Las funciones son relaciones entre dos o más variables expresadas en una ecuación algebraica.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Las funciones son relaciones entre dos o más variables expresadas en una ecuación algebraica."

Transcripción

1 FUNCIONES Y GRÁFICAS Las funciones son relaciones entre dos o más variables epresadas en una ecuación algebraica. or ejemplo, la epresión relaciona la variable con la variable mediante una regla de correspondencia que dice que a la variable le corresponde un valor igual al doble del valor de la variable. En las funciones se acostumbra epresar el valor de una sola variable, llamada variable dependiente, en función de todas las demás, llamadas variables independientes. En el ejemplo anterior es la variable dependiente es la variable independiente. Las variables independientes pueden tomar valores arbitrarios, mientras que la variable dependiente toma valores que dependen de los valores que tomaron las variables independientes, de acuerdo a la regla de correspondencia. En nuestros estudios de física, también necesitamos relacionar las magnitudes de un fenómeno físico, así que podemos usar el concepto matemático de función decir que las magnitudes de un fenómeno físico se relacionan como funciones. A manera de ejemplo podemos hablar del movimiento acelerado de un auto sobre una pista recta. Las magnitudes físicas o variables del movimiento en este caso son la velocidad del vehículo, su aceleración, su posición, el tiempo transcurrido durante el movimiento. a cte. or igen v t t t t 5 t Movimiento rectilíneo acelerado de un auto Gráfica de la posición del auto Intuitivamente podemos darnos cuenta que la posición está relacionada con el tiempo transcurrido, Esta relación puede epresarse matemáticamente como: + v t + a t

2 De esta forma se dice que la posición es una función del tiempo t, o en forma más abreviada, f ( t ). En este ejemplo, v, a, son constantes. Las gráficas brindan mucha información que es difícil de observar en la epresión matemática. En una gráfica se puede reconocer inmediatamente los puntos máimos o mínimos, la forma ascendente o descendente de la función, el valor de la pendiente, etc. Sin embargo, ha que tener cuidado al interpretar las gráficas, pues como función matemática toda relación entre dos variables puede ser representada gráficamente, pero no toda gráfica representa necesariamente un fenómeno físico. FUNCIONES Y GRÁFICAS IMORTANTES Función Lineal La función lineal está dada por la siguiente ecuación: m+ b donde m es la pendiente de la recta b el término independiente que representa el corte con el eje. b (, ) φ Q(, ) Gráfica de la función lineal El valor de la pendiente se puede calcular como: m En planos cartesianos numéricos, en los que la escala de los dos ejes es la misma, la pendiente de la recta se puede calcular como la tangente del ángulo que forma la recta con la horizontal m tg ( φ ), pero cuado la función lineal representa la relación entre dos magnitudes físicas, la pendiente adquiere un significado especial, a no se puede afirmar que es igual a la tangente del ángulo de inclinación pues el valor de dicho ángulo depende de las escalas de las unidades en las que se midan las magnitudes representadas en los ejes e. or esta razón, siempre calcularemos el valor de la pendiente de acuerdo a la epresión m /. Además, ha que mencionar que la tangente del ángulo de inclinación es adimensional, mientras que en una función que representa una relación lineal entre magnitudes físicas, la pendiente sí tiene dimensiones. or otro lado, si hacemos un análisis de una recta en función de su pendiente m, veremos que su inclinación depende de los valores positivos o negativos que puede tomar dicha pendiente, un valor de pendiente igual a cero corresponde a una recta horizontal.

3 Y Y m> m m < Si dos rectas son paralelas, entonces tienen la misma pendiente, si son perpendiculares, entonces el producto de sus pendientes es L //L m m Y L L m m - L : m + b L : m + b L : m + b L : m + b Rectas paralelas perpendiculares Una función lineal representa en física, entre otras cosas, un ejemplo de función lineal es la relación entre la posición el tiempo de un cuerpo que se mueve a velocidad constante, tal como se muestra en la Figura θ m v t Gráfica de la posición vs tiempo en MRU Otro ejemplo, es la relación entre la velocidad el tiempo de un cuerpo que se mueve con aceleración constante, tal como se muestra en la Figura v θ m a Gráfica de la velocidad vs tiempo en MRUV

4 Función Cuadrática Esta función se epresa mediante la siguiente ecuación: puede epresar convenientemente como: ( k ) C ( h ) a + b + c la cual se Donde (h, k) representa las coordenada del vértice de la parábola C es una constante que controla la maor o menor abertura de las ramas (a maor valor absoluto de C las ramas de la parábola están más cerradas). Si C > la parábola se abre hacia arriba si C < la parábola se abre hacia abajo. k Las figuras muestran varias parábolas en función de C. Y Eje h vér t ice arábola típica (, ) c > c > c Y c > ; c < c c c k V( h, k) k k V ( h, k ) V ( h, k ) h h h c Diferentes tipos de parábolas en función de C

5 Intersecciones de gráficas En muchos casos estamos interesados en determinar las coordenadas de los puntos de intersección de las gráficas de dos funciones. or ejemplo, podemos estar interesados en determinar el punto de intersección de la recta la parábola definidas por: ( - ) Sea el punto de intersección buscado, con coordenadas (, ). Este punto es tal, que sus coordenadas satisfacen las reglas de correspondencia de ambas funciones, por lo que podemos escribir: ( - ). ()... () (, ) Intersección de dos gráficas Luego, se puede resolver el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas formado por las ecuaciones () (), determinar los valores de e. En nuestro caso, debido a que la ecuación () es cuadrática, encontraremos dos soluciones: (, ) (, ) (, ) (, ). Estos resultados indican que eisten dos puntos de intersección, tal como se ve en la figura Figura. 5 a) /5 b) c) + d) -,7 EJEMLOS roblema.- Obtener la ecuación de la recta que corta a la parábola de vértice V(, -), tal como se muestra en el gráfico. e) 6 Solución: La ecuación de la parábola es: problema tenemos que encontrar primero los valores de k, h, C. Del gráfico: h k - ( k ) C ( h ). ara resolver el Usando estos valores recordando que las coordenadas del punto R satisfacen la ecuación de la parábola: 6 - R Q

