Algunos Tipos de matrices. Matrices. Algunos Tipos de matrices. Algunos Tipos de matrices

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1 Matrices Una matriz de orden m n es un conjunto ordenado de m n números reales dispuestos en m filas y n columnas de la forma: A = a 11 a 12 a 1j a 1n a 21 a 22 a 2j a 2n a i1 a i2 a ij a in a m1 a m2 a mj a mn Algunos Tipos de matrices (i) Matriz Nula: tiene todos los coeficientes iguales a cero (ii) Matriz cuadrada: tiene el mismo número de filas que de columnas, m = n En este caso, se dice que la matriz es cuadrada de orden n En una matriz cuadrada A = (a ij ) de orden n, los elementos a ii, con i = 1,, n forman la diagonal principal De manera abreviada esta matriz se escribirá A = (a ij ), con i = 1, 2 m y j = 1,, n 1 / 49 2 / 49 Algunos Tipos de matrices Algunos Tipos de matrices (iii) Matriz diagonal: matriz cuadrada en la que todos los elementos que no están en la diagonal principal son nulos d d 22 0 D = 0 0 d ii d nn (iv) Matriz Identidad: I n = / 49 4 / 49

2 Algunos Tipos de matrices Operaciones con matrices (v) Matriz fila o vector fila: la que tiene una única fila, es decir, es de orden 1 n V = (v 1,, v n ) (vi) Matriz columna o vector columna: sólo tiene una columna, es decir, es de orden m 1 c 1 C = c = c m La suma de dos matrices A = (a ij ) y B = (b ij ) del mismo orden m n es la matriz de orden m n S = A + B = (a ij + b ij ) El producto de un número α por una matriz A = (a ij ) es la matriz B = (α a ij ), que tiene el mismo orden que A 5 / 49 6 / 49 Operaciones con matrices Operaciones con Matrices El producto de una matriz fila F = (f 11, f 12,, f 1n ) por una matriz columna C = c 11 c 21 c n1, es el número f 11 c 11 + f 12 c f 1n c n1 = n k=1 f 1k c k1 El producto de una matriz A = (a ik ) de orden m n por el vector columna v de orden n 1 es el vector columna de orden m 1 a 11 a 1j a 1n a 21 a 2j a 2n a i1 a ij a in a m1 a mj a mn v 1 v 2 v i v n = n k=1 a 1kv k n k=1 a 2kv k n k=1 a ikv k n k=1 a mkv k 7 / 49 8 / 49

3 Operaciones con matrices Operaciones con matrices El producto de una matriz A = (a ik ) de orden m n por una matriz B = (b kj ) de orden n p (el número de columnas de A debe coincidir necesariamente con el de filas de B) es la matriz C de orden m p que tiene en el lugar ij el producto de la fila i-ésima de A por la columna j-ésima de B Es decir, c ij = a i1 b 1j + a i2 c 2j + + a in b nj = n a ik b kj k=1 Matriz traspuesta: Dada la matriz A = (a ij ) de orden m n, se llama matriz traspuesta de A, y se denota A T, a la matriz que tiene como filas a las columnas de A y como columnas, a las filas de A En determinadas ocasiones, por comodidad, en el texto escribiremos v = (v 1,, v n ) T en lugar de v 1 v = v n 9 / / 49 Cálculo Determinante El determinante de una matriz cuadrada A = (a ij ) de orden n es un número que denota A = (a ij ) y que se calcula según las siguientes reglas: El determinante de una matriz cuadrada de orden 1, A = (a 11 ) es A = (a 11 ) = a 11 El determinante de una matriz A = de orden 2 es A = a 11 a 22 a 12 a 21 ( a 11 a 12 a 21 a 22 ) Cálculo del Determinante Dada una matriz cuadrada de orden n, A = (a ij ), llamaremos A(i j) a la matriz cuadrada de orden n 1 que se obtiene eliminando la fila i y la columna j de A y llamaremos ij-ésimo menor adjunto de A a α ij = ( 1) i+j A(i j) Se define el determinante de A por A = a 11 α 11 + a 12 α a n1 α n1 = n a k1 α k1 Esta fórmula se conoce como desarrollo de Laplace de A por la primera columna k=1 11 / / 49

