces existe x pr todo x [, b]. En este cso si queremos indicr l vrible de integrción debemos escoger un letr diferente de x. Podrí ser t, luego x f = Podemos definir F : [, b] R dd por F (x) = f x f(t)dt. Teorem.23. Si f es integrble sobre [, b] y F está definid por F (x) = entonces F es continu en [, b]. Demostrción. Por ser f integrble tenemos que f es cotd. Es decir existe M > 0 tl que f(x) M pr todo x de [, b]. Se c [, b], vmos ver que f es continu en c. Se h > 0, entonces F (c + h) F (c) = Como M f(x) M se tiene que Mh De donde F (c + h) F (c) = c+h x x f. f f c f = c c+h c c+h c f Mh. c+h f. f Mh si h > 0.

17 2. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO. Con un rgumento nálogo pr h < 0 se prueb que F (c + h) F (c) M h pr todo h. De esto último sigue inmeditmente l continuidd de f en c. 2. Teorem fundmentl del cálculo. Teorem.24. Se f integrble sobre [, b] y definmos F sobre [, b] por F (x) = Se c (, b). Si f es continu en c, entonces F es derivble en c y x f. F (c) = f(c). Además, si f es continu en entonces F +() = f() y si f es continu en b entonces F (b) = f(b). Demostrción. Supongmos c (, b) (el cso en que c = ó c = b quedrá como ejercicio). Es clro que F (c + h) F (c) h f(c) = h = h = h = h ( c+h c+h c c+h c c+h c f c ) f f(c) f(t)dt h hf(c) f(t)dt h c+h (f(t) f(c))dt. c f(c)dt Se ε > 0 entonces existe δ > 0 tl que si t [, b] y t c < δ implic f(t) f(c) < ε. Se h tl que h < δ. Note que si h > 0 y t [c, c + h] entonces t c < h < δ. Por otro ldo si h < 0 y t [c h, c] entonces t c < h < δ.

18 2. INTEGRALES. Si h > 0 F (c + h) F (c) h f(c) = Análogmente pr h < 0. Por lo tnto F (c + h) F (c) lím h 0 h c+h (f(t) f(c))dt h c c+h h f(t) f(c) dt c h ε h = ε. = f(c). Corolrio.25. Si f es continu en [, b] y f = g pr lgun función g entonces f = g(b) g(). Teorem.26 (Teorem fundmentl del cálculo). Si f es integrble sobre [, b] y f = g pr lgun función g, entonces f = g(b) g(). Demostrción. Se P = {t 0, t,..., t n } un prtición culquier del intervlo [, b]. Por el teorem del vlor medio, pr cd i, i n existe un punto x i en el intervlo (t i, t i ) tl que g(t i ) g(t i ) = g (x i )(t i t i ) = f(x i )(t i t i ). Sen m i = ínf{f(x) : t i x t i } M i = sup{f(x) : t i x t i } entonces o, lo que es lo mismo m i (t i t i ) f(x i )(t i t i ) M i (t i t i ) m i (t i t i ) g(t i ) g(t i ) M i (t i t i ). Sumndo ests desigulddes pr i =,..., n obtenemos n n n L(f, P ) = m i (t i t i ) g(t i ) g(t i ) M i (t i t i ) = U(f, P ). i= i= i=

19 4. EQUIVALENCIA ENTRE LA INTEGRAL DE RIEMANN Y LA DE DARBOUX. 3 Como tenemos que n g(t i ) g(t i ) = g(b) g() i= L(f, P ) g(b) g() U(f, P ). Como f es integrble entonces Por lo tnto f = sup{l(f, P )} g(b) g() ínf {U(f, P )} = P P f = g(b) g(). f. 3. Integrción por prtes. Teorem.27. Sen f y g funciones con derivd continu en [, b]. Entonces f(x)g (x)dx = f(b)g(b) f()g() f (x)g(x)dx. Este teorem es consecuenci inmedit de l fórmul pr l derivd del producto, su demostrción quedrá como ejercicio. 4. Lectur dicionl: Equivlenci entre l integrl de Riemnn y l de Drboux. L ide intuitiv de clculr el áre de un figur dividiéndol en pequeños rectángulos se remont l ntigüedd, preciendo en ls culturs grieg y egipci. L formlizción del concepto de integrl que h sido desrrolld en ests nots usulmente es llmd integrl de Riemnn. Sin embrgo otros mtemáticos tmbién relizron contribuciones muy significtivs en lo que se refiere est formlizción, destcándose los siguientes mtemáticos: Georg Friedrich Bernhrd Riemnn ( ) Jen Gston Drboux (842-97) L definición que originlmente dió Riemnn fue l siguiente.

20 4. INTEGRALES. Definición.28 (Integrble según Riemnn). Se [, b] R un intervlo cerrdo y cotdo y se f : [, b] R un función. Diremos que f es integrble Riemnn en [, b] si existe A R que stisfce lo siguiente: pr cd ε > 0 existe δ > 0 tl que si P = {t 0, t,..., t n } es un prtición de [, b], {c,..., c n } [, b] son tles que c i [t i, t i ] y P < δ, entonces n f(c i )(t i t i ) A < ε. i= Ejercicio.29. Demostrr que si f es integrble Riemnn en [, b], entonces el número A que prece en l definción nterior es único. Al número A que prece en l Definción.28 se le llm integrl de Riemnn de f sobre [, b]. A ls sums que precen en est definición se le llmn sums de Riemnn. Ejercicio.30. Demostrr que si f es integrble Riemnn en [, b] entonces f es cotd en [, b]. Indicción. Considerndo ε = en l definición obtenemos que existe δ > 0 tl que si P = {t 0, t,..., t n } es un prtición de [, b], {c,..., c n } [, b] son tles que c i [t i, t i ] y P < δ, entonces n f(c i )(t i t i ) A <. i= Fijemos un prtición P o = {x 0, x,..., x N } de [, b], de norm menor que δ. Se x [, b]; por simplicidd supongmos x [, x ]. Entonces tenemos que y N f(x i )(x i x i ) A <. i= f(x)(x ) + n f(x i )(x i x i ) A <. i=2 Por lo tnto

