Campo eléctrico. Fig. 1. Problema número 1.

Transcripción

1 Campo eléctrico 1. Cuatro cargas del mismo valor están dispuestas en los vértices de un cuadrado de lado L, tal como se indica en la figura 1. a) Hallar el módulo, dirección y sentido de la fuerza eléctrica ejercida sobre la carga que hay en el punto 1, por las otras cargas. b) Hallar el campo eléctrico debido a las cuatro cargas en el punto medio de cualquiera de los lados del cuadrado. Fig. 1. Problema número Dos pequeñas esferas de 100 g de masa se encuentran suspendidas de un punto común, mediante hilos de masa despreciable cuya longitud es 50 cm. Calcular el ángulo que forma cada uno de los hilos con la vertical, cuando cada una de estas esferas posee una carga de 2 µc. Emplear la aproximación senα tgα. 3. Calcular el campo eléctrico y el potencial en cualquier punto del eje z para las siguientes distribuciones de carga : a) Anillo uniforme de carga de radio R que se halla sobre el plano xy con su centro en el origen de coordenadas. b) Disco uniformemente cargado que se halla sobre el plano xy con su centro en el origen de coordenadas. Utilizando el resultado del apartado (b) obtener el campo eléctrico creado por un plano infinito de densidad de carga σ constante. 4. Calcular el campo eléctrico en cualquier punto del eje z, debido a una línea uniforme de carga de longitud L que se halla sobre el eje y centrada en el origen de coordenadas. Utilizando este resultado, obtener el campo eléctrico creado por una línea infinita, cuya densidad lineal de carga es constante. 5. Hallar el campo eléctrico y el potencial debido a una corteza esférica de carga uniforme y radio R, en todas las regiones del espacio. 6. Una corteza esférica de radio R 1 posee una carga Q 1 distribuida de manera uniforme en su superficie. Si existe otra corteza esférica concéntrica a la anterior cuyo radio R 2 es mayor, estando su carga Q 2 distribuida también de manera uniforme en su superficie. Hallar : a) El campo eléctrico en todas las regiones del espacio. b) Cuál debe ser el valor del cociente Q 1 /Q 2 para que el campo eléctrico sea cero fuera de la corteza de radio mayor? 7. Una corteza esférica no conductora de radio interior R 1 y radio exterior R 2, posee una densidad de carga volúmica uniforme. Calcular la carga total y el campo eléctrico en todas las regiones del espacio.

2 8. Una corteza conductora esférica con una carga neta cero tiene un radio interior a y un radio exterior b. Se coloca una carga puntual q en el centro de la cavidad. Hallar el campo eléctrico y el potencial en todas las regiones del espacio. 9. Calcular el campo eléctrico y el potencial debido a una esfera maciza de densidad volúmica de carga constante, en todas las regiones del espacio. 10. Una esfera no conductora de radio R posee una densidad de carga volúmica proporcional a la distancia desde su centro, es decir, ρ = Ar siendo ρ = 0 para r > R, con A constante y r distancia medida desde el centro de dicha esfera. Hallar la carga eléctrica total de la esfera, así como el campo eléctrico y el potencial, tanto en el interior como en el exterior de la misma. 11. Una carga puntual positiva q de masa m se libera desde el reposo en un campo eléctrico uniforme E dirigido según el eje x. Obténgase la posición de dicha carga y su velocidad como función del tiempo, así como la relación que existe entre su energía cinética y su posición. 12. Una partícula de masa m cargada con una carga q entra en una región del espacio en la hay un campo eléctrico de módulo constante, dirección vertical y con sentido hacia arriba. La partícula entra en esta región con una velocidad de módulo constante, dirección horizontal y sentido hacia la derecha. Hállese la ecuación de la trayectoria de dicha partícula, en esa región del espacio. 13. Hállese potencial eléctrico y campo eléctrico en el punto P de la figura 2(a), considerando x >> a. 14. Los conductores esféricos representados en la figura 2(b), separados por una distancia mucho mayor que los radios de cada esfera, se conectan con un alambre conductor. Si las cargas de las esferas son las indicadas en la figura, cuando ambas esferas están en equilibrio, determínese la razón de las intensidades del campo en las superficies de las esferas. Y -a a -q q x P X q 1 q 2 r 1 r 2 (a) Fig. 2. Problemas números 13 y 14. (b) 15. Encuéntrese el potencial eléctrico y el campo eléctrico en un punto P situado en el eje de un anillo uniformemente cargado, cuyo radio es a y cuya carga total es Q. El plano del anillo se considera perpendicular al eje x.

