1 Autovalores y autovectores asociados a un endomor smo f. Diagonalización.

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1 utovalores y autovectores asociados a un endomor smo f Diagonalización Dado un endomor smo f de un espacio vectorial real V y jada una base B de V obtenemos una única matriz asociada a f respecto de la base B que denotamos M BB (f) ó M B (f) Se veri ca que todas matrices asociadas a un mismo endomor smo f de V respecto de distintas bases son semejantes; esto es, si B y B son bases de V, se tiene que: M BB (f) = M B B M B B (f) M BB = M B B M B B (f) M B B : El objetivo de este tema es obtener (cuando sea posible) una base ~ B del espacio vectorial V tal que la matriz M ~B ~ B (f) sea diagonal Matrices semejantes De nición Se dice que dos matrices cuadradas de orden n, y B 2 M n, son semejantes si existe una matriz P 2 M n regular tal que = P BP Dicha matriz P se denomina matriz de paso Propiedades Si dos matrices ; B son semejantes entonces det = det B 2 Si dos matrices son semejantes entonces sus rangos coinciden 3 Si y B son semejantes entonces k y B k también son semejantes 4 Las matrices asociadas a un mismo endomor smo f : V! V respecto de distintas bases son semejantes 2 utovalores de un endomor smo f De nición Dada un endomor smo f de V, diremos que 2 R es un autovalor ó valor propio de f si existe un vector ~v 6= ~ tal que f(~v) = ~v l vector ~v 2 R n que cumple lo anterior lo llamaremos autovector o vector propio de f asociado al autovalor Llamamos subespacio propio asociado al autovalor al siguiente conjunto: V = f~v 2 V j f(~v) = ~vg: Proposición V () es un subespacio vectorial de V invariante por f Demostración Veamos primero que es un subespacio vectorial de V V no es el conjunto vacío pues ~ 2 V Sean ~v; ~w 2 V y ; 2 R entonces f(~v + ~w) = f(~v) + f( ~w) = ~v + ~w = (~v + ~w);

2 y por tanto, ~v + ~w 2 V Luego, V es un subespacio vectorial de V Veamos que es invariate por f; esto es, si ~v 2 V tenemos que ver que f(~v) 2 V : f(f(~v)) = f(~v) = f(~v) =) f(~v) 2 V Proposición Sea endomor smo f de V, B C la base canónica de V y = M BC B C (f) la matriz asociada a f respecto de las bases canónicas Las siguientes a rmaciones son equivalentes: (i) es un autovalor de f (ii) El sistema homogéneo ( I)~x = ~ es compatible indeterminado (iii) det( I) = Demostración es un autovalor de f () existe ~x 2 V, ~x 6= ~, tal que f(~x) = ~x () existe ~x 2 V, ~x 6= ~, tal que (~x) = ~x () existe ~x 2 V, ~x 6= ~, tal que ( I)~x = ~, donde I es la matriz identidad de orden n () el sistema homogéneo ( I)~x = ~ es compatible indeterminado () det( I) = : 3 utovalores de una matriz cuadrada De nición Los autovalores de una matriz 2 M n son los valores 2 R (o 2 C) que anulan el siguiente polinomio de grado n: p () = j Ij que llamaremos polinomio característico la ecuación j Ij = la llamaremos ecuación característica Las raíces de la ecuación característica son, por tanto, los autovalores de la matriz Denotando por i la multiplicidad de la raiz i de la ecuación característica, entonces la factorización del polinomio característico es p () = j Ij = ( ) ( r ) r, donde + + r = n Propiedad Dos matrices semejantes tienen el mismo polinomio característico Demostración: Sean ; B dos matrices semejantes; esto es, existe una matriz P invertible tal que = P BP Por tanto, j Ij = jp BP Ij = jp BP P IP j = jp (B I)P j = jp jjb IjjP j = jp jjb IjjP j = jb Ij: 2

