TEMA 6: GEOMETRÍA PLANA

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1 TEMA 6: GEOMETRÍA PLANA 1. INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA En nuestro entorno podemos visualizar objetos que se relacionan con elementos geométricos: por ejemplo la ventana de nuestra casa tiene forma rectangular. También aplicamos la geometría en las tareas diarias de muchas profesiones: interpretando o elaborando planos. Aplicamos los conocimientos de geometría para elementos habituales de nuestro día a día: por ejemplo, interpretar los planos de un armario que hemos comprado. La geometría plana estudia las propiedades de las figuras que se representan en un plano y que tienen únicamente dos dimensiones (largo y ancho). Los tres elementos básicos de la geometría son: el punto, la recta y el plano. 1º ESPA Pág. 1 Departamento de Matemáticas

2 . PUNTOS Y RECTAS Los puntos y las rectas son dos de los elementos geométricos fundamentales. Los puntos se nombran con letras mayúsculas: A, B, C La recta está formada por infinitos puntos y se nombra con letras minúsculas: r, s, t Un punto A de una recta la divide en dos semirrectas El trozo de recta comprendido entre dos puntos se llama segmento Dos rectas, r y s, pueden tener un punto en común, ninguno o infinitos. Secantes Paralelas Coincidentes P r r r s s s Tienen un solo punto en común No tienen ningún punto en común Tienen todos los puntos en común 3. ÁNGULOS Se llama ángulo a la región del plano limitada por dos semirrectas con un origen común. Las semirrectas que lo limitan se llaman lados y el origen vértice. Los ángulos se nombran con letras mayúsculas y el símbolo ^ sobre la letra: Aˆ, B ˆ Dos rectas son perpendiculares si al cortarse forman cuatro ángulos iguales, llamados rectos. 1º ESPA Pág. Departamento de Matemáticas

3 3.1. Clasificación de ángulos Recto Agudo Obtuso Llano Menor que un ángulo recto Mayor que un ángulo recto Formado por dos rectos Convexo Cóncavo Menor que un ángulo llano Mayor que un ángulo llano 3.. Relación entre ángulos Opuestos por el vértice Complementarios Suplementarios Tienen el vértice en común, y los lados están sobre la misma recta. Al colocarlos consecutivamente forman un ángulo recto. Al colocarlos consecutivamente forman un ángulo llano Ángulos iguales Los ángulos opuestos por el vértice son iguales. Â Bˆ Ĉ Dˆ 1º ESPA Pág. 3 Departamento de Matemáticas

4 Los ángulos de lados paralelos o son iguales o son suplementarios. Â Bˆ Los ángulos Ĉ y Dˆ son suplementarios 3.4. Medida de ángulos. Para medir ángulos utilizamos el llamado sistema sexagesimal. Cada una de las 90 partes iguales en que se divide un ángulo recto se llama grado, y se representa por el símbolo º. El grado es una de las unidades de medida de ángulos. El grado se divide en otras unidades más pequeñas: Minuto: cada una de las 60 partes en que se divide un grado. Se representa con el símbolo. 1º = 60 Segundo: cada una de las 60 partes en que se divide un minuto. Se representa con el símbolo. 1 = 60 Una medida de ángulos puede ser expresada en: Forma compleja: con más de una unidad. Por ejemplo: Â = 15º 13 7 Forma incompleja: con una sola unidad. Por ejemplo: Bˆ = 54,3º El transportador de ángulos es un semicírculo graduado que permite construir y medir ángulos. 4. POLÍGONOS Al unir sucesivamente varios segmentos se forma una línea a la que se llama poligonal. Si el origen del primer segmento coincide con el extremo del último se llama línea poligonal cerrada, en caso contrario se llama línea poligonal abierta. 1º ESPA Pág. 4 Departamento de Matemáticas