3 16. Hállese el campo eléctrico justo en el exterior de un conductor en equilibrio electrostático, utilizando el teorema de Gauss. 17. Se lanza un electrón en un campo eléctrico uniforme de intensidad 5000 N/C dirigido verticalmente hacia arriba. La velocidad inicial del electrón es 10 7 m/s y forma un ángulo de 30 por encima de la horizontal. En esta situación hallar: a) El tiempo requerido para que este electrón alcance la altura máxima sobre su posición inicial. b) La elevación máxima que alcanza a partir de su posición inicial. c) Qué distancia horizontal recorre el electrón para alcanzar su nivel inicial? Datos: masa del electrón 9.1 x kg, carga del electrón -1.6 x C. 18. Hállese la fuerza ejercida sobre la carga q 3 de la figura 3(a), sabiendo que la carga q 1 es igual a la q 3 y tiene un valor de 5µC, siendo la carga q 2 negativa con un valor de 2 µc. 19. Hállese el valor de x para que la carga q 3 de la figura 3(b), esté en equilibrio bajo la acción de las fuerzas que ejercen sobre ella las cargas q 1 de 15 µc y q 2 de 6 µc, siendo q 3 una carga negativa. Y q m q 1 q 3 2 m 0.1 m X q 2 x q 3 q 1 X (a) Fig. 3. Problemas números 18 y 19. (b) 20. Dos pequeñas esferas de 30 g de masa se encuentran suspendidas de un punto común, mediante hilos de masa despreciable cuya longitud es 15 cm. Estas esferas se repelen entre ellas por tener ambas la misma carga. Sabiendo que los hilos forman entre ellos un ángulo de 10 grados, hállese el valor de dichas cargas. 21. Hállese el campo eléctrico en el punto P representado en la figura 4 (a). 22. Una partícula de masa 9.11x10-31 kg cargada con una carga de -1.6x10-19 C, entra en una región del espacio en la hay un campo eléctrico de módulo 200 N/C, dirección vertical y con sentido hacia arriba. La partícula entra en esta región con una velocidad de módulo 3x10 6 m/s, dirección horizontal y sentido hacia la derecha, recorriendo una distancia horizontal de 10 cm. Hállese la distancia vertical que recorrerá dicha carga.

4 0.4 m P 4 m P 0.3 m 3 m (a) (b) (c) Fig. 4. Problemas números 21, 23 y Hállese el campo eléctrico en el punto P representado en la figura 4 (b), sabiendo que la carga q 1 tiene un valor de 7 µc y que la carga q 2 es negativa con un valor de 5 µc. 24. Mediante la ley de Gauss determínese el campo eléctrico creado por una línea infinita de carga y por un plano infinito, ambos con una distribución uniforme de carga conocida. 25. Hállese el potencial eléctrico en el punto P representado en la figura 4 (c), sabiendo que la carga q 1 tiene un valor de 5 µc y que la carga q 2 es negativa con un valor de 2 µc. Hállese el trabajo que es necesario realizar para traer una carga q 3 de 4 µc desde el infinito hasta el punto P. 26. Obténgase el potencial eléctrico producido por una carga puntal, a partir de la expresión del campo eléctrico creado por dicha carga.

5 Capacidad 1. Dos conductores en forma de corteza esférica concéntricos poseen cargas iguales y opuestas. La corteza interior tiene un radio a y la exterior un radio b, estando la primera cargada positivamente y la segunda negativamente. Hallar la diferencia de potencial entre las cortezas mencionadas. 2. Calcular la capacidad de un condensador de láminas plano-paralelas, cuya área es A y cuya separación es d. Considerar las láminas infinitamente próximas. 3. Un condensador cilíndrico compuesto por un cilindro de radio a y una corteza cilíndrica de radio b (ambos de longitud L infinitamente mayor que los radios a y b), posee una carga +Q en el cilindro de radio a y una carga -Q en la corteza de radio b. Hallar: a) La capacidad de este condensador. b) El campo eléctrico en un punto cualquiera del espacio. 4. Para un condensador esférico que se compone de dos cortezas esféricas concéntricas de radios a y b. a) Hallar la capacidad de este condensador. b) Demostrar que cuando estos radios son casi iguales, la capacidad del condensador esférico viene dada, aproximadamente, por la expresión obtenida en el problema 2, donde ahora d es la diferencia entre los radios a y b, y el área A es el área de la esfera. 5. Se conectan tres condensadores idénticos de modo que su capacidad equivalente toma el valor máximo de 15 µf. Hallar las otras tres combinaciones posibles y sus capacidades equivalentes. 6. Un condensador de láminas plano-paralelas tiene una capacidad C y una separación entre sus placas d. Se insertan entre las placas de este condensador dos láminas dieléctricas de constantes K y K', cada una de ellas con un espesor d/2 y con la misma área que las placas del condensador, una sobre la otra. Demostrar que la nueva capacidad C' de este condensador viene dada por: C'= 2CK' K K + K' 7. En la figura 1 se ilustra una asociación de condensadores. a) Hallar la capacidad equivalente de este conjunto. b) Si las tensiones de ruptura de cada uno de los condensadores son V 1 = 100 V, V 2 = 50 V y V 3 = 400 V, qué tensión máxima puede aplicarse entre los puntos a y b? Fig.1. Problema número 7.