21 4. EQUIVALENCIA ENTRE LA INTEGRAL DE RIEMANN Y LA DE DARBOUX. 5 (f(x) f(x ))(x ) = = f(x)(x ) + 2. ( n N f(x i )(x i x i ) A f(x i )(x i x i ) A) i=2 i= De est últim desiguldd cotmos f(x) en términos de f(x ) y x. De igul mner podemos proceder en el resto de los intervlos de l prtición. Pr fcilitr l lectur precismos un poco l Definición.7. Definición.3 (Integrble según Drboux). Un función f definid en [, b] es integrble Drboux sobre [, b] si f es cotd y sup{l(f, P ) : P es un prtición de [, b]} = ínf{u(f, P ) : P es un prtición de [, b]}. A este vlor común se le llm integrl de Drboux de f sobre [, b]. Ls sums superior e inferior de un función con respecto un prtición tmbién son conocids con el nombre de sums de Drboux. Se tiene que l integrl de Riemnn y l integrl de Drboux son equivlentes, más precismente se cumple el siguiente resultdo. Teorem.32. Se [, b] un intervlo cerrdo y cotdo y se f : [, b] R un función. Entonces f es integrble Riemnn si y sólo si f es integrble Drboux y mbs integrles coinciden. Dmos un serie de indicciones pr l demostrción. Pr demostrr que si f es integrble Riemnn entonces f es integrble Drboux y mbs integrles coinciden utilizr el Teorem.2. Pr demostrr que si f es integrble Drboux entonces f es integrble Riemnn y mbs integrles coinciden proceder de l siguiente mner: Supongmos f integrble Drboux. Demostrr primero el siguiente resultdo.

22 6. INTEGRALES. Proposición.33. Se M tl que f(x) M pr todo x [, b] y se P un prtición de [, b]. () Demostrr que si c [, b] entonces U(f, P ) U(f, P {c}) 2M P y L(f, P {c}) L(f, P ) 2M P (b) Demostrr que si Q es un prtición que contiene lo sumo n puntos más que P entonces U(f, P ) U(f, Q) 2nM P y L(f, Q) L(f, P ) 2nM P Se ε > 0, por el Teorem.2 existe un prtición P o tl que U(f, P o ) L(f, P o ) < ε 2. Se n el número de elementos de P o y se δ = ε 8nM. Por l Proposición nterior, si P es un prtición de [, b] tl que P < δ entonces y U(f, P ) U(f, P P o ) ε 4 L(f, P P o ) L(f, P ) ε 4. Utilizr esto pr demostrr el siguiente resultdo. Lem.34. Ddo ε > 0 existe δ > 0 tl que si P < δ, entonces U(f, P ) L(f, P ) < ε. Y de este último resultdo concluye l prueb. Ejercicio.35. Demostrr que l conclusión del Teorem.6 se cumple suponiendo solmente que f es integrble. Por lo tnto si f es integrble se cumple que n f = f(c i )(t i t i ), lím P 0 i=

23 4. EQUIVALENCIA ENTRE LA INTEGRAL DE RIEMANN Y LA DE DARBOUX. 7 donde P = {t 0, t,..., t n } se supone que es un prtición de [, b] y c i [t i, t i ]. Observción.36. Posteriormente est integrl se hn desrrolldo otros tipos de integrles entre ls que destcn l de Lebesgue y l de Denjoy.

24 8. INTEGRALES. Ejercicios. Integrles. () Sen < b < c < d y f un función integrble sobre el intervlo [, d]. Demostrr que f es integrble sobre [b, c]. (2) Demostrr que si f es integrble sobre [, b] y f(x) 0 pr todo x de [, b] entonces f 0. (3) Demostrr que si f y g son integrbles sobre [, b] y f(x) g(x) pr todo x de [, b] entonces f (4) Se f un función definid en el intervlo [, b] que es cotd y que es continu en todo punto de [, b], con l excepción de x 0 (, b). Demostrr que f es integrble sobre [, b]. Puede dr un generlizción del resultdo nterior? g. (5) Supóngse que f es integrble sobre [, b]. Demostrr que existe x en [, b] tl que x f = x (6) Se f un función continu en el intervlo [, b] tl que f(x) 0 pr todo x [, b]. Demostrr que si f = 0 entonces f(x) = 0 pr todo x de [, b]. f. (7) Supóngse que f es continu sobre [, b] y que fg = 0 pr tod función g continu en [, b]. Demostrr que f(x) = 0 pr todo x de [, b]. (8) Se f un función integrble en [, b] tl que m f(x) M pr todo x de [, b]. Demostrr que existe que existe un número rel µ [m, M] tl que f = (b )µ.

25 EJERCICIOS. INTEGRALES. 9 Interpretr geométricmente. (9) (Primer teorem del vlor medio pr integrles) Demostrr que si f es continu sobre [, b] entonces existe x [, b] tl que Interpretr geométricmente. f = (b )f(x). (0) (Segundo teorem del vlor medio pr integrles) Supóngse que f es continu sobre [, b] y que g es integrble y no negtiv sobre [, b]. Demostrr que existe ξ [, b] tl que fg = f(ξ) Dr un ejemplo que muestre que l hipótesis sobre g es esencil. g. () Demostrr que si f es un función integrble sobre el intervlo [, b] entonces f es integrble sobre [, b] y f f. (2) (Desiguldd de Cuchy-Schwrtz) Demostrr que si f y g son funciones integrbles sobre el intervlo [, b], entonces ( 2 ( f(x)g(x)dx) ) ( ) (f(x)) 2 dx (g(x)) 2 dx. (3) Supóngse que f es continu en [0, + ) y que lím x + f(x) =. Demostrr que lím x + x x 0 f(t)dt =. (4) Hllr l derivd de cd un de ls siguientes funciones () F (x) = (b) F (x) = x 5 cos 3 tdt x 6 cos t dt cos t 2 + sen 2 t dt