4 Regla de Sarrus Propiedades de los determinantes Sea A = (a ij ) una matriz cuadrada de orden 3, entonces: A = = a 11 a 22 a 23 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 = a 21 a 22 a 23 = a 31 a 32 a 33 a a 12 a a 32 a 33 + a 31 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 a 12 a 13 a 22 a 23 = iii) El determinante de la matriz identidad I n es 1 iv) El determinante de una matriz diagonal D es el producto de los elementos de su diagonal principal, es decir, si d d D = d n entonces D = d 1 d 2 d n 13 / / 49 Propiedades de los determinantes Propiedades de los determinantes Las principales propiedades de los determinantes pueden consultarse en la pág de los apuntes Las que con mayor frecuencia usaremos en este curso son las siguientes propiedades: (e) Si todos los elementos de una fila (o columna) son nulos, entonces A = 0 (h) El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de los determinantes de los factores (j) El determinante de una matriz puede obtenerse desarrollando por cualquiera de sus columnas o filas: 15 / 49 A = a 1j α 1j +a 2j α 2j + +a nj α nj = a i1 α i1 +a i2 α i2 + +a in α in Matriz inversa Sea A una matriz cuadrada de orden n Diremos que A es una matriz regular o invertible si existe una matriz, que llamaremos inversa de A y denotaremos A 1, que cumple: A A 1 = A 1 A = I n 16 / 49

5 Cálculo de la Matriz inversa Cálculo de la Matriz inversa Definiciones Dada una matriz A cuadrada de orden n, llamaremos ij-ésimo menor adjunto de A a α ij := ( 1) i+j A(i j), donde A(i j) es la matriz cuadrada de orden n 1 que se obtiene eliminando la fila i y la columna j de A Se llama adjunta de la matriz A = (a ij ), y se denota adj(a), a la matriz: Teorema Si A es una matriz cuadrada con A = 0, entonces es invertible y A 1 = 1 A (adj(a))t = 1 A adj(at ) adj(a) = (α ij ) 17 / / 49 Regla de Cramer Regla de Cramer Si en un sistema de n ecuaciones con n incógnitas A x = b el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero, A 0, entonces, el sistema tiene solución única y ésta viene dada por: x j = A j A, donde A j es la matriz que se obtiene sustituyendo la columna j de A por la columna formada por los términos independientes del sistema 19 / 49 Sistemas homogéneos Un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo cuando todos los términos independientes valen cero Es decir, cuando el sistema de ecuaciones es de la forma a 11 x 1 + a 12 x a 1m x m = 0 a 21 x 1 + a 22 x a 2m x m = 0 a n1 x 1 + a n2 x a nm x m = 0 lo que en forma matricial se escribe A x = 0 Es evidente que estos sistemas siempre tienen, al menos, una solución x 1 = x 2 = = x m = 0 20 / 49

6 Sistemas homogéneos Sistemas homogéneos Si en un sistema homogéneo el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas (n = m) y el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero entonces, por la Regla de Cramer, la única solución del sistema es la nula, x 1 = x 2 = = x n = 0 Por lo tanto, para que un sistema homogéneo tenga soluciones no nulas, tiene que ocurrir que el determinante de la matriz de coeficientes del sistema sea cero También es cierto que si el determinante de la matriz de coeficientes de un sistema homogéneo de n ecuaciones con n incógnitas es cero, entonces el sistema tiene soluciones no nulas 21 / / 49 Sistemas homogéneos Autovalores y autovectores En resumen: Un sistema homogéneo con igual número de ecuaciones que de incógnitas, A x = 0, tiene soluciones no nulas, si, y sólo si, A = 0 Se dice que dos vectores x = (x 1, x 2, x n ) T e y = (y 1, y 2, y n ) T son proporcionales si existe un número λ tal que y = λ x, es decir, y 1 = λx 1, y 2 = λx 2,, e y n = λx n 23 / / 49

