TALLER III Profesor: H. Fabian Ramirez TRANSFORMACIONES LINEALES Y VECTORES PROPIOS. 0 0 λ λ 2 λ λ

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "TALLER III Profesor: H. Fabian Ramirez TRANSFORMACIONES LINEALES Y VECTORES PROPIOS. 0 0 λ λ 2 λ λ"

Transcripción

1 UNIVERSIDAD NACIONAL Facultad de Ciencias Departamento de Matemáticas TALLER III Profesor: H. Fabian Ramire TRANSFORMACIONES LINEALES Y VECTORES PROPIOS OBSERVACIÓN: N.A significa Ninguna de las Anteriores.. Al escalonar la matri aumentada del sistema A = b aplicando las siguientes 4 operaciones elementales, en este orden: F 5F F, F 3 3F F 3, F 3 F y F 4 +F 3 F 4, se obtuvo 5 (U c) = 3 7 λ λ λ λ a) Para qué valores de λ el sistema original es inconsistente: λ = b) Para qué valores de λ el sistema original tiene infinitas soluciones: λ = c) Para qué valores de λ el sistema original tiene solución única: λ = d) Para λ =, detu =, ρ([a b]) =, dim(n A ) = e) Para λ =, deta = f) Para λ =, dim(c [A b] ) = 3? SI NO g) Para λ =, sea U la matri asociada a la transformación T : P 3 M con respecto a las bases canónicas de P 3 y M, entonces Un vector diferente del nulo, del espacio imagen de T es: Un vector diferente del nulo, del núcleo de T es: La dimensión del núcleo de T y del espacio imagen de T son respectivamente y.. Sea P R 3 un plano cuyas ecuaciones paramétricas son P : = y = t+r y = +r. Si T : R 3 R 3 es la y transformación lineal dada por T y = y, la imagen por medio de T del plano P es: a. Un plano. b. Un punto. c. Una recta. d. Un hiperplano. e. N.A 3. Considere la transformación lineal T : R R tal que T(e +e ) = y 4 T(e e ) =. Entonces la transformación lineal T aplicada al vector es: 4 y 4y y y a. b. c. d. e. N.A 4y 4 4. Dado H = {(, y,, w) T : 3 y + w =, a) Si T : V H es un isomorfismo, entonces la dimensión de V es. b) Si T : R 4 H es una transformación sobreyectiva, la dimensión del núcleo de T es. c) Si T : H M es una transformación inyectiva, la dimensión de la imagen de T es. 5. Sea T : P P la transformación lineal dada por T(p()) = p (). Un vector propio de T es:

2 a. b. c. d. ++ e. N.A 3 6. De acuerdo a la matri A = conteste: a) El polinomio característico p(λ) de la matri A es:. b) Los valores propios de la matri A son:. c) La matri A es invertible? SI NO ; por qué. 7. De las siguientes funciones T que van de P a P marque la que sea transformación lineal. a. T(p()) = p()+4 b. T(p()) = d d ( +p()) c. T(p()) = d d (+p()) d d. T(p()) = d (p()) e. N.A 8. Sea P R 3 un plano cuyas ecuaciones paramétricas son P : = y = t+r y = +r. Si T : R 3 R 3 es la +y transformación lineal dada por T y = y +, la imagen por medio de T del plano P es: a. Un hiperplano. b. Un plano. c. Un punto. d. Una recta. e. N.A 9. Sea T : P R 3 una transformación lineal tal que la matri asociada a la transformación lineal respecto a las bases canónicas de P y R 3 es A T =. Un vector del núcleo de T es: a b c d e. N.A. Sea C = una matri fija en M. Considere la transformación lineal T : M M dada por T(A) = CA AC. Los valores para la dimensión del núcleo de T y la dimensión para la imagen de T, respectivamente son: a. y 3 b. 3 y c. y 4 d. y e. 4 y e. N.A 4. Sea A = la matri asociada a la transformación lineal T : V W, respecto a las bases B y 4 B de V y W respectivamente. - La transformación T es inyectiva. SI NO - La transformación T es sobreyectiva. SI NO - La transformación T es un isomorfismo. SI NO 4. Sea H = Gen,, R3. Entre las siguientes afirmaciones señale una que sea 4 VERDADERA. a) Cualquier transformación lineal inyectiva T : H R 3 es invertible. b) Eiste una única transformación lineal T : H R 3 que sea isomorfismo. c) Toda transformación lineal T : H R es sobreyectiva. d) Toda transformación lineal T : H R es un isomorfismo. e) H y R son isomorfos. 3. Sea T : R R la transformación lineal que hace girar θ grados cualquier vector de R en torno al origen y en sentido contrario al de las manecillas del reloj. El polinomio característico p(λ) de la matri A T asociada a T respecto a la base canónica de R es:

3 a. λ λcosθ + b. λ +λsinθ + c. λ +λcosθ + d. λ λsinθ + e. λ +λcosθ f. N.A 4. Un valor de θ para que la transformación T del ejercicio anterior tenga un valor propio real es: a. π/4 b. π/ c. 3π/4 d. π e. N.A 5. Sea C = una matri fija en M. Mostrar que la función T : M M dada por T(A) = CA AC es una transformación lineal. 6. Sea T : P P una transformación lineal tal que T( + + ) = + 4, T( + ) = 3 y T( + ) = +, entonces la transformación lineal T aplicada al vector + es: a. +5 b. 5 c. 5 d. +5 e. N.A 7. Sea L R 3 la recta cuya ecuación paramétrica es L : = y = + t, = t. Si T : R 3 R 3 es la transformación lineal dada por T y = y, la imagen por medio de T de la recta L es: a. Un hiperplano. b. Un plano. c. Un punto. d. Una recta. e. N.A a b a 8. Sea T : R R 3 la transformación lineal dada por T =. b b a Entre los siguientes vectores, seleccione uno que perteneca al núcleo de T. a. b. ( ) c. ( ) d. e. N.A Entre los siguientes vectores, seleccione uno que perteneca a la imagen de T. a. b. c. d. e. N.A 9. Sea C = una matri fija en M. Considere la transformación lineal T : M M dada por T(A) = CA AC. Los valores para la dimensión del núcleo de T y la dimensión para la imagen de T, respectivamente son: a. y 3 b. 3 y c. y 4 d. y e. 4 y e. N.A 5 /. Sea A = la matri asociada a la transformación lineal T : V W, respecto a las 3 bases B y B de V y W respectivamente. - La transformación T es inyectiva. SI NO - La transformación T es sobreyectiva. SI NO - La dimensión de V es: y la de W es:. Sea H = Gen,, 3 R3. Entre las siguientes afirmaciones señale una que sea 3 VERDADERA. a) Cualquier transformación lineal inyectiva T : H R 3 es invertible. b) Eiste una única transformación lineal T : H R 3 que sea isomorfismo. 3

4 c) Toda transformación lineal T : H R es sobreyectiva. d) Toda transformación lineal T : H R es un isomorfismo. e) H y R son isomorfos.. Sea T : R 3 R 3 la transformación lineal que hace girar 9 grados cualquier vector de R 3 en torno al eje en la dirección positiva. El polinomio característico p(λ) de la matri A T asociada a T respecto a la base canónica de R 3 es: a. (λ+)(λ +) b. (λ+)(λ )λ c. ( λ)(λ ) d. ( λ)(λ +) e. ( λ) (λ+) f. N.A 3. El conjunto de los valores propios reales de la transformación T del ejercicio anterior es: a. {± b. { c. { d. {±, e. N.A 4. Un vector propio de la transformación T del ejercicio anterior es: a. b. c. d. 5. Sea A = 5 / 3 bases B y B de V y W respectivamente. - Entonces dimv = y dimw = - La transformación T es inyectiva. SI NO e. N.A la matri asociada a la transformación lineal T : V W, respecto a las - La transformación T es sobreyectiva. SI NO { a b 6. Sea H = M c d : a = d, b = c, a,b,c,d R un espacio vectorial sobre R. a) Si T : V H es un isomorfismo, entonces la dimensión de V es. b) Si T : R 5 H es una transformación sobreyectiva, la dimensión del núcleo de T es. c) Si T : H M es una transformación inyectiva, la dimensión de la imagen de T es. 7. SeaT : P P unatransformaciónlinealtalquet() =,T() = 3yT( ) =,entonceslatransformación lineal aplicada al vector +4+5 es: a) 5+. b) 5. c) +5. d) 5+. e) N.A. 8. Sea T : P R 3 la transformación lineal T(a+b) = a b a b Entre los siguientes vectores, seleccione uno que perteneca al núcleo de T. a). b). c) 5 5. e) 5+5. d) Entre los siguientes vectores, seleccione uno que perteneca a la imagen de T. ( a). b). c). d) 9. Si H = Gen,, entre las siguientes afirmaciones señale una que sea FALSA. a) Cualquier transformación lineal inyectiva T : H R es invertible. b) Eiste una transformación lineal T : H R que sea un isomorfismo. c) Toda transformación lineal sobreyectiva T : H R es inyectiva. d) Eiste una única transformación lineal T : H R que sea un isomorfismo. 3. Entre las siguientes afirmaciones, señale TRES que sean VERDADERAS. 4.. ). e) N.A.

