Matemática para economistas Trabajo Practico Nº 1. a) b) c) d) x. y z. c d = a b

Transcripción

1 Matemática para economistas Trabajo Practico Nº - En cada caso se da una función de R en R ; determinar si se trata o no de una transformación lineal, justificando su respuesta: a) b) c) d) x x x y F y F y x x F y x x + + F y.x + z y z z z z y z + z - En cada caso se da una función de R x en R; determinar si se trata o no de una transformación lineal, justificando su respuesta: a) b) F a b c d a d F a b c d a b + c d - Dado el siguiente sistema de ecuaciones: x +.x 7.x x a) Expresarlo en forma matricial T.X Y. b) Hallar el vector punto que tiene como imagen el Y mediante la transformación T. c) Dibujar la gráfica de la aplicación. - Empleando los resultados del problema ; hallar a.x, siendo a una constante arbitraria. Hágase a,, y márquese estos puntos en el gráfico mostrando cómo será a.x. Luego, aplicar a.x en Y siendo a. Explicar gráficamente qué sucede a medida que a toma diversos valores. - Dada la ecuación.x +. x, a) Expresarla en forma matricial T.X Y. b) Hallar el vector punto X que se aplica en Y. c) Dibujar la gráfica correspondiente. - Probar en cada caso, si T es una transformación lineal: a) b) c) T x x x x.x.x + x x T x x x x x + x x T x x.x x x +.x 7

2 Matemática para economistas Trabajo Practico Nº 7 - Determinar la matriz de cada uno de los siguientes operadores lineales: a) b) c) T x x.x x x + x T x x x x x T x x x +.x x +.x x - Dados los espacios vectoriales R y R, hallar la transformación lineal que a los y respectivamente. vectores [ ] y [ ] les hace corresponder [ ] [ ] 9 - Hallar la transformación lineal que a los siguientes vectores de R ; [ ], [ ] y [ ] les hace corresponder de R x, respectivamente. - Sea T: R R la premultiplicación por : a) Cuáles de los siguientes vectores pertenecen a [ ] v w R T (recorrido de T)? z b) Cuáles de los siguientes vectores pertenecen a N[ T ] (núcleo de T)? v w z c) Encontrar una base para el recorrido de la transformación T. d) Encontrar una base para el núcleo de la transformación T. e) Determinar el rango y la nulidad de la transformación T. - Sea T: P P la transformación lineal definida por T[ P(x) ] Se pide: a) cuáles de los siguientes polinomios pertenecen a N[ T ]? v x w z + x R T? b) cuáles de los siguientes polinomios pertenecen a [ ] x. P(x). v x + x w + x z x

3 Matemática para economistas Trabajo Practico Nº - Sea T: R R la transformación lineal definida por la matriz: A a) Hallar una base para R[ T ]. b) Hallar una base para N[ T ]. c) Determinar el rango y la nulidad de T. - Dada la transformación T: R R definida por: T x x + x x x a) Encontrar la matriz asociada con respecto a las bases canónicas de los espacios de salida y de llegada. b) Encontrar la matriz asociada con respecto a las bases { [ ], [ ] } el espacio de salida y { [ ] [ ] [ ] } en,, en el espacio de llegada utilizando producto de matrices y justificando el procedimiento. c) Encontrar la matriz asociada considerando solamente el cambio de base del espacio de salida, utilizando y justificando el mismo método. d) Encontrar la matriz asociada considerando solamente el cambio de base del espacio de llegada, utilizando y justificando el mismo método. e) Hallar la imagen de [ ] que está expresado en la base canónica del espacio de salida, en la nueva base del espacio de llegada. f) Hallar la imagen de [ ] que está expresado en la nueva base del espacio de salida, en la base canónica del espacio de llegada. g) Hallar la imagen de [ ] que está expresado en la nueva base del espacio de salida, en la nueva base del espacio de llegada. h) Hallar la imagen de [ ] que está expresado en la base canónica del espacio de salida, en la base canónica del espacio de llegada. i) Hallar la preimagen de [ ] que está expresado en la base canónica del espacio de llegada, en la nueva base del espacio de salida. j) Hallar la preimagen de [ ] que está expresado en la base canónica del espacio de llegada, en la base canónica del espacio de salida. k) Hallar la preimagen de [ 7 ] que está expresado en la nueva base del espacio de llegada, en la base canónica del espacio de salida. l) Hallar la preimagen de [ 9 ] que está expresado en la nueva base el espacio de llegada, en la nueva base del espacio de salida. 9