26 20. INTEGRALES. (c) F (x) = x 3 x 2 e u2 du ( e x ( u (d) F (x) = cos cos ) ) cos 3 t dt du (5) Pr cd un de ls siguientes funciones f, se F (x) = puntos x se cumple F (x) = f(x)? 0 si x ; () f(x) = si x >. x 0 f(t) dt. En cuáles (b) 0 si x < ; f(x) = si x. (c) 0 si x 0; f(x) = x si x > 0. (6) Sen h un función continu, f y g funciones derivbles y F l función definid por F (x) = g(x) f(x) h(t) dt. Hllr un expresión pr F (x) en términos de f, f, g, g y h. (7) Hllr ls siguientes primitivs () (b) (c) (d) x 4 + dx rc sen x dx x + sen x dx rctn x dx tn (e) x dx

27 EJERCICIOS. INTEGRALES. 2 (8) (*) Se f : [0, ] R definid por 0 si x es irrcionl; f(x) = 0 si x = 0 si x = p como frcción irreducible. q q Demostrr que f es integrble sobre [0, ] y que 0 f = 0. Indicción: Como tods ls sums inferiores pr est función son igules 0, bst demostrr que pr cd ε > 0 existe un prtición P de [0, ] tl que U(f, P ) < ε. Ddo ε > 0, se n tl que /n < ε/2 y sen {x 0, x,..., x m } todos los puntos rcionles de [0, ] de l form p/q con q < n. Escoger un prtición P = {t o,..., t k } tl que l sum de ls longitudes de los intervlos [t i,ti ] que contiene lgún x j se menor que ε/2. Demostrr que U(f, P ) < ε. (9) (*) Hllr dos funciones f y g que sen integrbles, pero cuy composición g f no lo se. Indicción: El ejercicio nterior puede ser de utilidd.

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29 CAPíTULO 2 Ls funciones exponencil y logrítmic. Este cpítulo, escrito mner de ejercicios, tiene por propósito mostrr como se definen l función logrítmic y l función exponencil. Definición 2.. Pr x R y x > 0, se define Ejercicio 2.2. log x = x t dt. () Trzr el gráfico proximdo de l función log. (2) Demostrr que si x, y > 0 entonces log(xy) = log x + log y. (Indicción: Derivr l función f(x) = log(xy)). (3) Demostrr que si n es un entero positivo y x > 0 entonces log x n = n log x. (4) Demostrr que si x, y > 0 entonces ( ) x log = log x log y. y (5) Demostrr que l imgen de l función log es todo R (Indicción: Es clro que log es un función creciente, demás log 2 > 0 y log 2 n = n log 2). Definición 2.3. Si x R, se define exp x = log x. Observción 2.4. Notr que l función exp (l función exponencil) es l invers, como función, de log. Como l imgen de log es R el dominio de exp es R. Como el dominio de log es (0, + ) se tiene que exp x > 0 pr todo x R. 23

30 24 2. LAS FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA. Ejercicio 2.5. () Demostrr que pr todo x R. (2) Demostrr que si x, y R, entonces exp x = exp x exp(x + y) = (exp x)(exp y). (3) Se = exp. Demostrr que 2 < < 4. (4) Utilizr el teorem de Tylor pr demostrr que exp x = + n=0 x n n!. (Deberá utilizr el ejercicio nterior pr demostrr que el resto tiende 0) (5) Demostrr que e = exp. Not: no olvidr que e y fue definido como Definición 2.6. Si x R, se define e = + k=0 k!. e x = exp x. Si > 0 y x R, se define x = e x log. Ejercicio 2.7. () Demostrr que si > 0 entonces ( b ) c = bc pr todo b, c R. (2) Demostrr que si > 0 entonces = x+y = x y pr todo x, y R. (3) Demostrr que l definición de x es consistente con l que y tenímos pr el cso en que x es rcionl.

31 2. LAS FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA. 25 (4) Trzr el gráfico proximdo de x, considerndo los csos 0 < < y >. (5) Demostrr que si f(x) = x, entonces f (x) = x log. (6) Definir l función log (logritmo en bse ) y hllr su derivd.

32 26 2. LAS FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARI TMICA.

33 CAPíTULO 3 Ls funciones trigonométrics. Este cpítulo, escrito mner de ejercicios, tiene por propósito mostrr como se definen ls funciones trigonométrics. Definición 3.. π = 2 x2 dx. Por qué π es el áre de un círculo de rdio? Definición 3.2. Pr x, se Ejercicio 3.3. A(x) = x x x t2 dt. () Interpretr geométricmente el significdo de A(x). Indicción: Considerr los siguientes gráficos - x - x Figur 3.. El áre de l región sombred es A(x) (2) Demostrr que A(x) es decreciente, A( ) = π 2 y A() = 0 Definición 3.4. Si 0 x π, entonces cos x es el único número de [, ] tl que A(cos x) = x 2, Por qué es nturl definir cos de est mner? 27

34 28 3. LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. Definición 3.5. Si 0 x π, entonces sen x se define por sen x = (cos x) 2. Ejercicio 3.6. Demostrr que ls funciones sen y cos son derivbles en (0, π) y que pr 0 < x < π, se tiene que cos x = sen x, sen x = cos x. Indicción: Notr que si B = 2A entonces cos es l invers de B. Usr l fórmul pr l derivd de l función invers. Definición 3.7. Pr π x 2π, se define sen x = sen(2π x), cos x = cos(2π x). Notr que con l definición nterior tenemos definids ls funciones sen y cos en el intervlo [0, 2π]. Pr definirls en tod l rect hcemos lo siguiente. Definición 3.8. Si x = 2kπ + x pr lgún entero k y lgún x [0, 2π], se define sen x = sen x, cos x = cos x. Ejercicio 3.9. () Trzr los gráficos de ls funciones sen y cos. (2) Definir tngente, secnte, etc y trzr los gráficos. (3) Definir ls funciones trigonométrics inverss. Ejercicio 3.0. () Demostrr que sen 2 x + cos 2 x = pr todo x R. (2) Demostrr que ls funciones sen y cos son derivbles en R y cos x = sen x, sen x = cos x. (3) Hllr ls derivds de ls funciones tn, sec, etc. y de ls funciones trigonométrics inverss.