5 a) Si T : V W es una transformación lineal inyectiva y dimv = dimw, entonces T es un isomorfismo. b) Si T : V W es una transformación lineal sobreyectiva y dimv = dimw, entonces T no es inyectiva. c) Si T : V W es una transformación lineal y dimv < dimw, entonces T no es inyectiva. d) Si T : V W es una transformación lineal y dimv < dimw, entonces T es sobreyectiva. e) Si T : V W es una transformación lineal y T es inyectiva, entonces dimv dimw. f) Si T : V W es una transformación lineal, S : V Im(T) tal que S(v) = T(v) es una transformación lineal invertible. g) Si T : V W es una transformación lineal y dimv = dimw, entonces T es un isomorfismo. h) SiT : V W esunatransformaciónlineal,s : Nu(T) W talques(v) = T(v)eslatransformación lineal nula. i) Dados dos espacios vectoriales V y W, L(V,W), el conjunto de las transformaciones lineales de V en W no es un espacio vectorial. j) Si u = v implica que T(u) = T(v), entonces T es una transformación lineal inyectiva. 3. La dimensión de H = gen {,,, 3, es: a) b) 3 c) 4 d) 5 e) N.A. 3. Justifique porque son FALSAS las siguientes proposiciones a) Si T : V W es una transformación lineal y dimv = dimw, entonces T es invertible. b) Si T : V W es una transformación lineal, S : V Im(T) tal que S(v) = T(v) es una transformación lineal invertible. c) Si u = v implica que T(u) = T(v), entonces T es una transformación lineal inyectiva. d) Si T : V W es una transformación lineal y T es sobreyectiva, entonces dimv < dimw. e) Si T : M P 4 es una transformación lineal, T tiene valores y vectores propios. f) Si T : V W es una transformación lineal y dimv = dimw, entonces T es invertible. g) Si A = A T es una matri de tamaño n n, A tiene n valores propios diferentes. h) Para que eista una base de R n, conformada por vectores propios de una matri de orden n, todos sus valores propios deben ser diferentes. i) Si dos matrices tienen los mismos valores propios, entonces sus vectores propios son los mismos. j) Si es un valor propio de una matri A, entonces A es la matri nula. k) Si T() =, entonces T es una transformación lineal. l) Si T : V W es una transformación lineal y dimv = dimw, entonces T es un isormorfismo. m) Si T : V W es una transformación lineal y T es sobreyectiva, entonces dimv < dimw. n) Si T : V W es una transformación lineal y v Nu(T), entonces v N AT. ñ) Si T : P 4 M es una transformación lineal sobreyectiva, entonces T es inyectiva. o) La proyección ortogonal en un subespacio es una transformación lineal inyectiva del espacio vectorial en el subespacio. p) La translación de vectores en el plano, T : R R tal que T() = + a, a R fijo, es una transformación lineal. q) Siempre que se puedan calcular las composiciones S T y T S, se tiene que una es la inversa de la otra. r) La matri que define una transformación matricial es la matri asociada a la transformación lineal en cualquier base. s) Una función lineal f() = m+b b es una transformación lineal. 33. Conteste falso o verdadero a cada una de las siguientes afirmaciones. a) Dos matrices semejantes no siempre representan la misma transformación lineal en diferentes bases. 34. Determine cuáles de las siguientes funciones son transformaciones lineales. Además Halle las matrices asociadas A T, eplicitando la bases del dominio y del codominio. Halle el núcleo y la imagen y diga cuáles son sus dimensiones. Determine si las transformaciones lineales son inyectivas, sobreyectivas, isomorfismos y/o invertibles. a) T : R 3 R tal que T(a b c) T = (a b 3c) T 5

6 b) T : R P tal que T(a b) T = (+a) b c) T : R P tal que T(a) = a+a+3a d) T : P P tal que T(a+b+c ) = a+ (b+c) e) T : P P tal que T(p()) = p () f) T : P P 3 tal que T(p()) = p() a b g) T : M P tal que T = a+b+c c d h) T : R 3 R tal que T(a b c) T = (a b 3c) T i) T : R R 3 tal que T(a b) T = ( 3a b+a b) T a b a c j) T : M M tal que T = c d d+ k) T : R 3 P tal que T(a b c) T = a+b 3c l) T : P P tal que T(a+b+c ) = a c m) La refleión a través del plano XY en R 3. n) La proyección sobre el plano XZ en R 3 ñ) T : M 3 M 3 tal que T(A) = A T tal que 35. Considere la transformación matricial de T : R R, T() = A donde A es una matri elemental. Interprete geométricamente dicha transformación. Qué puede decirse de este tipo de transformaciones en R n? 36. Para cada una de las siguientes transformaciones lineales: a) T : R 3 R tal que T( y ) T = ( y ) T b) T : R 3 R 3 tal que T( y ) T = ( y + ) T c) T : R 3 R 3 tal que T( y ) T = ( y ) T d) T : R 3 R 3 tal que T( y ) T = (y ) T encuentre la imagen de los siguientes conjuntos, identificándolas geométricamente, si es posible. l : La recta que pasa por P( 5) T y Q( 3) T. P : El plano que pasa por el punto Q( 3) T y tiene vectores directores u = ( ) T y v = ( 3) T. 37. Dada T : V W una trasformación lineal, demuestre que si V = Gen{v,v,...,v n entonces { Im(T) = T(v ),T(v ),...,T(v n ) 38. Dada T : V W una trasformación lineal tal que T =, T =. Calcule T, T y T y 39. Demuestre que una transformación lineal de R n en R m envía rectas en rectas o puntos, y a planos en planos, rectas o puntos. Que pasa con los hiperplanos? 4. Cuantas transformaciones lineales de R en el plano H = {v R 3 : v = tu +su, t,s R de R 3 eisten? 4. Encuentre una matri asociada a la transformación lineal de R 3 que rota todo vector 45 o alrededor del Eje Y. 4. Dada la transformación lineal T : V W y las bases B y B de V y W, respectivamente, demuestre que la matri A T, tal que [T(v)] B = A T [v] B para todo v V, es única. 43. Sea T : V n V n la transformación idéntida, T(v) = v, para todo v V, Demuestre que A T = I n, independientemente de la base de V que se tome. 44. Demuestre que T : V W es una transformación lineal inyectiva, si y solo si, T(v ) = T(v ) implica que v = v. 45. Encuentre una transformación lineal no trivial entre cada uno de los espacios vectoriales dados y determine si es inyectiva, sobreyectiva, isomorfismo y/o invertible. a) V = R y W = el plano de R 3 que pasa por el origen y tiene vectores directores d = (,,5) T y d = (3,, ) T { { b) V = p() = a+b+c : a = y W = p() = a+b+c : b = 6

7 c) V = M y W = { a b : a = d, b = c c d d) V = el plano de R 3 que pasa por el origen y tiene como vector normal a n = (,,5) T y W = { v R : v = λ(,5) T e) V = { { (,y,,w) T : y + = y W = (,y,,w) T : + w = 46. Para cada uno de los siguientes casos, encuentre, si eiste, S + T,T S, T,T, S T y T S y sus matrices asociadas respecto a las bases que usted elija. a) T : R 3 R tal que T(a,b,c) T = (a,b 3c) T S : R 3 R tal que S(a,b,c) T = (a,b+c) T. b) T : P P tal que T(p()) = p () S : P P tal que S(p()) = p(). a b c) T : M P tal que T = a+b+c c d S : P P tal que S(a+b+c ) = a c. d) T : R 3 P tal que T(a,b,c) T = a+b?3c S : P P tal que S(a+b+c ) = a c 47. JUSTIFIQUE PORQUE SON VERDADERAS LAS SIGUIENTES PROPOSICIONES. a) Si T : R 3 R 3 es una transformación lineal y A es su matri asociada en la base canónica, los valores y vectores propios de A son los valores y vectores propios de T. b) Si T : R 3 R 3 es una transformación lineal y A es su matri asociada en una base diferente a la canónica, los valores y vectores propios de A son los valores y vectores propios de T. c) Si T : V W es una transformación lineal y T es inyectiva, entonces dimv dimw. d) La matri 5I n tiene sus n valores propios iguales a 5. e) Cualquier vector de R n no nulo es vector propio de la matri nula de orden n. f) Toda transformación lineal es una función. g) Si T : V W es una transformación lineal y T es invertible, entonces dimv = dimw. h) Si T : V W es una transformación lineal inyectiva y dimv = dimw, entonces T es invertible. i) Si T : V W es una transformación lineal sobreyectiva y dimv = dimw, entonces T es inyectiva. j) Si T : V W es una transformación lineal y dimv < dimw, entonces T no es inyectiva k) Si T : V W es una transformación lineal y dimv < dimw, entonces T no es sobreyectiva. l) Si T : V W es una transformación lineal y T es inyectiva, entonces dimv dimw. m) Si T : V W es una transformación lineal y v Nu(T), entonces v N AT. n) Si T : V W es una transformación lineal y w Im(T), entonces, para alguna base B de W, [w] B N AT. ñ) Si T : V W es una transformación lineal, S : Nu(T) W tal que S(v) = T(v) es la transformación lineal nula. o) Si T : M P 3 es una transformación lineal sobreyectiva, entonces T es inyectiva. p) La translación de vectores en el plano, T : R R tal que T() = + a, a R fijo, no es una transformación lineal. q) Dados dos espacios vectoriales V y W, L(V,W), el conjunto de las transformaciones lineales de V en W es un espacio vectorial. 48. Sabiendo que A T = es la matri asociada a la transformación lineal T : V W, en las bases B y B de V y W respectivamente, encuentre el nucleo y la imagen de cada una de las siguientes situaciones y diga cuáles son sus dimensiones a) V = R 3, W = R y B y B son sus bases usuales. b) V = R 3, W = R y B = {,,) T,(,,) T,(,,) T y B es la base usual de R c) V = R 3, W = R y B es la base usual de R 3 y B = {, ) T,(,) T. d) V = P, W = P y B y B son sus bases usuales. e) V = P, W = P y B B = {,, y B {,. +y 49. Considere la transformación lineal T : R R dada por T =. Usando las bases B = B y y = 7