5 La zona del plano que delimita una línea poligonal cerrada se llama polígono. Alguno de los elementos de un polígono son: Lado: cada uno de los segmentos que forman la línea poligonal cerrada. Vértice: cada uno de los puntos de unión de dos lados Ángulo interior: ángulo formado por dos lados Diagonal: cada uno de los segmentos que une dos vértices no consecutivos. Suma de los ángulos interiores de un polígono Al trazar las diagonales de un polígono desde uno de sus vértices queda dividido en triángulos, por lo tanto, la suma de los ángulos interiores coincide con la suma de los ángulos de los triángulos en los que haya quedado dividido el polígono Cuadrilátero Pentágono Hexágono n lados Las diagonales trazadas desde un vértice dividen al polígono de n lados en n triángulos, por lo tanto la suma de los ángulos interiores es: 4 lados triángulos S = 180º = 360º 5 lados 3 triángulos S = 3 180º = 540º 6 lados 4 triángulos S = 4 180º = 70º S = (n ) 180º 4.1. Clasificación de los polígonos Los polígonos pueden clasificarse según diferentes criterios: Según los ángulos los polígonos se clasifican en dos grandes grupos: Convexos: todos sus ángulos interiores son convexos. Cóncavos: algún ángulo interior es cóncavo 1º ESPA Pág. 5 Departamento de Matemáticas

6 Según el número de lados los polígonos se clasifican en: Según la igualdad o desigualdad de sus lados los polígonos se clasifican en: Irregulares: un polígono es irregular si sus lados o ángulos no son todos iguales Regulares: un polígono es regular si todos sus lados y ángulos son iguales. Los polígonos regulares además de los elementos de un polígono en general tienen los siguientes elementos: Centro: punto que equidista de los vértices. Radio: cualquier segmento que une el centro con el vértice. Apotema: cualquier segmento que une el centro con el punto medio de un lado. Ángulo central: ángulo determinado por dos radios 1º ESPA Pág. 6 Departamento de Matemáticas

7 5. TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS 5.1. Clasificación de los triángulos Si el polígono tiene tres lados se llama triángulo. Los triángulos pueden clasificarse según sus lados y ángulos, obteniéndose los siguientes tipos de triángulos: Según sus lados Equilátero Isósceles Escaleno Todos los lados iguales Dos lados iguales y uno desigual Todos los lados distintos Según sus ángulos Acutángulo Rectángulo Obtusángulo Tres ángulos agudos Un ángulo recto Un ángulo obtuso 1º ESPA Pág. 7 Departamento de Matemáticas

8 5.. Clasificación de los cuadriláteros Si el polígono tiene cuatro lados se llama cuadrilátero. Los cuadriláteros pueden clasificarse por el paralelismo y la igualdad de sus lados. Paralelogramos pares de lados paralelos Cuadrado Rectángulo Rombo Romboide D A C B 4 lados iguales 4 ángulos rectos Lados paralelos iguales 4 ángulos rectos 4 lados iguales Ángulos iguales dos a dos Lados paralelos iguales Ángulos iguales dos a dos Trapecios 1 par de lados paralelos Isósceles Rectángulo Escaleno Trapezoides Ningún lado paralelo A D B C Lados no paralelos iguales Dos ángulos rectos Lados y ángulos distintos 6. CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO Una circunferencia es una curva cerrada y plana cuyos puntos están todos a la misma distancia de otro punto fijo llamado centro. La porción del plano que limita una circunferencia se llama círculo. Los elementos de la circunferencia son: Centro: punto fijo O Radio: segmento que une el centro con cualquier punto de de la circunferencia. Cuerda: segmento que une dos puntos de la circunferencia. Diámetro: segmento que une dos puntos de la circunferencia que pasa por el centro Arco: cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia. Cuando la cuerda es el diámetro, el arco que se forma es una semicircunferencia. 1º ESPA Pág. 8 Departamento de Matemáticas

9 7. PERÍMETROS Y ÁREAS DE POLÍGONOS En la vida cotidiana realizamos cálculos para hallar el perímetro y área de diferentes objetos. Cuánto alambre necesitaremos para cercar este terreno? Quiero poner unas baldosas en la casa Qué necesito saber? El perímetro de una figura es la suma de las longitudes de sus lados. Esta suma representa una medida de longitud, por ello las unidades utilizadas son el metro y todos sus múltiplos y submúltiplos. Ejemplo: Calcularemos el perímetro si queremos medir el contorno del marco de una ventana o lo que mide la valla de ese cercado. El área de un polígono es la medida de la porción de plano limitada. Las unidades utilizadas para medirla son el m (metro cuadrado) y sus múltiplos y submúltiplos. Ejemplo: Calcularemos el área si queremos pintar el techo de la habitación o si queremos envolver un objeto con una tela ya que necesitaremos saber cuánta pintura necesito o cuánta tela tengo que comprar, como mínimo. 1º ESPA Pág. 9 Departamento de Matemáticas

