Análisis de Sistemas Multiniveles de Inventario con demanda determinística

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1 7 Congreso Naconal de Estadístca e Investgacón Operatva Lleda, 8- de abrl de 00 Análss de Sstemas Multnveles de Inventaro con demanda determnístca B. Abdul-Jalbar, J. Gutérrez, J. Scla Departamento de Estadístca, Investgacón Operatva y computacón Unversdad de La Laguna, 500 La Laguna, España E-mal: RESUMEN En el mundo empresaral es frecuente encontrar sstemas de nventaro donde el artículo se almacena en dferentes localzacones. A este tpo de sstemas se les denomna sstemas multnveles de nventaro, y han sdo analzados por muchos autores en las últmas décadas. El control de estos sstemas se puede llevar a cabo de una manera descentralzada, sn embargo, para realzar un control más efectvo, en muchas ocasones, es necesaro usar métodos que tengan en cuenta las relacones que exsten entre las dstntas localzacones del sstema. En este trabajo, se revsan y analzan los mejores algortmos que permten coordnar las actvdades entre las localzacones, consguendo así que los costes totales del sstema se mnmcen. Palabras y frases clave: Sstemas Multnveles, Demanda determnístca. Clasfcacón AMS: 90B05, 90B0. Introduccón Los sstemas de nventaro con varas localzacones son muy comunes en la práctca y se les denomna sstemas multnveles de nventaro. Estos sstemas aparecen tanto en la produccón como en la dstrbucón de artículos. Así, dentro de los sstemas multnveles de nventaro podemos dstngur entre los sstemas de produccón y los sstemas de dstrbucón. En los sstemas de produccón se fabrca un producto fnal a partr de una sere de componentes, cada una de las cuales se produce en una localzacón. En los sstemas de dstrbucón cada localzacón tene un únco predecesor que le sumnstra los artículos. A su vez, cada localzacón satsface la demanda de las localzacones nmedatamente sucesoras. El control de este tpo de sstemas se puede llevar a cabo de una manera descentralzada, es decr, las decsones en cada localzacón se pueden basar exclusvamente en la nformacón que se posee de esa localzacón. Sn embargo, para realzar un control efectvo de estos sstemas de nventaro, en ocasones, es necesaro usar métodos que tengan en cuenta las relacones que exsten entre las localzacones del sstema. Se deben coordnar las actvdades entre las dstntas localzacones para así consegur que todo el sstema funcone de la manera más efectva posble. Pero como

2 veremos, esta coordnacón no sempre es fácl, lo que hace que en ocasones la polítca óptma sea bastante compleja. Las decsones que se toman tenendo en cuenta todas las localzacones se denomnan decsones centralzadas. Una de las desventajas de las polítcas centralzadas es que se necesta mucha nformacón para poder aplcarlas y conocer esa nformacón supone un aumento de los costes. De ahí que a veces se aplquen las polítcas descentralzadas aunque no sean óptmas. En este trabajo se estudan ambos tpos de polítcas y se analzan bajo que condcones un tpo de polítcas domna al otro. Tambén se muestran los resultados más mportantes que se han obtendo en los últmos años para los sstemas de produccón y para los sstemas de dstrbucón con demanda determnístca. Además, resummos los mejores algortmos que permten coordnar las actvdades entre las localzacones y determnar la mejor manera de dstrbur el stock a lo largo de todo el sstema, de manera que los costes totales se mnmcen. El trabajo se organza como sgue. En la sguente seccón se ntroducen los sstemas multnveles de nventaro y la notacón que se usa para su modelzacón. Los dos tpos de polítcas más usadas, las polítcas convenconales y las polítcas nveladas, se analzan en la seccón. En la seccón 4 se revsan los procedmentos propuestos por dstntos autores en la lteratura para determnar polítcas de reposcón óptmas, o cercanas a las óptmas, para los dferentes tpos de sstemas multnveles. Las conclusones y futuras líneas de nvestgacón se presentan en la seccón 5. Sstemas Multnveles de Inventaro Los sstemas multnveles de nventaro aparecen tanto en el contexto de la produccón como en el de la dstrbucón de artículos. Por este motvo, dentro de los sstemas multnveles se dstngue entre los sstemas de produccón y los sstemas de dstrbucón. El sstema multnvel más smple es el que sólo tene dos localzacones. Un ejemplo puede verse en la Fgura. La demanda de los clentes tene lugar en la localzacón, la cual recbe los artículos de la localzacón. Un sumnstrador exteror satsface la demanda de. A este tpo de sstemas se les denomna sstemas en sere. Fgura : Sstema en sere con dos localzacones. Los sstemas en sere pueden encontrarse tanto en la produccón como en la dstrbucón de artículos. Desde el punto de vsta de un sstema de dstrbucón, puede verse como un mnorsta que satsface la demanda de los clentes de una determnada área, y como el almacén central cercano a la fábrca. En un sstema de produccón, representa la localzacón donde se obtene el producto fnal, mentras que es la localzacón donde se fabrca una parte del producto fnal.

3 En general, en los sstemas de produccón se fabrca un producto fnal a partr de una sere de componentes. Además, los sstemas de produccón suelen ser convergentes, es decr, al prncpo del sstema hay muchas localzacones, y a medda que se avanza a lo largo del sstema el número de localzacones dsmnuye. Tenendo en cuenta que normalmente las prmeras componentes tenen menos valor que las últmas, que están cerca del producto fnal, es lógco que el coste de mantenmento suela ser menor en los prmeros nveles de la cadena de produccón. Por lo tanto, suele ser más convenente almacenar más stock en las prmeras localzacones del sstema que en las últmas. En la Fgura se representa un sstema de produccón en el que cada localzacón tene un sólo sucesor. A este tpo de sstemas se les denomna sstemas de ensamblaje Fgura : Sstema de ensamblaje. En los sstemas de dstrbucón cada localzacón tene un únco predecesor que le sumnstra los artículos. A su vez, cada localzacón satsface la demanda de las localzacones nmedatamente sucesoras. Las localzacones que no tenen sucesores son las encargadas de satsfacer la demanda exteror de los clentes, y las que no tenen predecesores obtenen los artículos de un sumnstrador exteror. Un ejemplo de estos sstemas se muestra en la Fgura. Como se ve en la fgura, la estructura de los sstemas de dstrbucón es dvergente Fgura : Sstema de dstrbucón. El objetvo es determnar las mejores polítcas de reposcón en cada localzacón, de manera que los costes totales del sstema se mnmcen. En todos los sstemas multnveles que vamos a estudar se supone que la demanda es constante y conocda. Además no se permten roturas y las reposcones son nstantáneas. Los costes conssten en un coste fjo de reposcón y en uno de mantenmento en cada localzacón. Para formular el problema se va a utlzar la sguente notacón.

