Diagonalización de Matrices Cuadradas.

Transcripción

1 de Matrices Cuadradas. * Vector propio * Valor propio * Polinomio característico * Cómo se hallan? * Diagonalizabilidad. * Criterios * Aplicaciones Cuadernos Genius, el secreto de los mejores. Tema: de matrices cuadradas. Página 1

2 de Ximo Beneyto DIAGONALIZACION DE MATRICES CUADRADAS Comencemos con la construcción del tema, a lo largo del cual : 6 ú n representa el Espacio Vectorial Real ( ú n (ú), +, A ). 6 ú representa al cuerpo de los números reales. ( La construcción se generaliza a un cuerpo (K,+, A ) 6 ú n es el Espacio Vectorial Real n.dimensional. 6 Una matriz es CUADRADA si tiene el mismo número de filas que columnas. 6 Una matriz cuadrada es una matriz DIAGONAL, si todos sus elementos valen cero, excepto, tal vez, los de la diagonal principal. 6 Una matriz cuadrada es una matriz REGULAR, si su determinante es distinto de cero. VECTOR PROPIO Definición: Llamamos VECTOR PROPIO o AUTOVECTOR de una matriz cuadrada A 0M n, a un vector 0ú n, /, para algún 80ú. 6 Un vector propio de una matriz, es un vector no nulo de ú n, que, multiplicado POR LA IZQUIERDA por dicha matriz da como resultado el mismo vector multiplicado por un escalar 80 ú. 6 En el ámbito matricial, un vector propio es una matriz columna, n filas y una columna. Ejemplo: Dada la matriz, el vector = (2, -1, 2) es un vector propio de dicha matriz, pues Tema: de matrices cuadradas. Página 2

3 de Ximo Beneyto VALOR PROPIO Definición: Un número real 8 0 ú es un VALOR PROPIO o AUTOVALOR de una matriz cuadrada A 0M n,, si 0 ú n, /. 6 En el ejemplo anterior, 8 = -1 es un valor propio de la matriz A. 6 En la relación,, 8 es el VALOR PROPIO de la matriz A asociado a y es un VECTOR PROPIO de la matriz asociado a 8. En el ejemplo anterior, 8 = -1 es el valor propio de la matriz A asociado al vector =(2, -1, 2). Y viceversa, = (2, -1, 2) es un vector propio de la matriz A, asociado al valor propio 8 = -1. Observemos que, si bien un vector propio debe ser un vector no nulo, un valor propio puede tomar cualquier valor real, incluido el cero. Ejercicios: 1. Comprobar que = (2, 2, 2) es un vector propio de la matriz 2. Comprobar que 8 = 1 es un valor propio de la matriz. [Ayuda: Comprobar si, = tiene solución distinta de la trivial] 3. Comprobar que = ( 2,1) no es un vector propio de la matriz. Podrías, a simple vista, hallar algún vector propio de la matriz A? PROPIEDADES DE LOS VALORES Y VECTORES PROPIOS 1. Si y son vectores propios de una matriz A, asociados a valores propios distintos Y y son Linealmente Independientes. 2. Un vector propio de una matriz A, no puede estar asociado a dos valores propios distintos de dicha matriz. Tema: de matrices cuadradas. Página 3

4 de Ximo Beneyto 3. Si es un vector propio de una matriz A asociado a un valor propio 8 Y aa también lo es œ a 0 ú, a 0. Seguimos... Hallando los valores y los vectores propios de una matriz cuadrada... Los valores propios... Razonemos con algunos fundamentos de SISTEMAS de ECUACIONES LINEALES. Sea 0 ú n un vector propio de una matriz A, / (Observa la picardía de poner = IA, para efectuar el cálculo matricial sin pulverizarnos la existencia de la posterior resta de matrices) 6 Puesto que A 0 M n, y 0 ú n La expresión, representa un Sistema Homogéneo de 'n' Ecuaciones Lineales con 'n' incógnitas cuya matriz de coeficientes es precisamente (A - 8AI). Puesto que, debe ser solución del mismo, el SISTEMA deberá tener solución distinta de la trivial, y por tanto, deberá ser Homogéneo Compatible Indeterminado (S.H.C.I.), aplicando el teorema de Rouché-Fröbenius Y Rang ( A - 8I ) < n <=> * A - 8I * = 0. Pues bien, los valores propios de una matriz A, serán, las raíces de la ecuación *A - 8I* = 0. * *A - 8I* = 0, recibe el nombre de ECUACION CARACTERISTICA de la matriz A. * P A (8) = *A - 8I* es el POLINOMIO CARACTERISTICO de la matriz A y lo podemos calcular, mediante una de las expresiones: P A (8) = *A - 8I* ó *8I - A* Ejemplo. Hallar el polinomio característico y los valores propios de la matriz A: 6 Polinomio Característico Tema: de matrices cuadradas. Página 4