4 Matemática para economistas Trabajo Practico Nº - Sea T : R R definida con relación a las bases { e, e, e } y { f, f } por la matriz: A a) Tomar en R la nueva base e e + e; e e + e; e e + e. Hallar la nueva matriz A del operador. b) Elegidos como base de R los vectores f +.(f f ); f..(f f ) y e, e, e hallar la última matriz A del operador. conservando en R los vectores { } - Analizar si los siguientes conjuntos de vectores son ortonormales: a) [ ] [ ] b) c) [ ] [ ] [ ] - Determinar para qué valores de x los vectores u y v son ortogonales: a) u [ ] v [ 7 x ] b) u [ x x ] v [ x ] 7 - Determinar cuáles de los siguientes conjuntos de vectores forman una base ortonormal de R : a) { [ ] [ ] } b) { } - Determinar cuáles de los siguientes conjuntos de vectores forman una base ortonormal de R : a) { [ ] [ ] [ ] } b) { [ ] [ ] }

5 Matemática para economistas Trabajo Practico Nº 9 - Si B { [ ] [ ] } es una base de un subespacio de R, hallar una base ortonormal del mismo subespacio. - Utilizar el proceso de Gram-Schmidt para transformar la base { u, u, u, u } en una base ortonormal, siendo: [ ] [ ] [ ] [ ] u u u u - Analizar si las transformaciones lineales dadas por las siguientes matrices son ortogonales o no: A B C - Verificar que la transformación ortogonal C del ejercicio anterior, hace corresponder una base ortonormal a la base ortonormal del ejercicio a). - Dadas las siguientes matrices, verificar el teorema de Cayley-Hamilton. A 7 B C D 7 E - Hallar aplicando dicho teorema, las inversas de las matrices del ejercicio anterior. - Para cada una de las siguientes matrices: A B 7 9 C a) Hallar su polinomio característico. b) Encontrar sus valores propios. c) Verificar las relaciones entre los elementos de la matriz y los coeficientes de su polinomio característico. d) Verificar las relaciones entre los coeficientes del polinomio característico de la matriz y sus valores propios.

6 Matemática para economistas Trabajo Practico Nº - Para cada una de las siguientes matrices: A B C a) Hallar su polinomio y ecuación característica. b) Determinar sus autovalores y autovectores. c) Si es posible, diagonalizar. d) Calcular su potencia cuarta aplicando la propiedad correspondiente para matrices semejantes. 7 - Mostrar que una matriz A y su traspuesta tienen el mismo polinomio característico. - Demostrar que dos matrices semejantes tienen los mismos valores propios. 9 - Demostrar que se Y es vector propio de B R -.A.R correspondiente al valor propio x, entonces X R.Y es un vector propio de A correspondiente al mismo valor propio x. - Demostrar que si dos matrices son semejantes, son iguales sus determinantes. - Demostrar que si dos matrices son semejantes, también son semejantes sus potencias enésimas; a través de la misma matriz de cambio. - Demostrar que las matrices A y B son semejantes. Determinar todas las matrices de cambio. Comprobar que A B. Comprobar que también son semejantes A y B mediante las mismas matrices de cambio. A B - Dadas las matrices del ejercicio, diagonalizarlas y hallar su potencia t-ésima, aplicando la propiedad del ejercicio. - Diagonalizar si es posible, las siguientes matrices: A B 7 C D E F

7 Matemática para economistas Trabajo Practico Nº - Verificar el teorema sobre matrices simétricas reales en las siguientes matrices y diagonalizar mediante una transformación ortogonal: A B C - Diagonalizar las siguientes matrices mediante una transformación ortogonal: A 7 B C D 7 - Diagonalizar las siguientes matrices simétricas con autovalores múltiples mediante una matriz ortogonal: A B C - Demostrar que los valores propios de una matriz involutiva son y Comprobar que la matriz A es involutiva; que sus raíces características valen ó -. Hallar su potencia t-ésima y verificar que A.k + A y A.k I. A - Demostrar que si A es idempotente las raíces características son ó. - Verificar que A. es idempotente; que como A I, entonces A es singular; que es semejante a ó y que sus autovalores son ó. - Demostrar que si A es idempotente y B es ortogonal, entonces la matriz semejante a A a través de B es idempotente.