4 d = razón de demanda. En prncpo, la razón de demanda no tene porque ser la msma en cada localzacón. Por ejemplo, muchas undades de la localzacón podrían necestarse para producr una undad de la localzacón -. Sn embargo, se pueden consderar dstntas undades de medda en cada localzacón, de manera que se puede asumr la msma demanda d en cada localzacón. k = coste fjo de reposcón en la localzacón. ' h = coste de mantenmento, por undad mantenda y por undad de tempo, en la localzacón. Q = cantdad de reposcón en la localzacón. T = perodo de reposcón en la localzacón. C = coste total del sstema. Antes de presentar los dstntos algortmos para calcular los tamaños o los perodos de reposcón óptmos, o cercanos a los óptmos, prmero vamos a analzar los dos tpos de polítcas de reposcón que más se aplcan en los sstemas multnveles de nventaro. Polítcas de reposcón Como ya se ha comentado, se puede dstngur entre dos tpos de decsones: las centralzadas y las descentralzadas. Las decsones centralzadas son aquellas en las que se tenen en cuenta todas las localzacones, y, por consguente, se necesta mucha nformacón para poder aplcarlas. Por el contraro, las decsones descentralzadas son muy smlares a las que se aplcan en los sstemas con una sola localzacón, y de ahí que sólo se neceste nformacón local para poder utlzarlas. En los sstemas de dstrbucón, las localzacones suelen estar muy alejadas unas de otras, e ncluso pueden pertenecer a dstntas empresas. Por este motvo, las polítcas descentralzadas se suelen aplcar más en los sstemas de dstrbucón que en los de produccón. A contnuacón, vamos a descrbr los dos tpos de polítcas de reposcón más frecuentes en los sstemas multnveles, y después, estudaremos la relacón entre ellas.. Polítcas basadas en el stock convenconal Una manera de controlar un sstema de nventaro con muchas localzacones consste en aplcar en cada localzacón una polítca del tpo ( R, Q). En estas polítcas, cuando la poscón de nventaro llega a R, se realza un peddo de Q undades. La poscón de nventaro se defne como Poscón de nventaro = Stock actual + Peddos pendentes Por lo tanto, sempre se verfca R < Poscón de nventaro < R + Q. 4

5 Por supuesto, el punto y la cantdad de reposcón en cada localzacón pueden ser dstntos. Dentro de los sstemas multnveles, a este tpo de polítcas se les denomna Polítcas convenconales ( R, Q), y es evdente que son polítcas descentralzadas.. Polítcas basadas en el stock nvelado En los sstemas multnveles es muy común usar otro tpo de polítcas de reposcón, donde la poscón de nventaro no se basa en el stock convenconal sno en el stock nvelado. El concepto de coste y stock nvelado fue ntroducdo por Clark y Scarf (960). Para una localzacón, el stock nvelado se defne como el número de undades del sstema que están o que han pasado por la localzacón, pero que todavía no han sdo demandadas por los clentes exterores. Así, por ejemplo, para un sstema en sere, el coste nvelado de la localzacón, denotado por h, se defne como h = h ' h+ ', donde h ' es el coste convenconal de mantenmento de la localzacón. La dea del stock nvelado es tener en cuenta el stock de todas las localzacones sucesvas, y por lo tanto, estas polítcas son centralzadas. Consderemos, por ejemplo, un sstema de nventaro como el de la Fgura 4. Supongamos que para producr el artículo se necestan undades del artículo y para producr el artículo son necesaras undades del artículo. Además, para producr el artículo 4 sólo se necesta una undad del artículo. 4 Fgura 4: Ejemplo de sstema de nventaro. Así, s la poscón de nventaro en la localzacón es pequeña, es lógco pensar que es necesaro reponer en. Pero, sn embargo, s el stock en las localzacones, y 4 es sufcentemente grande, no es necesaro reponer nmedatamente en la localzacón. Es como s las undades del artículo que están en las localzacones, y 4, tambén se tuveran en cuenta a la hora de decdr s reponer o no en la localzacón. A partr de ahora, a las polítcas de nventaro calculadas usando los stocks convenconales las vamos a llamar Polítcas convenconales y a las que usan los stocks nvelados las llamaremos Polítcas nveladas. Es mportante notar que s el número de undades de un artículo contendas en los artículos de las localzacones sucesvas es sempre gual a, entonces, la poscón de nventaro nvelada no es más que su poscón de nventaro convenconal más las poscones de nventaro convenconales de todas las localzacones sucesvas. Este es el caso de los sstemas de dstrbucón, pues todas las localzacones contenen el msmo 5

