TALLER III Profesor: H. Fabian Ramirez TRANSFORMACIONES LINEALES Y VECTORES PROPIOS. 0 0 λ λ 2 λ λ

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL Facultad de Ciencias Departamento de Matemáticas TALLER III Profesor: H. Fabian Ramire TRANSFORMACIONES LINEALES Y VECTORES PROPIOS OBSERVACIÓN: N.A significa Ninguna de las Anteriores.. Al escalonar la matri aumentada del sistema A = b aplicando las siguientes 4 operaciones elementales, en este orden: F 5F F, F 3 3F F 3, F 3 F y F 4 +F 3 F 4, se obtuvo 5 (U c) = 3 7 λ λ λ λ a) Para qué valores de λ el sistema original es inconsistente: λ = b) Para qué valores de λ el sistema original tiene infinitas soluciones: λ = c) Para qué valores de λ el sistema original tiene solución única: λ = d) Para λ =, detu =, ρ([a b]) =, dim(n A ) = e) Para λ =, deta = f) Para λ =, dim(c [A b] ) = 3? SI NO g) Para λ =, sea U la matri asociada a la transformación T : P 3 M con respecto a las bases canónicas de P 3 y M, entonces Un vector diferente del nulo, del espacio imagen de T es: Un vector diferente del nulo, del núcleo de T es: La dimensión del núcleo de T y del espacio imagen de T son respectivamente y.. Sea P R 3 un plano cuyas ecuaciones paramétricas son P : = y = t+r y = +r. Si T : R 3 R 3 es la y transformación lineal dada por T y = y, la imagen por medio de T del plano P es: a. Un plano. b. Un punto. c. Una recta. d. Un hiperplano. e. N.A 3. Considere la transformación lineal T : R R tal que T(e +e ) = y 4 T(e e ) =. Entonces la transformación lineal T aplicada al vector es: 4 y 4y y y a. b. c. d. e. N.A 4y 4 4. Dado H = {(, y,, w) T : 3 y + w =, a) Si T : V H es un isomorfismo, entonces la dimensión de V es. b) Si T : R 4 H es una transformación sobreyectiva, la dimensión del núcleo de T es. c) Si T : H M es una transformación inyectiva, la dimensión de la imagen de T es. 5. Sea T : P P la transformación lineal dada por T(p()) = p (). Un vector propio de T es:

2 a. b. c. d. ++ e. N.A 3 6. De acuerdo a la matri A = conteste: a) El polinomio característico p(λ) de la matri A es:. b) Los valores propios de la matri A son:. c) La matri A es invertible? SI NO ; por qué. 7. De las siguientes funciones T que van de P a P marque la que sea transformación lineal. a. T(p()) = p()+4 b. T(p()) = d d ( +p()) c. T(p()) = d d (+p()) d d. T(p()) = d (p()) e. N.A 8. Sea P R 3 un plano cuyas ecuaciones paramétricas son P : = y = t+r y = +r. Si T : R 3 R 3 es la +y transformación lineal dada por T y = y +, la imagen por medio de T del plano P es: a. Un hiperplano. b. Un plano. c. Un punto. d. Una recta. e. N.A 9. Sea T : P R 3 una transformación lineal tal que la matri asociada a la transformación lineal respecto a las bases canónicas de P y R 3 es A T =. Un vector del núcleo de T es: a b c d e. N.A. Sea C = una matri fija en M. Considere la transformación lineal T : M M dada por T(A) = CA AC. Los valores para la dimensión del núcleo de T y la dimensión para la imagen de T, respectivamente son: a. y 3 b. 3 y c. y 4 d. y e. 4 y e. N.A 4. Sea A = la matri asociada a la transformación lineal T : V W, respecto a las bases B y 4 B de V y W respectivamente. - La transformación T es inyectiva. SI NO - La transformación T es sobreyectiva. SI NO - La transformación T es un isomorfismo. SI NO 4. Sea H = Gen,, R3. Entre las siguientes afirmaciones señale una que sea 4 VERDADERA. a) Cualquier transformación lineal inyectiva T : H R 3 es invertible. b) Eiste una única transformación lineal T : H R 3 que sea isomorfismo. c) Toda transformación lineal T : H R es sobreyectiva. d) Toda transformación lineal T : H R es un isomorfismo. e) H y R son isomorfos. 3. Sea T : R R la transformación lineal que hace girar θ grados cualquier vector de R en torno al origen y en sentido contrario al de las manecillas del reloj. El polinomio característico p(λ) de la matri A T asociada a T respecto a la base canónica de R es:

3 a. λ λcosθ + b. λ +λsinθ + c. λ +λcosθ + d. λ λsinθ + e. λ +λcosθ f. N.A 4. Un valor de θ para que la transformación T del ejercicio anterior tenga un valor propio real es: a. π/4 b. π/ c. 3π/4 d. π e. N.A 5. Sea C = una matri fija en M. Mostrar que la función T : M M dada por T(A) = CA AC es una transformación lineal. 6. Sea T : P P una transformación lineal tal que T( + + ) = + 4, T( + ) = 3 y T( + ) = +, entonces la transformación lineal T aplicada al vector + es: a. +5 b. 5 c. 5 d. +5 e. N.A 7. Sea L R 3 la recta cuya ecuación paramétrica es L : = y = + t, = t. Si T : R 3 R 3 es la transformación lineal dada por T y = y, la imagen por medio de T de la recta L es: a. Un hiperplano. b. Un plano. c. Un punto. d. Una recta. e. N.A a b a 8. Sea T : R R 3 la transformación lineal dada por T =. b b a Entre los siguientes vectores, seleccione uno que perteneca al núcleo de T. a. b. ( ) c. ( ) d. e. N.A Entre los siguientes vectores, seleccione uno que perteneca a la imagen de T. a. b. c. d. e. N.A 9. Sea C = una matri fija en M. Considere la transformación lineal T : M M dada por T(A) = CA AC. Los valores para la dimensión del núcleo de T y la dimensión para la imagen de T, respectivamente son: a. y 3 b. 3 y c. y 4 d. y e. 4 y e. N.A 5 /. Sea A = la matri asociada a la transformación lineal T : V W, respecto a las 3 bases B y B de V y W respectivamente. - La transformación T es inyectiva. SI NO - La transformación T es sobreyectiva. SI NO - La dimensión de V es: y la de W es:. Sea H = Gen,, 3 R3. Entre las siguientes afirmaciones señale una que sea 3 VERDADERA. a) Cualquier transformación lineal inyectiva T : H R 3 es invertible. b) Eiste una única transformación lineal T : H R 3 que sea isomorfismo. 3

4 c) Toda transformación lineal T : H R es sobreyectiva. d) Toda transformación lineal T : H R es un isomorfismo. e) H y R son isomorfos.. Sea T : R 3 R 3 la transformación lineal que hace girar 9 grados cualquier vector de R 3 en torno al eje en la dirección positiva. El polinomio característico p(λ) de la matri A T asociada a T respecto a la base canónica de R 3 es: a. (λ+)(λ +) b. (λ+)(λ )λ c. ( λ)(λ ) d. ( λ)(λ +) e. ( λ) (λ+) f. N.A 3. El conjunto de los valores propios reales de la transformación T del ejercicio anterior es: a. {± b. { c. { d. {±, e. N.A 4. Un vector propio de la transformación T del ejercicio anterior es: a. b. c. d. 5. Sea A = 5 / 3 bases B y B de V y W respectivamente. - Entonces dimv = y dimw = - La transformación T es inyectiva. SI NO e. N.A la matri asociada a la transformación lineal T : V W, respecto a las - La transformación T es sobreyectiva. SI NO { a b 6. Sea H = M c d : a = d, b = c, a,b,c,d R un espacio vectorial sobre R. a) Si T : V H es un isomorfismo, entonces la dimensión de V es. b) Si T : R 5 H es una transformación sobreyectiva, la dimensión del núcleo de T es. c) Si T : H M es una transformación inyectiva, la dimensión de la imagen de T es. 7. SeaT : P P unatransformaciónlinealtalquet() =,T() = 3yT( ) =,entonceslatransformación lineal aplicada al vector +4+5 es: a) 5+. b) 5. c) +5. d) 5+. e) N.A. 8. Sea T : P R 3 la transformación lineal T(a+b) = a b a b Entre los siguientes vectores, seleccione uno que perteneca al núcleo de T. a). b). c) 5 5. e) 5+5. d) Entre los siguientes vectores, seleccione uno que perteneca a la imagen de T. ( a). b). c). d) 9. Si H = Gen,, entre las siguientes afirmaciones señale una que sea FALSA. a) Cualquier transformación lineal inyectiva T : H R es invertible. b) Eiste una transformación lineal T : H R que sea un isomorfismo. c) Toda transformación lineal sobreyectiva T : H R es inyectiva. d) Eiste una única transformación lineal T : H R que sea un isomorfismo. 3. Entre las siguientes afirmaciones, señale TRES que sean VERDADERAS. 4.. ). e) N.A.

