TEORÍA DE CAMPOS Y OPERADORES DIFERENCIALES. PROBLEMAS RESUELTOS

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1 TEORÍA DE CAMPOS Y OPERADORES DIFERENCIALES. PROBLEMAS RESUELTOS 1. Dado un campo vectoial v = ( x + y ) i + xy j + ϕ( x, y, k en donde ϕ es una función tal que sus deivadas paciales son las funciones = xz; = yz con la x condición de que la divegencia del campo vectoial v sea div v = x + y siendo además la función ϕ (x,y, nula sobe el plano XOY. Detemina: a) La componente z del campo v. b) El flujo del campo v a tavés de la supeficie de un cilindo de adio R y altua h cuya base infeio está situada en el plano coodenado XOY siendo su eje paalelo al coodenado OZ y siendo (x 0 y 0 ) las coodenadas del cento de su base infeio. c) Indica la posición que debeá adopta el eje del cilindo paa que el flujo del campo v a tavés del mismo sea mínimo. a) Obtenemos la función ϕ = xz ϕ = x x z + M ( y, [ x z + M ( y, ] M ( y, = M ( y, = y z + N( = yz yz = ϕ = z( y + x ) + N ( v = ( x + y ) i + xyj + [( y + x ) z + N ( ]k Como div v = x + y, necesaiamente N(=C, y al impone la condición de que ϕ (x,y, sea nula sobe el plano XOY, N(=C=0 v = ( x + y ) i + xyj + ( x b) Utilizando conjuntamente la definición de flujo y el teoema de Gaus-Ostogadski o fómula de Geen: Φ = v dσ = v ( x y ) dv + σ Integal que epesenta el momento de inecia del cilindo de adio R y altua h especto al eje OZ. Aplicando el Teoema de Steine: 1 IOZ = IGZ + V ( x0 + y0 ) = VR + V ( x0 + y0 ) c) Paa que el flujo sea mínimo, deben se ceo tanto x 0 como y 0. Po lo que el eje OZ debe coincidi con el eje del cilindo. + y ) zk. Expese si es vedadea (V) o falsa (F) justificando muy bevemente la espuesta a) Los campos de gadiente son otacionales (F) Los campos de gadiente son iotacionales

2 b) La ciculación de un campo de gadientes a lo lago de una cuva ceada es ceo (V) Ya que son iotacionales c) Si la ciculación de un campo vectoial a lo lago de una cuva ceada es ceo podemos afima que el campo es iotacional (F) La ciculación puede se ceo sin se necesaiamente iotacional d) Un campo escala es una función amónica si su laplaciano es ceo (V) Cumple la ecuación de Laplace 3. El otacional del campo vectoial v( x, y, = f1( i + f ( x) j + f 3 ( y) k es v = yi + j 3x k = v1 a) Calcula el campo vectoial con la condición de que en el punto (1,,0) valga v( 1,, 0) = j + 4k b) Calcula el flujo del campo vectoial a tavés de la supeficie esféica de ecuación x + ( y ) + ( z 1) = 4 c) Calcula la ciculación del campo vectoial a tavés de la cicunfeencia situada en un plano paalelo al YOZ, que tiene su cento en C(0,,1) y de adio. d) Demosta que el campo vectoial v = v admite potencial vecto, y calculalo con las siguientes condiciones: El potencial vecto A es pependicula al eje OY Sus componentes no dependen de la vaiable z. El potencial vecto A en el punto (1,1,1) vale A ( 111,, ) = 3i a) Campo vectoial i j k v = = yi + j 3x k x z f ( f ( x) f ( y) ,, ; ; 0; Luego el campo vectoial es: Compobación: 1