6 artículo. En los sstemas en sere y los de ensamblaje sempre podemos reducr el problema a esta stuacón aplcando smplemente un cambo de undades.. Comparacón entre las polítcas convenconales y las polítcas nveladas Axsäter y Roslng (99) demostraron que para los sstemas en sere y los sstemas de ensamblaje exste una relacón entre las polítcas convenconales ( R, Q) y las polítcas nveladas ( R, Q). Esta relacón se puede resumr en las sguentes proposcones. Proposcón Una polítca convenconal puede sustturse sempre por una polítca nvelada equvalente. Proposcón Una polítca nvelada andada puede sustturse sempre por una polítca convenconal equvalente. Una polítca se dce que es andada s cada vez que una localzacón realza un peddo, todas las localzacones sucesvas tambén realzan una reposcón. Así, podemos afrmar que en un sstema de ensamblaje cualquer polítca convenconal puede ser susttuda por una polítca nvelada. Pero una polítca nvelada que no sea andada no puede ser reemplazada por una polítca convenconal equvalente. Por lo tanto, podemos conclur que las polítcas nveladas domnan a las convenconales en los sstemas en sere y en los sstemas de ensamblaje. Sn embargo, estos resultados no se pueden extender a cualquer sstema multnvel, n en partcular a los sstemas de dstrbucón. Incluso los resultados no son certos para los sstemas en sere donde la demanda externa puede tener lugar en todas las localzacones. Pensemos, por ejemplo, en una localzacón cuya poscón de nventaro nvelada es muy alta, y, por el contraro, su poscón de nventaro convenconal es muy baja debdo a que su demanda externa es muy grande. Bajo esta stuacón, una polítca convenconal seguramente nos llevaría a realzar una reposcón, sn embargo, s estamos aplcando una polítca nvelada podría ser que no realzásemos nngún peddo. En este caso no es posble encontrar una polítca nvelada equvalente a la convenconal. 4 Tamaños del lote óptmos o cercanos a los óptmos En esta seccón nos centramos en el cálculo de las cantdades o los perodos de reposcón óptmos, o cercanos a los óptmos. El prmer modelo con varas localzacones fue desarrollado por Clark y Scarf (960). Este trabajo despertó mucho nterés por parte de la comundad centífca, y a 6

7 partr de ese momento, se han desarrollado numerosos trabajos sobre los sstemas multnveles. El prncpal objetvo es consegur extender el modelo básco EOQ para las dferentes estructuras que surgen en los sstemas de nventaro multnveles. A contnuacón revsamos los procedmentos propuestos en la lteratura por dstntos autores para determnar polítcas de reposcón óptmas, o cercanas a las óptmas, para los dferentes tpos de sstemas multnveles. Los sstemas en sere son los más smples dentro de los sstemas multnveles, y representan la extensón más nmedata de los sstemas con una localzacón. Por este motvo son los prmeros sstemas multnveles que se analzan. 4. Sstemas en Sere En los sstemas en sere exsten N localzacones, y cada undad producda en una localzacón pasa a través de las restantes hasta llegar a la localzacón. En el ntento de extender el modelo básco EOQ para los sstemas en sere, surgen las polítcas andadas y estaconaras, que aunque no son sempre las óptmas, son muy mportantes desde el punto de vsta práctco. Una polítca es estaconara s la cantdad de reposcón es fja y el tempo entre dos reposcones consecutvas tambén es constante. Por otro lado, recordemos que una polítca es andada s cada vez que una localzacón realza un peddo, todas las localzacones sucesvas tambén realzan una reposcón. Sólo se puede afrmar que la polítca óptma es estaconara para los sstemas en sere con dos localzacones. Sn embargo, para los sstemas en sere con más localzacones, la polítca óptma puede que no sea estaconara. Lo que s se verfca sempre, para cualquer sstema en sere, es que la polítca óptma tene que ser andada. Para la demostracón ver Muckdtadt y Roundy (99). En la sguente seccón vamos a analzar los sstemas en sere con localzacones, y después, estudaremos los sstemas en sere con más localzacones. 4.. Sstemas en sere con dos localzacones En un sstema en sere con dos localzacones, la localzacón sumnstra los artículos a la localzacón, y por lo tanto, es evdente, que la cantdad de reposcón en la localzacón debe ser un múltplo de la cantdad de reposcón en la localzacón. Es decr, en una polítca óptma se debe verfcar Q = nq, n entero. Una prmera forma de resolver el problema consste en calcular prmero la cantdad Q usando la fórmula EOQ, y después, deducr la cantdad Q. Sn embargo, este procedmento no es óptmo, pues resuelve el problema de manera ndependentemente, sn tener en cuenta la relacón entre la localzacón y la. La polítca óptma se obtene s se mnmza el coste total del sstema conjuntamente. Para plantear el problema es más convenente usar los costes nvelados de mantenmento, en vez de los convenconales, ya que así se obtene que los nventaros medos para las dos 7

8 Q Q localzacones son y, respectvamente. Por lo tanto, usando los costes nvelados, el coste total medo por undad de tempo vene dado por Q d Q d k Q C = h + k + h + Q Tenendo en cuenta que Q = nq, en vez de consderar como varables de decsón Q y Q se pueden consderar Q y n. Es fácl demostrar el tamaño del lote Q vene dado por Q = k d( k + ) n ( h + nh ) kh sendo el entero óptmo, n, el menor entero que verfca n( n + ). Para calcular kh el tamaño del lote para la localzacón, sólo hay que tener en cuenta la relacón Q = nq. Ver por ejemplo, Schwarz (97), Muckstadt y Roundy (99) o Slver et al. (998). 4.. Sstemas en sere con N > localzacones Para el caso general la polítca óptma puede ser muy compleja. Por ejemplo, tanto las cantdades de reposcón como los perodos de reposcón para una msma localzacón, pueden varar en el tempo. Por lo tanto, la polítca óptma, aunque sgue sendo andada, no tene porque ser estaconara, n verfcar Q = nq, n entero, para cada localzacón, =,..., N. Wllams (98) presenta un contraejemplo para un sstema en sere con localzacones, donde una polítca no estaconara que no verfca la relacón anteror, tene un coste menor que la mejor de las polítcas estaconaras que verfcan Q = nq, =,..., N. A pesar de esto, las polítcas estaconaras pueden resultar muy nteresantes desde el punto de vsta práctco. Por estos motvo, este tpo de polítcas se analzan en profunddad, y en concreto, un tpo especal de polítcas estaconaras conocdas como las polítcas potencas de dos ntroducdas por Roundy. Ver Muckstadt y Roundy (99). Polítcas potencas de dos En una polítca potenca de dos, los perodos de reposcón en las dstntas localzacones tenen que ser un múltplo potenca de dos de algún perodo base, T L. Por lo tanto, para plantear el problema es mejor consderar como varables de decsón los 8

