Ecuaciones Diferenciales. Conceptos Generales

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1 Tema 1 Ecuaciones Diferenciales. Conceptos Generales Introducción La Modelización y Simulación es una área enorme de la ciencia pura y aplicada, a la que intentamos aproximarnos en esta asignatura. Dadas las limitaciones, centraremos la materia a estudiar en los Modelos Matemáticos basados en el uso de Ecuaciones Diferenciales, y en particular estudiaremos con cierto detalle las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Esto permitirá adquirir una formación lo suficientemente sólida como para poder abordar en el futuro profesional, si fuera necesario, problemas más complicados, como los derivados del uso de Ecuaciones en Derivadas Parciales, o bien otro tipo de modelos no basados en ecuaciones diferenciales. En este primer tema se presentan una serie de conceptos básicos acerca de las ecuaciones diferenciales. 1.1 Definiciones Generales Definición: Llamaremos ecuación diferencial ordinaria (e.d.o.) a toda relación entre una variable independiente x, una dependiente (la función desconocida y(x)) y sus derivadas y (x), y (x),..., y (n) (x): F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 Definición: Se llama orden de una ecuación diferencial ordinaria al mayor de los órdenes de las derivadas que contiene. La clasificación más general de las ecuaciones diferenciales se realiza en función del número de variables independientes presentes, las ecuaciones diferenciales ordinarias, tal 1

2 2 CIENCIAS AMBIENTALES / MODELOS MATEMÁTICOS / TEMA 1 y como se han definido, involucran a una única variable independiente y, en consecuencia, las derivadas que aparecen en la ecuación son derivadas ordinarias. En cambio, si se tienen dos o más variables independientes, las ecuaciones poseerán derivadas parciales y, por tanto, serán denominadas ecuaciones en derivadas parciales (e.d.p.) xy + y + xy = 0 es una e.d.o. de segundo orden con utilidad en la aerodinámica. y + x y = ln y es una e.d.o. de primer orden. m d2 x dt 2 dn dt = F es una e.d.o. de segundo orden (Segunda Ley de Newton de la Mecánica). = kn es la ecuación de Malthus (e.d.o. de primer orden). dy dx = y(2 3x) x(1+3y) es una e.d.o. de primer orden que aparece en Ecología al estudiar la competencia entre dos especies. dq dt = aq, con a < 0, es la ecuación que modeliza la desintegración de una sustancia radiactiva (e.d.o. de primer orden). y ɛ(1 y 2 )y + 9y = 0 es la ecuación de Van der Pol (e.d.o. de segundo orden), con aplicación en varios campos de la ciencia. 2 φ x + 2 φ 2 y = 0 es la ecuación de Laplace en el plano (e.d.p. de segundo orden). 2 2 y x 1 2 y 2 v 2 t = 0 es la ecuación de ondas en una dimensión (e.d.p. de segundo orden). 2 Estudiaremos en esta asignatura diversos tipos de e.d.o. y sus aplicaciones, particularmente e.d.o. de primer orden. Si en una e.d.o. de primer orden fuera posible despejar y, se dice que la ecuación se presenta en forma normal: dy dx = y = f(x, y) 1.2 Soluciones exactas Definición: Llamaremos solución de una e.d.o. F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 a toda función y = φ(x) que sustituida en la ecuación la convierta en una identidad. La función y = e 2x es solución de la ecuación diferencial de segundo orden: y 5y +6y = 0, puesto que y = 2e 2x, y = 4e 2x y por tanto: 4e 2x 5(2e 2x ) + 6e 2x = 10e 2x 10e 2x 0 Las funciones N 1 (t) = 5e kt y N 2 (t) = 12e kt son soluciones de la Ecuación de Malthus antes escrita.

