Sesión 18: Diagonalización (I) Método práctico para diagonalizar una matriz cuadrada A M nxn K

Transcripción

1 Sesión 8: Diagonalización (I) Método práctico para diagonalizar una matriz cuadrada A M nxn K ) Calculamos los valores propios de A y sus multiplicidades algebraicas con: d A λ = det A λi nxn = Si d A λ no tiene ceros en K, no es diagonalizable en K. Si d A λ tiene n ceros no distintos en K, ir al paso 2). ) A = 3 2. det A λi 2x2 = det λ 3 2 λ = λ 2 λ = ; σ A =,2 ; MA = ; MA 2 = 2) Calculamos las multiplicidades geométricas de cada valor propio α σ A con: MG α = n ρ A αi nxn. Si MG α MA α para algún valor propio α, entonces A no es diagonalizable. 2) MG = 2 ρ A I nxn = 2 ρ 3 = 2 =. MG 2 = 2 ρ A 2 I nxn = 2 ρ 3 = 2 = Resulta que A es diagonalizable Si MG α = MA α para todos los valores propios α, entonces A es diagonalizable.

2 P) Estudia si cada una de las siguientes matrices es o no diagonalizable en R y en C y, en caso afirmativo, diagonalízala. A = ; B = Solución Calculemos el polinomio característico de la matriz A: d A λ = det A λi 3x3 = det 4 λ 2 3 λ 2 4 λ = 4 λ 3 λ 4 λ 3 λ d A λ = 3 λ 4 λ 2 = 3 λ λ 2 8λ + 5 = 3 λ 3 λ 5 λ d A λ = 3 λ 2 5 λ Por tanto el polinomio característico de A es producto de factores lineales en R y en C. Los valores propios son 3 y 5, con MA(3) = 2, MA(5) =.

3 Calculemos sus multiplicidades geométricas. Usaremos que: MG λ = dimensión del subespacio propio E λ asociado a λ: E λ = N A λi nxn = x K n : x, y tal que: Ax = λx MG λ Aplicando el teorema de las dimensiones para A M nxn K y λ autovalor de A: Para el autovalor 5: MG λ = n ρ A λi nxn MG 5 MA 5 = MG 5 = Para el autovalor 3: Luego: MG 3 = 3 ρ A 3I 3x3 = 3 ρ 2 2 = 3 = 2 MG 3 = 2 = MA 3 MG 5 = = MA 5 A es diagonalizable porque coinciden las multiplicidades geométricas y algebraicas para cada autovalor.

4 Como A es diagonalizable existen P M 3x3 K no singular y D matriz diagonal tales que: Calcularemos ahora los autovectores. A = PDP Para calcular los vectores propios asociados al valor propio 3 resolvemos el sistema homogéneo: A 3I 3x3 x = 2 2 x y z = z = x, por tanto: E 3 = x y x : x, y K = L,

5 Para calcular los vectores propios asociados al valor propio 5 resolvemos el sistema homogéneo: A 5 x = x y z = x = z y = 2z E 5 = z 2z z : z K = L 2 Así, C =,, 2 denota la base canónica de K 3, entonces: es una base de K 3 formada por vectores propios de A. Si B P = Id CB = 2, D = 3 3 5, y A = PDP

6 Para la matriz B seguimos los mismos pasos. Calculemos el polinomio característico: B = d B λ = det B λi 3x3 = det 3 λ 3 λ 4 λ = 3 λ 2 4 λ Por tanto el polinomio característico de B es producto de factores lineales en R y en C Los valores propios son 3 y 4, con MA(3) = 2, MA(4) =. Calculemos sus multiplicidades geométricas. Para el autovalor 4: MG 4 MA 4 = MG 4 = Para el autovalor 3: MG 3 = 3 ρ B 3I 3x3 = 3 ρ = 3 2 = Como MA 3 = 2 = MG(3) la matriz B no es diagonalizable.

7 P2) Estudiar para qué valores de los parámetros a y b la matriz A es diagonalizable. Solución A = a b 2 MG α = n ρ A αi nxn Como A es una matriz triangular, d A λ = (λ a )(λ )(λ 2), luego los valores propios de A son a, y 2. Distinguimos tres casos: ) Si a y a 2, entonces los tres valores propios son distintos y A es diagonalizable. 2) Si a =, entonces σ A =,, 2 MA = 2, MA 2 =. MG 2 MA 2 = MG 2 = = MA(2) MG = 3 ρ A I 3 3 = 3 ρ b = 3 2 =, si b 3 = 2, si b = Por tanto si a = y b = entonces A es diagonalizable. Si a = y b entonces A NO es diagonalizable

8 3) Si a = 2, entonces σ A = 2, 2,, MA(2) = 2 y MA() =. MG() MA() = MG() = = MA() MG 2 = 3 ρ A 2I 3 3 = 3 ρ b R b = 3 = 2 = MA 2, para cualquier Por tanto, si a = 2 entonces A es diagonalizable.