9 perodos de reposcón. S además se usan los costes nvelados de mantenmento, el modelo puede formularse como sgue N k mn + dht = T l s.a. T = T,, l {0,,...} T 0 T, l La restrccón potenca de dos, T = TL, junto a T T 0, oblga a que la polítca sea andada. Se trata de un problema de programacón no lneal entera donde la varable de decsón entera es l. El método que se usa para resolverlo se puede ver en Muckstadt y Roundy (99). Prmero se calcula la solucón del problema relajado, es decr, sn l consderar la restrccón T = TL,, y después, se analza su relacón con la solucón del problema orgnal. En Muckstadt y Roundy (99) se demuestra que resolver el problema relajado es equvalente a dvdr el sstema en sere en grupos, de manera que todas las localzacones que pertenecen al msmo grupo, tenen el msmo perodo de reposcón. Una vez resuelto el problema relajado, los perodos de reposcón que se obtenen se redondean a múltplos potenca de dos del perodo base. De esta manera se obtene una polítca estaconara, andada y potenca de dos. Además, se verfca que el coste de la polítca potencas de dos que se obtene, es como mucho un 6% mayor que el coste de una polítca óptma. Y aún más, s se consdera T L como otra varable, Roundy (986) comprobó que este margen del 6% se reduce a un %. Es decr, sempre es posble encontrar una polítca potenca de dos cuyo coste es como mucho un % mayor que el coste óptmo. Además, la complejdad computaconal del procedmento es O(NlogN). 4. Sstemas de Ensamblaje En los sstemas de ensamblaje se fabrca un producto fnal a partr de un conjunto de componentes, cada una de las cuales se produce en una localzacón. S el sstema de ensamblaje sólo tene dos nveles se dce que es un sstema de ensamblaje puro. Por lo tanto, en los sstemas de ensamblaje puros todas las localzacones tenen como sucesor la localzacón fnal. En esta seccón se analzan los sstemas de ensamblaje y se estudan las propedades de las polítcas óptmas. Para los sstemas en sere vmos que las polítcas óptmas tenen que ser andadas. Cada localzacón en un sstema de ensamblaje, o ben tene un únco sucesor y no tene demanda externa, o ben, tene demanda externa y no tene sucesor. Por consguente, se puede aplcar el msmo razonamento para demostrar que las polítcas óptmas para los sstemas de ensamblaje tambén tenen que ser andadas. L 9

10 4.. Sstemas de ensamblaje con dos nveles Crowston, Wagner y Wllams (97) fueron uno de los poneros en estudar los sstemas de ensamblaje. Ellos afrmaron que s se exge que las cantdades de reposcón no varíen en el tempo, entonces, el tamaño del lote para cada localzacón es gual a un múltplo entero del tamaño del lote de la localzacón sucesora. Utlzando esta propedad, conocda como rato entera, Crowston, Wagner y Wllams (97) desarrollaron un algortmo de programacón dnámca medante el cual calculan los tamaños del lote óptmos. En 975, Schwarz y Schrage, hacendo uso de la propedad de rato entera que habían demostrado Crowston, Wagner y Wllams (97), resolveron el problema aplcando un algortmo de ramfcacón y poda. Sn embargo, Wllams (98) advrtó que la propedad que Crowston, Wagner y Wllams (97) habían demostrado sólo es certa para los sstemas de ensamblaje puros, es decr, para los sstemas de ensamblaje con dos nveles. Para comprobarlo Wllams (98) propone un contraejemplo para un sstema en sere con tres localzacones, para el que comprueba que exste una polítca que no verfca la propedad de rato entera que es mejor que cualquer polítca que s verfca la propedad. El contraejemplo de Wllams (98) ya se comentó en la seccón 4.., donde se decía que para los sstemas en sere con más de dos localzacones la polítca óptma tampoco verfca la propedad de rato entera, n tene porque ser estaconara. Es evdente, que s la propedad no se verfca para un sstema en sere con tres localzacones, tampoco se verfca para un sstema de ensamblaje con más de dos nveles, ya que los sstemas en sere son un caso partcular de los sstemas de ensamblaje. A pesar de esto, el método que proponen Schwarz y Schrage (975) es muy nteresante, ya que calcula la mejor polítca que verfca la propedad rato entera, que aunque no sea la óptma en general, en muchos casos es cercana a la óptma y puede resultar muy práctca. 4.. Sstemas de ensamblaje con N > nveles Procedmento de Schwarz y Schrage Schwarz y Schrage (975), basándose en la propedad de rato entera, y hacendo uso de los costes nvelados, formularon el problema como sgue d mn C = mn Q s.a. Q = n Q =,.., N n y entero. Q N k + h = s 0