6 [6 - ( - )] C ( ) C + / De donde la ecuación de la parábola es: ( + ) / ( ) 6 Ahora calcularemos las coordenadas del punto que pertenece a la parábola: ( + ) / ( ) ± (punto Q) (punto ) La ecuación de la recta pedida es: m + b, donde debemos encontrar m b. Calculamos m usando los puntos V que pertenecen a la recta: m V V - (-) 6 - La ecuación de la recta queda entonces como: + b También, como el punto pertenece a la recta, sus coordenadas deben satisfacer su ecuación: 6 + b b - 6 Finalmente, la ecuación de la recta pedida es: - 6 roblema.- Si se sabe que el área del triangulo AOB es de 8 m, determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos A B. a) + b) c) 8 d) - e) - Solución: De los datos tenemos que: La ecuación de la recta es: m + b donde la pendiente es m / En nuestro caso: m OB OA OA área 8 m B A - - B A or otro lado, puesto que OA, entonces b or lo que la ecuación es: - + A - B ( m ) OA m roblema.- Las rectas L L, de pendientes m m, cortan al eje de ordenadas en los puntos (,) (,) respectivamente. Si ambas rectas se interceptan en el punto (, /) cuál es la relación de m /m? a) / b) / c) d) - / e) /

7 Solución: (, / ) L L Calculamos las pendientes: m m / - - R R / - - Q Q luego: m m / - / - / - / / 7 roblema.- El movimiento de una partícula sigue las traectorias parabólicas mostradas. Si la ordenada del vértice de la segunda parábola es la mitad de la ordenada del vértice de la primera el de ésta es, Hallar la ecuación de la segunda parábola sabiendo que D no es vértice de la primera parábola tiene coordenadas (, ). La distancia AC 7 m. a) + - /9 ( - 5) d) -/9 ( - 5) b) 6 / ( - 8) e) -/ ( + 5) D B c) - /8 ( - 6) C Y( m ) V( h, k ) D( h A, k ) V ( h, k ) B h C ( m ) Solución: Sabiendo que las ordenadas de los vértices de las parábolas son en realidad los valores de las constantes k k en su ecuación general, que las coordenadas de los puntos B D satisfacen la ecuación de la primera parábola:

8 En la primera parábola : En la segunda parábola : - C k entonces BC 6 h k A A or consiguiente, usando estos datos sabiendo que parábola : ( ) C ( 5 / / + AC B C A A ( k ) C ( h ) B ) BC / + 6 / 5 el punto B pertenece a la C - / 9 8 Finalmente, la ecuación de la parábola es: ( ) / 9 ( 5 ) roblema 5.- Dados los puntos (,), Q(,), R(,), halle la ecuación de la recta que pasa por por el punto medio del segmento QR. a) + b) + c) + d) + e) + Solución: 5 Y Q S R ara encontrar la ecuación de la recta: m + b necesitamos la pendiente la intersección b. 5 La pendiente m se determina conociendo los puntos S, de la figura: (, ) S(,5) Luego: m S S / Reemplazando en la ecuación de la recta las coordenadas del punto : / + b / () + b Finalmente: / + / b /

UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES ECUACIÓN DE LA RECTA

UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES ECUACIÓN DE LA RECTA C u r s o : Matemática Material N 8 GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 5 UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES ECUACIÓN DE LA RECTA SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL Para determinar la posición de los puntos de un plano usando

Más detalles

UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES ECUACIÓN DE LA RECTA

UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES ECUACIÓN DE LA RECTA C u r s o : Matemática Material N 18 UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES ECUACIÓN DE LA RECTA GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 15 SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL Para determinar la posición de los puntos de un plano usando

Más detalles

Función lineal Ecuación de la recta

Función lineal Ecuación de la recta Función lineal Ecuación de la recta Función constante Una función constante toma siempre el mismo valor. Su fórmula tiene la forma f()=c donde c es un número dado. El valor de f() en este caso no depende

Más detalles

Academia de Matemáticas T.M Geometría Analítica Página 1

Academia de Matemáticas T.M Geometría Analítica Página 1 INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL CENTRO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS 10. CARLOS VALLEJO MÁRQUEZ PROBLEMARIO DE GEOMETRIA ANALITICA Distancia entre puntos 1.- Determina la distancia entre los puntos

Más detalles

Colegio Universitario Boston

Colegio Universitario Boston Función Lineal. Si f función polinomial de la forma o, donde y son constantes reales se considera una función lineal, en esta nos la pendiente o sea la inclinación que tendrá la gráfica de la función,

Más detalles

APUNTES DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

APUNTES DE GEOMETRÍA ANALÍTICA CAPÍTULO 1: LA RECTA EN EL PLANO Conceptos Primitivos: Punto, recta, plano. APUNTES DE GEOMETRÍA ANALÍTICA Definición 1 (Segmento) Llamaremos segmento a la porción de una línea recta comprendida entre

Más detalles

NIVEL : 1er. AÑO PROF. L. ALTIMIRAS R. CARRERA : GEOGRAFÍA AYUD. C. ESCOBEDO C. AÑO : 2009 GEOMETRÍA ANALÍTICA

NIVEL : 1er. AÑO PROF. L. ALTIMIRAS R. CARRERA : GEOGRAFÍA AYUD. C. ESCOBEDO C. AÑO : 2009 GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD DE CHILE FACULTAD DE ARQUITECTURA Y URBANISMO ESCUELA DE GEOGRAFÍA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA CONSTRUCCIÓN ASIGNATURA : MATEMATICAS MATERIAL DE APOYO NIVEL : 1er. AÑO PROF. L. ALTIMIRAS

Más detalles

GUÍA DE ESTUDIO PARA EL EXAMEN EXTRAORDINARIO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

GUÍA DE ESTUDIO PARA EL EXAMEN EXTRAORDINARIO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA ESCUELA PREPARATORIA OFICIAL No. 268 GUÍA DE ESTUDIO PARA EL EXAMEN EXTRAORDINARIO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA Profra: Citlalli Artemisa García García 1) Qué es la pendiente? 2) Cómo es la pendiente de rectas

Más detalles

FUNCIONES y = f(x) ESO3

FUNCIONES y = f(x) ESO3 Las correspondencias entre conjunto de valores o magnitudes se pueden expresar de varias formas: con un enunciado, con una tabla, con una gráfica, o con una fórmula o expresión algebraica o analítica.

