Curso de nivelación Estadística y Matemática

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Víctor Manuel Plaza Chávez
hace 7 años
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1 Curso de nivelación Estadística y Matemática Segunda clase: Matrices, derivadas e integrales Programa Técnico en Riesgo, 2014

2 Agenda 1 Matrices y vectores 2 Reglas de diferenciación parciales 3 indefinidas definidas

3 de matrices Matrices y vectores Qué es una matriz? Ejemplo Se define como un arreglo rectangular de números, parámetros ovariables.losnúmerosmiembrosdelarreglo,normalmentese conocen como elementos. Por convención, las matrices se representan con letras en mayúsculas. Los pagos de un conjunto de activos en cada estado de la naturaleza.

4 Dimensión Matrices y vectores Qué es la dimensión u orden de una matriz? Es el número de filas (m) yelnúmerodecolumnas(n) con que cuenta una matriz específica. Ejemplo matriz de orden (mxn) 2 a 11 a a 1n a 21 a 22 A = a m1 a mn 3 7 5

5 Otras definiciones Matrices y vectores Qué es una matriz cuadrada? Cuando tiene la misma cantidad de filas que de columnas (caso particular si la matriz es de orden 1, lo cual llamamos escalar). Qué es una igualdad de matrices? Si se tiene el mismo orden y además cada elemento es igual en ambas matrices.

6 Agenda Matrices y vectores 1 Matrices y vectores 2 Reglas de diferenciación parciales 3 indefinidas definidas

7 Matrices y vectores Qué es un vector? Es una matriz de una sóla fila o de una columna. Ejemplo vector columna de 4x1 2 B = 6 4 Ejemplo vector columna de 1x C =

8 Agenda Matrices y vectores 1 Matrices y vectores 2 Reglas de diferenciación parciales 3 indefinidas definidas

9 Cómo se suma y restan las matrices? Sean A y B dos matrices de orden mxn (mismo orden), su suma (o resta) es una matriz C de orden mxn donde cada elemento de C es la suma (o resta) de los elementos correspondientes de A y B. Conformabilidad para la suma Cuando dos matrices tienen el mismo orden

10 Ejemplo apple A = apple B = apple A + B = apple A B =

11 Algunas propiedades importantes Propiedades de la aditividad de matrices A + B = B + A A +(B + C)=(A + B)+C k (A + B)=kA + kb =(A + B)k

12 Agenda Matrices y vectores 1 Matrices y vectores 2 Reglas de diferenciación parciales 3 indefinidas definidas

13 Multiplicación de una matriz por un Escalar Cómo se multiplica una matriz por un escalar? Sea A una matriz y k un escalar, su multiplicación es la multiplicación de cada elemento de A por k. Ejemplo apple 1 2 C = 3 4 k = 3 apple 3 6 A k = 9 12

14 Multiplicación de vectores y matrices Principio básico Multiplicar filas por columnas. Conformables para la multiplicación Cuando los vectores o matrices son compatibles para la multiplicación. Para esto el número correspondiente a las columnas de la primera matriz (vector) debé ser igual al correspondiente a las filas de la segunda matriz (vector).

15 Multiplicación de vectores Ejemplo D = E = D E = 7 F = G = F G =[0]

16 Multiplicación de vectores Ejemplo apple H = I = apple 3 8 H I = 8 12

17 Algunas propiedades importantes Propiedades de la multiplicación de matrices A(BC)=(AB)C A(B + C)=AB + AC (A + B)C = AC + BC k (AB)=(kA)B = A(kB)=(AB)k

18 Otras definiciones Matrices y vectores Qué es una matriz transpuesta? Ejemplo La transpuesta de una matriz A se obtiene intercambiando sus filas por sus columnas y se denota como A 0. apple 1 2 J = 3 4 apple J = 2 4 apple K = K 0 =

19 Otras definiciones Matrices y vectores Qué es una matriz simétrica? Es aquella que cumpe que A = A 0. Ejemplo apple 1 2 L = 2 1 apple L = 2 1

20 Otras definiciones Matrices y vectores Qué es una matriz identidad? Es una matriz diagonal de unos, es decir, una matriz cuadrada donde todos los elementos fuera de la diagonal principal son ceros y los elementos dentro de la diagonal son unos. Ejemplo 2 I 3 = apple 1 0 I 2 = 0 1

21 Agenda Matrices y vectores 1 Matrices y vectores 2 Reglas de diferenciación parciales 3 indefinidas definidas

22 Matrices y vectores Qué es la inversa de una matriz? Si A y B son dos matrices cuadradas tales que AB = I. Ejemplo N = M = M N =

23 Matrices y vectores Cómo saber si una matriz tiene inversa? Para esto se obtiene el determinante. Si el determinante es diferente de 0 se dice que la matriz es una matriz no singular (osea tiene inversa) pero si el determinante es igual a 0 se dice que la matriz es singular (osea no tiene inversa).