9 CUESTIONES C) Sea A una matriz 3 3 tal que σ A =, 2, 3. Entonces: a) ρ(a) = ( 2) =. b) ρ(a I 3 3 ) =. c) ρ(a) = 3 Solución Si los valores propios de la matriz A son λ, λ 2 y λ 3, entonces det(a) = λ λ 2 λ 3 Y como los valores propios de A son, 2, 3, A es una matriz no singular. Por tanto, al ser una matriz 3 3 no singular, el rango de A es 3. Luego la opción (a) es falsa y la opción c) es verdadera. Además, como A tiene todos los valores propios distintos, entonces A es diagonalizable, por lo que MG() = MA() =. Como : MG() = 3 ρ A I 3 3 = 3 ρ A I 3 3 ρ A I 3 3 = 2 Y la opción b) es también falsa.

10 2 C2) Sea A = a) σ A = 2,,. b) MG()=2; c) A es diagonalizable. Solución. Una de las siguientes afirmaciones es verdadera: Si a) es verdadera det A = λ λ 2 λ 3 = 2 =. MG α = n ρ A αi nxn Pero si lo calculamos directamente, det A tanto, la opción a) es falsa. =, por lo que A es no singular y, por De hecho, si calculamos el polinomio característico de A se obtiene: 2 λ det A λ = λ = λ 2λ + λ 2 + = λ 3 es valor propio λ de A con MA()=3. Si calculamos la multiplicidad geométrica: MG() = 3 ρ A I 3 3 = 3 ρ = 3 = 2 MA()=3, por tanto A no es diagonalizable y así la opción c) es falsa y b) es cierta.

11 C3) Sea A una matriz nxn. Sólo una de las siguientes afirmaciones es correcta: (a) Si A es no singular es diagonalizable. (b) Si A es no singular, entonces A es similar a la matriz identidad I nxn. (c) Si A es diagonalizable, entonces A n es diagonalizable n N. Solución La opción (a) es falsa. Por ejemplo la matriz A = : det A =, luego A es no singular. d A λ = det A λi 2x2 = det λ λ = λ 2 σ A =, MA = 2 MG = 2 ρ A I 2x2 = 2 ρ diagonalizable. 2 = 2 = MA, luego A no es Si A es similar a la matriz identidad entonces existe una matriz P no singular tal que A = PI nxn P = PP = I nxn A, luego b es falsa. Si A es diagonalizable entonces existe una matriz P no singular y una matriz D, diagonal, tal que: A = PDP A n = PDP PDP PDP = PD n P n veces A n es similar a la matriz D n, por lo que A n es diagonalizable para cualquier n, luego (c) es verdadera.

12 C4) Sea A una matriz 3x3 tal que d A λ = 3 λ 3 2 λ 5, entonces: (a) Si dim K E 3 = 2, entonces A es diagonalizable. (b) Si ρ A 3I 3x3 = 2, entonces A es diagonalizable. (c) Si u y v son vectores propios asociados a 3 y w es vector propio asociado a 5, entonces u, v, w es LI y A es diagonalizable. Solución: Como A M 3x3 K y d A λ es producto de factores lineales en K λ y: MA 3 = 2 = dim K E 3 = MG 3 MA 5 = ; Y como: MG 5 MA 5 = MG 5 =. Entonces la matriz A es diagonalizable. Luego (a) es verdadera. Si ρ A 3I 3x3 = 2 entonces MG 3 = 3 ρ A 3I 3x3 = MA 3 = 2, luego la matriz A noes diagonalizable y la opción (b) es falsa. En cuanto a la opción (c), sabemos que vectores propios asociados a valores propios distinto son LI. Pero vectores propios asociados al mismo valor propio no son necesariamente LI. Por ejemplo: Si u =2v, entonces u y v son vectores propios asociados a 3, pero u, v, w son LD y no sabemos si A es diagonalizable o no. Luego la opción (c) es falsa.