8 Matemática para economistas Trabajo Practico Nº - Demostrar por inducción, que los vectores propios correspondientes a valores propios diferentes de una matriz A R n x n son linealmente independientes. - Demostrar que si x es un valor propio de una matriz no singular A, entonces x es un valor propio de su inversa. - Verificar que las matrices A B que sus raíces características valen y que son semejantes a: son nilpotentes, ó si su índice es. ó si su índice es. - Dado el siguiente modelo económico lineal, utilizando la matriz inversa, determinar Y el vector de equilibrio C. T Y C + I + G C a + b. (Y T) T c + d. Y a > < b < c > < d < donde I, C, T son variables exógenas. Interpretar luego como transformación lineal.

9 Matemática para economistas Trabajo Practico Nº 7 - Dado el modelo: siendo: y c + i c a + b. y a > < b < i h + d.r h > d < m m d s m d e + f.y + g.r e > f > g < m s m m constante y ingreso. c consumo. i inversión. r tasa de interés. m d demanda de capitales. m s oferta de capitales. a) Hallar la expresión que define la curva IS. b) Hallar la expresión que define la curva LM. c) Determinar los valores de (y, r) de equilibrio. - Dada la formulación del modelo IS - LM: [ ] (, ) y c y t θ y + i( r) + g (condición de equilibrio en el mercado de productos) M P L( r, y) (condición de equilibrio en el mercado monetario) siendo: y ingreso real. c gasto real en consumo. t recaudación impositiva en términos reales. i demanda real de inversión. r tasa de interés. g compras reales del gobierno. M oferta monetaria nominal. P nivel de precios. θ factores que afectan a la recaudación impositiva. Se pide: a) hallar la pendiente de la curva IS. b) hallar la pendiente de la curva LM. c) partiendo de una situación de equilibrio inicial; analizar matemáticamente, si se cumplen las condiciones del teorema de la función implícita, el efecto cualitativo sobre las variables endógenas de: una disminución del gasto público.

10 Matemática para economistas Trabajo Practico Nº una variación de los factores exógenos que afectan a la recaudación impositiva. un aumento de la tasa impositiva. un aumento de la oferta monetaria nominal. una disminución del nivel de precios. una disminución de la oferta monetaria real. 9 - Estática comparativa de la firma maximizadora de beneficios: Considerar una empresa operando en mercados de competencia perfecta tanto para la venta de su producto (y) como para la compra de sus insumos (L, K). Los precios prevalecientes en estos mercados son, respectivamente, p (precio de venta del producto de la firma en cuestión), W (salario nominal), r (precio nominal de una unidad de capital). Formular la función de beneficios de la firma y derivar las condiciones de primer orden para la maximización de los mismos. Calcular a partir de allí las demandas óptimas de los factores L y K (recuerde que tales funciones surgen de la condición de primer orden que establece que el valor del producto marginal físico de cada factor debe igualar a su precio). Como resulta obvio, aunque no conozca la forma específica de las funciones de demanda de factores puede establecer que las mismas son función de los precios exógenos de cada uno de ellos y del precio prevaleciente de venta del producto de la firma. Como efectivamente aquí no tiene las ecuaciones de la forma reducida del modelo, el mismo le viene dado en su forma estructural. Esto es: p. F L * L ( W, r, p ); K * ( W, r, p ) W p. F L * K ( W, r, p ); K * ( W, r, p ) r A partir de esta formulación, calcular el efecto sobre las cantidades óptimas de trabajo L* y capital K * demandadas por la firma ante: a) un incremento del salario nominal. b) un incremento del precio de venta del producto. Recuerde que la función de producción y F( K, L) exhibe rendimientos marginales decrecientes y que FKL FLK. Suponga además, que dichas derivadas parciales cruzadas son positivas y que las condiciones de suficiencia para la maximización del beneficio exigen que: LL KK KL F. F F >