Más detalles

MATEMÁTICA - TERCERO - REVISIÓN INTEGRADORA. 1) Determinar k y h para que las rectas kx+2y-h=0, 4x+ky-2=0, se corten en un punto.

MATEMÁTICA - TERCERO - REVISIÓN INTEGRADORA. 1) Determinar k y h para que las rectas kx+2y-h=0, 4x+ky-2=0, se corten en un punto. MATEMÁTICA - TERCERO - REVISIÓN INTEGRADORA ) Determinar k y h para que las rectas kxy-h=0, 4xky-=0, se corten en un punto ) La recta r: 5 x y 9 = 0, corta a la recta y = x en el punto A Obtener la ecuación

Más detalles

UNIDAD IV DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

UNIDAD IV DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS UNIDAD IV DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Dados los puntos: P(x1, y1) y Q(x2, y2), del plano, hallemos la distancia entre P y Q. Sin pérdida de generalidad, tomemos los puntos P y Q, en el primer cuadrante

Más detalles

Interpretación geométrica de la derivada

Interpretación geométrica de la derivada Interpretación geométrica de la derivada El matemático francés ierre de Fermat (60 665) al estudiar máimos mínimos de ciertas funciones observó que en aquellos puntos en los que la curva presenta un máimo

Más detalles

Profesorado de Nivel Medio y Superior en Biología Matemática - 1º Cuatrimestre Año 2013 FUNCIÓN CUADRÁTICA

Profesorado de Nivel Medio y Superior en Biología Matemática - 1º Cuatrimestre Año 2013 FUNCIÓN CUADRÁTICA Matemática - º Cuatrimestre Año 0 FUNCIÓN CUADRÁTICA Hemos definido anteriormente la función lineal como una función f: R R de la forma f()a+b con a R y b R, que se representa en el plano mediante una

Más detalles

GEOMETRÍA ANALÍTICA LA CIRCUNFERENCIA

GEOMETRÍA ANALÍTICA LA CIRCUNFERENCIA LA CIRCUNFERENCIA CONTENIDO. Ecuación común de la circunferencia Ejemplos. Ecuación general de la circunferencia. Análisis de la ecuación. Ejercicios Estudiaremos cuatro curvas que por su importancia aplicaciones

Más detalles

EJERCICIOS DE GEOMETRÍA PLANA. 1. Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por el punto ( 2, 2) tiene como vector director el vector

EJERCICIOS DE GEOMETRÍA PLANA. 1. Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por el punto ( 2, 2) tiene como vector director el vector EJERCICIOS DE GEOMETRÍA PLANA Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por el punto (, ) tiene como vector director el vector v i j A y x a + vt La ecuación paramétrica de una recta es

Más detalles

Ecuaciones Lineales en Dos Variables

Ecuaciones Lineales en Dos Variables Ecuaciones Lineales en Dos Variables Una ecuación lineal en dos variables tiene la forma general a + b + c = 0; donde a, b, c representan números reales las tres no pueden ser iguales a cero a la misma

Más detalles

ECUACIÓN DE LA RECTA

ECUACIÓN DE LA RECTA MATEMÁTICA SEMANA 2 ECUACIÓN DE LA RECTA Todos los derechos de autor son de la exclusiva propiedad de IACC o de los otorgantes de sus licencias. No está permitido copiar, reproducir, reeditar, descargar,

Más detalles

Colegio San Patricio A Incorporado a la Enseñanza Oficial Fundación Educativa San Patricio

Colegio San Patricio A Incorporado a la Enseñanza Oficial Fundación Educativa San Patricio Función Cuadrática: Es toda función de la forma: f() = a ² + b + c con a, b, c números Reales Puede suceder que b ó c sean nulos, por ej: f() = ½ ² + 5 f() = 5 ² ¾ Pero a no puede ser = 0, de los contrario

Más detalles

ECUACIÓN DE LA RECTA. 6. Hallar la ecuación de la recta que pase por el punto A ( 1, 2) y que determina en el eje X un segmento de longitud 6.

ECUACIÓN DE LA RECTA. 6. Hallar la ecuación de la recta que pase por el punto A ( 1, 2) y que determina en el eje X un segmento de longitud 6. ECUACIÓN DE LA RECTA 1. El ángulo de inclinación de una recta mide 53º y pasa por los puntos ( 3, n) y ( 5, 4). Hallar el valor de n. A) 1 /5 B) 8 /5 C) 1 /5 D) 8 /5 E) 7 /3. Qué tipo de triángulo es el

Más detalles

Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una cierta propiedad.

Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una cierta propiedad. LUGARES GEOMÉTRICOS. CÓNICAS. 9.1 LUGARES GEOMÉTRICOS Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una cierta propiedad. Llamando X(,) a las coordenadas del punto genérico aplicando analíticamente

Más detalles

Completa esta parábola y señala sus elementos y sus propiedades. 1 X. El dominio de la función es todos los números reales:.

Completa esta parábola y señala sus elementos y sus propiedades. 1 X. El dominio de la función es todos los números reales:. Representa la función que relaciona el área de un triángulo rectángulo isósceles la longitud del cateto. a) Cuál es la variable dependiente? b) la variable independiente? = a) La variable independiente

Más detalles

No es otra cosa, que la representación de los resultados de una función sobre el plano carteciano.