3 Propiedad Todas las matrices asociadas a una misma aplicación lineal f, = M BB (f), tienen el mismo polinomio característico y, por tanto, los mismos autovalores que son precisamente los autovalores de la aplicación lineal f Demostración: Si = M BB (f) y = M B B(f) son dos matrices asociadas a f respecto de distintas bases, entonces son matrices semejantes pues la matriz M B B veri ca: M BB (f) = M B B M B B (f) M B B : Y como lasmatrices semejantes tienen el mismo polinomio característico, se concluye Si = M BC B C (f) para cada autovalor i de, tenemos el subespacio de los autovectores asociados al autovalor i : V i = f~v 2 R n j ~v = i ~vg = f~v 2 R n j ( i I)~v = ~g Llamaremos multiplicidad geométrica de i a la dimensión de V i y la denotaremos por m i = dim (V i ) Obsérvese que dim(v i ) = n rg( i I) y por ser i un autovalor de, se tiene que det( rg( i I) < n Luego dim(v i ) 6= 4 Propiedades de los autovectores Se veri ca que dim(v i ) i donde i es la multiplicidad de la raiz i Luego dim(v i ) i : i I) = y, por tanto, 2 utovectores asociados a autovalores distintos son linealmente independientes 5 Propiedades de los autovalores Sea 2 M n una matriz cuadrada con polinomio característico: p () = j Ij = ( ) ( n ) donde los autovalores i se pueden repetir Entonces La matriz y su traspuesta tienen los mismos autovalores 2 det = n y tr = + + n 3

4 3 Dado 2 R, los autovalores de la matriz son ; : : : ; n 4 Dado k 2 N, los autovalores de la matriz k son k ; : : : ; k n 5 Si es una matriz no singular entonces todos sus autovalores son no nulos y los autovalores de la matriz son: = ; : : : ; = n 6 Si es una matriz idempotente entonces sus autovalores son ó 7 Si es una matriz triangular entonces sus autovalores son los elementos de la diagonal principal 8 Si es una matriz ortogonal con autovalores reales entonces sus autovalores son ó 6 Diagonalización de un endomor smo f Sea f un endomor smo de un espacio vectorial V sobre un cuerpo K con dim V = n Proposición Sean 6= dos autovalores de un endomor smo f se tiene: V \ V = f~g: Demostración Sea ~v 2 V \ V entonces f(~v) = ~v y f(~v) = ~v luego, restando obtenemos ~ = ~v ~v = ( ) ~v de donde como 6=, obtenemos ~v = ~ Proposición utovectores asociados a autovalores distintos son linealmente independientes Demostración Sean ~v 2 V y ~w 2 V veamos que son linealmente independientes Supongamos una combinación lineal de ~v y ~w: ~ = ~v + ~w entonces ~v = ~w y, por tanto, ~v 2 V \V = f~g luego = nálogamente obtendríamos = Proposición Sea la matriz asociada a f, entonces dim(v ) = n rg( I): Demostración El subespacio propio asociado al autovalor de se escribe: V = f~x j ( I)~x = ~g y, por tanto, es el conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales homogéneo Se veri ca: dim(v ) = dim V rg( I): Obsérvese que por ser un autovalor de 2 M n, se tiene que rg( I) < n Luego el sistema ( I)~x = ~ tiene solución distinta de la trivial y dim V 6= 4

5 Proposición Sea 2 K un autovalor de multiplicidad del endomor smo f, entonces dim(v ) : Demostración Como rg( I) < n se tiene: dim(v ) = dim V rg( I) : Sea d = dim (V ) y sea B = f~u ; : : : ; ~u d g una base de V Buscamos una base de un subespacio W complementario de V ; B W = f ~w ; : : : ; ~w n d g Por tanto, B = f~u ; : : : ; ~u d ; ~w ; : : : ; ~w n d g es base de V Se tiene: (d C M B (f) = B C O D y por tanto, como det(m B (f) I) = I C O D I = ( ) d det (D I n d ) la multiplicidad del autovalor es mayor o igual que d; esto es, dim(v ) = d Observación Si es un autovalor simple entonces dim(v ) = De nición Un endomor smo f de V sobre un cuerpo K se dice que es diagonalizable si existe una base B de V formada por autovectores de f Teorema Un f endomor smo de V sobre un cuerpo K es diagonalizable si y sólo si todos sus autovalores pertenecen al cuerpo K y la multiplicidad de cada autovalor i coincide d i = dim(v i ); esto es, si i 2 K dim(v i ) = i (multiplicidad de i ) o equivalentemente si V = V V 2 V r Demostración Sean ; : : : ; r los autovalores de f pertenecientes al cuerpo K de multiplicidades ; : : : ; r respectivamente El número máximo de autovectores linealmente independientes es d + + d r : Como d i i y + + r n, entonces, existe una base de V de autovectores de f si y sólo si d + + d r = n; esto es, si y sólo si, di = i, con i = ; : : : ; r + + r = n 5