8 { 3,, Calcule A T 5. Sea T : R 3 R 3 dada por T y = a) Demuestre que T es lineal. y +3 +y y + b) Cuáles son las condiciones sobre a,b y c para que (a,b,c) T esté en la imagen de T? Cuál es el rango de T. c) Cuáles son las condiciones sobre,y, para que (,y,) T esté en el núcleo de T? Cuál es la nulidad de T? 5. Sean V y W espacios vectoriales y T : V W una transformación lineal. Si w,w,...,w n son n vectores l.i de W y v,v,...,v n vectores de V que cumplen que T(v i ) = w i (i =,,...,n). Demuestre que v,v,...,v n son l.i. 5. Sea T : R 3 R 7 lineal. Cuáles son los posibles valores para la dimensión de la imagen de T? Podría ser T invertible en algún caso?. En ese caso qué espacios se podría definir la inversa? 53. Si T : R 7 R 3 es lineal cuáles son los posibles valores para la nulidad de T? Podría ser T invertible para algún caso?. 54. SiT : V W eslinealeinvertibley{v,v,...,v n unabasedev.demuestreque { T(v ),T(v ),...,T(v n ) es una base para W; de modo que, dimv = dimw. 55. Sea T : R 3 R 3 la transformación lineal dada por T y = 3 y y +. Determine si T es invertible, en caso afirmativo calcule T { 56. Sea T : R 3 R 3 la transformación lineal y B =,, { y B =,, bases ordenadas de R 3. Si A T = Calcule T y = { 57. Halle una transformación lineal T : R 3 R 4 cuya imagen sea generada por los vectores, 4 3 { 58. Es 3, y + una base del nucleo de T y = y +? +y 4 { 59. Halle una transformación lineal T : R 4 R 3 cuyo nucleo sea N AT = (,y,,w) : +y =, w = 6. Sea V el espacio vectorial de las matrices sobre R y M =. Sea T : V V la transformación lineal definida por T(A) = MA. Demuestre que F es lineal y halle una base y la dimensión de Nu(T) y Img(T). 6. Describa eplícitamente una transformacón lineal de R 3 en R 3 cuyo nucleo es generado por los vectores (,,) T y (,,) T 6. Sea T : P P definida por T(a+b+c ) = (b a)+(c b)+c una transformción lineal a) Halle [A T ] B = {++,+, b) Verifique que [ T(p()) ] B = A T[p()] B = 63. Suponga que {v,v es una base de V y T : V V es un operador lineal tal que T(v ) = 3v v, T(v ) = v +4v. Supongamos que {w,w es otra base de V tal que w = v +v, w = v +3v. Halle la matri de T es una base {w,w. 64. Si T : V V es inyectiva y {v,v,...,v k son l.i en V, muestre que {T(v ),T(v ),...,T(v k ) son l.i en W. 8

9 65. Sea T una función de R 3 en R 3 definida por 3+ T y = y = +y y +4 a) verifique que T es una transformación lineal b) Si (a,b,c) T es un vector en R 3, Cuáles son las condiciones sobre a,b y c para que el vector esté en Img(T)?. Cuál es dim(img(t)? c) Cuales son las condiciones sobre a,b y c para que el vector esté en Nu(T)?. Cuál es dim(nu(t)? d) Cual es la matri de T en la base usual de R 3.? e) Cual es la matri de T en la base ordenada {(,,) T,(,,) T,(,,) T?. f) Pruebe que T es invertible y halle T 66. Sea T : P P una transformación lineal tal que T() = +, T() = +, T( ) =. a) Halle T(a+b+c ) b) Halle Nu(T) y la Img(T), y sus respectivas bases c) Si B = {,+,+ y B = {,, son bases ordenadas de P, Halle [A T ] BB 67. Sea T : P R 3 una transformación lineal tal que 3 T() =, T(+) =, T(++ ) = 3 4 a) Halle T(a+b+c ) y T(4++ ) b) Halle Nu(T), Img(T), dim(nu(t)) y dim(img(t)) c) Determine si T es inyectiva d) Si B = {,+,++ y B la base usual de R 3, halle A T 68. Sea T : P R 3 una aplicación lineal y B = {u,u una base de R. Si A T = T(u ) y T(v) para cualquier v R. 69. Verifique que 3 es un vector propio de la matri 7. Es el vector 3 un vector propio de la matri 3 4?, Halle T(u 4 ), 7. Demostrar que si A y B son dos matrices de orden n n y A es invertible, entonces las matrices A B y BA tienen los mismos valores propios. 7. Demuestre que si una matri A n n tiene n vectores propios l.i entonces es semejante a una matri diagonal. 73. Dada la matri, halle a) El polinomio caracteristico de A b) Los valores propios de A c) Una base de cada uno de los subespacios propios. Es A semejante a una matri diagonal D? 74. Determine si la matri 3 es semejante a una matri diagonal D. En caso afirmativo, halle una matri P invertible tal que P AP = D 7 y Sea T y = +y una transformción lineal de R 3 en R 3. Halle, si esposible, una base ortonormal B de R 3 tal que [A T ] BB sea diagonal. Verifique que A T = D = P T A T P, donde P es y +7 ortogonal. 76. PREGUNTAS 9

10 4 4 a) Es λ = un valor propio de la matri 5 4 3? 4 6 b) Si A es una matri n n triangular superior (triangular inferior). a qué es igual p(λ)? c) Si λ i son los valores propios de la matri A n n y k es un real cualquiera. se puede concluir que λ i +k son los valores propios de A+kI? d) Sabiendo que λ = es un valor propio de A n n, se puede concluir que A es no invertible?. Justifique la respuestas e) Son semejantes las matrices y? f) Si A es una matri simétrica y det(a) >, se puede garantiar que los valores propios de A tienen el mismo signo? g) ElpolinomiocaracteristicodeunamatriA 3 3 esp(λ) = (λ 3)(λ+) ydim(e (3) ) =,dim(e ( ) ) =. Puede garantiarse que A es semejante a una matri diagonal?. Justifique. h) Los valores propios de una matri A 4 4 son,, 7,, se puede conluir que A es diagonaliable?. Justifique. i) Sea A = I +N, donde N es nilpotente. A qué es igual p(a)? j) Si λ es un valor propio de A, puede afirmarse que aλ es un valor propio de aa? k) Los valores propios de una matri A 4 4 son 3 y. Se puede afirmar que A no es diagonaliable? a b l) Para qué valores a,b,c,d la matri A = no tiene valores propios reales? c d m) Eisten matrices A tales que A, A T tengan vectores propios diferentes? n) Sea A n n tal que A = I y λ un valor propio de A, cuáles son los posibles valores de λ? ñ) Sea A smejante a B y B semejante a C. Es A semejante a C?. o) Si A y B son semejantes y A es invertible, Son semejantes A y B? p) Qué puede concluir del hecho que A sea una matri simétrica, cuyos valores propios son todos iguales a? 77. Halle los valores propios de la matri A = a b y verifique que det(a) es igual al producto de los c d valores propios. 78. Si al menos una de las matrices A ó B es invertible, pruebe que el polinomio característico de AB es igual al de BA 79. Sea A una matri n n, demuestre que A y A T tienen el mismo polinomio característico. 8. Si A es n n y A k = para algún k Z + muestre que p(λ) = λ k (Ayuda:Use la definición de valor propio) 8. Sea T una rotación de π/ en el plano. Muestre que T no tiene vectores propios, pero todo v es un vector propio de T 8. Para cada una de las matrices dadas calcule. El polinomio caracteristico, los valores propios, los subsespacios E (λ) y su dimensión. Decida si dichas matrices son semejantes a una matri diagonal D, en caso afirmativo, halle la matri P invertible que cumple P AP = D 4 A = Pruebe que las matrices 3 y tiene los mismos valores propios, pero no son semejantes Determine a,b,c,d,e,f sabiendo que los vectores,, son vectores propios de la matri

11 a b c d e f 85. Si A es una matri invertible y λ es un valor propio de A, demuestre que λ es un valor propio de A. 86. Si A es una matri real n n tal que A = I, demuestre que: a) A es invertible b) n es par c) A no tiene valores propios reales d) deta = 87. Pruebe que A es invertible si y solo si λ = no es un valor propio de A. 88. Determine si T : R 3 R 3 con T y = es una transformación lineal. y 89. Si T : R 3 R es una transformación lineal tal que T = entonces T y =, es una transformación lineal. y 9. Si T : R 3 R es una transformación lineal tal que T y = y, Determine si (4,,) T esta en la Im(T) Determine (4,,5) T está en el nucleo de T. 9. Sea H = y : = y =, T = 3 a) Si T : R H es una transformación lineal, determine si el rango de T puede ser. b) Si T : R H es una transformación lineal, determine si la nulidad de T puede ser. c) Encuentre, si eiste, una transformación lineal T : H R, con nulidad. y T = d) Encuentre, si eiste, una transformación lineal T : H R, con rango. / 9. Sea A = 3 la matri asociada a la transformación T, respecto a las bases B y B. a) Si T : R n R m, entonces n es y m b) Determine si la transformación T es inyectiva. c) Determine si la transformación T es sobreyectiva. 93. Sean M y A matrices tales que M = = E E E A donde 3 E = 3. E = E 3 = a) Determine si es una valor propio de M T. b) Determine si es un valor propio de M. c) Determine si 5 es un valor propio de A.