35 3. LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. 29 Ejercicio 3.. Demostrr que si f : R R es un función dos veces derivble tl que f + f = 0, f(0) = 0, f (0) = 0. Entonces f = 0. Indicción: Hllr l derivd de l función (f ) 2 + f 2. Ejercicio 3.2. Demostrr que si f : R R es un función dos veces derivble tl que existen números reles y b tles que f + f = 0, f(0) =, f (0) = b. Entonces f(x) = b sen x + cos x pr todo x R. Indicción: Considerr g(x) = f(x) b sen x cos x y utilizr el ejercicio nterior. Ejercicio 3.3. Demostrr que si x e y son números reles, entonces sen(x + y) = sen x cos y + sen y cos x. Indicción: Utilizr el ejercicio nterior. Ejercicio 3.4.

36 30 3. LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. Demostrr ls siguientes identiddes: sen(x ± y) = sen x cos y ± sen y cos x cos(x ± y) = cos x cos y sen x sen y sen 2 x = cos(2x) 2 cos 2 x = + cos(2x) 2 sen x cos y = (sen(x y) + sen(x + y)) 2 sen x sen y = (cos(x y) cos(x + y)) 2 cos x cos y = (cos(x y) + cos(x + y)) 2

37 CAPíTULO 4 Series numérics.. Definiciones y resultdos básicos. Definición 4.. Un serie es un pr ({ n }, {s n }) donde { n } es un sucesión de números reles y s n = + + n = L siguiente terminologí es usul: () A n se le llm término generl de l serie. (2) A l sucesión {s n } se le llm sucesión de sums prciles de l serie. n k= k L siguiente notción es usul: En vez de referirse ls series como un pr es usul hblr de l serie + Definición 4.2. Se dice que l serie + n converge cundo l sucesión de sums prciles{s n } es convergente, en otro cso se dice que diverge. Se s R, si l sucesión {s n } converge s se suele escribir + n. n = s. En otrs plbrs, l expresión nterior quiere decir: lím n + n k = lím s n = s. n + k= En esto último debe quedr clro que s no se obtiene simplemente por dición, s es el límite de un sucesión de sums. 3

38 32 4. SERIES NUMÉRICAS. Teorem 4.3 (Criterio de Cuchy). L serie + n converge si y sólo si pr todo ε > 0 existe un número nturl N tl que m n < ε si m k N. n=k Demostrción. L serie + n converge si y sólo si l sucesión de sums prciles {s n } es de Cuchy. Además, si m k entonces s m s k = m k n n = De estos dos hechos es inmedito el resultdo. Ejemplo 4.4. Consideremos l serie rmónic: s 2n s n = = + n m n. n=k ( n + n ) 2n n n 2n + + 2n = n 2n = 2. Del criterio de Cuchy podemos concluir que l serie diverge. + n ( ) n Teorem 4.5. Si l serie + n converge entonces lím n + n = 0. Demostrción. Bst tomr k = m y usr un sol de ls implicciones del criterio de Cuchy. Observción 4.6. El recíproco del Teorem 4.5 no es cierto: l serie rmónic es divergente, sin embrgo su término generl tiende 0 (ver Ejemplo 4.4). Ejemplo 4.7. El Teorem 4.5 puede ser útil pr mostrr que un serie es divergente, tl como lo ilustrn los siguiente ejemplos.

39 . DEFINICIONES Y RESULTADOS BÁSICOS. 33 (i) Como lím n + ( ) n no existe entonces diverge. (ii) Como lím n + 2 n = entonces diverge. + ( ) n + 2 n Proposición 4.8. Se + n un serie convergente. Entonces si se tiene que c k = + n=k+ lím c k = 0. k + (L sucesión {c k } es llmd l col de l serie). Demostrción. Por supuesto que l expresión pr c k quiere decir: m c k = lím n. n m + n=k+ Supongmos que l serie + n converge s. Entonces m k + k c k = n n = n n = s s k. lím m + Por lo tnto ddo ε > 0 existe N N tl que si k N entonces c k 0 = s s k < ε. De donde lím k + c k = 0. Teorem 4.9. Si l serie + n converge entonces l serie + n converge. Demostrción. Supongmos que l serie + n converge. Se ε > 0, por l desiguldd tringulr y por el Teorem 4.3 existe N N tl que si m k N entonces m m n n < ε. n=k n=k Usndo el Teorem 4.3 se sigue que l serie + n converge.

40 34 4. SERIES NUMÉRICAS. Por este último Teorem ls series de términos no negtivos son de prticulr interés. Por ello un de ls siguientes secciones está dedicd l estudio de este tipo de series... L serie geométric. Comenzremos est sección con l prdoj del corredor: Un corredor no puede lcnzr nunc l met porque siempre h de recorrer l mitd de un distnci ntes de recorrer l distnci totl. L firmción de Zenón de que un número ilimitdo de cntiddes positivs no puede tener un sum finit, fue contrdich dos mil ños más trde con l creción de ls series infinits. L serie + r n se conoce con el nombre de serie geométric (de rzón r). Si r entonces lím n + r n 0. Luego + n=0 rn diverge si r. Vemos que ocurre en el cso r <. Consideremos ls sums prciles n=0 s n = + r + + r n. Entonces Por lo tnto rs n = r + r r n+. de donde ( r)s n = s n rs n = ( + r + + r n ) (r + r r n+ ) = r n+ Como r <, lím n + r n = 0. Luego s n = rn+ r lím s r n+ n = lím n + n + r = r. En conclusión, si r < entonces l serie + n=0 rn converge + n=0 r n = r., es decir, r