6 6 Construcción de la matriz asociada a un endomor smo f diagonalizable Sea f un endomor smo diagonalizable de un espacio vectorial V con dim V = n Sean ; : : : ; r 2 K los autovalores de f de multiplicidades ; : : : ; r respectivamente Como f es diagonalizable, entonces dim(v i ) = i, i = ; : : : ; r Tomamos una base de cada subespacio propio: B = f~u ; : : : ; ~u g base de V B 2 = f~v ; : : : ; ~v 2 g base de V 2 B r = f ~w ; : : : ; ~w r g base de V r entonces B = f~u ; : : : ; ~u ; ~v ; : : : ; ~v 2 ; : : : ; ~w ; : : : ; ~w r g es una base de V formada por autovectores de f (pues son + + r = n vectores linealmente independientes) Observación La matriz asociada a un endomor smo f en una base formada por autovectores es diagonal Si B = f~u ; : : : ; ~u ; ~v ; : : : ; ~v 2 ; : : : ; ~w ; : : : ; ~w r g es una base de V de autovectores de f entonces como: 8 >< >: se tiene M B (f) = B f(~u ) = ~u, f(~u ) = ~u ( 8 >< >: f(~v ) = 2 ~v f(~v 2 ) = 2 ~v 2 : : : 2 ( >< >: f( ~w ) = r ~w f( ~w r ) = r ~w r r ( r r C De nición Se dice que una matriz cuadrada es diagonalizable si es semejante a una matriz diagonal D; esto es, si existen una matriz diagonal D y una matriz regular P tales que = P DP Observación Un endomor smo f de V () La matriz = M BC B C (f) es diagonalizable 6

7 Teorema Una matriz real 2 M n es diagonalizable si y sólosi todos sus autovalores pertenecen al cuerpo K y la multiplicidad de cada autovalor i coincide d i = dim(v i ) Esto es, si el polinomio característico de es p () = j Ij = ( ) ( r ) r, donde + + r = n con i 6= j, entonces se cumple que demás las matrices 8 >< es diagonalizable () >: dim(v ) = dim(v 2 ) = 2 dim(v r ) = r P = (~u ; : : : ; ~u ; ~v ; : : : ; ~v 2 ; : : : ; ~w ; : : : ; ~w r ) D = B ( 2 ( 2 2 r ( r r C veri can Observación Nótese que = P DP : D = M B B (f) P = M B B C : Propiedades Si una matriz 2 M n es diagonalizable entonces para todo 2 R, la matriz es diagonalizable 2 la matriz traspuesta de, esto es, T, es diagonalizable 3 si además es no singular, entonces también es diagonalizable Y si = P DP entonces = P D P 7

8 4 Las matrices 2 M n idempotentes sólo tienen los autovalores y demás veri can que dim(v = ) = multiplicidad del autovalor dim(v = ) = multiplicidad del autovalor y por tanto, son matrices diagonalizables 62 Cálculo de la potencia k-ésima de una matriz Si 2 M n es una matriz diagonalizable entonces existen matrices P 2 M n regular y D 2 M n diagonal tales que: = P DP Por tanto, 2 = P D P P {z } DP = P DIDP = P D 2 P 3 = P D P P {z } D2 P = P DID 2 P = P D 3 P en general k = P D k P 7 Ejercicios resueltos Dada la aplicación lineal f(x; y; z) = (x+2y; x+3y +z; y +z) estudiar si existe una base B tal que la matriz asociada respecto de B en los espacios de partida y de llegada sea una matriz diagonal SOLUCIÓN: La matriz asociada a f respecto de las bases canónicas es: 2 = 3 : La ecuación característica de es: 2 j Ij = 3 = ( )(3 )( ) ( ) + 2( ) = ( ) 2 (3 ) + ( ) = ( )f( )(3 ) + g = ( )f g = ( )f g = ( )( 2) 2 Por tanto, los autovalores de son = simple y = 2 doble El subespacio asociado a = tiene dimensión pues la multiplicidad de = es uno 8

9 El subespacio asociado a = 2 tiene dimensión: dim V (2) = 3 rg( 2I) = 3 rg 2 = 3 2 = 6= 2 Por tanto, como dim V (2) no coincide con la multiplicidad del autovalor 2, la matriz no es diagonalizable 2 Sea = B la matriz asociada a una aplicación lineal f respecto de las bases canónicas (a) Es el vector (; ; ; 5) un autovector de f asociado al autovalor 3? (b) Es la matriz diagonalizable? SOLUCIÓN: (a) Veamos si f(; ; ; 5) = 3(; ; ; 5) Como es la matriz asociada a f respecto de las bases canónicas sabemos que la cuarta columna de son las coordenadas de f(; ; ; ) en la base canónica; esto es, C f(; ; ; ) = (; ; ; 3) = 3(; ; ; ) luego, (; ; ; ) es un autovectro de f asociado al autovalor 3 Y por tanto, (; ; ; 5) = 5(; ; ; ) también es un autovector de f asociado al autovalor 3 (b) Calculamos el polinomio caractrerístico de : 2 j Ij = = (2 ) = (2 )(3 ) = (2 )(3 )f( 5 )(4 ) 8g = (2 )(3 )f 2 + 2g = (2 )(3 )( )( + 2) 9