5 a) Si T : V W es una transformación lineal inyectiva y dimv = dimw, entonces T es un isomorfismo. b) Si T : V W es una transformación lineal sobreyectiva y dimv = dimw, entonces T no es inyectiva. c) Si T : V W es una transformación lineal y dimv < dimw, entonces T no es inyectiva. d) Si T : V W es una transformación lineal y dimv < dimw, entonces T es sobreyectiva. e) Si T : V W es una transformación lineal y T es inyectiva, entonces dimv dimw. f) Si T : V W es una transformación lineal, S : V Im(T) tal que S(v) = T(v) es una transformación lineal invertible. g) Si T : V W es una transformación lineal y dimv = dimw, entonces T es un isomorfismo. h) SiT : V W esunatransformaciónlineal,s : Nu(T) W talques(v) = T(v)eslatransformación lineal nula. i) Dados dos espacios vectoriales V y W, L(V,W), el conjunto de las transformaciones lineales de V en W no es un espacio vectorial. j) Si u = v implica que T(u) = T(v), entonces T es una transformación lineal inyectiva. 3. La dimensión de H = gen {,,, 3, es: a) b) 3 c) 4 d) 5 e) N.A. 3. Justifique porque son FALSAS las siguientes proposiciones a) Si T : V W es una transformación lineal y dimv = dimw, entonces T es invertible. b) Si T : V W es una transformación lineal, S : V Im(T) tal que S(v) = T(v) es una transformación lineal invertible. c) Si u = v implica que T(u) = T(v), entonces T es una transformación lineal inyectiva. d) Si T : V W es una transformación lineal y T es sobreyectiva, entonces dimv < dimw. e) Si T : M P 4 es una transformación lineal, T tiene valores y vectores propios. f) Si T : V W es una transformación lineal y dimv = dimw, entonces T es invertible. g) Si A = A T es una matri de tamaño n n, A tiene n valores propios diferentes. h) Para que eista una base de R n, conformada por vectores propios de una matri de orden n, todos sus valores propios deben ser diferentes. i) Si dos matrices tienen los mismos valores propios, entonces sus vectores propios son los mismos. j) Si es un valor propio de una matri A, entonces A es la matri nula. k) Si T() =, entonces T es una transformación lineal. l) Si T : V W es una transformación lineal y dimv = dimw, entonces T es un isormorfismo. m) Si T : V W es una transformación lineal y T es sobreyectiva, entonces dimv < dimw. n) Si T : V W es una transformación lineal y v Nu(T), entonces v N AT. ñ) Si T : P 4 M es una transformación lineal sobreyectiva, entonces T es inyectiva. o) La proyección ortogonal en un subespacio es una transformación lineal inyectiva del espacio vectorial en el subespacio. p) La translación de vectores en el plano, T : R R tal que T() = + a, a R fijo, es una transformación lineal. q) Siempre que se puedan calcular las composiciones S T y T S, se tiene que una es la inversa de la otra. r) La matri que define una transformación matricial es la matri asociada a la transformación lineal en cualquier base. s) Una función lineal f() = m+b b es una transformación lineal. 33. Conteste falso o verdadero a cada una de las siguientes afirmaciones. a) Dos matrices semejantes no siempre representan la misma transformación lineal en diferentes bases. 34. Determine cuáles de las siguientes funciones son transformaciones lineales. Además Halle las matrices asociadas A T, eplicitando la bases del dominio y del codominio. Halle el núcleo y la imagen y diga cuáles son sus dimensiones. Determine si las transformaciones lineales son inyectivas, sobreyectivas, isomorfismos y/o invertibles. a) T : R 3 R tal que T(a b c) T = (a b 3c) T 5