No es otra cosa, que la representación de los resultados de una función sobre el plano carteciano. FUNCIONES GRAFICAS No es otra cosa, que la representación de los resultados de una función sobre el plano carteciano. INTÉRVALOS Un intervalo es el conjunto de todos los números reales entre dos números

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2010 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2010 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2010 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A Reserva 1, Ejercicio

Más detalles

Guía de Estudio Algebra y Trigonometría Para Ciencias Agropecuarias

Guía de Estudio Algebra y Trigonometría Para Ciencias Agropecuarias Guía de Estudio Para Ciencias Agropecuarias Unidad: Geometría Analítica Los siguientes ejercicios están relacionados con los principales temas de Geometría Analítica e involucra todos los conocimientos

Más detalles

INSTITUCIÓN EDUCATIVA GABRIEL TRUJILLO CORREGIMIENTO DE CAIMALITO, PEREIRA

INSTITUCIÓN EDUCATIVA GABRIEL TRUJILLO CORREGIMIENTO DE CAIMALITO, PEREIRA INSTITUCIÓN EDUCATIVA GABRIEL TRUJILLO CORREGIMIENTO DE CAIMALITO, PEREIRA Pobre del estudiante que no aventaje a su maestro. LA LÍNEA RECTA Leonardo da Vinci DESEMPEÑOS Identificar, interpretar, graficar

Más detalles

TEMA 7: CÓNICAS CIRCUNFERENCIA. A partir de esta ecuación podemos hallar el centro y el radio sin más que deshacer los cambios:

TEMA 7: CÓNICAS CIRCUNFERENCIA. A partir de esta ecuación podemos hallar el centro y el radio sin más que deshacer los cambios: TEMA 7: CÓNICAS CIRCUNFERENCIA Se define la circunferencia como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. A dicha distancia se le llama radio de la circunferencia.

Más detalles

EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD DE GEOMETRIA

EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD DE GEOMETRIA EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD DE GEOMETRIA 2003 (4) Ejercicio 1. Considera los vectores u = (1,1,1), v = (2,2,a) y w = (2,0,0), (a) [1'25 puntos] Halla los valores de a para que los vectores u, v y w sean

Más detalles

El análisis cartesiano (René Descartes ) descubrió que las ecuaciones pueden tener una representación gráfica.

El análisis cartesiano (René Descartes ) descubrió que las ecuaciones pueden tener una representación gráfica. Capítulo 4. Estudio de la línea recta El análisis cartesiano (René Descartes 1596-1650) descubrió que las ecuaciones pueden tener una representación gráfica. Para lograr esa representación gráfica es necesario

Más detalles

Función cuadrática. Ecuación de segundo grado completa

Función cuadrática. Ecuación de segundo grado completa Función cuadrática Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma: f(x) = ax 2 + bx + c donde a, b y c (llamados términos) son números reales cualesquiera y a es distinto

Más detalles

Solución: Las rectas paralelas a estas tienen la misma pendiente, es decir 2; por tanto la ecuación es:

Solución: Las rectas paralelas a estas tienen la misma pendiente, es decir 2; por tanto la ecuación es: Representa las rectas y = x + e y = x y calcula el punto que tienen en común El punto que tienen en común estas dos rectas se obtiene resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones: y = x + y = x 3 x =,

Más detalles

Álgebra y Trigonometría Clase 2 Ecuaciones, desigualdades y Funciones

Álgebra y Trigonometría Clase 2 Ecuaciones, desigualdades y Funciones Álgebra y Trigonometría Clase 2 Ecuaciones, desigualdades y Funciones CNM-108 Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia Copyleft c 2008. Reproducción

Más detalles

Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.

Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución. TEMA 0: REPASO DE FUNCIONES FUNCIONES: TIPOS DE FUNCIONES Funciones algebraicas En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción,

Más detalles

AYUDAS SOBRE LA LINEA RECTA

AYUDAS SOBRE LA LINEA RECTA AYUDAS SOBRE LA LINEA RECTA AYUDA : Grafiquemos la función Solución: Se debe escoger algunos números que representan a la variable x, para obtener el valor de la variable y respectivamente así: El proceso:

Más detalles

Matemáticas 2 Agosto 2015

Matemáticas 2 Agosto 2015 Laboratorio # 1 Línea recta I.-Determina la ecuación de la recta que satisface las siguientes condiciones y exprésala en la forma general. Pasa por el punto (1,5) y tiene pendiente 2 Pasa por y Pendiente

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 004 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva,

Más detalles

2.2 Rectas en el plano

2.2 Rectas en el plano 2.2 Al igual que ocurre con el punto, en geometría intrínseca, el concepto de recta no tiene definición, sino que constituye otro de sus conceptos iniciales, indefinibles. Desde luego se trata de un conjunto

Más detalles

Manual de teoría: Funciones Matemática Bachillerato

Manual de teoría: Funciones Matemática Bachillerato Manual de teoría: Funciones Matemática Bachillerato Realizado por José Pablo Flores Zúñiga Funciones: José Pablo Flores Zúñiga Página 1 Contenido: ) Funciones.1 Conceptos Básicos de Funciones. Función

Más detalles

Ecuaciones, ecuación de la recta y sistemas

Ecuaciones, ecuación de la recta y sistemas Ecuaciones, ecuación de la recta y sistemas Ecuaciones Una ecuación es una igualdad condicionada en la que aplicando operaciones adecuadas se logra despejar (aislar) la incógnita. Cuando una ecuación contiene

Más detalles

La recta se define como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que al tomarse de dos en dos se obtiene la misma pendiente.

La recta se define como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que al tomarse de dos en dos se obtiene la misma pendiente. Formas de la ecuación de una recta. Hasta el momento, se han dado algunas características de la recta tales como la distancia entre dos puntos, su pendiente, su ángulo de inclinación, relación entre ellas,

Más detalles

TEMA 6. ECUACIONES DE LA RECTA

TEMA 6. ECUACIONES DE LA RECTA TEMA 6. ECUACIONES DE LA RECTA Dados un punto y un vector, vamos a hallar las ecuaciones de la recta r que pasa por el punto A y es paralela al vector. Sea consideramos los vectores un punto cualquiera

Más detalles

LA RECTA Y SUS ECUACIONES

LA RECTA Y SUS ECUACIONES UNIDAD LA RECTA Y SUS ECUACIONES EJERCICIOS RESUELTOS Objetivo general. Al terminar esta Unidad resolverás ejercicios y problemas correspondientes a las rectas en el plano y sus ecuaciones. Objetivo. Recordarás

Más detalles

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN EL PLANO CARTESIANO.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN EL PLANO CARTESIANO. RAZONAMIENTO Y DEMOSTRACIÓN Determina la distancia entre pares de puntos. Calcula las coordenadas del punto medio del segmento cuyos extremos son dos puntos dados. Halla la pendiente de una recta. COMUNICACIÓN

Más detalles

Universidad Nacional José María Arguedas Carrera Profesional de Administración de Empresas CONICAS LA RECTA. Lic. JOSÉ L. ESTRADA P.