7 Autovalores y autovectores Autovalores y autovectores Definiciones Sea A una matriz cuadrada de orden n Un vector no nulo u = (u 1,, u n ) T es un autovector o un vector propio de A si el producto A u es proporcional a u Es decir, si existe algún número λ tal que A u = λ u Un número real λ es autovalor, o valor propio, de una matriz cuadrada A si existe un vector no nulo u tal que A u = λ u Diremos entonces que u es un autovector asociado al autovalor λ Cada autovector de una matriz está asociado a un único autovalor: si el autovector u está asociado a λ y a µ entonces A u = λ u = µ u y como u 0 la igualdad λ u = µ u sólo puede darse cuando λ = µ 25 / / 49 Autovalores y autovectores Autovalores y autovectores Si u es un autovector de A asociado al autovalor λ, entonces cualquier vector no nulo proporcional a u, es decir, α u con α 0, es también autovector de A ya que si A u = λ u, entonces A(α u) = α(a u) = α(λ u) = λ(α u) El vector cero cumple que A 0 = λ 0, para cualquier matriz A y cualquier número real λ por lo que por definición el vector cero no se admite como autovector en ningún caso El número 0 sí será autovalor para algunas matrices, como podemos ver en el siguiente ejemplo 27 / / 49

8 Autovalores y autovectores Cálculo de autovalores y autovectores Ejercicio Compruébese que el vector (0, 1, 0) T es un autovector asociado al autovalor λ = 1 para la matriz Definición Se llama ecuación característica de una matriz cuadrada A, de orden n, a la ecuación que es equivalente a A xi n = 0 xi n A = 0 29 / / 49 Cálculo de autovalores y autovectores Cálculo de autovalores y autovectores Los autovalores de una matriz A son los números reales λ para los que el sistema de ecuaciones (A λi n ) x = 0 tiene soluciones no nulas luego los autovalores de una matriz cuadrada de orden n son las soluciones de la ecuación característica A xi n = 0 Para calcular los autovalores y autovectores de una matriz A de orden n debemos proceder en el siguiente orden: 1 Calculamos el determinante de A xi n 2 Calculamos los autovalores, es decir, resolvemos la ecuación característica A xi n = 0 31 / / 49

9 Cálculo de autovalores y autovectores 3 Para cada autovalor λ obtenido en el paso anterior, calculamos los autovectores asociados Es decir, obtenemos las soluciones no nulas del sistema de ecuaciones: A x = λ x que podemos escribir también como (A λi n ) x = 0 Cálculo de autovalores y autovectores Ejercicio Calcular los autovalores y un autovector asociado a cada autovalor de la matriz A = Recordemos que si λ es autovalor de A este sistema debe tener necesariamente soluciones no nulas 33 / / 49 Diagonalización de una matriz Definición Si A es una matriz cuadrada de orden n con n autovalores distintos λ 1, λ 2,, λ n, llamaremos diagonalización o forma diagonal de A a la matriz λ λ D = λ n Diagonalización de una matriz Teorema Sea A una matriz cuadrada de orden n con n autovalores distintos λ 1, λ 2,, λ n Sean u 1, u 2,, u n autovectores de A asociados, respectivamente, a λ 1, λ 2,, λ n La matriz U que tiene como columnas a los autovectores u 1, u 2,, u n es invertible y se cumple que λ U 1 0 λ AU = D = λ n 35 / / 49