6 b) T : R P tal que T(a b) T = (+a) b c) T : R P tal que T(a) = a+a+3a d) T : P P tal que T(a+b+c ) = a+ (b+c) e) T : P P tal que T(p()) = p () f) T : P P 3 tal que T(p()) = p() a b g) T : M P tal que T = a+b+c c d h) T : R 3 R tal que T(a b c) T = (a b 3c) T i) T : R R 3 tal que T(a b) T = ( 3a b+a b) T a b a c j) T : M M tal que T = c d d+ k) T : R 3 P tal que T(a b c) T = a+b 3c l) T : P P tal que T(a+b+c ) = a c m) La refleión a través del plano XY en R 3. n) La proyección sobre el plano XZ en R 3 ñ) T : M 3 M 3 tal que T(A) = A T tal que 35. Considere la transformación matricial de T : R R, T() = A donde A es una matri elemental. Interprete geométricamente dicha transformación. Qué puede decirse de este tipo de transformaciones en R n? 36. Para cada una de las siguientes transformaciones lineales: a) T : R 3 R tal que T( y ) T = ( y ) T b) T : R 3 R 3 tal que T( y ) T = ( y + ) T c) T : R 3 R 3 tal que T( y ) T = ( y ) T d) T : R 3 R 3 tal que T( y ) T = (y ) T encuentre la imagen de los siguientes conjuntos, identificándolas geométricamente, si es posible. l : La recta que pasa por P( 5) T y Q( 3) T. P : El plano que pasa por el punto Q( 3) T y tiene vectores directores u = ( ) T y v = ( 3) T. 37. Dada T : V W una trasformación lineal, demuestre que si V = Gen{v,v,...,v n entonces { Im(T) = T(v ),T(v ),...,T(v n ) 38. Dada T : V W una trasformación lineal tal que T =, T =. Calcule T, T y T y 39. Demuestre que una transformación lineal de R n en R m envía rectas en rectas o puntos, y a planos en planos, rectas o puntos. Que pasa con los hiperplanos? 4. Cuantas transformaciones lineales de R en el plano H = {v R 3 : v = tu +su, t,s R de R 3 eisten? 4. Encuentre una matri asociada a la transformación lineal de R 3 que rota todo vector 45 o alrededor del Eje Y. 4. Dada la transformación lineal T : V W y las bases B y B de V y W, respectivamente, demuestre que la matri A T, tal que [T(v)] B = A T [v] B para todo v V, es única. 43. Sea T : V n V n la transformación idéntida, T(v) = v, para todo v V, Demuestre que A T = I n, independientemente de la base de V que se tome. 44. Demuestre que T : V W es una transformación lineal inyectiva, si y solo si, T(v ) = T(v ) implica que v = v. 45. Encuentre una transformación lineal no trivial entre cada uno de los espacios vectoriales dados y determine si es inyectiva, sobreyectiva, isomorfismo y/o invertible. a) V = R y W = el plano de R 3 que pasa por el origen y tiene vectores directores d = (,,5) T y d = (3,, ) T { { b) V = p() = a+b+c : a = y W = p() = a+b+c : b = 6

7 c) V = M y W = { a b : a = d, b = c c d d) V = el plano de R 3 que pasa por el origen y tiene como vector normal a n = (,,5) T y W = { v R : v = λ(,5) T e) V = { { (,y,,w) T : y + = y W = (,y,,w) T : + w = 46. Para cada uno de los siguientes casos, encuentre, si eiste, S + T,T S, T,T, S T y T S y sus matrices asociadas respecto a las bases que usted elija. a) T : R 3 R tal que T(a,b,c) T = (a,b 3c) T S : R 3 R tal que S(a,b,c) T = (a,b+c) T. b) T : P P tal que T(p()) = p () S : P P tal que S(p()) = p(). a b c) T : M P tal que T = a+b+c c d S : P P tal que S(a+b+c ) = a c. d) T : R 3 P tal que T(a,b,c) T = a+b?3c S : P P tal que S(a+b+c ) = a c 47. JUSTIFIQUE PORQUE SON VERDADERAS LAS SIGUIENTES PROPOSICIONES. a) Si T : R 3 R 3 es una transformación lineal y A es su matri asociada en la base canónica, los valores y vectores propios de A son los valores y vectores