10 Áreas y perímetros de polígonos Polígono Perímetro (P) Área (S) Triángulo a h c P = a + b + c b.h S b Cuadrado P = 4.L S = L L Rectángulo b P =.(a+b) S = a.b a Romboide h c P =.(b+c) S = b.h b L Rombo d P = 4.L D D.d S b L h Trapecio P = B + b + L B S B b h Polígono regular de n lados L ap P= n L P.ap S 1º ESPA Pág. 10 Departamento de Matemáticas

11 8. PERÍMETROS Y ÁREAS DE FIGURAS CIRCULARES 8.1. El número Pi Independientemente de las dimensiones de una circunferencia, la relación entre su longitud y su diámetro siempre es constante, es decir, al dividir la longitud de la circunferencia (perímetro del círculo) entre su diámetro obtenemos siempre el mismo resultado: 3, A este número se le llama Pi y normalmente se representa con el símbolo π. Si medimos el perímetro de la rueda de un tractor y el de la rueda de una bicicleta de niño, al dividirlos por sus respectivos diámetros obtendremos como resultado 3,14159, es decir el número π Conocer el número Pi es fundamental para poder calcular el perímetro de circunferencias y círculos. Al ser un número con infinitos decimales es necesario redondearlo para poder hacer cálculos, por ejemplo podemos utilizar el redondeo al segundo decimal: 3,14 π = 3, ,14 1º ESPA Pág. 11 Departamento de Matemáticas

12 Longitud y área de figuras circulares Figuras circulares Longitud (L) Área (S) Circunferencia y círculo r L = πr S = πr Arco y sector r nº rnº L 360º r nº S 360º Segmento circular r L = Longitud del arco + Longitud de la cuerda S = Área del sector- Área del triángulo Corona circular r R L = Lon. cir.exterior + Lon. cir. interior S = π(r r ) 9. PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE CÁLCULO DE ÁREAS Y PERÍMETROS Ejemplo: Calcular el área y el perímetro del siguiente triángulo (los datos están en cm) S b.h 5,4 1 6 cm P = a + b + c = = 1 cm 1º ESPA Pág. 1 Departamento de Matemáticas

13 Ejemplo: Calcular el área y el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 30 y 16 cm, y su lado mide 17 cm. D.d S 40cm P 4 L cm Ejemplo: Calcula el área de esta figura: b.h S T 5cm S a b cm R Sc l 5 5cm S S S S cm T R C Ejemplo: Calcula el área del siguiente octógono. P.ap 8 6 7, 345,6 S 17,8 cm Ejemplo: Calcula el área y la longitud de la corono circular S = R r cm L = P = R + r = cm 1º ESPA Pág. 13 Departamento de Matemáticas

14 Problema: Si queremos vallar una piscina o calcular la longitud de una rueda como la figura que se muestra a continuación. Qué necesitamos saber? Necesitamos calcular el perímetro. P= 3,14 = 1,56 m Problema: Queremos barnizar la parte superior de una mesa de madera como la que vemos en la figura. Si en total tengo que pintar 15 mesas iguales Cuántos litros de barniz tendré que comprar si con 1 litro cubro 10 m? S = 3,14 0,60 = 1,1304 m Como son 15 mesas -> 1, = 16,956 m Para calcular los litros que necesito ->16,956: 10 = 1,6956 l Problema: Cuánto costará vallar una finca cuadrada de 14 metros de lado si el metro lineal de alambrada cuesta 1,5 euros? P = 4L = 4 14 = 56 metros 56 1,5 = 84 euros 1º ESPA Pág. 14 Departamento de Matemáticas