24 Agenda Matrices y vectores 1 Matrices y vectores 2 Reglas de diferenciación parciales 3 indefinidas definidas

25 Matrices y vectores Qué es una Cadena de Markov? Se emplean para medir o estimar movimientos en el tiempo. Requiere el uso de una Matriz de transición de Markov (o Markov ), donde cada valor en la matriz es una probabilidad de pasar de un estado (ubicación, trabajo, etc.) a otro estado.también hay un vector que contiene la distribución inicial en los distintos estados. Ejemplo x 0 o = A 0 B 0 apple PAA M = P BA P AB P BB

26 Matrices y vectores Ejemplo x 0 tm = x 0 t+1 x 0 t+1m = x 0 t+2 x 0 tmm = x 0 t+2 x 0 tm 2 = x 0 t+2. x 0 tm n = x 0 t+n

27 Reglas de diferenciación parciales Agenda 1 Matrices y vectores 2 Reglas de diferenciación parciales 3 indefinidas definidas

28 Reglas de diferenciación parciales Qué es una derivada? Qué es una derivada? Es una función que mide como cambia la variable y ante cambios infinidesimales en x. Famosa por su representación geométrica (la pendiente de una curva). Es el resultado del siguiente cociente de diferencias: dy dx = lim 4x!0 4y 4x = lim f (x 0 + 4x) f (x 0 ) 4x!0 4x Ejemplo y = 3x 2 4

29 Reglas de diferenciación parciales Pendiente de una curva

30 Reglas de diferenciación parciales Agenda 1 Matrices y vectores 2 Reglas de diferenciación parciales 3 indefinidas definidas

31 Reglas de diferenciación parciales Reglas para una función de una variable Derivada de una constante Derivada de una potencia y = k dy dx = 0 y = x n dy dx = nx n 1

32 Reglas de diferenciación parciales Reglas con dos o más funciones de la misma variable Derivada de una suma o resta Derivada de un producto d dx [f (x) ± g (x)] = f 0 (x) ± g 0 (x) d dx [f (x)g (x)] = f (x)g0 (x)+f 0 (x)g (x) Derivada de un cociente apple d f (x) dx g (x) = f 0 (x)g (x) f (x)g 0 (x) g 2 (x)

33 Reglas de diferenciación parciales Reglas para funciones de variables diferentes Regla de la cadena Ejemplo Si tenemos una función diferenciable z = f (y), dondey es a su vez una función diferenciable de otra variable x, y = g (x), entonces la derivada de z respecto a x es igual a la derivada de z repecto y, porladerivadadey respecto a x. Sea z = 3y 2 y y = 2x + 5, entonces: dz dx = 6y 2 = 12y = 12(2x + 5)

34 Reglas de diferenciación parciales Agenda 1 Matrices y vectores 2 Reglas de diferenciación parciales 3 indefinidas definidas

35 Reglas de diferenciación parciales Diferenciación parcial Diferenciación Parcial y = f (x 1,x 2,...,x n ) Si mantienen constantes (n 1) variables independientes mientras se permite que cambie una variable se obtiene. Ejemplo f (x 1,x 2 )=3x x 1 x 2 + 4x 2 2 y x 1 = 6x 1 + x 2 y x 2 = x 1 + 8x 2

36 indefinidas definidas Agenda 1 Matrices y vectores 2 Reglas de diferenciación parciales 3 indefinidas definidas

37 indefinidas definidas Se puede entender como la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños. Su interpretación geométrica se puede entender como el área bajo la curva. Z b a f (x)dx = lim n Â n! i=1 f (x i )4x i

38 indefinidas definidas Área bajo la curva

39 indefinidas definidas Agenda 1 Matrices y vectores 2 Reglas de diferenciación parciales 3 indefinidas definidas

40 indefinidas definidas indefinidas indefinidas Z f (x)dx = F (x)+c Vamos a disponer de infinitas soluciones dado que no conocemos el término constante (c).

41 indefinidas definidas Reglas básicas de la integración La regla de la potencia Z x n dx = 1 n + 1 xn+1 + c (n 6= 1) La regla exponencial Z e x dx = e x + c La regla logarítmica Z 1 dx = ln (x)+c (x > 0) x

42 indefinidas definidas Reglas de operación Regla de la suma Z Z [f (x)+g (x)]dx = Z f (x)dx + g (x)dx Integral de un múltiplo Z kf (x)dx = k Z f (x)dx

43 indefinidas definidas Agenda 1 Matrices y vectores 2 Reglas de diferenciación parciales 3 indefinidas definidas

44 indefinidas definidas definidas definidas Si incluimos límites de integración, dado que obtenemos un valor númerico específico, libre de la variable x, asícomodela constante arbitraria c. Este valor se llama la integral definida de f (x) de a a b. Z b a f (x)dx = F (b) F (a) Ejemplo Z 5 1 3x 2 dx

45 indefinidas definidas Algunas propiedades de las integrales Propiedades Z b a f (x)dx = Z a b f (x)dx Z a a f (x)dx = F (a) F (a)=0 Z d a Z b Z c Z d f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx + f (x)dx a b c

46 indefinidas definidas Bibliografía Chiang, A. Wainwright, K Métodos fundamentales de economía matemática. McGraw-Hill, Parra, A Álgebra Matricial Trabajo docente, Pontifícia Universidad Católica de Chile. Steward, J. Cálculo de una variable Thomson Learning, 2001.

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