6 8. Un condensador de láminas plano-paralelas posee unas placas de área A separadas una distancia d. Se inserta en este condensador una lámina metálica de grosor t, menor que d, y de área A. Demostrar que la nueva capacidad de este condensador viene dada por: C'= ε o A d -t independientemente del lugar donde se coloque esta placa. Demostrar también que este dispositivo puede considerarse como dos condensadores en serie, con una separación entre sus placas a y b, respectivamente, que verifica a + b + t = d. 9. Proyectar un circuito de condensadores que tenga una capacidad de 2 µf y una tensión de ruptura de 400 V, utilizando todos los condensadores de 2 µf que se necesiten. Estos condensadores poseen todos ellos la misma tensión de ruptura, siendo ésta 100 V. 10. Se construye un condensador con dos placas cuadradas de lado l y separación d. Un material dieléctrico de constante K se introduce a una profundidad x dentro del condensador. En esta situación hallar: a) La nueva capacidad de este condensador. b) La energía potencial electrostática almacenada en el condensador, para una diferencia de potencial dada entre sus placas. c) El sentido y magnitud de la fuerza que se ejerce sobre el dieléctrico, suponiendo que la diferencia de potencial es constante. Despreciar la fuerza de rozamiento entre las placas y el dieléctrico. 11. Los condensadores de la figura 2 están cargados con la misma diferencia de potencial V 0, siendo C 1 >C 2 y sus polaridades opuestas. Cuando están cargados se desconectan de la batería y se conectan como se muestra en la figura 2. Entonces los interruptores S 1 y S 2 se cierran como se muestra en la figura (b). En esta situación determínese la diferencia de potencial entre los puntos a y b. 12. Hállese la capacidad equivalente entre los puntos a y b, para la combinación de condensadores mostrados en la figura Un condensador de placas plano paralelas se halla inicialmente descargado.a continuación se conecta el condensador a una batería hasta que almacena una carga Q. Hállese la energía que almacena este condensador cargado y su densidad de energía asociada, en función del campo eléctrico existente entre las placas de dicho condensador. Fig. 2. Problema número µf 4 µf 6 µf a 3 µf 8 µf 2 µf Fig. 3. Problema número 12. b

7 Corriente continua 1. Un cable conductor de cobre cuyo diámetro es de 1.29 mm puede transportar con seguridad una corriente máxima de 6 A. a) Cuál es la diferencia de potencial máxima que puede aplicarse a los extremos de 40 m de este cable? b) Hallar la densidad de corriente y el campo eléctrico en este conductor cuando circulan por él 6 A. c) Hallar la potencia disipada en el conductor en el apartado anterior. 2. Un cable conductor de cobre de 80 m de longitud cuyo diámetro es de 1 mm, se une por un extremo con otro conductor de hierro de 49 m de largo del mismo diámetro. La corriente en cada uno de estos cables es de 2 A. Hallar: a) La diferencia de potencial aplicada a cada conductor. b) El campo eléctrico en cada conductor. c) La densidad de corriente en cada conductor. 3. Una batería de fem ε y resistencia interna r se conecta a una resistencia R. Demostrar que: a) La potencia suministrada por la fem viene dada por ε 2 /(r+r). b) La potencia disipada en la resistencia R es ε 2 R/(r+R) 2. c) La potencia disipada en la resistencia r es ε 2 r/(r+r) Se conecta una batería de un coche prácticamente descargada cuya fem es de 10.0 V de 0.3 Ω de resistencia interna, a una resistencia de Ω. Para ayudar a esta batería se conecta otra a sus bornes, cuya fem es de 12.0 V, con una resistencia interna de 0.5 Ω. a) Dibujar el circuito y hallar la corriente que circula por cada una de sus ramas. b) Hallar la potencia que aporta cada batería y en qué se invierte. Suponer que tanto la fem como la resistencia interna de las baterías permanecen constantes. 5. En el circuito de la figura 1(a) hallar: a) La corriente en cada resistencia. b) La potencia suministrada por cada fem. c) La potencia disipada en cada resistencia. Datos : V 1 = 8 V, V 2 = 4 V, V 3 = 4 V, R 1 = 1 Ω, R 2 =R 3 = 2 Ω, R 4 = 6 Ω 6. En el circuito de la figura 1(b) hallar la diferencia de potencial entre los puntos a y b.