12 94. Suponga que es un valor propio de B. Determine si B es una matri invertible. 95. Determine cuales de los vectores dados son vectores propios de la matri A dada y en caso de serlo, identifique los valores propios asociados. 3 a), v 4 = v 3 = v 3 = b), v = 3 v = v 3 = 6 v 3 = Determine cuales de los escalares dados son valores propios para la matri A dada. 9 a), λ 4 =, λ = 6, λ 3 = 9, λ 4 = 6 b), λ =, λ = 4, λ 3 =, λ 4 = 3 / 3 c) 3 /5, λ =, λ =, λ 3 = /, λ 4 = /5 /5 97. Determine los valores propios, sus multiplicidades algebraicas y sus multiplicidades geométricas, para cada una de las matrices A dadas /3 98. Justifique PORQUE SON VERDADERAS las siguientes afirmaciones. a) Si ninguno de los valores propios de A es cero, det(a). b) Si A y B son semejantes, det(a) = det(b). c) Toda matri invertible es semejante a una matri diagonal. d) Los valores propios reales de una matri son raíces de su polinomio característico. e) Toda matri n n tiene n valores propios, contando sus multiplicidades algebraicas. f) Todos los valores propios de una matri nula son. g) Cualquier vector de R n { es vector propio de la matri nula n n. h) Para conocer los valores propios de la matri inversa de A no es necesario encontrar la inversa. i) Si una matri 5 5 tiene 5 valores propios diferentes, es diagonaliable. j) Si T : R 4 R 4 es una transformación lineal y A es su matri asociada en la base usual, los valores y vectores propios de A son los valores y vectores propios de T. k) Si A es simétrica, A es diagonaliable. l) Si A = A T es una matri de tamaño 9 9, A tiene 9 vectores propios que forman un conjunto ortogonal. 99. En cada caso, con la información dada sobre la matri A de tamaño n n, determine si A es diagonaliable, ortogonalmente diagonaliable, invertible y/o simétrica y el valor de n. a) El polinomio característico de A es p(λ) = (λ )(λ+3)(λ+ )λ. b) El polinomio característico de A es p() = ( )(+)( +). c) El polinomio característico de A es p(α) = (α 4) (α+) 3. d) Los espacios propios de A son E () = Gen,, E ( ) = Gen e) Los espacios propios de A son E (3 = Gen, E () = Gen,

13 f) A = g) Los espacios propios de A son E (4) = Gen{u,v y E ( ) = Gen{w, siendo u,v,w R n. Demuestre que si A es una matri diagonaliable cuyos valores propios son y, entonces A es invertible y A = A. Además, { A k A si k es impar = I si k es par. Dada A una matri n n tal que A = PQ, donde P es invertible, demuestre que B = QP es una matri semejante a A.. Sea T : R n R n una transformación lineal. Demuestre que A es la matri asociada a T en la base canónica de R n, si y sólo si, T() = A 3. Sea T : R n R n una transformación lineal. Demuestre que si A es una matri asociada a T en la base canónica de R n y AP = PD para alguna matri invertible P y una matri diagonal D, entonces T(p i ) = d ii p i donde p i es la columna de P y d ii es la componente i de la diagonal de D. 4. Demuestre que si A es nilpotente, entonces el único valor propio de A es. 5. Demuestre que si A es una matri tal que sus columnas suman, entonces λ = es un valor propio de A. 6. Demuestre que si A es diagonaliable, entonces: a) A T es diagonaliable. b) A k es diagonaliable, donde k es un entero positivo 7. Sea A una matri de n n, y sea B = P AP semejante a A. Demuestre que si es un vector propio de A asociado con el valor propio λ de A, P es un vector propio de B asociado con el valor propio λ de la matri B. 8. Demuestre que si y y son vectores en R n, entonces (A) y = (A T y). 9. Demuestre que si A es una matri ortogonal de n n, y y y son vectores en R n, entonces (A) (Ay) = y.. Demuestre que si A es una matri ortogonal, entonces det(a) = ±.. Si A = A, cuáles son los valores posibles para los valores propios de A? Justifique su respuesta.. Justifique PORQUE SON FALSAS las siguientes afirmaciones. a) Las raíces del polinomio característico de una matri son sus valores propios reales. b) Si T : R 6 R 6 es una transformación lineal y A es su matri asociada en una base diferente a la usual, los valores y vectores propios de A son los valores y vectores propios de T. c) Si T : P P es una transformación lineal, T no tiene valores ni vectores propios. d) Si T : M P 4 es una transformación lineal, T no tiene valores ni vectores propios. e) Si A = A T es una matri de tamaño 5 5, A tiene 5 valores propios diferentes. f) Si A = A T es una matri de tamaño 7 7, cualquier conjunto de 7 vectores propios es ortogonal. g) Las matrices que diagonalian una matri dada son únicas. h) Si A es una matri ortogonal de n n, rangoa < n. i) Si A es diagonaliable, cada uno de sus valores propios tiene multiplicidad uno. j) Si y y son vectores propios de A asociados a los valores propios distintos λ y λ, respectivamente, +y es un vector propio de A asociado con el valor propio λ +λ. 3

Espacios Vectoriales www.math.com.mx

Espacios Vectoriales www.math.com.mx Espacios Vectoriales Definiciones básicas de Espacios Vectoriales www.math.com.mx José de Jesús Angel Angel jjaa@math.com.mx MathCon c 007-009 Contenido. Espacios Vectoriales.. Idea Básica de Espacio Vectorial.................................

Más detalles

ÁLGEBRA LINEAL II Algunas soluciones a la práctica 2.3

ÁLGEBRA LINEAL II Algunas soluciones a la práctica 2.3 ÁLGEBRA LINEAL II Algunas soluciones a la práctica 2. Transformaciones ortogonales (Curso 2010 2011) 1. Se considera el espacio vectorial euclídeo IR referido a una base ortonormal. Obtener la expresión

Más detalles

y λu = Idea. Podemos sumar vectores y multiplicar por un escalar. El resultado vuelve a ser un vector Definición de espacio vectorial.

y λu = Idea. Podemos sumar vectores y multiplicar por un escalar. El resultado vuelve a ser un vector Definición de espacio vectorial. Espacios vectoriales Espacios y subespacios R n es el conjunto de todos los vectores columna con n componentes. Además R n es un espacio vectorial. Ejemplo Dados dos vectores de R por ejemplo u = 5 v =

Más detalles

5.1Definición transformación lineal de núcleo ó kernel, e imagen de una transformación lineal y sus propiedades

5.1Definición transformación lineal de núcleo ó kernel, e imagen de una transformación lineal y sus propiedades 5- ransformaciones Lineales 5Definición transformación lineal de núcleo ó kernel, e imagen de una transformación lineal sus propiedades Se denomina transformación lineal a toda función,, cuo dominio codominio

Más detalles

Vectores y Valores Propios

Vectores y Valores Propios Capítulo 11 Vectores y Valores Propios Las ideas de vector y valor propio constituyen conceptos centrales del álgebra lineal y resultan una valiosa herramienta en la solución de numerosos problemas de

Más detalles

Transformaciones Lineales. Definiciones básicas de Transformaciones Lineales. www.math.com.mx. José de Jesús Angel Angel. jjaa@math.com.

Transformaciones Lineales. Definiciones básicas de Transformaciones Lineales. www.math.com.mx. José de Jesús Angel Angel. jjaa@math.com. Transformaciones Lineales Definiciones básicas de Transformaciones Lineales wwwmathcommx José de Jesús Angel Angel jjaa@mathcommx MathCon c 007-009 Contenido 1 Transformaciones Lineales 11 Núcleo e imagen

Más detalles

Algebra Lineal y Geometría.