11 Matemática para economistas Trabajo Practico Nº - Partiendo de un equilibrio inicial discuta, en el marco del modelo de Patinkin, los efectos que causaría sobre las variables endógenas el pesimismo de los empresarios respecto de las perspectivas futuras de la economía. Puede arribar a conclusiones inequívocas respecto de la dirección en que cambian las variables endógenas? Desarrollar matemáticamente el ejercicio propuesto. Graficar mostrando el equilibrio previo a la perturbación y el (los) punto (s) de equilibrio final. Recordar que: a) suponemos ajuste instantáneo en el mercado de trabajo. b) se cumple la ley de Walras. c) las empresas financian sus planes de inversión recurriendo a la emisión de bonos. Aunque se pide que se concentre en la matemática del ejercicio, fundamentar brevemente su respuesta. F (Y, r, M/p) Y B ( Y, /r, M/p) L (Y, r, M/p ) M p (mercado de bienes) (mercado de bonos) (mercado de dinero) N s (W/p) N d (W/p) (mercado de trabajo) - Considerar el siguiente modelo planteado en su forma estructural. Las siete primeras ecuaciones corresponden al mercado de bienes y las restantes tres se refieren al mercado monetario. () C C (Yd ; r ; α ) () I I ( Y ; r ; β ) () G G () Y Yd + T () T T ( θ ; Y ) () Y E (7) E C + I + G () Md L ( Y ; r ; σ ) (9) m Ms P () Md Ms C es el consumo privado, I es la inversión privada, G es el gasto del gobierno. Yd es el ingreso disponible, r es la tasa de interés, Y es el ingreso, T son los impuestos, E es el gasto total o demanda agregada, θ es un parámetro que representa las variaciones autónomas de la recaudación tributaria. Md es la demanda real de dinero, Ms es la oferta real de dinero, m es la cantidad de dinero nominal, P es el nivel general de 7

12 Matemática para economistas Trabajo Practico Nº precios. α, β y σ son parámetros de perturbación del consumo, la inversión y la demanda real de dinero, respectivamente. Se pide: a) Operar por sustitución de manera de reexpresar la forma estructural del modelo en un sistema de dos ecuaciones implícitas que representen, respectivamente, las condiciones de equilibrio del mercado de bienes y en el de dinero. b) Aunque no la pueda hallar algebraicamente expresar cuáles serían, de existir, las ecuaciones de la forma reducida del modelo. c) Diferenciar totalmente el sistema de la forma estructural hallado en el punto a) considerando todas las posibles fuentes de variación presentes en esta versión del modelo IS-LM d) En particular, calcular los efectos que sobre las variables endógenas del modelo tendrían, respectivamente un incremento autónomo en la preferencia por la liquidez real por parte de los agentes económicos y los efectos de un cambio exógeno, para valores dados de r e Y, de los animals spirits de los empresarios (esto es, del deseo de invertir de los empresarios); e) Deducir analíticamente las pendientes de equilibrio de ambos mercados y grafique los efectos provocados por los ejercicios de estática comparada planteados en el punto d) Aclaración: Tener en cuenta que, en la especificación de la demanda de inversión, hemos incluido el denominado efecto acelerador de la inversión. Para comprender dicho efecto (y el signo de la derivada parcial asociada al mismo) recordar que, desde un punto de vista analítico, la demanda de inversión puede ser representada por la siguiente función I i (PmgK/r), donde PMgK es el producto marginal del capital, r es la tasa de interés e i >. Esto es, que será rentable para las firmas invertir siempre que el producto marginal del capital -que refleja el incremento del output hecho posible por un incremento unitario del stock de capital para un monto dado de trabajo- exceda a la tasa de interés. Esta última mide el costo de endeudarse (o el costo de oportunidad de no prestar) por lo que cuando el PMgK > r será rentable para las firmas endeudarse e invertir. Tener en cuenta además que la función de producción es Y F (N, K) y que tiene las siguientes propiedades usuales F>, F>, F<, F< y F> (donde F es la primera derivada de la función de producción respecto del factor trabajo, F es la segunda derivada respecto de este mismo factor, etc). Prestar especial atención al signo de la derivada parcial cruzada (F) y pensar qué implicancias tiene ello respecto de la relación existente entre I e Y. Asimismo, no olvidar que la propensión marginal del gasto total respecto del ingreso es positiva pero menor que la unidad.