Universidad Nacional José María Arguedas Carrera Profesional de Administración de Empresas CONICAS LA RECTA. Lic. JOSÉ L. ESTRADA P. Universidad Nacional José María Arguedas Carrera Profesional de Administración de Empresas Lic. JOSÉ L. ESTRADA P. CONICAS LA RECTA ANDAHUAYLAS PERÚ Cónicas A. Introducción La introducción de la geometría

Más detalles

FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA. Folleto De Trabajo Para La Clase ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES

FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA. Folleto De Trabajo Para La Clase ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA Folleto De Trabajo Para La Clase ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES NOMBRE ID SECCIÓN SALÓN Prof. Eveln Dávila Contenido TEMA: Ecuaciones Lineales En Dos Variables... Solución

Más detalles

INECUACIONES Y VALOR ABSOLUTO

INECUACIONES Y VALOR ABSOLUTO INECUACIONES Y VALOR ABSOLUTO U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO I (051) - TEMA 1 Pág.: 1 de 3 1. Resuelva las siguientes ecuaciones: a. 4 3x = 5 b. x + 1x + = 3 c. x + 1x + 4 = 10 d. x 1 + = 4 e. x + 3 = 4 f.

Más detalles

Lección 12: Sistemas de ecuaciones lineales

Lección 12: Sistemas de ecuaciones lineales LECCIÓN 1 Lección 1: Sistemas de ecuaciones lineales Resolución gráfica Hemos visto que las ecuaciones lineales de dos incógnitas nos permiten describir las situaciones planteadas en distintos problemas.

Más detalles

12 Funciones de proporcionalidad

12 Funciones de proporcionalidad 8 _ 09-088.qxd //0 : Página 9 Funciones de proporcionalidad INTRODUCCIÓN La representación gráfica de funciones de proporcionalidad es una de las formas más directas de entender y verificar la relación

Más detalles

Matemáticas III. Geometría analítica

Matemáticas III. Geometría analítica Matemáticas III. Geometría analítica Este curso cubre los conceptos mostrados a continuación. El estudiante navega por trayectos de aprendizaje basados en su nivel de preparación. Usuarios institucionales

Más detalles

Geometría Analítica Agosto 2016

Geometría Analítica Agosto 2016 Laboratorio #1 Distancia entre dos puntos I.- Demostrar que los puntos dados no son colineales. 1) A (0, 5), B(3, 1), C( 11, 27) 2) A (1, 4), B( 2, 10), C(5, 5) II.- Demostrar que los puntos dados forman

Más detalles

LA RECTA. Ax By C 0. y y m x x. y mx b. Geometría Analítica 2 ECUACIÓN GENERAL. Teorema: ECUACIÓN PUNTO - PENDIENTE .

LA RECTA. Ax By C 0. y y m x x. y mx b. Geometría Analítica 2 ECUACIÓN GENERAL. Teorema: ECUACIÓN PUNTO - PENDIENTE . LA RECTA En geometría definimos a la recta como la sucesión infinita de puntos uno a continuación de otro en la misma dirección. En el plano cartesiano, la recta es el lugar geométrico de todos los puntos

Más detalles

ACADEMIA DE FÍSICO-MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS III CICLO ESCOLAR TERCER SEMESTRE G E O M É T R Í A GUÍA A N A L Í T I C A

ACADEMIA DE FÍSICO-MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS III CICLO ESCOLAR TERCER SEMESTRE G E O M É T R Í A GUÍA A N A L Í T I C A CENTRO DE ESTUDIOS DE BACHILLERATO LIC. JESÚS REYES HEROLES ACADEMIA DE FÍSICO-MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS III CICLO ESCOLAR TERCER SEMESTRE GEOMETRÍA G E O M É T R Í A GUÍA ANALÍTICA A N A L Í T I C A G U

Más detalles

El plano cartesiano y Gráficas de ecuaciones. Copyright 2013, 2009, 2006 Pearson Education, Inc. 1

El plano cartesiano y Gráficas de ecuaciones. Copyright 2013, 2009, 2006 Pearson Education, Inc. 1 El plano cartesiano y Gráficas de ecuaciones Copyright 2013, 2009, 2006 Pearson Education, Inc. 1 Sistema de coordenadas rectangulares En el cap 2 presentamos la recta numérica real que resulta al establecer

Más detalles

1. Halla la ecuación de la recta r, sabiendo que pasa por A(1,-2) y B(-1,2)

1. Halla la ecuación de la recta r, sabiendo que pasa por A(1,-2) y B(-1,2) 1. Halla la ecuación de la recta r, sabiendo que pasa por A(1,-2) y B(-1,2) 2. Halla la ecuación de la recta r, sabiendo que es paralela a y=2x-3 y pasa por el punto (1,3). 3. Halla la ecuación de la recta

Más detalles

MATEMÁTICAS 2º DE ESO

MATEMÁTICAS 2º DE ESO MATEMÁTICAS 2º DE ESO LOE TEMA VII: FUNCIONES Y GRÁFICAS Coordenadas cartesianas. Concepto de función. Tabla y ecuación. Representación gráfica de una función. Estudio gráfico de una función. o Continuidad

Más detalles

EJERCICIOS DE GEOMETRÍA RESUELTOS

EJERCICIOS DE GEOMETRÍA RESUELTOS EJERCICIOS DE GEOMETRÍA RESUELTOS 1.- Dada la recta r: 4x + 3y -6 = 0, escribir la ecuación de la recta perpendicular a ella en el punto de corte con el eje de ordenadas. : - Hallamos el punto de corte

Más detalles

Funciones Guía Teórico y práctico.

Funciones Guía Teórico y práctico. Carrera: Profesorado en Física. Materia: MATEMÁTICA Titular: Dra. Godoy, Antonia E. Adscripta: Lubaczewski, Itatí Funciones Guía Teórico y práctico. Dados dos conjuntos no vacíos A y B y una relación que

Más detalles

PRIMITIVAS E INTEGRAL DEFINIDA Ejercicios de selectividad

PRIMITIVAS E INTEGRAL DEFINIDA Ejercicios de selectividad PRIMITIVAS E INTEGRAL DEFINIDA Ejercicios de selectividad Sea f : R R la función definida por f() = e /. (a) En qué punto de la gráfica de f la recta tangente a ésta pasa por el origen de coordenadas?