Algebra Lineal y Geometría. Algebra Lineal y Geometría. Unidad nº7: Transformaciones Lineales. Algebra Lineal y Geometría Esp. Liliana Eva Mata 1 Contenidos. Transformación lineal entre dos espacios vectoriales. Teorema fundamental

Más detalles

Construcción de bases en el núcleo e imagen de una transformación lineal

Construcción de bases en el núcleo e imagen de una transformación lineal Construcción de bases en el núcleo e imagen de una transformación lineal Objetivos. Estudiar el algoritmo para construir una base del núcleo y una base de la imagen de una transformación lineal. Requisitos.

Más detalles

CÁLCULO DIFERENCIAL Muestras de examen

CÁLCULO DIFERENCIAL Muestras de examen CÁLCULO DIFERENCIAL Muestras de examen Febrero 2012 T1. [2] Demostrar que la imagen continua de un conjunto compacto es compacto. T2. [2.5] Definir la diferencial de una función en un punto y demostrar

Más detalles

13.TRANSFORMACIONES LINEALES 273 13.1. DEFINICIÓN DE TRANSFORMACIÓN LINEAL... 273 13.2. DETERMINACIÓN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL... 275 13.3.

13.TRANSFORMACIONES LINEALES 273 13.1. DEFINICIÓN DE TRANSFORMACIÓN LINEAL... 273 13.2. DETERMINACIÓN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL... 275 13.3. ÍNDICE 13.TRANSFORMACIONES LINEALES 273 13.1. DEFINICIÓN DE TRANSFORMACIÓN LINEAL............. 273 13.2. DETERMINACIÓN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL...... 275 13.3. REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE UNA TRANSFORMACIÓN

Más detalles

1 v 1 v 2. = u 1v 1 + u 2 v 2 +... u n v n. v n. y v = u u = u 2 1 + u2 2 + + u2 n.

1 v 1 v 2. = u 1v 1 + u 2 v 2 +... u n v n. v n. y v = u u = u 2 1 + u2 2 + + u2 n. Ortogonalidad Producto interior Longitud y ortogonalidad Definición Sean u y v vectores de R n Se define el producto escalar o producto interior) de u y v como u v = u T v = u, u,, u n ) Ejemplo Calcular

Más detalles

Álgebra lineal y matricial

Álgebra lineal y matricial Capítulo Álgebra lineal y matricial.. Vectores y álgebra lineal Unconjuntodennúmerosreales(a,,a n )sepuederepresentar: como un punto en el espacio n-dimensional; como un vector con punto inicial el origen

Más detalles

Comenzaremos recordando algunas definiciones y propiedades estudiadas en el capítulo anterior.

Comenzaremos recordando algunas definiciones y propiedades estudiadas en el capítulo anterior. Capítulo 2 Matrices En el capítulo anterior hemos utilizado matrices para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y hemos visto que, para n, m N, el conjunto de las matrices de n filas y m columnas

Más detalles

vectoriales N(f) e Im(f) N(f) = (5,1,0),( 3,0,1) y f(1,0,0)=(2,-1,1). Se pide:

vectoriales N(f) e Im(f) N(f) = (5,1,0),( 3,0,1) y f(1,0,0)=(2,-1,1). Se pide: .- En los siguientes casos estudiar si f es una aplicación lineal y en caso afirmativo hallar una matriz A tal que f(x) Ax, así como los subespacios vectoriales N(f) e Im(f) a) f(x,y) = (x,-y) b) f(x,y)

Más detalles

Tema 4.- El espacio vectorial R n.

Tema 4.- El espacio vectorial R n. Tema 4- El espacio vectorial R n Subespacios vectoriales de R n Bases de un subespacio Rango de una matriz 4 Bases de R n Cambios de base 5 Ejercicios En este tema estudiamos la estructura vectorial del

Más detalles

Tema 4: Aplicaciones lineales

Tema 4: Aplicaciones lineales Tema 4: Aplicaciones lineales Definición, primeras propiedades y ejemplos Definición. Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un cuerpo K. Una función f : V W se dice que es una aplicación lineal si

Más detalles

Proceso Selectivo para la XXII IMC, Bulgaria

Proceso Selectivo para la XXII IMC, Bulgaria Proceso Selectivo para la XXII IMC, Bulgaria Facultad de Ciencias UNAM Instituto de Matemáticas UNAM SUMEM Indicaciones Espera la indicación para voltear esta hoja. Mientras tanto, lee estas instrucciones

Más detalles

Aplicaciones lineales

Aplicaciones lineales Capítulo 4 Aplicaciones lineales 4.1. Introduccción a las aplicaciones lineales En el capítulo anterior encontramos la aplicación de coordenadas x [x] B que asignaba, dada una base del espacio vectorial,

Más detalles

APLICACIONES LINEALES. DIAGONALIZACIÓN

APLICACIONES LINEALES. DIAGONALIZACIÓN I.- Sea f una transformación lineal de un espacio vectorial V de dimensión n. Sea B una base de V. Sea A la matriz asociada a f respecto de la base B. Señala, sin demostrar, cuáles de las siguientes afirmaciones

Más detalles

ALGEBRA LINEAL. Héctor Jairo Martínez R. Ana María Sanabria R.

ALGEBRA LINEAL. Héctor Jairo Martínez R. Ana María Sanabria R. ALGEBRA LINEAL Héctor Jairo Martínez R. Ana María Sanabria R. SEGUNDO SEMESTRE 8 Índice general. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.. Introducción................................................ Conceptos

Más detalles

1. SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS

1. SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS 1 1. SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS 1.1. ESPACIOS VECTORIALES 1. Analizar cuáles de los siguientes subconjuntos de R 3 son subespacios vectoriales. a) A = {(2x, x, 7x)/x R} El conjunto A es una

Más detalles

Aplicaciones Lineales

Aplicaciones Lineales Aplicaciones Lineales Concepto de aplicación lineal T : V W Definición: Si V y W son espacios vectoriales con los mismos escalares (por ejemplo, ambos espacios vectoriales reales o ambos espacios vectoriales

Más detalles

Valores propios y vectores propios

Valores propios y vectores propios Capítulo 6 Valores propios y vectores propios En este capítulo investigaremos qué propiedades son intrínsecas a una matriz, o su aplicación lineal asociada. Como veremos, el hecho de que existen muchas

Más detalles

Apuntes de Álgebra Lineal

Apuntes de Álgebra Lineal Apuntes de Álgebra Lineal Mariano Echeverría Introducción al Curso El álgebra lineal se caracteriza por estudiar estructuras matemáticas en las que es posible tomar sumas entre distintos elementos de cierto

Más detalles

BASES Y DIMENSIÓN. Propiedades de las bases. Ejemplos de bases.

BASES Y DIMENSIÓN. Propiedades de las bases. Ejemplos de bases. BASES Y DIMENSIÓN Definición: Base. Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente. β Propiedades

Más detalles

DESCRIPCIÓN DE FUNCIONES 1.1.2 y 1.1.3

DESCRIPCIÓN DE FUNCIONES 1.1.2 y 1.1.3 Capítulo DESCRIPCIÓN DE FUNCIONES..2..3 El objetivo principal de estas lecciones consiste en que los alumnos puedan describir totalmente los elementos esenciales del gráfico de una función. Para describir

Más detalles

4 APLICACIONES LINEALES. DIAGONALIZACIÓN

4 APLICACIONES LINEALES. DIAGONALIZACIÓN 4 APLICACIONES LINEALES DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES En ocasiones, y con objeto de simplificar ciertos cálculos, es conveniente poder transformar una matriz en otra matriz lo más sencilla posible Esto nos

Más detalles

Objetivos: Al inalizar la unidad, el alumno:

Objetivos: Al inalizar la unidad, el alumno: Unidad 7 transformaciones lineales Objetivos: Al inalizar la unidad, el alumno: Comprenderá los conceptos de dominio e imagen de una transformación. Distinguirá cuándo una transformación es lineal. Encontrará

Más detalles

Bibliografía recomendada

Bibliografía recomendada Álgebra II Guía del Examen a Título de Suficiencia Escuela Superior de Física y Matemáticas del Instituto Politécnico Nacional Licenciatura en Física y Matemáticas Esta guía está elaborada por el colectivo

Más detalles

GUIA DE EJERCICIOS MATEMATICAS 3

GUIA DE EJERCICIOS MATEMATICAS 3 GUIA DE EJERCICIOS MATEMATICAS 3 La presente guía representa una herramienta para el estudiante para que practique los temas dictados en matemáticas 3. Tenga presente que algunos ejercicios se escapan

Más detalles

CONTINUIDAD DE FUNCIONES. SECCIONES A. Definición de función continua. B. Propiedades de las funciones continuas. C. Ejercicios propuestos.

CONTINUIDAD DE FUNCIONES. SECCIONES A. Definición de función continua. B. Propiedades de las funciones continuas. C. Ejercicios propuestos. CAPÍTULO IV. CONTINUIDAD DE FUNCIONES SECCIONES A. Definición de función continua. B. Propiedades de las funciones continuas. C. Ejercicios propuestos. 121 A. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN CONTINUA. Una función

Más detalles

Tema 6.- Autovalores y autovectores.