3 CIENCIAS AMBIENTALES / MODELOS MATEMÁTICOS / TEMA 1 3 La función y = ax 2 +bx+c, para cualesquiera constantes a, b y c, es solución de la ecuación de tercer orden y = 0. Definición: Se llama solución general de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden a una expresión del tipo: y = y(x, C) donde C es una constante real, de forma que para cada valor de C la función y = y(x, C) sea solución de la e.d.o. Cada una de dichas soluciones (para los diferentes valores de C) se llama solución particular de la ecuación. La ecuación: y = y tiene como solución general: y = Ce x. N(t) = Ce kt es la solución general de la ecuación de Malthus. Comentarios: Las soluciones de una ecuación diferencial no siempre se nos presentan en forma explícita, es decir, con la variable dependiente despejada: y = y(x). Muy frecuentemente la solución aparece definida implícitamente por una ecuación Φ(x, y) = 0, y la solución general otro tanto: Φ(x, y, C) = 0. Ejemplo: La solución general de la ecuación y = x y x 2 + y 2 = C. es la familia de circunferencias: Que la solución general de una e.d.o. de primer orden dependa de una constante arbitraria es intuitivamente muy sencillo de entender si se tiene en cuenta que para eliminar una derivada primera será necesario realizar una integral indefinida, y, por tanto, aparecerá una constante arbitraria durante dicho proceso de integración. De igual manera, la solución general de una e.d.o. de segundo orden dependerá de dos constantes arbitrarias, y así sucesivamente. Pueden existir soluciones de una e.d.o. que no sean particulares, es decir, que no puedan obtenerse a partir de la solución general para un valor concreto de la constante arbitraria, en ese caso reciben el nombre de soluciones singulares. Ejemplo: La ecuación (y y)(y x 3 ) = 0 tiene como solución general y = Ce x, pero además admite la solución singular y = x 3, que no puede ser obtenida de la general para ningún valor de C. Geométricamente, una e.d.o. de primer orden puede entenderse como una relación que liga a cada punto de la gráfica de y(x), (x, y(x)), con la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto. La solución general es una familia de

4 4 CIENCIAS AMBIENTALES / MODELOS MATEMÁTICOS / TEMA 1 infinitas curvas que verifican dicha condición, y cada solución particular es una curva concreta de la familia. Las ecuaciones de primer orden pueden aparecer escritas en forma diferencial, esencialmente equivalente a la forma normal. Así por ejemplo, la ecuación 2x 2 y dx + (x + y) dy = 0, escrita en forma diferencial, equivale a la ecuación y = 2x2 y x+y, escrita en forma de derivadas. Un matiz interesante es el siguiente: si analizamos una ecuación en forma diferencial, el carácter dependiente/independiente de las variables es arbitrario, es decir, podemos atribuir el carácter de variable independiente a cualquiera de las dos variables presentes. De esta manera, a la ecuación dx dy = x+y 2x 2 y le corresponde también la ecuación en forma diferencial anterior. 1.3 Problema de valor inicial. Teorema de Picard Definición: Se llama problema de Cauchy o problema de valor inicial al sistema formado por la ecuación diferencial ordinaria y = f(x, y) y por la condición inicial y(x 0 ) = y 0. De manera general, un Problema de valor inicial de orden n consiste en una ecuación diferencial ordinaria de orden n más n condiciones iniciales y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y 0,, y (n 1) (x 0 ) = y (n 1) 0. La ecuación y = 2x 2 + y, junto con la condición y(1) = 3, constituyen un problema de valor inicial. Las condiciones iniciales típicas de la ecuación de Newton, F = m d2 x dt, son la posición 2 inicial, x(0) = x 0, y la velocidad inicial dx dt (0) = v 0. La ecuación de Malthus antes escrita suele ir acompañada de un dato inicial, la población a tiempo cero: N(0) = N 0. Desde el punto de vista geométrico el problema de Cauchy de primer orden no es más que dar una e.d.o. de primer orden y un punto del plano. Una solución de dicho problema será una curva solución de la e.d.o. que pase por el punto (x 0, y 0 ). El Teorema que veremos a continuación establece las condiciones que tiene que cumplir un problema de valor inicial para tener solución. Teorema de Picard de existencia y unicidad: 1 Si la función f(x, y) es diferenciable en un entorno del punto (x 0, y 0 ), entonces el problema de Cauchy y = f(x, y); y(x 0 ) = y 0 1 Nota: Esta es una versión simplificada del Teorema de Picard, con la que se intenta dar la idea básica presente en los teoremas de existencia y unicidad de las soluciones de las ecuaciones diferenciales. En particular, no es necesario que la función f(x, y) sea diferenciable, basta con que verifique propiedades menos restrictivas que la derivabilidad (ver apéndice al final del tema).