Más detalles

. Universidad Tecnológica Nacional - Facultad Regional Rosario. Álgebra y Geometría Analítica EL PLANO

. Universidad Tecnológica Nacional - Facultad Regional Rosario. Álgebra y Geometría Analítica EL PLANO . Universidad Tecnológica Nacional - Facultad Regional Rosario Álgebra y Geometría Analítica EL PLANO Autores: Lic. Martha Fascella Ing. Ricardo F. Sagristá 0 Contenido EL PLANO... 3.- Definición del plano

Más detalles

GIMNASIO VIRTUAL SAN FRANCISCO JAVIER Valores y Tecnología para la Formación Integral del Ser Humano UNIDAD I FUNCIONES

GIMNASIO VIRTUAL SAN FRANCISCO JAVIER Valores y Tecnología para la Formación Integral del Ser Humano UNIDAD I FUNCIONES UNIDAD I FUNCIONES Una función es una correspondencia entre dos conjuntos, que asocia a cada elemento del primer conjunto exactamente un elemento del otro conjunto. Una función f definida entre dos conjuntos

Más detalles

DERIVADA DE FUNCIONES REALES

DERIVADA DE FUNCIONES REALES . Recta tangente a una curva DERIVADA DE FUNCIONES REALES Consideremos la curva y = f() correspondiente a una función continua y en ella dos puntos distintos P( ; y ) y Q( ; y ). PQ es una recta secante

Más detalles

Ecuación de la recta. Ing. Jonathan Alejandro Cortés Montes de Oca. Calculo Vectorial INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL.

Ecuación de la recta. Ing. Jonathan Alejandro Cortés Montes de Oca. Calculo Vectorial INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL. ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECÁNICA Y ELÉCTRICA. UNIDAD CULHUACÁN. Ecuación de la recta Calculo Vectorial Ing. Jonathan Alejandro Cortés Montes de Oca Antes de iniciar

Más detalles

Proyecto. Tema 6 sesión 2: Generación de Rectas, Circunferencias y Curvas. Geometría Analítica. Isidro Huesca Zavaleta

Proyecto. Tema 6 sesión 2: Generación de Rectas, Circunferencias y Curvas. Geometría Analítica. Isidro Huesca Zavaleta Geometría Analítica Tema 6 sesión 2: Generación de Rectas, Circunferencias y Curvas Isidro Huesca Zavaleta La Integración de dos Ciencias La Geometría Analítica nació de la integración de dos ciencias

Más detalles

CBC. Matemática (51) universoexacto.com 1

CBC. Matemática (51) universoexacto.com 1 CBC Matemática (51) universoexacto.com 1 PROGRAMA ANALÍTICO 1 :: UNIDAD 1 Números Reales y Coordenadas Cartesianas Representación de los números reales en una recta. Intervalos de Distancia en la recta

Más detalles

Tema 7: Geometría Analítica. Rectas.

Tema 7: Geometría Analítica. Rectas. Tema 7: Geometría Analítica. Rectas. En este tema nos centraremos en estudiar la geometría en el plano, así como los elementos que en este aparecen como son los puntos, segmentos, vectores y rectas. Estudiaremos

Más detalles

5x + 4y 20 = 0! 5 ( x) + 4 ( y) 20 = 0! 5x 4y 20 = 0. al origen O. En resumen, la ecuación 5x + 4y 20 = 0 no tiene ninguna simetría.

5x + 4y 20 = 0! 5 ( x) + 4 ( y) 20 = 0! 5x 4y 20 = 0. al origen O. En resumen, la ecuación 5x + 4y 20 = 0 no tiene ninguna simetría. Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Ejercicio, grupo, capítulo II, página 0.. Discute la ecuación + 0 = 0, estudiando las intersecciones, las simetrías la etensión. Después traza la grá ca correspondiente.

Más detalles

y cualquier par (x, y) puede escalarse, multiplicarse por un número real s, para obtener otro vector (sx, sy).

y cualquier par (x, y) puede escalarse, multiplicarse por un número real s, para obtener otro vector (sx, sy). UNIDAD II: VECTORES EN DOS Y TRES DIMENSIONES Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio en la rama de la matemática llamada álgebra lineal. A los elementos de los espacios

Más detalles

13 FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS

13 FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS 3 FUNCINES LINEALES CUADRÁTICAS EJERCICIS PARA ENTRENARSE Definición y caracterización de una función lineal 3.8 Una función viene dada por la siguiente tabla. x 0 3 y 0 3 6 9 Expresa la función mediante

Más detalles

Coordenadas de un punto

Coordenadas de un punto Coordenadas de un punto En esta sección iniciamos con las definiciones de algunos conceptos básicos sobre los cuales descansan todos los demás conceptos que utilizaremos a lo largo del curso. Ejes Coordenados

Más detalles

Vectores y rectas. 4º curso de E.S.O., opción B. Modelo de examen (ficticio)

Vectores y rectas. 4º curso de E.S.O., opción B. Modelo de examen (ficticio) demattematicaswordpresscom Vectores y rectas º curso de ESO, opción B Modelo de examen (ficticio) Sean los vectores u = (,5) y v = (, ) a) Analiza si tienen la misma dirección No tienen la misma dirección

Más detalles

LA CIRCUNFERENCIA. x y r. (x h) (y k) r. d(p; 0) x y r. d(p; C) (x h) (y k) r. Definición. Ecuación de la circunferencia. Geometría Analítica 3

LA CIRCUNFERENCIA. x y r. (x h) (y k) r. d(p; 0) x y r. d(p; C) (x h) (y k) r. Definición. Ecuación de la circunferencia. Geometría Analítica 3 Definición LA CIRCUNFERENCIA Se llama circunferencia a la sección cónica generada al cortar un cono recto con un plano perpendicular al eje del cono. La circunferencia es el lugar geométrico de todos los