Tema 6.- Autovalores y autovectores. Ingeniería Civil. Matemáticas I. -3. Departamento de Matemática Aplicada II. Escuela Superior de Ingenieros. Universidad de Sevilla. Tema 6.- Autovalores autovectores. 6..- Autovalores autovectores. Definición

Más detalles

Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES. ÁLGEBRA PARA INGENIEROS (Solucionario)

Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES. ÁLGEBRA PARA INGENIEROS (Solucionario) Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES ÁLGEBRA PARA INGENIEROS (Solucionario) 2 Í N D I C E CAPÍTULO : MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CAPÍTULO 2: ESPACIOS VECTORIALES

Más detalles

Formas bilineales y cuadráticas.

Formas bilineales y cuadráticas. Tema 4 Formas bilineales y cuadráticas. 4.1. Introducción. Conocidas las nociones de espacio vectorial, aplicación lineal, matriz de una aplicación lineal y diagonalización, estudiaremos en este tema dos

Más detalles

Tema 2. Aplicaciones lineales y matrices.

Tema 2. Aplicaciones lineales y matrices. Tema 2 Aplicaciones lineales y matrices. 1 Índice general 2. Aplicaciones lineales y matrices. 1 2.1. Introducción....................................... 2 2.2. Espacio Vectorial.....................................

Más detalles

CALCULO INTEGRAL CONCEPTOS DE AREA BAJO LA CURVA. (Se utiliza el valor de la función en el extremo izquierdo de cada subintervalo)

CALCULO INTEGRAL CONCEPTOS DE AREA BAJO LA CURVA. (Se utiliza el valor de la función en el extremo izquierdo de cada subintervalo) CALCULO INTEGRAL CONCEPTOS DE AREA BAJO LA CURVA El problema del área, el problema de la distancia tanto el valor del área debajo de la gráfica de una función como la distancia recorrida por un objeto

Más detalles

PROBLEMA 1. 1. [1.5 puntos] Obtener la ecuación de la recta tangente en el punto ( 2, 1) a la curva dada implícitamente por y 3 +3y 2 = x 4 3x 2.

PROBLEMA 1. 1. [1.5 puntos] Obtener la ecuación de la recta tangente en el punto ( 2, 1) a la curva dada implícitamente por y 3 +3y 2 = x 4 3x 2. PROBLEMA. ESCUELA UNIVERSITARIA POLITÉCNICA DE SEVILLA Ingeniería Técnica en Diseño Industrial Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería Soluciones correspondientes a los problemas del Primer Parcial 7/8.

Más detalles

Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Isaac Musat Hervás

Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Isaac Musat Hervás Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid Resueltos Isaac Musat Hervás 22 de mayo de 213 Capítulo 11 Año 21 11.1. Modelo 21 - Opción A Problema 11.1.1 3 puntos Dada la función: fx

Más detalles

Subespacios vectoriales en R n

Subespacios vectoriales en R n Subespacios vectoriales en R n Víctor Domínguez Octubre 2011 1. Introducción Con estas notas resumimos los conceptos fundamentales del tema 3 que, en pocas palabras, se puede resumir en técnicas de manejo

Más detalles

Algebra Lineal: Aplicaciones a la Física, Curso 2012

Algebra Lineal: Aplicaciones a la Física, Curso 2012 Algebra Lineal: Aplicaciones a la Física, Curso 2012 5. Transformaciones lineales Una transformación lineal (TL es una función F : V V entre dos espacios vectoriales V,V sobre el mismo cuerpo K que satisface

Más detalles

Algebra Lineal: Aplicaciones a la Física

Algebra Lineal: Aplicaciones a la Física Algebra Lineal: Aplicaciones a la Física Resumen del curso 2014 para Lic. en Física (2 o año), Depto. de Física, UNLP. Prof.: R. Rossignoli 0. Repaso de estructuras algebraicas básicas Un sistema algebraico

Más detalles

Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES ÁLGEBRA PARA INGENIEROS

Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES ÁLGEBRA PARA INGENIEROS Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES ÁLGEBRA PARA INGENIEROS 2 Í N D I C E CAPÍTULO MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MATRICES. MATRIZ. DEFINICIÓN 2. ALGUNOS

Más detalles

Producto Interno y Ortogonalidad

Producto Interno y Ortogonalidad Producto Interno y Ortogonalidad Departamento de Matemáticas, CSI/ITESM 15 de octubre de 2009 Índice 8.1. Contexto................................................ 1 8.2. Introducción...............................................

Más detalles

Espacios vectoriales con producto interno

Espacios vectoriales con producto interno Capítulo 8 Espacios vectoriales con producto interno En este capítulo, se generalizarán las nociones geométricas de distancia y perpendicularidad, conocidas en R y en R 3, a otros espacios vectoriales.

Más detalles

Espacio afín. Transformaciones afines y movimientos

Espacio afín. Transformaciones afines y movimientos Capítulo Espacio afín. Transformaciones afines y movimientos. Espacio afín y espacio afín métrico Definición. El espacio afín (tridimensional) está constituido por los siguientes elementos. El espacio

Más detalles

Apéndice A. Repaso de Matrices

Apéndice A. Repaso de Matrices Apéndice A. Repaso de Matrices.-Definición: Una matriz es una arreglo rectangular de números reales dispuestos en filas y columnas. Una matriz com m filas y n columnas se dice que es de orden m x n de

Más detalles

FACULTAD DE CIENCIAS II CICLO DEL 2014 ESCUELA DE MATEMATICAS. Información general

FACULTAD DE CIENCIAS II CICLO DEL 2014 ESCUELA DE MATEMATICAS. Información general UNIVERSIDAD DE COSTA RICA DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA FACULTAD DE CIENCIAS II CICLO DEL 2014 ESCUELA DE MATEMATICAS Información general Nombre del curso: Álgebra lineal Sigla: MA 1004 Naturaleza del curso:

Más detalles

NOCIONES PRELIMINARES (*) 1

NOCIONES PRELIMINARES (*) 1 CONJUNTOS NOCIONES PRELIMINARES (*) 1 Conjunto no es un término definible, pero da idea de una reunión de cosas ( elementos ) que tienen algo en común. En matemática los conjuntos se designan con letras

Más detalles

4 Aplicaciones Lineales

4 Aplicaciones Lineales Prof Susana López 41 4 Aplicaciones Lineales 41 Definición de aplicación lineal Definición 23 Sean V y W dos espacios vectoriales; una aplicación lineal f de V a W es una aplicación f : V W tal que: 1

Más detalles

MATEMÁTICAS II. Departamento de Matemáticas I.E.S. A Xunqueira I (Pontevedra)

MATEMÁTICAS II. Departamento de Matemáticas I.E.S. A Xunqueira I (Pontevedra) MATEMÁTICAS II 1 José M. Ramos González Este libro es totalmente gratuito y solo vale la tinta y el papel en que se imprima. Es de libre divulgación y no está sometido a ningún copyright. Tan solo se

Más detalles

Tema III. Capítulo 2. Sistemas generadores. Sistemas libres. Bases.

Tema III. Capítulo 2. Sistemas generadores. Sistemas libres. Bases. Tema III Capítulo 2 Sistemas generadores Sistemas libres Bases Álgebra Lineal I Departamento de Métodos Matemáticos y de Representación UDC 2 Sistemas generadores Sistemas libres Bases 1 Combinación lineal

Más detalles

Teoría de anillos. Dominios, cuerpos y cuerpos de fracciones. Característica de un cuerpo.

Teoría de anillos. Dominios, cuerpos y cuerpos de fracciones. Característica de un cuerpo. 1 Tema 5.-. Teoría de anillos. Dominios, cuerpos y cuerpos de fracciones. Característica de un cuerpo. 5.1. Anillos y cuerpos Definición 5.1.1. Un anillo es una terna (A, +, ) formada por un conjunto A

Más detalles

4. ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES

4. ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales 4. ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES SUMARIO: INTRODUCCIÓN OBJETIVOS INTRODUCCIÓN TEÓRICA 1.- Espacios Vectoriales..- Propiedades de un Espacio Vectorial..-

Más detalles

Tema 1. VECTORES (EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO)

Tema 1. VECTORES (EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO) Vectores Tema. VECTORES (EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO Definición de espacio vectorial Un conjunto E es un espacio vectorial si en él se definen dos operaciones, una interna (suma y otra externa (producto

Más detalles

Sección 4.5: Transformaciones del plano y del espacio. Sección 4.6: Problema de mínimos cuadrados y aplicaciones.