41 2. SERIES DE TÉRMINOS NO NEGATIVOS. 35 En otro cso l serie diverge. 2. Series de términos no negtivos. Si { n } es un sucesión de términos no negtivos es clro que ls sums prciles de l serie + n formn un sucesión monóton creciente, por lo tnto el siguiente resultdo es inmedito. Teorem 4.0. Un serie de términos no negtivos converge si y sólo si l sucesión de sus sums prciles es cotd. Demostrción. Se {s n } l sucesión de sums prciles de l serie + n. Si l serie + n converge entonces {s n } converge y por lo tnto {s n } es cotd. Recíprocmente, hor supongmos que {s n } es cotd. Como n 0 tenemos que {s n } es creciente. Tenemos pues que {s n } es un sucesión creciente y cotd, por lo tnto {s n } es convergente. De donde l serie + n converge. El siguiente resultdo es un corolrio inmedito del Teorem nterior. Teorem 4. (criterio de comprción). Sen { n } y {b n } sucesiones no negtivs tles que b n n pr todo n. Si + n converge entonces + b n tmbién converge. Demostrción. Sen s n = + + n y t n = b + + b n. Si l serie + n converge entonces {s n } es cotd. Como 0 b k k pr todo k entonces t n s n pr todo n. De donde {t n } es cotd. Luego l serie + b n converge. Teorem 4.2 (criterio de l ríz). Se { n } un sucesión no negtiv y se α = lím sup n + n n. Entonces (i) Si α < l serie + n converge. (ii) Si α > l serie + n diverge. (iii) Si α = no hy informción (puede ser que converj o puede ser que diverj). Demostrción. Sbemos que α = lím sup n n = ínf k sup n k n n

42 36 4. SERIES NUMÉRICAS. (i) Si α <. Se β (α, ) entonces existe k tl que sup n k n n < β luego n n < β si n k. Por lo tnto n < β n pr n k. Como + βn es un serie geomértric de rzón β < entonces + βn converge. Por el criterio de comprción tenemos que + n converge. (ii) Si α > entonces existe un sucesión creciente de números nturles {n k } tl que n k nk α. De donde sigue que n > pr infinitos vlores de n y por lo tnto lím n + n 0. Usndo el Teorem 4.5 obtenemos que l serie + n diverge. (iii) Bst considerr ls series + + n y n. 2 Teorem 4.3 (criterio del cociente). Se { n } un sucesión de términos positivos. (i) Si lím sup n+ n < entonces l serie + n converge. (ii) Si existe n 0 N tl que n+ pr todo n n 0 entonces l serie + n diverge. n (iii) Si lím inf n+ n > entonces l serie + n diverge. (iv) Si lím inf n+ n lím sup n+ n Demostrción. (i) Se el criterio no d informción. α = lím sup n+ n <. Se β (α, ) entonces existe N tl que n+ sup n N n < β

43 2. SERIES DE TÉRMINOS NO NEGATIVOS. 37 luego n+ < β si n N. n Note que N es un número fijo. Usndo l desiguldd nterior obtenemos N+ < β N N+2 < β N+ < β 2 N N+3 < β N+2 < β 3 N N+k < β k N pr todo k. Además, como + k= βk es un serie geomértric de rzón β < entonces + k= βk converge. Por el criterio de comprción tenemos que + k= N+k converge. Pero + N + N + n = n + n = n + N+k. n=n+ Por lo tnto + n converge. (ii) En este cso n+ n0 pr todo n n 0. De quí es fácil ver que n no tiende cero. Usndo el Teorem 4.5 obtenemos que l serie + n diverge. (iii) Este cso se reduce fácilmente l nterior. En efecto se k= < α = lím inf n+ n entonces existe n 0 N tl que = sup ínf k n k n+ n luego < ínf n n 0 n+ n < n+ n si n n 0. Usndo (ii) se obtiene que l serie + n diverge. (iv) Bst considerr ls series + + n y n. 2 Corolrio 4.4 (criterio simplificdo del cociente ). Se { n } un sucesión de términos positivos tl que existe α = lím n + n+ n (i) Si α < entonces l serie + n converge.

44 38 4. SERIES NUMÉRICAS. (ii) Si α > entonces l serie + n diverge. (iii) Si α = el criterio no d informción. El siguiente Teorem dice que el criterio de l ríz es más fino que el criterio del cociente, es decir, si podemos concluir convergenci prtir del criterio del cociente tmbién lo podemos hcer prtir del criterio de l ríz. Se Teorem 4.5. Si {c n } es un sucesión de números positivos entonces Demostrción. lím inf c n+ c n lím inf n c n lím sup n c n lím sup c n+ c n. L segund desiguldd es inmedit. Se probrá l últim desiguldd. L primer es nálog y se dejrá como ejercicio. α = lím sup c n+ c n. Si α = + el resultdo es inmedito. Supongmos α finito. Se β > α. Entonces existe un número nturl N tl que Luego, pr cd nturl k c n+ c n β si n N. c N+k+ βc N+k. Combinndo ls desigulddes nteriores se obtiene c N+k β k c N o, lo que es lo mismo tomndo ríz n-ésim de donde c n c N β N β n si n N n cn n c N β N β lím sup n c n β. Como β > α es rbitrrio tenemos lím sup n c n α.