5 CIENCIAS AMBIENTALES / MODELOS MATEMÁTICOS / TEMA 1 5 tiene solución única en dicho entorno. Es decir, existe una única función y = φ(x) definida en el entorno de x 0 considerado, tal que sea solución de la ecuación y que verifique φ(x 0 ) = y 0. La solución al problema de valor inicial: y = y, y(0) = 2 es: y = 2e x, es decir, se trata de la única solución particular de la ecuación diferencial y = y que pasa por el punto (0, 2). La solución del problema de Malthus: dn dt = kn, N(0) = N 0, es: N(t) = N 0 e kt. 1.4 Soluciones aproximadas En el Tema 2 estudiaremos algunos tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden que pueden ser resueltas de manera exacta. Sin embargo, de manera general esto no es posible para una ecuación dada. Presentaremos a continuación dos métodos aproximados de resolver una e.d.o. de primer orden, uno de ellos gráfico, el método de las isoclinas, cuya utilidad es más bien reducida, y otro numérico, el Método de Euler, que constituye el primer y más sencillo ejemplo de toda una familia de Métodos Numéricos para e.d.o Método de las Isoclinas* Nota: El asterisco en el título de la sección indica que se trata de material complementario que no será impartido en las clases de la asignatura. Teniendo en cuenta la interpretación geométrica de una e.d.o. de primer orden que se comentó anteriormente, una ecuación y = f(x, y) puede verse como un campo de direcciones en el plano x y, entendiendo por campo de direcciones una aplicación que asigna a cada punto del plano una dirección tangente a la curva solución que pasa por dicho punto. Desde este punto de vista, la ecuación m = f(x, y) proporciona la curva que une todos los puntos del plano para los cuales la recta tangente a la curva solución de la e.d.o. tiene pendiente m, dicha curva se denomina isoclina de pendiente m. La representación gráfica de las curvas isoclinas nos proporciona de una manera sistemática el campo de direcciones correspondiente a una ecuación dada y permite, en consecuencia, intuir cómo son realmente las curvas soluciones. Aclararemos estos conceptos con un ejemplo: Ejemplo: La ecuación y = y + x 2 se puede resolver de forma exacta, siendo su solución general: y = x 2 2x 2 + Ce x, la representación gráfica de estas curvas, para los valores C = 0.75, 0.25, 0, 0.5, 0.6 y 0.75 puede verse en la Figura 1. Podemos no obstante plantear la aplicación del método de las isoclinas a esta ecuación. Se trata de un caso fácil, puesto que las curvas isoclinas en este caso son parábolas: y = m x 2, ver Figura 2.

6 6 CIENCIAS AMBIENTALES / MODELOS MATEMÁTICOS / TEMA 1 y x Figura 1.1: Gráficas y(x, C) para los valores C = 0.75, 0.25, 0, 0.5, 0.6 y Figura 1.2: Isoclinas del problema anterior de pendientes: 1, 0, 1, 2 y 3. Se invita al lector a reproducir las curvas de la Figura 1 en la Figura Método de Euler El Método de Euler o de las Tangentes constituye el primer y más sencillo ejemplo de método numérico para la resolución de un problema de valor inicial. La idea esencial del método es la misma que la del método de las isoclinas. Interpretendo la e.d.o. y = f(x, y) como un campo de direcciones en el plano x y y la condición inicial y(x 0 ) = y 0 como un punto (x 0, y 0 ) de dicho plano, podemos aproximar la función solución y(x) por medio de la recta tangente a la misma que pasa por ese punto: y(x) = y 0 + f(x 0, y 0 )(x x 0 ) donde se ha utilizado que la pendiente de dicha tangente es m = y (x 0 ) y, en consecuencia, m = f(x 0, y 0 ). Calculamos así de manera aproximada el valor de la solución y en el punto de abscisa x 1 como: y(x 1 ) = y 1 = y 0 + f(x 0, y 0 )(x 1 x 0 )