Más detalles

IX. LA PARÁBOLA 9.1. LA PARÁBOLA COMO LUGAR GEOMÉTRICO 9.2. CONSTRUCCIÓN DE UNA PARÁBOLA CON REGLA Y COMPÁS

IX. LA PARÁBOLA 9.1. LA PARÁBOLA COMO LUGAR GEOMÉTRICO 9.2. CONSTRUCCIÓN DE UNA PARÁBOLA CON REGLA Y COMPÁS IX LA PARÁBOLA 9 LA PARÁBOLA COMO LUGAR GEOMÉTRICO Definición: Se llama parábola al lugar geométrico de un punto P que se mueve en un plano, en forma tal que su distancia a un punto fijo F (llamado foco)

Más detalles

ESTÁTICA 3 3 VECTORES

ESTÁTICA 3 3 VECTORES ESTÁTICA Sesión 3 3 VECTORES 3.1. Componentes en dos dimensiones 3.1.1. Operación con vectores por sus componentes 3.1.2. Vectores de posición por sus componentes 3.2. Componentes en tres dimensiones 3.2.1.

Más detalles

Inecuaciones con valor absoluto

Inecuaciones con valor absoluto Inecuaciones con valor absoluto El valor absoluto de un número real a se denota por a y está definido por: Propiedades a a si a si a 0 a < 0 i a y b son números reales y n es un número entero, entonces:

Más detalles

95 EJERCICIOS de RECTAS

95 EJERCICIOS de RECTAS 9 EJERCICIOS de RECTAS Forma paramétrica: 1. Dado el punto A(,3) y el vector director ur = (1, ), se pide: a) Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta r que determinan. b) Obtener otros tres puntos

Más detalles

ESCRITURA Y GRAFICACIÓN DE ECUACIONES LINEALES EN UNA SUPERFICIE PLANA

ESCRITURA Y GRAFICACIÓN DE ECUACIONES LINEALES EN UNA SUPERFICIE PLANA ESCRITURA Y GRAFICACIÓN DE ECUACIONES LINEALES EN UNA SUPERFICIE PLANA La pendiente es un número que indica lo inclinado (o plano) de una recta, al igual que su dirección (hacia arriba o hacia abajo) de

Más detalles

ÁLGEBRA VECTORIAL Y MATRICES. Ciclo 02 de Circunferencia.

ÁLGEBRA VECTORIAL Y MATRICES. Ciclo 02 de Circunferencia. ÁLGEBRA VECTORIAL Y MATRICES. Ciclo 02 de 2012. Circunferencia. Elementos de la circunferencia. El segmento de recta es una cuerda. El segmento de recta es una cuerda que pasa por el centro, por lo tanto

Más detalles

3. La circunferencia.

3. La circunferencia. UNIDAD 8: RESOLVAMOS CON GEOMETRÍA ANALITICA. 3. La circunferencia. Objetivos conceptuales. Definir el concepto de circunferencia. Objetivos procedimentales. Calular el radio, el centro, algunos puntos

Más detalles

CENTRO REGIONAL UNIVERSITARIO BARILOCHE TALLER DE MATEMATICA INGRESO 2016 LIC. ENFERMERÍA PRACTICO UNIDAD 3

CENTRO REGIONAL UNIVERSITARIO BARILOCHE TALLER DE MATEMATICA INGRESO 2016 LIC. ENFERMERÍA PRACTICO UNIDAD 3 PRACTICO UNIDAD 3 Nota: Los ejercicios propuestos en los prácticos deben servirle para afianzar y practicar temas. Si nota que algunos ejercicios ya los sabe hacer bien, continúe con otros que le impliquen

Más detalles

Profr. Efraín Soto Apolinar. Rectas. Podemos determinar de una manera única a una recta de varias formas:

Profr. Efraín Soto Apolinar. Rectas. Podemos determinar de una manera única a una recta de varias formas: Rectas Podemos determinar de una manera única a una recta de varias formas: a partir de su ecuación, a partir de dos de sus puntos a partir del ángulo que forma con uno de los ejes su distancia al origen,

Más detalles

Club de Matemáticas CBTis 149. clubmate149.com

Club de Matemáticas CBTis 149. clubmate149.com PROGRAMA DE MATEMATICAS III (Geometría Analítica) Con este curso se inicia el estudio de la geometría analítica, rama de las Matemáticas cuyos inicios se remontan a la segunda mitad del siglo XVII con

Más detalles

ELEMENTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

ELEMENTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA Capítulo 3 ELEMENTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA 3.1. Introducción: La Geometría Analítica es el estudio de figuras o cuerpos geométricos mediante técnicas básicas de análisis matemático y del álgebra en un

Más detalles

MATEMÁTICAS 1º BACH. C. N. Y S. 25 de enero de 2010 Geometría y Logaritmos

MATEMÁTICAS 1º BACH. C. N. Y S. 25 de enero de 2010 Geometría y Logaritmos MATEMÁTICAS 1º BACH. C. N. Y S. 5 de enero de 010 Geometría y Logaritmos x yz 1) Tomar logaritmos, y desarrollar, en la siguiente expresión: A 4 ab log x log b 4log a log y ) Quitar logaritmos: log A )

Más detalles

GEOMETRÍA ANALÍTICA EJERCITARIO DE FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN

GEOMETRÍA ANALÍTICA EJERCITARIO DE FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) EJERCITARIO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA (ÁLGEBRA VECTORIAL - PRÁCTICA) AÑO 2014 ÁLGEBRA VECTORIAL - EJERCICIOS

Más detalles

7.FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL

7.FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL 7.FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL 7.1 CONCEPTOS PREVIOS Dados dos conjuntos A={ 1,, 3,...} y B={y 1, y, y 3,...}, el par ordenado ( m, y n ) indica que el elemento m del conjunto A está relacionado con el

Más detalles

Colegio Internacional Torrequebrada. Departamento de Matemáticas

Colegio Internacional Torrequebrada. Departamento de Matemáticas Geometría. Problema 1: Calcula la distancia del punto P(1, 1, 1) a la recta Problema 2: Dadas las rectas, se pide: a) Analiza su posición relativa. b) Halla la ecuación general del plano π que contiene

Más detalles

LA CIRCUNFERENCIA. La circunferencia es la sección producida por un plano perpendicular al eje.

