La Circunferencia y el círculo. Si desde un punto P, exterior a una circunferencia, trazamos dos rectas secantes a una circunferencia, se cumple que:

Transcripción

1 La ircunferencia y el círculo Potencia de un punto respecto de una circunferencia Si desde un punto P, eterior a una circunferencia, trazamos dos rectas secantes a una circunferencia, se cumple que: P P = P PD este producto se le llama PTENI del punto P respecto de la circunferencia. Si dos cuerdas se cortan en un punto P, los segmentos que se forman cumplen la siguiente relación: P P = P PD Ejemplo: Si P = 4 cm; = 8 cm; P = 7 cm; uánto mide PD? P P = P PD 4 m 1cm= 7cm PD 4 cm 1 cm = PD PD = 6, 85cm 7cm Ejemplo: Si Llamemos: (8 ) = = = 0 ( 6) ( ) = 0 1 = 6 ^ = Luego: = 8cm ; P = 3cm y PD = 4cm uánto mide P? P = P = 8 (porque = 8cm ) P P = P PD P = 6cm P = 8 6 = cm (o bien P = cm P = 6cm ) tras propiedades ngulares de la ircunferencia El ángulo formado por dos cuerdas equivale a la semi-suma de las medidas de los arcos que interceptan. PR + QS α = El ángulo formado por dos rectas secantes a una circunferencia equivale a la semi-diferencia de los arcos que interceptan. PR QS β = 1

2 Ejercicios de desarrollo: Encuentra en cada caso la medida del ángulo. ( es centro de la circunferencia) 1) ) 3) 30º 60º 75º 4) 5) 6) 30º 90º 110º 7) 8) 9) 10) 11) 1) 90º 00º 10º

3 Ejercicios 1. En la circunferencia de centro y diámetro. Si = 10, entonces =? ) 1,5 ) 5 ) 30 D) 50 E) 60.- En la figura m, es punto medio del arco. Entonces, arco m =? ),7 ) 54 ) 17,5 D) En la figura m, es punto medio del arco. Entonces, arco m=? ) q ) /3q -90 ) q D) 180 -q/ 4.- Dada la siguiente figura, donde es centro de la circunferencia. =? ) 30 ) 45 ) 40 D) Dada la siguiente figura, donde es centro de la circunferencia. =? ) 37,5 ) 45 ) 30 D) 60 3

4 6.- rco es 1/6 de la circunferencia. es punto medio de. =? ) 10 ) 1 ) 60 D) rco = 30º de la circunferencia. : =:3. =? ) 56 ) 6 ) 1 D) Dada la siguiente figura, con diámetro, cuál es la medida del =? ) 54 ) 36 ) 18 D) En la figura, centro de las, cuál es la medida del =? ) 90 ) 45 ) 30 D) En la figura, centro de la, cuál es la medida del =? ) 160 ) 150 ) 154 D) 17 E) 16 4

5 11.- En la figura. centro de la, cuál es la medida del =? ) 30 ) 40 ) 50 D) Dada la siguiente figura. centro de. PE = 15º. arco = arco = arco D = arco DE,, cuál es la medida del ángulo =? ) 15 ) 45 ) 30 D) En la de centro, arco = arco = arco D = arco DE, cuál es la medida del? ) 80 ) 50 ) 30 D) centro de la circunferencia. uál es la medida del? ) 410 ) 60 ) 50 D) centro de la circunferencia. cuál es la medida del? ) 10º ) 70 ) 80 D) 90 E) centro de la circunferencia. Los arcos ==D, cuál es la medida del? ) β+90 ) β ) β/ D) β 5

6 17.- centro de la circunferencia. uál es la medida del? ) 360 α + β ) (α + β) ) α + b D) α + β/ centro de la circunferencia. Los arcos PQ=QR=RS. uál es la medida del? ) 40 ) 60 ) 80 D) centro. MN tangente a la circunferencia. uál es la medida del? ) 140 ) 70 ) 60 D) centro. rco = arco D. uál es la medida del? ) β ) 90 -β/3 ) β D) (4/3) β 1.- En la circunferencia de centro de la figura 1, se han dibujado tres diámetros. on los datos dados, determina el valor del? ) 75º ) 35º ) 0º D) 70º E) 110º.- Dada la siguiente circunferencia EF = 85º =? ) 15 ) 40 ) 0 D) 75 6