10 Potencias de una matriz diagonalizable Sea A una matriz cuadrada de orden n con n autovalores distintos λ 1, λ 2,, λ n y sea D la diagonalización de A Tomemos autovectores u 1, u 2,, u n de A asociados, respectivamente, a λ 1, λ 2,, λ n y sea U la matriz cuadrada de orden n que tiene como columnas a los vectores u 1, u 2,, u n Sabemos que luego, A = UDU 1 A 2 = (UDU 1 )(UDU 1 ) = UD 2 U 1 A 3 = A 2 A = (UD 2 U 1 )UDU 1 = UD 3 U 1 y en general: A t = UD t U 1 37 / 49 Modelo matricial de Leslie En el modelo de Leslie, los individuos se clasifican en m clases por edades Se supone que todas las clases son de igual amplitud Así, si la vida más larga se estima en L años, la amplitud de cada grupo de edades es de L/m años Llamamos G 1, G 2, G 3,, G m a los m grupos de edades 38 / 49 Modelo matricial de Leslie Modelo matricial de Leslie El grupo G 1 está formado por los individuos cuya edad está en el intervalo [0, L/m) es decir, que tienen menos de L/m años El siguiente grupo por edades G 2, lo forman los individuos cuya edad está en el intervalo [L/m, 2L/m) El siguiente grupo lo forman los individuos con edad en [2L/m, 3L/m), y así, hasta llegar al último grupo formado por los individuos cuya edad está comprendida en el intervalo [(m 1)L/m, L] Para recoger los datos de la población consideramos las siguientes variables: n i (t) = n t = número de individuos en el grupo i al final del periodo t n 1 (t) n 2 (t) n m (t) = vector de población en el periodo t 39 / / 49

11 Modelo matricial de Leslie Modelo matricial de Leslie Calculemos la población al final del periodo t, a partir de la población que había al final del periodo t 1 Llamaremos f i al término medio (o promedio) de descendientes por individuo del grupo G i Llamaremos s i a la fracción de individuos del grupo G i que sobreviven al intervalo entre censos y pasan a formar parte del grupo G i+1 El número de individuos que habrá, al final del periodo t, en el grupo G 1 es: n 1 (t) = f 1 n 1 (t 1) + f 2 n 2 (t 1) + + f m n m (t 1) Para i > 1, el número de individuos que habrá en el periodo de tiempo t en el grupo G i será igual al número de componentes del G i 1 en el periodo t 1 que sobrevivieron para pasar a G i Es decir, n i (t) = s i 1 n (i 1) (t 1) 41 / / 49 Modelo matricial de Leslie Modelo matricial de Leslie Lo que escrito de forma matricial es: Así pues, n t = A n t 1 y por lo tanto, f 1 f 2 f m 1 f m s s s m 1 0 n 1 (t 1) n 2 (t 1) n 3 (t 1) n m (t 1) = n 1 (t) n 2 (t) n 3 (t) n m (t) n 1 = A n 0 n 2 = A n 1 = A 2 n 0 n 3 = A n 2 = A 3 n 0 y así sucesivamente obtenemos, n t = A n t 1 = A t n 0 43 / / 49

12 La matriz de Leslie Cálculo del vector de población n t Definición Cuando una población dividida en m grupos de edad sigue el modelo de Leslie, llamaremos matriz de Leslie a la matriz A = f 1 f 2 f m 1 f m s s s m 1 0, Sabemos que si n 0 es el vector de población inicial y A es la matriz de Leslie, entonces el vector de población al final del t-ésimo periodo es n t = A t n 0 Si la matriz de Leslie es diagonalizable, A = UDU 1, entonces, n t = A t n 0 = UD t U 1 n 0 con s i 0, i = 1,, m 1, y f i 0, i = 1,, m 1 45 / / 49 Estudio asintótico de la distribución Estudio asintótico de la distribución Sea A una matriz de Leslie Los vectores que mantienen estable la distribución por edad de la población en las sucesivas generaciones son los autovectores de la matriz de Leslie asociados a autovalores positivos La matriz A tiene un único autovalor mayor que cero, λ 1, que tiene como autovectores asociados a los vectores proporcionales a u 1 = ( λ m 1 1, λ m 2 1 s 1, λ m 3 1 s 1 s 2,, λ 1 s 1 s 2 s m 2, s 1 s m 1 ) [Escrito en forma de columna] 47 / / 49

13 Estudio asintótico de la distribución Sea A una matriz de Leslie La matriz A tiene un único autovalor dominante, λ 1, (es decir, 0 > λ 1 > λ, para cualquier otro autovalor λ de A) y para valores suficientemente altos de t se cumple que n t λ t 1 C u 1, donde u 1 es un autovector asociado a λ 1 y C es una constante 49 / 49

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