5 de Ximo Beneyto 6 Valores Propios Si = 0 => Es decir, la matriz tiene un único valor propio 8 = 3 con multiplicidad 3 Ejercicios: Hallar el polinomio característico y los valores propios de las siguientes matrices: Observa que, para hallar la matriz A - 8I, basta con restar 8 a los elementos de la diagonal principal de la matriz A. Los VECTORES PROPIOS... Una vez hallados los valores propios de la matriz, los vectores propios de ésta se obtienen a partir de los vectores NO NULOS que son solución del Sistema Homogéneo, para cada uno de los valores propios obtenidos. Ejemplo. Hallar los valores y vectores propios de la matriz Tema: de matrices cuadradas. Página 5

6 de Ximo Beneyto Trabajando ordenadamente... 6 Polinomio Característico de la matriz 6 Valores Propios Si = 0 o sea, 8 = -2 con multiplicidad 2 y 8 = 2 simple. 6 Vectores Propios 8 = -2 Sea / Y (A + 2AI)A =, Resolviendo por el método de eliminación œ ( x, y, z ) Y (x, y, z ) = (-z, 0, z ) = z ( -1, 0, 1 ) 6 El conjunto de vectores propios asociados a 8 = -2 es za( -1, 0, 1 ) œ z 0 8 = 2 Sea /,Y (A - 2AI)A =, Operando como antes œ ( x, y, z ) Y (x, y, z ) = (x, 0, -2x ) = x ( 1, 0, -2 ) 6 El conjunto de vectores propios asociados a 8 = 2 es x A ( 1, 0, -2 ) œ x 0 Tema: de matrices cuadradas. Página 6

7 de Ximo Beneyto 6 (-1, 0, 1 ), (-2, 0, 2), (-1/2, 0, 1/2)... son vectores propios de la matriz A asociados a 8 = -2 6 ( 1, 0, -2 ), ( 2 0, -4), (-1, 0, 2),... son vectores propios de la matriz A asociados a 8 = 2 Problemas.- Hallar polinomio característico, valores y vectores propios de las matrices: 1. A = 2. B = 3. C = DIAGONALIZABILIDAD DE UNA MATRIZ CUADRADA Definición: Decimos,que una matriz cuadrada A M n es DIAGONALIZABLE si existe una matriz regular P M n / D = P -1 AAAP es una matriz DIAGONAL. En este caso, se dice que la matriz P DIAGONALIZA a la matriz A, y que D es la matriz diagonal asociada. De la forma que hemos enfocado el tema, una matriz A M n es diagonalizable, si podemos encontrar una matriz cuadrada cuyas columnas están formadas por vectores propios de la matriz A, linealmente independientes. Pero, Cómo saberlo?. CRITERIOS DE DIAGONALIZABILIDAD DE MATRICES. 1 er CRITERIO Una matriz cuadrada A M n es DIAGONALIZABLE, si, para cada valor propio 8 i con multiplicidad p i, podemos encontrar p i vectores propios Linealmente IndependientesI. 2º CRITERIO Una matriz cuadrada A M n es DIAGONALIZABLE, si, para cada valor propio 8 i con multiplicidad p i, Rang ( A - 8 i I ) = n - p i Tema: de matrices cuadradas. Página 7

8 de Ximo Beneyto Son dos criterios muy claros, podemos emplearlos indistintamente aunque el primero tiene un carácter más práctico en un proceso clásico de diagonalización de matrices. Hallando la matriz P que diagonaliza A... Ojo! Importante... Si la matriz resulta diagonalizable, para hallar la matriz P, bastará formar, por columnas, una matriz con los vectores propios obtenidos anteriormente (No importa el orden). Y...naturalmente..., hallando la matriz DIAGONAL D. La matriz diagonal D, será una matriz en cuya diagonal principal colocaremos las valores propios de la matriz A, en el mismo orden en el que coloquemos los vectores propios en la matriz P, y el resto de los elementos serán ceros. Veamos ahora, en directo!, un proceso completo de DIAGONALIZACIÓN de una MATRIZ cuadrada Ejemplo. Dada la matriz, hallar polinomio característico, valores y vectores propios, una matriz que diagonalice a la matriz A, y, una matriz DIAGONAL asociada a A. [ Observa lo de '...una matriz...' y lo de '...una matriz diagonal...'. Comprendido?. 6 EL POLINOMIO CARACTERÍSTICO 6 LOS VALORES PROPIOS Si = 0 Y Operando por Ruffini Tema: de matrices cuadradas. Página 8