11 Para resolverlo, Schwarz y Schrage (975) proponen calcular prmero una cota nferor de la solucón óptma. Una cota nferor se puede obtener resolvendo el problema relajado, sn embargo, es muy sencllo calcular una cota nferor mejor. Sólo hay que tener en cuenta que en cualquer solucón factble Q debe ser al menos tan grande como Q s, y entonces, se puede consderar el problema orgnal pero susttuyendo sus restrccones por Q Q s, =,..., N. Por lo tanto, el procedmento que sugeren Schwarz y Schrage (975) comenza resolvendo el nuevo problema relajado. La solucón de este problema la vamos a c c Q denotar por Q. S la solucón que se obtene satsface que n = es un número entero para todo =,.., N, entonces, esta solucón es óptma. En caso contraro, Schwarz y Schrage (975) proponen un método de ramfcacón y poda. En el árbol de enumeracón hay N- nveles, y en el nvel se estudan los posbles valores enteros que puede tomar n. Teórcamente, este árbol tene nfntas ramas, sn embargo, este árbol se puede smplfcar bastante gracas a las cotas que se obtenen al resolver los subproblemas asocados a cada rama. Estas cotas permten podar el árbol y lmtar la búsqueda. Una vez que se han determnado los valores enteros n s, las cantdades de reposcón se pueden calcular fáclmente. Schwarz y Schrage (975) tambén analzan otro subconjunto de polítcas, que son las polítcas mópcas. Estas polítcas son muy nteresantes, ya que son muy sencllas de calcular y muy fácles de aplcar. Una polítca mópca se defne como aquella que optmza una funcón objetvo con respecto a dos localzacones cualesquera gnorando los efectos de las otras. Por lo tanto, ahora los valores enteros n s se calculan consderando cada localzacón y su sucesor s como un sstema en sere de dos localzacones. Recordemos que para estos sstemas el entero óptmo n que mnmza el coste total es el menor entero que satsface khs n ( n + ). k s h Como se ve, estas polítcas son muy fácles de determnar y en algunos casos pueden aproxmarse bastante a la solucón óptma. Con el objetvo de determnar la efectvdad de las polítcas mópcas, Schwarz y Schrage (975) ejecutaron estas polítcas sobre un gran conjunto de problemas, tanto para sstemas en sere, como para sstemas de ensamblaje con, 4 y 5 localzacones. El error que se cometó en estos ejemplos nunca fue mayor del 5% del coste óptmo. Y en el 50% de los casos la solucón mópca fue óptma. Sn embargo, en muchos casos estas polítcas pueden ser mucho más costosas que las óptmas. Por eso, es mportante analzar otro tpo de polítcas más efectvas como son las polítcas estaconaras, andadas y potencas de dos. c Qs

12 Procedmento de Roundy En Muckstadt y Roundy (99) se estudan las polítcas potencas de dos para los sstemas de ensamblaje. Tenendo en cuenta que la polítca óptma tene que ser andada, se tene que exgr T T s,. Por lo tanto, como vamos a consderar polítcas estaconaras, andadas y potenca de dos, el coste total medo se puede N k expresar como ( + dht ), y el problema puede formularse como sgue = T N k mn ( + dht ) = T l s.a. T = T, l {0,...} T s L T, Como en los sstemas en sere, se trata de un problema de programacón no lneal entera, donde la varable de decsón entera es l. Para resolverlo, se aplca un procedmento de O(NlogN) muy smlar al de los sstemas en sere. El prmer paso consste en resolver el problema relajado, lo cual es equvalente a dvdr el sstema de ensamblaje en dstntos grupos o subgrafos conectados. Todas las localzacones que pertenecen al msmo grupo tenen el msmo perodo de reposcón. Una vez obtendos los perodos de reposcón para cada grupo, éstos se redondean a múltplos potencas de dos del perodo base. Para estos sstemas tambén se verfca que el coste de la polítca potenca de dos obtenda es como mucho un 6% mayor que el coste de una polítca óptma s T L es fjo, y un % s T L se consdera otra varable. 4. Sstemas de Dstrbucón En los sstemas de dstrbucón cada localzacón tene un únco predecesor del que obtene los artículos, y a su vez esa localzacón satsface la demanda del conjunto de localzacones nmedatamente sucesoras. Las localzacones sn sucesores son las que satsfacen la demanda de los clentes. Así, la estructura de estos sstemas es justamente la contrara a la de los sstemas de ensamblaje, donde cada localzacón tene un únco sucesor y un conjunto de predecesores. En la práctca cada localzacón representa a una fábrca, a almacenes regonales o locales o a mnorstas. Normalmente, los mnorstas se corresponden con aquellas localzacones sn sucesores, ya que son los encargados de satsfacer la demanda de los clentes exterores. Los sstemas más smples dentro de los sstemas de dstrbucón son los sstemas en sere, que se pueden ver tanto como un sstema de dstrbucón como uno de ensamblaje. Tambén son muy frecuentes los sstemas de dstrbucón con sólo dos nveles, conocdos como sstemas de nventaro con -almacén y N-mnorstas. En estos sstemas exste un únco almacén que dstrbuye un artículo a un conjunto de mnorstas, por ejemplo, un almacén central que satsface la demanda de una cadena de tendas.

13 El objetvo de esta seccón es analzar polítcas óptmas, o cercanas a las óptmas, para los sstemas de dstrbucón. Prmero estudaremos los sstemas con -almacén y N- mnorstas, y después, el caso general. 4.. Sstemas de dstrbucón con dos nveles Procedmento de Schwarz Schwarz (97) fue uno de los poneros en estudar los sstemas con -almacén y N-mnorstas. Su aportacón más mportante es que comprobó el conjunto de propedades que debe verfcar una polítca óptma. Para los sstemas de dstrbucón, la polítca puede ser mucho más compleja que para los sstemas en sere o los de ensamblaje. Para los sstemas en sere con dos localzacones, y los de ensamblaje con dos nveles, la polítca óptma tene que ser andada y estaconara. Sn embargo, para los sstemas de dstrbucón con dos nveles la polítca óptma no tene porque ser andada n estaconara. Veamos, entonces, cuales son las propedades que debe verfcar una polítca óptma en estos sstemas. Schwarz (97) demostró que al menos una polítca óptma para el problema con - almacén y N-mnorstas puede encontrarse dentro del conjunto de polítcas, denomnadas polítcas báscas. Una polítca básca es una polítca factble que cumple las sguentes propedades.. El almacén sólo repone cuando tene nventaro cero, y al menos uno de los mnorstas tambén tene nventaro cero.. El mnorsta realza un peddo sólo cuando tene nventaro cero.. Todas las reposcones que se hacen a un mnorsta entre dos reposcones consecutvas al almacén, son de gual tamaño. Cuando sólo hay un mnorsta, el sstema de dstrbucón se reduce a un sstema en sere, y por lo tanto, la polítca óptma es andada y estaconara, denomnadas por Schwarz polítcas cíclcas. S el número de mnorstas es mayor que, pero todos los mnorstas son guales, el problema se puede reducr a un sstema con -almacén y - mnorsta, por lo que la polítca óptma tambén es cíclca. Sn embargo, cuando los mnorstas son dferentes, las polítcas cíclcas no son necesaramente óptmas. A pesar de esto, como la polítca óptma puede ser muy complcada, tanto que n squera sería posble aplcarla en la práctca, normalmente, se analzan otras polítcas más smples cercanas a las óptmas. Schwarz (97) se centró en el estudo de las polítcas cíclcas y las polítcas mópcas. Las polítcas mópcas smplemente dvden el sstema de nventaro con - almacén y N-mnorstas en N problemas del tpo -almacén y -mnorsta, es decr, en N sstemas en sere. Por lo tanto, nos vamos a centrar en las polítcas cíclcas. Schwarz (97) estuda prmero los sstemas con sólo dos mnorstas. El objetvo es determnar el perodo de reposcón para el almacén, T, y el número de reposcones