propios de T. b) Si T : R 3 R 3 es una transformación lineal y A es su matri asociada en una base diferente a la canónica, los valores y vectores propios de A son los valores y vectores propios de T. c) Si T : V W es una transformación lineal y T es inyectiva, entonces dimv dimw. d) La matri 5I n tiene sus n valores propios iguales a 5. e) Cualquier vector de R n no nulo es vector propio de la matri nula de orden n. f) Toda transformación lineal es una función. g) Si T : V W es una transformación lineal y T es invertible, entonces dimv = dimw. h) Si T : V W es una transformación lineal inyectiva y dimv = dimw, entonces T es invertible. i) Si T : V W es una transformación lineal sobreyectiva y dimv = dimw, entonces T es inyectiva. j) Si T : V W es una transformación lineal y dimv < dimw, entonces T no es inyectiva k) Si T : V W es una transformación lineal y dimv < dimw, entonces T no es sobreyectiva. l) Si T : V W es una transformación lineal y T es inyectiva, entonces dimv dimw. m) Si T : V W es una transformación lineal y v Nu(T), entonces v N AT. n) Si T : V W es una transformación lineal y w Im(T), entonces, para alguna base B de W, [w] B N AT. ñ) Si T : V W es una transformación lineal, S : Nu(T) W tal que S(v) = T(v) es la transformación lineal nula. o) Si T : M P 3 es una transformación lineal sobreyectiva, entonces T es inyectiva. p) La translación de vectores en el plano, T : R R tal que T() = + a, a R fijo, no es una transformación lineal. q) Dados dos espacios vectoriales V y W, L(V,W), el conjunto de las transformaciones lineales de V en W es un espacio vectorial. 48. Sabiendo que A T = es la matri asociada a la transformación lineal T : V W, en las bases B y B de V y W respectivamente, encuentre el nucleo y la imagen de cada una de las siguientes situaciones y diga cuáles son sus dimensiones a) V = R 3, W = R y B y B son sus bases usuales. b) V = R 3, W = R y B = {,,) T,(,,) T,(,,) T y B es la base usual de R c) V = R 3, W = R y B es la base usual de R 3 y B = {, ) T,(,) T. d) V = P, W = P y B y B son sus bases usuales. e) V = P, W = P y B B = {,, y B {,. +y 49. Considere la transformación lineal T : R R dada por T =. Usando las bases B = B y y = 7

8 { 3,, Calcule A T 5. Sea T : R 3 R 3 dada por T y = a) Demuestre que T es lineal. y +3 +y y + b) Cuáles son las condiciones sobre a,b y c para que (a,b,c) T esté en la imagen de T? Cuál es el rango de T. c) Cuáles son las condiciones sobre,y, para que (,y,) T esté en el núcleo de T? Cuál es la nulidad de T? 5. Sean V y W espacios vectoriales y T : V W una transformación lineal. Si w,w,...,w n son n vectores l.i de W y v,v,...,v n vectores de V que cumplen que T(v i ) = w i (i =,,...,n). Demuestre que v,v,...,v n son l.i. 5. Sea T : R 3 R 7 lineal. Cuáles son los posibles valores para la dimensión de la imagen de T? Podría ser T invertible en algún caso?. En ese caso qué espacios se podría definir la inversa? 53. Si T : R 7 R 3 es lineal cuáles son los posibles valores para la nulidad de T? Podría ser T invertible para algún caso?. 54. SiT : V W eslinealeinvertibley{v,v,...,v n unabasedev.demuestreque { T(v ),T(v ),...,T(v n ) es una base para W; de modo que, dimv = dimw. 55. Sea T : R 3 R 3 la transformación lineal dada por T y = 3 y y +. Determine si T es invertible, en caso afirmativo calcule T { 56. Sea T : R 3 R 3 la transformación lineal y B =,, { y B =,, bases ordenadas de R 3. Si A T = Calcule T y = { 57. Halle una transformación lineal T : R 3 R 4 cuya imagen sea generada por los vectores, 4 3 { 58. Es 3, y + una base del nucleo de T y = y +? +y 4 { 59. Halle una transformación lineal T : R 4 R 3 cuyo nucleo sea N AT = (,y,,w) : +y =, w = 6. Sea V el espacio vectorial de las matrices sobre R y M =. Sea T : V V la transformación lineal definida por T(A) = MA. Demuestre que F es lineal y halle una base y la dimensión de Nu(T) y Img(T). 