7 3.- Dada la siguiente circunferencia. arco F=135º, = ) 1,5 ) 5 ) 75 D) 37,5 4. uál es el total de los trapecios isósceles dentro del pentágono regular en donde se ha inscrito una estrella? ) 4 ) 5 ) 10 D) 8 5. En la figura L//L ; si P = 10 y Q = 3cm, entonces la medida de P es: ) 1 P L ) 48 ) 3 D) 6 E) 1 Q L 6. En la circunferencia de centro y radio r, MN es diámetro, si MP = r y Q punto medio de MP, entonces QN= ) r 3 N ) ) r r 3 13 D) r 1 E) No se puede determinar M Q P 7. En la figura el es equilátero uánto mide el?. Si es el centro de la circunferencia ) 100º ) 30º ) 10º D) 60º E) falta información 7

8 8. En la figura P es el centro de la circunferencia //FD, D //EF rco() = rco(d), entonces es(son) verdadera(s) I. GP = FD II. GFDP es trapecio rectángulo III. ángulo GE = ángulo PD ) Sólo I ) Sólo II ) Sólo I y II D) Sólo I y III 9. El triángulo está trazado en la mitad de la circunferencia. Si h c = 4cm y el lado = 5cm. El radio de la circunferencia es: ) 3 cm E G F P D ) cm ) cm D) 1 1 cm 30. En la figura se tiene circunferencia de centro, MP bisectriz del MN. Si MPN = 40º, entonces =? ) 5º ) 30º ) 35º D) 40º E) 45º 31. un círculo de 5 cm de diámetro se traza desde un punto P una tangente P y una secante P que pasa por el centro como lo M N P indica la figura. Si la cuerda mide 4 cm y P mide 4 cm. alcular la tangente P. ) 3 cm ) 6 cm ) 7 cm D) 8 cm E) 9 cm α 4 5 β P 3. En la semicircunferencia de centro, D = 40º y D //, entonces el vale: ) 10º ) 15º ) 0º D) 30º E) 45º 8

9 33. En la figura, es el centro de la circunferencia. Si // RT y = 94º; la medida del ángulo α es: ) 47º ) 94º ) 13º D) 133º E) e) 15º P 34. P = 16; = ; entonces PT es : 4 ) 8 ) b) 4 48 ) c) 4 3 D) d) 8 3 E) e) = diámetro = 1; E = ; E = 5; ED =? ) 1 ) ) 3 D) 4 E) En la misma figura anterior: E = 8; E = 6; DE = 1; =? ) 17 ) 9 ) 15 D) 10 E) El triangulo D inscrito en la circunferencia de centro, tangente a la circunferencia en. Entonces siempre se cumple: I) α + β = 90º II) β α = 5º III) = D ) Sólo I ) Sólo II ) Sólo III D) Solo II y III E) I, II y III 9

10 38. = 10 ; P = 8; PD = 9, entonces la medida del segmento D =? ) 16 ) 10 ) 7 D) 8 E) En la figura, P es un punto eterior; P = P y arco = arco DE, entonces el ángulo, mide: ) 4º ) 36º ) 48º D) 54º E) tro valor 40. MN es diámetro de la circunferencia. uánto mide el radio? ) 7 ) 8 ) 10 D) 11 E) e) uál es la medida del diámetro MN, si PM = 40 ; PT = 60 y es centro? a) 36 b) 40 c) 45 d) 50 e) = P = 1cm; PD = 4cm, entonces la medida del segmento D =? a) 16 b) 10 c) 7 d) 8 e) Faltan datos 43. En el T ; T tangente a la circunferencia en T; T = r y centro de la de radio r. Entonces el valor del ángulo es: a) α b) α / 5 c) α / d) α / 3 e) 45º α / 10