14 que cada mnorsta debe realzar durante T, es decr n y n, de manera que T = nt y T = nt. Es fácl demostrar que para unos valores n y n fjos, el perodo de reposcón en el almacén vene dado por ( k + nk + nk ) T = d d h d + d + h + h n n ( ) Por lo tanto, lo que hay determnar son los valores n y n. Schwarz (97) propone un procedmento de búsqueda teratvo que determna cotas sobre n y n, y después, evalúa la funcón de coste en los puntos cercanos a esos n y n. Para comprobar la efectvdad de estas polítcas cíclcas, Schwarz (97) resolvó un conjunto de ejemplos generados aleatoramente. De los resultados que obtuvo se puede conclur que las polítcas cíclcas para los sstemas de nventaro con -almacén y -mnorstas son bastantes efectvas. Cuando el número de mnorstas es mayor que, el cálculo de los enteros n s, tales que T = nt, =,..., N, no es tan sencllo. Además, Schwarz (97) sugere que pueden haber polítcas más efectvas que las mópcas y las cíclcas. Por ejemplo, s N =, una polítca factble puede ser dvdr el problema en dos, uno del tpo - almacén y -mnorstas, y otro del tpo -almacén y -mnorsta. Por lo tanto, para este caso se podrían analzar las sguentes 5 polítcas: - Polítca cíclca. - Polítca mópca. - Polítca en la que el problema se dvde en los sguentes dos problemas: -almacén, -mnorstas (mnorstas y ). -almacén, -mnorsta (mnorsta ). - Polítca en la que el problema se dvde en los sguentes dos problemas: -almacén, -mnorsta (mnorstas y ). -almacén, -mnorsta (mnorsta ). - Polítca en la que el problema se dvde en los sguentes dos problemas: -almacén, -mnorsta (mnorstas y ). -almacén, -mnorsta (mnorsta ). En general, s se defne I N = {,.., N}, el número de solucones que se deberían analzar es P ( I N ), es decr, el número de dstntas partcones posbles de I N. Schwarz (97) sugere calcular una polítca cíclca para cada partcón de I N, y después, combnar dferentes subconjuntos de I N para obtener una heurístca que resuelva el problema ncal. El método propuesto por Schwarz para calcular una polítca cíclca en cada partcón consste en calcular prmero el perodo de reposcón para el almacén, es decr, T, y una vez conocdo, determnar el número de reposcones que cada mnorsta 4

15 debe hacer al almacén. El nconvenente es que cuando el número de mnorstas aumenta, el número de partcones es muy grande. Por lo tanto, normalmente no se estudan todas las posbles combnacones, y sólo se analzan algunas de ellas. En partcular, Schwarz (97) demostró que las partcones donde los subconjuntos sólo contenen números consecutvos son buenas canddatas. Así, el número de partcones N que se deben analzar se reduce a << P( I N ). Schwarz (97) comprobó la efectvdad de la heurístca que examna todas las partcones, de la heurístca que sólo estuda las partcones consecutvas, de las polítcas cíclcas y de las polítcas mópcas. Para N < 0 los resultados que obtuvo son los sguentes. En todos los ejemplos se alcanzan las msmas solucones tanto s se estudan todas las partcones, como s sólo se examnan las partcones consecutvas. Además, estas polítcas proporconan las mejores solucones, aunque las polítcas cíclcas son tambén bastante buenas. Por el contraro, las polítcas mópcas son las menos efectvas. A medda que el número de mnorstas va aumentando, las mejores solucones sguen sendo las obtendas al aplcar la heurístca basada en las partcones, pero las polítcas cíclcas ya no son tan buenas, y las polítcas mópcas proporconan solucones muy costosas. Procedmento de Graves y Schwarz Debdo a que las polítcas cíclcas que se obtenen aplcando el método de Schwarz (97) no son sempre buenas, Graves y Schwarz (977) contnuaron estudando las polítcas cíclcas, para el problema -almacén y N -mnorstas, con el fn de encontrar polítcas cíclcas óptmas. En este caso, el método que estos autores proponen, se basa en un algortmo de ramfcacón y poda, smlar al propuesto por Schwarz y Schrage (975) para los sstemas de ensamblaje. Medante este algortmo se puede obtener el número de reposcones que cada mnorsta debe realzar al almacén durante T, es decr, los valores n s, =,,..., N. El procedmento comenza generando una solucón factble ( n, n,..., nn ), y medante el algortmo de ramfcacón y poda, esta solucón se va mejorando. El árbol que se genera tene N- nveles, y en el nvel del árbol se estudan los posbles valores enteros que puede tomar n. En prncpo n podría ser gual a cualquer entero, dgamos n = m. Como el algortmo proporcona para cada rama del árbol una cota nferor gnorando la restrccón entera, s para algún entero I j > m j, ( I j < m j ), la cota nferor es superor al costo de la mejor solucón factble prevamente calculada, no es necesaro examnar los valores n j > I j, ( n j < I j ), ya que sus cotas nferores tambén excederán el coste de la solucón actual. Este razonamento permte podar y reducr el tamaño del árbol. Además, Graves y Schwarz (977) llevaron a cabo una experenca computaconal de la que se puede conclur que la poda es bastante buena y que en muchos casos la solucón ncal es la óptma. 5