6. Describa eplícitamente una transformacón lineal de R 3 en R 3 cuyo nucleo es generado por los vectores (,,) T y (,,) T 6. Sea T : P P definida por T(a+b+c ) = (b a)+(c b)+c una transformción lineal a) Halle [A T ] B = {++,+, b) Verifique que [ T(p()) ] B = A T[p()] B = 63. Suponga que {v,v es una base de V y T : V V es un operador lineal tal que T(v ) = 3v v, T(v ) = v +4v. Supongamos que {w,w es otra base de V tal que w = v +v, w = v +3v. Halle la matri de T es una base {w,w. 64. Si T : V V es inyectiva y {v,v,...,v k son l.i en V, muestre que {T(v ),T(v ),...,T(v k ) son l.i en W. 8

9 65. Sea T una función de R 3 en R 3 definida por 3+ T y = y = +y y +4 a) verifique que T es una transformación lineal b) Si (a,b,c) T es un vector en R 3, Cuáles son las condiciones sobre a,b y c para que el vector esté en Img(T)?. Cuál es dim(img(t)? c) Cuales son las condiciones sobre a,b y c para que el vector esté en Nu(T)?. Cuál es dim(nu(t)? d) Cual es la matri de T en la base usual de R 3.? e) Cual es la matri de T en la base ordenada {(,,) T,(,,) T,(,,) T?. f) Pruebe que T es invertible y halle T 66. Sea T : P P una transformación lineal tal que T() = +, T() = +, T( ) =. a) Halle T(a+b+c ) b) Halle Nu(T) y la Img(T), y sus respectivas bases c) Si B = {,+,+ y B = {,, son bases ordenadas de P, Halle [A T ] BB 67. Sea T : P R 3 una transformación lineal tal que 3 T() =, T(+) =, T(++ ) = 3 4 a) Halle T(a+b+c ) y T(4++ ) b) Halle Nu(T), Img(T), dim(nu(t)) y dim(img(t)) c) Determine si T es inyectiva d) Si B = {,+,++ y B la base usual de R 3, halle A T 68. Sea T : P R 3 una aplicación lineal y B = {u,u una base de R. Si A T = T(u ) y T(v) para cualquier v R. 69. Verifique que 3 es un vector propio de la matri 7. Es el vector 3 un vector propio de la matri 3 4?, Halle T(u 4 ), 7. Demostrar que si A y B son dos matrices de orden n n y A es invertible, entonces las matrices A B y BA tienen los mismos valores propios. 7. Demuestre que si una matri A n n tiene n vectores propios l.i entonces es semejante a una matri diagonal. 73. Dada la matri, halle a) El polinomio caracteristico de A b) Los valores propios de A c) Una base de cada uno de los subespacios propios. Es A semejante a una matri diagonal D? 74. Determine si la matri 3 es semejante a una matri diagonal D. En caso afirmativo, halle una matri P invertible tal que P AP = D 7 y Sea T y = +y una transformción lineal de R 3 en R 3. Halle, si esposible, una base ortonormal B de R 3 tal que [A T ] BB sea diagonal. Verifique que A T = D = P T A T P, donde P es y +7 ortogonal. 76. PREGUNTAS 9