7 CIENCIAS AMBIENTALES / MODELOS MATEMÁTICOS / TEMA 1 7 y con este punto (aproximado) ya calculado, podemos repetir el método para obtener otro punto aproximado (x 2, y 2 ) de la forma: y(x 2 ) = y 2 = y 1 + f(x 1, y 1 )(x 2 x 1 ) y así sucesivamente. Es habitual en este método tomar abscisas equiespaciadas, es decir, calcular la solución aproximada en puntos de la forma x n = x n 1 + h = x 0 + nh, siendo h el paso del método. De esta forma se obtienen las fórmulas que nos determinan la solución aproximada en la forma: x n = x n 1 + h; y n = y n 1 + f(x n 1, y n 1 ) h Desde el punto de vista geométrico, tenemos en definitiva que el Método de Euler aproxima a la función solución por medio de una línea poligonal, la aproximación será tanto peor cuanto mayor sea en número de pasos, es decir, cuanto más lejos nos encontremos del punto inicial (x 0, y 0 ). Por otro lado, el error será evidentemente tanto mayor cuanto más grande sea el paso del método, h. Ejemplo: Resolveremos el problema de valor inicial { y = x y y(1) = 4 por el método de Euler con h = 0.1 para los puntos x = 1.1, 1.2, 1.3, 1.4 y 1.5. En este problema tenemos h = 0.1, (x 0, y 0 ) = (1, 4) y la función f(x, y) es: f(x, y) = x y. Por tanto: y n = y n 1 + x n 1 yn 1 h Dado que el problema se puede resolver también de forma exacta, presentamos en la tabla y gráfica siguientes los resultados: i x i y i Sol. Exacta

8 8 CIENCIAS AMBIENTALES / MODELOS MATEMÁTICOS / TEMA Apéndice: Teorema de Existencia y Unicidad* Como se comentó anteriormente, dado el problema de valor inicial de primer orden: y = f(x, y), y(x 0 ) = y 0, la condición de que f(x, y) sea derivable en un entorno de (x 0, y 0 ) es realmente excesiva, es decir, existen ecuaciones que no la verifican para las cuales, sin embargo, existe solución única de problema. Es habitual en muchos textos requerir simplemente, con f(x, y) continua, que exista la derivada parcial f y en un entorno de (x 0, y 0 ) y que esté acotada en dicho entorno, para que el Teorema se siga verificando, y ni siquiera esta condición es la más general. Veamos un ejemplo concreto: Dado el problema de valor inicial: y = y, y(0) = 0. La solución general de la ecuación es, evidentemente: y = C 1 e x, con constante C 1 0, e y = C 2 e x, con C 2 0. Si imponemos la condición inicial, nos resulta una solución única: y = 0. Sin embargo, la derivada parcial f la función salto: { f y = 1 y > 0 1 y < 0 que no existe en y = 0. En su forma más general el Teorema dice lo siguiente: y es Teorema: Dado el problema de valor inicial: y = f(x, y), y(x 0 ) = y 0, si f(x, y) es continua en un rectángulo x 0 a x x 0 + a, y 0 b y y 0 + b, y satisface en dicho rectángulo la condición de Lipschitz: f(x, y 1 ) f(x, y 2 ) N y 1 y 2 donde N es una constante, entonces existe solución única y = y(x) de la ecuación que satisface la condición inicial, y que está definida en el intervalo [x 0 H, x 0 + H], siendo H una constante tal que H < mín(a, b M, 1 N ), y M = máx f(x, y) en el rectángulo.