16 Procedmento de Roundy El procedmento de Graves y Schwarz (977) proporcona polítcas estaconaras y andadas óptmas, pero la complejdad computaconal crece exponencalmente con el número de mnorstas. Por lo tanto, cuando el número de mnorstas aumenta, el esfuerzo computaconal es tan grande que el problema puede ser ntratable. Roundy (985) propone restrngr el conjunto de polítcas estaconaras y andas a aquellas que tambén son potencas de dos, y para calcular dchas polítcas aplca un procedmento de O(NlogN), muy smlar al que presenta para los sstemas en sere y los de ensamblaje. El problema se puede formular como sgue N k mn ( + dht ) = T s.a. T T l T = T,, l {0,...} Roundy (985) prmero resuelve el problema relajado, el cual es equvalente a dvdr el sstema de dstrbucón en dstntos grupos. Todas las localzacones que pertenecen al msmo grupo tenen el msmo perodo de reposcón. Después, los perodos de reposcón obtendos para el problema relajado, se redondean a múltplos potencas de dos del perodo base. Este método calcula polítcas estaconaras y andadas las cuales pueden ser mucho más costosas que las polítcas óptmas. Sn embargo, lo que s se puede afrmar es que el coste de la solucón obtenda medante este procedmento, es como mucho un 6% mayor que el coste de una polítca estaconara y andada óptma s T L es fjo, y un % s T L se consdera otra varable. Procedmento de Abdul-Jalbar et al. En Abdul-Jalbar et al. (00a) se propone otra heurístca para calcular polítcas estaconaras y andadas óptmas, o cercanas a las óptmas, con mínmo esfuerzo computaconal. Prmero se resuelve el problema relajando la condcón de ntegrabldad de los n s, de forma que se admte que dchos valores pueden ser reales, y una vez determnados los valores reales óptmos, se propone un algortmo para obtener a partr N N o + pasos, en cada uno de los cuales se determna una pareja de valores enteros ( n, n + ). En general cada n se fja a n o a n. Es decr, que en cada paso hay que estudar n n n ), de los n s reales unos n s enteros. Este algortmo consste en cuatro posble parejas de valores: ( n ( n = n, n = + n + ) y, por últmo, ( n L n =, n = + + ), ( n = n, = + + n =, n = + n + ). Es mportante notar 6

17 que una vez que un n se fja a un valor entero, los valores reales óptmos para los restantes n j s no fjados, pueden cambar y hay que recalcularlos. El procedmento anteror se repte hasta que se han determnado todos los n s. Se puede demostrar que la complejdad computaconal de esta heurístca es O(NlogN). En Abdul-Jalbar et al. (00a) tambén se realza un estudo computaconal, donde las solucones que proporcona la heurístca se comparan con las polítcas cíclcas óptmas y con las obtendas medante el procedmento de Roundy (985). Los resultados fueron los sguentes. En el 5% de los ejemplos que se resolveron, la solucón obtenda concde con la polítca cíclca óptma. En el 74% de los casos, los costes de las solucones calculadas con la heurístca son menores que los costes de las solucones obtendas medante el procedmento de Roundy, y en el 9% de los problemas, ambos métodos proporconaron las msmas solucones. Hasta el momento nos hemos centrado en las polítcas estaconaras y andadas, las cuales en algunos casos pueden ser muy cercanas a las óptmas. Sn embargo, Roundy (98) demostró que en otras ocasones estas polítcas pueden ser muy costosas. De ahí que él tambén estude las polítcas potencas de dos, no necesaramente estaconaras y andadas. Es decr, el algortmo propuesto para calcular polítcas estaconaras, andadas y potencas de dos, se puede extender para calcular polítcas potencas de dos no cíclcas. En las polítcas potencas de dos estudadas anterormente se exge además de que l T = TL, que T T,. Sn embargo, ahora no se pde esta últma restrccón, es decr, que se permte tanto T T como T > T, por lo que se pueden obtener polítcas más efectvas. La dea que Roundy (985) aplca para resolver el problema es la msma que utlza en el resto de los sstemas de nventaro. Prmero se resuelve el problema relajado y después, los perodos de reposcón que se obtenen se redondean a múltplos potencas de dos del perodo base. Cuando se analzan las polítcas estaconaras y andadas, el coste de la polítca que se obtene es como mucho un 6% mayor que el coste de una polítca estaconara y andada óptma s T L es fjo, y un % s T L se consdera otra varable. Sn embargo, en este caso s se puede afrmar que los costes de las polítcas que se obtenen son cercanas al coste de una polítca óptma. La heurístca propuesta en Abdul-Jalbar et al. (00a), tambén se puede extender para calcular polítcas no necesaramente cíclcas. En este caso la restrccón n T = T,, es susttuda por n T = T o T = mt,. Es decr, en este caso T puede ser mayor que T. A las polítcas que cumplen esas restrccones se les denomna polítcas de rato entero. En Abdul-Jalbar et al. (00b) se desarrolla una heurístca que calcula polítcas de rato entero, y se realza un estudo computaconal donde se comparan las polítcas obtendas con la heurístca con las polítcas de rato entero potencas de dos. Las conclusones que se obtuveron son las sguentes. En el 85% de los ejemplos que se generaron, el coste de las polítcas que se calculan con la heurístca son menores que el 7

