INTEGRAL DE RIEMANN-STIELTJES

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Enrique Ernesto Mendoza Martín
hace 7 años
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1 Prof. Enrique Meus Nieves Docorndo en Educción Memáic. INTEGRAL DE RIEMANN-STIELTJES L inegrl de Riemnn-Sieljes es un exensión del concepo de Inegrl de Riemnn que permie mplir el poencil de es herrmien. A diferenci de l inegrl de Riemnn, que depende de un sol función f(x) llmd inegrndo, l inegrl de Riemnn-Sieljes depende de dos funciones, el inegrndo f(x) y un función α(x) llmd inegrdor. Pr l inegrl de Riemnn-Sieljes se uiliz el siguiene símolo: f ( x ) d (x). Definición forml de l inegrl de Riemnn-Sieljes Se P={x 0, x 1... x n } un prición de un inervlo [, ] (con = x 0 < x 1 <... < x n = ). Llmmos sum de Riemnn-Sieljes un sum de l form f ( )( ( x ) ( x )), con n k1 k k k 1 Simolizmos es sum como S(P, f, α). Decimos que f es Riemnn- Sieljes inegrle respeco α en el inervlo [, ] si exise un número I l que, pr odo número rel posiivo ε exise un prición P ε que cumple con que pr od prición P más fin que P ε y pr culquier elección de los k, enemos S(P, f, α) - I < ε. L conexión enre l inegrl de Riemnn "esándr" y l inegrl de Riemnn-Sieljes se produce cundo l función inegrdor α(x) es l función idenidd, es decir, α(x) = x.

2 Prof. Enrique Meus Nieves Docorndo en Educción Memáic. Pr definir l inegrl de Riemnn uilizmos l norm de un prición, es definición se puede mplir que se precid l de Riemnn-Sieljes, (que de hecho es es l definición que originlmene propuso Sieljes, y que luego Pollrd, propondrí l que culmene usmos: Un función f cod definid en un inervlo [, ] se dice que es inegrle con respeco α en [, ] si exise un número I en los reles l que, pr odo número rel posiivo ε exise un δ posiiv l que si P es un prición de [, ] con P < δ y S(P, f, α) es culquier sum de Riemnn-Sieljes enonces S(P, f, α) - I < ε. El prolem con es definición es que no nos permie derivr ods ls propieddes que nos gusrí, específicmene exisen funciones que son inegrles con respeco or función en los inervlos [,c] y [c,], pero que no lo son en [,], un ejemplo de les funciones es el siguiene: Sen f y α ls siguienes funciones: Pr ess dos funciones sucede lo que se comen rri. El prolem rdic en que los punos de l prición no los podemos elegir nosoros cundo se uiliz l definición de l inegrl. Propieddes de l inegrl de Riemnn-Sieljes Es linel respeco l inegrndo y l inegrdor, es decir, se cumple que: c f ( x ) c2 g( x ) d (x) c1 f(x)d(x) c2 1 g(x)d(x) f(x) d(c1 ( x ) c2 (x)) c1 f(x)d(x) c2 f(x)d (x)

3 Prof. Enrique Meus Nieves Docorndo en Educción Memáic. Al igul que ls inegrles de Riemnn, un inegrl en un inervlo [, ] puede seprrse en l sum de dos inegrles en los inervlos [, c] y [c, ], con < c < : f(x) d (x) c f(x)d(x) c g(x)d(x) Exise l propiedd de inegrción por pres: Si f es inegrle respeco α, enonces α es inegrle respeco f y enre ms inegrles exise l siguiene relción: f(x)d (x) (x)d f(x) f() ()- f() (). Nóese que és propiedd coincide con l fórmul de inegrción por pres pr inegrles de Riemnn si el inegrdor α(x) iene derivd coninu α'(x), cso en el que se puede converir l inegrl de Riemnn-Sieljes en l inegrl de Riemnn del produco f(x)α'(x). Trnsformciones un inegrl de Riemnn-Sieljes En ls inegrles de Riemnn-Sieljes, l igul que en ls inegrles de Riemnn, exise l propiedd del cmio de vrile. En ese cso es propiedd dop l siguiene form: g 1 ( ) f(x)d (x) f ( g( x ))d (g(x)) en que g(x) es un función coninu y monóon. -1 g ( ) Tmién puede converirse un inegrl de Riemnn-Sieljes en un inegrl de Riemnn si el inegrdor es un función con derivd coninu. En ese cso se cumple que: Inegrles con inegrdor disconinuo.

4 Prof. Enrique Meus Nieves Docorndo en Educción Memáic. Uno de los specos que demuesr el verddero poencil de l inegrl de Riemnn-Sieljes se presen cundo l función α(x) es un función esclond como l función pre ener o l función esclón unirio. Supongmos que el inegrdor α(x) es l función definid por pres: Enonces odos los sumndos de culquier sum S(P, f, α) son cero excepo en el suinervlo [u, v] de P que iene x 0 como puno inerior. Al oener el límie de ls sums de Riemnn- Sieljes, se verá que ése endrá el vlor (-)f(x 0 ). Pr funciones esclonds de culquier ipo se puede plicr un rzonmieno semejne. Eso nos sirve pr expresr un sumori de un cier función como un inegrl en que el inegrdor es l función pre ener y = [x], como se ve coninución: En efeco, pr culquier sum de Riemnn-Sieljes l diferenci [ k ] - [ k-1 ] endrá el vlor 0 pr culquier inervlo [ k-1 ; k ] que no coneng un vlor enero. Al clculr el vlor de l sum límie, se verá que es diferenci iene vlor 1 pr los inervlos "isecdos" por eneros y que el vlor que se erminrá considerndo pr f(x) será el que correspond un x enero. Eso mién implic que el vlor de un inegrl de Riemnn-Sieljes puede verse fecdo cmindo el vlor del inegrndo en un solo puno; de hecho, eso puede incluso fecr l exisenci de l inegrl, dependiendo de ls disconinuiddes de f y α. Si ms son disconinus en un ciero puno, l inegrl no exisirá. Aplicciones

5 Prof. Enrique Meus Nieves Docorndo en Educción Memáic. Ls inegrles de Riemnn-Sieljes permien descriir un conjuno de fenómenos más mplio que ls inegrles de Riemnn normles. Podemos uilizr, por ejemplo, un inegrl de Riemnn-Sieljes pr reemplzr un sumori. Asimismo, un inegrl de líne de un función f(x, y, z) respeco l longiud de rco de un curv r() = x()i+ y()j + z()k con 0 < < f es en relidd un inegrl de Riemnn-Sieljes en que el inegrndo es l función F() = f(x(),y(),z()) y el inegrdor es l función s() que indic l longiud del rco de curv: f ( x,y,z )ds f 0 f ( x( ),y( ),z( ))ds() f 0 F( ) s()d Referencis Apósol, Tom M Análisis Memáico (Mhemicl Anlysis), rd., ed. Reveré S. A. Brle, Roer G Inroducción l Análisis Memáico (The Elemens of Rel Anlysis), rd., ed. Limus S.A.

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