10 Por tanto los autovalores de son: 2; ; 2 y 3 Como los autovalores de son distintos dos a dos, la matriz es diagonalizable 3 Estudiar para qué valores del parámetro m es la matriz: = m 4 4 diagonalizable SOLUCIÓN: Como det = uno de los autovalores de es = 4 La población activa de un país se clasi ca en tres categorías profesionales: técnicos superiores (x), obreros especializados (y) y obreros no especializados (z) : sí, en cada generación t la fuerza de trabajo del país está caracterizada por el número de personas incluidas en las tres categorías, es decir, (x t ; y t ; z t ) : Supóngase que: Cada trabajador activo sólo tiene un hijo El 5% de los hijos de los técnicos superiores lo son también, el 25% pasa a ser obrero especializado y el 25% restante es obrero no especializado Los hijos de los obreros especializados se reparten entre las res categorías según los porcentajes 3%, 4% y 3% Para los hijos de obreros no especializados, las proporciones de reparto entre las categorías son 5%, 25% y 25% Se pide: (a) Plantear en forma matricial un modelo que represente la distribución de la fuerza de trabajo del país de generación en generación (b) Cuál será la distribución de los trabajadores a largo plazo, independientemente de la distribución inicial? SOLUCIÓN: La matriz de transición es x t+ y t+ = z t+ :5 :3 :5 :25 :4 :25 :25 :3 :25 x t y t z t largo plazo habría que elevar la matriz de transición a n y ver a qué tiende cuando n tiende a Para ello diagonalizamos la matriz :5 :3 :5 = :25 :4 :25 :25 :3 :25

11 El polinomio característico de es: :5 :3 :5 j Ij = :25 :4 :25 :25 :3 :25 sumando a la primera la el resto de las las obtenemos: :25 :4 :25 = ( ) :25 :4 :25 :25 :3 :25 :25 :3 :25 y restando a la tercera columna la primera, obtenemos: ( ) :25 :4 = ( )( ) :25 :3 :25 :4 = ( )( )(:4 :25) = ( )(:5 ) Por tanto, los autovalores de son =, :5 y, distintos dos a dos y por tanto, la matriz es diagonalizable V ( = ) = f~x 2 R 3 j ( I) ~x = ~g :5 :3 :5 :25 :6 :25 x y = :25 :3 :75 z V ( = :5) = f~x 2 R 3 j ( :5I) ~x = ~g :5 :5 :3 :5 x :25 :4 :5 :25 y = :25 :3 :25 :5 z n = P = P V ( = ) = f~x 2 R 3 j ~x = ~g :5 :3 :5 :25 :4 :25 x y = :25 :3 :25 z :5 :5 n n P P : = P n :5 n n P

12 Por tanto, lim n! n = P = P lim n! :5 n P P la distribución a largo plazo será la misma para cualquier tipo de trabajador, ya que la proporción de reparto será la misma para cada clase de trabajador 8 Cuestiones Razonar si son verdaderas o falsas las siguientes a rmaciones: Sea 2 M 33 y sean ~u y ~v dos vectores no nulos de R 3 tales que ~u = ~ y ( I)~v = ~: Entonces, se veri ca que ~u y ~v son linealmente independientes 2 Sea 2 M nn tal que = es un autovalor de Entonces, el sistema homogéneo ~x = ~ es compatible indeterminado 3 Sean y 2 dos matrices de orden n diagonalizables Entonces, se veri ca que la matriz + 2 también es diagonalizable 4 Sea una matriz cuadrada de orden 2 tal que jj = Entonces se veri ca que es diagonalizable 5 La matriz = 3 es diagonalizable El vector ~u = (2; ; 2) es un autovector asociado a un autovalor negativo de la matriz = Sea una matriz de orden 4 con autovalores: = de multiplicidad 3 y 2 = de multiplicad, entonces la traza de la matriz 5 es tr(5 ) = 8 Sea 2 M 33 tal que jj =, tr() = 3 y = es un autovalor de Entonces = es autovalor de y dim V () = 2

13 9 Si conocemos la traza y el determinante de una matriz cuadrada de orden 2 entonces conocemos sus autovalores Sea una matriz cuadrada de orden 3 y sean u; v y w autovectores de : Entonces se veri ca que B = fu; v; wg es una base de R 3 3