9 de Ximo Beneyto Valores propios [ Los tres valores propios son simples] 6 LOS VECTORES PROPIOS 8 = -1 Sea 0ú 3, / Resolviendo el S.H... como bien sabemos! œ (x,y,z) Y ( x,y,z ) = ( x, -x, 0) = xa( 1, -1, 0) Conjunto de vectores propios para 8 = -1: { xa( 1, -1, 0 ) / x 0 } 8 = 2 Sea 0 ú 3 / œ (x,y,z) Y ( x,y,z ) = ( -y, y, 3y) = ya( -1, 1, 3) Conjunto de vectores propios para 8 = 2: { ya( -1, 1, 3 ) / y 0 } 8 = 3 Sea 0 ú 3 / Tema: de matrices cuadradas. Página 9

10 de Ximo Beneyto œ (x,y,z) Y ( x,y,z ) = ( y/3, y, 4y/3) = y/3 (1, 3, 4) Conjunto de vectores propios para 8 = 3: {ya( 1, 3, 4 ) / y 0 } 6 DIAGONALIZABILIDAD DE LA MATRIZ A Debido a su mayor sencillez, aplicaremos el primer criterio de diagonalizabilidad : 8 = -1 Vectores Propios L.I., 1; p 1 = 1 T 8 = 2 Vectores Propios L.I., 1; p 2 = 1 T 8 = 3 Vectores Propios L.I., 1; p 3 = 1 T Y A es una matriz diagonalizable 6 UNA MATRIZ QUE DIAGONALIZA A Sea 6 UNA MATRIZ DIAGONAL SEMEJANTE a A 6 RELACION MATRICIAL D = P -1 AAAP 6 NOTAS.- La matriz diagonal, dependerá del orden en el que coloquemos los vectores propios en la matriz P construida, correspondiendo el orden de los valores propios en la diagonal principal de la matriz D, con el orden de los vectores propios en la matriz P. Creo que ya lo habíamos dicho!, pero bueno, repasamos. En el ejemplo anterior, si hubiéramos construido la matriz, la matriz Tema: de matrices cuadradas. Página 10

11 de Ximo Beneyto DIAGONAL hubiera sido: Los vectores seleccionados para cada valor propio no son únicos, podríamos haber elegido otros, e, incluso, haber obtenido otra estructura de los mismos en la resolución del Sistema Homogéneo. Problemas.- Hallar valores y vectores propios, estudiar la DIAGONALIZABILIDAD y, en caso afirmativo hallar una matriz P que diagonalice la matriz A, así como la matriz diagonal D asociada. PROPIEDAD Si todos los valores propios de una matriz A son simples Y A es DIAGONALIZABLE. Por lo tanto, las dudas acerca de la DIAGONALIZABILIDAD de una matriz nos surgirán en el caso de matrices con valores propios múltiples, en los que deberemos acudir a uno de los dos criterios para averiguarlo. En particular, toda matriz SIMÉTRICA es DIAGONALIZABLE. Veamos ahora un ejemplo de diagonalización de matrices con valores propios múltiples. Ejemplo.- Diagonalizar, si es posible, la matriz : 6 EL POLINOMIO CARACTERISTICO 6 LOS VALORES PROPIOS Tema: de matrices cuadradas. Página 11

12 de Ximo Beneyto Si = 0 Y Operando por Ruffini Valores propios 6 LOS VECTORES PROPIOS 8 = 1 Sea 0 ú 3 / œ (x,y,z) Y ( x,y,z ) = ( x, y, z) = (0, 0, z) = z ( 0, 0, 1) Conjunto de vectores propios para 8 = 1 { z A ( 0, 0, 1 ) / z 0 } 8 = 2 Sea 0 ú 3 / œ (x,y,z) Y ( x,y,z ) = ( 3y + z, y, z) = y ( 3, 1, 0) + z ( 1, 0,1 ) Conjunto de vectores propios para 8 = 2 { y A ( 3, 1, 0 ) + z A ( 1, 0, 1) / y, z 0 ú ( y, z ) (0, 0) } 6 DIAGONALIZABILIDAD 8 = 1 Vectores Propios L.I., 1; p 1 = 1 T 8 = 2 Vectores Propios L.I., 2; p 2 = 2 T Y A es una matriz DIAGONALIZABLE 6 RELACION MATRICIAL y MATRICES P y D Sea P 0 M 3 (ú ) la matriz Tema: de matrices cuadradas. Página 12

13 de Ximo Beneyto Precioso! Problemas : Diagonalizar la matriz : NOTAS: Si la matriz A es diagonalizable Y una matriz P regular / D = P -1 A A A P, es una matriz DIAGONAL, según el concepto de matrices semejantes, A y D son matrices SEMEJANTES y por tanto tienen en común : * el mismo determinante * el mismo rango * el mismo polinomio característico Por tanto, a partir de las propiedades de la matriz D, muy sencillas de estudiar, podemos obtener todas las propiedades de la matriz A ó cualquier otra semejante a ella Tema: de matrices cuadradas. Página 13