10 4 4 a) Es λ = un valor propio de la matri 5 4 3? 4 6 b) Si A es una matri n n triangular superior (triangular inferior). a qué es igual p(λ)? c) Si λ i son los valores propios de la matri A n n y k es un real cualquiera. se puede concluir que λ i +k son los valores propios de A+kI? d) Sabiendo que λ = es un valor propio de A n n, se puede concluir que A es no invertible?. Justifique la respuestas e) Son semejantes las matrices y? f) Si A es una matri simétrica y det(a) >, se puede garantiar que los valores propios de A tienen el mismo signo? g) ElpolinomiocaracteristicodeunamatriA 3 3 esp(λ) = (λ 3)(λ+) ydim(e (3) ) =,dim(e ( ) ) =. Puede garantiarse que A es semejante a una matri diagonal?. Justifique. h) Los valores propios de una matri A 4 4 son,, 7,, se puede conluir que A es diagonaliable?. Justifique. i) Sea A = I +N, donde N es nilpotente. A qué es igual p(a)? j) Si λ es un valor propio de A, puede afirmarse que aλ es un valor propio de aa? k) Los valores propios de una matri A 4 4 son 3 y. Se puede afirmar que A no es diagonaliable? a b l) Para qué valores a,b,c,d la matri A = no tiene valores propios reales? c d m) Eisten matrices A tales que A, A T tengan vectores propios diferentes? n) Sea A n n tal que A = I y λ un valor propio de A, cuáles son los posibles valores de λ? ñ) Sea A smejante a B y B semejante a C. Es A semejante a C?. o) Si A y B son semejantes y A es invertible, Son semejantes A y B? p) Qué puede concluir del hecho que A sea una matri simétrica, cuyos valores propios son todos iguales a? 77. Halle los valores propios de la matri A = a b y verifique que det(a) es igual al producto de los c d valores propios. 78. Si al menos una de las matrices A ó B es invertible, pruebe que el polinomio característico de AB es igual al de BA 79. Sea A una matri n n, demuestre que A y A T tienen el mismo polinomio característico. 8. Si A es n n y A k = para algún k Z + muestre que p(λ) = λ k (Ayuda:Use la definición de valor propio) 8. Sea T una rotación de π/ en el plano. Muestre que T no tiene vectores propios, pero todo v es un vector propio de T 8. Para cada una de las matrices dadas calcule. El polinomio caracteristico, los valores propios, los subsespacios E (λ) y su dimensión. Decida si dichas matrices son semejantes a una matri diagonal D, en caso afirmativo, halle la matri P invertible que cumple P AP = D 4 A = Pruebe que las matrices 3 y tiene los mismos valores propios, pero no son semejantes Determine a,b,c,d,e,f sabiendo que los vectores,, son vectores propios de la matri

11 a b c d e f 85. Si A es una matri invertible y λ es un valor propio de A, demuestre que λ es un valor propio de A. 86. Si A es una matri real n n tal que A = I, demuestre que: a) A es invertible b) n es par c) A no tiene valores propios reales d) deta = 87. Pruebe que A es invertible si y solo si λ = no es un valor propio de A. 88. Determine si T : R 3 R 3 con T y = es una transformación lineal. y 89. Si T : R 3 R es una transformación lineal tal que T = entonces T y =, es una transformación lineal. y 9. Si T : R 3 R es una transformación lineal tal que T y = y, Determine si (4,,) T esta en la Im(T) Determine (4,,5) T está en el nucleo de T. 9. Sea H = y : = y =, T = 3 a) Si T : R H es una transformación lineal, determine si el rango de T puede ser. b) Si T : R H es una transformación lineal, determine si la nulidad de T puede ser. c) Encuentre, si eiste, una transformación lineal T : H R, con nulidad. y T = d) Encuentre, si eiste, una transformación lineal T : H R, con rango. / 9. Sea A = 3 la matri asociada a la transformación T, respecto a las bases B y B. a) Si T : R n R m, entonces n es y m b) Determine si la transformación T es inyectiva. c) Determine si la transformación T es sobreyectiva. 93. Sean M y A matrices tales que M = = E E E A donde 3 E = 3. E = E 3 = a) Determine si es una valor propio de M T. b) Determine si es un valor propio de M. c) Determine si 5 es un valor propio de A.