45 3. CONVERGENCIA ABSOLUTA Y CONVERGENCIA CONDICIONAL. 39 Teorem 4.6 (criterio de l integrl). Supóngse que f es un función positiv y monóton decreciente definid en [, + ) y que f(n) = n pr todo n nturl. Entonces l serie + converge si y sólo si existe el límite n A lím A + f(x) dx. L demostrción de este último resultdo quedrá como ejercicio (Ayud: elborr un gráfico y comprr ls sums prciles de l serie con N f(x) dx). 3. Convergenci bsolut y convergenci condicionl. Definición 4.7. Se dice que l serie + n converge bsolutmente si l serie + n converge. Un serie que converge, pero que no converge bsolutmente se llm condicionlmente convergente. Teorem 4.8. Tod serie bsolutmente convergente es convergente. Un serie es bsolutmente convergente si y sólo si l serie formd con sus términos positivos y l serie formd con sus términos negtivos son convergentes. Demostrción. L primer prte y fue demostrd (ver Teorem 4.9). Se + n un serie. Consideremos + n si n 0 n = 0 si n < 0 0 si n 0 n = n si n < 0 de modo que + + n es l serie formd con los términos positivos y + n es l serie formd con los términos negtivos. Si ests dos serie convergen entonces como n = + n n se tendrá que + n converge bsolutmente. Supongmos que + n converge.

46 40 4. SERIES NUMÉRICAS. Entonces como 0 + n n 0 n n se tendrá que ls sums prciles de ls series de términos no negtivos + + n y + n son cotds. Por lo tnto ests dos últims series convergen, de donde sigue que tmbién l serie + n converge. Teorem 4.9 (Fórmul de sumción por prtes). Sen { n } y {b n } dos sucesiones. Se A n = n k=0 k si n 0, A = 0. Entonces, si 0 p q se tiene que q q n b n = A n (b n b n+ ) + A q b q A p b p. n=p n=p Demostrción. Clrmente q q n b n = (A n A n )b n = y demás Luego n=p n=p q n=p q A n b n n=p q q A n b n = A q b q + A n b n, n=p n=p q n=p q A n b n+ = A n b n+ + A p b p. n=p A n b n+ q q q n b n = A q b q + A n b n A n b n+ A p b p, n=p de donde se obtiene el resultdo. n=p n=p Teorem 4.20 (Criterio de Dirichlet). Sen { n } y {b n } sucesiones tles que () Ls sums prciles A n de l serie + n formn un sucesión cotd. (b) b b 2 0. (c) lím n + b n = 0. Entonces l serie + nb n converge.

47 3. CONVERGENCIA ABSOLUTA Y CONVERGENCIA CONDICIONAL. 4 Demostrción. Se M > 0 tl que A n M pr todo n. Ddo ε > 0 se N un entero positivo tl que b N = b N < ε. 2M Sen p y q tles que N p q. Por l fórmul de sumción por prtes q q n b n = A n (b n b n+ ) + A q b q A p b p n=p n=p q A n b n b n+ + A q b q + A p b p n=p ( q M ) (b n b n+ ) + b q + b p n=p = M((b p b q ) + b q + b p ) = 2Mb p 2Mb N < ε Usndo el criterio de Cuchy obtenemos que l serie + nb n converge. Como corolrio del Teorem nterior se obtiene Teorem 4.2 (Criterio de Leibnitz). Se {c n } un sucesión tl que () c 0 c 0. (b) lím n + c n = 0. Entonces l serie + ( )n c n converge. Demostrción. Consideremos ls sucesiones n = ( ) n y b n = c n. Notemos que si A n = n k= k entonces A n. Aplicndo el criterio de Dirichlet se obtiene que l serie + ( )n c n converge. Definición Un reordención de l serie + n es un serie de l form + b n donde b n = f(n) y f : N N es un biyección. Ejemplo Se 2k si n = 2k + n = 2k + si n = 2k Tomemos b n = n entonces + n es un reordención de l serie + n. L demostrción de los siguientes teorems se dejrá como ejercicio.

48 42 4. SERIES NUMÉRICAS. Teorem Si l serie + n converge bsolutmente entonces tod reordención + b n de + n tmbién converge bsolutmente y + n = Teorem Si l serie + n converge condicionlmente entonces pr todo número rel α existe un reordención + b n de + n tl que + + b n = α. b n. Teorem Supong que 4. Producto de series. () + n=0 n converge bsolutmente. (b) + n=0 n = A. (c) + b n = B. (d) c n = n k=0 kb n k pr n = 0,, 2,.... Entonces Es decir, + ( + ) ( + ) n b n = n=0 n=0 c n = AB. + n=0 ( n ) k b n k. k=0 Demostrción. Consideremos ls sums prciles n A n = k, B n = Entonces k=0 n b k, C n = k=0 n c k. k=0 C n = c c n = 0 b 0 + ( 0 b + b 0 ) + + ( 0 b n + b n + + n b 0 ) = 0 (b b n ) + (b b n ) + + n b 0 = 0 B n + B n + + n B 0

49 4. PRODUCTO DE SERIES. 43 Se entonces β n = B n B Se C n = 0 (B + β n ) + (B + β n ) + + n (B + β 0 ) = A n B + 0 β n + β n + + n β 0. γ n = 0 β n + β n + + n β 0. Como A n B AB, pr probr que C n AB, es suficiente probr que lím γ n = 0. n + Como + n=0 n converge bsolutmente, existe un número rel α tl que α = + n=0 n. Por (c) β n 0, por lo tnto ddo ε > 0 existe N tl que β n < ε si n N. Se n N entonces γ n = n β β n β 0 n + + β N n N + β N+ n N + + β n 0 β 0 n + + β N n N + ε ( n N ) β 0 n + + β N n N + εα. Como l serie + n=0 n converge, el término generl tiende cero. Por lo tnto, si n + obtenemos lím sup γ n εα. n + Como ε es rbitrrio, esto último termin l demostrción.

