Desarrollo multipolar del potencial.

Transcripción

1 c Rafael R. Boix y Francisco Medina Desarrollo multipolar del potencial. Consideremos un cuerpo cargado que ocupa una región volumétrica. Sea ρ(r ) la densidad volumétrica de carga del cuerpo cargado. El potencial eléctrico creado por el cuerpo cargado en un punto P de vector de posición r viene dado por: φ(r) ρ(r ) d () 4π r r Supongamos ahora que el punto P está muy alejado del cuerpo cargado, cumpliéndose que >>> máx r τ r. En ese caso se puede llevar a cabo un desarrollo en serie del factor / r r (que aparece en el integrando de ()) en potencias del parámetro pequeño r /. El desarrollo en serie es: r r (r r ) (r r ) 2 2r r + r 2 [ + ( 2 r r + r 2 2 { 2 ( 2 r r 2 + r )] /2 {+ r r + 3(r r ) 2 r r r 3 + 3(r r ) 2 r O ) + 3 ( 2 r r 8 + r 2 ) } 2 2 ( r 3 )} + O ( 3 r 3 ) (2) 3 donde se ha tenido en cuenta que r r r 2 <<< yque

2 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 2 r 2 2 <<< r <<< si r. Si introducimos (2) en (), se obtiene un desarrollo en serie del potencial eléctrico creado por el cuerpo cargado en potencias de /. A este desarrollo en serie se le conoce como desarrollo multipolar del potencial eléctrico. El desarrollo multipolar, válido en principio para puntos alejados del cuerpo cargado (esto es, si se cumple que >>> máx r r ), viene dado por: φ(r) = ρ(r )d + 4πɛ 0 =+ ( 8πɛ 0 5 ( ) r 4πɛ 0 ρ(r )r d 3 ρ(r ) [ 3(r r ) 2 r 2 2] ) d +... = φ (r)+φ 2 (r)+φ 3 (r)+... (3) El primer término del desarrollo multipolar, φ (r), es conocido como término monopolar y se puede escribir como: φ (r) = Q (4) 4πɛ 0 donde: Q = ρ(r )d (5) representa la carga total del cuerpo cargado. La ecuación (4) nos está diciendo que el término dominante del desarrollo multipolar representa el potencial creado por una carga puntual situada en el origen de coordenadas cuya carga coincide con la del cuerpo cargado (lo cual es lógico, ya que a distancias suficientemente grandes del cuerpo cargado, donde φ (r) dominaen(3),elcuerpo cargado se ve como si ocupara un punto en el espacio).

3 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 3 El segundo término del desarollo multipolar, φ 2 (r), es conocido como término dipolar y se puede escribir como: φ 2 (r) = p r (6) 4πɛ 0 3 donde: p = ρ(r )r d (7) El vector p que aparece en (7) es un vector característico de la distribución volumétrica de carga, al que se conoce como momento dipolar de la distribución. De acuerdo con (6), φ 2 (r) representa el potencial creado por un dipolo puntual de momento dipolar p (siendo p el vector definido en (7)), situado en el origen de coordenadas. Esto quiere decir que si la carga del cuerpo cargado es nula (esto es, si Q =0,yportanto,φ (r) =0de acuerdo con (4)), a distancias suficientemente grandes del cuerpo cargado dominará φ 2 (r) en (3), y en ese caso, el cuerpo cargado se va a comportar como un dipolo puntual cuyo momento dipolar está dado por (7). Al tercer término del desarollo multipolar, φ 3 (r), seleconoce como término cuadrupolar. Para escribir el término cuadrupolar [ de una forma más compacta, es preciso reescribir el factor 3(r r ) 2 r 2 2] que aparece en (3) de otra forma. Con tal fin, vamos a introducir una nueva notación para las coordenadas de los vectores r y r, dada por: r = xu x + yu y + zu z = x u x + x 2 u y + x 3 u z (8) r = x u x + y u y + z u z = x u x + x 2u y + x 3u z (9)

4 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 4 Haciendo uso de la nueva notación, podemos escribir: ( 2 3(r r ) 2 r 2 2 =3 x i x i) x 2 i r 2 =3 = x i x ix j x j j= x i δ ij x j r 2 j= ( x i 3x i x j δ ij r 2) x j (0) j= donde δ ij es la delta de Kronecker (δ ij =si i = j y δ ij =0si i j). Si ahora introducimos el resultado obtenido en (0) en la expresión de φ 3 (r) (véase la ecuación (3)) se llega a que: φ 3 (r) = = 8πɛ 0 5 8πɛ 0 5 ( ρ(r ) [ 3(r r ) 2 r 2 2] ) d x i Q ij x j () j= donde: Q ij = ρ(r ) ( 3x ix j δ ij r 2) d (2) Los coeficientes Q ij (i, j =, 2, 3) forman parte de una matriz 3 3 Q a la que se conoce como tensor momento cuadrupolar. De acuerdo con (2), el tensor momento cuadrupolar es una propiedad característica de la distribución de carga, al igual que el momento dipolar. Utilizando notación matricial y la notación convencional para las coordenadas cartesianas de r y r, la ecuación () para φ 3 (r) se puede reescribir:

