Análisis de propuestas de evaluación en las aulas de América Latina

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1 Las situaciones de suma y resta ponen en juego, en sus formas básicas, tres cantidades: una cantidad inicial sobre la cual se aplica una transformación -positiva o negativa- y una cantidad final producto de la transformación de la primera. En general son situaciones que se presentan en los primeros grados de la escolaridad, dándose por supuesto que en estos niveles se "enseñan" la suma y la resta y en los grados siguientes estas sólo se aplican para resolver situaciones más complejas que involucran otras operaciones o números mayores. La idea que subyace a estas prácticas es la de que el tamaño de los números en juego agrega dificultad. Por otro lado, la suma y la resta se presentan como dos operaciones "inversas" en las que siempre se opera una sola transformación. Sin embargo, si bien se pueden establecer varios casos diferentes que se combinan de manera que una cantidad opera sobre otra obteniendo una tercera cantidad como resultado, pueden plantearse situaciones en las que el alumno deba hacer un cálculo relacional tal que, aun cuando la situación se modelice con una suma, deba resolverse con una resta y viceversa. Esto depende del lugar que ocupa la incógnita en la situación. La escuela, generalmente, presenta la incógnita en el resultado de la transformación. Sin embargo también puede plantearse la incógnita en la cantidad inicial o en la transformación. Esta actividad propuesta del maestro Giovanni Arias tiene como objetivo la relación entre operaciones. El alumno debe tener en cuenta que conoce la cantidad final de dinero obtenida por una venta y que esta cantidad implica $80 menos que el precio inicial. Por lo tanto, debe plantearse que, si al precio inicial se le quita la pérdida, encontrará el precio final. La situación, que puede modelizarse como una resta en la que se desconoce el minuendo, se resuelve con una suma, puesto que el alumno debe considerar que los $430 finales son el resultado de haber perdido $80. Para obtener el precio inicial, debe sumar ambas cantidades, es decir, recomponer el minuendo. Contrariamente a lo habitual, la incógnita no está en el resultado de la transformación (en el estado final), sino en el estado inicial. La misma dificultad se presenta en esta propuesta que exige trabajar con expresiones decimales. Ambas nos hacen reflexionar sobre cómo dos situaciones que parecen totalmente diferentes por el contexto en el que se presentan son, por su estructura, el mismo problema, pues deben usarse los mismos procedimientos para resolverlas. Hemos visto que las situaciones en las que se pregunta el estado final pueden complejizarse poniendo la incógnita en el estado inicial, como en los casos anteriores, o en la propia transformación. Por ejemplo, la situación anterior se podría haber planteado así: Manolo tenía 45 soles. Hizo unas compras y ahora tiene 21,42 soles. Cuánto gastó en sus compras?.

2 Esta es una nueva situación con el mismo objetivo y de igual estructura que la anterior, solo que con una transformación negativa. La incógnita se encuentra también en el estado inicial. Si bien se modeliza con una resta: a = 12517, el alumno debe realizar una suma para resolverla. La variación del lugar de la incógnita complejiza estas situaciones y enfrenta al alumno con las relaciones que se pueden establecer entre ambas operaciones. Esta propuesta, planteada en un contexto intramatemático, constituye otro ejemplo de lo dicho respecto de la anterior.

3 Las situaciones analizadas pueden revestir mayor complejidad cuando, por ejemplo, se aplica al estado inicial una composición de transformaciones, es decir, sucesivas transformaciones de igual o distinto signo. Es esta situación el alumno debe considerar la cantidad inicial para aplicar sobre ella una transformación positiva y otra negativa. En el caso de arriba el alumno debe averiguar el estado final aplicando una composición de transformaciones al estado inicial, de las que una es positiva y la otra negativa En estas dos tareas propuestas, en cambio, la composición es de transformaciones negativas, por lo que el estudiante puede resolverlas efectuando dos restas sucesivas o una suma que componga las transformaciones, antes de efectuar la resta. En ambos casos se pregunta el estado final.

4 En esta otra situación se combinan los dos tipos de variaciones expuestas anteriormente, puesto que hay una composición de transformaciones negativas y la incógnita es el estado inicial. El alumno debe, en primer término, componer cada una de las transformaciones, ya que cada una de ellas está dada en función de las anteriores. Una vez resuelto este aspecto, debe tener en cuenta que, a pesar de que las tres transformaciones son negativas, debe efectuar una suma para obtener el total de agua perdida. Si bien hasta aquí ya se presenta al estudiante una dificultad importante, se agrega una nueva dificultad: la variación del lugar de la incógnita. Es decir, el alumno cuenta con lo que queda en el depósito (estado final) y la transformación, debiendo calcular la cantidad o estado inicial. En este otro caso, el alumno conoce el precio de venta (estado final) y la ganancia (transformación) por lo que debe buscar el precio de compra (estado inicial). La situación podría modelizarse como: a = , por lo que para hallar el dato faltante, se debe realizar una resta. Es decir, la situación se modeliza con una suma pero se resuelve con una resta.

5 Uruguay Finalmente, esta actividad enfrenta al alumno con un cálculo relacional, ya que en algunos casos se pregunta por el estado inicial y en otros por la transformación. Lo que dice Pablo se podría modelizar? + 58 = 168. Para resolver la situación, el alumno debe efectuar una resta. De esta manera pueden establecerse las relaciones entre suma y resta por las cuales una suma origina siempre dos restas, ya que si restamos a la suma uno de los sumandos, obtendremos el otro. Lo que dice Carla enfrenta al alumno con un planteo del tipo:? - 75 = 340, caso inverso al anterior, puesto que si bien se modeliza con una resta, debe resolverse con una suma. Nuevamente se ponen en juego las relaciones entre estas dos operaciones. Lo que se busca en este caso es la recomposición del minuendo o situación inicial, para lo cual es necesario reunir sustraendo y diferencia. Plantear lo que dice Ana es más complejo, pues pone en juego más de una operación:? X = 440. En este caso nuevamente el alumno debe restar a la suma uno de los sumandos para obtener el restante. Se dice que ese número es el resultado de una multiplicación, por lo que es necesario aplicar la división por el mismo número por el que se ha multiplicado para obtener el número buscado. Así, se ponen de manifiesto las relaciones suma-resta y también multiplicación-división. Estas relaciones, que es imprescindible analizar, se toman aquí en una actividad pertinente que abre muchas posibilidades a la exploración y justificación por parte de los alumnos. Podemos apreciar entonces cómo los problemas aditivos deben recorrerse a lo largo del ciclo escolar con objetivos diferentes a los efectos de transitar por distintos significados y diferentes niveles de complejidad. Del mismo modo, estos planteos permitirán a los alumnos construir las relaciones entre suma y resta.

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