18 coste de las polítcas obtendas con el procedmento de Roundy, y en el %, los dos procedmentos calculan la msma solucón. Tambén es posble resolver el problema medante polítcas descentralzadas. Prmero se calcula la polítca óptma para cada mnorsta de manera ndvdual aplcando el conocdo modelo EOQ. Una vez que se determnan las cantdades y los perodos de reposcón óptmos para cada mnorsta, se puede calcular un vector de demandas para el almacén. Para encontrar la mejor polítca de reposcón para el almacén, se puede usar el algortmo de Wagner y Whtn (958) o el de Wagelmans (99). En Abdul-Jalbar et al. (00) se comparan estas polítcas con las polítcas estaconaras y andadas que se obtenen medante la heurístca. La conclusón más mportante es que a medda que el número de mnorstas aumenta, resulta más convenente aplcar las polítcas descentralzadas. Sn embargo, la utlzacón de una polítca u otra tambén depende de los valores de los parámetros. Un análss profundo de cómo nfluyen los parámetros en la decsón de aplcar un polítca descentralzada o una centralzada, se puede ver en Abdul-Jalbar et al. (00). 4.. Sstemas de dstrbucón con N > nveles Graves y Schwarz (977) tambén analzaron el caso general de un sstema de dstrbucón. El procedmento desarrollado para los sstemas con dos nveles se puede aplcar a los sstemas generales. Smplemente hay que ver cada localzacón del sstema y sus sucesores nmedatos, como un subsstema del tpo -almacén N - mnorstas. Estos autores tambén aplcan las polítcas mópcas a los sstemas de dstrbucón con más de dos nveles. Basta con consderar cada par de localzacones conectadas, como un sstema en sere con dos localzacones, para los que se puede calcular una polítca óptma. Los procedmentos propuestos por Roundy (985) para calcular polítcas potencas de dos, tanto cíclcas como no, tambén pueden extenderse fáclmente para los sstemas de dstrbucón con más de dos nveles. Sólo hay que dvdr el sstema en grupos o subgrafos conectados y calcular los perodos de reposcón para cada grupo. Una vez calculados, el resto del método es muy smlar al explcado para los demás sstemas multnveles de nventaro. Ver Muckdstadt y Roundy (99). 5 Conclusones En este trabajo se analzan los sstemas multnveles de nventaro con demanda determnístca. Dentro de estos sstemas dstngumos entre los sstemas de ensamblaje y los sstemas de dstrbucón. Para ambas estructuras se estudan los tpos de polítcas de reposcón que más se aplcan en la práctca, y se resumen dstntos algortmos 8

19 propuestos en la lteratura para determnar tamaños del lote o perodos de reposcón óptmos, o cercanos a los óptmos. Para los sstemas de ensamblaje la polítca óptma tene que ser andada. Esta propedad faclta la búsqueda de solucones óptmas. Sn embargo, para los sstemas de dstrbucón, la polítca óptma puede ser mucho más compleja. Por esta razón, son muchos los autores que han abordado este tpo de sstemas y han desarrollado métodos que calculan polítcas cercanas a las óptmas. Estos métodos se resumen en este trabajo. En trabajos futuros se estudarán sstemas multnveles de nventaro más generales donde se permta rotura o escasez, o donde la razón de produccón sea fnta. Bajo estas condcones se ntentará desarrollar nuevas heurístcas para determnar polítcas de reposcón óptmas, o cercanas a las óptmas. Referencas - Abdul-Jalbar, B., J. Gutérrez y J.Scla (00a). Sngle Cycle Polces for the One- Warehouse N-Retalers Inventory/Dstrbuton System. Techncal Report at Deoc, La Laguna Unversty. - Abdul-Jalbar, B., J. Gutérrez y J.Scla (00b). Integer-Rato Polces for Dstrbuton/ Inventory Systems. Techncal Report at Deoc, La Laguna Unversty. - Abdul-Jalbar, B., J. Gutérrez, J. Puerto y J.Scla (00). Polces for nventory/dstrbuton systems: The effect of centralzaton vs. decentralzaton. Internatonal Journal of Producton Economcs, 8-8 (C), Axsäter, S., y K. Roslng (99). Notes: Installaton vs. Echelon Stock polces for Multlevel Inventory Control. Mgmt. Sc. 9, Clark, A., y H. Scarf. (960). Optmal polces for a mult-echelon nventory problem. Mgmt. Sc.6, Crowston, W.B., M. Wagner y J.F. Wllams (97) Economc lot sze determnaton n mult-stage assembly systems. Mgmt. Sc. 9, Graves S.C. y L.B. Schwarz (977). Sngle cycle contnuous revew polces for arborescent Producton / Inventory systems. Mgmt. Sc., Muckstadt, J.A. y R.O. Roundy (99). Analyss of Multstage Producton Systems. Handbooks n OR & MS, Vol 4. Chapter. - Roundy, R.O. (98). 98% Effectve equal-order-nterval lot szng for one-warehouse multretaler systems. Techncal Report No. 56, Scholl of Operatons Research and Industral Engneerng, Cornell Unversty. - Roundy, R.O. (985). 98% Effectve nteger-rato lot szng for one warehouse mult-retaler systems. Mgmt. Sc., Roundy, R.O. (986). A 98% effectve lot-szng rule for a mult-product, mult-stage producton nventory system. Math. Oper. Res., Schwarz, L.B. (97). A smple contnuous revew determnstc one-warehouse N-retaler nventory problem. Mgmt. Sc. 9, Schwarz, L.B., y L.Schrage. (975) Optmal and system-myopc polces for mult-echelon producton/nventory assembly systems. Mgmt. Sc., Slver, E. A., D. Pyke, y R. Peterson (998). Inventory Management and Producton Plannng and Schedulng, rd edton, Wley, New York. - Wagner, H. y T.M. Whtn (958) Dynamc verson of the Economc Lot Sze Model, Mgmt. Sc. 5,

20 - Wagelmans, A., S. Van Hoesel y A., Kolen (99) Economc Lot Szng: An O(nlogn) Algorthm that runs n Lnear Tme n the Wagner-Whtn Case, Mgmt. Sc. 40, Wllams, J.F. (98) On the optmalty of nteger lot sze ratos n economc lot sze determnaton n mult-stage assembly systems. Mgmt. Sc. 8,

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