LA CIRCUNFERENCIA. La circunferencia es la sección producida por un plano perpendicular al eje. LA CIRCUNFERENCIA La circunferencia es la sección producida por un plano perpendicular al eje. β = 90º La circunferencia es un caso particular de elipse. Se llama circunferencia al lugar geométrico de

Más detalles

PENDIENTE MEDIDA DE LA INCLINACIÓN

PENDIENTE MEDIDA DE LA INCLINACIÓN Capítulo 2 PENDIENTE MEDIDA DE LA INCLINACIÓN 2.1.2 2.1.4 Los alumnos utilizaron la ecuación = m + b para graficar rectas describir patrones en los cursos anteriores. La Lección 2.1.1 es un repaso. Cuando

Más detalles

EJERCICIOS PROPUESTOS

EJERCICIOS PROPUESTOS EJERCICIOS PROPUESTOS ) Se dan los siguientes puntos por sus coordenadas: A(3, 0), B(, 0), C(0, ) y sea P un punto variable sobre el eje. i) Hallar la ecuación de la recta (AC) y de la recta (r) perpendicular

Más detalles

IES EL PILES SELECTIVIDAD OVIEDO DPTO. MATEMÁTICAS Geometría

IES EL PILES SELECTIVIDAD OVIEDO DPTO. MATEMÁTICAS Geometría P.A.U. de. (Oviedo). (junio 994) Dados los puntos A (,0, ), B (,, ), C (,6, a), se pide: i) hallar para qué valores del parámetro a están alineados, ii) hallar si existen valores de a para los cuales A,

Más detalles

Funciones 1. D = Dom ( f ) = x R / f(x) R. Recuerda como determinabas los dominios de algunas funciones: x x

Funciones 1. D = Dom ( f ) = x R / f(x) R. Recuerda como determinabas los dominios de algunas funciones: x x Funciones. DEFINICIÓN Y TERMINOLOGÍA.. Definición de función real de variable real. "Es toda correspondencia, f, entre un subconjunto D de números reales y R (o una parte de R), con la condición de que

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 01 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A Reserva 1, Ejercicio

Más detalles

Ecuaciones de la tangente y la normal

Ecuaciones de la tangente y la normal Ecuaciones de la tangente la normal Ahora que sabemos cómo calcular la pendiente de una recta tangente a una curva dada su ecuación, independientemente de que ésta sea una función o no lo sea, podemos

Más detalles

Guía Práctica N 11 ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA

Guía Práctica N 11 ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA Fuente: PreUniversitario Pedro de Valdivia Guía Práctica N 11 ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA Una ecuación de segundo grado es una ecuación susceptible de llevar a la forma a + b + c = 0,

Más detalles

2-2 (x) (x) (x) 3. Para hallar la ecuación canónica de la parábola, gráfico de la función f(x) = ax 2 + bx + c, se procede de la siguiente manera:

2-2 (x) (x) (x) 3. Para hallar la ecuación canónica de la parábola, gráfico de la función f(x) = ax 2 + bx + c, se procede de la siguiente manera: Funciones cuadráticas Función cuadrática Deinición: Una unción cuadrática es una unción : R R deinida por la ormula = a + b + c Donde a, b y c son números reales y a 0. Esta epresión de la unción cuadrática

Más detalles

Capítulo 1 Vectores. 26 Problemas de selección - página 13 (soluciones en la página 99)

Capítulo 1 Vectores. 26 Problemas de selección - página 13 (soluciones en la página 99) Capítulo 1 Vectores 26 Problemas de selección - página 13 (soluciones en la página 99) 21 Problemas de desarrollo - página 22 (soluciones en la página 100) 11 1.A PROBLEMAS DE SELECCIÓN Sección 1.A Problemas

Más detalles

GEOMETRÍA. que pasa por el punto P y es paralelo a π. (0,9 puntos) b) Determinar la ecuación del plano π

GEOMETRÍA. que pasa por el punto P y es paralelo a π. (0,9 puntos) b) Determinar la ecuación del plano π GEOMETRÍA 1.- Se considera la recta r : ( x, y, z) = ( t + 1, t,3 t), el plano π: x y z = 0y el punto P (1,1,1). Se pide: a) Determinar la ecuación del plano π 1 que pasa por el punto P y es paralelo a

Más detalles

Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Análisis. (Límites/Asíntotas/Continuidad/Derivadas/Aplicaciones de las derivadas)

Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Análisis. (Límites/Asíntotas/Continuidad/Derivadas/Aplicaciones de las derivadas) Análisis (Límites/Asíntotas/Continuidad/Derivadas/Aplicaciones de las derivadas) Problema 1: Sea la función Determina: a) El dominio de definición. b) Las asíntotas si existen. c) El o los intervalos de

Más detalles

PAU Madrid. Matemáticas II. Año Examen modelo. Opción A. Ejercicio 1. Valor: 2 puntos.

PAU Madrid. Matemáticas II. Año Examen modelo. Opción A. Ejercicio 1. Valor: 2 puntos. PAU Madrid. Matemáticas II. Año 22. Examen modelo. Opción A. Ejercicio 1. Valor: 2 puntos. Se considera una varilla AB de longitud 1. El extremo A de esta varilla recorre completamente la circunferencia

Más detalles

Espacio afín. 1. Rectas en el espacio. Piensa y calcula. Aplica la teoría

Espacio afín. 1. Rectas en el espacio. Piensa y calcula. Aplica la teoría 6 Espacio afín 1. Rectas en el espacio Piensa y calcula Calcula las coordenadas de un vector que tenga la dirección de la recta que pasa por los puntos A2, 1, 5 y B3, 1, 4 AB 1, 2, 1 Aplica la teoría 1.

Más detalles

Aplicación: cálculo de áreas XII APLICACIÓN: CÁLCULO DE ÁREAS

Aplicación: cálculo de áreas XII APLICACIÓN: CÁLCULO DE ÁREAS XII APLICACIÓN: CÁLCULO DE ÁREAS El estudiante, hasta este momento de sus estudios, está familiarizado con el cálculo de áreas de figuras geométricas regulares a través del uso de fórmulas, como el cuadrado,

Más detalles