5 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 5 φ 3 (r) = ( ) x y z 8πɛ 0 5 Q xx Q xy Q xz Q yx Q yy Q yz Q zx Q zy Q zz = rt Q r 8πɛ 0 5 (3) donde los elementos del tensor cuadrupolar, Q rs (r, s = x, y, z), se calculan en coordenadas cartesianas mediante las ecuaciones: Q xx = ρ(r ) ( 2x 2 y 2 z 2) d (4) Q yy = ρ(r ) ( 2y 2 x 2 z 2) d (5) Q zz = ρ(r ) ( 2z 2 x 2 y 2) d (6) Q xy = Q yx =3 ρ(r )x y d (7) Q xz = Q zx =3 ρ(r )x z d (8) Q yz = Q zy =3 ρ(r )y z d (9) Es fácil comprobar que el tensor momento cuadrupolar es simétrico (esto es, Q ij = Q ji ) y que además tiene traza nula (de las ecuaciones (4) a (6) se deduce fácilmente que Q xx +Q yy +Q zz = 0), con lo cual, de los 9 coeficientes que en principio tiene la matriz Q, en la práctica sólo hay cinco coeficientes independientes. Además, se puede demostrar que si la distribución de carga tiene simetría de revolución alrededor de un eje y se hace coincidir ese eje de simetría con el eje z (en cuyo caso ρ(r )=ρ(ρ,z ) en coordenadas cilíndricas), en ese caso todos los elementos del x y z

6 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 6 tensor cuadrupolar se pueden expresar en términos de Q zz (la demostración se deja al alumno como ejercicio). Para cuerpos cargados cuya carga es nula (Q =0en (5)) y cuyo momento dipolar es nulo (p =0en (7)), el término dominante del desarrollo multipolar del potencial es φ 3 (r), y a distancias suficientemente grandes del cuerpo cargado, el potencial creado por el cuerpo cargado se puede calcular directamente mediante la expresión (3). La carga neta del cuerpo cargado, calculada mediante la ecuación (5), es independiente de la elección del origen de coordenadas. Sin embargo, el momento dipolar del cuerpo cargado sí depende en general de la elección del origen de coordenadas. Concretamente, si pasamos de un origen de coordenadas O con respecto al cual el momento dipolar vale p O a un origen O con respecto al cual el momento dipolar vale p O, la relación entre p O y p O viene dada por: ( p O = ρr d = ρ r ) O O d τ ( ) = ρr d ρd O O = p O Q O O (20) No obstante, si la carga neta del cuerpo cargado es nula (Q = 0), la ecuación (20) nos indica que p O = p O, y el momento dipolar resulta ser independiente de la elección del origen de coordenadas.

7 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 7 Por tanto, si el cuerpo cargado tiene carga neta no nula, a distancias suficientemente grandes el cuerpo se ve como una carga puntual cuya carga es independiente de la elección del origen de coordenadas. Si el cuerpo cargado tiene carga neta nula, a distancias suficientemente grandes se ve como un dipolo puntual cuyo momento dipolar es independiente de la elección del origen de coordenadas. Además, si el cuerpo cargado tiene carga y momento dipolar nulos, a distancias suficientemente grandes el cuerpo cargado se va a ver como un cuadrupolo puntual cuyo tensor momento cuadrupolar es independiente de la elección del origen de coordenadas (la demostración de esto último se deja al alumno como ejercicio). En general, se cumple siempre que el primer momento (carga, momento dipolar, tensor momento cuadrupolar, etc.) no nulo del cuerpo cargado no depende de la elección del origen de coordenadas ya que el primer término no nulo del desarrollo multipolar es el que determina el potencial a grandes distancias del cuerpo cargado, y a esas distancias es irrelevante una traslación del origen de coordenadas en una distancia finita. El concepto de desarrollo multipolar del potencial que se ha dado para distribuciones volumétricas de carga es extensible a distribuciones lineales y superficiales de carga, y a conjuntos de cargas puntuales. En el caso de distribuciones lineales y superficiales de carga, se pueden seguir utilizando las ecuaciones (3) a (20) si se sustituyen las integrales de volumen por integrales de línea y superficie, y las densidades volumétricas de carga por densidades de carga lineales y superficiales. En cuanto a los conjuntos de cargas puntuales, se pueden utilizar (3) a (20) si en dichas ecuaciones se expresa la densidad volumétrica de carga mediante una combinación lineal de funciones delta de Dirac.