Sección 4.5: Transformaciones del plano y del espacio. Sección 4.6: Problema de mínimos cuadrados y aplicaciones. Tema 4 Producto escalar En bachiller habéis visto los conceptos de producto escalar, longitud, distancia y perpendicularidad en R y R 3 En este tema del curso se generalizan estos conceptos a R n, junto

Más detalles

Apuntes de Álgebra Lineal

Apuntes de Álgebra Lineal Apuntes de Álgebra Lineal 9 de noviembre de 2009 Deseo agradecer la cuidadosa lectura, las correcciones y las sugerencias para mejorar este documento realizadas por el M.C. César Rincón Orta. Deseo agradecer

Más detalles

Asignatura: Horas: Total (horas): Obligatoria X Teóricas 4.5 Semana 4.5 Optativa Prácticas 0.0 16 Semanas 72.0

Asignatura: Horas: Total (horas): Obligatoria X Teóricas 4.5 Semana 4.5 Optativa Prácticas 0.0 16 Semanas 72.0 UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTADES DE ECONOMÍA E INGENIERÍA LICENCIATURA EN ECONOMÍA Y NEGOCIOS PROGRAMA DE ESTUDIO Álgebra Lineal P82 /P72 /P92 09 Asignatura Clave Semestre Créditos Ciencias

Más detalles

Ejemplo 1.2 En el capitulo anterior se demostró que el conjunto. V = IR 2 = {(x, y) : x, y IR}

Ejemplo 1.2 En el capitulo anterior se demostró que el conjunto. V = IR 2 = {(x, y) : x, y IR} Subespacios Capítulo 1 Definición 1.1 Subespacio Sea H un subconjunto no vacio de un espacio vectorial V K. Si H es un espacio vectorial sobre K bajo las operaciones de suma y multiplicación por escalar

Más detalles

CURSO CERO. Departamento de Matemáticas. Profesor: Raúl Martín Martín Sesiones 18 y 19 de Septiembre

CURSO CERO. Departamento de Matemáticas. Profesor: Raúl Martín Martín Sesiones 18 y 19 de Septiembre CURSO CERO Departamento de Matemáticas Profesor: Raúl Martín Martín Sesiones 18 y 19 de Septiembre Capítulo 1 La demostración matemática Demostración por inducción El razonamiento por inducción es una

Más detalles

1. Cambios de base en R n.

1. Cambios de base en R n. er Curso de Ingeniero de Telecomunicación. Álgebra. Curso 8-9. Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Tema 5. Cambios de Base. Aplicaciones Lineales. Teoría y Ejercicios Resueltos..

Más detalles

TRANSFORMACIONES LINEALES

TRANSFORMACIONES LINEALES TRANSFORMACIONES LINEALES M. C. Roberto Rosales Flores INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TLAXCO Ingeniería en Logística M. C. Roberto Rosales Flores (ITST) TRANSFORMACIONES LINEALES Tercer Semestre 1 /

Más detalles

Matemáticas I: Hoja 2 Cálculo matricial y sistemas de ecuaciones lineales

Matemáticas I: Hoja 2 Cálculo matricial y sistemas de ecuaciones lineales Matemáticas I: Hoja 2 Cálculo matricial y sistemas de ecuaciones lineales Ejercicio 1 Escribe las siguientes matrices en forma normal de Hermite: 2 4 3 1 2 3 2 4 3 1 2 3 1. 1 2 3 2. 2 1 1 3. 1 2 3 4. 2

Más detalles

Introducción. La geometría analítica es el estudio de la geometría mediante un sistema de coordenadas que lleva asociada un álgebra.

Introducción. La geometría analítica es el estudio de la geometría mediante un sistema de coordenadas que lleva asociada un álgebra. GEOMETRIA ANALITICA Luis Zegarra. Sistema Unidimensional 153 Introducción La geometría analítica es el estudio de la geometría mediante un sistema de coordenadas que lleva asociada un álgebra. Dos problemas

Más detalles

Espacios vectoriales y aplicaciones lineales

Espacios vectoriales y aplicaciones lineales Capítulo 3 Espacios vectoriales y aplicaciones lineales 3.1 Espacios vectoriales. Aplicaciones lineales Definición 3.1 Sea V un conjunto dotado de una operación interna + que llamaremos suma, y sea K un

Más detalles

ÁLGEBRA LINEAL E.T.S. DE INGENIERÍA INFORMÁTICA INGENIERÍA TÉCNICA EN INFORMÁTICA DE GESTIÓN. Apuntes de. para la titulación de

ÁLGEBRA LINEAL E.T.S. DE INGENIERÍA INFORMÁTICA INGENIERÍA TÉCNICA EN INFORMÁTICA DE GESTIÓN. Apuntes de. para la titulación de E.T.S. DE INGENIERÍA INFORMÁTICA Apuntes de ÁLGEBRA LINEAL para la titulación de INGENIERÍA TÉCNICA EN INFORMÁTICA DE GESTIÓN Fco. Javier Cobos Gavala Amparo Osuna Lucena Rafael Robles Arias Beatriz Silva

Más detalles

Espacios vectoriales. Bases. Coordenadas

Espacios vectoriales. Bases. Coordenadas Capítulo 5 Espacios vectoriales. Bases. Coordenadas OPERACIONES ENR n Recordemos que el producto cartesiano de dos conjuntos A y B consiste en los pares ordenados (a,b) tales que a A y b B. Cuando consideramos

Más detalles

TEST DE ÁLGEBRA. 6.- Sea el subespacio de R 3 S = { (x,,y,z) / x +y+z = 0} a) es de dimensión 1 b) es de dimensión 2 c) es R 3 d) NDLA

TEST DE ÁLGEBRA. 6.- Sea el subespacio de R 3 S = { (x,,y,z) / x +y+z = 0} a) es de dimensión 1 b) es de dimensión 2 c) es R 3 d) NDLA TEST DE ÁLGEBRA 1.- Sea f:r 4 -----> R 5 una apli. lineal a) Dim ker(f) tiene que ser 3 b) Dim ker(f) será 4 c) Dim ker(f) es 5 2.- El sistema homogéneo 3 x % 8 y % ð z 0 y & z 0 a) tiene soluciones no

Más detalles

Tema 3. Aplicaciones lineales. 3.1. Introducción

Tema 3. Aplicaciones lineales. 3.1. Introducción Tema 3 Aplicaciones lineales 3.1. Introducción Una vez que sabemos lo que es un espacio vectorial y un subespacio, vamos a estudiar en este tema un tipo especial de funciones (a las que llamaremos aplicaciones

Más detalles

Problemas de 2 o Bachillerato (ciencias sociales) Isaac Musat Hervás

Problemas de 2 o Bachillerato (ciencias sociales) Isaac Musat Hervás Problemas de 2 o Bachillerato ciencias sociales) Isaac Musat Hervás 27 de mayo de 2007 2 Índice General 1 Problemas de Álgebra 5 1.1 Matrices, Exámenes de Ciencias Sociales............ 5 1.2 Sistemas de

Más detalles

Segundo de Bachillerato Geometría en el espacio

Segundo de Bachillerato Geometría en el espacio Segundo de Bachillerato Geometría en el espacio Jesús García de Jalón de la Fuente IES Ramiro de Maeztu Madrid 204-205. Coordenadas de un vector En el conjunto de los vectores libres del espacio el concepto

Más detalles

Fascículo 2. Álgebra Lineal. Cursos de grado. Gabriela Jeronimo Juan Sabia Susana Tesauri. Universidad de Buenos Aires

Fascículo 2. Álgebra Lineal. Cursos de grado. Gabriela Jeronimo Juan Sabia Susana Tesauri. Universidad de Buenos Aires Fascículo 2 Cursos de grado ISSN 1851-1317 Gabriela Jeronimo Juan Sabia Susana Tesauri Álgebra Lineal Departamento de Matemática Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Buenos Aires 2008

Más detalles

VECTORES LIBRES DEL PLANO

VECTORES LIBRES DEL PLANO VECTORES LIBRES DEL PLANO ESPACIO VECTORIAL NUMERICO R² 1.-En un espacio vectorial: a) Cuantas operaciones están definidas. b) Cuantos conjuntos intervienen. c) Cita e indica las operaciones. d) Haz las

Más detalles

Concurso Nacional de Matemáticas Pierre Fermat 2012. Examen para Nivel Superior Primera Etapa. Problemas

Concurso Nacional de Matemáticas Pierre Fermat 2012. Examen para Nivel Superior Primera Etapa. Problemas 1 Concurso Nacional de Matemáticas Pierre Fermat 2012 Examen para Nivel Superior Primera Etapa Instrucciones: No utilizar celular (éste deberá de estar apagado), calculadora ó cualquier otro medio en el

Más detalles

9. MATRICES 189 9.1. DEFINICIÓN Y NOTACIONES... 189 9.2. OPERACIONES CON MATRICES... 190 9.3. MATRICES CUADRADAS... 192 9.3.1.

9. MATRICES 189 9.1. DEFINICIÓN Y NOTACIONES... 189 9.2. OPERACIONES CON MATRICES... 190 9.3. MATRICES CUADRADAS... 192 9.3.1. ÍNDICE 9. MATRICES 189 9.1. DEFINICIÓN Y NOTACIONES....................... 189 9.2. OPERACIONES CON MATRICES..................... 190 9.3. MATRICES CUADRADAS.......................... 192 9.3.1. Matrices

Más detalles

VECTORES. son base y. 11) Comprueba si los vectores u

VECTORES. son base y. 11) Comprueba si los vectores u VECTORES 1. Cálculo de un vector conocidos sus extremos. Módulo de un vector 2. Operaciones con vectores 3. Base: combinación lineal, linealmente independientes.coordenadas de un vector en función de una

Más detalles

Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Isaac Musat Hervás

Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Isaac Musat Hervás Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Isaac Musat Hervás 30 de septiembre de 014 Índice general 1. Año 000 7 1.1. Modelo 000 - Opción A.................... 7 1..