50 44 4. SERIES NUMÉRICAS. Ejercicios. Series Numérics. () Clsificr cd un de ls siguientes series como convergente o divergente y, en cso de que correspond, bsolutmente convergente o condicionlmente convergente. sen n () n 3 (c) ( ) n log n n n 5 (e) n! (g) (log n) 5 n=2 (i) n log n n=2 (k) n 2 (log n) n=2 2 n (m) n! ( ) (o) sen n (q) n + n (s) (u) (w) (y) ( ) n ( n + n) n3 + 5 n ( sen 2 n ) n2 + 5 n (2) Pr cules vlores de converge l serie log n (b) n (d) 3 n2 + n (f) log n n=2 (h) (log n) n n=2 (j) n (log n) 2 n=2 (l) log(log n) n=3 3 n (n) n! ( π (p) cos n) ( ) n 2 + (r) log (t) (v) (x) (z) n 2 n(n + )(n + 2) n 4 n 9 n 5 + ( ) tn n n + 4 n n + n n! n n.

51 EJERCICIOS. SERIES NUMÉRICAS. 45 (3) Demostrr que si ls series + 2 n y + b2 n convergen, entonces l serie + tmbién converge. n b n (4) Demostrr que si l serie + 2 n converge entonces l serie converge. + n n (5) El siguiente resultdo es el Criterio de condensción de Cuchy. Supóngse que { n } es un sucesión decreciente y que lím n + n = 0. Demostrr que si + n converge, entonces + 2 n 2 n converge. Notr que de este criterio se puede concluir que l serie rmónic diverge. (6) Demostrr el siguiente Teorem: Si l serie + n converge bsolutmente entonces tod reordención + b n de + n tmbién converge bsolutmente y + n = + (7) Demostrr el siguiente Teorem: Si l serie + n converge condicionlmente entonces pr todo número rel α existe un reordención + b n de + n tl que + b n = α. (8) Sen { n } y {b n } sucesiones de términos positivos y supongmos que existe b n. n α = lím. n b n Consideremos ls series n y b n.

52 46 4. SERIES NUMÉRICAS. () Demostrr que si α 0 y finito se tiene que mbs series convergen o mbs series divergen. (b) Demostrr que si α = 0 y l serie b n converge entonces n converge. (c) Demostrr que si α 0 y l serie b n diverge entonces n diverge (9) Hllr l sum de l serie n (n + ) +... (0) Determinr pr cules vlores de p y q es convergente l serie n p log q n. n=2 () (**) Estudir el crácter de l serie sen(n) n. (2) (*) Utilizr el criterio de l integrl pr demostrr que l integrl converge. e x x x dx (3) (*) Utilizr el criterio de l integrl pr demostrr que l serie (log n) log n converge. n=2

53 EJERCICIOS. SERIES NUMÉRICAS. 47

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55 CAPíTULO 5 Sucesiones y series de funciones.. Motivción y lgunos ejemplos. El teorem de Tylor dice que, bjo cierts condiciones, f(x) = n k=0 f (k) () k! (x ) k + f (n+) (c)(x ) n+ (n + )! donde el punto c está entre y x. Si ocurre que entonces se tendrá l iguldd f (n+) (c)(x ) n+ lím n (n + )! = 0 f(x) = k=0 f (k) () k! (x ) k. Los siguientes ejemplos deben ser conocidos e x = + x + x2 2! + x3 3! + x4 4! +... sen x = x x3 3! + x5 5! x7 7! +... cos x = x2 2! + x4 4! x6 6! +... rctn x = x x3 3 + x5 5 x si x 7 En ls igulddes nteriores no se trt de series numérics, como ls y estudids. Se trt de series de l form donde cd f n es un función. f n (x) n=0 49

56 50 5. SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES. Notemos que si derivmos l serie de e x término término nos vuelve dr ell mism, si derivmos l de sen x término término nos d l de cos x y si derivmos término término l de cos x nos d l de sen x. Lo que vmos estudir en este cpítulo es cules propieddes importntes de ls funciones se preservn l psr l límite, por ejemplo, si ls funciones f n son diferencibles o integrbles, es lo mismo cierto pr l función límite f. Cuál es l relción entre f n y f, o entre l integrl de f y l de f n? El siguiente ejemplo muestr que el límite de un sucesión de funciones continus no necesrimente result ser un función continu. Ejemplo 5.. Se {f n } l sucesión de funciones definid por x n si 0 x ; f n (x) = si x >. Es clro que tods est funciones son continus, sin embrgo no es un función continu. lím f n(x) = n Los siguientes gráficos ilustrn l situción. 0 si 0 x < ; si x ; y y y 0 2 x 0 2 x 0 2 x Figur 5.. Gráficos de f 3, f 0 y f Consideremos hor el siguiente ejemplo

57 2. CONVERGENCIA UNIFORME. 5 Ejemplo 5.2. Se {g n } l sucesión de funciones definid por si x ( n ; nπx ) g n (x) = sen si 2 n < x < n ; si x n. Tods ests funciones son diferencibles, sin embrgo lím g n(x) = n no es un función diferencible si x < 0; 0 si x = 0; si x > 0. Ejercicio 5.3. Dr un ejemplo de un sucesión de funciones continus {f n } definids en [0, ] tles que lím n f n (x) = 0 pr todo x en [0, ] y sin embrgo f(x) dx = pr 0 todo n. Los ejemplos nteriores muestrn que l psr l límite, ls propieddes de continuidd y diferencibilidd se pueden perder. En ls siguientes secciones estudiremos, entre otrs coss, que condiciones dicionles nos permiten grntizr l preservción de ests propieddes. 2. Convergenci uniforme. Antes de introducir este concepto es conveniente precisr lo siguiente: Se {f n } un sucesión de funciones definids en A R y se f un función tmbién definid en A. Definición 5.4. Se dice que l sucesión {f n } converge puntulmente f en A si lím n f n (x) = f(x) pr todo x de A. Es decir, {f n } converge puntulmente f en A si pr cd x de A y pr cd ε > 0 existe un número nturl N tl que si n N entonces f n (x) f(x) < ε. Definición 5.5. Se dice que l sucesión {f n } converge uniformemente f en A si pr cd ε > 0 existe un número nturl N tl que si n N entonces f n (x) f(x) < ε pr todo x de A.