13 Matemática para economistas Trabajo Practico Nº Respuestas Trabajo Práctico N. - a) Sí. b) No. c) No. d) Sí. - a) Sí. b) No. - a) x. x 7 b) x x c) Gráfico. a - a. x. a ej: a. Gráfico. - a) [ ] x. x b) x a a. c) Gráfico. - a) Sí. b) No. c) Sí. 7 - a) A b) A c) A - T[ x x ] [. x x x x,. x ] 9 - T[ x x ].. x +. x. x. x +. x x x. - a) v y v. b) v. c) d) e) rango ; nulidad. - a) v b) v. - a) b) c) rango ; nulidad. - a) T 9

14 Matemática para economistas Trabajo Practico Nº b) T. x y con T Q. T. P T c) T. x y con T T. P T d) T. x y con T Q -. T e) T f) 9 g) h) - a) Matriz A del operador: A b) Matriz A del operador: A - a) No. b) Sí. c) Sí. - a) k b) k k 7 - a) No. b) Sí. - a)sí. b) No. 9 - B

15 Matemática para economistas Trabajo Practico Nº - A y B no; C sí. - A λ. I λ. λ Verificar que A. A. I θ B λ. I λ. λ + Verificar que B. B +. I θ C λ. I λ. λ + Verificar que C. C +. I θ D λ. I -λ λ +. λ 7 Verificar que D D +. D 7. I θ E λ. I -λ +. λ. λ Verificar que E +. E. E I θ - A B 7 C D E a) A λ. I λ. λ + b) λ λ a) B λ. I λ +. λ + λ b) λ λ λ a) C λ. I λ. λ + λ + b) λ λ λ c) y d) Verificación.

16 Matemática para economistas Trabajo Practico Nº - a) A λ. I λ. λ + b) λ λ v v c) P d) A 7 7 a) B λ. I λ + 7. λ. λ + 9 b) λ λ λ v v c) P d) B v a) C λ. I λ λ λ b) λ λ i λ i. i v v + i v + i. i. i c) P + i i + i i d) C - A Y. B. Y i i i

17 Matemática para economistas Trabajo Practico Nº Las matrices de cambio serán de la forma: Z a. 9 para todo a R; a. A B A Y. B. Y Matriz A: D A t t t t t Matriz B: D t t t t t t + ( ) + ( ) + ( ) B t t t t t t t ( ) ( ) ( ) t t t t t t. 9+. ( ). + ( ). +. ( ) Matriz C: D

18 Matemática para economistas Trabajo Practico Nº ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C t t t t t t t t t t t t t t t t t t t Matriz B: no es posible diagonalizar. Matriz D: no es posible diagonalizar. Matriz F: D - Matriz A: D Matriz B: D Matriz C: D - Matriz A: P Matriz B:

19 Matemática para economistas Trabajo Practico Nº P Matriz C: P Matriz D: P 7 - Matriz A: P Matriz B: P Matriz C:

20 Matemática para economistas Trabajo Practico Nº - P A es involutiva porque A I. λ λ λ A t ( t ) ( t ).( t ).( ) ( t ) ( t ).. t Se verifica que A. k +.k A y A I. - A es idempotente porque A A A (Tener en cuenta que si A es idempotente y no singular, entonces la matriz A es igual a la matriz identidad; en este caso, como A es idempotente y A I, A es singular). λ λ λ A es semejante a - A es nilpotente de grado porque A θ con λ λ λ. B es nilpotente de grado porque B θ con λ λ λ. - I + G + a b. c b ( d) Y. b. ( d).( I + G) + a b. c C b ( d) T. d. ( I + G) + a. d + c. ( b) b. ( d ) d 7 - a) y b r a h + + b a h. r. y + b d d g b) y f r m e f. + r f g y m e. + g

21 Matemática para economistas Trabajo Practico Nº m d e d g a h g c) y g b. g + d. f a f e f g e m b e b m r b. g d. f g 7