3 i j k = = + x z v yi j 3 x k; cumple z ( x ) y 3 b) El flujo es nulo ya que se tata de un campo vectoial adivegente Φ = v dσ = div v dv = 0 σ v c) Ciculación v 16 ; ; 16 d) Admite potencial vecto ya que los campos otacionales son solenoidales 0; ; Imponiendo la pimea condición 0 Az ( 1) y Az y ( x) i j k = = + α Ax Az Az v1 = ( ) = 1; = 1 x z z x x Ax 0 A A z x ( 3) = 3x Ax = 3 x y + β ( x) Imponiendo la segunda condición, al se las componentes independientes de z Debe cumpli la ecuación () ; 1; integando: Imponiendo la tecea condición 1,1,1 3 3; 0; 0; Po tanto Solución paticula del potencial vecto: Solución geneal del potencial vecto: 0 4. Dado un campo escala f(x y y un campo vectoial G = G ( x y cuyas componentes son: G = f ; G = f ; G = 3 f, se cumple que y que el campo f toma el x y z valo f(0,0,0)=4. a) Halla el campo escala f(x y y el campo vectoial G. b) Ciculación del campo vectoial G a tavés de la cicunfeencia x + y = R. c) Compoba si los campos f y G son funciones amónicas a) Teniendo en cuenta que, se cumple que:

4 3 3; Condición 0,0,0 4; 4; 4 ; 4 3 b) La ciculación es nula ya que los campos de gadiente son iotacionales 0 c) Los campos f y G no son funciones amónicas ya las segundas deivadas especto a x, y, z no son nulas 5. Dado el campo vectoial v = yi + x j + ( x + y ) k. Calcula: a) Líneas de campo. b) Flujo del campo vectoial v a tavés de un cilindo de adio R y altua h cuyo eje coincide con el eje OZ. a) Las líneas de campo se obtienen po integación del sistema de ecuaciones difeenciales: ; 0; ; ; b) El flujo es nulo ya que se tata de un campo vectoial adivegente Φ = v dσ = div v dv = 0 σ v 3; 6. Flujo del campo vectoial a tavés de la supeficie que delimita un paalelepípedo ecto de aistas a, b, c centado en G(a/, b/, c/). Expese el esultado en función de las aistas a, b, c. Si el paalelepípedo estuviea centado en el oigen de coodenadas se mantendía el mismo valo del flujo? Po tatase de una supeficie ceada, se aplica el teoema de Gauss-Ostogadsky 4 Φ 4 4 Φ Si el paalelepípedo estuviea centado en el oigen de coodenadas el flujo se anulaía al se nulas las componentes del cento de gavedad. 3

5 7. Dado el campo vectoial 3 3. Calcula: a) Potencial escala asociado a dicho campo con la condición de se nulo en el oigen de coodenadas. b) Solución geneal y solución paticula del potencial vecto con las siguientes condiciones: - El potencial vecto es pependicula al eje OX - La componente solo depende de las vaiables (x,y):, - La componente solo depende de las vaiables (x,:, c) Laplaciano del campo vectoial, indicando si sus componentes son funciones amónicas d) Ciculación del campo vectoial a tavés de la cuva que limita una cicunfeencia situada en el plano XOZ con cento en C(,0,3) y adio R= a) Potencial escala Paa que exista potencial escala, el campo vectoial debe se iotacional o consevativo. El otacional del campo es: ı k v z 3y 3z Po tanto, no existe potencial escala z 0 b) Potencial vecto: Paa que exista potencial vecto, el campo vectoial debe se solenoidal o adivegente Po tanto, existe potencial vecto tal que: La pimea condición (potencial vecto es pependicula al eje OX) implica que 0 v ı k 0 A A 1 3 Integando 3, 3 3 Integando 3, La segunda condición,,, implica que la función, 0, po lo que 3 Paa calcula,, obligamos a que se cumpla la ecuación (1): 3 3 ;, integando, La tecea condición,,, implica que la función 0, po lo que 3

6 La solución paticula del potencial vecto es: 3 3 La solución geneal del potencial vecto se obtiene añadiendo a la solución paticula un campo abitaio de gadientes: c) El laplaciano del campo vectoial, se obtiene a pati de la expesión: 3 3 La componente no es amónica, y si son funciones amónicas, ya que sus laplacianos son nulos. d) Ciculación del campo vectoial a tavés de la cuva que limita una cicunfeencia situada en el plano XOZ con cento en C (,0,3) y adio R= Se aplica el teoema de Stokes, po tatase de una cuva ceada: Teniendo en cuenta que ; ; 3; 4, se obtiene: 4