Más detalles

CURSO CERO DE MATEMÁTICAS

CURSO CERO DE MATEMÁTICAS CURSO CERO DE MATEMÁTICAS Dr. García Alonso, Fernando Luis. Dr. García Ferrández, Pedro Antonio. -- RESUMEN TEORÍA DE ÁLGEBRA Matrices Las matrices constituyen una herramienta fundamental para la ejecución

Más detalles

Espacios vectoriales y Aplicaciones lineales

Espacios vectoriales y Aplicaciones lineales Espacios vectoriales y Aplicaciones lineales Espacios vectoriales. Subespacios vectoriales Espacios vectoriales Definición Sea V un conjunto dotado de una operación interna + que llamaremos suma, y sea

Más detalles

Algebra Matricial y Optimización Segundo Examen Parcial Maestro Eduardo Uresti, Semestre Enero-Mayo 2012

Algebra Matricial y Optimización Segundo Examen Parcial Maestro Eduardo Uresti, Semestre Enero-Mayo 2012 Grupo: Matrícula: Nombre: Algebra Matricial y Optimización Segundo Examen Parcial Maestro Eduardo Uresti, Semestre Enero-Mayo 22. (pts) Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una de las siguientes

Más detalles

Tema 3. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales.

Tema 3. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales. Ingeniería Civil Matemáticas I -3 Departamento de Matemática Aplicada II Escuela Superior de Ingenieros Universidad de Sevilla Tema 3 Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales 3- Matrices

Más detalles

Vectores. a) Para que sean linealmente dependientes, el determinante formado por los tres vectores ha de valer cero.

Vectores. a) Para que sean linealmente dependientes, el determinante formado por los tres vectores ha de valer cero. Vectores. Dados los vectores a y b del espacio. Siempre es posible encontrar otro vector c tal que multiplicado vectorialmente por a nos de el vector b?. Por que?. No siempre será posible. El vector a

Más detalles

POLINOMIOS. Matemática Intermedia Profesora Mónica Castro

POLINOMIOS. Matemática Intermedia Profesora Mónica Castro POLINOMIOS Matemática Intermedia Profesora Mónica Castro Objetivos Definir y repasar los conceptos básicos de polinomios. Discutir los distintos métodos de factorización de polinomios. Establecer distintas

Más detalles

Tema 5.- Ortogonalidad y mejor aproximación.

Tema 5.- Ortogonalidad y mejor aproximación. Ingeniería Civil Matemáticas I - Departamento de Matemática Aplicada II Escuela Superior de Ingenieros Universidad de Sevilla Tema 5- Ortogonalidad y mejor aproximación 5- El producto escalar Norma, distancia,

Más detalles

CAPITULO 3. Producto Interno

CAPITULO 3. Producto Interno Contenidos Capitulo 3. Producto Interno 3 1. Preliminares 3. Bases Ortogonales y Ortonormales 7 3. Proyección Ortogonal y Distancia a un Subespacio 17 4. Complemento Ortogonal 1 5. Ejercicios Propuestos

Más detalles

Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática ALGEBRA LINEAL. x x1 n. θ y. 1 n x1 n ȳ1 n. Carlos Arce S. William Castillo E. Jorge González V.

Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática ALGEBRA LINEAL. x x1 n. θ y. 1 n x1 n ȳ1 n. Carlos Arce S. William Castillo E. Jorge González V. Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática ALGEBRA LINEAL x x x1 n θ y y ȳ1 n 1 n x1 n ȳ1 n Carlos Arce S. William Castillo E. Jorge González V. 2003 Algebra Lineal Carlos Arce S., William Castillo

Más detalles

ÁLGEBRA LINEAL. Apuntes elaborados por. Juan González-Meneses López. Curso 2008/2009. Departamento de Álgebra. Universidad de Sevilla.

ÁLGEBRA LINEAL. Apuntes elaborados por. Juan González-Meneses López. Curso 2008/2009. Departamento de Álgebra. Universidad de Sevilla. ÁLGEBRA LINEAL Apuntes elaborados por Juan González-Meneses López. Curso 2008/2009 Departamento de Álgebra. Universidad de Sevilla. Índice general Tema 1. Matrices. Determinantes. Sistemas de ecuaciones

Más detalles

EJERCICIOS PROPUESTOS. El (0, 1) es el único punto que tienen en común. Crece más rápidamente y 10 x.

EJERCICIOS PROPUESTOS. El (0, 1) es el único punto que tienen en común. Crece más rápidamente y 10 x. 2 FUNCINES EJERCICIS PRPUESTS 2. Representa las siguientes funciones. a) y 6 x b) y 0 x Tienen algún punto en común? Cuál crece más rápidamente? y = 0 x El (0, ) es el único punto que tienen en común.

Más detalles

GEOMETRÍA ANALÍTICA EJERCITARIO DE FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN

GEOMETRÍA ANALÍTICA EJERCITARIO DE FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) EJERCITARIO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA (ÁLGEBRA VECTORIAL - TEORÍA) AÑO 2014 ÁLGEBRA VECTORIAL - EJERCICIOS TEÓRICOS

Más detalles

Álgebra Lineal Taller N o 2 con Matlab

Álgebra Lineal Taller N o 2 con Matlab Álgebra Lineal Taller N o con Matlab Tema: Introducción a las transformaciones lineales. Determinantes. Valores y vectores propios de matrices de orden n:diagonaliación de matrices de orden n. plicación

Más detalles

ALGEBRA LINEAL GUÍA No. 4 - VECTORES Profesor: Benjamín Sarmiento

ALGEBRA LINEAL GUÍA No. 4 - VECTORES Profesor: Benjamín Sarmiento ALGEBRA LINEAL GUÍA No. 4 - VECTORES Profesor: Benjamín Sarmiento VECTORES EN R n.. OPERACIONES CON VECTORES VECTORES EN R 2 : Un vector v en el plano R 2 = XY es un par ordenado de números reales .

Más detalles

Tópicos. en Álgebra Lineal

Tópicos. en Álgebra Lineal Tópicos en Álgebra Lineal Miguel A Marmolejo L Manuel M Villegas L Departamento de Matemáticas Universidad del Valle Índice general Introducción 1 Índice de guras iii Capítulo 1 Prerrequisitos 1 11 Matrices

Más detalles

1. ESPACIOS VECTORIALES

1. ESPACIOS VECTORIALES 1 1. ESPACIOS VECTORIALES 1.1. ESPACIOS VECTORIALES. SUBESPACIOS VECTORIALES Denición 1. (Espacio vectorial) Decimos que un conjunto no vacío V es un espacio vectorial sobre un cuerpo K, o K-espacio vectorial,

Más detalles

Álgebra Lineal y Geometría Grupo A Curso 2009/10. Sistemas de ecuaciones lineales

Álgebra Lineal y Geometría Grupo A Curso 2009/10. Sistemas de ecuaciones lineales Álgebra Lineal y Geometría Grupo A Curso 2009/10 Sistemas de ecuaciones lineales NOTA: Los problemas con asterisco, (*), tienen un grado mayor de dificultad. 1) Resolver los tres sistemas de ecuaciones

Más detalles

MATRICES SELECTIVIDAD

MATRICES SELECTIVIDAD MATRICES SELECTIVIDAD 1.- Sea K un número natural y sean las matrices a) Calcular A k. b) Hallar la matriz X que verifica que A K X = B C. Solución: 1 K K 0 0 0 ; X 1 1 0 0 1 1 1 K A 0 1 0 1 1 1 A 0 1

Más detalles

Introducción al Álgebra Lineal

Introducción al Álgebra Lineal UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE MATEMÁTICA LABORATORIO DE FORMAS EN GRUPOS Introducción al Álgebra Lineal Ramón Bruzual Marisela Domínguez Caracas, Venezuela Septiembre

Más detalles

Vectores en el espacio

Vectores en el espacio Vectores en el espacio Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X e Y. Cada punto viene determinado por tres coordenadas

Más detalles

Geometría de las superficies

Geometría de las superficies Geometría de las superficies Klette, schluns, koschan Computer vision: three dimensional data from images Cap 3 1 Representaciones funcionales Representación mediante una ecuación condicional para X e

Más detalles

Transformaciones lineales invertibles (no singulares)

Transformaciones lineales invertibles (no singulares) Transformaciones lineales invertibles (no singulares) Objetivos. Estudiar la definición y los criterios de invertibilidad de una transformación lineal. Requisitos. Funciones inyectivas, suprayectivas e

Más detalles

TEMA 6. EIGENVALORES Y EIGENVECTORES

TEMA 6. EIGENVALORES Y EIGENVECTORES TEMA 6. EIGENVALORES Y EIGENVECTORES M. C. Roberto Rosales Flores INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TLAXCO Ingeniería en Logística M. C. Roberto Rosales Flores (ITST TEMA 6. EIGENVALORES Y EIGENVECTORES

Más detalles

x R, y R Según estas coordenadas dividiremos al plano en cuatro cuadrantes a saber:

x R, y R Según estas coordenadas dividiremos al plano en cuatro cuadrantes a saber: Apéndice A Coordenadas A.1 Coordenadas en el Plano R A.1.1 Cartesianas (x, y) Dotar al plano bidimensional R de coordenadas cartesianas D es establecer una biyección entre el conjunto de puntos del plano

Más detalles