8 Fig. 1. Problemas números 5 y En el circuito de la figura 2(a) se inserta en el punto a un amperímetro de resistencia interna 0.01 Ω. a) Cuál será la lectura de este amperímetro? b) En qué porcentaje variará la corriente por la presencia de amperímetro? c) Si se retira el amperímetro y se conecta entre los puntos a y b un voltímetro de 1000 Ω de resistencia interna, cuál será la lectura de este voltímetro? d) En qué porcentaje varía la caída de potencial entre los puntos a y b por la presencia del voltímetro? 8. Considerando el circuito representado en la figura 2(b). Demostrar que la lectura del amperímetro viene dada por : ε R, R = R + R + r + R 2 + R A t 2 A r R t Demostrar también que si se intercambian la fem y el amperímetro (junto con sus respectivas resistencias internas r y R A ), la lectura del amperímetro es: ε R, R = R + R + r + R 2 +r t 2 A RA t R1 1 Fig. 2. Problemas números 7, 8 y 9.

9 9. En el circuito de la figura 2(c) el condensador se halla inicialmente descargado, estando abierto el interruptor S, cerrándose en el instante t=0 este interruptor. a) Cuál es la corriente suministrada por la fem en el momento en que se cierra el interruptor? b) Cuál es la corriente cuando ha transcurrido un tiempo bastante largo después de cerrar el interruptor? c) Obtener la expresión de la corriente que circula por la fem como función del tiempo. d) Si transcurrido un tiempo muy largo t' se abre de nuevo el interruptor S, cuánto tiempo se tarda en disminuir la carga del condensador hasta el 10% del valor que posee en el instante t'? 10. Un condensador de 6 µf es cargado inicialmente mediante una diferencia de potencial de 100 V, luego se unen sus armaduras a través de una resistencia de 500 Ω. a) Cuál es la carga inicial del condensador? b) Cuál es la corriente un instante después de conectar la resistencia al condensador? c) Cuál es la constante de tiempo de este circuito? d) Cuánta carga existe en el condensador después de 6 ms? 11. Determínese las intensidades de la corriente eléctrica (I 1, I 2, I 3 ) en el circuito de la figura 3(a). 12. Hallar la diferencia de potencial entre los puntos A y B del circuito representado en la figura 3(b). 13. Hállese la resistencia equivalente entre los puntos A y B para el circuito de la figura 4(a). 14. Hállese la resistencia equivalente entre los puntos A y B para el circuito de la figura 4(b). Si se aplica una diferencia de potencial de 42 V entre dichos puntos, hállense los valores de las intensidades (I 1, I 2, I 3 ). (a) Fig. 3. Problemas números 11 y 12. (b)

10 B A 6 Ω 4 Ω 6 Ω (a) 2 Ω 2.5 Ω A 8 Ω 4 Ω (b) I 1 I 2 I 3 6 Ω 3 Ω B Fig. 4. Problemas números 13 y Determínese las intensidades de la corriente eléctrica (I 1, I 2, I 3 ) en el circuito de la figura 5(a). 16. Determínese las intensidades de la corriente eléctrica (I 1, I 2, I 3 ) en el circuito de la figura 5(b). e 4 Ω 14 V f c I 2 9 Ω d b 10 V 6 Ω I 2 c I 1 I 3 b I 3 12 V 2 Ω e a 2 Ω d a I 1 6 Ω 6 V f (a) Fig. 5. Problemas números 15 y 16. (b) 17. Si construimos un circuito eléctrico formado por n baterías reales y una resistencia R, todos ellos puestos en serie. Determínese el valor de la intensidad que circulará por este circuito. Explique si es posible definir una batería equivalente que pueda reemplazar a las baterías anteriores. 18. Si construimos un circuito eléctrico formado por n baterías reales idénticas y una resistencia R, todos ellos puestos en paralelo. Determínese el valor de la intensidad que circulará por dicha resistencia. Explique si es posible definir una batería equivalente que pueda reemplazar a las baterías anteriores.