11 44. Si los puntos P, Q, R y S pertenecen a la circunferencia, entonces la medida del ángulo es: a) 55º b) 54º c) 33º d) 7º e) 0º 45. y D son diámetros. Entonces el valor del ángulo es: a) α / b) α / 3 c) α 90º α + 90º d) e) 180 º α 46. es diámetro de la circunferencia de radio 3 cm. Si = 8cm, entonces D =? a) 6 cm b) 4,8 cm c) 6,4 cm d) 3 cm e) 3,6 cm 47. El triángulo está inscrito en la circunferencia de centro. si D es un diámetro, entonces el ángulo, mide: a) α b) β c) ( α + β ) / d) 90 º α e) 90 º β 48. P y P son tangentes a la circunferencia de centro, cuánto mide el ángulo? a) 30º b) 65º c) 130º d) 135º e) N centro de las circunferencia. =6, =8 cuánto mide el radio de la circunferencia? a) 0 b) 5 c) 10 d) 14 e) Ninguna de las anteriores 11

12 50. α = 40º, cuanto mide? a) α b) α c) 180º α d) 90º α e) N Los ángulos 1, y 3 son congruentes, los trazos F, G y E son alturas y bisectrices. Entonces, mide: a) 30 1 b) 45 E c) 60 d) 90 e) Falta información F 3 G 5. Si α es el doble de β entonces sus medidas son respectivamente: D ) 80 y 40 ) 60 y 30 ) 40 y 0 D) 0 y 10 E) tros ángulos E 30 o α 40 o 50 o β 53. uál debe ser la longitud del trazo EF si P y Q son puntos medios? (D trapecio) ) 7,5 ) 8 ),5 D) 3,5 E) N.. P F 5 10 E Q D 54. Sea, y bisectrices de los ángulos interiores del triángulo ; además = =, y < = 30º, de las siguientes afirmaciones es FLS: I. Triángulo es equilátero. II. Los triángulos que tienen como vértice el punto son isósceles. III. Todos los triángulos que se observan son acutángulos. IV. = = a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Sólo IV e) N.. 1

13 55. En la figura es el centro de la circunferencia, además arco() : arco() = :3, entonces =? ) 60 ) 40 ) 100 D) En la figura, si todas las líneas son paralelas, el máimo de paralelogramos es: ) ) 6 ) 5 D) 8 E) Si el trazo EF = EG y el ángulo FEG vale 60, el triángulo de la figura es: ) Isósceles ) Equilátero ) Escaleno D) cutángulo E) y D 58. En la figura =7. Si rco(e) = rco(f), entonces cuánto vale + y? ) 94 ) 86 ) 188 D) 17 E) En la circunferencia de centro, al arco() = de la 5 circunferencia, cuánto mide el arco(d)? ) 7 ) 96 ) 10 D) 168 E) N En la figura, circunferencia de centro y radio r. triángulo equilátero, si P, Q, T son tangentes a la circunferencia en, y respectivamente, entonces α+β+δ =? ) 360 ) 180 ) 90 D) 60 E) 45 D F E 80 D D P R T S Q E 60 G F E F y 50 o 48 P P α + Q β γ T 13

14 61. es tangente a la circunferencia. uánto mide el diámetro de la circunferencia? (1) P = 4 cm() PT = 1 cm ) (1) por sí sola. ) () por sí sola ) mbas juntas, (1) y () D) ada una por sí sola, (1) ó () E) Se requiere información adicional 6. PT es tangente a la circunferencia en T. Si =3P y PT=4 cm, El valor de es: ) cm ) 4 cm ) 6 cm D) 8 cm E) 4 3 cm 63. En la figura mide 4 cm y es tangente a la circunferencia de centro. Si es el diámetro de la circunferencia y =, cuánto mide el radio? ) cm ) 4 cm ) D) E) Falta información. 64. En la figura: P = + P y P : PD : P = 1 : 4 : 8. uánto mide? ) ) 4 ) 8 D) 1 E) T es tangente a la circunferencia de radio r y centro en. Si T = r 3, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. M = M. II. M = MT. III. arcotm = πr 3 ) Solo I ) Solo II ) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III 14

15 SLUINES 1 E 6 E D D 46 E E D D 3 37 E 4 E 47 E? 5 57 E D 18 3 D 8 D 33 D E D D 4 D? 9 34 D D D 5 D 10 E 15 E 0 D D 40 D E 65 E 15