12 94. Suponga que es un valor propio de B. Determine si B es una matri invertible. 95. Determine cuales de los vectores dados son vectores propios de la matri A dada y en caso de serlo, identifique los valores propios asociados. 3 a), v 4 = v 3 = v 3 = b), v = 3 v = v 3 = 6 v 3 = Determine cuales de los escalares dados son valores propios para la matri A dada. 9 a), λ 4 =, λ = 6, λ 3 = 9, λ 4 = 6 b), λ =, λ = 4, λ 3 =, λ 4 = 3 / 3 c) 3 /5, λ =, λ =, λ 3 = /, λ 4 = /5 /5 97. Determine los valores propios, sus multiplicidades algebraicas y sus multiplicidades geométricas, para cada una de las matrices A dadas /3 98. Justifique PORQUE SON VERDADERAS las siguientes afirmaciones. a) Si ninguno de los valores propios de A es cero, det(a). b) Si A y B son semejantes, det(a) = det(b). c) Toda matri invertible es semejante a una matri diagonal. d) Los valores propios reales de una matri son raíces de su polinomio característico. e) Toda matri n n tiene n valores propios, contando sus multiplicidades algebraicas. f) Todos los valores propios de una matri nula son. g) Cualquier vector de R n { es vector propio de la matri nula n n. h) Para conocer los valores propios de la matri inversa de A no es necesario encontrar la inversa. i) Si una matri 5 5 tiene 5 valores propios diferentes, es diagonaliable. j) Si T : R 4 R 4 es una transformación lineal y A es su matri asociada en la base usual, los valores y vectores propios de A son los valores y vectores propios de T. k) Si A es simétrica, A es diagonaliable. l) Si A = A T es una matri de tamaño 9 9, A tiene 9 vectores propios que forman un conjunto ortogonal. 99. En cada caso, con la información dada sobre la matri A de tamaño n n, determine si A es diagonaliable, ortogonalmente diagonaliable, invertible y/o simétrica y el valor de n. a) El polinomio característico de A es p(λ) = (λ )(λ+3)(λ+ )λ. b) El polinomio característico de A es p() = ( )(+)( +). c) El polinomio característico de A es p(α) = (α 4) (α+) 3. d) Los espacios propios de A son E () = Gen,, E ( ) = Gen e) Los espacios propios de A son E (3 = Gen, E () = Gen,

13 f) A = g) Los espacios propios de A son E (4) = Gen{u,v y E ( ) = Gen{w, siendo u,v,w R n. Demuestre que si A es una matri diagonaliable cuyos valores propios son y, entonces A es invertible y A = A. Además, { A k A si k es impar = I si k es par. Dada A una matri n n tal que A = PQ, donde P es invertible, demuestre que B = QP es una matri semejante a A.. Sea T : R n R n una transformación lineal. Demuestre que A es la matri asociada a T en la base canónica de R n, si y sólo si, T() = A 3. Sea T : R n R n una transformación lineal. Demuestre que si A es una matri asociada a T en la base canónica de R n y AP = PD para alguna matri invertible P y una matri diagonal D, entonces T(p i ) = d ii p i donde p i es la columna de P y d ii es la componente i de la diagonal de D. 4. Demuestre que si A es nilpotente, entonces el único valor propio de A es. 5. Demuestre que si A es una matri tal que sus columnas suman, entonces λ = es un valor propio de A. 6. Demuestre que si A es diagonaliable, entonces: a) A T es diagonaliable. b) A k es diagonaliable, donde k es un entero positivo 7. Sea A una matri de n n, y sea B = P AP semejante a A. Demuestre que si es un vector propio de A asociado con el valor propio λ de A, P es un vector propio de B asociado con el valor propio λ de la matri B. 8. Demuestre que si y y son vectores en R n, entonces (A) y = (A T y). 9. Demuestre que si A es una matri ortogonal de n n, y y y son vectores en R n, entonces (A) (Ay) = y.. Demuestre que si A es una matri ortogonal, entonces det(a) = ±.. Si A = A, cuáles son los valores posibles para los valores propios de A? Justifique su respuesta.. Justifique PORQUE SON FALSAS las siguientes afirmaciones. a) Las raíces del polinomio característico de una matri son sus valores propios reales. b) Si T : R 6 R 6 es una transformación lineal y A es su matri asociada en una base diferente a la usual, los valores y vectores propios de A son los valores y vectores propios de T. c) Si T : P P es una transformación lineal, T no tiene valores ni vectores propios. d) Si T : M P 4 es una transformación lineal, T no tiene valores ni vectores propios. e) Si A = A T es una matri de tamaño 5 5, A tiene 5 valores propios diferentes. f) Si A = A T es una matri de tamaño 7 7, cualquier conjunto de 7 vectores propios es ortogonal. g) Las matrices que diagonalian una matri dada son únicas. h) Si A es una matri ortogonal de n n, rangoa < n. i) Si A es diagonaliable, cada uno de sus valores propios tiene multiplicidad uno. j) Si y y son vectores propios de A asociados a los valores propios distintos λ y λ, respectivamente, +y es un vector propio de A asociado con el valor propio λ +λ. 3

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