58 52 5. SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES. Geométricmente: f n converge uniformemente f si dd un frnj de longitud 2ε centrd lrededor del gráfico de f, todos los gráficos de ls f n se encuentrn en est frnj de lgún lugr en delnte. y f+ε f f-ε f n x Figur 5.2. Convergenci uniforme Clrmente convergenci uniforme implic convergenci puntul (pero no recíprocmente). Teorem 5.6. Supóngse que {f n } es un sucesión de funciones continus definids en [, b], que converge uniformemente en [, b] un función f. Entonces f tmbién es continu en [, b]. Demostrción. Se x (, b) (l continuidd en los extremos se prueb en form nálog). Se ε > 0 ddo. Como l convergenci es uniforme existe N N tl que f N (y) f(y) < ε 3 pr todo y [, b]. Como f N es continu existe δ > 0 tl que si h < δ entonces f N (x + h) f N (x) < ε 3.

59 2. CONVERGENCIA UNIFORME. 53 Si h < δ entonces f(x + h) f(x) = f(x + h) f N (x + h) + f N (x + h) f N (x) + f N (x) f(x) f(x + h) f N (x + h) + f N (x + h) f N (x) + f N (x) f(x) < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε Luego f(x + h) f(x) < ε. Lo cul prueb que f es continu en x. Observción 5.7. El Teorem 5.6 puede ser útil pr mostrr que lguns sucesiones de funciones no convergen uniformemente, tl como lo ilustr el siguiente ejemplo. Ejemplo 5.8. Se f n : [0, 2] R definid por x n si 0 x < f n (x) = si x 2 Y sbemos que si 0 x < entonces lím n x n = 0 y lím n =. Por lo tnto si definimos 0 si 0 x < f(x) = si x 2 tenemos que lím n f n (x) = f(x) pr cd x [0, 2]. Es decir, en este cso hy convergenci puntul, como f no es continu, por el Teorem nterior {f n } no converge uniformemente. Teorem 5.9. Sen {f n } un sucesión de funciones integrbles sobre [, b] y f un función integrble sobre [, b]. Si {f n } converge uniformemente f en [, b] entonces Es decir, lím n lím n f n (x) dx = f n (x) dx = f(x) dx. lím f n(x) dx. n Demostrción. Se ε > 0 entonces ε/(b ) > 0. Por l convergenci uniforme, existe N tl que si n N entonces f n (x) f(x) < ε/(b ) pr todo x de [, b].

60 54 5. SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES. Pr n N tendremos f n (x) dx f(x) dx f n (x) f(x) dx = ε. ε b dx Estudiemos hor el siguiente ejemplo: Se f n (x) = n sen(n2 x). Entonces {f n } converge uniformemente 0, sin embrgo f n(x) = n cos(n 2 x) no es convergente. El siguiente dibujo yud comprender mejor est situción. y x Figur 5.3. Gráficos de f 4 (x) = sen(6x) 4 y f 4(x) = 4 cos(6x) L situción pr ls derivds es más delicd y se tiene el siguiente resultdo. Teorem 5.0. Se {f n } un sucesión de funciones diferencibles definids en [, b] que stisfce: () {f n } converge puntulmente un función f en [, b]. (b) Pr cd n, f n es continu en [, b].

61 2. CONVERGENCIA UNIFORME. 55 (c) {f n} converge uniformemente en [, b] un función continu g. Entonces f es derivble y f (x) = lím n f n(x) pr todo x [, b]. Demostrción. Por el Teorem 5.9 plicdo en el intervlo [, x] se tiene que pr todo x de [, b] x g(t) dt = lím Por el Teorem fundmentl del cálculo Es decir, x g(t) dt = lím x n x n x f n(t) dt. f n(t) dt = lím n (f n (x) f n ()) = f(x) f() g(t) dt = f(x) f(). Como g es continu, por el Teorem fundmentl del cálculo se tiene que x g(t) dt es derivble. Por lo tnto f es derivble y f (x) = g(x) = lím n fn (x). Observción 5.. Se puede dr un prueb del resultdo nterior sin suponer l continuidd de ls derivds, ver el libro Principles of Mthemticl Anlysis de W. Rudin [0]. Definición 5.2. Sen A R, y f un función cotd definid en A f = sup f(x) = sup{ f(x) : x A}. x A Proposición 5.3. Sen A R, {f n } un sucesión de funciones cotds definids en A y f un función cotd definid en A. Ls siguientes condiciones son equivlentes: (i) {f n } converge uniformemente f en A. (ii) lím n f n f = 0. Demostrción. Sólo dremos l ide principl, los detlles quedn como ejercicio. Pr probr que (ii) implic (i) se us:

62 56 5. SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES. Si f n f < ε entonces f n (x) f(x) sup f n (x) f(x) = f n f < ε x A luego f n (x) f(x) < ε pr todo x A. Pr probr que (i) implic (ii) se us: Si f n (x) f(x) < ε pr todo x A, entonces ε es un cot superior del conjunto { f n (x) f(x) : x A}, luego sup f n (x) f(x) ε. x A De donde f n f ε. 3. Series de funciones. Dd {f n } un sucesión de funciones definids en A R y ddo x A, considermos f n (x) Cundo hy convergenci puntul esto dá origen un función f definid en A medinte f(x) = f n (x). A est función l llmmos un serie de funciones. Definición 5.4. L serie de funciones f n converge uniformemente l función f en A R si l sucesión de sus sums prciles converge uniformemente f en A. f, f + f 2, f + f 2 + f 3,... De los Teorems probdos en l sección nterior siguen inmeditmente los siguientes resultdos: Teorem 5.5. Se {f n } un sucesión de funciones continus definids en [, b]. Si l serie f n converge uniformemente l función f en [, b] entonces f es continu en [, b].